\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 \nopagenumbers
\centerline{\bf DOLGOZAT FELADATOK}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Abban az esetben, ha egy megk\'erdezett fogalom
defin\'{\i}ci\'oj\'at t\"obb (egy\-m\'as\-sal ekvivalens) m\'odon
lehet megadni, akkor ezek mindegyike j\'o v\'alasznak min\H{o}s\"ul.
\bigskip
\item{1.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
100-szor egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok \"osszeg\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et.
\item{2.} Egy urn\'aban 20 feh\'er \'es 30 piros goly\'o van.
Kih\'uzunk 10 goly\'ot \'ugy, hogy minden h\'uz\'as ut\'an a goly\'ot
visszadobjuk az urn\'aba, \'es vele egy\"utt az urn\'aba dobunk egy
ugyanolyan sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot. Sz\'amoljuk ki a kih\'uzott piros
goly\'ok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{3.} Feldobunk h\'arom szab\'alyos dob\'okock\'at. Mi a
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy bek\"ovetkezett
egy nem hatos dob\'as, felt\'eve, hogy legal\'abb az egyik dob\'as
hatos volt?
\item{4.} Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
lott\'oh\'uz\'askor (90 sz\'amb\'ol h\'uznak ki \"ot\"ot), legal\'abb
h\'armas tal\'alatunk lesz?
\item{5.} Legyen $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ h\'arom esem\'eny egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Mikor
mondjuk, hogy az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek  f\"uggetlenek?
 
\medskip\noindent
{\it Megold\'asok:}
\medskip\noindent
 
\item{1.} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le 100$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye  p\'aratlen, $\xi_j=2$, ha a $j$-ik dob\'as
\'ert\'eke 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as \'ert\'eke 4, \'es
$\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as \'ert\'eke 6, $1\le j\le 100$. Ekkor a
$\xi=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
kisz\'amolnunk. Viszont $E\xi_j=\dfrac16(2+4+6)=2$,
$E\xi^2_j=\dfrac16(2^2+4^2+6^2)=\dfrac{28}3$,  $\Var
\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\dfrac{16}3$ minden $1\le j\le100$ indexre.
Mivel a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
ez\'ert ebb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $E\xi=200$ \'es
$\Var\xi=\dfrac{1600}3$.
\item{2.} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros,
\'es $\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er,
$1\le j\le10$. Ekkor minket a $\xi=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete \'erdekel. Ennek kisz\'am\'{\i}t\'asa
\'erdek\'eben sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or a $\xi_j$, $1\le j\le10$,
v\'arhat\'o \'ert\'ekeket, $\Var\xi_j$, $1\le j\le10$,
sz\'or\'asn\'egyzeteket \'es $\Cov(\xi_j,\xi_k)$, $1\le
j<k\le10$, kovarianci\'akat. Vegy\"uk \'eszre, hogy $E\xi_j$ megegyezik
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy a $j$-ik h\'uz\'as
eredm\'enye piros, ami, mint azt mind az \'or\'an mind a gyakorlaton
megt\'argyaltuk, megegyezik annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel,
hogy az els\H{o} h\'uz\'as piros. Ez\'ert $E\xi_j=\dfrac35$.
Hasonl\'oan, $E\xi_j\xi_k=E\xi_1\xi_2=\dfrac35\cdot\dfrac{31}{51}$,
ahol az utols\'o mennyis\'eg annak  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az els\H{o} k\'et h\'uz\'as piros. Ez\'ert
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=E\xi_jE\xi_k-E\xi_j\xi_k
=\dfrac35\(\dfrac{31}{51}-\dfrac35\)=\dfrac2{425}$. Tov\'abb\'a
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\dfrac35-\(\dfrac35\)^2=\dfrac6{25}$.
Ez\'ert $E\xi=\summ_{j=1}^{10}E\xi_j=10\cdot\dfrac35=6$, \'es
$\Var\xi=\summ_{j=1}^{10}\Var\xi_j+2\summ_{j=1}^9
\summ_{k=j+1}^{10}\Cov(\xi_j,\xi_k)=\dfrac{12}5+90\cdot\dfrac2{425}=
\dfrac{12}5+\dfrac{36}{85}=\dfrac{240}{85}=\dfrac{48}{17}$.
\item{3.} Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy t\"ort\'ent hatos
dob\'as, \'es $B$ azt, hogy t\"ort\'ent nem hatos dob\'as. Ekkor a
$P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell
kisz\'am\'{\i}tanunk. Az $A$ esem\'eny komplementere az az esem\'eny,
hogy mind a h\'arom dob\'as nem hatos, ez\'ert $1-P(A)=\(\dfrac56\)^3$,
$P(A)=\dfrac{91}{216}$. Az $A\cap B$ esem\'eny komplementere az az
esem\'eny, hogy vagy mind a h\'arom dob\'as eredm\'enye
hatos, vagy mind a h\'arom dob\'as eredm\'enye nem hatos. Ez\'ert
$1-P(A\cap B)=\(\dfrac56\)^3+\(\dfrac16\)^3$, $P(A\cap
B)=\dfrac{90}{216}$, $P(B|A)=\dfrac{90}{91}$.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ A $P(A\cap B)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kiss\'e kev\'esb\'e
eleg\'ans m\'odon a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o}\-k\'epp is kisz\'amolhatjuk.
Az $A\cap B$ esem\'eny bek\"ovetkez\'ese azt jelenti, hogy vagy k\'et
hatos \'es egy nem hatos vagy egy hatos \'es k\'et nem hatos dob\'as
k\"ovetkezik be. Mind a k\'et fajta dob\'assorozat h\'arom
k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon t\"ort\'enhet, \'es az ilyen tipus\'u
sorozatok val\'olsz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\dfrac5{216}$, illetve
$\dfrac{25}{216}$. Ez\'ert $P(A\cap B)=3\cdot
\dfrac{25+5}{216}=\dfrac{90}{216}$.
\item{4.} Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan h\'arom
tal\'alatunk van $\dfrac{\binom53\binom{85}2}{\binom{90}5}$,
mert az \"ot j\'o sz\'amb\'ol kell kiv\'alasztanunk 3-at \'es a 85
rosszb\'ol kett\H{o}t, \'es minden v\'alaszt\'as egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u}. Hasonl\'oan annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'esge,
hogy pontosan n\'egy tal\'alatunk lesz
$\dfrac{\binom54\binom{85}1}{\binom{90}5}$, \'es annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy \"ot tal\'alatunk lesz
$\dfrac1{\binom{90}5}$. Ez\'ert a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\dfrac{5\cdot85\cdot84+5\cdot85+1}{\binom{90}5}$.
\item{5.} Az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek akkor f\"uggetlenek,
ha a $P(A_1\cap A_2)=P(A_1)P(A_2)$, $P(A_1\cap A_3)=P(A_1)P(A_3)$,
$P(A_2\cap A_3)=P(A_2)P(A_3)$ \'es
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)$ azonoss\'agok mindegyike
teljes\"ul.
 
\bye
