\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus1pt
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat hetedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2003. m\'arcius 18.}
 
\medskip\noindent
{\it \"Osszefoglal\'o:}\/
\medskip\noindent
{\it A Poisson eloszl\'as}\/ (folytat\'as)
\medskip
L\'attuk az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'ason, hogy amennyiben az $S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $n=1,2,\dots$, binomi\'alis
eloszl\'as\'uak $n$ \'es $p_n$  param\'eterekkel, azaz $S_n$
eloszl\'asa megegyezik egy $\summ_{j=1}^n\xi_j^{(n)}$ \"osszeg
eloszl\'as\'aval, ahol a $\xi_j^{(n)}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es
$$
P\(\xi_j^{(n)}=1\)=1-P\(\xi_j^{(n)}=0\)=p_n,\quad 1\le j\le n,
$$
tov\'abb\'a $\limm_{n\to\infty}np_n=\lambda$ valamely $\lambda>0$
sz\'ammal, akkor
$\limm_{n\to\infty}P(S_n=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$
minden $k$ eg\'esz sz\'amra.
 
Jegyezz\"uk meg tov\'abb\'a, hogy szint\'en k\"ovetkezik az
el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'as eredm\'enyeib\H{o}l, hogy amennyiben
olyan $T_n$, $n=1,2,\dots$, v\'eletlen \"osszegeket tekint\"unk,
amelyek $T_n=\summ_{j=1}^n\eta_j^{(n)}$ alakban \'{\i}rhat\'ok, ahol
r\"ogz\'{\i}tett $n$ sz\'amra az $\eta_j^{(n)}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-le\-nek, \'es
Poisson eloszl\'as\'uak $\dfrac {\lambda_n}n$ param\'eterrel, \'es
$\limm_{n\to\infty}\lambda_n=\lambda>0$, akkor
$\limm_{n\to\infty}P(T_n=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$
minden $k$ eg\'esz sz\'amra. Ekkor ugyanis $T_n$ Poisson
eloszl\'as\'u $\lambda_n$ pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel.
 
Bel\'atunk egy eredm\'enyt, amelynek a fent tekintett k\'et p\'elda
speci\'alis esete. Azut\'an megt\'argyaljuk egy p\'eld\'an
kereszt\"ul, hogy ez az eredm\'eny magyar\'azatot ad arra, hogy
mi\'ert fontos a Poisson eloszl\'as, mi\'ert t\'etelezhetj\"uk fel,
hogy bizonyos v\'eletlen je\-len\-s\'e\-ge\-ket Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'{\i}rnak le.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek minden r\"ogz\'{\i}tett $n=1,2,\dots$
sz\'amra $\xi_1^{(n)},\dots,\xi_n^{(n)}$ f\"uggetlen
egyforma eloszl\'as\'u, nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket
felvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyek
teljes\'{\i}tik a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket:
\medskip
\item{a)} $\limm_{n\to\infty} n P\(\xi_1^{(n)}=1\)=\lambda>0$.
\item{b)} $\limm_{n\to\infty} n P\(\xi_1^{(n)}\ge2\)=0$.
\medskip
Ekkor az $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j^{(n)}$, $n=1,2,\dots$,
v\'eletlen \"osszegekre teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}P(S_n=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
$$
rel\'aci\'o minden $k$ nem negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amra.}
\medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ \'Erv\'enyes e t\'etel \'all\'{\i}t\'as\'anak
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa megfelel\H{o} felt\'etelek mellett
f\"ug\-get\-len nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ek\H{u}, de nem
felt\'etlen\"ul azonos eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok \"osszeg\'ere is. Egy ilyen \'all\'{\i}t\'ast,
amelyet a fent megfogalmazott t\'etelhez hasonl\'oan lehet
bizony\'{\i}tani, nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat
form\'aj\'aban megfogalmazok. \medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak v\'azlata:} Tekints\"uk az
$S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$$
G_n(x)=\summ_{j=0}^\infty P(S_n=j)x^j, \quad n=1,2,\dots,
$$
gener\'atorf\"uggv\'enyeit. El\'eg bel\'atni, hogy
$\limm_{n\to\infty} G_n(x)=G(x)$ valamilyen $-A<x<A$, $A>0$,
intervallumban, ahol $G(x)=e^{\lambda(x-1)}$ a $\lambda$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as gener\'atorf\"uggv\'enye.
Ugyanis, mivel hatv\'anysorok konvergenci\'aja eset\'eben sza\-bad
ta\-gon\-k\'ent deriv\'alni, ez\'ert teljes\"ul a
$\limm_{n\to\infty}\left.\dfrac{d^kG_n(x)}{dx^k}\right|_{x=0}
=\left.\dfrac{dG^k(x)}{dx^k}\right|_{x=0}$ rel\'aci\'o minden
$k=0,1,2,\dots$ sz\'amra. Azaz
$k!\limm_{n\to\infty}P(S_n=k)=k!\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$
minden $k=0,1,\dots$ sz\'amra. Ennek a bizony\'{\i}tand\'o
rel\'aci\'onak az \'erv\'enyess\'eg\'et a k\"ovetkez\H{o}
\'eszrev\'etel se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel bizony\'{\i}thatjuk:
 
Legyen $g_n(x)=\summ_{j=0}^\infty P(\xi^{(n)}_1=j)x^j$, a
$\xi^{(n)}_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
gener\'atorf\"uggv\'enye. Ekkor a T\'etel felt\'etelei miatt
$G_n(x)=g_n^n(x)$ minden $x$ sz\'amra. Ez\'ert logaritmust v\'eve a
bizony\'{\i}tand\'o rel\'aci\'oban el\'eg megmutatni azt, hogy
$\limm_{n\to\infty}n\log g_n(x)=\lambda(x-1)$. Tov\'abb\'a, mivel
$P\(\xi_1^{(n)}=0\)=1-P\(\xi_1^{(n)}=1\)-\summ_{j=2}^\infty
P\(\xi_1^{(n)}=j\)$, ez\'ert $g_n(x)=1+P\(\xi^{(n)}_1=1\)\(x-1\)
+\summ_{j=2}^\infty P\(\xi^{(n)}_1=j\)\(x^j-1\)$. Ez\'ert az a)
\'es b) felt\'etelek miatt azt v\'arjuk, hogy a $g_n(x)\sim 1+\dfrac
\lambda n\(x-1\)$ formula j\'o k\"ozel\'{\i}t\'es. Mivel $\log(1+u)\sim
u$ kis $u$ sz\'amokra ez\'ert term\'eszetes azt v\'arni, hogy
$\log g_n(x)\sim \dfrac\lambda n\(x-1\)$ j\'o k\"ozel\'{\i}t\'es,
\'es $\limm_{n\to\infty}\log g_n(x)=\lambda\(x-1\)$, ahonnan
k\"ovetkezik a T\'etel \'all\'{\i}t\'asa. A T\'etel
bizony\'{\i}t\'asa a fenti k\"ozel\'{\i}t\'esek jogoss\'ag\'anak
ellen\"orz\'es\'eb\H{o}l \'all. \medskip\noindent
{\it A T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak befejez\'ese.}\/ Vegy\"uk
\'eszre, hogy minden $\e>0$ sz\'amra l\'etezik olyan $n_0=n_0(\e)$
k\"usz\"obindex, amelyre $\left|g_n(x)-\(1+\dfrac\lambda
n(x-1)\)\right|<\dfrac\e n$, ha $n\ge n_0$ \'es $|x|<1$. Val\'oban
a $g_n(x)=1+P\(\xi^{(n)}_1=1\)\(x-1\)+\summ_{j=2}^\infty
P\(\xi^{(n)}_1=j\)\(x^j-1\)$ azonoss\'ag teljes\"ul.
Ezenk\'{\i}v\"ul  a b) rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\left|\summ_{j=2}^\infty P\(\xi^{(n)}_1=j\)\(x^j-1\)\right| \le
2\summ_{j=2}^\infty P\(\xi^{(n)}_1=j\)= 2P\(\xi^{(n)}_1\ge2\)\le
\dfrac\e{2n},
$$
\'es az a) rel\'aci\'ob\'ol pedig az,
hogy $\left|P\(\xi^{(n)}_1=1\)\(x-1\)-\dfrac\lambda
n(x-1)\right|<\dfrac\e{2n}$, ha $n\ge n_0$ \'es $|x|<1$.
Ez\'ert igaz a fenti azonoss\'ag.
 
Tov\'abb\'a, mivel mint azt p\'eld\'aul a $\log(1+x)$ f\"uggv\'eny
Taylor sorfejt\'es\'eb\H{o}l lehet l\'atni, $|\log(1+u)-u|<u^2$, ha
$|u|<\dfrac12$, ez\'ert a fenti egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l
$u=g_n(x)-1$ v\'alaszt\'assal kapjuk, hogy
$\left|\log g_n(x)-(g_n(x)-1)\right|<\dfrac{2\e}n$, \'es
$\left|\log g_n(x)-\dfrac{\lambda(x-1)}
n\right|<\dfrac{3\e}n$,
ha $n\ge n_1$, \'es $|x|\le 1$ alkalmas
$n_1=n_1(\e)$ k\"usz\"obindexre. Mivel ez az \'all\'{\i}t\'as igaz
minden $\e>0$ sz\'amra, ez\'ert
$\limm_{n\to\infty}n\log g_n(x)=\lambda(x-1)$,
$\limm_{n\to\infty}g_n(x)^n=e^{\lambda(x-1)}$, ha $x<1$. Viszont
l\'attuk, hogy innen k\"ovetkezik a T\'etel \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip
{\it Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat.}
\medskip
\item{} Legyen
$$
\align
&\xi_{1,1}\dots,\xi_{1,n_1}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots   \\
&\xi_{k,1}\dots,\xi_{k,n_k}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots
\endalign
$$
sz\'eriasorozat, azaz tegy\"uk fel, hogy az egy sorban \'all\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-le\-nek.
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok teljes\'{\i}tik a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket:
\item{1.)} A $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel.
\item{2.)} $P(\xi_{k,j}=1)=\lambda_{k,j}$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}=\lambda>0$.
\item{3.)} $\supp_{1\le j\le n_k}\lambda_{k,j}\to0$, ha $k\to\infty$,
\'es $\summ_{j=1}^{n_k}P\(\xi_{k,j}\ge2\)\to0$, ha $k\to\infty$.
 
\item{} Ekkor az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
a $\lambda$ para\-m\'e\-te\-r\H{u} Poisson eloszl\'ashoz, ha
$k\to\infty$, azaz
$\limm_{k\to\infty}P(S_k=l)=\dfrac{\lambda^l}{l!}e^{-\lambda}$ minden
$l=0,1,2,\dots$ sz\'amra. \medskip\noindent
{\it A T\'etel szeml\'eletes tartalma:} Tekints\"uk p\'eld\'aul a
csillaghull\'ast. Arra vagyunk ki\-v\'an\-csi\-ak, hogy amennyiben
egy \'ejszaka azt figyelj\"uk, h\'any hull\'ocsillagot l\'atunk egy
adott id\H{o}\-in\-ter\-val\-lum\-ban, (mondjuk egy \'ora alatt),
akkor a lehullott csillagok (v\'eletlen sz\'ama) milyen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi t\"orv\'enyeknek tesz eleget.
Osszuk fel az egy \'ora id\H{o}intervallumot r\"ovid $\Delta T$
hossz\'us\'ag\'u id\H{o}intervallumokra. Akkor a lehullott csillagok
sz\'ama e r\"ovid $\Delta T$ id\H{o}intervallumokban lehullott
csillagok \"osszege. Ezenk\'{\i}v\"ul feltehetj\"uk, hogy diszjunkt
id\H{o}intervallumokban lehullott csillagok sz\'ama egym\'ast\'ol
f\"uggetlen, \'es a k\"ul\"onb\"oz\H{o} r\"ovid intervallumokban
lehull\'o csillagok sz\'ama hasonl\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
t\"orv\'enyeknek tesz eleget. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy egy csillag egy r\"ovid id\H{o}\-inter\-val\-lum\-ban lehullik
nagyon kicsi, \'es ar\'anyos az id\H{o}intervallum hossz\'aval.
Annak va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy egy kis
id\H{o}\-in\-ter\-val\-lum\-ban kett\H{o} vagy m\'eg t\"obb csillag
hullik, m\'eg ehhez k\'epest is elhanyagolhat\'o. Ez azt jelenti,
hogy term\'eszetes feltenni, hogy  teljes\"ulnek az el\H{o}bb
megfogalmazott t\'etel felt\'etelei. Ez\'ert az alkalmazhat\'o, \'es
egy adott id\H{o}intervallumban lehullott csillagok sz\'ama Poisson
eloszl\'as\'u. Hasonl\'o \'ervel\'es alkalmazhat\'o sok m\'as
hasonl\'o esetben, \'es ez magyar\'azza meg, mi\'ert
k\"ul\"on\"osen fontos a Poisson eloszl\'as.
 
\medskip\noindent
{\it Egy a hipergeometrikus eloszl\'assal kapcsolatos statisztikai
probl\'em\'ar\'ol.}
\medskip
Tekints\"uk el\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'at:
 
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Egy t\'oban 3000 hal van. V\'eletlen\"ul kihal\'asznak
bel\H{o}le 1000 darabot, \'es ezekre piros p\"otty\"ot festenek \'es
visszaengedik \H{o}ket. Ezut\'an ism\'et kifognak v\'eletlen\"ul 1000
halat. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
kifogott halak k\"oz\"ott 100 megfestett van?
%\item{} {\it Megold\'as:}\/
%$\dfrac{\dbinom{1000}{100}\dbinom{2000}{900}} {\dbinom{3000}{1000}}$.
\medskip
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ A gyakorlatban el\H{o}fordul\'o
k\'erd\'es ennek ford\'{\i}tottja. Elv\'egezz\"uk a fenti kis\'erletet,
\"osszesz\'aml\'aljuk a megfestett halakat, \'es ebb\H{o}l
pr\'ob\'alunk k\"ovetkeztetni a t\'oban lev\H{o} halak sz\'am\'ara.
Hogyan \'erdemes ezt csin\'alni?
\medskip
Ezt a probl\'em\'at \'erdemes r\'eszletesebben megt\'argyalni.
Val\'oj\'aban, nem tudjuk, hogy h\'any hal van a t\'oban. De ennek
megbecsl\'ese \'erdek\'eben a k\"ovetkez\H{o} elj\'ar\'ast
alkalmazhatjuk:
 
V\'egezz\"unk k\'et fog\'ast, az els\H{o} fog\'asban kifogott halakat
jel\"oljuk meg. Ezut\'an meg akarjuk \'allap\'{\i}tani mennyi hal
lehet \"osszesen a t\'oban. Ezt term\'eszetesen csak bizonyos
(v\'eletlent\H{o}l f\"ugg\H{o}) pontoss\'aggal tudjuk meghat\'arozni.
Az ilyen tipus\'u fel\-ada\-tok tipikusak a matematikai
statisztik\'aban, az ilyen probl\'em\'ak vizsg\'alat\'at nevezik
becsl\'eselem\'eletnek. Vil\'agos, hogy az, hogy 1000-n\'el alig
t\"obb hal van, nem t\'ul val\'osz\'{\i}n\H{u}, mert akkor sokkal
t\"obb megjel\"olt hal lenne a m\'asodik fog\'asban. Az hogy
rengeteg, mondjuk 1~000~000 hal lenne a t\'oban szint\'en nem t\'ul
val\'osz\'{\i}n\H{u}, mert akkor sokkal kevesebb megjel\"olt hal
lenne a m\'asodik fog\'asban. A matematikai statisztik\'aban
kidolgoztak egy \'altal\'anos elvet, a maximum likelihood
m\'odszernek ne\-ve\-zett elj\'ar\'ast, amely nagyon
\'altal\'anos felt\'etelek mellett nagyon j\'o m\'odszert ad, \'es
ez a jelen esetben is al\-kal\-maz\-hat\'o. T\'argyaljuk meg ezt a
m\'odszert a jelen esetben. Te\-kint\-s\"unk kiss\'e \'altal\'anosabb
esetet. Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'eseket:
\item{} $x$ a t\'oban l\'ev\H{o} halak (ismeretlen) sz\'ama,
\item{} $n$ az els\H{o} fog\'asban kifogott (\'es megjel\"olt) halak
sz\'ama,
\item{} $r$ a m\'asodik fog\'asban kifogott halak sz\'ama,
\item{} $k$ a m\'asodik fog\'asban kifogott el\H{o}z\"oleg megjel\"olt
halak sz\'ama.
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy adott (ismeretlen) $x$ \'es
$n$, $r$ sz\'amok eset\'en pontosan $k$ megjel\"olt halat fogunk ki
$$
q_k(x,n,r)=\frac{\dbinom{n}k\dbinom {x-n}{r-k}}{\dbinom xr}.
$$
Tekints\"uk az ismeretlen $x$ sz\'am (maximum likelihood)
becsl\'es\'enek azt az $x$ sz\'amot, amelyre a $q_k(x,n,r)$
mennyis\'eg (r\"ogz\'{\i}tett $n$, $k$ \'es $r$ sz\'amok mellett)
maxim\'alis.
\item{} Hat\'arozzuk meg a fenti feladatban a maximum likelihood
becsl\'est.
\item{} N\'emi sz\'amol\'as mutatja, hogy
$$
\frac{q_k(x,n,r)}{q_k(x-1,n,r)}=\frac
{x-n}{x-n-r+k}\cdot\frac{x-r}x=\frac{x^2-rx
-nx+rn}{x^2-rx-nx+kx}.
$$
Ez a t\"ort kisebb mint egy, ha $rn<kx$, nagyobb mint egy, ha
$rn>kx$. Ez\'ert a becsl\'es $rn=kx$, azaz $x=\dfrac {rn}k$,
pontosabban az e sz\'amot k\"ozrefog\'o eg\'esz sz\'amok valamelyike.
Val\'oban $x<\dfrac {rn}k$ eset\'eben a $q_k(x,n,r)$ f\"uggv\'eny
(mint az $x$ v\'altoz\'o f\"uggv\'enye r\"ogz\'{\i}tett $k$, $n$
\'es $r$ param\'eterekkel) monoton n\H{o}, $x>\dfrac {rn}k$
eset\'eben pedig a $q_k(x,n,r)$ f\"uggv\'eny monoton cs\"okken.
\medskip
 
Term\'eszetes k\'erd\'es az, hogy az \'{\i}gy kapott becsl\'es
val\'oban j\'o-e. Azt nem v\'arhatjuk, hogy az adott becsl\'es
teljesen pontos. A term\'eszetes elv\'ar\'as az, hogy meg tudunk adni
az $x$ pontnak viszonylag kis k\"ornyezet\'et, egy olyan $[x-a,x+a]$
intervallumot, amelyre igaz, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a halak val\'odi sz\'ama ebbe az intervallumba esik nagyobb mint
egy el\H{o}\'{\i}rt egyhez k\"ozeli sz\'am. Az ilyen intervallumot a
matematikai statisztik\'aban kondfidencia intervallumnak szokt\'ak
nevezni.
 
Ahhoz, hogy ilyen konfidenciaintervallumot tudjunk szerkeszteni
sz\"uks\'eg van bizonyos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'as\'anak jobb ismeret\'ere, \'es ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik alapvet\H{o}
feladata. Jegyezz\"uk meg, hogy a most vizsg\'alt feladatban,
amennyiben a t\'oban $x$ sz\'am\'u hal van, az els\H{o} fog\'asban
$n$, a m\'asodik fog\'asban $r$ pedig $r$ halat fogunk ki, akkor a
m\'asodik fog\'asban kifogott v\'eletlen $k$ sz\'am\'u megjel\"olt
halak sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke $Ek=\dfrac {rn}x$.  Ahhoz,
hogy vizsg\'alni tudjuk mennyire j\'o a becsl\'es, hogyan lehet j\'o
konfidenciaintervallumot konstru\'alni, azt kell meg\'erten\"unk,
hogy mekkora az ingadoz\'asa a $k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak a v\'arhat\'o \'ert\'eke k\"or\"ul. Ez\'ert \'erdemes
kisz\'amolni egy hipergeometrikus eloszl\'as sz\'or\'asn\'egyzet\'et
kisz\'amolni, amit gyakorlaton megtett\"unk. Tov\'abbi \'ert\'ekes
inform\'aci\'okat nyerhet\"unk, ha t\'eteleket bizony\'{\i}tunk
hipergeometrikus eloszl\'asok aszimptotikus eloszl\'as\'ara, ha a
benne szerepl\H{o} param\'eterek nagyok. B\'ar ezzel a
k\'erd\'essel nem fogunk foglalkozni, hasonl\'o probl\'em\'akat
fogunk t\'argyalni, amelyek vizsg\'alat\'aban ilyen jelleg\H{u}
k\'erd\'esek megold\'asa hasznos.
\medskip\noindent
{\bf \'Altal\'anos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, vel\"uk
kapcsolatos alapvet\H{o} fogalmak.}
\medskip\noindent
Megbesz\'elt\"uk, hogy egy $\xi$ (val\'os \'ert\'ek\H{u})
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n \'ertelmezett (m\'erhet\H{o})
f\"uggv\'eny. \'Altal\'aban, nem a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat adjuk meg, hanem azoknak al\'abb defini\'alt
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. \medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it Legyen adva egy
 $\xi(\oo)$ (val\'os \'ert\'ek\H{u}) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Ennek $F(x)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'en az
$F(x)=P\(\{\oo\:\xi(\oo)<x\}\)$, $-\infty<x<\infty$, f\"uggv\'enyt
\'ertj\"uk.} \medskip
Tekints\"uk p\'eld\'aul egy szab\'alyos dob\'okocka feldob\'as\'at,
illetve azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely megmondja
mi a dob\'as eredm\'enye. Hogy n\'ez ki ennek a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak az $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye?
 
Ez a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o az 1, 2, 3, 4, 5
\'es 6 \'ert\'ekek valamelyik\'et veszi fel, mindegyiket $\dfrac16$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Ez\'ert annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $P(\xi<x)$ null\'aval egyenl\H{o},
ha $x<1$. S\H{o}t $x=1$ eset\'eben is teljes\"ul a $P(\xi<1)=0$
azonoss\'ag, mert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et n\'ezz\"uk,
hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o szigor\'uan kisebb
mint az $x$ sz\'am. Ez\'ert $F(x)=0$, ha $-\infty<x\le1$. Ha $1<x<2$,
akkor az $\{\oo\:\xi(\oo)<x\}$ esem\'eny azt jelenti, hogy a dob\'as
eredm\'enye 1. Ez az \'all\'{\i}t\'as igaz $x=2$ eset\'eben is.
Ez\'ert $F(x)=\dfrac16$, ha $1<x\le2$. Ha $2<x\le3$, akkor az
$\{\oo\:\xi(\oo)<x\}$ esem\'eny azt jelenti, hogy a dob\'as
eredm\'enye 1 vagy 2. Ez\'ert $F(x)=\dfrac26$, ha $2<x\le3$. Ezt a
gondolatot v\'egigk\"ovetve kapjuk, hogy $F(x)=0$, ha $-\infty<x\le1$,
$F(x)=\dfrac j6$, ha $j<x\le j+1$, $1\le j\le 5$, \'es $F(x)=1$, ha
$6<x<\infty$,
 
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Feldobunk egy p\'enzdarabot, amely $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej, $1-p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldalra k\'etszer
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Jel\"olje $\xi$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely a fejdob\'asok
sz\'am\'at adja meg. Adjuk meg a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
Mi\'ert fontos az eloszl\'asf\"uggv\'eny fogalma? \'Altal\'aban nem
tudjuk, hogy milyen v\'eletlen hat\'asok eredm\'enyek\'ent jelenik meg
egy $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'eke, csak
azt, hogy milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\"ort\'enik az, hogy
ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o bizonyos \'ert\'ekeket
vesz fel. Ez\'ert term\'eszetes, hogy csak ezeket a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket adjuk meg. A $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye
csak az $\{\oo\:\xi(\oo)<x\}$ alak\'u esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et adja meg. A k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'es
az, hogy nem jelent-e ez megszor\'{\i}t\'ast, hiszen minket az
\"osszes $\{\oo\:\xi(\oo)\in B\}$ alak\'u esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege \'erdekel, ahol $B$ ,,sz\'ep"  halmaz.
Viszont bizonyos m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyekb\H{o}l
k\"o\-vet\-ke\-zik, hogy az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
meghat\'arozza az \"osszes ilyen esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Az, hogy egy halmaz ,,sz\'ep"
pontosan azt jelenti, hogy ez a halmaz Borel m\'erhet\H{o}.
L\'assuk, hogyan lehet n\'eh\'any ilyen esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et meghat\'arozni.
 
Mivel $\{\oo\:a\le\xi(\oo)<b\}=\{\oo\:\xi(\oo)<b\}\setminus
\{\oo\:\xi(\oo)<a\}$, ez\'ert
$$
P\(\{\oo\:a\le\xi(\oo)<b\}\)=
P\(\{\oo\:a\le\xi(\oo)<b\}\)-P\(\{\oo\:\xi(\oo)<a\}\)=F(b)-F(a).
$$
Mivel $\{\oo\:a\le \xi(\oo)\le b\}=\bigcapp_{n=1}^\infty
\left\{\oo\:a\le\xi(\oo)<b+\dfrac1n\right\}$, \'es a
 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\sigma$-ad\-di\-ti\-vi\-t\'a\-s\'a\-b\'ol k\"ovetkeznek
annak folytonoss\'agi tulajdons\'agai, ez\'ert
$$
\align
P\(\{\oo\:a\le \xi(\oo)\le b\}\)&=\limm_{n\to\infty}
P\(\left\{\oo\:a\le\xi(\oo)<b+\dfrac1n\right\}\)\\
&=\limm_{n\to\infty}\[F\(b+\dfrac1n\)-F(a)\].
\endalign
$$
Hasonl\'oan, ha adva vam diszjunkt z\'art $[a_k,b_k]$, $1\le k\le n$,
intervallumok halmaza, akkor
$$
P\(\bigcupp_{k=1}^n\left\{\oo\: a_k\le \xi(\oo)\le b_k\right\}\)=
\summ_{k=1}^n\limm_{N\to\infty}\[F\(b_k+\dfrac1N\)-F(a_k)\].
$$
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen adva egy $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye. Hat\'arozzuk meg ennek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az $\{\oo\:a<\xi(\oo)<b\}$ alak\'u esem\'enyek,
$-\infty<a<b<\infty$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, valamint annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy $\xi(\oo)$ valamilyen p\'aros
eg\'esz \'ert\'eket vesz fel. \medskip
 
Megfogalmazzuk azokat eredm\'enyeket, amelyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel
jellemezni tudjuk az eloszl\'asf\"uggv\'enyeket, illetve, amelyek
kimondj\'ak, hogy az elosz\'asf\"uggv\'enyek meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak
a minket \'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, \'es legyen $F(x)=P(\{\oo\:\xi(\oo)<x\})$,
$-\infty<x<\infty$, e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokat. \medskip
\item{a)} $F(x)$ monoton n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny.
\item{b)} $F(x)$ balr\'ol folytonos f\"uggv\'eny, azaz
 $\limm_{h\to0,\, h>0} F(x-h)=F(x)$ minden $-\infty<x<\infty$
sz\'amra.
\item{c)} $\limm_{x\to\infty}F(x)=1$.
\item{d)} $\limm_{x\to-\infty}F(x)=0$.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel A.} {\it Ha egy $F(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az
el\H{o}z\H{o} lemm\'aban megfogalmazott a)---d) tulajdons\'agokat,
akkor az eloszl\'asf\"uggv\'eny. R\'eszletesebben megfogalmazva ez
azt jelenti, hogy ha az $F(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az a)---d)
felt\'eteleket, akkor l\'etezik egy $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, \'es azon olyan $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelynek az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enye ez az $F(x)$ f\"uggv\'eny.}
\medskip
A fent megfogalmazott T\'etel~A felhaszn\'al egy fontos
m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyt, amelyet megfogalmazunk, de nem
bizony\'{\i}tunk. \medskip\noindent
{\bf T\'etel B.} {\it Ha egy $F(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az
el\H{o}z\H{o} lemm\'aban megfogalmazott a)---d) tulajdons\'agokat,
akkor l\'etezik egy olyan \'ugynevezett $\mu_F(\cdot)$ az $F$
f\"uggv\'enyhez kapcsol\'od\'o Stieltjes m\'ert\'ek, amely
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokat.
\item{a)} A sz\'amegyenes minden $B$ Borel halmaz\'anak l\'etezik
$\mu_F(B)$ Stieltjes m\'ert\'eke.
\item{b)} A $\mu_F(\cdot)$ halmazf\"uggv\'eny $\sigma$-addit\'{\i}v a
 sz\'amegyenes Borel-halmazaib\'ol \'all\'o (Borel)
$\sigma$-algebr\'an, \'es $\mu_F(R^1)=1$.
\item{c)} $\mu_F([a,b))=F(b)-F(a)$ minden $-\infty\le a<b\le \infty$
sz\'amra. Speci\'alisan, \hfill\break
$\mu_F((-\infty,b))=F(b)$ minden $-\infty<b<\infty$ sz\'amra.
\medskip
Egy fenti tulajdons\'ag\'u $F(x)$ f\"uggv\'eny, egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozza azokat az $\mu_F(B)$ sz\'amokat minden Borel
m\'erhet\H{o} $B$ halmazra, amelyekre teljes\"ul, hogy
$\mu_F((-\infty,b))=F(b)$ minden $-\infty<b< \infty$ sz\'amra, \'es
$\mu_F(\cdot)$ $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny a sz\'amegyenes
Borel $\sigma$-algebr\'aj\'an.} \medskip
 
Jegyezz\"uk meg, hogy a $\mu_F(B)=P(\{\oo\:\xi(\oo)\in B\})$
halmazf\"uggv\'eny $\sigma$-addit\'{\i}v a sz\'amegyenes Borel
$\sigma$-algebr\'aj\'an, \'es $P(\{\oo\:\xi(\oo)<b\})=F(b)$. Ez\'ert
az el\H{o}bb megfogalmazott T\'etel~B azt is \'all\'{\i}tja, hogy az
$F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny meghat\'arozza a $P(\{\oo\:\xi(\oo)\in
B\})$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket minden Borel--m\'erhet\H{o} $B$
halmazra. \medskip\noindent
{\it A Lemma bizony\'{\i}t\'asa:}\/ Mivel $\{\oo\:\xi(\oo)<a\}
\subset\{\oo\:\xi(\oo)<b\}$, ha $a<b$, ez\'ert
$P(\{\oo\:\xi(\oo)<a\})\le P(\{\oo\:\xi(\oo)<b\})$ ebben az esetben,
\'es ez az a) tulajdons\'ag.
 
Az a) tulajdons\'ag \'erv\'enyess\'ege miatt a b) tulajdons\'ag
bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben el\'eg megmutatni azt, hogy ha $h_n$,
$n=1,2,\dots$, olyan monoton cs\"okken\H{o} sorozat, amelyre
$\limm_{n\to\infty}h_n=0$, akkor $\limm_{n\to\infty}F(x-h_n)=
\limm_{n\to\infty}P\(\{\oo\:\xi(\oo)<x-h_n\}\)= F(x)=
P\(\{\oo\:\xi(\oo)<x\}\)$. Ez viszont k\"ovetkezik az
$\bigcupp_{n=1}^\infty\{\oo\:\xi(\oo)<x-h_n\}=\{\oo\:\xi(\oo)<x\}$
rel\'aci\'ob\'ol \'es a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
folytonoss\'ag\'ab\'ol. A c) \'es d) tulajdons\'ag
bizony\'{\i}t\'asa hasonl\'o. \medskip\noindent
{\it A T\'etel A bizony\'{\i}t\'asa:}\/ Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o}
$(\Omega, \Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t,
$\Omega=R^1$, a sz\'amegyenes, $\Cal A=\Cal B$ a sz\'amegyenes Borel
m\'erhet\H{o} halmazainak $\sigma$-algebr\'aja, $P=\mu_F$, a Borel
m\'erhet\H{o} halmazok $\sigma$-algebr\'aj\'an az $F$ f\"uggv\'eny
\'altal defini\'alt Stieltjes m\'ert\'ek, amelynek l\'etez\'es\'et a
T\'etel~B \'all\'{\i}t\'asa fogalmazza meg. Legyen $\xi(x)=x$, azaz
jelen p\'eld\'aban az $\oo$ elemi esem\'enyek az $x$ val\'os sz\'amok,
\'es a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok az $x$
helyen az $x$ sz\'ammal egyenl\H{o}. Ekkor
$P(\{\oo\:\xi(\oo)<x\})=\mu_F(u\:u<x)=F(x)$ minden $x$ sz\'amra. Ez
azt jelenti, hogy a defini\'alt $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asa az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny.
\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es:}\/ A T\'etel~A bizony\'{\i}t\'as\'anak egyetlen
nehezebb l\'ep\'ese annak bizony\'{\i}t\'asa, hogy a konstru\'alt
$\mu_F$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek val\'oban
$\sigma$-addit\'{\i}v, azaz a T\'etel~B \'all\'{\i}t\'as\'anak
bizony\'{\i}t\'asa. Megjegyezz\"uk, hogy ennek az \'all\'{\i}t\'asnak
a bizony\'{\i}t\'asa elker\"ulhetetlen. Ugyan\-is a T\'etel~B
\'all\'{\i}t\'asa k\"onnyen levezethet\H{o} a T\'etel~A
\'all\'{\i}t\'as\'ab\'ol.
\medskip \noindent
{\it 2. megjegyz\'es:}\/ Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy mi\'ert
t\'argyaltuk k\"ul\"on a T\'etel~A-t, mi\'ert \'erdekel minket annak
az eredm\'enye. Ennek oka a k\"ovetkez\H{o}. Gyakran megfogalmazunk
olyan feladatot, amelyben egy olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'or\'ol akarunk tudni valamit, amelyiknek az
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et egy k\'eplettel megadtuk. Felmer\"ulhet a
k\'erd\'es, hogy a feladat \'ertelmes-e, azaz val\'oban l\'etezik-e
olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyiknek az
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et megadtuk. A T\'etel~A azt mondja ki, hogy
amennyiben az \'altalunk megadott k\'eplet teljes\'{\i}t n\'eh\'any
olyan felt\'etelt, amelyiket minden eloszl\'asf\"uggv\'enynek
teljes\'{\i}teni kell, akkor ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o l\'etezik.
 
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} L\'assuk be, hogy l\'etezik olyan diszkr\'et eloszl\'as\'u
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelynek $F(x)=P(\xi<x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'ere igaz, hogy minden $-\infty<a<b<\infty$
sz\'amp\'arra $F(a)<F(b)$ szigor\'u egyenl\H{o}tlens\'eggel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Egy lehets\'eges konstrukci\'o a
k\"ovetkez\H{o}. Legyen $r_1,r_2,\dots$, a racion\'alis sz\'amok
sorozata valamilyen sorrendben felsorolva. Defini\'aljunk olyan $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ot, amelyre
$P(\xi=r_j)=2^{-j}$, $j=1,2,\dots$. Ekkor $\xi$ diszkr\'et
el\-osz\-l\'a\-s\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
ennek $F(x)$ eloszl\'as\'ara $F(b)-F(a)=P(a<\xi<b)>0$, mert
$P(a<\xi<b)>P(\xi=r_j)>0$, ahol $r_j$ egy az $[a,b]$ intervallum
belsej\'eben l\'ev\H{o} racion\'alis sz\'am.
 
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'eke.}
\medskip\noindent
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egy nagyon fontos fogalma
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'eke. Ezt a
fogalmat r\'eszletesen t\'argyaltuk diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben. Az \'altal\'anos
eset t\'argyal\'asa visszavezethet\H{o} erre a speci\'alis esetre
alkalmas hat\'ar\'atmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ezt a
hat\'ar\'atmenet elj\'ar\'ast kiss\'e \'altal\'anosabb form\'aban
elv\'egezt\'ek a m\'ert\'ekelm\'eletben az \'ugynevezett Lebesgue
integr\'al bevezet\'es\'en\'el. A
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
t\'argyal\'as\'aban a v\'arhat\'o \'ert\'ek vizsg\'alat\'at
 egyszer\H{u}en \'es gyorsan el tudj\'ak v\'egezni, ha szabad
haszn\'alni a Lebesgue integr\'al fogalm\'at.
 
Ebben az el\H{o}ad\'asban a k\"ovetkez\H{o} k\"oztes megold\'ast
v\'alasztjuk. Elmagyar\'azzuk azt a k\'epet, amely term\'eszetess\'e
teszi a haszn\'alt Lebesgue m\'ert\'ek definici\'oj\'at, \'es
szem\-l\'e\-le\-te\-sen megmutatjuk, mi\'ert \'erv\'enyesek a
legfontosabb eredm\'enyek. A form\'alis r\'eszletek kidolgoz\'asa
viszont nem ennek az el\H{o}ad\'asnak a t\'em\'aja.
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek {\it form\'alis}\/ definici\'oja.} {\it Legyen
$\xi(\oo)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'o egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n.
E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'ugy defini\'aljuk, mint a $\xi(\oo)$ f\"uggv\'enynek az
$$
E\xi(\oo)=\int \xi(\oo) dP(\oo)
$$
Lebesgue integr\'alj\'at a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
szerint, felt\'eve, hogy $\int |\xi(\oo)| dP(\oo)<\infty$. Ha ez a
felt\'etel nem teljes\"ul, akkor nem defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.}
\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} {\it Fontos T\'etel}-nek nevezett eredm\'eny
lehet\H{o}v\'e teszi egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek kisz\'am\'{\i}t\'as\'at csak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek
az ismeret\'eben. \medskip\noindent
{\bf Fontos T\'etel.} {\it Legyen $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
amelynek $F(x)$ az $F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$,
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor
$$
E\xi(\oo)=\int_{-\infty}^\infty xF(\,dx),
$$
ahol a fenti integr\'al Lebesgue--Stieltjes integr\'alt jel\"ol az
$F$ m\'ert\'ek szerint. Ez a formula akkor \'erv\'enyes, ha
$\int_{-\infty}^\infty |x| F(\,dx)<\infty$. Ellenkez\H{o} esetben az
$E\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eket nem defini\'altuk.}
\medskip
S\H{o}t igaz a Fontos T\'etel k\"ovetkez\H{o}
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa. \medskip\noindent
{\bf A Fontos T\'etel \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.} {\it Legyen
$\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelynek $F(x)$ az
$F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$, el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye.
Legyen $g(x)$ tetsz\H{o}leges (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny a
sz\'amegyenesen, \'es defini\'aljuk az $\eta(\oo)=g(\xi(\oo))$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Ekkor
$$
E\eta(\oo)=Eg(\xi(\oo))=\int_{-\infty}^\infty  g(x) F(\,dx),
$$
ahol a fenti integr\'al Lebesgue--Stieltjes integr\'alt jel\"ol az
$F$ m\'ert\'ek szerint. Ez a formula akkor \'erv\'enyes, ha
$\int_{-\infty}^\infty|g(x)| F(\,dx)<\infty$. Ellenkez\H{o} esetben
az $E\eta$ v\'arhat\'o \'ert\'eket nem defini\'altuk.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az el\H{o}bb megfogalmazott eredm\'enyekben
szerepelt az $\int_{-\infty}^\infty|x| F(\,dx)<\infty$, illetve
$\int_{-\infty}^\infty|g(x)| F(\,dx)<\infty$ felt\'etel. E
felt\'etelek term\'eszetes megfelel\H{o}i annak a diszkr\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben szerep;\H{o}
felt\'etelnek,  hogy egy diszkr\'et va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et defini\'al\'o \"osszeg legyen
abszolut konvergens. \medskip
 
A v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'aban szerepelt a Lebesgue
integr\'al fogalma. Ennek a fogalomnak a jelent\'ese n\'emi
ma\-gya\-r\'a\-zat\-ra szorul. Sz\'amunkra el\'eg lesz egy olyan k\'ep
ma\-gya\-r\'a\-zat\-k\'ent, amelyik szeml\'eletesen megmutatja
ennek \'ertelm\'et. Ezt tessz\"uk meg az al\'abbiakban egy r\"ovid
kieg\'esz\'{\i}t\'esben, amelyben nem t\"oreksz\"unk teljess\'egre.
K\"ul\"on \'erdemes megjegyezni, hogy maga az $\int
\xi(\oo)\,P(\,d\oo)$ integr\'al azon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n van defini\'alva, ahol a $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, (eml\'ekezz\"unk, hogy
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n \'ertelmezett (m\'erhet\H{o})
f\"uggv\'eny) \'es maga az integr\'al\'as is az ezen a mez\H{o}n
\'ertelmezett t\'eren l\'etezik. M\'egis a Fontos t\'etelben, illetve
annak \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-ban olyan eredm\'enyt
fogalmaztunk meg, amelyik lehet\H{o}v\'e teszi egy ilyen integr\'alnak
a kisz\'amol\'as\'at an\'elk\"ul, hogy defini\'aln\'ank a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, ahol dolgozunk. A t\'etel
tal\'an legfontosabb \'all\'{\i}t\'asa az, hogy el\'eg tudnunk
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et, \'es akkor ki tudjuk sz\'amolni
mind a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, illetve a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o tetsz\H{o}leges
f\"uggv\'eny\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
 
Az itt szerepl\H{o} integr\'al \'altal\'anosabb, mint az
anal\'{\i}zisben tanult Riemann illetve Riemann--Stieltjes integr\'al.
Viszont, ha az ut\'obbiak l\'eteznek, akkor azok megegyeznek a minket
\'erdekl\H{o} integr\'allal. V\'eg\"ul jegyezz\"uk meg, hogy tanultuk
kor\'abban, hogyan lehet kisz\'amolni diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, illetve azon
f\"uggv\'enyeinek v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. Ezt \'erdemes
ide\'{\i}rni, hogy l\'assuk hasonl\'os\'agukat a Fontos
T\'etellel, illetve annak \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'aval.
Val\'oj\'aban a kor\'abban megfogalmazott \'all\'{\i}t\'asok ezeknek
az eredm\'enyeknek az \'altal\'anos\'{\i}t\'asai.
 
Legyen $\xi$ diszkr\'et \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amely valamely $x_1,x_2,\dots$, val\'os \'ert\'ekeket
vesznek fel. Ekkor
$$
\align
E\xi&=\sum_i x_i P(\xi=x_i)\\
Eg(\xi)&=\sum_i g(x_i) P(\xi=x_i),
\endalign
$$
felt\'eve, hogy a jobboldalon szerepl\H{o} \"osszegek abszolut
konvergensek.
\vfill\eject
 
\centerline{\bf Kieg\'esz\'{\i}t\'es: A Lebesgue integr\'al fogalama}
\medskip
 
A Lebesgye integr\'al term\'eszetes definici\'oj\'aban ezt az
integr\'alt el\H{o}sz\"or a leg\-egy\-sze\-r\H{u}bb f\"uggv\'enyek
eset\'eben defini\'aljuk term\'eszetes m\'odon, majd ezt a
definici\'ot kiterjesztj\"uk \'altal\'anos f\"uggv\'enyekre
folytonoss\'agi meggondol\'asok alapj\'an. Ezt a
k\"o\-vet\-ke\-z\H{o}\-k\'epp tehetj\"uk. Legyen adva egy $(X,\Cal
A,\mu)$ m\'ert\'ekt\'er, azaz egy $X$ alaphalmaz, kijel\"olj\"uk
annak bizonyos r\'eszhalmazait, amelyek $\sigma$-algebr\'at alkotnak,
\'es $\mu$ $\sigma$-v\'eges m\'ert\'ek az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an.
(Egy m\'ert\'ek, azaz $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny akkor
$\sigma$-v\'eges, ha l\'etezik az $X$ alaphalmaz olyan felbont\'asa
megsz\'aml\'alhat\'oan sok $B_j$, halmazra, $X=\bigcupp_{j=1}^\infty
B_j$, melyekre $\mu(B_j)<\infty$. Az $(X,\Cal A,\mu)$ t\'eren
\'ertelmezett (m\'erhet\H{o}) $f(\cdot)$ f\"uggv\'enyeknek
defini\'aljuk a $\mu$ m\'ert\'ek szerinti integr\'alj\'at, ha azok
teljes\'{\i}tenek bizonyos felt\'eteleket, \'es ezeket az
integr\'alokat $\int f(x)\mu(\,dx)$ form\'aban jel\"olj\"uk.
Jegyezz\"uk meg, hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}
speci\'alis $(X,\Cal A,\mu)$ m\'ert\'ekt\'er. Bizonyos
vizsg\'alatokban hasznos, hogy figyelm\"unket nem korl\'atozzuk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}k\"on defini\'alt f\"uggv\'enyek
(azaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok) integr\'alj\'ara.
 
Egy $f(\cdot)$ f\"uggv\'enyt elemi f\"uggv\'enynek nevez\"unk, ha csak
v\'eges sok k\"ul\"onb\"oz\H{o} \'ert\'eket vesz fel, azaz l\'etezik
v\'eges sok olyan $z_1,x_2,\dots,z_k$ sz\'am \'ugy, hogy
$\bigcupp_{j=1}^k\{x\:f(x)=z\}=\Omega$. Ennek az elemi f\"uggv\'enynek
az integr\'alj\'at az
$$
\int f(x)\mu(\,dx)=\summ_{j=1}^k z_j\mu\(\{x\:f(x)=z_j\}\)
$$
\"osszeg defini\'alja. (Ez analog ahhoz, ahogy diszkr\'et eloszl\'as\'u
f\"uggv\'enyek integr\'alj\'at defini\'altuk. Az egyetlen
k\"ul\"onbs\'eg az, hogy itt csak v\'eges sok \'ert\'ekeket
felvev\H{o} f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket tekint\"unk, m\'{\i}g
ott megengedt\"uk azt is, hogy megsz\'aml\'alhat\'oan sok \'ert\'eket
vegyenek fel. Defini\'alhattuk volna az elemi f\"uggv\'enyeket is
\'altal\'anosbban, megengedhett\"uk volna, hogy megsz\'aml\'alhat\'o
sok \'ert\'eket vegyenek fel, de az itt tekintett definici\'o
technikailag k\'enyelmesebb.) Ha adva van egy nem-negat\'{\i}v $f(x)$
f\"uggv\'eny az az $(X,\Cal A,\mu)$ m\'er\-t\'ek\-t\'e\-ren, akkor
azt k\"ozel\'{\i}thetj\"uk elemi $f_n(x)$ elemi f\"uggv\'enyekkel
p\'eld\'aul a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} m\'odon. Legyen
$f_n(x)=k2^{-n}$, ha $k2^{-n}\le x\le (k+1)2^{-n}$,
$k=0,1,\dots,2^{2n}$, \'es defini\'aljuk az $f(x)$ f\"uggv\'eny
integr\'alj\'at, az $\int f(x)\mu(\,dx)=\limm_{n\to\infty}\int
f_n(x)\mu(\,dx)$ k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Egy \'altal\'anos
(m\'erhet\H{o}) $f(x)$ f\"uggv\'eny eset\'eben defini\'aljuk annak
pozit\'{\i}v \'es negat\'{\i}v r\'esz\'et, mint $f_+(x)=\max(0,f(x))$,
$f_-(x)=\min(0,f(x))$, \'es $\int f(x)\mu(\,dx)=\int
f_+(x)\mu(\,dx)-\int(-f_-(x)\nu(\,dx)$. Be lehet l\'atni, hogy az
el\H{o}bb defini\'alt integr\'al \'ertelmes (p\'eld\'aul a fel\'{\i}rt
limesz val\'oban l\'etezik, ha $\int |f(x)|\mu(\,dx)<\infty$.
 
Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, mi a kapcsolat az \'{\i}gy defini\'alt
integr\'al \'es az anal\'{\i}zisben tanult Riemann \'es Riemann--Stieltjes
integr\'al
k\"oz\"ott, mik a Lebesgue integr\'al legfontosabb tulajdons\'agai.
 
A hagyom\'anyos anal\'{\i}zis oktat\'asban az \'ugynevezett Riemann
integr\'alt vezetik be el\H{o}sz\"or. Egy $[a,b]$ intervallumon
\'ertelmezett $f(u)$ f\"uggv\'eny $\int_a^b f(u)\,du$
integr\'alj\'at \'ugy defini\'aljuk, hogy el\H{o}sz\"or alkalmas
k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegeket vezet\"unk be a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon. Felosztjuk az $[a,b]$ intervallumot $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$
oszt\'opontok seg\'{\i}ts\'eg\'evel, amelyekre $\supp_{1\le k\le n}
(x_k-x_{k-1})$ kicsi, \'es mindegyik $[x_{k-1},x_k]$ intervallumban
kijel\"ol\"unk egy $\xi_k \in[x_{k-1},x_k]$ pontot, \'es tekintj\"uk a
$\summ_{k=1}^n f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})$ k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegeket.
Az $\int_a^b f(u)\,du$ integr\'alt  \'ugy defini\'aljuk mint ezen
integr\'alk\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegek limesz\'et, ha
$\supp_{1\le k\le n}(x_k-x_{k-1})$ null\'ahoz tart.
 
Adva egy $F(u)$ f\"uggv\'eny is az $[a,b]$ intervallumon az
$\int_a^b f(u)F(\,du)$ Riemann--Stieltjes intergr\'alt hasonl\'oan
defini\'aljuk. A k\"ul\"onbs\'eg az, hogy most a k\"ozel\'{\i}t\H{o}
\"ossze\-gek\-ben az $x_k-x_{k-1}$ megv\'altoz\'asokat az $F(\cdot)$
f\"uggv\'eny $F(x_k)-F(x_{k-1})$ megv\'altoz\'asaival
helyettes\'{\i}tj\"uk, azaz a $\summ_{k=1}^nf(\xi_k)
\(F(x_k)-F(x_{k-1})\)$ k\"ozel\'{\i}t\H{o}\"osszegeket,
illetve azok ha\-t\'ar\-\'er\-t\'e\-k\'et te\-kint\-j\"uk.
 
A fenti definici\'ot a k\"ovetkez\H{o} m\'odon is interpret\'alhatjuk.
Nevezz\"unk egy az $[a,b]$ intervallumon \'ertelmezett $f(x)$
f\"uggv\'enyt egyszer\H{u} vagy l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enynek, ha
l\'etezik az $[a,b]$ intervallumnak olyan $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$
feloszt\'asa, amelyre az $f(x)$ f\"uggv\'eny konstans minden egyes
$[x_k,x_{k+1})$ intervallumon, $0\le k<n$. Az ilyen l\'epcs\H{o}s
f\"uggv\'enyek integr\'alj\'at az $\int_a^b f(x)\,dx=\summ_{k=1}^n
f(x_k)(x_k-x_{k-1})$, \'es $\int_a^b
f(x)F(\,dx)=\summ_{k=1}^nf(x_k)\(F(x_k)-F(x_{k-1})\)$ k\'epletekkel
defini\'aljuk. Az \'altal\'anosabb f\"uggv\'enyek integr\'alj\'at
\'ugy defini\'aljuk, hogy k\"ozel\'{\i}tj\"uk \H{o}ket a fent
le\'{\i}rt m\'odon l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enyekkel, \'es a
f\"uggv\'eny integr\'alja a megfelel\H{o} l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enyek
integr\'aljainak a limesze.
 
\medskip
Tekints\"uk a sz\'amegyenest, rajta a $\Cal B$ Borel
$\sigma$-algebr\'at, \'es azon a Lebesque m\'ert\'eket. Ezt is szok\'as
Lebesgue m\'ert\'eknek nevezni. Vegy\"uk \'eszre, hogy mind a Riemann
mind az itt tekintett Lebesue integr\'al eset\'eben el\H{o}sz\"or
bizonyos elemi f\"uggv\'enyeknek defini\'aljuk az integr\'alj\'at
alkalmas k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegek seg\'{\i}ts\'eg\'evel, majd a
definici\'okat hat\'ar\'atmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel kiterjesztj\"uk.
Ez\'ert nem meglep\H{o}, hogy abban az esetben, amikor mind a k\'et
integr\'al l\'etezik, akkor azok megegyeznek.
 
Legyen $F$ valamely monoton n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny az $[a,b)$
intervallumon. A Lebesgue in\-teg\-r\'al\-hoz hasonl\'oan az
$\int_a^b f(u)F(\,du)$ Riemann--Stieltjes integr\'alnak
megfelel\H{o} Le\-besgue--Stiel\-tjes integr\'alt is defini\'alhatunk.
Ebben az esetben is az $(X,\Cal A,\mu)$ teret \'ugy
de\-fi\-ni\-\'al\-juk, hogy az $X$ halmaz a sz\'amegyenes, (vagy
esetleg annak egy r\'eszintervalluma, $\Cal A$ a sz\'amegyenesen
vagy az intervallumon bevezetett Borel $\sigma$-algebra. A definici\'o
teljess\'e t\'etel\'ehez defini\'alni kell a $\mu$ m\'ert\'eket.
Ezt az $[a,b)$ intervallumon vagy sz\'am\-egye\-ne\-sen defini\'alt
$F$ monoton n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny hat\'arozza meg.
 
A m\'ert\'ekelm\'elet egyik eredm\'enye szerint az $F$ f\"uggv\'eny
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'aroz az $[a,b)$ intervallum
Borel--m\'erhet\H{o} halmazainak $\sigma$-algebr\'aj\'an egy olyan
$\sigma$-addit\'{\i}v $\mu_F$ az $F$ f\"uggv\'eny Stieltjes
m\'ert\'ek\'enek nevezett halmazf\"uggv\'enyt, amelyre
$\mu_F([u,v))=F(v)-F(u)$ minden $a\le u<v\le b$. Az $\int_a^b
f(u)F(\,du)$ Lebesue--Stieltjes integr\'al az $\int
f(x)\mu(\,dx)$ Lebesgue integr\'al, ha az $[a,b]$
intervallumon \'es a rajta tekintett Borel $\sigma$-algebr\'an az $F$
f\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott $\mu_F$ m\'ert\'eket v\'alasztjuk
$\mu$ a m\'ert\'eknek. Ebben az esetben is elmondhatjuk, hogy a
Riemann-Stieltjes \'es Lebesgue--Stieltjes integr\'alok megegyznek, ha
mind a k\'et integr\'al l\'etezik.
 
L\'attuk, hogy a Lebesgue \'es Riemann integr\'alok definici\'oj\'anak
a szelleme nagyon hasonl\'o. Mind a k\'et esetben el\H{o}sz\"or
sz\'ep, egyszer\H{u} esetekben defini\'aljuk az integr\'alt, majd
hat\'ar\'atmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel ezt a definici\'ot
kiterjesztj\"uk. A Lebesgue integr\'al definici\'oj\'at nem nehezebb
meg\'erteni mint a Riemann integr\'al\'et. Annak f\H{o} oka, hogy az
oktat\'asban a Riemann integr\'alok t\'argyal\'as\'ara helyezik a
hangs\'ulyt --- bizonyos tudom\'anyt\"ort\'eneti okokon k\'{\i}v\"ul
--- az, hogy a Lebesgue integr\'alok fel\'ep\'{\i}t\'ese
sz\"uks\'egess\'e teszi $\sigma$-addit\'{\i}v m\'ert\'ekek
haszn\'alat\'at, \'es ez elker\"ulhetetlenn\'e tesz bizonyos
nem-trivi\'alis m\'ert\'ekelm\'eleti vizsg\'alatokat. A Lebesgue
integr\'alok definici\'oj\'aban, amikor egy halmaz
n\'{\i}v\'ohalmazait tekintj\"uk nem k\"ovetelj\"uk meg, hogy ezeknek
a n\'{\i}v\'ohalmazoknak sz\'ep geometriai strukt\'ur\'ajuk legyen.
Ennek k\"ovetkezt\'eben sokkal gazdagabb azon f\"uggv\'enyek
oszt\'alya amelyeknek dedini\'alni tudjuk a Lebesgue integr\'alj\'at.
Ugyanis az integr\'al definici\'oj\'aban sz\"uks\'eges
hat\'ar\'atmeneteketet a Lebesgue integr\'al definici\'oj\'aban
k\"onnyebb v\'egrehajtani mint a Riemann integr\'al\'eban. S\H{o}t a
Lebesgue integr\'al definici\'oja --- szemben a Riemann
integr\'al\'eval --- nem k\"ot\H{o}dik a sz\'amegyenes
geometri\'aj\'ahoz.
 
A Lebesgue integr\'al rendelkezik a Riemann integr\'alr\'ol tanult
legfontosabb tulajdons\'agokkal. \'Igy p\'eld\'aul line\'aris, azaz
tetsz\H{o}leges $f$ \'es $g$ f\"uggv\'enyre valamint $a$ \'es $b$
sz\'amokra  $\int(a f(x)+bg(x))\mu(\,dx)=a\int f(x)\mu(\,dx)+b\int
g(x)\mu(\,dx)$. Bizonyos fontos itt nem ismertetett eredm\'enyek
(Lebesgue t\'etel, Beppo--Levy t\'etel Fatou lemma) arr\'ol sz\'olnak,
hogy konvergens f\"uggv\'enysorok eset\'en milyen felt\'etelek mellett
cser\'elhet\H{o} fel a limesz \'es integr\'al\'as sorrendje, azaz
a $\lim \int f_n(x)\mu(\,dx)=\int\lim f_n(x)\mu(\,dx)$ azonoss\'ag
milyen felt\'etelek mellett \'erv\'enyes. A k\"ovetkez\H{o}
el\H{o}ad\'asban \'es \'altal\'aban f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok vizsg\'alat\'aban
fontos szerepet j\'atszik a k\"ovetkez\H{o} alkalommal
ismertentetend\H{o} Fubini t\'etel, amely szerint egy
szorzatm\'ert\'ek szerinti k\'etv\'altoz\'os f\"uggv\'eny integr\'alja
szukcessz\'{\i}v integr\'al\'assal is kisz\'amolhat\'o.
 
V\'eg\"ul megjegyezz\"uk, hogy a Fontos T\'etelnek illetve annak
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'anak a bizony\'{\i}t\'asa viszonylag
egyszer\H{u}, ha j\'ol meg\'ertj\"uk a Lebesgue integr\'al
definici\'oj\'at. Az \'all\'{\i}t\'as k\"onnyen l\'athat\'o
l\'epcs\H{o}sf\"uggv\'enyek eset\'eben. \'Altal\'anos (m\'erhet\H{o})
$g(x)$ f\"ugg\-v\'e\-nyek j\'ol k\"ozel\'{\i}thet\H{o}ek l\'epcs\H{o}s
f\"uggv\'enyekkel, \'es ilyen m\'odon az $\int g(\xi(\oo))\,dP(\oo)$
Le\-besgue integr\'al olyan k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegeit
kapjuk, amelyek kifejezhet\H{o}ek a $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'o $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et tartalmaz\'o \"osszegek
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. Ez ut\'obbi \"osszegek
ter\-m\'e\-sze\-tes k\"ozel\'{\i}t\H{o}\"osszegei az $\int
g(x)F(\,dx)$ Lebesque--Stieltjes in\-teg\-r\'al\-nak. Ezut\'an
alkalmas ha\-t\'ar\-\'at\-me\-net seg\'{\i}ts\'eg\'evel megkapjuk
a Fontos T\'etel \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-nak a
bizony\'{\i}t\'as\'at.
 
 
\bye
 
