DOLGOZAT FELADATOK

(A programozó matematikus gyakorlaton)

1.) Legyen egy urnában 10 piros és 40 fehér golyó. Húzzunk ki az urnából 10 golyót visszatevés nélkül. Mi a kihízottt piros golyók számának a várható értéke és szórásnégyzete?

2.) Legyen ξ exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ paraméterrel, azaz legyen ξ eloszlásfüggvénye F (x) = 1 − e^{−λx}, ha x ≥ 0, F (x) = 0, ha x < 0. Számoljuk ki ξ^{3} sűrűségfüggvényét.

3.) Legyen ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [0, 1] intervallumban, azaz legyen sűrűségfüggvéye f(x) = 1, ha 0 ≤ x ≤ 1, f(x) = 0, ha x < 0 vagy x > 1. Számítsuk ki a ξ^{5} valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét.

4.) Legyen a ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{2π} (1 + \frac{1}{2} sin x), ha

0 ≤ x ≤ 2π, f(x) = 0, ha x < 0 vagy x > 2π. Számítsuk ki a ξ valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét.

5.) Egy szabályos dobókockát feldobunk 1200 alkalommal egymástól függetlenül, és összeadjuk a páros értékű dobások eredményét. Adjunk jó közelítő becslést a centrális határeloszlástétel és egy normális eloszlástáblázat segítségével arra, hogy ez az összeg 2280 és 2500 közé esik.

6.) Legyen adva n darab ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Mikor mondjuk, hogy ezek a ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók függetlenek egymástól?

MEGOLDÁSOK

1.) Vezessük be a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 10 valószínűségi változókat: ξ_{j} = 1, ha

a J-ik húzás piros ξ_{j} = 0, ha a j-ik húzás fehér. Ekkor minket az S = ∑_{j=1}^{10} ξ_{j}

valószínűségi változó várható értéke és szórásnégyzete érdekel. Jegyezzük meg, hogy Eξ_{j} = Eξ_{1} = \frac{1}{5}, Var ξ_{j} = Var ξ_{1} = \frac{1}{5} − (\frac{1}{5})^{2} = \frac{4}{25} minden 1 ≤ j ≤ 10 indexre, és Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k} = Eξ_{1}ξ_{2} − Eξ_{1}Eξ_{2} = \frac{1}{5} · \frac{9}{49} − (\frac{1}{5})^{2} = −\frac{4}{1225}

minden 1 ≤ j, k ≤ 10, j ≠ k indexre. Innen ES = ∑_{j=1}^{10} Eξ_{j} = 2, és Var S =

∑_{j=1}^{10} Var ξ_{j} + 2 ∑_{j=1}^{9} ∑_{k=j+1}^{10} Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = 10 · \frac{4}{25} − 90 · \frac{4}{1225} = \frac{64}{49}.

2.) Jelölje G(x) a ξ^{3} valószínűségi változó eloszlás és g(x) ξ^{3} sűrűségfüggvényét. Ekkor G(x) = P (ξ^{3} < x) = P (ξ < x^{1/3}) = F (x^{1/3}), ahol F (x) = 1 − e^{−λx}, ha x ≥ 0, F (x) = 0, ha x < 0. Ezért G(x) = 0, ha x < 0, G(x) = 1 − e^{−λx^{1/3}}. Mivel g(x) = \frac{dG(x)}{dx}, ezért g(x) = 0, ha x < 0, g(x) = \frac{1}{3}λx^{−2/3}e^{−λx^{1/3}}, ha x ≥ 0.

3.) Első megoldás: Eξ^{5} = ∫_{0}^{1} x^{5} dx = [\frac{x^{6}}{6} ]_{0}^{1} = \frac{1}{6}, és Var ξ^{5} = E(ξ^{5})^{2} − (Eξ^{5})^{2} = Eξ^{10} − (\frac{1}{6})^{2}, Eξ^{10} = ∫_{0}^{1} x^{10} dx = [\frac{x^{11}}{11} ]_{0}^{1} = \frac{1}{11}, ahonnan Var ξ^{5} = \frac{1}{11} − \frac{1}{36} = \frac{25}{396}.

Második megoldás: Számoljuk ki először az η = ξ^{5} valószínűségi változó g(x) sűrűségfüggvényét. G(x) = P (η < x) = P (ξ < x^{1/5}), G(x) = x^{1/5}, ha 0 ≤ x ≤ 1, és G(x) = 0, ha x < 0, G(x) = 1, ha x > 1. Innen g(x) = \frac{dG(x)}{dx}, g(x) = \frac{1}{5}x^{−4/5}, ha 0 ≤ x ≤ 1, g(x) = 0, ha x < 0 vagy x > 1. Ezért Eξ^{5} = Eη = ∫_{0}^{1} x · \frac{1}{5}x^{−4/5} dx = \frac{1}{5} [\frac{5}{6}x^{6/5}]_{0}^{1} = \frac{1}{6}, Var ξ^{5} = Var η = Eη^{2} − (Eη)^{2} = ∫_{0}^{1} x^{2} · \frac{1}{5}x^{−4/5} dx − (\frac{1}{6})^{2} =

\frac{1}{5} [\frac{5}{11}x^{11/5}]_{0}^{1} = \frac{1}{11} − \frac{1}{36} = \frac{25}{396}. 4.) Tudjuk, hogy

Eξ = ∫_{0}^{2π} x\frac{1}{2π} (1 + \frac{1}{2} sin x) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} x dx + \frac{1}{4π} ∫_{0}^{2π} x sin x dx,

Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ)^{2}, és

Eξ^{2} = ∫_{0}^{2π} x^{2} \frac{1}{2π} (1 + \frac{1}{2} sin x) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} x^{2} dx + \frac{1}{4π} ∫_{0}^{2π} x^{2} sin x dx.

Továbbá \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} x dx = \frac{1}{2π} \frac{(2π)^{2}}{2} = π, és \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} x^{2} dx = \frac{1}{2π} \frac{(2π)^{3}}{3} = \frac{4}{3}π^{2},. Parciális integrálással (x sin x = −x\frac{d}{dx} cos x szereposztással) kapjuk, hogy

\frac{1}{4π} ∫_{0}^{2π} x sin x dx = \frac{1}{4π} [−x cos x]_{0}^{2π} + \frac{1}{4π} ∫_{0}^{2π} cos x dx

= \frac{1}{4π} (−2π + [sin x]_{0}^{2π}) = −\frac{1}{2}.

Hasonlóan, kétszeres parciális integrálás adja, hogy

\frac{1}{4π} ∫_{0}^{2π} x^{2} sin x dx = \frac{1}{4π} [−x^{2} cos x]_{0}^{2π} + \frac{1}{4π} ∫_{0}^{2π} 2x cos x dx

= −π + \frac{1}{4π} [2x sin x]_{0}^{2π} − \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} sin x dx = −π + \frac{1}{4π} [2x sin x]_{0}^{2π} = −π.

Innen Eξ = π − \frac{1}{2}, Eξ^{2} = \frac{4}{3}π^{2} − π, Var ξ = \frac{4}{3}π^{2} − π − (π − \frac{1}{2})^{2} = \frac{π^{2}}{3} − \frac{1}{4}. 5.) Vezessük be a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 1200, valószínűségi változókat: ξ_{j} = 2, ha

a J-ik dobás értéke 2, ξ_{j} = 4, ha a J-ik dobás értéke 4, ξ_{j} = 6, ha a J-ik dobás értéke 6, ξ_{j} = 0, ha a J-ik dobás értéke 1, 3 vagy 5. Ekkor a ξ_{j} valószínűségi

változók függetlenek és egyforma eloszlásúak, és az S = ∑_{j=1}^{1200} ξ_{j} jelöléssel minket a

P (2280 < S < 2500) valószínűség érdekel. Továbbá, Eξ_{j} = \frac{1}{6}(2+4+6) = 2, Eξ_{j}^{2} = \frac{1}{6}(2^{2} + 4^{2} + 6^{2}) = \frac{28}{3}, Var ξ_{j} = Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2} = \frac{1}{6}3, ahonnan ES = 2400, Var S = 1200 · \frac{16}{3} = (80)^{2}. Innen P (2280 < S < 2500) = P (−1.5 < \frac{S−ES}{\sqrt{S}} < 1.25), és a centrális határeloszlástétel szerint P (−1.5 < \frac{S−ES}{\sqrt{S}} < 1.25) ∼ Φ(1.25) − Φ(−1.5) = Φ(1.5) + Φ(1.25) − 1 ∼ 0.8944 + 0.933 − 1 = 0.8276. A keresett valószínűség tehát körülbelül 0.83.

6.) Valószínűségi változók függetlenségének a definiciója. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Azt mondjuk, hogy ezek a valószínűségi változók függetlenek, ha minden x_{1}, …, x_{n} valós számra

P (ξ_{1} < x_{1}, …, ξ_{n} < x_{n}) = P (ξ_{1} < x_{1}) ⋯ P (ξ_{n} < x_{n}).

Elfogadtam a következő választ is, mert a valószínűségszámítás bizonyos eredményei szerint ez ekvivalens az eredeti definicióval.

A ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók akkor függetlenek, ha a számegyenes minden B_{1}, …, B_{n} Borel mérhető részhalmazára teljesül a

P (ξ_{1} ∈ B_{1}, …, ξ_{n} ∈ B_{n}) = P (ξ_{1} ∈ B_{1}) ⋯ P (ξ_{n} ∈ B_{n})

azonosság.