\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\TagsOnRight
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A m\'arcius 4.-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai.}  \medskip\noindent
{\it Feladatok:}
\medskip
L\'attuk, hogyan lehet egyszer\H{u}en kisz\'am\'{\i}tani a $A_1\cup
\cdots\cup A_n$ alak\'u esem\'enyek  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et,
ha az $A_j$, $1\le j\le n$, esem\'enyek f\"uggetlenek. Ezek a
sz\'amol\'asok term\'eszetesen kihaszn\'alt\'ak a tekintett
esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'et. A k\"ovetkez\H{o}ben azt
t\'argyaljuk meg, hogy amennyiben nincs felt\'etlen\"ul
f\"uggetlens\'eg a tekintett esem\'enyek k\"oz\"ott, de ki tudjuk
sz\'amolni az $A_{j_1}\cap \cdots\cap A_{j_s}$ alak\'u esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, akkor egy \'ugynevezett szita formula
seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki tudjuk sz\'am\'{\i}tani az $A_1\cup
\cdots\cup A_n$ esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et is.
Tov\'abb\'a megmutatjuk, hogy ez lehet\H{o}v\'e teszi \'erdekes
feladatok megold\'as\'at. A k\"ovetkez\H{o} feladatot fogjuk
t\'argyalni: \medskip
\item{1.} Egy est\'elyen megjelenik $n$ h\'azasp\'ar. Egy
t\'ancmester, aki nem tudja, hogy kik h\'azast\'arsak \'es kik nem
v\'eletlen m\'odon p\'arba rendezi a f\'erfiakat \'es n\H{o}ket
a t\'anc el\H{o}tt. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
egyetlen h\'azasp\'ar sem t\'ancol egy\"utt? Mi ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek a hat\'ar\'ert\'eke, ha $n\to\infty$?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $A_j$
esem\'enyeket:
$$
A_j=\text{a $j$-ik h\'azasp\'ar eg\"utt t\'ancol,}\quad 1\le j\le n.
$$
Ekkor minket a $P(\overline{A_1\cup\dots\cup A_{n}})=
1-P(A_1\cup\dots\cup A_{n})$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Vegy\"uk \'eszre, hogy a $P(A_{j_1}\cap \cdots
\cap A_{j_k})=\dfrac{(n-k)!}{n!}$ azonoss\'ag igaz. Ugyanis az
\"osszes lehets\'eges p\'arba\'all\'{\i}t\'asok sz\'ama $n!$,
m\'{\i}g az olyan p\'arba\'all\'{\i}t\'asok sz\'ama, amelyben a
$j_1$-ik, $j_2$-ik, \dots, $j_k$-ik h\'azasp\'ar egy p\'arba ker\"ul
$(n-k)!$.  Tov\'abb\'a \'erv\'enyes a k\"ovetkez\H{o} az irodalomban
szita-formul\'anak nevezett eredm\'eny, amelyet k\"ul\"on fogunk
t\'argyalni.
\medskip\noindent
{\bf Szita formula.} {\it Legyenek $A_1,\dots,A_n$ tetsz\H{o}leges
esem\'enyek egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Ekkor
$$
P(A_1\cup \cdots\cup A_n)=S_1-S_2+S_3-\cdots +(-1)^{n+1}S_n,
$$
ahol
$$
S_k=\sum_{1\le j_1<\cdots<j_k\le n} P(A_{j_1}\cap \cdots\cap  A_{j_k}).
$$
}\medskip
\item{} A szita-formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapjuk, hogy $n$
h\'azasp\'ar eset\'eben
$$
S_k=\dbinom nk\dfrac{(n-k)!}{n!}=\dfrac1{k!}.
$$
Innen ad\'odik, hogy a minket \'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$n$ h\'azasp\'ar eset\'en
$$
\align
P(\overline{A_1\cup \dots\cup A_{n}})&=1-P(A_1\cup\dots\cup A_{n}) \\
&=1-S_1+S_2+\cdots+(-1)^n S_n=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!},
\endalign
$$
\'es ez\'ert
$$
P(\overline{A_1\cup \dots\cup A_{n}})
=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}\to \frac1e\quad \text{ ha } n\to\infty.
$$
\medskip
\item{2.}  Legyenek  $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen, diszkr\'et
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n,
amelyek valamilyen $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesznek fel. Legyenek
$A_1\subset \{x_1,x_2,\dots\},A_2\subset \{x_1,x_2,\dots\},\dots,
A_k\subset \{x_1,x_2,\dots\}$ tetsz\H{o}leges halmazok. Ekkor
$$
P\(\xi_1\in A_1,\xi_2\in A_2,\dots,\xi_k\in A_k\)=
P\(\xi_1\in A_1\)P\(\xi_2\in A_2\)\cdots P\(\xi_k\in A_k\).
$$
Tov\'abb\'a mutassuk meg, hogy tetsz\H{o}leges $\{j_1,\dots,
j_s\}\subset\{1,\dots,k\}$ indexhalmazra a $\xi_{j_1},\dots,\xi_{j_s}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A f\"uggetlens\'eg miatt
$$
\align
&P\(\xi_1\in A_1,\xi_2\in A_2,\dots,\xi_k\in A_k\)\\
&\qquad=\summ_{x_1\in A_1}\summ_{x_2\in A_2}\cdots\summ_{x_k\in A_k}
P\(\xi_1=x_1,\xi_2= x_2,\dots,\xi_k=x_k\)\\
&\qquad=\summ_{x_1\in A_1}\summ_{x_2\in A_2}\cdots\summ_{x_k\in A_k}
P\(\xi_1=x_1)P(\xi_2=x_2)\cdots P(\xi_k=x_k\).
\endalign
$$
M\'asr\'eszt
$$
\align
&P\(\xi_1\in A_1\)P\(\xi_2\in A_2\)\cdots P\(\xi_k\in A_k\)\\
&\qquad=\summ_{x_1\in A_1} P\(\xi_1=x_1\) \summ_{x_2\in A_2}
P\(\xi_2=x_2\) \cdots\summ_{x_k\in A_k} P\(\xi_k=x_k\).
\endalign
$$
Elv\'egezve a beszorz\'asokat kapjuk a feladat els\H{o}
\'all\'{\i}t\'as\'at.
\item{} A m\'asodik \'all\'{\i}t\'ast megkapjuk az els\H{o} speci\'alis
esetek\'ent $A_{j_u}=\{x_{j_u}\}$, $1\le u\le s$ \'es
$A_j=\{x_1,x_2,\dots\}$, $u\in \{1,\dots,k\}\setminus \{j_1,\dots,
j_s\}$ v\'alaszt\'assal.
\medskip \noindent
A k\"ovetkez\H{o} feladat megfogalmaz\'asa el\H{o}tt felid\'ezz\"uk az
al\'abbi definici\'ot. \medskip \noindent
{\bf Halmaz indik\'atorf\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it
Legyen adva egy $A\in \Cal A$ esem\'eny egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Az $A$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'eny\'en azt a $\chi_A(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot \'ertj\"uk, amelyre
$\chi_A(\oo)=1$, ha $\oo\in A$, \'es $\chi_A(\oo)=0$, ha $\oo\notin
A$.} \medskip
\item{3.}  Legyenek  $A_1$,\dots, $A_k$ esem\'enyek egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n.
Az $A_1,\dots,A_k$ esem\'enyek akkor \'es csak akkor f\"uggetlenek,
ha azok $\chi_{A_1}(\oo),\dots,\chi_{A_k}(\oo)$
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nyei f\"uggetlenek.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ha a $\chi_{A_1}(\oo),\dots,\chi_{A_k}(\oo)$
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nyek f\"uggetlenek, akkor ezek
tetsz\H{o}leges r\'eszhalmaza is f\"uggetlen az el\H{o}z\H{o} feladat
eredm\'enye szerint. Ez\'ert minden $\{j_1,\dots,j_s\}
\subset\{1,\dots,k\}$ indexhalmazra
$$
\align
P\(A_{j_1}\cap\cdots\cap
A_{j_s}\)&=P\(\chi_{A_{j_1}}=1,\dots,\chi_{A_{j_s}}=1\)\\
&=P\(\chi_{A_{j_1}}=1\)\cdots P\(\chi_{A_{j_s}}=1\)=P\(A_{j_1}\)\cdots
P\(A_{j_s}\).
\endalign
$$
\item{} Ha az $A_1,\dots, A_k$ esem\'enyek f\"uggetlenek, akkor egyes
$A_j$ esem\'enyeket azok komplementer\'evel helyettes\'{\i}tve ism\'et
f\"uggetlen esem\'enyeket kapunk. Fel\'{\i}rva az \"osszes ilyen
rel\'aci\'ot, megkapjuk azokat az azonoss\'agokat, amelyek a
$\chi_{A_1}(\oo),\dots,\chi_{A_k}(\oo)$
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nyek f\"uggetlens\'eg\'et jelentik.
\medskip
\item{4.} V\'eletlen\"ul megh\'{\i}vunk 30 embert. Tegy\"uk fel, hogy
az egyes embereknek egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul van
sz\"ulet\'esnapjuk, \'es minden ember eset\'eben $\dfrac1{365}$ annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy az \'ev valamely napj\'an
sz\"uletett. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van k\'et
ember a t\'arsas\'agban, akiknek ugyanaznap van a sz\"ulet\'esnapjuk?
\item{} \'Altal\'anosabban, van $n$ urna, amelyekbe bedobunk
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $k$ goly\'ot \'ugy, hogy mindegyik
goly\'o egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik az egyes urn\'akba.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van olyan urna amelybe
legal\'abb k\'et goly\'o esik? \'Erdekel minket tov\'abb\'a ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek a viselked\'ese, ha mind az $n$ mind a
$k$ sz\'am nagy, \'es a $k=k(n)$ sz\'amnak megfelel\H{o} a
nagys\'agrendje. L\'assuk be, hogy a fenti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek van hat\'ar\'ert\'eke,
ha $n\to \infty$, $\dfrac k{\sqrt n}\to\alpha$ valamilyen
$0\le \alpha<\infty$ sz\'ammal, \'es hat\'arozzuk meg ezt a
hat\'ar\'ert\'eket.
\item{}{\it Megold\'as:} Jel\"olje $\xi_j$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, hogy a $j$-ik embernek az
\'ev hanyadik napj\'an van a sz\"ulet\'esnapja. Ekkor
a $\xi_j$, $1\le j\le 30$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, $P\(\xi_j=l\)=\dfrac1{365}$, $1\le j\le 30$, $1\le l\le
365$, \'es $P(\xi_j\neq \xi_j'\;\text{ha }j\neq j')$
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mindenkinek
k\"ul\"onb\"oz\H{o} nap van a sz\"ulet\'esnapja.
Ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg viszont
$$
\dfrac{365\cdot 364\cdots(365-30+1)}{365^k}
=\prod_{j=1}^{29}\(1-\dfrac j{365}\),
$$
mert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}l\'ege, hogy az els\H{o} ember
sz\"ulet\'esnapja az $l_1$-ik, a m\'asodik\'e az $l_2$-ik \'es
\'{\i}gy tov\'abb a $k$-ik ember sz\"ulet\'esnapja az $l_k$-ik napon
van $\dfrac1{365^k}$, tetsz\H{o}leges $1\le l_j\le 365$, $1\le j\le 30$
sz\'amok eset\'en, \'es ezeket a sz\'amokat $\prodd_{j=0}^{k-1}(365-j)$
m\'odon v\'alaszthatjuk \'ugy, hogy mindegyik $l_j$ sz\'am
k\"ul\"onb\"oz\H{o} legyen. \'Igy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy van k\'et ember akinek ugyanazon a napon van a sz\"ulet\'esnapja
$1-\prodd_{j=1}^{29}\(1-\dfrac j{365}\)$.
\item{} Hasonl\'oan, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ha $k$
goly\'ot dobunk $n$ urn\'aba az adott m\'odon, akkor van olyan urna,
amelyikbe legal\'abb k\'et goly\'o esik $1-\prodd_{j=1}^{k-1}\(1-\dfrac
jn\)$. Adjunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\'est a
$\log\prodd_{j=1}^{k-1}\(1-\dfrac jn\)=\summ_{j=1}^{k-1}\log\(1-\dfrac
jn\)$ kifejez\'esre, ha $n\to\infty$, $\dfrac{k(n)}{\sqrt n}\to\alpha$.
Heurisztikus \'ervel\'es szerint mivel $\log\(1-\dfrac jn\)\sim-\dfrac
jn$ a $\log(1+x)$ f\"uggv\'eny Taylor sorfejt\'ese szerint, ez\'ert
$\summ_{j=1}^{k-1}\log\(1-\dfrac jn\)\sim -\summ_{j=1}^{k-1}\dfrac
jn=-\dfrac{(k-1)k}{2n}$, ahonnan $\log\prodd_{j=1}^{k(n)-1}\(1-\dfrac
jn\)\to-\dfrac{\alpha^2}2$, ha $n\to\infty$, \'es $\dfrac
{k(n)}{\sqrt n}\to\alpha$. Ez a sz\'amol\'as precizz\'e tehet\H{o}, ha
felhaszn\'aljuk p\'eld\'aul azt az egyenl\H{o}tlens\'eget, amely
szerint
$$
\left|\log\(1-\dfrac jn\)+\dfrac jn\right|\le
\dfrac{2j^2}{n^2}\le\frac{\const}n,\quad\text{ha
} n \text{ el\'eg nagy \'es }\dfrac j{\sqrt n}\le\alpha+1,
$$
ami szint\'en k\"ovetkezik a $\log(1+x)$ Taylor sorfejt\'es\'eb\H{o}l.
Mi\'ert? Innen kapjuk, hogy $1-\prodd_{j=1}^{k(n)-1}\(1-\dfrac jn\)\to
1-e^{-\alpha^2/2}$, ha $n\to\infty$, \'es $\dfrac {k(n)}{\sqrt n}
\to\alpha$.
\medskip
\item{5.} Egy urn\'aban $F$ feh\'er \'es $P$ piros goly\'o van.
Kih\'uzunk v\'eletlen\"ul egy goly\'ot, majd visszadobunk $R$, $R\ge0$
ugyanolyan sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot az urn\'aba. Minden h\'uz\'as
sor\'an a kor\'abbiakt\'ol f\"uggetlen\"ul az urn\'aban lev\H{o} egyes
goly\'okat egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel h\'uzzuk ki. L\'assuk
be, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik
h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk megegyezik annak
 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} h\'uz\'asban
h\'uzunk piros goly\'ot. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
$j$-ik \'es $k$-ik h\'uz\'asban h\'uzunk piros goly\'ot, $j\neq k$,
megegyezik annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy
az els\H{o} \'es m\'asodik h\'uz\'asban h\'uzok piros goly\'ot.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy egy olyan
h\'uz\'assorozatnak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, amely $N$ piros \'es
$M$ feh\'er goly\'ot tartalmaz csak az $N$ \'es $M$ sz\'amt\'ol f\"ugg,
nem f\"ugg a k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'{\i}n\H{u} goly\'ok
h\'uz\'as\'anak a sorrendj\'et\H{o}l. Val\'oban, egy ilyen
h\'uz\'assorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et fel tudjuk \'{\i}rni. Ez
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(N,M)&=\dfrac{P (P+R-1)\cdots (P+(N-1)(R-1))}
{\prodd_{k=0}^{N+M-1} (P+P-k(R-1))}\\
&\qquad\qquad\cdot  F(F+R-1)\cdots (F+(M-1)(R-1))
\endalign
$$
(Mi\'ert?), \'es innen k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as. Innen
l\'athat\'o, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan
$N$ piros \'es $M$ feh\'er goly\'ot h\'uzunk \'es az els\H{o}
h\'uz\'as eredm\'enye piros megegyezik annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy pontosan $N$ piros \'es $M$
feh\'er goly\'ot h\'uzunk \'es a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros.
Ugyanis mind a k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$$
\dbinom{N+M-1}M P(N,M).
$$
Innen k\"ovetkezik,
hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} h\'uz\'as
piros megegyezik annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy a $j$-ik
h\'uz\'as piros. Hasonl\'oan l\'athat\'o, hogy annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik \'es $k$-ik h\'uz\'as piros
megegyezik annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o}
\'es a m\'asodik h\'uz\'as eredm\'enye piros. Ezut\'an a keresett
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge\-ket k\"onnyen
kisz\'am\'{\i}thatjuk. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik
h\'uz\'as piros $\dfrac P{P+F}$, \'es
$\dfrac{P(P+R-1)}{(F+P)(F+P+R-1)}$ annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a $j$-ik \'es $k$-ik h\'uz\'as piros, $j\neq k$,
\medskip
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ A most vizs\'alt modell $R=0$ eset\'en a
visszatev\'es n\'elk\"uli, $R=1$ eset\'en a visszatev\'eses urnamodellt
adja mint speci\'alis esetet.
\medskip
\item{6.} Egy urn\'aban $z$ z\"old \'es $s$ s\'arga goly\'o van.
Egym\'as ut\'an kih\'uzunk n\'egy goly\'ot \'ugy, hogy minden h\'uz\'as
ut\'an a goly\'ot visszadobjuk az urn\'aba, \'es vele egy\"utt az
urn\'aba dobunk 2 ellenkez\H{o} sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egy z\"old, z\"old, z\"old, s\'arga
h\'uz\'assorozatnak?
\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/  Sz\'amoljuk ki annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'es\'eg\'et, hogy az els\H{o}
h\'uz\'as eredm\'enye $Z$=(z\"old), annak felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a m\'asodik h\'uz\'as $Z$,
felt\'eve, hogy az els\H{o} h\'uz\'as $Z$, annak a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a  harmadik h\'uz\'as
eredm\'enye $Z$ felt\'eve, hogy el\'otte $Z,Z$ \'es annak felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a negyedik h\'uz\'as eredm\'enye
$S$ felt\'eve, hogy el\H{o}tte $Z,Z,Z$ h\'uz\'as volt. Ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg, illetve felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek $\dfrac{z}{z+s}$, $\dfrac z{z+s+2}$,
$\dfrac z{z+s+4}$, $\dfrac{s+6}{z+s+6}$. A keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\dfrac{z}{z+s}\cdot\dfrac z{z+s+2}\cdot\dfrac z{z+s+4}\cdot
\dfrac{s+6}{z+s+6}$.
\medskip
\item{7.} Tekints\"uk az el\H{o}z\H{o} feladatban bevezetett
urnamodellt. Sz\'am\'{\i}tsuk ki annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et, hogy az els\H{o} h\'uz\'as
eredm\'enye z\"old, \'es annak, hogy a m\'asodik h\'uz\'as eredm\'enye
z\"old.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} h\'uz\'as eredm\'enye z\"old $\dfrac{z}{z+s}$. Az az
esem\'eny, hogy a m\'asodik h\'uz\'as z\"old \'ugy fordulhat
el\H{o} hogy vagy egy z\"old, z\"old vagy egy s\'arga, z\"old
h\'uz\'assorozat jelenik meg. A m\'asodik keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg ezen k\'et h\'uz\'assorozat
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek az \"osszege, teh\'at
$\dfrac z{z+s}\cdot\dfrac z{z+s+2}+
\dfrac s{z+s}\cdot\dfrac {z+2}{z+s+2}=
\dfrac{z^2+s(z+2)}{(z+s)(z+s+2)}$.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Ebben a feladatban olyan urnamodellt
tekintett\"unk, amelyben elt\'er annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az els\H{o} h\'uz\'asban illetve annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik h\'uz\'asban h\'uzunk
z\"old goly\'ot.
\medskip
\item{8.} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a fejdob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A fejdob\'asok sz\'ama 0 \'es
100 k\"oz\"ott van. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $k$
fejdob\'as k\"ovetkezik be, $0\le k\le 100$, $p_k=\dbinom {100}k
2^{-100}$. Ez\'ert a dob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}$, ahol $\xi$
jel\H{o}li a fejdob\'asok sz\'am\'at megad\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot.
Ezt az \"osszeget
k\"ozvetlen\"ul kisz\'am\'{\i}thatjuk. Val\'oban, mivel
$k\dbinom{100}k=100\dbinom{99}{k-1}$, ez\'ert
$$
E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}=
50\summ_{k=0}^{99}\dbinom {99}k
2^{-99}=50\(\dfrac12+\dfrac12\)^{99}=50.
$$
\item{} Val\'oj\'aban a vizsg\'alt v\'arhat\'o \'ert\'eket
egyszer\H{u}bben is ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-hat\-juk.
Vezess\"uk be a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, $\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as, $1\le j\le100$.
Ekkor a fejdob\'asok sz\'ama $\xi=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$,
$E\xi=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j$. Mivel $E\xi_j=\frac12$, $1\le
j\le100$, ez\'ert $E\xi=\frac12\cdot100=50$,
\medskip
\item{9.)} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a dob\'asok eredm\'enyeinek \"osszeg\'et.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek az \"osszegnek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
Defini\'aljuk az $\eta_1,\dots,\eta_{100}$ {\it f\"uggetlen}\/
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'ugy, hogy $\eta_j$ \'es a
 a $j$-ik dob\'as \'ert\'eke megegyezik. Ekkor
$P(\eta_j=k)=\frac16$, $1\le j\le 100$, $1\le k\le6$, \'es minket a
$\xi=\summ_{j=1}^{100}\eta_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'erdekel. Ez k\"onnyen kisz\'amolhat\'o, mert
$E\xi=E\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}E\eta_j$,
$E\eta_j=\frac16(1+2+3+4+5+6)=3.5$. Innen $E\xi=350$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a  p\'aros \'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'enyeinek
\"osszeg\'et. Sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek az \"osszegnek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\medskip
\item{10.} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabat 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk az egym\'ast k\"ovet\H{o} fej-fej
dob\'assorozatok sz\'am\'at, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki annak v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 99$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$,
ha a $j$-ik \'es $j+1$-ik dob\'asok mindegyik\'enek eredm\'enye fej,
$\xi_j=0$ egy\'ebk\'ent. Vegy\"uk \'eszre, hogy minket az
$S=\summ_{j=1}^{99}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'erdekel. Ez\'ert
$ES=E\(\summ_{j=1}^{99}\xi_j\)=\summ_{j=1}^{99}E\xi_j=\dfrac{99}4$,
mivel $E\xi_j=\dfrac14$. (\'Erdemes megjegyezni, hogy az ebben a
feladatban tekintett $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem f\"uggetlenek, de a f\"uggetlens\'egre nincs sz\"uks\'eg a
v\'arhat\'o \'ert\'ek additiv\'{\i}t\'as\'ahaz.)
 
\bye
 
