A Valószínűségszámítás I. előadássorozat kilencedik előadása. 2003. április 1.

A többdimenziós sűrűségfüggvények bevezetése után definiáljuk a többdimenziós tér halmazaira koncentrált egyenletes eloszlást. Ezután határozzuk meg az egyenletes eloszlást néhány egyszerű esetben.

Többdimenziós halmazokra koncentrált egyenletes eloszlás definiciója. Legyen adva egy A ⊂ R^{k} (Borel mérhető) halmaz a k-dimenziós téren, amelynek Lebesque mértéke teljesíti a λ(A) > 0 feltételt. Az A-halmazon definiált egyenletes eloszlás az a P

valószínűségi mérték az R^{k} tér Borel mérhető részhalmazain, amelyre P (B) = \frac{λ(A ∩ B)}{λ(A)}

minden Borel mérhető halmazra a k-dimenziós téren. Másképp megfogalmazva, az A halmazra koncentrált egyenletes eloszlás az az eloszlás, amelynek sűrűségfüggvénye

f(u_{1}, …, u_{k}) = \frac{1}{λ(A)}, ha (u_{1}, …, u_{k}) ∈ A, és f(u_{1}, …, u_{k}) = 0, ha (u_{1}, …, u_{k}) ∉ A.

Feladat:

Adjuk meg a [0, 1 × ⋯ × [0, 1] k-dimenziós egységkockán egyenletes eloszlás eloszlásfüggvényét.

b.) Tekintsük a síkon a (0, 0), (0, 1) és (1, 0) csúcspontok által meghatározott háromszögön az egyenletes eloszlást. Adjuk meg ennek sűrűségfüggvényét.

Független valószínűségi változók és szorzatuk várható értéke.

Valószínűségi változók függetlenségének a definiciója. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Azt mondjuk, hogy ezek a valószínűségi változók függetlenek, ha minden x_{1}, …, x_{n} valós számra

P (ξ_{1} < x_{1}, …, ξ_{n} < x_{n}) = P (ξ_{1} < x_{1}) ⋯ P (ξ_{n} < x_{n}).

Későbbi vizsgálatok érdekében vezessük be ennek a fogalomnak a többdimenziós változatát.

Többdimenziós valószínűségi változók függetlenségének a definiciója. Legyenek ξ^{(1)} = (ξ_{1,1}, …, ξ_{1,k}), …, ξ^{(n)} = (ξ_{n,1}, …, ξ_{n,k}), k-dimenziós valószínűségi változók (vektorok) egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Azt mondjuk, hogy ezek a valószínűségi vektorok függetlenek, ha minden x^{(1)} = (x_{1,1}, …, x_{1,k}), …, x^{(n)} = (x_{n,1}, …, x_{n,k}), k-dimenziós vektorra

P (ξ_{1,1} < x_{1,1}, …, ξ_{1,k} < x_{1,k}, …, ξ_{n,1} < x_{n,1}, …, ξ_{n,k} < x_{n,k})
= P (ξ_{1,1} < x_{1,1}, …, ξ_{1,k} < x_{1,k}) ⋯ P (ξ_{n,1} < x_{n,1}, …, ξ_{n,k} < x_{n,k}) .

Megjegyzés: Többdimenziós valószínűségi változók függetlenségének a definiciójában semmilyen függetlenségi feltevést nem tettünk az egyes ξ^{(j)} = (ξ_{j,1}, …, ξ_{j,k}), 1 ≤ j ≤ k, vektorok koordinátái között. Ezzel a definicióval egyelőre nem foglalkozunk.

Független valószínűségi változókkal való számolást megkönnyíti a mértékelmélet egyik alapvető eredménye, az alább ismertetendő Fubini tétel. Ennek megfogalmazása előtt teszünk néhány megjegyzést.

A Fubini tétel a következő, a területi (Riemann–)integrálról szóló eredménynek általánosítása általános Lebesgue integrálokra.

∫ ∫ f(x, y) dx dy = ∫ (∫ f(x, y) dx) dy

minden integrálható f(·, ·) függvényre. Ez az eredmény azt jelenti, hogy egy kétváltozós függvény területi integrálját úgy is kiszámolhatjuk, hogy először rögzítjük az egyik paramétert, (amelyet y-nal jelöltünk,) és kiszámítjuk az így kapott egyváltozós integrált. Ezután az első lépésben rögzített paraméter szerint integrálva az így kapott függvényt, megkapjuk a területi integrál értékét. Ez azt jelenti, hogy a területi integrál kiszámítható két egyszeres integrál szukcessziv alkalmazásának a segítségével.

A Fubini tétel megfogalmazása előtt fogalmazzuk meg a következő eredményt.

Feladat:

Legyenek F_{1}(·), …, F_{k}(·) eloszlásfüggvények a számegyenesen, és definiáljuk az F (x_{1}, …, x_{k}) = F_{1}(x_{1}) ⋯ F_{k}(x_{k}) függvényt. Ez az F (x_{1}, …, x_{k}) függvény kváltozós eloszlásfüggvény. Részletesebben kifejtve a következőt állítjuk. A hetedik és nyolcadik előadásban megadtuk annak szükséges és elégséges feltételét, hogy egy egydimenziós illetve többdimenziós függvény eloszlásfüggvény függvény legyen. Azt állítjuk, hogy ha az F_{j}(·), 1 ≤ j ≤ k, függvények teljesítik az (egydimenziós) eloszlásfüggvény jellemzését leíró tulajdonságokat, akkor az F (x_{1}, …, x_{k}) = F_{1}(x_{1}) ⋯ F_{k}(x_{k}) függvény teljesíti a többdimenziós eloszlásfüggvény eloszlását leírő tulajdonságokat.

Ha F_{j}(·), 1 ≤ j ≤ k, egydimenziós eloszlásfüggvények, akkor tekinthetjük az F (x_{1}, …, x_{k}) = F_{1}(x_{1}) ⋯ F_{k}(x_{k}) k-változós eloszlásfüggvényt, illetve az általa meghatározott μ_{F} = μ_{(F_{1},...,F_{k})} Stieltjes mértéket a k-dimenziós téren. Az irodalomban általános szokás, hogy az előbb definiiált μ_{F} k-dimenziós téren értelmezett mérték szerinti integrált F_{1}( dx_{1}) … F_{k}(dx_{k}) vagy dF_{1}(x_{1}) … dF_{k}(x_{k})-val jelölik, azaz

∫ g(x_{1}, …, x_{k})μ_{F} ( dx_{1}, …, dx_{k}) = ∫ g(x_{1}, …, x_{k})μ_{(F_{1},...,F_{k})}( dx_{1}, …, dx_{k})

=^{jel.} ∫ g(x_{1}, …, x_{k})F_{1}( dx_{1}) … F_{k}( dx_{k}) = ∫ g(x_{1}, …, x_{k}) dF_{1}(x_{1}) … dF_{k}(x_{k})

tetszőleges integrálható g(x_{1}, …, x_{k}) (integrálható) fügvényre, ahol ,,jel.” a jelölés szó rövidítése. A továbbiakban mi is ezt a jelölést követjük.

Fubini tétel. Legyenek F_{j}(·), 1 ≤ j ≤ k, eloszlásfüggvények a számegyenesen, és legyen g(x_{1}, …, x_{k}) (mérhető) k-változós függvény. Ekkor

∫ g(x_{1}, x_{2}, …, x_{k})F_{1}( dx_{1})F ( dx_{2}) … F_{k}( dx_{k})
= (∫ … (∫ (∫ g(x_{1}, …, x_{k})F_{1}( dx_{1})) F_{2}( dx_{2})) … F_{k}( dx_{k})) .

Ez az azonosság úgy értendő, hogy az azonosság két oldalán lévő integrál illetve szukcessziv integrál egyszerre létezik.

Érdemes külön megfogalmazni ennek az azonosságnak a következő fontos speciális esetét. Ha g(x_{1}, …, x_{k}) = g_{1}(x_{1}) ⋯ g_{k}(x_{k}) alakú speciális függvények integrálját tekintjük, akkor a következő azonosságot írhatjuk fel:

∫ g_{1}(x_{1})g_{2}(x_{2}) ⋯ g_{k}(x_{k})F_{1}( dx_{1})F_{2}( dx_{2}) … F_{k}( dx_{k})

= ∫ g(x_{1})F_{1}( dx_{1}) ∫ g_{2}(x_{2})F_{2}( dx_{2}) ⋯ ∫ g_{k}(x_{k})F_{k}( dx_{k}) = ∏_{j=1}^{k} ∫ g_{j}(x)F_{j}( dx).

1. megjegyzés: A Fubini tétel valójában egy általánosabb eredmény mint a most kimondott tétel. A Fubini tétel a megfogalmazottakhoz hasonló eredmény mond ki általános (és nemcsak az Euklideszi) terekben definiált szorzatmértékek szerinti integrálokra. Számunkra viszont elegendő csak a fent leírt speciális esetet tekinteni.

2. megjegyzés: Az előbb kimondott tételek és a további eredmények röviden, informálisan úgy foghatók össze, hogy mindazok az eredmények, amelyeket független, diszkrét eloszlású valószínűségi változókról tanultunk, érvényben maradnak általános, nem feltétlenül diszkrét eloszlású valószínűségi változókra is.

Az alábbiakban a Fubini tételt fogjuk használni, és azokat a eredményeket, amelyek megadják, hogy valószínűségi változók függvényeinek várható értékét hogyan lehet ki kiszámolni e valószínűségi változók eloszlásfüggvényének a segítségével. Ezen eredmények felhasználásával bebizonyítok néhány alapvető eredményt független valószínűségi változókról. Ezelőtt egy megjegyzésben elmagyarázom, hogy milyen tárgyalásmódot követek.

3. megjegyzés. Az alábbiakban független valószínűségi változók legfontosabb tulajdonságait ismertetem. Ezeket a tulajdonságokat meg lehet fogalmazni az eloszlások nyelvén is. Íly módon kiderül, hogy ezek a tulajdonságok ekvivalensek valamilyen integrálokra megfogalmazható azonosságokkal, és ezen azonosságok mindegyike a Fubinitétel következményeként kezelhető.

Tétel. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{k} független valószínűségi változók, amelyek mindegyikének létezik várható értéke, azaz E|ξ_{j}| < ∞. Ekkor a ξ_{1} ⋯ ξ_{k} szorzatnak is létezik várható értéke, és

Eξ_{1} ⋯ ξ_{k} = Eξ_{1} ⋯ Eξ_{k}.

Megjegyzés: Ezt az eredményt már láttuk korábban abban a speciális esetben, ha diszkrét valószínűségi változók szorzatát tekintjük.

A tétel bizonyítás: Jelölje F_{j}(·), 1 ≤ j ≤ k, a ξ_{j} valószínűségi változó eloszlásfüggvényét, és vezessük be a g(x_{1}, …, x_{k}) = x_{1} … x_{k} függvényt. Ekkor

Eξ_{1} ⋯ ξ_{k} = Eg(ξ_{1}, …, ξ_{k}) = ∫ x_{1} ⋯ x_{k}F_{1}( dx_{1}) … F_{k}( dx_{k}).

Továbbá a Fubini tétel szerint

∫ x_{1} ⋯ x_{k}F_{1}( dx_{1}) … F_{k}( dx_{k}) = ∏_{j=1}^{k} ∫ xF_{j}( dx).

Mivel Eξ_{j} = ∫ xF_{j}(x), ez az azonosság azt jelenti, hogy Eξ_{1} ⋯ ξ_{k} = Eξ_{1} ⋯ Eξ_{k}. Ezenkívül azt is állíthatjuk (felhasználva azt a tényt, hogy a Fubini tétel két oldalán szereplő kifejezés egyszerre értelmes, hogy a Tételben szereplő azonosság két oldala egyszerre értelmes.

Tétel. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{k} független valószínűségi változók, B_{1}, …, B_{k} a számegyenes Borel mérhető részhalmazai. Ekkor

P (ξ_{1} ∈ B_{1}, …, ξ_{k} ∈ B_{k}) = P (ξ_{1} ∈ B_{1}) ⋯ P (ξ_{k} ∈ B_{k}).

Megjegyzés: A függetlenség definiciója csak azt követeli meg, hogy a tételben kimondott azonosság teljesüljön speciális B_{j} = (−∞, x_{j}) alakú halmazokra. A tétel azt állítja, hogy ha ez az azonosság teljesül ezekre a speciális alakú halmazokra, akkor ez teljesül minden ,,szép” azaz Borel mérhető halmazra. A tétel egyik következménye az, hogy a diszkrét valószínűségi változók esetében már korábban definiált függetlenség megegyezik a függetlenség fogalmával az általános esetben.

Bizonyítás: Legyen g_{j}(·) a B_{j} halmaz indikátorfüggvénye, 1 ≤ j ≤ k, azaz legyen g_{j}(x) = 1, ha x ∈ B_{j}, és g_{j}(x) = 0, ha x ∉ B_{j}. Definiáljuk a g(x_{1}, …, x_{k}) = g_{1}(x_{1}) ⋯ g_{k}(x_{k}) függvényt a k-dimenziós téren. Ekkor a Fubini tétel alapján

P (ξ_{1} ∈ B_{1}, …, ξ_{k} ∈ B_{k}) = Eg(ξ_{1}, …, ξ_{k}) = Eg_{1}(ξ_{1}) ⋯ Eg_{k}(ξ_{k})
= P (ξ_{1} ∈ B_{1}) ⋯ P (ξ_{k} ∈ B_{k}).

Feladat:

Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n}, ξ_{n+1}, …, ξ_{n+m} független valószínűségi változók, g(x_{1}, …, x_{n}) n-változós (mérhető) függvény, η = g(ξ_{1}, …, ξ_{n}). Mutassuk meg a Fubini tétel segítségével, hogy η, ξ_{n+1}, …, ξ_{n+m} független valószínűségi változók.

Feladat:

Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független valószínűségi változók, és legyen a ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ n, valószínűségi változónak sűrűségfüggvénye, és jelöljük az f_{j}(·)-vel. Lássuk be a Fubini tétel segítségével, hogy a (ξ_{1}, …, ξ_{n}) véletlen vektornak is van sűrűségfüggvénye, és az az f(u_{1}, …, u_{n}) = f_{1}(u_{1}) ⋯ f_{n}(u_{n}) függvény.

Független valószínűségi változók összegének a szórásnégyzete, a nagy számok gyenge törvénye.

A diszkrét valószínűségi változókhoz hasonlóan defiálhatjuk általános, nem feltétlenül diszkrét valószínűségi változók szórásnégyzetét, (ezt az előző előadáson megtettük), kovarianciáját, és (független) valószínűségi változók összegének szórásnégyzetére hasonló formula érvényes mint a diszkrét esetben. Röviden leírjuk a bizonyítást, bár azt akár el is hagyhatnánk arra hivatkozva, hogy a diszkrét valószínűségi változók esetében is csak olyan összefüggéseket használtunk, amelyek általános valószínűségi változók esetében is érvényesek.

Valószínűségi változók kovarianciájának a definiciója. Legyen ξ és η két valószínűségi változó ugyanazon a valószínűségi mezőn, (amelyekre teljesül az Eξ^{2} < ∞, Eη^{2} < ∞ feltétel.) A ξ és η valószínűségi változók kovarianciafüggvénye

Cov (ξ, η) = E[(ξ − Eξ)(η − Eη)].

Lemma.

Cov (ξ, η) = Eξη − EξEη.

Ha ξ és η független valószínűségi változók, akkor Cov (ξ, η) = 0.

Bizonyítás:

Cov (ξ, η) = E[(ξ − Eξ)(η − Eη)] = E(ξη − ξEη − ηEξ + EξEη)
= Eξη − EξEη − EξEη + EξEη = Eξη − EξEη.

Ha ξ és η független valószínűségi változók, akkor Eξη = EξEη, ezért Cov (ξ, η) = 0.

Tétel. Legyenek ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ k, valószínűségi változók ugyanazon a valószínűségi mezőn, amelyekre teljesül Eξ_{j}^{2} < ∞ feltétel. Ekkor

Var (∑_{j=1}^{k} ξ_{j}) = ∑_{j=1}^{k} Var ξ_{j} + ∑_{\begin{matrix}1≤j,l≤k \\ j≠l \end{matrix}} Cov (ξ_{j}, ξ_{l}) = ∑_{j=1}^{k} Var ξ_{j} + 2 ∑_{j=1}^{k−1} ∑_{l=j+1}^{k} Cov (ξ_{j}, ξ_{l}).

Speciálisan, ha a ξ_{j} valószínűségi változók függetlenek, akkor

Var (∑_{j=1}^{k} ξ_{j}) = ∑_{j=1}^{k} Var ξ_{j}.

Bizonyítás. Vezessük be a ξ̄_{j} = ξ_{j} − Eξ_{j} valószínűségi változókat. Ekkor

Var (∑_{j=1}^{k} ξ_{j}) = E (∑_{j=1}^{k} ξ̄_{j})^{2} = E (∑_{j=1}^{k} ξ̄_{j}^{2} + ∑_{\begin{matrix}1≤j,l≤k \\ j≠l \end{matrix}} ξ̄_{j}, ξ̄_{l})

= ∑_{j=1}^{k} Eξ̄_{j}^{2} + ∑_{\begin{matrix}1≤j,l≤k \\ j≠l \end{matrix}} Eξ̄_{j}ξ̄_{l} = ∑_{j=1}^{k} Var ξ_{j} + ∑_{\begin{matrix}1≤j,l≤k \\ j≠l \end{matrix}} Cov (ξ_{j}, ξ_{l}).

Ha a ξ_{j} valószínűségi változók függetlenek, akkor Cov (ξ_{j}, ξ_{l}) = 0, ezért

Var (∑_{j=1}^{k} ξ_{j}) = ∑_{j=1}^{k} Var ξ_{j}.

Legyenek ξ_{j}, j = 1, 2, …, független, egyforma eloszlású valószínűségi változók, és legyen Eξ_{1}^{2} < ∞. Becsüljük meg a Csebisev egyenlőtlenség segítségével a

P (|\frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n}(ξ_{j} − Eξ_{j})| > ε)

valószínűségeket minden n = 1, 2, … és ε > 0 számra. Látni fogjuk, hogy ebből a becslésből adódik a valószínűségszámítás egyik fontos eredménye, a nagy számok (gyenge) törvénye.

P (|\frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n}(ξ_{j} − Eξ_{j})| > ε) = P (|\frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n}(ξ_{j} − Eξ_{j})| > ε)

= P ((∑_{j=1}^{n}(ξ_{j} − Eξ_{j}))^{2} > n^{2}ε^{2}) ≤ \frac{E ( ∑_{j=1}^{n}(ξ_{j} − Eξ_{j}))^{2}}{n^{2}ε^{2}}

= \frac{Var ( ∑_{j=1}^{n} ξ_{j})}{n^{2}ε^{2}} = \frac{∑_{j=1}^{n} Var ξ_{j}}{n^{2}ε^{2}} = \frac{Var ξ_{1}}{nε^{2}} .

A nagy számok (gyenge) törvényének bizonyítása előtt bevezetünk két definiciót.

Sztochasztikus konvergencia definiciója. Legyenek ξ_{n}, n = 1, 2, …, független valószínűségi változók ugyanazon a valószínűségi mezőn. Azt mondjuk, hogy a ξ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi változók sztochasztikusan konvergálnak a ξ valószínűségi változóhoz, ha lim_{n→∞} P (|ξ_{n} − ξ| > e) = 0 minden ε > 0 számra.

Megjegyzés: A mértékelméletben is megjelenik ez a fogalom, de ott ezt mértékben való konvergenciának nevezik.

Nagy számok gyenge törvényének a definiciója. Legyen ξ_{n}, n = 1, 2, …, független, egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata egy valószínűségi mezőn, S_{n} =

∑_{k=1}^{n} ξ_{k}, k = 1, 2, . . .. Azt mondjuk, hogy ezek a ξ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi változók

teljesítik a nagy számok gyenge törvényét, ha létezik olyan E szám, amelyre teljesül, hogy az \frac{S_{n}}{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi változók sztochasztikusan konvergálnak az E számhoz, azaz ahhoz a valószínűségi változóhoz, amely egy valószínűséggel az E konstanssal egyenlő.

Tétel a nagy számok gyenge törvényéről. Legyen ξ_{n}, n = 1, 2, …, független, egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata, amelyekre teljesül az Eξ_{1}^{2} < ∞ tulajdonság. Ezek a valószínűségi változók teljesítik a nagy számok gyenge törvényét az E = Eξ_{1} konstanssal.

Bizonyítás: Láttuk, hogy az adott feltételek mellett

P (|\frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n}(ξ_{j} − Eξ_{j})| > ε) ≤ \frac{Var ξ_{1}}{nε^{2}}

minden ε > 0 számra. Mivel lim_{n→∞} \frac{Var ξ_{1}}{nε^{2}} = 0, innen következik a Tétel állítása.

Megjegyzés 1. A gyenge jelző a nagy számok gyenge törvényében arra utal, hogy a nagy számok gyenge törvényében független valószínűségi változók átlagainak konvergenciáját egy viszonylag gyenge konvergenciafogalom szerint, a sztochasztikus konvergencia szerint követeljök meg. A valószínűségszámításban foglalkoznak a nagy számok erős törvényével is, amelyben ezen átlagok konvergenciáját egy erősebb konvergenciafogalom szerint, az úgynevezett egy valószínűséggel való konvergencia szerint követelik meg. Láttuk, hogy a nagy számok gyenge törvénye érvényes akkor, ha a tekintett független valószínűségi változók négyzetének létezik várható értéke. Felmerülhet az a kérdés, hogy ez a feltétel elhagyható-e, vagy ha nem hagyható el, akkor lehet-e azt gyengíteni. Ugyancsak természetes probléma annak a kérdésnek a vizsgálata, hogy

a P (|\frac{S_{n}}{n} − E| > ε) valószínűségek milyen gyorsan tartanak nullához. Ezeknek a

kérdéseknek a tárgyalásához később még visszatérünk.

Megjegyzés 2. Bár nem hangsúlyoztuk, de hallgatólagosan felhasználtuk azt a tényt, hogy amennyiben egy ξ valószínűségi változó négyzetének létezik várható értéke, akkor létezik a ξ valószínűségi változó várható értéke is. Valóban, ez következik az úgynevezett Cauchy–Schwarz egyenlőtlenségből, amely szerint (E|ξ|)^{2} ≤ Eξ^{2}. Ez az egyenlőtlenség kiolvasható a szórásnégyzet figyelmesebb vizsgálatából, amely szerint Eξ^{2} − (E|ξ|)^{2} = Var |ξ| > 0. Egy másik, talán egyszerűbb érvelés: Jelölje F (·) a ξ valószínűségi változó

eloszlásfüggvényét. Ekkor, mivel |x| ≤ \frac{1}{2} (x^{2} + 1), ezért E|ξ| = ∫ |x|F ( dx) ≤ ∫ \frac{1}{2}(x^{2} +

1)F ( dx) = \frac{1}{2}(Eξ^{2} + 1) < ∞, ha Eξ^{2} < ∞.

A nagy számok (gyenge) törvényének szemléletes tartalma az, hogy ha sok egymástól független egyforma eloszlású kisérlet történik, akkor ezek átlaga ,,regularizálódik”, konstans lesz. Ez magyarázza meg például azt a tényt, hogy minden évben közel ugyanannyi fiú és lány születik.

Független valószínűségi változók összegének a sűrűségfüggvénye. Sűrűségfüggvények konvoluciója.

A következő kérdéssel foglalkozunk. Legyen ξ és η két független valószínűségi változó, amelyeknek létezik f(·) és g(·) sűrűségfüggvénye. Lássuk be, hogy a ξ + η összegnek is létezik h(·) sűrűségfüggvénye, és adjuk meg azt a formulát, amelynek segítségével azt kiszámolhatjuk. E vizsgálat során be fogjuk vezetni két (sűrűség)függvény konvoluciójának a fogalmát. Ezután alkalmazzuk ezt az eredményt néhány konkrét esetben.

Jelölje H(x) = P (ξ + η < x) a független f(·) és g(·) sűrűségfüggvényű ξ és η valószínűségi változók ξ + η összeg eloszlásfüggvényét. Ekkor

H(x) = P (ξ + η < x) = ∫ ∫_{{(u,v) : u+v<x}} f(u)g(v) du dv
= ∫ ∫_{{(ū,v̄) : v̄<x}} f(ū)g(v̄ − ū) dū dv̄
= ∫_{−∞}^{x} [∫_{−∞}^{∞} f(ū)g(v̄ − ū) dū] dv̄ = ∫_{−∞}^{x} K(v) dv,

ahol

K(v) = ∫_{−∞}^{∞} f(u)g(v − u) du.

A fenti számolásokban egy integráltranszformációt alkalmaztunk v̄ = u + v, ū = u helyettesítéssel, majd felhasználtuk a Fubini tételt. Az elvégzett számolásban észre kell venni, hogy a v̄ = u + v, ū = u transzformáció az {(u, v): u + v < x} tartomány a {(ū, v̄): v̄ < x, −∞ < ū < ∞} tartományba képezi, és e (lineáris) transzformáció Jacobiánja azonosan 1.

Ezután bevezetjük a következő definiciót.

(Sűrűség)függvények konvoluciójának a definiciója. Legyen f(·) és g(·) két sűrűségfüggvény a számegyenesen, általánosabban integrálható függvények, azaz tegyük fel, hogy ∫_{−∞}^{∞} |f(u)| du < ∞ és ∫_{−∞}^{∞} |g(u)| du < ∞. Az f(·) és g(·) függvények f ∗ g(·) konvoluciója az

f ∗ g(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(u)g(x − u) du, −∞ < x < ∞,

függvény.

1. megjegyzés: Egyszerű (lineáris) transzformációval kapjuk, hogy a konvoluciót másképp is kiszámolhatjuk. Ez mutatja, hogy a konvolucióban résztvevő függvények szimmetrikus szerepet játszanak.

f ∗ g(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(u)g(x − u) du = ∫_{−∞}^{∞} f(x − u)g(u) du

= ∫_{−∞}^{∞} f (\frac{x}{2} − u) g (\frac{x}{2} + u) du, −∞ < x < ∞.

2. megjegyzés: Érdemes megérteni azt szemléletes képet, amely egyszerűen megmagyarázza, hogy a független valószínűségi változók összegének sűrűségfüggvényét miért az általunk megadott képlet miért fejezi ki. Ezért a következő meglehetősen informális magyarázat hasznos lehet. Legyen ξ sűrűségfüggvénye f(x), η sűrűségfüggvénye g(x). Ekkor a ξ + η összeg h(x) sűrűségfüggvényét egy x pontban az határozza meg, hogy P (ξ + η ∈ [x, x + dx) ∼ h(x)dx. A ξ + η ∈ [x, x + dx] esemény úgy következhet be, ha ξ ∈ [y, y + dy), η ∈ [x − y, x − y + dx) valamely y számra. Ennek valószínűsége rögzített y számra f(y)g(x − y)dydx. Ezeket a valószínűségeket ,,összegezve”, pontosabban integrálva az y érték szerint azt kapjuk, hogy h(x)dx = ∫ f(y)g(x − y) dy · dx, ahonnan dx-szel leosztva megkapjuk a keresett formulát. Ugyanez az érvelés azt sugallja, hogy ξ − η sűrűségfüggvénye ∫_{−∞}^{∞} f(x + y)g(y) dy. Ennek az állításnak a precíz indoklását tartalmazza a következő feladat.

Feladat:

Legyen ξ és η két független valószínűségi változó f(x) illetve g(x) sűrűségfüggvénnyel. Ekkor ξ − η h(x) sűrűségfüggvénye, (amelyik létezik) h(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(x + y)g(y) dy alakú.

Megoldás: Tekintsük az η̄ = −η valószínűségi változót. Ekkor η̄ sűrűségfüggvénye ḡ(x) = g(−x). Valóban, legyen G(x) az η, és Ḡ(x) az η̄ valószínűségi változó

eloszlásfüggvénye. Ekkor ḡ(x) = \frac{dḠ(x)}{dx} = \frac{d(1 − G(−x))}{dx} = g(−x). Ezért ξ − η sűrűségfüggvénye megegyezik ξ + η̄ sűrűségfüggvényével, és ez

∫_{−∞}^{∞} f(x − y)ḡ(y) dy = ∫_{−∞}^{∞} f(x − y)g(−y) dy
= − ∫_{∞}^{−∞} f(x + y)g(y) dy = ∫_{−∞}^{∞} f(x + y)g(y) dy.

Az előbb elvégzett számolásokból következik a következő eredmény.

Tétel független valószínűségi változók összegének a sűrűségfüggvényéről. Legyen ξ és η két független valószínűségi változó f(·) és g(·) sűrűségfüggvénnyel. Ekkor a ξ + η összegnek is létezik sűrűségfüggvénye, és az az

f ∗ g(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(u)g(x − u) du, −∞ < x < ∞

függvény.

Megjegyzés: Felmerülhet a kérdés, hogy amennyiben f(·) és g(·) integrálható függvény, de nem teszünk fel semmilyen további tulajdonságot ezekről a függvényekről, akkor szükségszerúen létezik-e az f ∗ g(·) konvolució? Rögzített x számra az f ∗ g(x) számot definiáló integrál nem feltétlenül létezik. Viszont a mértékelméletben belátják, hogy az olyen kivételes pontok, amelyekre ez az integrál nem létezik kevesen vannak, és a számegyenes majdnem minden pontjában a konvoluciót definiáló integrál létezik. Azokban a konkrét esetekben, amelyekkel találkozni fogunk ez a probléma nem merül fel. Ezért azzal a kérdéssel nem foglalkozunk, csak megemlítjük a bizonyítás részleteinek vizsgálata nélkül, hogy az általános eset vizsgálata a következő észrevételen alapul. Belátják, hogy

∫_{∞}^{∞} |f| ∗ |g|(u) du = ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} |f(u)||g(u)| du dv,

és az általános eredmény ebből az azonosságból és az integrálok alapvető tulajdonságaiból következik.

Ezután lássunk néhány példát a fenti eredmény alkalmazására.

Legyen ξ és η két független, a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] intervallumban egyenletes eloszlású valószí-

nűségi változó, azaz legyen ξ és η sűrűségfüggvénye f(x) = 1, ha −\frac{1}{2} ≤ x ≤ \frac{1}{2}, és f(x) = 0 egyébként. Számoljuk ki ξ + η sűrűségfüggvényét. Megoldás: A ξ+η valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a g(x) = ∫ f(y)f(x−y) dy

függvény, ahol f(x) a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] intervallumban egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye.

Ezért f(y)f(x − y) = 1, ha −\frac{1}{2} ≤ y ≤ \frac{1}{2}, és −\frac{1}{2} ≤ x − y ≤ \frac{1}{2}, azaz −\frac{1}{2} + x ≤ y ≤

\frac{1}{2} +x, és nulla egyébként. Ez azt jelenti, hogy a ξ +η összeg g(x) sűrűségfüggvénye

az x pontban megegyezik a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] ∩ [−\frac{1}{2} + x, ≤ \frac{1}{2} + x] intervallum hosszával.

Ha |x| > 1, akkor a fenti metszet üres, ezért ebben az esetben g(x) =. Ha 0 ≤ x ≤ 1,

akkor ez a metszet a [−\frac{1}{2} + x, \frac{1}{2}] intervallum, és ennek hossza 1 − x, azaz ebben

az esetben g(x) = 1 − x. Ha −1 ≤ x ≤ 0, akkor ez a metszet a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2} + x]

intervallum amelynek hossza 1 + x = 1 − |x|, azaz g(x) = 1 + x = 1 − |x| ebben az esetben. Ez azt jelenti, hogy g(x) = 1 − |x|, ha |x| ≤ 1, és g(x) = 0, ha x > 1.

Megadunk egy másik geometriai érvelésen alapuló megoldást is, amelyik a korábban tárgyalt geometriai érvelésen alapul.

Számítsuk ki először a ξ + η valószínűségi változó G(x) eloszlásfüggvényét. De-

finiáljuk a K = [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] × [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] négyzetet, és jelölje λ a Lebesgue mértéket,

azaz a területet a síkon. Ekkor a sík tetszőleges A ⊂ R^{2} mérhető részhalmazára igaz az, hogy P ((ξ, η) ∈ A) = λ(A ∩ K). Speciálisan, G(x) = P (ξ + η < x) = λ(K ∩ {(u, v): u + v < x}). Ha x ≤ −1, akkor G(x) = 0, ha −1 ≤ x ≤ 0, akkor G(x) a (−\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}), (−\frac{1}{2}, \frac{1}{2} + x) és (\frac{1}{2} + x, −\frac{1}{2}) pontok által meghatározott háromszög területe \frac{1}{2}(1+x)^{2}. Hasonlóan, ha x ≥ 1, akkor G(x) = 1. Ha 0 ≤ x ≤ 1, akkor a G(x) eloszlásfüggvény megegyezik annak a poligonnak területével, amelyet úgy kapunk, hogy a K négyzetből kihagyjuk a (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, −\frac{1}{2} + x) és (−\frac{1}{2} + x, \frac{1}{2}) pontok által meghatározott háromszöget. Ezért G(x) = 1− \frac{1}{2}(1−x)^{2} ebben az esetben. A G(x) függvényt deriválva kapjuk, hogy g(x) = 0, ha |x| ≤ 1, g(x) = 1 + x, ha −1 ≤ x ≤ 0, és g(x) = 1 − x, ha 0 ≤ x ≤ 1. Tekintsünk két a második előadáson tárgyalt feladatot, amelyet annak idején geo-

metriai meggondolások alapján oldottunk meg. Megmutatjuk, hogy ezek a feladatok megoldhatóak a most tárgyalt konvolució segítségével is.

a.) Két ember 8 és 9 óra között megjelenik egy téren egymástól függetlenül és egyenletes eloszlásal. Mind a kettő félórát vár a másikra, és ha az addig nem jön, akkor hazamegy. Mi a valószínűsége annak, hogy találkoznak?

b.) Két botot véletlenszerűen, egyenletes eloszlással eltörünk. A két rövidebb darabot összeragasztjuk. Mi az így kapott új bot hosszának az F (u) eloszlásfüggvénye?

Az a) feladat megoldása. Jelölje ξ_{j}, j = 1, 2, azt a valószínűségi változót, amely azt adja meg, hogy hány (0 és 1 közötti számmal kifejezhető) órával 8 óra után jelent meg a j-ik ember a helyszínen. Ekkor ξ_{1} és ξ_{2} független a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változók. Minket a −\frac{1}{2} ≤ ξ_{1} − ξ_{2} ≤ \frac{1}{2} események valószínűsége érdekel. Mivel ξ_{1} − ξ_{2} = ξ_{1} + (−ξ_{2}) = ξ_{1} + ξ̄_{2}-t is írhatunk, ahol ξ̄_{2} = −ξ_{2}, és ξ̄_{2} sűrűségfüggvényét könnyen kiszámolhatjuk, ezért a konvolucióról tanultak alapján ezt a feladatot meg utdjuk oldani. Az F (u) = P (ξ_{1} − ξ_{2} < u) eloszlás sűrűségfüggvénye a g(u) = f_{1} ∗ f_{2}(u) konvolució, ahol f_{1}(u) = 1, ha 0 ≤ u ≤ 1, f_{1}(u) = 0, különben, f_{2}(u) = 1, ha −1 ≤ u ≤ 0, f_{2}(u) = 0 különben. Ekkor

a minket érdeklő mennyiség az F (\frac{1}{2}) − F (−\frac{1}{2}) = ∫_{−1/2}^{1/2} g(u) du integrál. Továbbá,

g(x) = f_{1} ∗ f_{2}(x) = ∫_{−∞}^{∞} f_{1}(u)f_{2}(x − u) du = ∫_{−∞}^{∞} f(u)f(x − u) du, −∞ < x < ∞,

ahol f(u) = 1, ha \frac{1}{2} ≤ u ≤ \frac{1}{2}, f(u) = 0, ha u ≥ \frac{1}{2}. Az előző feladat megoldásában láttuk, hogy g(u) = 1−u, ha 0 < u < 1 g(u) = 1+u,

ha −1 < u < 0. Innen F (\frac{1}{2}) − F (−\frac{1}{2}) = ∫_{−1/2}^{1/2}(1 − |u|) du = \frac{3}{4}.

A b.) feladat megoldása. Jelölje ξ_{j}, j = 1, 2, azt a valószínűségi változót, amely azt adja meg, hogy a j-ik bot rövidebb végének mi a hossza. Ekkor ξ_{1}, és ξ_{2} független valószínűségi változók, amelyek sűrűségfüggvénye az az f(·) függvény, amelyre f(x) = 2, ha 0 ≤ x ≤ \frac{1}{2}, és f(x) = 0 egyébként. Minket a ξ_{1} + ξ_{2} valószínűségi változó eloszlása érdekel. Viszont ξ_{1} +ξ_{2} sűrűségfüggvénye g(x) = f ∗ f(x), ahonnan g(x) = 2−|2−4x|, ha 0 ≤ x ≤ 1, g(x) = 0 különben. Ezt kiintegrálva megkapjuk az eredményt, amelyet a a következő képletek adnak meg: F (u) = 0, ha u ≤ 0, F (u) = 1 − 2u^{2}, ha 0 ≤ u ≤ \frac{1}{2}, F (u) = 1 − 2(1 − u)^{2} = 4u − 2u^{2} − 1, ha \frac{1}{2} ≤ u ≤ 1. Ha u ≥ 1, akkor F (u) = 1.

Legyenek ξ_{1} és ξ_{2} független exponenciális eloszlású valószínűségi változók, azaz legyen sűrűségfüggvényük f(x) = λe^{−λx} ha x ≥ 0, és f(x) = 0, ha x > 0. Számítsuk ki ξ_{1} + ξ_{2} sűrűségfüggvényét.

Általánosabban, legyenek ξ_{1}, … ξ_{m} független exponenciális eloszlású valószínűségi változók λ > 0 paraméterrel. Számítsuk ki ξ_{1} + ⋯ + ξ_{m} sűrűségfüggvényét. Megoldás: Ki kell számolnunk az f ∗ f(x) illetve \underbrace{f ∗ ⋯ ∗ f}_{m−szer}(x) konvoluciókat a fenti

f(x) sűrűségfüggvénnyel. Mivel f(x) = 0, ha x ≤ 0, a konvoluciót meghatározó integrálban szereplő f(y)f(x − y) integrandus nulla, ha y ≤ 0 vagy x − y ≤ 0. Innen a konvoluciót definiáló integrál csak x ≥ 0 esetén lehet nulla, az x ≤ 0 esetben f(y)f(x − y) > 0 minden y-ra nulla, és x ≥ 0 esetén az f(y)f(x − y) > 0 integrandus csak 0 ≤ y ≤ x esetén nem nulla. Innen a ξ_{1} + ξ_{2} valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f_{2}(x) = f ∗ f(x) x < 0-ra f_{2}(x) = 0, és

f_{2}(x) = f ∗ f(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(y)f(x − y) dy = ∫_{0}^{x} λe^{−λy}λe^{−λ(x−y)} dy
= ∫_{0}^{x} λ^{2}e^{−λx} dy = λ^{2}xe^{−λx}, ha x ≥ 0.

Hasonlóan, ha f_{m}(x) = \underbrace{f ∗ ⋯ ∗ f}_{m−szer}(x) jelöli ξ_{1} + ⋯ ξ_{m} sűrűségfüggvényét, akkor

f_{m}(x) = 0 minden m ≥ 1 számra, ha x < 0. Azt állítjuk, hogy f_{m}(x) =

\frac{λ^{m}x^{m−1}}{(m − 1)!} e^{−λx}, ha x ≥ 0. Ezen állítás bizonyításához elég belátni teljes indukcióval

azt, hogy f_{m−1} ∗ f(x) = f_{m}(x) a fent definiált f_{m} függvényekkel. Viszont

f_{m−1} ∗ f(x) = ∫_{−∞}^{∞} f_{m−1}(y)f(x − y) dy = ∫_{0}^{x} λ^{m−1} \frac{y^{m−2}}{(m − 2)!}λe^{−λy}e^{−λ(x−y)} dy

= λ^{m}e^{−λx} ∫_{0}^{x} \frac{y^{m−2}}{(m − 2)!} dy = e^{−λx} \frac{λ^{m}x^{m−1}}{(m − 1)!} , ha x ≥ 0.

Másrészt f_{m}(x) = 0, ha x ≤ 0.

Megjegyzés: Láttuk, hogy ha az f(x) = 1, ha −\frac{1}{2} ≤ x ≤ \frac{1}{2}, f(x) = 0, ha |x| ≤ \frac{1}{2} függvénynek, azaz az egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénynek a konvolucióját tekintjük önmagával, akkor a konvolució az f ∗ f(x) = 1 − |x|, ha |x| ≤ 1, és f ∗ f(x) = 0, ha |x| ≥ 1. Ez azt jelenti, hogy ebben a példában az eredeti sűrűségfüggvény két pontban, az x = ±\frac{1}{2} pontban nem folytonos, viszont ennek konvoluciója önmagával már mindenütt folytonos. Hasonlóan egy exponenciális eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az f(x) = λe^{−λx} ha x ≥ 0, és f(x) = 0, ha x > 0 sűrűségfüggvény. Ez a függvény nem folytonos az origóban, viszont ennek konvoluciója önmagával már mindenüttt folytonos. Sőt, amennyiben e sűrűségfüggvény m-szeres konvolucióját alkalmazzuk m alkalommal, akkor az így kapott függvény még símább, m − 1-szer differenciálható. Ezek a példák azt sugallják, hogy a konvolució operátor folytonosabbá teszi a függvényeket. Ez az elképzelés helyes. Nem fogjuk ezt a kérdést részletesebben tárgyalni, de megfogalmazunk a következő feladatban egy olyan állítást, amelyik ilyen jellegű eredményt mond ki.

Feladat:

Legyen f(·) és g(·) két függvény, amelyek k-szor illetve l-szer differenciálható, és ezek a differeniálhányadosok szintén integrálható függvények. Ekkor az f ∗ g(·) konvolució k + l-szer differenciálható függvény.

Jegyezzük meg, hogy az előző feladatokban tekintett konvoluciót csak akkor használhatjuk, ha olyan valószínűségi változók összegének a sűrűségfüggvényét akarjuk kiszámolni, amelyek függetlenek. Ez az oka annak, hogy a következő feladat megoldásában nem használhatjuk a konvoluciót, hanem más módszert kell alkalmaznunk.

Feladat:

Legyen ξ exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ = 1 paraméterrel, azaz F (x) = P (ξ < x) = 1 − e^{−x}, ha x ≥ 0, F (x) = P (ξ < x) = 0, ha x ≤ 0. Számítsuk ki a ξ + ξ^{2} valószínűségi változó eloszlás és sűrűségfüggvényét. Megoldás: Jelölje G(x) a ξ + ξ^{2} valószínűségi változó eloszlásfüggvényét. Ekkor a G(x) = P ({ω: ξ(ω) + ξ^{2}(ω) < x}) eloszlásfüggvényt kell kiszámolni az F (x) eloszlásfüggvény ismeretében. Viszont, ha ismerjük egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényét, akkor az meghatározza a P (ω: ξ(ω) ∈ B) halmazok valószínűségét minden ,,szép”, azaz Borel mérhető B halmazra. Vegyük észre, hogy jelen feladatban is ilyen jellegű problémát kell megoldani. Az ebben a feladatban megjelenő B halmaz egyszerű szerkezetű, és ezért ez a feladat könnyebben megoldható. Tekintsük az A(ω, x) = {ω: ξ(ω) + ξ(ω)^{2} < x} halmazokat. Ezek valószínűségét kell kiszámítanunk. Ennek érdekében tekintsük az B(x) = {y: y + y^{2} < x} hamazt. Vegyük észre, hogy B(x) = {y: y_{1}(x) < y < y_{2}(x)}, ahol

y_{1}(x) = \frac{−1 − \sqrt{1 + 4x}}{2} és y_{2}(x) = \frac{−1 + \sqrt{1 + 4x}}{2} az y^{2} + y = x egyenlet kisebb

és nagyobb megoldása, és A(ω, x) = {ω: y_{1}(x) < ξ(ω) < y_{2}(x)}. Innen G(x) = P ({ω: y_{1}(x) < ξ(ω) < y_{2}(x)}) = F (y_{2}(x)) − F (y_{1}(x)). Ezért a ξ + ξ^{2} valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a G(x) = P (y_{1}(x) < ξ < y_{2}(x)) = P (ξ < y_{2}(x)) = 1 −

e^{−y_{2}(x)} = 1 − exp \{\frac{1 − \sqrt{1 + 4x}}{2}\}, ha x ≥ 0, és G(x) = 0, ha x ≤ 0 függvény. A

ξ + ξ^{2} valószínűségi változó g(·) sűrűségfüggvénye ennek deriváltja, azaz g(x) = 0,

ha x < 0, és g(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + 4x}} exp \{\frac{1 − \sqrt{1 + 4x}}{2}\}, ha x ≥ 0.