\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\noindent{\bf A m\'ajus 13.-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
\medskip
\medskip\noindent
 
\item{1.} L\'asssuk be a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast:
\item{} Legyenek $Z^{(j)}=\(Z^{(j)}_1,\dots,Z^{(j)}_k\)$,
$1\le j\le n$, v\'eletlen $k$-dimenzi\'os vektorok ugyanazon az
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ekkor a
$Z^{(1)}+\cdots+Z^{(n)}$ \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'eke megegyezik a
$Z^{(j)}$ vektorok v\'arhat\'o \'ert\'ekeinek az \"osszeg\'evel,
azaz
$$
E\(Z^{(1)}+\cdots+Z^{(n)}\)=EZ^{(1)}+\cdots+EZ^{(n)}.
$$
Ha a $Z^{(j)}$, $1\le j\le n$, v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek,
akkor a kovariancia m\'atrix is addit\'{\i}v, azaz, ha a $Z^{(j)}$
m\'atrix kovariancia m\'atrixa a $D_j$ m\'atrix, $1\le j\le n$, akkor
a $Z_{(1)}+\cdots+Z^{(n)}$ v\'eletlen \"osszeg kovariancia m\'atrixa
a $D_1+\cdots+D_n$ m\'atrix. Ha egy $Z=\(Z_1,\dots,Z_k\)$, v\'eletlen
vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke $M=(M_1,\dots,M_k)$, kovariancia
m\'atrixa a $D$ $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, $a$
tetsz\H{o}leges val\'os sz\'am, akkor az $aZ=\(aZ_1,\dots,aZ_k\)$,
v\'eletlen vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke  $aM$, kovariancia
m\'atrixa pedig az $a^2D$ kovariancia m\'atrix. Legyen tov\'abb\'a
$x=(x_1,\dots,x_k$ tetsz\H{o}leges $k$-dimenzi\'os vektor. Ekkor
$E(Z+x)=EZ+x$, a $Z+x$ vektor kovariancia m\'atrixa pedig
megegyezik a $Z$ vektor kovariancia m\'atrix\'aval.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A feladatban kimondott \'all\'{\i}t\'asok
k\"ovetkeznek az egy-dimenzi\'os esetben bizony\'{\i}tott
\'all\'{\i}t\'asokb\'ol. Az egy-dimenzi\'os v\'arhat\'o \'ert\'ek
additivit\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$E\(Z^{(1)}+\cdots+Z^{(n)}\)=EZ^{(1)}+\cdots+EZ^{(n)}$. Ha a $Z^{(j)}$
vektorok f\"uggetlenek, akkor tetsz\H{o}leges $j$ \'es $k$ indexre,
$$
\align
&\Cov\(\summ_{p=1}^n Z^{(p)}_j,\summ_{q=1}^n Z^{(q)}_k\)=
E\(\summ_{p=1}^n \(Z^{(p)}_j-EZ^{(p)}_j\)\summ_{q=1}^n
\(Z^{(q)}_k-EZ^{(q)}_k\)\) \\
&\qquad =E\(\summ_{p=1}^n \(Z^{(p)}_j-EZ^{(p)}_j\)
\(Z^{(p)}_k-Z^{(p)}_k\)\)=\summ_{p=1}^n\Cov\(Z^{(p)},Z^{(q)}\),
\endalign
$$
mert $E\(Z^{(p)}_j-EZ^{(p)}_j\)\(Z^{(q)}_k-Z^{(q)}_k\)=
E \(Z^{(p)}_j-EZ^{(p)}_j\)E\(Z^{(q)}_k-Z^{(q)}_k\)=0$, ha $p\neq q$
a f\"uggetlens\'eg miatt. Ez az azonoss\'ag pedig azt jelenti, hogy
f\"uggetlen v\'eletlen vektorok kovariancia m\'atrixa addit\'{\i}v.
\item{}  Az, hogy $E(Z+x)=EZ+x$, $EaZ=aEZ$,
$\Cov(Z_p+x,Z_q+y)=\Cov(Z_p,Z_q)$,
$\Cov(aZ_p,aZ_q)=a^2\Cov(Z_p,Z_q)$, tetsz\H{o}leges
$Z=(Z_1,\dots,Z_k)$ vektorra \'es $1\le p,q\le k$ indexekre
k\"ovetkezik az egydimenzi\'os esetben m\'ar bizony\'{\i}tott
\'all\'{\i}t\'asokb\'ol. Ezek az azonoss\'agok tartalmazz\'ak a
feladat kor\'abban nem bizony\'{\i}tott \'all\'{\i}t\'asait.
\item{2.} Mutassunk p\'eld\'at k\'et korrel\'alatlan $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora, amelyek nem f\"uggetlenek.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sok egyszer\H{u} p\'eld\'at adhatunk.
Tekints\"uk p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'at: Legyen $\xi$
egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban, Ekkor a $\xi$ \'es $\eta=\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok korrel\'alatlanok, de nem
f\"uggetlenek. Val\'oban, $E\xi=0$, $E\eta=E\xi^2=\dfrac1{12}$,
$E\xi\eta=E\xi^3=0$, $\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta=0$.
M\'asr\'eszt $\xi$ \'es $\eta$ nem f\"uggetlenek, s\H{o}t az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o determinisztikus f\"uggv\'enye.
a felhaszn\'alt azonoss\'agok ellen\H{o}rz\'es\'et
egyszer\H{u}s\'{\i}theti az az \'eszrev\'etel, hogy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
p\'aros f\"uggv\'eny. Viszont, ha egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy p\'aros $f(x)$,
f\"uggv\'eny, akkor $E\xi=\int xf(x)\,dx=0$, $E\xi^3=\int x^3f(x)\,dx$.
\item{} Egy lehets\'eges form\'alis indokl\'asa annak, hogy $\xi$ \'es
$\eta$ nem f\"uggetlen a k\"ovetkez\H{o}: Legyen $0<a<1$
tetsz\H{o}leges sz\'am. Ekkor $\{\oo\:\eta<a^2\}=\{\oo\:|\xi|<a\}$.
Ez\'ert $P(\xi<a,\eta<a^2)=P(\xi<a)$, azaz $P(\xi<a,\eta<a^2)\neq
P(\xi<a)P(\eta<a^2)$.
\item{3.} Legyen $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m=(m_1,\dots,m_k)$
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $D=(d_{j,l})$, $1\le j,l\le k$,
kovariancia m\'atrix-szal. Legyen $B=(b_{j,l})$, $1\le j,l\le k$,
valamely $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix. Mutassuk meg, hogy az
$\eta B=(\eta_1,\dots,\eta_k)B$ $k$-dimenzi\'os v\'eletlen vektor
v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora $mB$ \'es kovariancia m\'atrixa $B^*DB$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az $E\eta B$ vektor $r$-ik eleme
$$
E\(\summ_{j=1}^k\eta_j b_{j,r}\)=\(\summ_{j=1}^k b_{j,r}E\eta_j\)=
\(\summ_{j=1}^k m_j b_{j,r}\),
$$
\'es ez az $mB$ vektor $r$-ik eleme. Az $\eta B$ vektor kovariancia
m\'atrix\'anak $r$-ik sor\'aban \'es $s$-ik oszlop\'aban \'all\'o
elem
$$
\align
f_{r,s}&=\Cov\(\summ_{j=1}^k \eta_j b_{j,r},
\summ_{l=1}^k \eta_l b_{l,s}\)=
E\(\summ_{j=1}^k (\eta_j-E\eta_j) b_{j,r}
\summ_{l=1}^k (\eta_l-E\eta_l) b_{l,s}\)\\
&=\summ_{j=1}^k \summ_{l=1}^kb_{j,r} b_{l,s}E (\eta_j-E\eta_j)
(\eta_l-E\eta_l))
=\summ_{j=1}^k \summ_{l=1}^kb_{j,r} b_{l,s}\Cov (\eta_j,\eta_l) \\
&=\summ_{j=1}^k \summ_{l=1}^kEb_{j,r} b_{l,s} d_{j,l}
=\summ_{j=1}^k \summ_{l=1}^kEb^*_{r,j} d_{j,l}  b_{l,s},
\endalign
$$
ahol $b^*(r,j)=b_{j,r}$. Ez a kifejez\'es viszont megegyezik a $B^*DB$
m\'atrix $r$-ik sor\'aban \'es $s$-ik oszlop\'aban \'all\'o elemmel.
\item{4.} Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o $(\Omega,\Cal B, \bold P)$
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi mez\H ot: $\Omega=[0,1]$, \
$\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebra $[0,1]$-en, \'es $\bold P$ a
Lebesgue m\'ert\'ek. Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o $\xi$
\'es $\eta$ va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat ezen
a mez\H on: $\xi(x)=\Phi^{-1}(x)$,
$$
\eta(x)=\cases
\xi(1-x)& \text{ha }0\le x<\frac12\\
\xi\(x-\frac12\)& \text{ha }\frac12\le x\le1
\endcases.
$$
L\'assuk be, hogy $\xi$ \'es $\eta$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok, de a $(\xi,\eta)$ vektor
nem norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektor.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok azonos eloszl\'as\'uak.
Tov\'abb\'a,
$$
P(\xi>x)=\lambda(\Phi(x),1])=1-\Phi(x)\;.
$$
Az, hogy  $(\xi,\eta)$ vektor nem norm\'alis eloszl\'as\'u
k\"ovetkezik p\'eld\'aul a $P(\xi+\eta=0)=\frac12$ azonoss\'agb\'ol.
Mi\'ert? \medskip
\item{5.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen a
$\[-\dfrac12,\dfrac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok.
Mutassuk meg, hogy a $\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\summ_{j=1}^n\xi_j^2$ \"osszegek nor\-ma\-li\-z\'alt\-jai\-nak
azaz az  $\sqrt{\dfrac{12}n}\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\sqrt{\dfrac{180}n}\summ_{j=1}^n\(\xi_j^2-\dfrac 1{12}\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak az egy\"ut\-tes
el\-osz\-l\'asa a k\'et-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'ashoz konverg\'al, ha $n\to\infty$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/  $E\xi=0$, $E\xi^2=\dfrac1{12}$,
$\Var\xi=\dfrac1{12}$, $\Var\xi^2=E\xi^4-(E\xi^2)^2
=\dfrac1{80}-\dfrac1{144}=\dfrac1{180}$. Tov\'abb\'a $\Cov
(\xi,\xi^2)=E\xi^3-E\xi E\xi^2=0$. Ez\'ert a
$\(\sqrt{12}\xi_j,\sqrt{180}\(\xi_j^2-\dfrac1{12}\)\)$, $j=1,2,\dots$,
v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel
\'es az identit\'as kovariancia m\'atrix-szal. Innen, \'es a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l
k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{6.} Legyen $(\xi,\eta)$ norm\'alis eloszl\'as\'u vektor
$m=(m_1,m_2)=(E\xi,E\eta)$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es
$$
\(\matrix
\sigma_{1,1},&\sigma_{1,2}\\
\sigma_{2,1},&\sigma_{1,1}
\endmatrix\) =
\(\matrix
E\xi^2-(E\xi)^2,&E\xi\eta-E\xi E\eta\\
E\xi\eta-E\xi E\eta,&E\eta^2-(E\eta)^2
\endmatrix\)
$$
kovarianciam\'atrix-szal. Ekkor l\'etezik a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak $\xi=a\eta+\zeta$ alak\'u
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa alkalmas $a$ konstanssal, \'es az
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen
$\zeta$ norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oval. Ez azt jelenti, hogy ha $(\xi,\eta)$
k\'et-di\-men\-zi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor az els\H{o} koordin\'ata
kifejezhet\H{o} mint a m\'asodik kooordin\'ata konstansszoros\'anak
\'es egy a m\'asodik koordin\'at\'at\'ol f\"uggetlen norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszege. A
k\'{\i}v\'ant $a$ konstanst explicit m\'odon megadhatjuk az
$a=\dfrac{\sigma_{1,2}}{\sigma_{2,2}}$ k\'eplet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} Hogy \'altal\'anos\'\i{}that\'o a fenti \'all\'\i{}t\'as abban
az esetben, ha $\xi$ \'es $\eta$ vektorv\'altoz\'ok is lehetnek?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\zeta=\xi-\dfrac{\sigma_{1,2}}
{\sigma_{1,1}}\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggetlen
az $\eta$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ot\'ol. Ehhez a
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as tulajdons\'agai
alapj\'an el\'eg ellen\H{o}rizni, hogy $\Cov(\zeta,\eta)=0$. Innen
k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{} Az az eset, amikor $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_s)$,
$\eta=(\eta_1,\dots,\eta_p)$, \'es
$(\xi_1,\dots,\xi_s,\eta_1,\dots,\eta_p)$ egy $s+p$ dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
hasonl\'oan t\'argyalhat\'o. L\'assuk be, hogy
l\'etezik olyan $\A$ m\'atrix, amelyre $\eta$ \'es $\xi-\eta\A$
f\"uggetlenek. Ennek \'erdek\'eben l\'assuk be el\H osz\"or, hogy
l\'etezik olyan $\U$ unit\'er m\'atrix amelyre $\eta\U=(\bar
\eta_1,\dots,\bar\eta_p)=\bar\eta$ vektor koordin\'at\'ai
f\"uggetlenek. Ugyanis, ha az $\eta$ v\'eletlen vektor $D$
kovarianciam\'atrix\'at $D=\bold U^*\Lambda \bold U$ alakban
\'{\i}rjuk, ahol $\bold U$ unit\'er $\Lambda$ pedig diagon\'alis
m\'atrix, akkor az $\bar\eta=\eta\bold U$ v\'eletlen norm\'alis
eloszl\'as\'u vektor kovarianciam\'atrixa $\Lambda$, ahonnan
k\"ovetkezik, hogy az $\bar\eta$ m\'atrix koordin\'at\'ai
f\"uggetlenek. Legyen $\bar \xi_r=\xi_r-\sum\limits_{k=1}^p
\dfrac{E\xi_r\bar \eta_k}{E\bar\eta_k^2}\bar\eta_k$, $r=1,\dots,s$.
Ezt m\'a\-trix\-je\l\"o\-l\'es\-sel \'\i{}rjuk $\bar\xi=\xi-\bar
\eta\BB$ form\'aban. Ekkor $(\xi-\bar\eta B,\bar\eta)$ olyan $p+s$
dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amelynek els\H{o} $s$ \'es utols\'o $p$ koordin\'at\'aja
korrel\'alatlan, ez\'ert f\"uggetlen. Mivel a $\xi-\bar\eta\BB$ \'es
$\bar\eta$ vektorok f\"uggetlenek, ez\'ert
$\zeta=\xi-\bar\eta\BB=\xi-\eta \bold U\BB$ f\"uggetlen az
$\eta=\bar\eta \bold U^*$ vektort\'ol.
\medskip
\item{7.} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 1 sz\'or\'asn\'egyzettel
\'es 2 v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, azaz legyen $\xi$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-(x-2)^2/2}$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki
az $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o \'ert\'eket tetsz\H{o}leges $t$ val\'os
sz\'amra.
\item{} {\it Els\H{o} megold\'as:}\/ Vezess\"uk be az $\eta=\xi-2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Ekkor $\eta$ standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, \'es kor\'abban l\'attuk (\'aprilis 22.-i gyakorlat, 6.
feladat), hogy egy ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora
$Ee^{t\eta}=e^{t^2/2}$. Innen k\"ovetkezik, hogy $\xi=\eta+2$,
$Ee^{t\xi}=Ee^{t(\eta+2)}=e^{2t}Ee^{t\eta}=e^{2t}e^{t^2/2}=e^{t^2/2+2t}$.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as:}\/ Sz\'amolhatunk hasonl\'oan, mint
tett\"uk azt a standard norm\'alis eloszl\'as eset\'eben.
$$
\align
&E e^{t\xi}=\int_{-\infty}^\infty
e^{tu}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(u-2)^2/2}\,du
=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{2t+t(u-2)-(u-2)^2/2-t^2/2+t^2/2}\,du \\
&\quad=e^{2t+t^2/2}\int_{-\infty}^\infty
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(t-(u-2))^2/2}\,du
=e^{2t+t^2/2}\int_{-\infty}^\infty
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=e^{2t+t^2/2}.
\endalign
$$
\medskip
\item{8.} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre
$E\xi_1=0$ \'es $E\xi_1^2<\infty$. Legyen $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$,
$n=1,2,\dots$. Ekkor pozit\'{\i}v val\'os sz\'amok valamely $a_n$
sorozat\'ara a $\dfrac{S_n}{a_n}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok akkor \'es csak akkor tartanak sztochasztikusan
null\'ahoz $n\to\infty$ eset\'en, ha
$\limm_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{\sqrt n}=\infty$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ha
$\limm_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{\sqrt n}=\infty$, akkor
$$
P\(\dfrac{|S_n|}{a_n}>\e\)=P\(\dfrac{|S_n|}{\sqrt{n\Var\xi_1}}
>\dfrac{\e a_n} {\sqrt{n\Var\xi_1}}\)\le P\(\dfrac{|S_n|}
{\sqrt{n\Var\xi_1}}>K\)
$$
tetsz\H{o}leges $\e>0$ \'es $K>0$ sz\'amra, ha $n\ge n_0(\e,K)$.
Ez\'ert a centr\'alis hat\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'etel alapj\'an
$P\(\dfrac{|S_n|}{a_n}>\e\)\le\delta$, ha $n\ge n_0=n_0(\e,\delta)$,
azaz az $\dfrac{S_n}{a_n}$ sorozat sztochasztikusan tart null\'ahoz.
\item{} Megford\'{\i}ta, ha az $\dfrac{a_n}{\sqrt n}$ sorozat nem
tart v\'egtelenhez, akkor l\'etezik a term\'eszetes sz\'amoknak olyan
$n_k\to\infty$ r\'eszsorozata, amelyre
$\limsupp_{k\to\infty}\dfrac{a_{n_k}}{\sqrt{n_k}}\le L$, ez\'ert
$$
\align
\liminf_{k\to\infty}P\(\dfrac{|S_{n_k}|}{a_{n_k}}>1\)&=
\liminf_{k\to\infty}P\(\dfrac{|S_{n_k}|}{\sqrt{n_k\Var\xi_1}}
>\dfrac{a_{n_k}} {\sqrt{n_k\Var\xi_1}}\)\\
&\ge \liminf_{k\to\infty} P\(\dfrac{|S_{n_k}|}
{\sqrt{n\Var\xi_1}}>\dfrac L{\sqrt{\Var\xi_1}}\)>0
\endalign
$$
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an. Ez\'ert ebben az
esetben az $\dfrac{S_n}{a_n}$ sorozat nem tar sztochasztikusan
null\'ahoz.
 
 
 
 
 \bye
 
 
 
 
