\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\TagsOnRight
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A november 18.-i gyakorlat t\'em\'aja}
 
\medskip\noindent
Egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E\xi$  illetve adva egy $g(x)$
f\"uggv\'eny a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$g(\xi)$ f\"uggv\'eny\'enek az $Eg(\xi)$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et az
$$
E\xi=\int_{-\infty}^\infty u dF(u), \qquad
Eg(\xi)=\int_{-\infty}^\infty g(u)\,dF(u) \tag a
$$
k\'epletek seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'am\'{\i}thatjuk ki. A fenti
k\'epletben \'ugynevezett Stieltjes integr\'al szerepel, ami
k\"ozvetlen\"ul nehezen sz\'amolhat\'o. Ez\'ert fontos meg\'erteni,
hogy egyszer\H{u}s\"odik a k\'eplet bizonyos fontos speci\'alis
esetekben. Ezek egyike az az eset, amikor l\'etezik
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny. Meg kell \'erten\"unk, hogyan
tudjuk meg\'allap\'{\i}tani, hogy l\'etezik
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny, \'es
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny l\'etez\'ese eset\'en hogyan
sz\'am\'{\i}thatjuk ki az (a) formul\'aban szerepl\H{o} k\'epletet.
Ez\'ert \'erdemes a k\"ovetkez\H{o} t\'enyeket tudni:
\medskip\noindent
{\bf T\'etel s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny l\'etez\'es\'er\H{o}l.}
{\it Legyen $F(x)$, monoton, minden pontj\'aban foly\-to\-nos
f\"uggv\'eny, amelyik v\'eges sok kiv\'etel\'evel deriv\'alhat\'o.
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a azt is, hogy $\limm_{x\to-\infty}F(x)=0$.
Defini\'aljuk az $f(x)=\dfrac{dF(x)}{dx}$ f\"uggv\'enyt azokban a
pontokban, ahol $F(x)$ differenci\'alhat\'o, \'es tetsz\H{o}leges
m\'odon abban a (v\'eges sok) pontban, ahol $F(x)$ nem
differenci\'alhat\'o. Ekkor $F(x)=\int_{-\infty}^\infty fu)\,du$
minden $-\infty<x<\infty$ pontban, \'es
$$
\int_{-\infty}^\infty u dF(u)=
\int_{-\infty}^\infty u f(u)\,du, \quad
Eg(\xi)=\int_{-\infty}^\infty g(u)\,dF(u)=
\int_{-\infty}^\infty g(u)f(u)\,du.
$$
}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti t\'etelben szerepl\H{o} $F(x)$
f\"uggv\'eny akkor eloszl\'asf\"uggv\'eny, ha a fent eml\'{\i}tett
tulajdons\'agok mellett teljes\'{\i}ti az $\limm_{x\to\infty} F(x)=1$
felt\'etelt. Ezt a felt\'etelt az\'ert nem k\"ovetelt\"uk meg, mert
mint l\'atni fogjuk a fenti kiss\'e \'altal\'anosabban
megfogalmazott t\'etel jobban haszn\'alhat\'o bizonyos esetekben.
\medskip
\item{1.)} Dobjunk le egy pontot egyenletes eloszl\'assal valamely
$[a,b]$ intervallumba, azaz annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
pont valemely $[u,v]\subset [a,b]$ intervallumba esik legyen
$\frac{v-u}{b-a}$. Ekkor a ledobott pont $\xi$ hely\'enek az
eloszl\'asf\"uggv\'enye $F(x)=0$, ha $x\le a$, $F(x)=\frac{x-a}{b-a}$,
ha $a\le x\le b$, $F(x)=1$, ha $x\ge b$. $E\xi=\frac1{b-a}\int_a^b
u\,du$, \'es $Eg(\xi)=\frac1{b-a}\int_a^b g(u)\,du$ tetsz\H{o}leges
$g(x)$ f\"uggv\'enyre.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Nem neh\'ez ellen\H{o}rizni, hogy a fenti
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak a feladatban
defini\'alt $F(x)$ f\"uggv\'eny az eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ez az
$F(x)$ f\"uggv\'eny minden pontj\'aban folytonos, \'es k\'et pont,
$x=a$ \'es $x=b$ pontok, kiv\'etel\'evel differenci\'alhat\'o,
$f(x)=\frac{dF(x)}{dx}=\frac1{b-a}$, ha $a<x<b$, \'es
$f(x)=\frac{dF(x)}{dx}=0$, ha $x<a$ vagy $x>b$. Ez\'ert az
el\H{o}z\H{o} t\'etel alapj\'an $E\xi=\int_{-\infty}^\infty
uf(u)\,du=\int_a^b\frac1{b-a} u\,du$, \'es
$Eg(\xi)=\int_{-\infty}^\infty g(u)f(u)\,du=\int_a^b\frac1{b-a}
g(u)\,du$.
\medskip
A m\'asik k\"ul\"on t\'argyaland\'o eset az, amikor diszkr\'et
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et akarjuk kisz\'amolni. Ezen eset vizsg\'alata
\'erdek\'eben fogalmazzuk meg a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek a
ki\-sz\'a\-mo\-l\'a\-s\'a\-r\'ol.} {\it Legyen $\xi$ olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyik v\'eges sok
$a_1<a_2<\cdots<a_k$ \'ert\'eket vesz fel, $P(\xi=a_j)=p_j$, $1\le
j\le k$, $\summ_{j=1}^kp_j=1$. Ekkor a $xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye a k\"ovetkez\H{o} alak\'u:
$F(x)=0$, ha $x\le a_1$, $F(x)=\summ_{l=1}^j p_j$, ha $a_j<x<a_{j+1}$,
$1\le j\le k-1$, $F(x)=1$, ha $x>a_k$.
 
Legyen kiss\'e \'altal\'anosabban $F(x)$ olyan f\"uggv\'eny, amely
megadhat\'o valamilyen $a_1<a_1<\cdots<a_k$ \'es $p_1>0$ $p_2>0$,
\dots $p_k>0$ sorozatok seg\'{\i}ts\'eg\'evel \'ugy, hogy $F(x)=0$,
ha $x\le a_1$, $F(x)=\summ_{l=1}^jp_l$,
ha $a_j<x<a_{j+1}$, $1\le j\le k-1$, $F(x)=\summ_{l=1}^kp_l$, ha
$x>a_k$. Ekkor $\int u\,dF(u)=\summ_{l=1}^k a_k$, \'es
$\int g(u)\,dF(u)=\summ_{l=1}^k g(a_k)$.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti t\'etel m\'asodik bekezd\'es\'eben nem
k\"ovetelt\"uk meg a $\summ_{j=1}^k p_j=1$ felt\'etelt. Ez az enyhe
\'altal\'anos\'{\i}t\'as lehet\H{o}v\'e teszi, hogy az el\H{o}z\H{o}
t\'etel \'es az al\'abb kimondott lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki
tudjuk sz\'am\'{\i}tani a v\'arhat\'o \'ert\'eket kiss\'e
\'altal\'anosabb, de szint\'en \'erdekes esetekben. Erre mutat
p\'eld\'at az al\'abbi 2. feladat.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen $F_1$ \'es $F_2$ k\'et olyan monoton
f\"uggv\'eny a sz\'amegyenesen, amelyekre $\limm_{x\to-\infty}
F_j(x)=0$ \'es $\limm_{x\to\infty} F_j(x)<\infty$, $j=1,2$. Ekkor
l\'eteznek az $\int_{-\infty}^\infty g(u)\,dF_j(u)$, $j=1,2$ \'es
$\int_{-\infty}^\infty g(u)\,d(F_1(u)+F_2(u))$ integr\'alok minden
sz\'ep $g(u)$ f\"uggv\'enyre.
Tov\'abb\'a,
$$
\int_{-\infty}^\infty g(u)\,d(F_1(u)+F_2(u))=
\int_{-\infty}^\infty g(u)\,d(F_1(u)+
\int_{-\infty}^\infty g(u)\,d(F_1(u)
$$
}\medskip
A k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'aban olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ora mutatunk p\'eld\'at, melynek $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye fel\'{\i}rhat\'o $F(x)=F_1(x)+F_2(x)$ alakban
\'ugy, hogy $F_1(x)$ \'es $F_2(x)$ teljes\'{\i}ti a fenti k\'et
t\'etel felt\'eteleit. Ez\'ert ki tudjuk sz\'amolni a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggv\'enyeinek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\medskip
\item{2.)} Dobjunk le egy pontot egyenletes eloszl\'assal a $[0,4]$
intervallumra. \'Irjuk fel e pont \'ert\'ek\'et, ha a ledobott pont a
$[0,2]$ intervallumba esik, \'{\i}rjuk le a 2 sz\'amot, ha a pont a
$[2,3]$, a 3 sz\'amot, ha a pont a $(3,4]$ intervallumba esik.
Mutassuk meg, hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye a k\"ovetkez\H{o}:
$F(x)=0$, ha $x\le 0$, $F(x)=\frac x4$, ha $0\le x\le 2$,
$F(x)=\frac34$, ha $x<2\le 3$, \'es $F(x)=1$, ha $x\le 3$. Mutassuk
meg tov\'abb\'a, hogy $F(x)$ fel\'{\i}rhat\'o $F(x)=F_1(x)+F_2(x)$
alakban a k\"ovetkez\H{o} m\'odon: $F_1(x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du$,
$f(u=\frac12$, ha $0\le x\le 2$, $f(u)=0$, ha $u<0$ vagy $u>2$, \'es
$F_2(x)=0$, ha $x\le2$, $F(x)=\frac14$, ha $2<x\le3$, $F(x)=\frac12$,
ha $x\ge3$. Ez\'ert $Eg(\xi)=\frac14\int_0^2 g(u)\,du+\frac14
g(2)+\frac14 g(3)$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Hasonl\'oan a m\'ult \'or\'an t\'argyalt
2. feladathoz ellen\H{o}rizhetj\"uk, hogy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye a
feladatban megadott $F(x)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny. Az $F(x)$
f\"uggv\'enyt fel\'{\i}rhatjuk $F(x)=F_1(x)+F_2(x)$ alakban, ahol
$F_1(x)=0$, ha $x\le 0$, $F_1(x)=\frac14x$, ha $0\le x\le 2$,
$F_1(x)=\frac12$, ha $x\ge2$, \'es $F_2(x)=0$, ha $x\le 2$,
$F_2(x)=\frac14$, ha $2<x\le3$, $F_2(x)=\frac12$, ha $x>3$.
Tulajdonk\'eppen azt tett\"uk, hogy lev\'alasztottuk a tiszt\'an
ugr\'o f\"uggv\'eny r\'eszt az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyr\H{o}l,
\'{\i}gy kaptuk az $F_2(x)$ f\"uggv\'enyt, a marad\'ek
$F_1(x)=F(x)-F_2(x)$ f\"uggv\'eny pedig minden\"utt folytonos. Az
$F_1(x)$ f\"uggv\'eny minden pontban folytonos, \'es 0 \'es 2 pont
kiv\'etel\'evel minden\"utt deriv\'alhat\'o. Ez\'ert a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny l\'etez\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$F_1(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)\,du$,
\'es $\int g(u)\,dF_1(u)=\int_{-\infty}^\infty g(u)f(u)\,du$
minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra, ahol $f(x)=\frac14$, ha $0\le x\le
2$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>2$. M\'asr\'eszt a
diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek a
ki\-sz\'a\-mo\-l\'a\-s\'a\-r\'ol sz\'ol\'o t\'etel alapj\'an $F_2(x)$
fel\'{\i}rhat\'o az ott megadott m\'odon $a_1=2$, $a_2=3$,
$p_1=p_2=\frac14$ param\'eterekkel. Ez\'ert $\int_{-\infty}^\infty
g(u)\,dF_2(u)=\frac14 g(2)+\frac14g(3)$. Ezut\'an a Lemma
seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapjuk a feladat v\'egs\H{o}
\'all\'{\i}t\'as\'at.
\medskip
A fenti feladat megold\'asi m\'odszere azt jelzi, hogy az
eloszl\'asf\"uggv\'eny felbont\'as\'anak seg\'{\i}ts\'eg\'evel egy
tiszt\'an ugr\'o \'es folytonos r\'eszre a k\'{\i}v\'ant
v\'arhat\'o \'ert\'eket ki lehet sz\'amolni a fenti k\'et t\'etel
\'es lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy
van-e olyan el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny, amelynek eset\'eben a
fenti ismeretek nem elegend\H{o}ek a v\'arhat\'o \'ert\'ek
kisz\'amol\'as\'ahoz. A v\'alasz az, hogy lehet rosszindulat\'u
\'es mesterk\'elt m\'odon ilyen p\'el\-d\'a\-kat konstru\'alni, de a
gyakorlatban el\H{o}fordul\'o \"osszes feladat megold\'as\'ahoz
elegend\H{o} a fenti eredm\'enyek haszn\'alata (\'es a
megfelel\H{o} integr\'alok \'es \"osszegek kisz\'am\'{\i}t\'asa).
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at. Ha a dob\'as
\'ert\'eke 1, 2, 3, 4 vagy 5 akkor fel\'{\i}rjuk a dob\'as
\'ert\'ek\'et egy pap\'{\i}rlapra. Ha dob\'as \'ert\'eke 6,
akkor ledobunk egy pontot v\'eletlen\"ul egyenletes eloszl\'assal a
$[0,2]$ intervallumra, \'es a ledobott pont hely\'enek az
\'ert\'ek\'et \'{\i}rjuk fel a pap\'{\i}rlapra. Sz\'amoljuk ki a
fel\'{\i}rt pont v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\medskip
\item{3.)}  Legyen $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(u)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel, $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amok.
Ha\-t\'a\-roz\-zuk meg az $a\xi+b$, $a>0$, \'es $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $F(x)=\int_{-\infty}^\infty
f(u)\,du$ $\xi$ eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor $\eta=a\xi+b$ $G(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$G(x)=P(a\xi+b<x)=P\(\xi<\frac{x-b}a\)=F\(\frac{x-b}a\)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig ennek deriv\'altja, $\frac
d{dx}G(x)=\frac d{dx}F\(\frac{x-b}a\)=\frac1a f\(\frac{x-a}b\)$. A
$\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $H(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye $H(x)=P(\xi^2<x)=P(-\sqrt x<\xi<\sqrt
x)=P(\xi<\sqrt x)-P(\xi\le-\sqrt x)$, ha $x\ge0$, \'es
$H(x)=P(\xi^2<x)=0$, ha $x<0$. A $\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $h(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig a $H(x)$
f\"uggv\'eny deriv\'altja, $h(x)=0$, ha $x<0$, $h(x)=\frac1{2\sqrt
x}\(f(\sqrt x)+f(-\sqrt x)\)$.
 
Megt\'argyaljuk a t\"obbv\'altoz\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny
fogalm\'at, \'es az ezzel kapcsolatos legfontosabb fogalmakat \'es
eredm\'enyeket. Ezek k\"oz\"ul k\"ul\"on felh\'{\i}vom a figyelmet a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'enek
fogalm\'ara az \'altal\'anos (nem felt\'etlen\"ul diszkr\'et
eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben.
\medskip\noindent
{\bf T\"obbdimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it
Legyen adva $k$ val\'os \'ert\'ek\H{u} $\xi_1,\dots,\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ezek (egy\"uttes)
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye az
$$
F(x_1,\dots,x_k)=P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_k<x_k),
$$
$k$ v\'altoz\'os f\"uggv\'eny, ahol $-\infty<x_j<\infty$ minden
$1\le j\le k$ indexre.}
 
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.}\/ {\it Egy $F(u_1,\dots,u_k)$ f\"ugg\-v\'eny
akkor \'es csak akkor eloszl\'asf\"uggv\'enye alkalmas
$\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak
valamely $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
ha ez az $F$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
(i)---(iv) tulajdons\'agokat. \medskip
\item\item {(i)} $F(u_1,\dots,u_k)$ minden v\'altoz\'oj\'anak
balr\'ol folytonos f\"uggv\'enye.
\itemitem {(ii)} $\lim\limits\Sb u_j\to\infty \\ \text{minden }
j=1,\dots,k\text{ sz\'amra}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=1$.
\itemitem{(iii)} $\lim\limits\Sb u_j\to-\infty \\ \text{valamely }
1\le j\le k\text{ sz\'amrra}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=0$. (Ez \'ugy
\'ertend\H{o}, hogy az \"osszes $u_s$, $1\le s\le k$, $s\neq j$
koordin\'at\'at r\"ogz\'{\i}tj\"uk, \'es $u_j\to-\infty$.)
\itemitem{} V\'eg\"ul defini\'aljuk egy az $R^k$ t\'eren defini\'alt
$F$ f\"uggv\'enyre \'es egy
$\bold K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ t\'eg\-la\-test\-re a
$$
\mu(\bold K)=\mu_F(\bold K)=\sum\Sb u_j=\; a_j\text{ vagy
}b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)}F(u_1,\dots,u_k)
$$
mennyis\'eget, ahol $\chi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k
sz\'am\'at az $u_1,\dots,u_k$ sorozatban. Ekkor
\itemitem{(iv)} $\mu_F(\bold K)\ge 0$ minden $\bold K$ t\'eglatestre.}
\medskip
\medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek definici\'oja.}
{\it Azt mondjuk, hogy egy $F(x_1,\dots,x_k)$ t\"obbv\'altoz\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enynek l\'etezik $f(u_1,\dots,u_k)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, ha teljes\"ul az
$$
F(x_1,\dots,x_k)=\int_{-\infty}^{x_1}\cdots \int_{-\infty}^{x_k}
f(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots du_k
$$
azonoss\'ag minden
$-\infty<x_j<\infty$, $1\le j\le k$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek l\'etezik
$f(u_1,\dots,u_k)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor ez
teljes\'{\i}ti minden $g(\cdot)$ $k$-v\'altoz\'os (m\'erhet\H{o})
f\"ugg\-v\'eny\-re a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot:
$$
\align
Eg(\xi_1,\dots,\xi_k)&=\int g(u_1,\dots,u_k)\mu_F(\,du_1,\dots,\,du_k)\\
&=\int_{-\infty}^\infty\cdots \int_{-\infty}^\infty
g(u_1,\dots,u_k)f(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots\,du_k,
\endalign
$$
ahol $\mu_F$ jel\"oli az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal
meghat\'arozott Stieltjes m\'ert\'eket.  Ez az azo\-nos\-s\'ag
\'ugy \'ertend\H{o}, hogy az annak k\'et oldal\'an szerepl\H{o}
kifejez\'es egyszerre l\'etezik vagy nem l\'etezik, ha mind a k\'et
kifejez\'est mint Lebesgue integr\'alt \'ertelmezz\"uk. Ha a
jobb\-olda\-lon szerepl\H{o} integr\'al l\'etezik mint
(k\"oz\"ons\'eges) Riemann integr\'al, akkor ez az integr\'al
tekinthet\H{o} \'ugy is mint (egy a Riemann integr\'al
\'ert\'ek\'evel megegyez\H{o}) Lebesgue integr\'al. Teh\'at az
azonoss\'ag ebben a fontos speci\'alis esetben is \'erv\'enyes.}
\medskip
Az egydimenzi\'os esethez hasonl\'oan a t\"obbdimenzi\'os
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyeket is lehet jellemezni. Igaz a
k\"ovetkez\H{o} t\'etel.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Egy $k$-v\'altoz\'os $f(u_1,\dots,u_k)$
f\"uggv\'eny akkor \'es csak akkor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy
alkalmas $k$-dimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'enynek, ha
$f(u_1,\dots,u_k)\ge0$ majdnem minden $(u_1,\dots,u_k)$ pontban, \'es
$$
\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty f(u_1,\dots,u_k)
\,du_1 \dots\,du_k=1.
$$
}
 
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'enek
a definici\'oja.} {\it Legyenek $\xi_1,\,\dots,\xi_n$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Azt mondjuk, hogy ezek
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
ha minden $x_1,\dots,x_n$ val\'os sz\'amra
$$
P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_n<x_n)=P(\xi_1<x_1)\cdots P(\xi_n<x_n).
$$
}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyek mindegyik\'enek
l\'e\-te\-zik v\'arhat\'o \'ert\'eke, azaz $E|\xi_j|<\infty$. Ekkor
a $\xi_1\cdots\xi_k$ szorzatnak is l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke,
\'es
$$
E\xi_1\cdots \xi_k=E\xi_1\cdots E\xi_k.
$$
}\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $B_1,\dots,B_k$ a
sz\'amegyenes Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazai. Ekkor
$$
P(\xi_1\in B_1,\dots,\xi_k\in B_k)=
P(\xi_1\in B_1)\cdots P(\xi_k\in B_k).
$$
}\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kovarianci\'aj\'anak a
definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o ugyanazon a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, (amelyekre teljes\"ul
az  $E\xi^2<\infty$, $E\eta^2<\infty$ felt\'etel.) A $\xi$ \'es
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
kovarianciaf\"uggv\'enye
$$
\Cov(\xi,\eta)=E[(\xi-E\xi)(\eta-E\eta)].
$$
}\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it
$$
\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta- E\xi E\eta.
$$
Ha $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, akkor $\Cov(\xi,\eta)=0$.}
\medskip\noindent
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
\bye
 
 
\item{7.)} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $m$, $\sigma$ val\'os
sz\'amok, akkor az $\sigma\xi+m$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$ sz\'or\'asn\'egyzete
$\sigma^2$, s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig
$g(u)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}|\sigma|}e^{-(u-m)^2/2\sigma^2}$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$E(\sigma\xi+m)=\sigma E\xi+m=m$, \'es
$\Var(\sigma\xi+m)=\sigma^2 \Var\xi=\sigma^2$. Tov\'abb\'a, az
el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'enye alapj\'an a $\sigma\xi+m$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
az $f(x)=\dfrac1{|\sigma|}\varphi\(\dfrac{x-m}\sigma\)$, ahol
$\varphi(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, a standard norm\'alis
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny. Innen k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.
 
