DOLGOZAT FELADATOK

1. Legyen ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó, azaz legyen sűrűség-

függvénye φ(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2}, −∞ < x < ∞. Számítsuk ki ξ + 2ξ^{2} sűrűségfüggvé-

nyét.

2. Legyen ξ és η két független exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ illetve μ, paraméterrel, λ > 0, μ > 0, azaz legyen ξ sűrűségfüggvénye f(x) = λe^{−λx}, ha x ≥ 0 és f(x) = 0, ha x < 0, illetve η sűrűségfüggvénye g(x) = μe^{−μx}, ha x ≥ 0 és g(x) = 0, ha x < 0. Számítsuk ki ξ + η sűrűségfüggvényét.

3. Legyen ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [−1, 1] intervallumon, azaz legyen sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{2}, ha −1 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 0, ha x > 1 vagy x < −1. Számoljuk ki a ξ^{4} valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét.

4. Ledobunk a [0, 3] intervallumra 24 000 pontot egyenletes eloszlással, azaz egy ledobott pont egy valószínűséggel a [0, 3] intervalumba esik, és annak valószínűsége,

hogy a ledobott pont egy [a, b] ⊂ [0, 3] intervallumba esik \frac{b − a}{3}. Ha egy pont a [0, 1] intervallumba esik, akkor felírjuk a ledobott pont helyének pontos értékét egy jegyzőkönyvbe, ha a pont az (1, 2] intervalumba esik, akkor az 1 számot, ha pedig a (2, 3] intervallumba esik, akkor a 2 számot írjuk a jegyzőkönyvbe. Adjunk becslést a mellékelt normális eloszlástáblázat segítségével annak valószínűségére, hogy a jegyzőkönyvbe írt 24 000 szám összege 27 900 és 28 150 közé esik.

5. Legyen ξ és η két valószínűségi változó, amelyek együttes eloszlásának létezik f(x, y) sűrűségfüggvénye. Fejezzük ki a ξ és η valószínűségi változók Cov (ξ, η) kovarianciafüggvényét az f(x, y) sűrűségfüggvény segítségével.

MEGOLDÁSOK

1. Jegyezzük meg, hogy mivel ξ és 2ξ^{2} nem független valószínűségi változók, ezért összegük sűrűségfüggvényének kiszámítására nem használhatjuk a konvoluciót. Viszont ki tudjuk számolni xi + 2ξ^{2} G(x) eloszlásfüggvényét meghatározva, hogy a xi + 2ξ^{2} < x esemény milyen feltételt jelent a ξ valószínűségi változóra, mejd deriválva az eloszlásfüggvényt.

Vegyük észre, hogy ξ +2ξ^{2} a ξ = −\frac{1}{4} helyen veszi fel a minimumát. és az az x = −\frac{1}{8} érték. Ez azt jelenti, hogy G(x) = 0, ha x ≤ −\frac{1}{8}, és ξ + 2xi^{2} g(x) sűrűségfüggvénye g(x) = 0, ha x ≤ −\frac{1}{8}. Az x ≥ −\frac{1}{8} esetbem a ξ + 2ξ^{2} < x egyenlőtlenség akkor

teljesül, ha x_{1} < ξ < x_{2}, ahol x_{1} = x_{1}(x) = \frac{−1 − \sqrt{1 + 8x}}{4}. x_{2} = x_{2}(x) =

\frac{−1 + \sqrt{1 + 8x}}{4} a 2u^{2} + u − x = 0 egyenlet két gyöke. Ezért G(x) = Φ(x_{2}(x)) − Φ(x_{1}(x)) a fenti x_{1} és x_{2} számokkal, ahol Φ(·) a standard normális eloszlásfüggvényt jelöli. A keresett sűrűségfüggvényt e függvény (x szerinti) deriváltjaként kapjuk

meg x ≥ −\frac{1}{8} esetben. Mivel \frac{dx_{2}(x)}{dx} = −\frac{dx_{1}(x)}{dx} = \frac{4}{\sqrt{1 + 8x}}, ezért

g(x) = \frac{4}{\sqrt{1 + 8x}} (φ (\frac{−1 − \sqrt{1 + 8x}}{4}) + φ (\frac{−1 + \sqrt{1 + 8x}}{4}))

= \frac{4}{\sqrt{2π(1 + 8x)}}( exp \{−\frac{1}{32} − \frac{1 + 8x}{32} + \frac{\sqrt{1 + 8x}}{16}\}

+ exp \{−\frac{1}{32} − \frac{1 + 8x}{32} − \frac{\sqrt{1 + 8x}}{16}\} )

= \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{(1 + 8x)π}} (exp \{−\frac{1 + 4x − \sqrt{1 + 8x}}{16}\} + exp \{−\frac{1 + 4x + \sqrt{1 + 8x}}{16}\}) ,

ha x ≥ −\frac{1}{8}.

2. Tudjuk, hogy a tekintett két független valószínűségi változó összegének a sűrűségfüggvényét az f ∗ g(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(u)g(x − y) du konvolució segítségével számíthatjuk ki. Mivel f(x) = 0, g(x) = 0, ha x < 0, ezért ebben az esetben a konvolucióban szereplő integrandus f(u)g(x − u) = 0, ha u < 0 vagy x − u < 0, azaz u ≥ x. Innen

f ∗ g(x) = ∫_{0}^{x} λe^{−λu}μe^{−μ(x−u)} du = λμe^{−μx} ∫_{0}^{x} e^{−(λ−μ)u} du, ha x ≥ 0,

és f ∗ g(x) = 0, ha x < 0. Ezért

f ∗ g(x) = \frac{λμe^{−μx}}{μ − λ} [e^{−(λ−μ)u}]_{0}^{x} = λμ\frac{e^{−λx} − e^{−μx}}{μ − λ} ha x ≥ 0 és λ ≠ μ

és abban az esetben, ha λ = μ, akkor

f ∗ g(x) = λ^{2}xe^{−λx} ha x ≥ 0.

Megjegyzés: Ha rögzítjük a λ paramétert, és a μ paramétert tartatjuk λ-hoz, akkor az f ∗ g(x) konvolució értéke tart e konvolució értékéhez λ = μ esetben. Valóban, ekkor

lim_{μ→λ} f ∗ g(x) = lim_{μ→λ} λμ\frac{e^{−λx} − e^{−μx}}{μ − λ} = lim_{μ→λ} −λμx\frac{e^{−λx} − e^{−μx}}{λx − μx}

= −λ^{2}x \frac{de^{−u}}{du} |_{u=λx} = λ^{2}xe^{−λx},

ha x > 0.

3. Var ξ^{4} = E(ξ^{4})^{2} −(Eξ^{4})^{2} = Eξ^{8} −(Eξ^{4})^{2} = ∫_{−1}^{1} \frac{1}{2}x^{8} dx−(∫ \frac{1}{2}x^{4} dx)^{2} = \frac{1}{9} −(\frac{1}{5})^{2} = \frac{16}{225}.

Második megoldás. Számoljuk ki ξ^{4} F (x) eloszlás és f(x) sűrűségfüggvényét.

F (x) = P (ξ^{4} < x) = P (−x^{1/4} < x < x^{1/4}) = x^{1/4}, ha 0 ≤ x ≤ 1

F (x) = 0, ha x ≤ 0 és F (x) = 1, ha x ≥ 1. Innen f(x) = \frac{1}{4}x^{−3/4}, ha 0 ≤ x ≤ 1, f(x) = 0 egyébként. Ezért Eξ = ∫ xf(x) dx = ∫_{0}^{1} \frac{1}{4}x^{1/4} dx = \frac{1}{4} · \frac{4}{5} = \frac{1}{5}, Eξ^{2} = ∫ x^{2}f(x) dx = ∫_{0}^{1} \frac{1}{4}x^{5/4} dx = \frac{1}{4} · \frac{4}{9} = \frac{1}{9}, Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ)^{2} = \frac{1}{9} − (\frac{1}{5})^{2} = \frac{16}{225}.

4. Jelölje ξ_{j} azt a valószínűségi változót, amelyiket a j-ik pontdobás hatására a jegyzőkönyvbe írunk. Ekkor a ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 24 000 valószínűségi változók függetlenek és egyforma eloszlásúak. Jelölje F (x) ezen valószínűségi változók (közös) eloszlásfüggvényét. Ezt felírhatjuk F = F_{1} + F_{2} módon, ahol F_{1} egy olyan mérték eloszlásfüggvénye, amelyiknek a sűrűségfüggvénye az f(x) = \frac{1}{3}, ha 0 ≤ x ≤ 1, f(x) = 0, ha x > 1 vagy x < 0 függvény, F_{2} pedig olyan mérték eloszlása, amely az 1 és 2 pontba van koncentrálva, és μ_{F_{2}}(\{1\}) = μ_{F_{2}}(\{2\}) = \frac{1}{3}. Innen Eξ_{j} = ∫ xF ( dx) = ∫ xF_{1}( dx)+∫ xF_{2}( dx) = ∫_{0}^{1} \frac{1}{3}x dx+ \frac{1}{3}(1+2) = \frac{1}{6} +1 = \frac{7}{6}. Hasonlóan Eξ_{j}^{2} = ∫ x^{2}F ( dx) = ∫ x^{2}F_{1}( dx)+∫ x^{2}F_{2}( dx) = ∫_{0}^{1} \frac{1}{3}x^{2} dx+ \frac{1}{3}(1+2^{2}) = \frac{1}{9} + \frac{5}{3} = \frac{16}{9}. Innen Var ξ_{j} = Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2} = \frac{16}{9} − \frac{49}{36} = \frac{15}{36}. Vezessük be az S = ∑_{j=1} 24 000ξ_{j}

jelölést. Ekkor ES = 24 000Eξ_{1} = 28 000, Var S = 24 000Var ξ_{1} = 10 000 = 100^{2}, és a centrális határeloszlástétel alapján

P (27 900 < S < 28 150) = P (−1 < \frac{S − ES}{\sqrt{Var S}} < 1.5)
∼ Φ(1.5) − Φ(−1) = Φ(1) + Φ(1.5) − 1
∼ 0.8413 + 0.9332 − 1 = 0.7745

Megjegyzés: A ξ_{j} valószínűségi változó keresett várható értékének kiszámolásakor a következő talán a hagyományos érvelésre jobban támaszkodva a következőképp is érvelhettünk volna. Legyen η_{j} a j-edik ledobott pont értéke. Ekkor η_{j} egyenletes eloszlású a [0, 3] intervallumban, és ξ_{j} = h(η_{j}), ahol h(x) = x, ha 0 ≤ x ≤ 1, h(x) = 1, ha 1 ≤ x < 2, h(x) = 2, ha 2 ≤ x ≤ 3. Ezért Eξ_{j} = Eh(η_{j}) = ∫_{0}^{3} \frac{1}{3}h(x) dx = ∫_{0}^{1} + ∫_{1}^{2} + ∫_{2}^{3} = ∫_{0}^{1} \frac{1}{3}x dx + \frac{1}{3}(1 + 2), és Eξ_{j}^{2} = Eh^{2}(η_{j}) = ∫_{0}^{3} \frac{1}{3}h(x)^{2} dx = ∫_{0}^{1} + ∫_{1}^{2} + ∫_{2}^{3} = ∫_{0}^{1} \frac{1}{3}x^{2} dx + \frac{1}{3}(1 + 2^{2}).

5. Cov (ξ, η) = Eξη − EξEη, és Eξη = ∫ xyf(x, y) dx dy, Eξ = ∫ xf(x, y) dx dy, Eη = ∫ yf(x, y) dx dy. Innen

Cov (ξ, η) = ∫ xyf(x, y) dx dy − ∫ xf(x, y) dx dy ∫ yf(x, y) dx dy.