\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 2pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A febru\'ar 11.-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai.}  \medskip\noindent
{\it Feladatok:}
 
\item{1.} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk 25 goly\'ot. Minden h\'uz\'as ut\'an a kih\'uzott goly\'ot
visszadobjuk egy m\'asik ugyanolyan sz\'{\i}n\H{u} goly\'oval.
L\'assuk be, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 3. \'es
7. h\'uz\'askor piros goly\'ot h\'uzunk megegyezik annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} \'es m\'asodik
h\'uz\'askor piros goly\'ot h\'uzunk.
\item{} Teints\"unk egy olyan 25 hossz\'us\'ag\'u h\'uz\'assorozatot,
amely $k$ piros \'es $25-k$ feh\'er goly\'ot tartalmaz. Vegy\"uk
\'eszre, hogy egy ilyen sorozat $p_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
csak a $k$ sz\'amt\'ol f\"ugg, de nem f\"ugg att\'ol,
hogy mely helyeken vannak a piros h\'uz\'asok. Val\'oban,
$$
p_k=\frac{20(20+1)\cdots(20+k-1)30(30+1)\cdots(30+(25-k)-1)}
{50(50+1)\cdots(50+25-1)}
$$
Jel\H{o}lje, $A(k)$ azon 25 hossz\'us\'ag\'u sorozatok sz\'am\'at,
melyek $k$ piros \'es $25-k$ feh\'er goly\'ot tartalmaz, \'es az 1.
\'es 2. h\'uz\'as piros; $B(k)$ azon 25 hossz\'us\'ag\'u sorozatok
sz\'am\'at, melyek $k$ piros \'es $25-k$ feh\'er goly\'ot tartalmaz,
\'es a 3. \'es 7. h\'uz\'as piros. Ekkor a k\'et vizsg\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg a $\summ_k A(k)p_k$, illetve $\summ_k
B(k)p_k$ kifejez\'essel egyenl\H{o}. Ez\'ert a feladat
megold\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni, hogy $A(k)=B(k)$ minden $k$
sz\'amra is. Ez val\'oban igaz, mert $A(k)=B(k)=\dbinom{23}{k-2}$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\item{} Egy urn\'aban 10 feh\'er \'es 10 piros goly\'o van. Kih\'uzunk
15 goly\'ot \'ugy, hogy amikor kih\'uzunk egy goly\'ot azt
visszadobjuk, \'es vele egy\"utt az urn\'aba dobunk h\'arom ugyanolyan
sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a negyedik, \"ot\"odik \'es t\'{\i}zenkettedik h\'uz\'as
mindegyike piros? \medskip
\item{2.} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk 10~000 alkalommal.
Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'ege, hogy pontosan 5000 fej
\'es 5000 \'{\i}r\'as dob\'as lesz? Adjunk a kapott
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a
Stirling formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ A Stirling formula az $n!$ kifejez\'esre
ad j\'o becsl\'est nagy pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amokra. E formula
szerint $n!\sim \sqrt{2\pi n}\(\dfrac ne\)^n$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/  Egy szab\'alyos p\'enzdarab 10~000-szeri
feldob\'asa eset\'en minden lehets\'eges 10~000 hossz\'u
fej-\'{\i}r\'as sorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $2^{-10~000}$.
\"Osszesen $\dbinom {10~000}{5000}$ olyan fej-\'{\i}r\'as sorozat van,
amelyik 5000 fej \'es 5000 \'{\i}r\'as jelet tartalmaz. Ez\'ert a
keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\dbinom {10~000}{5000}2^{-10~000}$.
\item{} A Stirling formula alapj\'an
$\dbinom{10~000}{5000}=\dfrac{10~000!}{(5000!)^2}\sim
\dfrac{ \sqrt{2\pi 10~000}\(\dfrac {10~000}e\)^{10~000}}
{\( \sqrt{2\pi 5000}\(\dfrac {5000}e\)^{5000}\)^2}$, ahonnan
$\dbinom{10~000}{5000}\sim \dfrac1{\sqrt{5000 \pi}}  2^{10~000}$.
Ez\'ert a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"or\"ulbel\"ul
$\dfrac{\sqrt2}{100\sqrt\pi}\sim0.008$.
\medskip
\medskip
\item{3.} Egy p\'enzdarabot feldobunnk 10-szer egym\'as ut\'an.
Jel\"olje $A_j$ azt az esem\'enyt, (halmazt) hogy a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye fej, $1\le j\le10$. Tekints\"uk e dob\'assorozat egy
term\'eszetes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellj\'et. Hogyan
\'ertelmezhetj\"uk
az $A_j$ esem\'enyt mint halmazt? Fejezz\"uk ki az $A_j$ esem\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, uni\'o, metszet \'es halmaz
komplementerk\'epz\'es
m\H{u}velet\'et haszn\'alva azt a $B$ esem\'enyt, hogy legal\'abb
h\'arom fejdob\'as t\"ort\'ent. Fejezz\"uk ki a fenti esem\'enyt \'ugy
is, hogy csak diszjunkt halmazok uni\'oj\'at tekintj\"uk.
\item{} (Besz\'elj\"uk meg r\"oviden az utols\'o formula
kapcsolat\'at a m\'as matematikai tan\-t\'argy\-ban m\'ar tanult logikai
form\'ak konjunktiv norm\'alformj\'aval.)
\item{} {\it Megold\'as:}\/  Az az esem\'eny, hogy a $j_1$-ik,
$j_2$-ik \'es $j_3$-ik dob\'as eredm\'enye fej, $A_{j_1}\cap
A_{j_2}\cap A{j_3}$. Az, hogy legal\'abb h\'arom fejdob\'as
t\"ort\'ent, azt jelenti, hogy l\'eteznek ilyen $1\le
j_1\le j_2\le j_3$ indexek. Ez\'ert a kifejezend\H{o} $B$ esem\'eny
$$
B=\bigcupp\Sb j_1,\,j_2,\,j_3 \\ 1\le j_1<j_2<j_3\le10\endSb
A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap A{j_3}.
$$
Az uni\'oban szerepl\H{o} kifejez\'esek nem diszjunktak. De
\'at\'{\i}rhatjuk a k\'{\i}v\'ant form\'aan, ha \'ugy \'{\i}rjuk fel a
keresett esem\'enyt, hogy bizonyos $1\le j_1<j_2<\cdots <j_s$
in\-dexek\-re, $s\ge 3$, a dob\'as eredm\'enye fej, a t\"obbi dob\'as
eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ez\'ert
$$
B=\bigcupp_{s=3}^{10}\bigcupp\Sb j_1,\,j_2,\dots,j_s \\ 1\le
j_1<j_2<\cdots j_s\le10\endSb\( A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots\cap
A{j_s}\cap\bigcap_{l\in\{1,\cdots,10\}\setminus\{j_1,\dots,j_s\}} \bar
A_l\),
$$
ahol $\bar A$ jel\"oli az $A$ esem\'eny (halmaz) komplementer\'et.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Defini\'aljunk olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t,
amelyben lehet vizsg\'alni egy szab\'alyos do\-b\'o\-koc\-ka \"ot
egym\'asut\'ani dob\'as\'anak az eredm\'eny\'et. \medskip
\item{4.} Egy p\'enzdarabot feldobunnk v\'egtelen sokszor egym\'as
ut\'an. Jel\"olje $A_j$ azt az esem\'enyt, (halmazt) hogy a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, $1\le j<\infty$. Fejezz\"uk ki az $A_j$
esem\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel, uni\'o, metszet \'es halmaz
komplementerk\'epz\'es m\H{u}velet\'et haszn\'alva azt a $D$
esem\'enyt, hogy az els\H{o} $n$ dob\'asban t\"ort\'ent
fej\-do\-b\'a\-sok sz\'a\-m\'a\-nak limesz szuperiora nagyobb vagy
egyenl\H{o} mint $\frac23$, ha $n\to\infty$.
Fejezz\"uk ki ezt az esem\'enyt az $A_j$ esem\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel \'ugy is, hogy csak megsz\'aml\'alhat\'o sok
halmaz metszet\'et \'es uni\'oj\'at szabad venn\"unk. Besz\'elj\"uk
meg, hogy ez a feladat kapcsolatban van a k\"ovetkez\H{o}
k\'erd\'essel: Ha az $A_j$ esem\'enyek, (teh\'at azok az esem\'enyek,
hogy egy v\'egtelen p\'enzdob\'as egyes eredm\'enyei fej dob\'asok)
benne vannak valamely $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o} $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'aj\'aban, akkor az az esem\'eny,
hogy a dob\'assz\'amok limesz superiora nagyobb vagy egyenl\H{o}
mint $\dfrac23$ szint\'en benne van az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'aban,
teh\'at van \'ertelme ezen esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l besz\'elni. \medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $C(k,n)$, $0\le k\le n$, azt
az esem\'enyt, hogy az els\H{o} $n$ dob\'asban legal\'abb $k$
fejdob\'as t\"ort\'ent. Ekkor
$$
C(k,n)=\bigcup\Sb
j_1,\,j_2,\cdots,j_k \\ 1\le j_1<j_2<\cdots<j_k\le n\endSb
A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots A{j_k}.
$$
Tekints\"unk egy $0\le <\alpha\le 1$ sz\'amot, \'es defini\'aljuk
azokat a $D(n,\alpha)$, $n=1,2,\dots$, \'es $D(\alpha)$ esem\'enyeket,
amelyek azt jel\"olik, hogy r\"ogz\'{\i}tett $n$ sz\'amra van olyan,
$N>n$ sz\'am melyre az els\H{o} $N$ dob\'asban legal\'abb $[\alpha N]$
fejdob\'as t\"ort\'ent, illetve ak\'armilyen nagy $n$ sz\'amra
l\'etezik olyan
$N>n$ sz\'am, melyre legal\'abb $N\alpha$ fejdob\'as t\"ort\'ent. Itt
$[x]$ az $x$ sz\'am eg\'esz r\'esz\'et jel\"oli, azaz a legnagyobb az
$x$ sz\'amn\'al kisebb eg\'esz sz\'amot. Ekkor
$$
D(n,\alpha)=\bigcup_{N=n}^\infty C([\alpha N], N),
$$
$$
D(\alpha)=\bigcap_{n=1}^\infty D(n,\alpha).
$$
Az az esem\'eny, hogy a limesz szuperior nagyobb vagy egyenl\H{o} mint
a $\dfrac23$ sz\'am megegyezik azzal az esem\'ennyel, hogy a
$D(\alpha)$ esem\'eny bek\"ovetkezik minden $\alpha<\dfrac23$ sz\'amra.
Ez\'ert
$$
D=\bigcap _{\alpha<\frac23} D(\alpha).
$$
Az utols\'o kifejez\'esben kontinum sok (egym\'asba skatuly\'azott)
esem\'eny metszet\'et vett\"uk. Viszont ugyanezt a $D$ esem\'enyt
kapjuk, ha csak $\alpha=\dfrac23-\dfrac1n$, $n\ge 2$ alak\'u halmazokra
vessz\"uk a metszetet. Ez\'ert
$$
D=\bigcap _{n=2}^\infty D\(\frac23-\frac1n\),
$$
\'es ez a k\'{\i}v\'ant tulajdons\'ag\'u el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa a
$D$ halmaznak.
 
\item{5.} K\'et ember 8 \'es 9 \'ora k\"oz\"ott megjelenik egy t\'eren
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'es egyenletes eloszl\'asal. Mind a
kett\H{o} f\'el\'or\'at v\'ar a m\'asikra, \'es ha az addig nem j\"on,
akkor hazamegy. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
tal\'alkoznak?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk az
egys\'egn\'egyzetet, \'es v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az
egys\'egn\'egyzeten, melynek $x$ koordin\'at\'aja megadja, hogy az
els\H{o} ember az $y$ koordin\'at\'aja pedig megadja, hogy a m\'asodik
ember ember mikor \'erkezett. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont
egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten, azaz annak
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy ez a pont az
egys\'egn\'egyzet egy (sz\'ep) r\'eszhalmaz\'aba esik meg\-egye\-zik
e halmaz ter\"ulet\'evel. Az, hogy a k\'et ember tal\'alkozik azt az
esem\'enyt jelenti, hogy az \'{\i}gy defini\'alt $(x,y)$ pont az
egys\'egn\'egyzet
$$
A=\left\{(x,y)\:-\frac12\le y-x\le \frac12\right\}\cap[0,1]\times
[0,1]
$$
r\'eszhalmaz\'aba esik. Ennek a halmaznak a ter\"ulete
$1-2\cdot\dfrac18=\dfrac34$, \'es ez a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg.
\item{6.} K\'et egy m\'eter hossz\'u botot v\'eletlenszer\H{u}en,
(egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul) egyenletes eloszl\'assal elt\"or\"unk.
A k\'et r\"ovidebb darabot \"osszeragasztjuk. Mi annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy az \'{\i}gy kapott \'uj bot
hossza kisebb mint $0.8$ m\'eter?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Ez a feladat is hasonl\'o
m\'odon t\'argyalhat\'o. Tekints\"uk az egy\-s\'eg\-n\'egy\-ze\-tet,
\'es v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az egys\'egn\'egyzeten,
melynek $x$ koordin\'at\'aja megadja, hogy  hol t\"ort\"uk el az
els\H{o} botot az $y$ koordin\'at\'aja pedig azt, hogy hol t\"ort\"uk
el a m\'asodik botot. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont egyenletes
eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten. Az az esem\'eny, hogy az
\"osszeragasztott bot hossza kisebb mint $0.8$ megegyezik annak az
esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az $(x,y)$ pont
a k\"ovetkez\H{o} $A_1$, $A_2$, $A_3$ \'es  $A_4$ halmazok
$A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4$ uni\'oj\'aba esik:
$A_1=\{(x,y)\: x+y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$,
$A_2=\{(x,y)\: x+(1-y)<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$,
$A_3=\{(x,y)\: 1-x+y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$ \'es
$A_4=\{(x,y)\: 1-x+1-y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$. Rajzoljuk le
ezeket a halmazokat. Az \'abra mutatja, hogy az $A_1\cup A_2\cup
A_3\cup A_4$ halmaz komplementere az a n\'egyzet melynek cs\'ucsai
a $(0.3,\,0.5)$, $(0.5,\,0,3)$, $(0.7,\,0.5)$, \'es $(0.5,\,0.7)$
pontok. Ennek a n\'egyzetnek a ter\"ulete, $0.08$ teh\'at a minket
\'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $1-0.08=0.92$.
\medskip
\item{7.} Egy szab\'alyos p\'enzdarab v\'egtelen dob\'assorozat\'at
le\'{\i}rja egy  $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi mez\H{o}. Az $\Cal A$
$\sigma$-algebra tartalmazza az $A_j$ esem\'enyeket, melyek azt
jel\"olik, hogy a $j$-ik dob\'as fej, $1\le j<\infty$. L\'assuk be,
hogy az a $B$ esem\'eny, hogy az els\H{o} $n$ dob\'asban lev\H{o}
fejdob\'asok sz\'am\'anak $\alpha(n)$ relat\'{\i}v gyakoris\'ag\'anak
l\'etezik limesze, ha $n\to\infty$, \'es az $\dfrac12$ benne van az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'ban.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ L\'assuk be el\H{o}sz\"or,
hogy minden $n=1,2\dots$, pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra \'es $\e>0$
sz\'amra azon $C(n,\e)$ esem\'eny, hogy a fej-dob\'asok sz\'am\'anak
relat\'{\i}v gyakoris\'aga a $\[\dfrac12-\e,\dfrac12+\e\]$
intervallumba esik minden $N\ge n$ sz\'amra benne van az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'aban. Val\'oban,
$$
\align
C(n,\e)&=\bigcap_{N=n}^\infty\Biggl(\bigcup_{N(\frac12-\e)\le l\le
N(\frac12+\e)}\\
&\qquad \bigcup_{\{j_1,\dots,j_l\}\subset\{1,\dots,N\}}
\((A_{j_1}\cap\cdots \cap
A_{j_l})\cap \bigcap_{s\in \{1,\dots,N\}\setminus \{j_1,\dots,j_l\}}
\bar A_s\)\Biggr)\in \Cal A.
\endalign
$$
Ezut\'an l\'athatjuk, hogy minden $\e>0$ sz\'amra
az a $C(\e)$ esem\'eny, hogy l\'etezik olyan $n$ index, melyre a
fej-dob\'asok
sz\'am\'anak relat\'{\i}v gyakoris\'aga a $\[\dfrac12-\e,\dfrac12+\e\]$
intervallumba esik minden $N\ge n$ sz\'amra benne van az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'aban. Ugyanis,
$$
C(\e)=\bigcupp_{n=1}^\infty C(n,\e)\in\Cal A.
$$
Ez\'ert a minket \'erdekl\H{o} $C$ esem\'enyre kapjuk felhaszn\'alva
a fenti \"osszef\"ugg\'est minden $\e=\dfrac1k$ sz\'amra,
$k=1,2,\dots$, hogy a minket \'erdekl\H{o} $B$ esem\'enyre
$$
B=\bigcapp_{k=1}^\infty C\(\frac 1k\)\in \Cal A,
$$
amint \'all\'{\i}tottuk.
\medskip
\item{8.} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an
eg\'eszen addig, am\'{\i}g m\'asodszor megjelenik egy fej. Azut\'an a
dob\'assorozatot abbahagyjuk. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az utols\'oel\H{o}tti dob\'as eredm\'enye fej?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az esem\'eny, amelyiknek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et ki akarjuk sz\'amolni, a
k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} m\'odon is jellemezhet\H{o}: El\H{o}sz\"or
$k$ darab \'{\i}r\'asdob\'as t\"ort\'enik valamely $k=0,1,2,\dots$,
sz\'ammal, majd ut\'ana k\'et fej\"udob\'as k\"ovetkezik be. Ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$$
\sum_{k=0}^\infty \(\dfrac12\)^k\cdot
\frac12\cdot\frac12=\frac14\sum_{k=0}^\infty
\frac1{2^k}=\frac24=\frac12.
$$
 \medskip
 
{\it H\'azi feladat:}\smallskip
\item{} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an eg\'eszen
addig, am\'{\i}g m\'asodszor megjelenik egy fej. Azut\'an a
dob\'assorozatot abbahagyjuk. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy legal\'abb h\'arom dob\'ast v\'egz\"unk, \'es az
utols\'ot kett\H{o}vel megel\H{o}z\H{o} dob\'as ered\-m\'e\-nye fej?
 
 
 \bye
