\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A m\'arcius 18.-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai.}  \medskip\noindent
{\it Feladatok:}
\medskip
\item{1.} Adjunk egyszer\H{u}, a binomi\'alis eloszl\'as
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi tartalm\'at kihaszn\'al\'o
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'ast arra, hogy a $B(n,p)$ \'es $B(m,p)$
binomi\'alis eloszl\'asok konvol\'uci\'oja a $B(n+m,p)$ binomi\'alis
eloszl\'as.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Dobjunk fel egy p\'enzdarabot, amely $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej \'es $1-p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldal\'ara $n+m$ alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Jel\"olje, $S$ az els\H{o} $n$
dob\'asban, $T$ az $n+1$-t\H{o}l $n+m$-ig tart\'o dob\'asokban, $U$
pedig az $n+m$ dob\'asban megjelen\H{o} fej-dob\'asok sz\'am\'at. Ekkor
$S$ \'es $T$ f\"uggetlenek, $U=S+T$, tov\'abb\'a $S$ $B(n,p)$, $T$
$B(m,p)$ \'es $U$ $B(n+m,p)$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Innen \'es a konvoluci\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
tartalm\'ab\'ol k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{2.} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $B(n,p)$ eloszl\'as\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et az e fogalmakat
defini\'al\'o \"osszegek kisz\'am\'{\i}t\'as\'anak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
E\xi=\summ_{k=1}^n k\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\quad
E\xi^2=\summ_{k=1}^n k^2\binom nk p^k(1-p)^{n-k},
$$
\'es $\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2$. Ezeket a kifejez\'eseket kell
kisz\'amolnunk.  Vegy\"uk \'eszre, hogy $k\dbinom nk=n\dbinom{n-1}{k-1}$,
$k^2\dbinom nk=k\dbinom nk+k(k-1)\dbinom nk=n\dbinom{n-1}{k-1}+
n(n-1)\dbinom{n-2}{k-2}$. Innen
$$
\align
E\xi&=n\summ_{k=0}^{n-1} \binom {n-1}k p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}\\
&=np\summ_{k=0}^{n-1} \binom {n-1}k p^k(1-p)^{(n-1)-k}
=np(1+(1-p))^{n-1}=np,
\endalign
$$
$$
\align
E\xi^2&=n\summ_{k=0}^{n-1} \binom {n-1}k p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}
+n(n-1)\summ_{k=0}^{n-2} \binom {n-2}k p^{k+2}(1-p)^{n-k-2}\\
&=np+n(n-1)p^2\summ_{k=0}^{n-2} \binom {n-2}k p^k(1-p)^{(n-2)-k}\\
&=np+n(n-1)p^2(p+(1-p))^{n-1}=np+(n^2-n)p^2,
\endalign
$$
\'es $\Var\xi=np+(n^2-n)p^2-n^2p^2=np(1-p)$.
\vfill\eject
 
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $(\xi_1,\dots,\xi_r)$ polinomi\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor  $n$ \'es $p_j$, $1\le
j\le r$, $\summ_{j=1}^rp_j=1$ param\'eterekkel. Ekkor
$E\xi_j=np_j$, $\Var \xi_j=np_j(1-p_j)$, $1\le j\le r$ \'es
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=-np_jp_k$, $1\le j,k\le r$, $j\neq k$.
\item{3.}  Bizony\'{\i}tsuk be val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
meggondol\'asok seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy egy $r_1$ \'es $p$
pa\-ra\-m\'e\-te\-r\H{u} valamint egy $r_2$ \'es $p$ param\'eter\H{u}
negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as konvol\'uci\'oja egy $r_1+r_2$
\'es $p$ param\'eter\H{u} negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeloszl\'as. K\"o\-vet\-ke\-z\'es\-k\'ep\-pen,
egy $r$ \'es $p$ param\'eter\H{u} negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as
el\H{o}\'all mint $r$ darab $p$ param\'eter\H{u} geometriai eloszl\'as
konvoluci\'oja.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Dobjunk fel egy p\'enzdarabot, amely $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej \'es $1-p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldalra v\'egtelen sokszor
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Defini\'aljuk a $\xi_j$,
$j=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'ugy, hogy
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as. Defini\'aljuk a $Z_1,Z_2,\dots$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'ugy, hogy $Z_j$ jel\H{o}li
azt, hogy h\'anyadik dob\'asban k\"o\-vet\-ke\-zett be a $j$-ik
fejdob\'as, $j=1,2,\dots$. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy az
$U_j=Z_{j}-Z_{j-1}$, $Z_0=0$, $j=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es $P(U_j=k+1)=p(1-p)^k$, minden
$j=1,2,\dots$ \'es $k=1,2,\dots$ sz\'amra. Ez azt jelenti, hogy
$Z_r=U_1+\cdots+U_r$, $r=1,2,\dots$, azaz a $Z_r$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot el\H{o}\'all\'{\i}tottuk,
mint $r$ f\"uggetlen, geometriai eloszl\'as\'u $p$ param\'eter\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszegek\'ent. Ez\'ert
elegend\H{o} a fenti \'all\'{\i}t\'ast bel\'atni.
\item{} Viszont
$$
\align
&\{\oo\: U_1(\oo)=k_1+1,U_2(\oo)=k_2+1,\dots, U_r(\oo)=k_r+1\}\\
&\qquad=\{\oo\: Z_1(\oo)=k_1+1,Z_2(\oo)=k_1+k_2+2,\dots,
Z_r(\oo)=k_1+\cdots+k_r+r\}\\
&\qquad=\{\oo\: \xi_j(\oo)=0, \text{ ha }1\le j\le k_1,
\xi_{k_1+1}(\oo)=1, \\
&\qquad\qquad\xi_j=0, \text{ ha }k_1+2\le j\le k_1+k_2+1,
\xi_{k_1+k_2+2}(\oo)=1,\\
&\qquad\qquad \xi_j=0, \text{ ha } k_1+k_2+3\le k_1+k_2+k_3+3,\dots
\xi_{k_1+\cdots+k_r+r}(\oo)=1\}.
\endalign
$$
Ez\'ert
$$
\align
&P(U_1(\oo)=k_1+1,U_2(\oo)=k_2+1,\dots,
U_r(\oo)=k_r+1)=p^r(1-p)^{k_1+\cdots+k_r}\\
&\qquad=\prod_{j=1}^r p(1-p)^{k_j}
=\prod_{j=1}^r P(U_j=k_j+1),
\endalign
$$
ahol $U_j$ geometriai eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $p$
param\'eterrel.
\item{4.} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $n$ \'es $p$ param\'eter\H{u}
negat\'{\i}v binomi\'alis elosz\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et
annak az ismeretnek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy egy $p$
param\'eter\H{u} geometriai eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $\dfrac1p$ \'es
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zete $\dfrac{1-p}{p^2}$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"unk $n$ darab f\"uggetlen
geometriai eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot $p$
param\'eterrel. Ezek \"osszege negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $n$ \'es $p$ param\'eterrel.
Mivel a v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'ere \"osszead\'odik,
innen k\"ovetkeik, hogy a keresett v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es
sz\'or\'asn\'egyzet $\dfrac np$ \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zete
$\dfrac{n(1-p)}{p^2}$.
\item{5.} L\'assuk be, hogy amennyiben egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o gener\'atorf\"uggv\'enye
va\-la\-mely $g(x)$ f\"uggv\'eny, akkor $E\xi=g'(1)$,
$\Var\xi=g''(1)+g'(1)-g'(1)^2$, ahol az \'altal\'anos esetben a
$g'(1)=\limm_{x\to1}g'(x)$ \'es $g''(1)=\limm_{x\to1}g''(x)$
k\'epletek defini\'alj\'ak ezeket a mennyis\'egeket. Sz\'amoljuk ki
egy $r$ \'es $p$ param\'eter\H{u} negat\'{\i}v binomi\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et, felhaszn\'alva, hogy e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'altoz\'o gener\'atorf\"uggv\'enye a
$\(\dfrac{px}{1-(1-p)x}\)^r$ f\"uggv\'eny. \medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $g(x)=\summ_{k=0}^\infty p_kx^k$
f\"uggv\'eny k\'et egym\'asut\'ani deriv\'al\'asa
\'es az $x=1$ helyettes\'{\i}t\'es adja, hogy
$g'(1)=\summ_{k=1}kp_k=E\xi$,
$g''(1)=\summ_{k=1}k(k-1)p_k=E\xi(\xi-1)$. Mint azt az el\H{o}ad\'ason
megt\'argyaltuk az anal\'{\i}zis bizonyos eredm\'enyei
lehet\H{o}v\'e teszik a fent alkalmazott tagonk\'enti deriv\'al\'ast.
Ez\'ert $E\xi=g'(1)$, $E\xi^2=g''(1)+g'(1)$, \'es
$\Var\xi=g''(1)+g'(1)-g'(1)^2$.
\item{} Az $r$ \'es $p$ param\'eter\H{u} negat\'{\i}v binomi\'alis
eloszl\'as gener\'atorf\"uggv\'enye
$$
g(x)=\(\dfrac{px}{1-(1-p)x}\)^r.
$$
 Innen
$$
g'(x)= rp \(\dfrac{px}{1-(1-p)x}\)^{r-1}\frac1{\(1-(1-p)x\)^2},
$$
$$
\align
g''(x)=&r(r-1)p^2 \(\dfrac{px}{1-(1-p)x}\)^{r-2}\frac1{\(1-(1-p)x\)^4}\\
&\qquad+rp\(\dfrac{px}{1-(1-p)x}\)^{r-1}\frac{2(1-p)}{\(1-(1-p)x\)^3}.
\endalign
$$
Behelyettes\'{\i}t\'essel $E\xi=\dfrac rp$,
$g''(1)=\dfrac{r^2+r}{p^2}-\dfrac{2r}p$, $\Var\xi=g''(1)+g'(1)-g'(1)^2=
\dfrac{r(1-p)}{p^2}$.
 
\item{6.} Mutassunk p\'eld\'at olyan $\Cal P=\{p_k\:k=1,2,\dots\}$,
$p_k\ge 0$, $k=0,1,2,\dots$, $\summ_{k=0}^\infty p_k=1$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg eloszl\'ara a nem negat\'{\i}v eg\'esz
sz\'amokon, amelynek $g(x)=\summ_{k=0}^\infty p_kx^k$
gener\'atorf\"uggv\'enye semmilyen $\e>0$ sz\'am
eset\'en nem konvergens a $-1-\e<x<1+\e$ intervallumon.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $\alpha>1$ tetsz\H{o}leges sz\'am.
Ekkor $C(\alpha)=\summ_{k=1}^\infty \dfrac1{k^\alpha}<\infty$,
\'es $p_k=p_k(\alpha)=\dfrac1{C(\alpha)n^\alpha}$, $k=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeloszl\'as. Ennek gener\'artor f\"uggv\'enye
a $\summ_{k=1}^\infty p_kx^k=\dfrac1{C(\alpha)}\summ_{k=1}^\infty
\dfrac {x^k}{k^\alpha}$ semmilyen $\e>0$ sz\'amra nem konverg\'al a
$-1-\e<x<1+\e$ intervallumon, mert minden $x>1$  sz\'amra
$\limm_{k\to\infty} \dfrac {x^k}{k^\alpha}=\infty$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip\item{} Legyen $\xi$ geometriai eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz
legyen $P(\xi=k)=p(1-p)^{k-1}$, $k=1,2,\dots$. L\'assuk be, hogy
$\xi$ teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} (diszkr\'et) \"or\"okifj\'u
tulajdons\'agot.
$$
P(\xi=k+l|\xi>l)=p(1-p)^{k-1}=P(\xi=k).
$$
\item{7.} Sz\'amoljuk ki annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a
lott\'oban pontosan h\'arom tal\'alatunk lesz.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\dfrac{\dbinom{85}2\dbinom 53}{\dbinom {90}5}$. Ugyanis
$\dbinom{85}2\dbinom 53$ az \"osszes olyan ki\-t\"ol\-t\'e\-sek
sz\'ama, amely h\'armas tal\'alatot eredm\'enyez (a ki nem h\'uzott
sz\'amokb\'ol kett\H{o}t, a kih\'uzott sz\'amokb\'ol h\'armat kell
v\'alasztani), az \"osszes kit\"olt\'esek sz\'ama $\dbinom {90}5$,
\'es minden kit\"olt\'es egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}.
\item{8.} Sz\'amoljuk ki egy $N$, $M$ \'es $n$ param\'eter\H{u}
hipergeometrikus eloszl\'as\'u $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et,
azaz egy olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et,
amelyre
$$
P(\xi=k)=\dfrac{\dbinom Mk \dbinom{N-M}{n-k}}{\dbinom Nn}, \quad 0\le
k\le n.
$$
Mutassuk meg, hogy $E\xi=n\dfrac MN$, $\Var\xi=\dfrac{nM}N\(1-\dfrac
MN\)\dfrac{n-n}{N-1}$.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Tekints\"unk egy urnamodellt, amelyben
$\xi$ jel\"oli azt, hogy $N$ piros \'es $N-M$ feh\'er goly\'ob\'ol $n$
visszatev\'es n\'elk\"uli h\'uz\'asban h\'any piros goly\'ot h\'uzunk.
Legyen $\xi_j=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros, $\xi_j=0$,
ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er, $1\le j\le n$. Ekkor a
$\xi=\summ_{j=1}^n\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
kisz\'amolnunk. Hogyan kell ezt csin\'alni? Eml\'ekezz\"unk arra,
hogy mint kor\'abban megmutattuk, ebben a modellben annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy valamely h\'uz\'as(ok)ban piros
goly\'ot h\'uzunk nem f\"ugg att\'ol, hogy hanyadik h\'uz\'ast
tekintett\"uk.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"unk egy urn\'at, amely $M$ piros
\'es $N-M$ feh\'er goly\'ot tartalmaz, \'es h\'uzzunk ki $n$ goly\'ot
visszatev\'es n\'elk\"ul.  Legyen $\xi_j=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as
piros, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as feh\'er. Ekkor a megoldand\'o
feladat ekvivalens az $S=\summ_{j=1}^n\xi_j$ v\'arhat\'o \'er\'ek\'enek
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'enek a kisz\'amol\'as\'aval. Viszont m\'ar
kor\'abbi eredm\'enyekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $E\xi_j=\dfrac MN$,
$\Var\xi_j=\dfrac MN-\(\dfrac MN\)^2$ minden $1\le j\le N$ indexre,
tov\'abb\'a, $\Cov (\xi_j,\xi_k)=\dfrac MN\dfrac{M-1}{N-1}-\(\dfrac
MN\)^2$ minden $1\le j,k\le n$, $j\neq k$ sz\'amp\'arra.
A v\'arhat\'o \'ert\'ek additivit\'as\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$ES=\dfrac{nM}N$. (Itt nincs sz\"uks\'eg az \"osszeadand\'ok
f\"uggetlens\'eg\'enek a felt\'etelez\'es\'ere.) Az \"osszeg
sz\'or\'asn\'egyzet\'enek kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara tanult
\'altal\'anos k\'epletb\H{o}l, (amikor az \"osszeadand\'ok nem
felt\'etlen\"ul f\"uggetlenek) \'es a fenti formul\'akb\'ol
k\"ovetkezik, hogy
$$
\allowdisplaybreaks
\align
\Var S &=n\Var\xi_1+n(n-1)\Cov(\xi_1,\xi_2)\\
&=n\(\dfrac MN-\(\dfrac MN\)^2\)+n(n-1)\(
\dfrac MN\dfrac{M-1}{N-1}-\(\dfrac MN\)^2\)\\
&=n\dfrac MN\(1-\frac MN-(n-1)\frac{N-M}{(N-1)N}\)\\
&=n\frac MN\(1-\frac MN\)\(1-\frac{n-1}{N-1}\)
=n\frac MN\(1-\frac MN\)\frac{N-n}{N-1}.
\endalign
$$
 
\medskip
\item{9.} Ha $N\to\infty$, $\limm_{N\to\infty}\dfrac MN=p$, $0<p<1$, $n$
r\"ogz\'{\i}tett eg\'esz sz\'am, akkor
$$
\limm_{N\to\infty} \dfrac{\dbinom Mk \dbinom{N-M}{n-k}}{\dbinom
Nn}=\dbinom nk p^k(1-p)^{n-k} \quad \text{minden } 0\le k\le n \text{
sz\'amra}.
$$
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$ \allowdisplaybreaks
\align
&\dfrac{\dbinom Mk \dbinom{N-M}{n-k}}{\dbinom Nn}\\
&\qquad=\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{M(M-1)\cdots(M-k+1)}{N(N-1)\cdots(N-k+1)}
\frac{(N-M)\cdots(N-M-n+k+1)}{(N-k)\cdots(N-n+1)}\\
&\qquad \to\dbinom nk p^k(1-p)^{n-k}  \text{ ha } N\to\infty,
\endalign
$$
mert $\dfrac{M(M-1)\cdots(M-k+1)}{N(N-1)\cdots(N-k+1)}\to p^k$, \'es
$\dfrac{(N-M)\cdots(N-M-n+k+1)}{(N-k)\cdots(N-n+1)}\to(1-p)^{n-k}$, ha
$N\to\infty$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip \item{} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_L$ \'es
$\eta_1,\dots,\eta_M$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. L\'assuk be, hogy
$$
\Cov\(\sum_{j=1}^L\xi_j,\sum_{k=1}^M \eta_k\)=
\sum_{j=1}^L \sum_{k=1}^M  \Cov(\xi_j,\eta_k).
$$
\medskip
\item{10.} Legyen $(\xi_1,\dots,\xi_r)$ v\'eletlen vektor
polihipergeometrikus eloszl\'as\'u $N_1,\dots N_r$ \'es $n$
param\'eterekkel. Sz\'am\'{\i}tsuk ki az $E\xi_j$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekeket, a $\Var\xi_j$ sz\'or\'asn\'egyzetet minden $1\le
j\le r$ sz\'amra \'es a $\Cov(\xi_j,\xi_k)$ kovarianciaf\"uggv\'enyt,
ha $1\le j,k\le r$, $j\neq k$.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ A hipergeometrikus eloszl\'asr\'ol
sz\'ol\'o hasonl\'o feladat m\'odszere term\'eszetes m\'odon
adapt\'alhat\'o ebben az esetben is.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki el\H{o}sz\"or a
$\Cov(\xi_j,\xi_k)$ kovarianciaf\"uggv\'enyt. Ennek \'er\-de\-k\'e\-ben
tekints\"unk egy urn\'at, benne $N_1$ 1-es, $N_2$ 2-es,\dots, $N_r$
$r$-es sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot, \'es h\'uzzunk ki bel\H{o}l\"uk
$n$-et visszatev\'es n\'elk\"ul. Legyen $N=\summ_{k=1}^r N_r$, \'es
vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\eta_{l,s}$, $1\le l\le n$, $1\le
s\le r$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\eta_{l,s}=1$,
ha az $l$-ik h\'uz\'asban $s$-es sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot h\'uzunk,
\'es $\eta_{l,s}=0$, ha az $l$-ik h\'uz\'as eredm\'enye m\'as.
Defini\'aljuk a $\xi_s=\summ_{l=1}^n\eta_{l,s}$ v\'eletlen
\"osszegeket, $1\le s\le r$. Ekkor a $\Cov(\xi_j,\xi_k)$
kovarianciaf\"uggv\'enyt kell kisz\'amolnunk az el\H{o}bb
defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal.
\item{} Ezt a hipergeometrikus eloszl\'as eset\'en alkalmazott
\'ervel\'es term\'eszetes adap\-t\'a\-ci\'o\-j\'a\-val \'es az
el\H{o}z\H{o} h\'azi feladat eredm\'eny\'enek felhaszn\'al\'as\'aval
tehetj\"uk meg.
\item{} El\H{o}sz\"or ki kell sz\'amolnunk az
$\Cov\(\eta_{l,j},\eta_{l',k}\)$ kovarianciaf\"uggv\'enyeket. K\"ul\"on
kell v\'alasztani az $l=l'$ \'es $l\neq l'$ eseteket. Mind a k\'et
esetben haszn\'alhatjuk azt a t\'enyt, hogy hasonl\'oan a k\'et
sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot tartalmaz\'o urnamodellhez annak, hogy milyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel h\'uzok bizonyos el\H{o}\'{\i}rt
sz\'{\i}n\H{u} goly\'okat adott h\'uz\'asban nem f\"ugg att\'ol, hogy
hanyadik h\'uz\'ast tekintett\"uk. Mi\'ert?
\item{} Az $l=l'$ esetben
$$
\align
\Cov\(\eta_{l,j},\eta_{l,k}\)&=
P\(\eta_{l,j}=1,\eta_{l,k}=1\)-
P\(\eta_{l,j}=1\)P\(\eta_{l,k}=1\)\\
&=-P\(\eta_{1,j}=1\)P\(\eta_{1,k}=1\)=-\dfrac{N_j N_k}{N^2}.
\endalign
$$
Ha $l\neq l'$, akkor
$$
\align
\Cov\(\eta_{l,j},\eta_{l',k}\)&=
P\(\eta_{l,j}=1,\eta_{l',k}=1\)-
P\(\eta_{l,j}=1\)P\(\eta_{l',k}=1\)\\
&=P\(\eta_{1,j}=1,\eta_{2,k}=1\)
-P\(\eta_{1,j}=1\)P\(\eta_{1,k}=1\)\\
&=\dfrac{N_jN_k}{N(N-1)}-\dfrac{N_j N_k}{N^2}.
\endalign
$$
Innen, illetve az el\H{o}z\H{o} h\'azi feladatban megfogalmazott
eredm\'eny alapj\'an
$$
\Cov(\xi_j,\xi_k)=-n\dfrac{N_j N_k}{N^2}+n(n-1)
\(\dfrac{N_jN_k}{N(N-1)}-\dfrac{N_j
N_k}{N^2}\)=n\dfrac{(n-N)N_jN_k}{(N-1)N^2}.
$$
Az $E\xi_j$ \'es $\Var\xi_j$ mennyis\'egeket is ki lehet
sz\'am\'{\i}tani hasonl\'oan, de erre nincs sz\"uks\'eg. Ha csak azt
vessz\"uk figyelembe, hogy az $l$-ik h\'uz\'asban $j$-es vagy m\'as
sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot h\'uztunk-e, azaz csak az $\eta_{j,l}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal dolgozunk, akkor r\"ovid
meggondol\'as ut\'an l\'athatjuk, hogy ugyanazt az eredm\'enyt kapjuk,
mint a (k\'et sz\'{\i}nnel rendelkez\H{o}) hipergeometrikus eloszl\'ast
modellez\H{o} urnamodell eset\'en $M=N_j$ \'es $N-M=N-N_j$
param\'eterekkel. Ez\'ert $E\xi_j=n\dfrac {N_j}N$, $\Var\xi_j=
n\dfrac {N_j}N\(1-\dfrac {N_j}N\)\dfrac{N-n}{N-1}$.
\item{11.} Mutassuk meg, hogy a Poisson eloszl\'as
gener\'atorf\"uggv\'eny\'enek alakj\'ab\'ol l\'athat\'o, hogy
ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, $\lambda$ illetve
$\mu$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, akkor $\xi+\eta$ $\lambda+\mu$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $g_\lambda(x)$ a $\lambda$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as gener\'atorf\"uggv\'eny\'et.
L\'at\-tuk, hogy $g_\lambda(x)=e^{\lambda(x-1)}$. Innen l\'atszik, hogy
$g_{\lambda+\mu}(x)=g_\lambda(x)g_\mu(x)$. Innen vi\-szont, mint azt
az el\H{o}ad\'ason megbesz\'elt\"uk k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.
\item{12.} Legyen adva $k$ darab urna, \'es ezekbe dobjunk be
v\'eletlen $\xi$ sz\'am\'u goly\'ot, ahol $\xi$  Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda>0$
param\'eterrel. Legyenek az egyes dob\'asok eredm\'enyei egym\'ast\'ol
\'es a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlenek.
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy  minden egyes dob\'asn\'al a goly\'o
az $j$-ik urn\'aba $p_j\ge0$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
esik, $j=1,\dots,k$, $\sum\limits_{j=1}^k p_j=1$. Jel\"olje $\eta_j$ a
$j$-ik urn\'aba es\H o goly\'ok sz\'am\'at. Ekkor az $\eta_j$,
$j=1,\dots,k$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
\'es $\eta_j$ Poisson eloszl\'as\'u $\lambda p_j$ param\'eterrel,
$j=1,\dots,k$.
\item{} {\it Megold\'as:}
$$
\align
P(\eta_1=l_1,\dots,\eta_k=l_k)
&=P(\xi=l_1+\cdots+l_k)\frac{(l_1+\cdots+l_k)!}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}\\
&=\frac{\lambda^{(l_1+\cdots+l_k)}}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}e^{-\lambda} \\
&=\frac{\lambda^{l_1}\cdots\lambda^{l_k}}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}e^{-\lambda(p_1+\cdots+p_k)}
=\prod_{j=1}^k\frac{ (\lambda p_j)^{l_j}}{l_j!}e^{-\lambda p_j}
\endalign
$$
tetsz\H{o}leges $l_1\ge0$, \dots, $l_k\ge0$ eg\'esz sz\'amokra. Innen
ad\'odik az \'all\'{\i}t\'as.\medskip
\item{13.} L\'assuk be az el\H{o}z\H{o} feladat seg\'{\i}ts\'eg\'evel
a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast:
\item{} Legyen adva $\xi$ Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$ param\'eterrel.
Dobjunk le egym\'ast\'ol \'es a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen\"ul v\'eletlen\"ul egyenletesen $\xi$
darab pontot az egys\'egintervallumra, azaz tegy\"uk fel, hogy minden
pont $b-a$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik valamely $[a,b]\subset
[0,1]$ intervallumba. Ekkor a $[0,1]$ intervallum tetsz\H{o}leges
felbont\'as\'ara $[s_0,s_1]$, $[s_1,s_2]$,\dots, $[s_{k-1},s_k]$
intervallumokra, $0=s_0<s_1<\cdots<s_k=1$, az egyes intervallumokba
es\H{o} pontok sz\'ama egym\'ast\'ol f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $s_j-s_{j-1}$, $1\le j\le k$,
param\'eterrel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} urnamodellt.
Tekint\"unk $\xi$ sz\'am\'u goly\'ot, teh\'at annyit, ah\'any
ledobott pontot tekintett\"unk az el\H{o}z\H{o} feladatban. Tegy\"uk az
$l$-ik goly\'ot a $j$-ik urn\'aba, ha a $l$-ik pont az $[s_{j-1},s_j]$
intervallumba esett, $1\le j\le k$. Akkor az el\H{o}z\H{o}  feladat
eredm\'enye alapj\'an az egyes urn\'akba es\H{o} goly\'ok sz\'ama
egym\'ast\'ol f\"uggetetlen Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $s_j-s_{j-1}$, $1\le j\le k$,
param\'eterrel. Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip {\it H\'azi feladat:}
\medskip \item{} Legyenek $\xi_j$, $j=1,\dots,r$, f\"uggetlen Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\lambda_j$,
$1\le j\le r$, param\'eterekkel. Mutassuk meg, hogy
$$
P\(\left.\vphantom{\sum_{j=1}^r}
\xi_1=k_1,\dots, \xi_r=k_r\right|\sum_{j=1}^r\xi_j=n\)=
\dfrac{n!}{k_1!\cdots k_r!}\prod_{j=1}^r \frac
{\lambda_j^{k_j}}{\(\summ_{s=1}^r\lambda_s\)^{k_j}},
$$
ha $\summ_{j=1}^r k_j=n$. Azaz a $\xi_1,\dots,\xi_r$ vektor
felt\'eteles eloszl\'asa felt\'eve, hogy
$\summ_{j=1}^r k_j=n$ a polinomi\'alis eloszl\'as $n$ \'es $p_j=
\dfrac{\lambda_j}{\summ_{s=1}^r\lambda_s}$, $1\le j\le r$,
param\'eterekkel.
 
 
 
 
 
 
\bye
 
