\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\centerline{\bf DOLGOZAT FELADATOK}
\bigskip
\item{1.} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$\varphi(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, $-\infty<x<\infty$.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi+2\xi^2$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et.
\item{2.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$ illetve
$\mu$, param\'eterrel, $\lambda>0$, $\mu>0$, azaz legyen $\xi$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha
$x\ge0$ \'es $f(x)=0$, ha $x<0$, illetve $\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=\mu e^{-\mu x}$, ha $x\ge0$ \'es
$g(x)=0$, ha $x<0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi+\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{3.} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[-1,1]$ intervallumon,
azaz legyen s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac12$, ha
$-1\le x\le 1$, \'es $f(x)=0$, ha $x>1$ vagy $x<-1$.
Sz\'amoljuk ki a $\xi^4$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{4.} Ledobunk a $[0,3]$ intervallumra 24~000 pontot egyenletes
eloszl\'assal, azaz egy ledobott pont egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
a $[0,3]$ intervalumba esik, \'es annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a ledobott pont egy $[a,b]\subset[0,3]$ intervallumba esik
$\dfrac{b-a}3$. Ha egy pont a $[0,1]$ intervallumba esik, akkor
fel\'{\i}rjuk a ledobott pont hely\'enek pontos \'ert\'ek\'et egy
jegyz\H{o}k\"onyvbe, ha a pont az $(1,2]$ intervalumba esik, akkor az
1 sz\'amot, ha pedig a $(2,3]$ intervallumba esik, akkor a 2 sz\'amot
\'{\i}rjuk a jegyz\H{o}k\"onyvbe. Adjunk becsl\'est a mell\'ekelt
norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt
24~000 sz\'am \"osszege 27~900 \'es 28~150 k\"oz\'e esik.
\item{5.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amelyek egy\"uttes eloszl\'as\'anak l\'etezik $f(x,y)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Fejezz\"uk ki a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\Cov (\xi,\eta)$
kovarianciaf\"uggv\'eny\'et az $f(x,y)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip
\centerline{\bf MEGOLD\'ASOK}
\medskip
\item{1.} Jegyezz\"uk meg, hogy mivel $\xi$ \'es $2\xi^2$ nem
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, ez\'ert
\"osszeg\"uk s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara nem haszn\'alhatjuk a konvoluci\'ot. Viszont
ki tudjuk sz\'amolni $xi+2\xi^2$ $G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et
meghat\'arozva, hogy a $xi+2\xi^2<x$ esem\'eny milyen felt\'etelt
jelent a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora, mejd
deriv\'alva az eloszl\'asf\"uggv\'enyt.
\item{} Vegy\"uk \'eszre, hogy $\xi+2\xi^2$ a $\xi=-\frac14$ helyen
veszi fel a minimum\'at. \'es az az $x=-\frac18$ \'ert\'ek. Ez azt
jelenti, hogy $G(x)=0$, ha $x\le-\frac18$, \'es $\xi+2xi^2$ $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=0$, ha $x\le -\frac18$. Az $x\ge
-\frac18$ esetbem a $\xi+2\xi^2<x$ egyenl\H{o}tlens\'eg akkor
teljes\"ul, ha $x_1<\xi<x_2$, ahol
$x_1=x_1(x)=\dfrac{-1-\sqrt{1+8x}}4$.
$x_2=x_2(x)=\dfrac{-1+\sqrt{1+8x}}4$ a $2u^2+u-x=0$ egyenlet k\'et
gy\"oke. Ez\'ert $G(x)=\Phi(x_2(x))-\Phi(x_1(x))$ a fenti $x_1$ \'es
$x_2$ sz\'amokkal, ahol $\Phi(\cdot)$ a standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyt jel\"oli. A keresett
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt e f\"uggv\'eny ($x$ szerinti)
deriv\'altjak\'ent kapjuk meg $x\ge-\frac18$ esetben. Mivel $\dfrac{d
x_2(x)}{dx}=-\dfrac{d x_1(x)}{dx}=\dfrac4{\sqrt{1+8x}}$, ez\'ert
$$
\align
g(x)&=\frac4{\sqrt{1+8x}}\(\varphi\(\frac{-1-\sqrt{1+8x}}4\)
+\varphi\(\frac{-1+\sqrt{1+8x}}4\)\)\\
&=\frac4{\sqrt{2\pi(1+8x)}}\biggr(\exp\left\{-\frac1{32}-\frac{1+8x}{32}
+\frac{\sqrt{1+8x}}{16}\right\} \\
&\hskip4.5truecm +\exp\left\{-\frac1{32}-\frac{1+8x}{32}
-\frac{\sqrt{1+8x}}{16}\right\}\biggl)\\
&=\frac{2\sqrt2}{\sqrt{(1+8x)\pi}}\(\exp\left\{-\frac{1+4x
-\sqrt{1+8x}}{16}\right\}
+\exp\left\{-\frac{1+4x+\sqrt{1+8x}}{16}\right\}\),
\endalign
$$
ha $x\ge-\frac18$.
\medskip
\item{2.} Tudjuk, hogy a tekintett k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et az
$f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-y)\,du$ konvoluci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'am\'{\i}thatjuk ki. Mivel $f(x)=0$,
$g(x)=0$, ha $x<0$, ez\'ert ebben az esetben a konvoluci\'oban
szerepl\H{o} integrandus $f(u)g(x-u)=0$, ha $u<0$ vagy
$x-u<0$, azaz $u\ge x$. Innen
$$
f*g(x)=\int_0^x \lambda e^{-\lambda u}\mu e^{-\mu(x-u)}\,du=
\lambda\mu e^{-\mu x}\int_0^x e^{-(\lambda-\mu)u}\,du, \quad\text{ha
}x\ge0,
$$
\'es $f*g(x)=0$, ha $x<0$. Ez\'ert
$$
f*g(x)=\frac{\lambda\mu e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}\[e^{-(\lambda
-\mu)u}\]_0^x= \lambda\mu \frac{e^{-\lambda x}-e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}
\quad\text{ha $x\ge0$ \'es }\lambda\neq \mu
$$
\'es abban az esetben, ha $\lambda=\mu$, akkor
$$
f*g(x)=\lambda^2x e^{-\lambda x} \quad\text{ha } x\ge0.
$$
\medskip
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Ha r\"ogz\'{\i}tj\"uk a $\lambda$
param\'etert, \'es a $\mu$ param\'etert tartatjuk $\lambda$-hoz, akkor
az $f*g(x)$ konvoluci\'o \'ert\'eke tart e konvoluci\'o \'ert\'ek\'ehez
$\lambda=\mu$ esetben. Val\'oban, ekkor
$$
\align
\lim_{\mu\to\lambda}f*g(x)&=\lim_{\mu\to\lambda}
\lambda\mu \frac{e^{-\lambda x}-e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}
=\lim_{\mu\to\lambda}
-\lambda\mu  x\frac{e^{-\lambda x}-e^{-\mu x}}{\lambda x-\mu x} \\
&=-\lambda^2 x\left.\frac{de^{-u}}{du}\right|_{u=\lambda x}=\lambda^2x
e^{-\lambda x},
\endalign
$$
ha $x>0$.
\medskip
\item{3.}
$\Var\xi^4=E(\xi^4)^2-(E\xi^4)^2=E\xi^8-(E\xi^4)^2=\int_{-1}^1\frac12
x^8\,dx-\(\int \frac12
x^4\,dx\)^2=\frac19-\(\frac15\)^2=\frac{16}{225}$.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as.} Sz\'amoljuk ki $\xi^4$ $F(x)$
eloszl\'as \'es $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
$$
F(x)=P(\xi^4<x)=P(-x^{1/4}<x<x^{1/4})=x^{1/4},\qquad \text{ha }0\le
x\le1
$$
$F(x)=0$, ha $x\le0$ \'es $F(x)=1$, ha $x\ge1$. Innen $f(x)=\frac14
x^{-3/4}$, ha $0\le x\le1$, $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Ez\'ert $E\xi =\int
xf(x)\,dx=\int_0^1\frac14x^{1/4}\,dx=\frac14\cdot\frac 45=\frac15$,
$E\xi^2=\int x^2f(x)\,dx=\int_0^1\frac14x^{5/4}\,dx=\frac14\cdot
\frac49=\frac19$, $\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=
\frac19-\(\frac15\)^2=\frac{16}{225}$.
\medskip
\item{4.} Jel\"olje $\xi_j$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot, amelyiket a $j$-ik pontdob\'as hat\'as\'ara a
jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}runk. Ekkor a $\xi_j$, $1\le
j\le 24~000$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek
\'es egyforma eloszl\'as\'uak. Jel\"olje $F(x)$ ezen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok (k\"oz\"os)
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Ezt fel\'{\i}rhatjuk $F=F_1+F_2$
m\'odon, ahol $F_1$ egy olyan m\'ert\'ek eloszl\'asf\"uggv\'enye,
amelyiknek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az $f(x)=\frac13$, ha $0\le
x\le 1$, $f(x)=0$, ha $x>1$ vagy $x<0$ f\"uggv\'eny, $F_2$ pedig olyan
m\'ert\'ek eloszl\'asa, amely az 1 \'es 2 pontba van koncentr\'alva,
\'es $\mu_{F_2}(\{1\})=\mu_{F_2}(\{2\})=\frac13$. Innen $E\xi_j=\int
xF(\,dx)=\int x F_1(\,dx)+\int x F_2(\,dx)
=\int_0^1\frac13x\,dx+\frac13(1+2)=\frac16+1=\frac76$. Hasonl\'oan
$E\xi_j^2=\int x^2F(\,dx)=\int x^2
F_1(\,dx)+\int x^2
F_2(\,dx)=\int_0^1\frac13x^2\,dx+\frac13(1+2^2)=\frac19+\frac53
=\frac{16}9$. Innen $\Var
\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\frac{16}9-\frac{49}{36}=\frac{15}{36}$.
Vezess\"uk be az $S=\summ_{j=1}{24~000}\xi_j$ jel\"ol\'est. Ekkor
$ES=24~000E\xi_1=28~000$, $\Var S=24~000\Var\xi_1=10~000=100^2$, \'es
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$
\align
P(27~900<S<28~150)&=P\(-1<\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}<1.5\)\\
&\sim \Phi(1.5)-\Phi(-1)=\Phi(1)+\Phi(1.5)-1\\
&\sim 0.8413+0.9332-1=0.7745
\endalign
$$
\medskip
\item{}{\it Megjegyz\'es:}\/ A $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o keresett v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek kisz\'amol\'asakor a
k\"ovetkez\H{o} tal\'an a hagyom\'anyos \'ervel\'esre jobban
t\'amaszkodva a k\"ovetkez\H{o}k\'epp is \'ervelhett\"unk volna.
Legyen $\eta_j$ a $j$-edik ledobott pont \'ert\'eke. Ekkor $\eta_j$
egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,3]$ intervallumban, \'es
$\xi_j=h(\eta_j)$, ahol $h(x)=x$, ha $0\le x\le1$, $h(x)=1$, ha $1\le
x<2$, $h(x)=2$, ha $2\le x\le 3$. Ez\'ert $E\xi_j=Eh(\eta_j)=\int_0^3
\frac13 h(x)\,dx=\int_0^1+\int_1^2+\int_2^3=\int_0^1
\frac13x\,dx+\frac13(1+2)$, \'es $E\xi_j^2=Eh^2(\eta_j)=\int_0^3
\frac13 h(x)^2\,dx=\int_0^1+\int_1^2
+\int_2^3=\int_0^1 \frac13x^2\,dx+\frac13(1+2^2)$.
\medskip
\item{5.} $\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta$, \'es $E\xi\eta=\int xy
f(x,y)\,dx\,dy$, $E\xi=\int x f(x,y)\,dx\,dy$, $E\eta=\int y
f(x,y)\,dx\,dy$. Innen
$$
\Cov(\xi,\eta)=\int xyf(x,y)\,dx\,dy-\int x f(x,y)\,dx\,dy \int y
f(x,y)\,dx\,dy.
$$
 
\bye
