\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\TagsOnRight
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A december 16.-i gyakorlat t\'em\'aja}
 
\medskip\noindent
\item{1.)} Egy p\'enzdarabr\'ol ellen\H{o}rizni akarjuk, hogy igaz-e
az a hipot\'ezis, amely szerint ez az \'erme legal\'abb $\frac34$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej \'es legfeljebb $\frac14$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldal\'ara. Ennek
\'erdek\'eben feldobjuk a p\'enzdarabot 30~000 alkalommal, \'es a
k\"ovetkez\H{o} d\"ont\'esi szab\'alyt hozzuk. V\'alasztunk egy $k$
sz\'amot, \'es akkor fogadjuk el a hipot\'ezist helyesnek, ha
legal\'abb $k$ fejdob\'as t\"ort\'ent. Legal\'abb mekkor\'anak kell
v\'alassztanunk ezt a $k$ sz\'amot, ha azt akarjuk, hogy egy a
hipot\'ezist teljes\'{\i}t\H{o} p\'enzdarab eset\'en legal\'abb 0.9
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel d\"onts\"unk \'ugy, hogy a hipot\'ezis
teljes\"ul?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye
\'{\i}r\'as, $1\le j\le30\,000$,
$S=S_{30000}=\summ_{j=1}^{30\,000}\xi_j$. Ha a fejdob\'as
eredm\'eny\'enek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pontosan
$\dfrac34$, $E\xi_j=\dfrac34$, $E\xi_j^2=\dfrac34$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-\(E\xi_j\)^2=\dfrac3{16}$,
$ES=30\,000E\xi_j=22\,500$, $\Var S=30\,000\Var\xi_j=5625=75^2$.
Innen \'es a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l,
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(S>k)&=P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}>\frac{k-22\,500}{75}\)
=1-P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}\le \frac{k-22\,500}{75}\)\\
&\sim 1-\Phi\(\frac{k-22\,500}{75}\).
\endalign
$$
V\'alasszuk a $k$ sz\'amot \'ugy, hogy a fenti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"or\"ulbel\"ul 0.9 legyen. Ekkor a
$\Phi\(\dfrac{k-22\,500}{75}\)=0.1$ vagy ami ezzel ekvivalens,
a $\Phi\(\dfrac{22\,500-k}{75}\)=0.9$ egyenletet kell
kiel\'eg\'{\i}ten\"unk. A norm\'alis eloszl\'as-t\'abl\'azat alapj\'an
$\dfrac{22\,500-k}{75}\sim1.28$, ami azt jelenti, hogy
$k=22\,500-75\times 1.28$ \'es $p=\dfrac34$ eset\'en annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a fejdob\'asok sz\'ama nagyobb mint
$k=22\,500-75\times 1.28=22\,212$ \'es $p=\dfrac34$ eset\'eben annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb ennyi fejdob\'as
t\"ort\'enik k\"or\"ulbel\"ul 0.9. Ha $p\ge\dfrac34$, akkor ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nagyobb. Ez\'ert a $k=22\,212$ helyes
v\'alaszt\'as.
 
\medskip
Megt\'argyalunk egy fontos diszkr\'et eloszl\'ast, amellyel
id\H{o}hi\'any miatt nem foglalkoztunk.
\medskip\noindent
{\bf Poisson eloszl\'as definici\'oja.}  {\it Egy
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$
pa\-ra\-m\'e\-te\-r\H{u} Poisson eloszl\'as\'u, ha $\xi$
nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel, \'es
$$
P(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \quad k=0,1,2,\dots
$$
}\medskip
\item{2.)} L\'assuk be, hogy az el\H{o}z\H{o} definici\'oban val\'oban
egy eloszl\'ast defini\'altunk.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$P(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\ge0$ minden
$k=0,1,2,\dots$ sz\'amra. Azt kell m\'eg megmutatni, hogy
$ \summ_{k=0}^\infty P(\xi=k)=1$. Viszont
$$
\sum_{k=0}^\infty P(\xi=k)=\sum_{k=0}^\infty
\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty
\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda} e^\lambda=1.
$$
\item{3.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, $\lambda$
illetve $\mu$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor $\xi+\eta$ $\lambda+\mu$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
P(\xi+\eta=k)&=\sum_{j=0}^kP(\xi=j,\eta=k-j)=
\sum_{j=0}^kP(\xi=j)P(\eta=k-j) \\
&=\sum_{j=0}^k \frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}
\frac{\mu^{k-j}}{(k-j)!}e^{-\mu}=
\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}
\sum_{j=0}^k \frac{k!}{j!(k-j)!} \lambda^j \mu^{(k-j)} \\
&=\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}(\lambda+\mu)^k.
\endalign
$$
\item{4.)} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen
$\xi$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$f(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, \'es legyen $t$ val\'os
sz\'am. Sz\'amoljuk ki az $e^{t\xi}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
E e^{t\xi}&=\int_{-\infty}^\infty
e^{tu}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du
=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{tu-u^2/2-t^2/2+t^2/2}\,du \\
&=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(t-u)^2/2}\,du=e^{t^2/2}.
\endalign
$$
 
\centerline{\bf DOLGOZAT FELADATOK}
\smallskip\centerline {(\it A programoz\'o matematikus
gyakorlaton)}
\medskip
\item{1.)} Legyen egy urn\'aban 10 piros \'es 40 feh\'er goly\'o.
H\'uzzunk ki az urn\'ab\'ol 10 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. Mi
a kih\'{\i}zottt piros goly\'ok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke
\'es sz\'or\'asn\'egyzete?
\item{2.)} Legyen $\xi$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$ param\'eterrel,
azaz legyen $\xi$ eloszl\'asf\"uggv\'enye $F(x)=1-e^{-\lambda x}$,
ha $x\ge0$, $F(x)=0$, ha $x<0$.  Sz\'amoljuk ki
$\xi^3$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{3.)} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[0,1]$ intervallumban, azaz
legyen s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eye $f(x)=1$, ha $0\le x\le1$,
$f(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>1$.
Sz\'a\-m\'{\i}t\-suk ki  a $\xi^5$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{4.)} Legyen a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\dfrac1{2\pi}\(1+\dfrac12\sin
x\)$, ha $0\le x\le 2\pi$, $f(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>2\pi$.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki  a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{5.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 1200 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszeadjuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy ez az \"osszeg 2280 \'es 2500 k\"oz\'e esik.
\item{6.)} Legyen adva $n$ darab $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Mikor mondjuk, hogy ezek a
$\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"ug\-get\-le\-nek egym\'ast\'ol?
\medskip
\centerline{MEGOLD\'ASOK}
\item{1.)}Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le10$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $J$-ik
h\'uz\'as piros $\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as feh\'er. Ekkor minket
az $S=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete
\'erdekel. Jegyezz\"uk meg, hogy $E\xi_j=E\xi_1=\frac15$,
$\Var\xi_j=\Var\xi_1=\frac15-\(\frac15\)^2=\frac4{25}$ minden $1\le
j\le10$ indexre, \'es $\Cov(\xi_j,\xi_k)=E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=
E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2=\frac15\cdot\frac9{49}-\(\frac15\)^2
=-\frac4{1225}$ minden $1\le j,k\le10$, $j\neq k$ indexre. Innen
$ES=\summ_{j=1}^{10}E\xi_j=2$, \'es $\Var S=
\summ_{j=1}^{10}\Var\xi_j+2\summ_{j=1}^9\summ_{k=j+1}^{10
}\Cov(\xi_j,\xi_k)=10\cdot
\frac4{25}-90\cdot\frac4{1225}=\frac{64}{49}$.
\item{2.)} Jel\"olje $G(x)$ a $\xi^3$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as \'es $g(x)$ $\xi^3$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Ekkor $G(x)=P(\xi^3<x)
=P(\xi<x^{1/3})=F(x^{1/3})$, ahol $F(x)=1-e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$,
$F(x)=0$, ha $x<0$. Ez\'ert $G(x)=0$, ha $x<0$, $G(x)=1-e^{-\lambda
x^{1/3}}$. Mivel $g(x)=\frac{dG(x)}{dx}$, ez\'ert $g(x)=0$, ha $x<0$,
$g(x)=\frac13\lambda x^{-2/3}e^{-\lambda x^{1/3}}$, ha $x\ge0$.
\item{3.)} {\it Els\H{o} megold\'as:}\/ $E\xi^5=\int_0^1
x^5\,dx=\[\frac{x^6}6\]_0^1=\frac16$, \'es $\Var
\xi^5=E(\xi^5)^2-(E\xi^5)^2=E\xi^{10}-\(\frac16\)^2$,
$E\xi^{10}=\int_0^1x^{10}\,dx=\[\frac{x^{11}}{11}\]_0^1=\frac1{11}$,
ahonnan $\Var\xi^5=\frac1{11}-\frac1{36}=\frac{25 }{396}$.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as:}\/ Sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or az
$\eta=\xi^5$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
$G(x)=P(\eta<x)=P(\xi<x^{1/5})$, $G(x)=x^{1/5}$, ha $0\le x\le1$, \'es
$G(x)=0$, ha $x<0$, $G(x)=1$, ha $x>1$. Innen $g(x)=\frac{dG(x)}{dx}$,
$g(x)=\frac15x^{-4/5}$, ha $0\le x\le 1$, $g(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>1$.
Ez\'ert $E\xi^5=E\eta=\int_0^1 x\cdot
\frac15x^{-4/5}\,dx=\frac15\[\frac56x^{6/5}\]_0^1=\frac16$,
$\Var\xi^5=\Var\eta=E\eta^2-(E\eta)^2=\int_0^1
x^2\cdot\frac15x^{-4/5}\,dx-\(\frac16\)^2
=\frac15\[\frac5{11}x^{11/5}\]_0^1=\frac1{11}-\frac1{36}=\frac{25}{396}$.
\item{4.)} Tudjuk, hogy
$$
E\xi=\int_0^{2\pi} x\dfrac1{2\pi}\(1+\dfrac12\sin x\)
=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} x\,dx+\frac1{4\pi}\int_0^{2\pi} x\sin x\,dx,
$$
$\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2$, \'es
$$
E\xi^2=\int_0^{2\pi} x^2\dfrac1{2\pi}\(1+\dfrac12\sin x\)
=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} x^2\,dx+\frac1{4\pi}\int_0^{2\pi} x^2\sin
x\,dx.
$$
Tov\'abb\'a $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} x\,dx=
\frac1{2\pi}\frac{(2\pi)^2}2=\pi$, \'es $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}
x^2\,dx= \frac1{2\pi}\frac{(2\pi)^3}3=\frac43\pi^2$,\. Parci\'alis
integr\'al\'assal ($x\sin x=-x\frac d{dx}\cos x$ szereposzt\'assal)
kapjuk, hogy
$$
\align
\frac1{4\pi}\int_0^{2\pi} x\sin x\,dx&=
\frac1{4\pi}\[-x\cos x\]_0^{2\pi}+
\frac1{4\pi}\int_0^{2\pi} \cos x\,dx\\
&=\frac1{4\pi}\(-2\pi+\[\sin x\]_0^{2\pi}\)=-\frac12.
\endalign
$$
Hasonl\'oan, k\'etszeres parci\'alis integr\'al\'as adja, hogy
$$
\align
&\frac1{4\pi}\int_0^{2\pi} x^2\sin x\,dx=
\frac1{4\pi}\[-x^2\cos x\]_0^{2\pi}+
\frac1{4\pi}\int_0^{2\pi} 2x\cos x\,dx\\
&\qquad=-\pi+\frac1{4\pi}\[2x\sin x\]_0^{2\pi}
-\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin x\,dx=-\pi+\frac1{4\pi}\[2x\sin
x\]_0^{2\pi}=-\pi.
\endalign
$$
Innen $E\xi=\pi-\frac12$, $E\xi^2=\frac43\pi^2-\pi$, $\Var\xi=
\frac43\pi^2-\pi-(\pi-\frac12)^2=\frac{\pi^2}3-\frac14$.
\item{5.)} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le 1200$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$, ha a $J$-ik
dob\'as \'ert\'eke 2, $\xi_j=4$, ha a $J$-ik dob\'as \'ert\'eke 4,
$\xi_j=6$, ha a $J$-ik dob\'as \'ert\'eke 6, $\xi_j=0$, ha a $J$-ik
dob\'as \'ert\'eke 1, 3 vagy 5. Ekkor a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es egyforma
eloszl\'as\'uak, \'es az $S=\summ_{j=1}^{1200}\xi_j$ jel\"ol\'essel
minket a $P(2280<S<2500)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Tov\'abb\'a, $E\xi_j=\frac16(2+4+6)=2$,
$E\xi_j^2=\frac16(2^2+4^2+6^2)=\frac{28}3$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\frac163$, ahonnan $ES=2400$, $\Var S=
1200\cdot\frac{16}3=(80)^2$. Innen
$P(2280<S<2500)=P(-1.5<\frac{S-ES}{\sqrt S}<1.25)$, \'es a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel szerint $P(-1.5<\frac{S-ES}{\sqrt S}<1.25)
\sim \Phi(1.25)-\Phi(-1.5)=\Phi(1.5)+\Phi(1.25)-1\sim0.8944+0.933-1
=0.8276$. A keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg teh\'at
k\"or\"ulbel\"ul 0.83.
 
\item{6.)} {\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'eg\'enek a definici\'oja.} {\it Legyenek
$\xi_1,\,\dots,\xi_n$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Azt mondjuk, hogy ezek a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
ha minden $x_1,\dots,x_n$ val\'os sz\'amra
$$
P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_n<x_n)=P(\xi_1<x_1)\cdots P(\xi_n<x_n).
$$
}\medskip
\item{}
Elfogadtam a k\"ovetkez\H{o} v\'alaszt is, mert a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as bizonyos ered\-m\'e\-nyei
szerint ez ekvivalens az eredeti definici\'oval.
\medskip
\item{} {\it A $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok akkor f\"uggetlenek, ha a sz\'amegyenes minden
$B_1,\dots,B_n$ Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaz\'ara teljes\"ul a
$$
P(\xi_1\in B_1,\dots,\xi_n\in B_n)=
P(\xi_1\in B_1)\cdots P(\xi_n\in B_n)
$$
azonoss\'ag.}
 
 
 
 
 
\bye
 
\medskip
A matematikai statisztika egyik fontos feladata az \'ugynevezett
konfidencia (meg\-b\'{\i}z\-ha\-t\'o\-s\'a\-gi) intervallum megad\'asa.
Miut\'an megbecs\"ul\"unk egy ismeretlen param\'etert valamilyen
minta alapj\'an (p\'eld\'aul l\'amp\'ak \'elettartalm\'at annak
alapj\'an, hogy bizonyos kis\'erleti l\'amp\'ak mennyi ideig \'egnek)
term\'eszetes annak a vizsg\'alata, hogy az adott becsl\'es mennyire
j\'o. Ennek az egyik lehets\'eges \'es legink\'abb elfogadott m\'odja
 
 
 
 
 
 
