\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\centerline{\bf DOLGOZAT FELADATOK}
\smallskip\centerline {(\it A programoz\'o matematikus
gyakorlaton)}
\medskip
\item{1.)} Minden h\'eten 1~000~000 ember lott\'ozik, akik a
lott\'oszelv\'enyeiket egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-le\-n\"ul t\"oltik
ki. (90 sz\'amb\'ol kell eltal\'alni az \"ot kih\'uzott az\'amot.)
Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy a 20. h\'eten
lesz el\H{o}sz\"or 5 tal\'alat?
\item{2.)} H\'arom v\'aros valamelyik\'ebe \'erkezt\"unk, mindegyikbe
egyforma, azaz 1/3 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel. Az egyik
az igazmond\'ok v\'arosa, ahol minden k\'erd\'esre 0.9
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'alaszolnak igazat, a m\'asodik a
hazugok v\'arosa, ahol minden k\'erd\'esre 0.8
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel hamis v\'alaszt adnak, a
harmadik a figyelmetlenek v\'arosa, ahol minden k\'erd\'esre a
k\'erd\'est\H{o}l f\"uggetlen\"ul 1/2 val\'osz\'{\i}m\H{u}s\'eggel
igent \'es 1/2 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nemet v\'alaszolnak.
Megk\'erdez\"unk egy embert, akivel tal\'alkoztunk, hogy az
igazmond\'ok v\'aros\'aba \'erkezt\"unk-e. Azt a v\'alaszt kapjuk,
hogy nem. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az igazmond\'ok
v\'aros\'aba \'erkezt\"unk?
\item{3.)} K\'et szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,  hogy mind a k\'et dob\'as p\'aros
felt\'eve, hogy legal\'abb az egyik dob\'as hatos?
\item{4.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk sz\'azszor.
Sz\'amoljuk a p\'aros \'ert\'ek\H{u} dob\'asok \"oszeg\'enek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{5.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 101 alkalommal.
Arra vagyunk kiv\'ancsiak, hogy h\'any olyan dob\'asid\H{o}pont
volt, (a 2., 3., \'es \'{\i}gy tov\'abb a 101. dob\'asid\H{o}pontok
k\"oz\"ott), amikor a dob\'as \'ert\'eke (szigor\'uan) nagyobb volt,
mint a megel\H{o}z\H{o} dob\'as \'ert\'eke. Sz\'am\'{\i}tsuk ki
az ilyen dob\'asid\H{o}pontok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{6.)} Mikor mondjuk, hogy h\'arom $A$, $B$ \'es $C$ esem\'eny
f\"uggetlen egym\'ast\'ol?
\bigskip
\centerline{MEGOLD\'ASOK}
\medskip
\item{1.)} Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy valaki egy h\'eten
\"ot\"os tal\'alatot \'er el, $\dfrac1{\binom{90}5}$, annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy nem \'er el \"ot\"os tal\'alatot
$1-\dfrac1{\binom{90}5}$, \'es mivel a lott\'ozok egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ulj\'atszanak, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az 1~000~000 lottoz\'o egyike sem \'er el \"ot\"os tal\'alatot egy
adott h\'eten $P=\(1-\dfrac1{\binom{90}5}\)^{1~000~000}$.
Tov\'abb\'a annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy 19 h\'eten
kereszt\"ul nincs \"ot\"os tal\'alat, a 20. h\'eten viszont van
$P^{19}(1-P)$. Ez\'ert a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$$
\(1-\dfrac1{\binom{90}5}\)^{19~000~000}
\(1-\(1-\dfrac1{\binom{90}5}\)^{1~000~000}\).
$$
\item{2.)} Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy az igazmond\'ok
v\'aros\'aba \'erkezt\"unk, $A_2$ hogy a hazugok, $A_3$, pedig, hogy a
figyelmetlenek v\'aros\'aba. Jel\"olje $B$ azt az esem\'enyt, hogy
k\'erd\'es\"unkre nemleges v\'alaszt kaptunk. Ekkor feltev\'eseink
szerint $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\frac13$, $P(B|A_1)=0.1$ (az
igazmond\'ok v\'aros\'aban hazudtak), $P(B|A_2)=0.2$ (a
hazugok v\'aros\'aban igazat mondtak), $P(A_3|B)=0.5$. Minket a
$P(A_1|B)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Ez
$$
\align
P(B|A_1)&=\frac{P(A_1\cap B)}{P(A_1)}=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}
{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)}\\
&=\frac{\frac13\cdot 0.1}{\frac13\cdot 0.1+\frac13\cdot 0.2
+\frac13\cdot 0.5}=\frac18.
\endalign
$$
\item{3.)} A keresett felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
megegyezik annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az egyik
dob\'as hatos a m\'asik dob\'as pedig p\'aros osztva annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy volt egy hatos dob\'as. Az,
hogy az egyik dob\'as hatos a m\'asik pedig p\'aros azt jelenti,
hogy a (2,6), (4,6), (6,6), (6,2), (6,4) dob\'asok valamelyike
k\"ovetkezik be, ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pedig $\frac5{36}$.
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy lesz hatos dob\'as a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pedig $\frac{11}{36}$. Ez p\'eld\'aul \'ugy
l\'athat\'o, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy nem lesz
hatos dob\'as $\frac56\cdot\frac56=\frac{25}{36}$, a komplementer
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pedig $\frac{11}{36}$. \'Igy a
keresett felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke
$\dfrac{\frac5{36}}{\frac{11}{36}}=\dfrac5{11}$.
\item{4.)} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, $1\le k\le 100$: $\xi_k=2$,
ha a $k$-ik kockadob\'as \'ert\'eke 2, $\xi_k=4$, ha a $k$-ik
kockadob\'as \'ert\'eke 4, $\xi_k=6$, ha a $k$-ik kockadob\'as
\'ert\'eke 6, $\xi_k=0$, ha a $k$-ik kockadob\'as \'ert\'eke 1, 3
vagy 5. Ekkor minket a $\xi=\summ_{k=1}^{100}\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete \'erdekel. Viszont $E\xi=\summ_{k=1}^{100}E\xi_k$
$\Var\xi=\summ_{k=1}^{100}\Var\xi_k$, $E\xi_k=\frac16(2+4+6)=2$, $\Var
\xi_k=E\xi_k^2-(E\xi_k)^2$, $E\xi_k^2=\frac16(4+16+36)=\frac{28}3$,
$\Var \xi_k={16}3$ minden $1\le k\le 100$ sz\'amra. Innen k\"ovetkezik,
hogy $E\xi=100\cdot2=200$, $\Var\xi=100\cdot\frac{16}3=\frac{1600}3$.
\item{5.)} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, $1\le k\le 100$: $\xi_k=1$,
ha a $k+1$-ik kockadob\'as \'ert\'eke nagyobb, mint a $k$-ik
kockadob\'as \'ert\'eke, $\xi_k=0$, ha a $k+1$-ik kockadob\'as
\'ert\'eke kisebb vagy egyenl\H{o}, mint a $k$-ik kockadob\'as
\'ert\'eke. Ekkor minket a $\xi=\summ_{k=1}^{100}\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke
\'erdekel. Viszont $E\xi=\summ_{k=1}^{100}E\xi_k$, $E\xi_k=P(\xi_k=1$,
\'es $P(\xi_k=\frac1{36}(5+4+3+2+1)=\frac5{12}$, (Ha a $k$-ik dob\'as
\'ert\'eke 1, akkor a $k+1$-ik dob\'as 5 \'ert\'eket vehet fel, ha
2 akkor 4-et, ha 3 akkor 3-at sit.) Ez\'ert a keresett v\'arhat\'o
\'ert\'ek $\frac{500}{12}=\frac{125}3$.
\item{6.)} Az $A$, $B$ \'es $C$ esem\'enyek akkor f\"uggetlenek,
ha a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agok mindegyike teljes\"ul:
$$
\align
P(A\cap B)&=P(A)P(B) \\
P(A\cap C)&=P(A)P(C) \\
P(B\cap C)&=P(B)P(C) \\
P(A\cap B\cap C)&=P(A)P(B)P(C).
\endalign
$$
 
 
 
\bye
