\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A febru\'ar 18.-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai.}  \medskip\noindent
{\it Feladatok:}
\medskip
 
\item{1.)} Reggel valaki hazulr\'ol elmenve a lak\'askulcsot elteszi,
m\'egpedig \'ugy, hogy 0.5 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel teszi a
kab\'atzseb\'ebe, 0.3 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a nadr\'agzseb\'ebe
\'es 0.2 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a mell\'enyzseb\'ebe.
A nap folyam\'an mindenfel\'e j\'ar, ez\'ert a lak\'askulcs a
kab\'atzseb\'eb\H{o}l 0.1, a nadr\'agzseb\'eb\H{o}l 0.2, a
mell\'enyzseb\'eb\H{o}l viszont 0 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
esik ki. Este hazat\'erve ember\"unk  el\H{o}sz\"or a kab\'at majd a
nad\-r\'ag\-zse\-b\'e\-ben keresi a kulcsot, de egyik helyen sem
tal\'alja. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a lak\'askulcs
ott van a mell\'enyzseb\'eben?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy
ember\"unk a lak\'askulcsot a kab\'at $A_2$, hogy a nadr\'ag \'es
$A_3$, hogy a mell\'enyzseb\'ebe tette. Jel\"olje tov\'abb\'a $B$ azt
az esem\'enyt, hogy a kulcs nem veszett el. Ekkor felt\'eteleink
szerint az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek egym\'ast kiz\'ar\'oak,
$P(A_1)=0.5$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.2$ tov\'abb\'a $P(B|A_1)=0.9$,
$P(B|A_2)=0.8$ \'es $P(B|A_3)=1$. Vezess\"uk be a
$C=(\bar B\cap A_1)\cup (\bar B\cap A_2)\cup A_3$ esem\'enyt. Ekkor $C$
jelenti azt az esem\'enyt, hogy ember\"unk este nem tal\'alta a
lak\'askulcsot sem a kab\'at sem a nadr\'agzseb\'eben. Ez\'ert minket a
$P(B|C)=\dfrac{P(B\cap C)}{P(C)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Viszont $P(C)=P(A_1\cap \bar
B)+P(A_2\cap \bar B)+P(A_3)=P(\bar B|A_1)P(A_1)+P(\bar
B|A_2)P(A_2)+P(A_3)=0.1\cdot 0.5+0.2\cdot 0.3+0.2=0.31$, \'es
$P(B\cap C)=P(B\cap A_3)=P(A_3)=0.2$. Innen a minket \'erdekl\H{o}
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke
$\dfrac{0.2}{0.31}=\dfrac{20}{31}$.
\item{2.)} A Fazekas k\"onyv egyik feladata (3.4 P\'elda a 32. oldalon)
arr\'ol sz\'ol, hogy ha egy $n$ l\'etsz\'am\'u csoportban $r$
v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott di\'aknak dolgozatot kell \'{\i}rni, mi
annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legrosszabb
di\'aknak is dolgozatot kell \'{\i}rni, felt\'eve, hogy a legjobb
di\'ak is dolgozatot \'{\i}r.
\item{} Heurisztikusan \'ugy \'ervelhet\H{u}nk, hogy ha a legjobb
di\'ak dolgozatot \'{\i}r, akkor annak (felt\'eteles)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legrosszabb di\'ak is dolgozatot
\'{\i}r, azzal egyenl\H{o}, hogy a marad\'ek $n-1$ di\'ak
k\"oz\"ul \H{o}t is kiv\'alasztj\'ak a marad\'ek $r-1$
dolgozat\'{\i}r\'o k\"oz\'e, teh\'at $\dfrac{r-1}{n-1}$. Kiss\'e
pontosabban, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mind a ketten
dolgozatot \'{\i}rnak, $\dfrac{r(r-1)}{n(n-1)}$, annak, hogy a
legjobb di\'ak dolgozatot \'{\i}r $\dfrac rn$, ahonnan k\"ovetkezik az
\'all\'{\i}t\'as. Ha a k\"onyvben szerepl\H{o} eredm\'enyt
egyszer\H{u}bb alakra hozzuk, l\'atjuk hogy az eredm\'eny helyes.
Adjunk k\"ozvetlen, a szeml\'eletet k\"ovet\H{o} prec\'{\i}z
bizony\'{\i}t\'ast arra, hogy a fenti formul\'ak az adott
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre helyesek.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Az urna visszatev\'es n\'elk\"uli h\'uz\'as
modellj\'enek \'ervel\'es\'et alkalmazhatjuk ebben az esetben is.
Tegy\"uk fel, hogy egym\'as ut\'an kiv\'alasztjuk a dolgozatot
\'{\i}r\'okat, Minden l\'ep\'esben az eddig ki nem v\'alasztottak
valamelyik\'et v\'alasztjuk ki egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
Ha kijel\"ulj\"uk (az urn\'ab\'ol val\'o h\'uz\'asn\'al szerepl\H{o}
\'ervel\'est haszn\'alva) egy k\"ul\"on (egy elem\H{u}) csoportba a
legjobb, egy k\"ul\"on (egy elem\H{u}) csoportba a legrosszabb
di\'akot, egy k\"ul\"on csportba az \"osszes t\"obbit, akkor
r\"ogz\'{\i}tve egy $1\le j,k\le r$, $j\neq k$ sz\'amp\'art kapjuk,
hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik
v\'alaszt\'asn\'al v\'alasztunk az els\H{o}, a $k$-ik v\'alaszt\'askor
a m\'asodik csoportb\'ol, megegyezik annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} v\'alaszt\'askor
v\'alasztunk az els\H{o}  \'es a m\'asodik v\'alaszt\'askor a m\'asodik
csoportb\'ol. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege viszont
$\dfrac1{n(n-1)}$. Mivel  a fenti esem\'enyek k\"ul\"onb\"oz\H{o}
$(j,k)$ sz\'amp\'arokra kiz\'arj\'ak egym\'ast, ez\'ert annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legjobb \'es alegrosszabb di\'ak
is dolgozatot \'{\i}r $\dfrac{r(r-1)}{n(n-1)}$. Hasonl\'oan,
l\'athat\'o, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legjobb
di\'ak dolgozatot \'{\i}r az $\dfrac rn$ sz\'ammal egyenl\H{o}.
 
\item{3.)} Egy di\'ak a feltett k\'erd\'esre (h\'arom lehet\H{o}s\'eg
k\"oz\"ul kell kiv\'alasztani a megfelel\H{o}t) $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel tudja a helyes v\'alaszt. Ha nem tudja,
akkor tippel, \'es ez $\dfrac13$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel ad helyes
eredm\'enyt. Mi a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
tudja a v\'alaszt felt\'eve, hogy helyes v\'alaszt adott?
\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy tudja
a helyes v\'alaszt, $B$ azt az esem\'enyt, hogy helyes v\'alaszt ad. A
$P(A|B)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'ek\'ere vagyunk
ki\-v\'a\-ncsi\-ak. Ekkor $P(A)=P(A\cap B)=p$, $P(B)=P(A\cap B)+P(\bar
A\cap B)=P(A)+\dfrac13 P(\bar A)=p+\dfrac13(1-p)$. Innen $P(A|B)=\dfrac
p{p+\frac13(1-p)}$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} A zseb\"unkben van 30 kulcs, amelyek k\"oz\"ul az egyik nyit
egy z\'arat. Egym\'as ut\'an kipr\'ob\'aljuk v\'eletlenszer\H{u}en
kipr\'ob\'alva ezeket a kulcsokat. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
annak, hogy a 20. kis\'erletre siker\"ul kinyitni a z\'arat? Mi annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 20. kis\'erletben siker\"ul
kinyitni a z\'arat felt\'eve, hogy az els\H{o} 19 kis\'erletben ez nem
siker\"ult? \medskip
\item{4.)} Feldobunk egy dob\'okock\'at, majd ut\'ana annyi
dob\'okock\'at, amennyi az els\H{o} dob\'as eredm\'enye volt. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a m\'asodik dob\'assorozatban
lesz hatos? Mi annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az els\H{o} dob\'as eredm\'enye hatos, felt\'eve hogy a m\'asodik
dob\'assorozatban volt hatos?
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"unk azokat az esem\'enyeket,
amelyek le\'{\i}rj\'ak a lehets\'eges do\-b\'as\-so\-ro\-za\-tok
eredm\'eny\'et, \'es adjuk meg ezek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et.
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} dob\'as eredm\'enye
$i$, majd ezt k\"ovet\H{o}en egy $i$ hossz\'us\'ag\'u 1 \'es 6
k\"oz\"otti sz\'amokat tartalmaz\'o dob\'assorozatot kapunk
$\(\dfrac16\)^{i+1}$. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} dob\'as eredm\'enye $i$, \'es az utols\'o $i$ dob\'as egyike
sem hatos, $\dfrac16\cdot\(\dfrac56\)^i$. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik dob\'assorozatban van
hatos
$$
\dfrac16\(\(1-\dfrac56\)+\cdots+\(1-\(\dfrac56\)^6\)\).
$$
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} dob\'as hatos,
ut\'ana pedig van hatos dob\'as $\dfrac16\(1-\(\dfrac56\)^6\)$.
Ez\'ert a keresett felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$$
\dfrac{1-\(\dfrac56\)^6}{\(1-\(\dfrac56\)\)+\cdots+\(1-\(\dfrac56\)^6\)}.
$$
\item{5.)} H\'arom g\'ep gy\'art csavarokat, az egyik 0.01 a m\'asodik
0.02 a harmadik 0.03 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel gy\'art
hib\'as csavarokat. A csavarokat egy rakt\'arba viszik \"osszekeverik.
Egy gy\'artott csavar 0.5 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult az
els\H{o} 0.3 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a m\'asodik \'es 0.2
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult a harmadik g\'epen.
Kivesz\"unk egy csavart, megn\'ezz\"uk, \'es azt tal\'aljuk, hogy az
hib\'as. Milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult a csavar eme
felt\'etelek mellett az els\H{o} g\'epen?
\item{} {\it Megold\'as:} Jel\"olje $A_1$, $A_2$ illetve $A_3$ azt az
esem\'enyt, hogy a csavar az els\'o, m\'asodik vagy harmadik g\'epen
k\'esz\"ult, $B$ azt az esem\'enyt, hogy a csavar hib\'as. Ekkor minket
a $P(A_1|B)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Tudjuk,
hogy $P(A_1)=0.5$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.2$, tov\'abb\'a
$P(B|A_1)=0.01$, $P(B|A_2)=0.02$, \'es $PB(B|A_3)=0.03$. Ekkor
$$
\align
P(A_1|B)&=\frac{P(B\cap A_1)}{P(B)}=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B\cap
A_1)+ P(B\cap A_2)+P(B\cap A_3)}\\
&=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+
P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)}\\
&=\frac{0.01\cdot 0.5}{0.01\cdot 0.5+0.02\cdot0.3+0.03\cdot 0.2}.
\endalign
$$
\item{6.)} Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy
(szab\'alyos) dob\'okocka mindk\'et dob\'as\'anak az eredm\'enye hatos
felt\'eve, hogy legal\'abb az egyik dob\'as hatos?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt,
hogy az els\H{o} dob\'as eredm\'enye hatos, $A_2$ azt az esem\'enyt,
hogy a m\'asodik dob\'as eredm\'enye hatos. Akkor minket a $P(A_1\cap
A_2|A_1\cup A_2)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Viszont
$$
P(A_1\cap A_2|A_1\cup A_2)=\dfrac{P((A_1\cap A_2)\cap(A_1\cup
A_2))}{P(A_1\cup A_2)}=\dfrac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1\cup A_2)}.
$$
M\'asr\'eszt $P(A_1\cap A_2)=\dfrac1{36}$, $P(A_1\cup A_2)=1-P(\bar
A_1\cap \bar A_2)=1-\dfrac{25}{36}=\dfrac{11}{36}$. Innen a keresett
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\dfrac1{11}$.
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} (egyszer\H{u}) feladat c\'elja az, hogy
\"osszehasonl\'{\i}tsuk annak eredm\'eny\'et az el\H{o}bb t\'argyalt
feladattal, \'es megbesz\'elj\"uk m\'ast jelent az a felt\'etelt, hogy
k\'et kockadob\'as k\"oz\"ul az egyik hatos, \'es az hogy
ad\'odott hatos dob\'as. K\'epesek vagyunk-e szeml\'elet\"unk
alapj\'an sz\'amol\'as n\'elk\"ul megmondani, melyik feltev\'es
mellett nagyobb annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
mind a k\'et dob\'as hatos? \medskip
\item{7.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk k\'etszer egym\'as
ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy mind a
k\'et dob\'as hatos, felt\'eve hogy az els\H{o} dob\'as hatos?
\item{}{Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy az
els\H{o} dob\'as hatos, $A_2$ pedig azt az esem\'enyt, hogy a m\'asodik
dob\'as hatos. Ekkor $A_1\cap A_2$ az az esem\'eny, hogy mind a k\'et
dob\'as hatos, \'es minket a $P(A_1\cap A_2|A_1)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel. Viszont,
$P(A_1\cap A_2|A_1)=\dfrac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)}
=\dfrac{P(A_1)P(A_2)}{P(A_1)}=P(A_2)=\dfrac16$.
 
\medskip {\it H\'azi feladat:}
\item{} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk h\'aromszor egym\'as
ut\'an. Mi a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy mind
a h\'arom dob\'as fej, felt\'eve, hogy legal\'abb k\'et fejdob\'as
t\"ort\'ent?
 
 
A k\"ovetkez\H{o} feladat \'all\'{\i}t\'as\'at gyakran h\'{\i}vj\'ak
teleszk\'op szab\'alynak:
 
 
\medskip {\it H\'azi feladat:}
\item{} $P(B_1\cap\cdots\cap B_n)=P(B_1|B_2\cap\cdots\cap B_{n-1}
\cap B_n)\cdots P(B_{n-1}|B_n)P(B_n)$, ha $P(B_2\cap\cdots\cap B_n)>0$.
\medskip
\item{8.)} K\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} f\'ar\'ol leszednek 100
alm\'at, \'es beteszik k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
(meg\-k\"u\-l\"on\-b\"oz\-tet\-he\-tet\-len) l\'ad\'aba. Ez egyik
f\'ar\'ol szedett alm\'ak (egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul) $\dfrac14$
a m\'asik f\'ar\'ol szedett alm\'ak pedig (szint\'en egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul) $\dfrac1{10}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
f\'ergesek. Kivesz\"unk az egyik (v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott)
l\'ad\'ab\"ol k\'et alm\'at \'es mind a kett\H{o} f\'erges. Ezek
ut\'an kivesz\"unk a m\'asik l\'ad\'a\'ol egy alm\'at. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez az alma m\'ar nem f\'erges?
\item{} {\it Megold\'as:} A feladat r\'eszletesebben (pontosabban)
\'ugy fogalmazhat\'o meg, hogy mi annak a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik l\'ad\'ab\'ol m\'ar nem
f\'erges alm\'at h\'uznak, felt\'eve, hogy az a tov\'abbiakban $C$-vel
jel\"olt esem\'eny k\"ovetkezett be, hogy az els\H{o} l\'ad\'ab\'ol
val\'o k\'et h\'uz\'asban f\'erges alm\'at h\'uztunk.
\item{} Jel\"olje $B$ azt az esem\'enyt, hogy az els\H{o}nek
v\'alasztott l\'ada a rosszabb, azaz ez az $\dfrac14$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel f\'erges alm\'akat tartalmaz\'o
l\'ada, $\bar B$ pedig jel\"olje a komplementer esem\'enyt, azaz azt,
hogy el\H{o}sz\"or az $\dfrac1{10}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
f\'erges alm\'akat tartalmaz\'o l\'ad\'ahoz ny\'ultunk. Ekkor
feltev\'eseink szerint $P(B)=P(\bar B)=\dfrac12$,
\'es $P(C|B)=\(\dfrac14\)^2$, $P(C|\bar B)=\(\dfrac1{10}\)^2$. (K\'et
egym\'ast\'ol f\"uggetlen kis\'erletet v\'egezt\"unk el, mind a k\'et
kis\'erlet eset\'en a bek\"ovetkezett eredm\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\dfrac14$, illetve $\dfrac1{10}$.
 
\item{} Sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or a $P(B|C)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget, azaz annak felt\'eteles
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et, hogy el\H{o}sz\"or a
rosszabb, azaz az $\dfrac14$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel f\'erges
alm\'akat tartalmaz\'o l\'ad\'ahoz ny\'ultunk, felt\'eve, hogy a
kih\'uzott k\'et alma f\'erges. E felt\'eteles
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg ki\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'asa
\'erdek\'eben sz\'am\'{\i}tsuk ki el\H{o}bb a $P(B\cap C)$ \'es $P(B)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge\-ket. Fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
P(B\cap C)= F(B|C)P(C)=\dfrac 12\(\dfrac 14\)^2, \qquad
P(\bar B\cap C)= F(C|\bar B))P(\bar B)=\dfrac 12\(\dfrac 1{10}\)^2,
$$
ahonnan
$$
P(C)=P(B\cap C)+P(\bar B\cap C)=
\dfrac1{32}+\dfrac1{200}=\frac{29}{800},
$$
\'es
$$
P(B|C)=\frac{P(B\cap C)}{P(C)}=\dfrac{25}{29}.
$$
 \item{} Jel\"olje, $D$ azt az esem\'enyt, hogy az utols\'o
h\'uz\'askor nem f\'erges alm\'at h\'uzunk. Ekkor feltev\'eseink
 szerint $P(D|B)=\dfrac9{10}$, \'es $P(D|\bar B)=\dfrac34$, s\H{o}t
azt is tudjuk, hogy $P(D|B\cap C)=\dfrac9{10}$, \'es $P(D|\bar B\cap
C)=\dfrac34$, mert a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg csak
att\'ol f\"ugg, hogy melyik l\'ad\'ahoz ny\'ultunk, de annak nincs
jelent\H{o}s\'ege, hogy milyen kis\'erletsorozat ut\'an
v\'alasztottuk azt ki. Minket a $P(D|C)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Viszont
$$
\align
P(D|C)&=P(D\cap B|C)+P(D\cap \bar B|C)\\
&=P(D|B\cap C)P(B|C)+P(D|\bar B\cap C)P(\bar B|C)\\
&=\dfrac9{10}P(B|C)+\frac34 \(1-P(B|C)\)
=\frac9{10}\frac{25}{29}+\frac34\frac4{29}=\frac{255}{290}
\endalign
$$
\medskip
\item{9.} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk $n\ge 5$ alkalommal.
Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy legal\'abb 5 fejdob\'as
t\"ort\'enik? Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy egy
szab\'alyos p\'enzdarab v\'egtelen sok dob\'asa sor\'an legfeljebb 5
fejdob\'as t\"ort\'enik? Tekints\"uk ennek az ut\'obbi feladatnak egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellj\'et \'es besz\'elj\"uk meg a
k\"ovetkez\H{o} k\'et tulajdons\'ag kapcsolat\'at:
\itemitem{a.} Egy $A$ esem\'eny nem k\"ovetkezhet be.
\itemitem{b.} Egy $A$ esem\'eny nulla val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
k\"ovetkezik be.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy
szab\'alyos p\'enzdarab $n$ egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-len dob\'asa
sor\'an pontosan $j$ darab fejdob\'as t\"ort\'enik $\dbinom nj2^{-n}$,
mert \"osszesen $\dbinom nj$ ilyen dob\'assorozat van, \'es mindegyik
dob\'assorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $2^{-n}$. \'Igy annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legfeljebb 5 fejdob\'as t\"ort\'enik
$\summ_{j=0}^5 \dbinom nj2^{-n}$. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy v\'egtelen dob\'assorozat eset\'en legfeljebb 5 fejdob\'as
t\"ort\'enik $\limm_{n\to\infty}\summ_{j=0}^5 \dbinom nj2^{-n}=0$.
Mi\'ert szabad hat\'ar\'ert\'eket venni? Megbesz\'elend\H{o}, hogy
felhaszn\'altuk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek folytonoss\'agi
tulajdons\'ag\'at, amely a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\sigma$-additivit\'as\'ab\'ol k\"ovetkezik.
 
 
\bye
 
