\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
%\parskip=1pt plus 1pt
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat hatodik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2003. m\'arcius 11.}
\medskip\noindent
{\it \"Osszefoglal\'o:}\/
 
\beginsection  N\'eh\'any fontos diszkr\'et eloszl\'as.
 
a.) {\it Binomi\'alis eloszl\'as.}
\medskip
Tekints\"unk el\H{o}sz\"or egy tipikus p\'eld\'at, amelyben a
binomi\'alis eloszl\'as megjelenik.
 
Dobjunk fel egy p\'enzdarabot $n$ alkalommal egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul, \'es minden egyes dob\'asban legen $p$, $0\le p\le 1$,
a fejdob\'as val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy pontosan $k$ fejdob\'as
k\"ovetkezik be?
 
Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\dbinom nk p^k(1-p)^{n-k}$.
Val\'oban, $\dbinom nk$ olyan fej-\'{\i}r\'as sorozat
l\'etezik, amely $k$ fej \'es $n-k$ \'{\i}r\'as-jelet tartalmaz, \'es
az adott felt\'etelek mellett minden egyes ilyen dob\'assorozatnak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $p^k(1-p)^{n-k}$. Az ilyen jelleg\H{u}
feladatok le\'{\i}r\'as\'ara vezett\'ek be a binomi\'alis eloszl\'as
fogalm\'at. \medskip\noindent
{\bf Binomi\'alis eloszl\'as definici\'oja.} {\it Azt mondjuk, hogy a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o binomi\'alis
eloszl\'as\'u $n$ \'es $p$ param\'eterrel, $n=1,2,\dots$, $0\le p\le
1$, ha $P(\xi=k)=\dbinom nk p^k(1-p)^{n-k}$ minden $0\le k\le n$
sz\'amra, \'es $P(\xi=k)=0$ egy\'ebk\'ent. Ezt az eloszl\'ast
szok\'as $B(n,p)$-vel jel\"olni.
 
Egy $B(1,p)$ eloszl\'as\'u $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot, azaz egy olyan $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ot, amelyre $P(\xi=0)=1-p$, $P(\xi=1)=p$ Bernoulli
eloszl\'as\'unak is szoktak nevezni.} \medskip\noindent
Jegyezz\"uk meg, hogy val\'oban eloszl\'ast, defini\'altunk, azaz a
nem-negat\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek \"osszege egy, mert a
binomi\'alis t\'etel szerint $$
\summ_{k=0}^n \binom nk p^k(1-p)^{n-k}=(p+(1-p))^n=1.
$$
Jegyezz\"uk meg, hogy a $B(n,p)$ \'es $B(m,p)$ binomi\'alis
eloszl\'asok konvoluci\'oja a $B(n+m,p)$ binomi\'alis eloszl\'as.
\medskip
(Eml\'ekeztet\H{o}\"ul felid\'ezem, hogy egy $\Cal
P=\{p_0,p_1,\dots\}$ \'es $\Cal Q=\{q_0,q_1,\dots\}$ eloszl\'as
konvoluci\'oja az az $\Cal R=\{r_1,r_2,\dots\}$ eloszl\'as melynek
elemeit az $r_n=\summ_{k=0}^n p_kq_{n-k}$, $n=1,2,\dots$, k\'eplet
hat\'aroz meg. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi tartalma a
k\"ovetkez\H{o}: Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, nem
negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket felvev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyekre $P(\xi=n)=p_n$,
$P(\eta=n)=q_n$, $n=0,1,2,\dots$, akkor $\xi+\eta$ olyan nem
negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket felvev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre
$P(\xi+\eta=n)=r_n$, $n=0,1,2,\dots$. Konvoluci\'o kisz\'amol\'asa
eset\'en sokszor hasznos lehet a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etel. Ha az
el\H{o}bb tekintett $\Cal P$, $\Cal Q$ \'es $\Cal R$ eloszl\'asokhoz
hozz\'arendelj\"uk az $F(x)=\summ_{n=0}^\infty p_nx^n$,
$G(x)=\summ_{n=0}^\infty q_nx^n$, $H(x)=\summ_{n=0}^\infty r_nx^n$,
hatv\'anysorokat, akkor azok teljes\'{\i}tik az $F(x)G(x)=H(x)$
azonoss\'agot. Tov\'abb\'a e f\"uggv\'enyek ismeret\'eben, szukcessziv
deriv\'al\'assal majd a nulla \'ert\'ek behelyettes\'{\i}t\'es\'evel
ki lehet sz\'amolni az eloszl\'asokban szerepl\H{o} sz\'amok
\'ert\'ekeit. A fenti hatv\'anysorokat szok\'as a megfelel\H{o}
eloszl\'as gener\'atorf\"uggv\'eny\'enek nevezni.
\medskip
Val\'oban a fenti konvoluci\'or\'ol sz\'ol\'o \'all\'{\i}t\'as
\'erv\'enyes, mivel a tekintett k\'et eloszl\'as
konvoluci\'oja egy olyan $p(k)$, $0\le k\le n+m$ eloszl\'as, amelyre
$$
\align
p(k)&=\sum_{j=0}^k \binom nj p^j(1-p)^{n-j}\binom m{k-j}
p^{k-j}(1-p)^{(m-(k-j))} \\
&=p^k(1-p)^{n-k}\sum_{j=0}^k\binom nj\binom m{k-j}
=\binom {n+m}kp^k(1-p)^{n-k},
\endalign
$$
mert
$$
\sum_{j=0}^k\binom nj\binom m{k-j}=\binom {n+m}k.
$$
 
Ez ut\'obbi \'all\'{\i}t\'asnak kombinatorikus bizony\'{\i}t\'asa a
k\"ovetkez\H{o}: Az $\{1,2,\dots, n+m\}$ sz\'amok k\"oz\"ul $\dbinom
{n+m}k$ m\'odon tudunk $k$ sz\'amot kiv\'alasztani. Ez az azonoss\'ag
jobboldal\'an \'all\'o kifejez\'es. Ugyanakkor ezen lehet\H{o}s\'egeket
\'ugy is \"osszesz\'amolhatjuk, hogy r\"ogz\'{\i}tve egy $j$ sz\'amot,
$\dbinom nj\dbinom m{k-j}$ m\'odon v\'alaszthatunk ki az els\H{o} $n$
sz\'amb\'ol $j$-t \'es az $n+1,\dots, n+m$ sz\'amok k\"oz\"ul $k-j$-t,
majd \"osszegezve $j=0,\dots,k$-ra megkapjuk azon lehet\H{o}s\'egek
sz\'am\'at, ah\'any m\'odon az els\H{o} $n+m$ sz\'amb\'ol $k$-t ki
tudunk v\'alasztani. Ez azt jelenti, hogy a  baloldalon szerepl\H{o}
\"osszeg megegyezik a jobboldalon szerepl\H{o} kifejez\'esel.
 
Tanuls\'agos lehet l\'atni, hogyan lehet a fenti azonoss\'agot,
pontosabban annak egy le\-het\-s\'e\-ges
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'at
bebizony\'{\i}tani a hatv\'anysoroknak a m\'ult \'or\'an
eml\'{\i}tett tu\-laj\-don\-s\'a\-gai se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel.
Eml\'ekeztet\H{o}\"ul jegyezz\"uk meg, hogy \'altal\'aban nem
felt\'etlen\"ul eg\'esz $\alpha$ sz\'amokra is de\-fi\-ni\-\'al\-juk
az $\dbinom\alpha k$ sz\'amot mint $\dbinom \alpha
k=\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}$,  \'es az
$(1+x)^\alpha$ f\"uggv\'eny Taylor sorfejt\'ese alapj\'an
$$
(1+x)^\alpha=\summ_{k=0}^\infty \binom\alpha k x^k, \quad\text{ha
}|x|<1. $$
Tov\'abb\'a,
$$
(1+x)^\beta=\summ_{k=0}^\infty \binom\beta k x^k, \quad\text{ha }|x|<1,
$$
\'es
$$
(1+x)^{\alpha+\beta}=\summ_{k=0}^\infty \binom{\alpha+\beta} k x^k,
\quad\text{ha }|x|<1.
$$
Mivel $(1+x)^\alpha(1+x)^\beta=(1+x)^{\alpha+\beta}$, ez\'ert az
egy\"utthat\'ok \"osszehasonl\'{\i}t\'as\'ab\'ol kapjuk, hogy
$$
\sum_{j=0}^k\binom \alpha j\binom \beta {k-j}=\binom {\alpha+\beta}k
$$
nem felt\'etlen\"ul eg\'esz \'es nem felt\'etlen\"ul pozit\'{\i}v
$\alpha$ \'es $\beta$ sz\'amokra. \medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Adjunk egyszer\H{u}, a binomi\'alis eloszl\'as
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi tartalm\'at kihaszn\'al\'o
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'ast arra, hogy a $B(n,p)$ \'es $B(m,p)$
binomi\'alis eloszl\'asok konvoluci\'oja a $B(n+m,p)$ binomi\'alis
eloszl\'as. \medskip
 
Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $B(n,p)$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et. A
legegyszer\H{u}bb m\'odszer a k\"ovetkez\H{o}: Legyenek
$\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, $B(1,p)$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Ekkor $\xi=\summ_{j=1}^n\xi_j$
$B(n,p)$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
$E\xi_j=1\cdot p+0\cdot (1-p)=p$, $E\xi_j^2=1\cdot p+0\cdot (1-p)=p$,
$\Var \xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=p-p^2$ minden $j=1,\dots,n$ sz\'amra.
Ez\'ert a keresett v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet
$E\xi=\summ_{j=1}^nE\xi_j=np$ \'es
$\Var\xi=\summ_{j=1}^n\Var\xi_j=np(1-p)$.
%\medskip
 
\vfill\noindent
 
{\it Feladat:}
\medskip
\item{}
Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $B(n,p)$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et az e fogalmakat
defini\'al\'o \"osszegek kisz\'am\'{\i}t\'as\'anak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip
A binomi\'alis eloszl\'as term\'eszetes t\"obbdimenzi\'os
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa a po\-li\-no\-mi\'a\-lis el\-osz\-l\'as.
Ennek meg\'ert\'es\'ehez tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} feladatot. Adva
van $r$ urna. Ezekbe be\-do\-bunk \"osszesen $n$ goly\'ot egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul. Az egyes goly\'ok $p_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
esnek az els\H{o} $p_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a m\'asodik,
\dots $p_r$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az $r$-ik urn\'aba. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a $j$-ik urn\'aba $k_j$
goly\'o esik, $1\le j\le r$, $\summ_{j=1}^r k_r=n$? Ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\dfrac {n!}{k_1!k_2!\cdots k_r!}
p_1^{k_1}\cdots p_r^{k_r}$, mert $\dfrac {n!}{k_1!k_2!\cdots k_r!}$
ilyen dob\'assorozat van, \'es minden ilyen dob\'assorozat
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $p_1^{k_1}\cdots p_r^{k_r}$.
\medskip\noindent
{\bf Polinomi\'alis eloszl\'as definici\'oja} {\it A
$(\xi_1,\dots,\xi_r)$ $r$ v\'altoz\'os v\'eletlen vektor polinomi\'alis
eloszl\'as\'u $n$, $n=1,2,\dots$, \'es $p_j$, $1\le j\le r$,
$\summ_{j=1}^rp_j=1$ param\'eterekkel, ha
$$
P(\xi_1=k_1,\xi_2=k_2,\dots,\xi_r=k_r)=
\dfrac {n!}{k_1!k_2!\cdots k_r!} p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}
$$
az olyan $0\le k_j\le n$, $1\le j\le r$ sz\'amokra, amelyekre
$\summ_{j=1}^r k_j=n$.} \medskip \noindent
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $(\xi_1,\dots,\xi_r)$ polinomi\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor  $n$ \'es $p_j$, $1\le
j\le r$, $\summ_{j=1}^rp_j=1$ param\'eterekkel. Ekkor
$E\xi_j=np_j$, $\Var \xi_j=np_j(1-p_j)$, $1\le j\le r$, \'es
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=-np_jp_k$, $1\le j,k\le r$, $j\neq k$.
 
\medskip\noindent
b.) {\it Negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as \'es ennek speci\'alis
esete, a geometriai eloszl\'as.}
\medskip
Most is tekints\"unk el\H{o}sz\"or egy tipikus p\'eld\'at, amelyben
ezek az eloszl\'asok megjelennek.
 
R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $r$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amot, \'es
dobjunk fel egy p\'enzdarabot, amely $p$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
esik a fej $1-p$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldalra
egym\'as ut\'an t\"obbsz\"or egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, eg\'eszen
addig amikor az $r$-ik fejdob\'as megjelenik. Mi a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge annak, hogy ez a $k+r$-ik dob\'as?
 
Ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\dbinom {k+r-1}{r-1} (1-p)^k p^r$.
Ez ugyanis azt jelenti, hogy az els\H{o} $k+r-1$
dob\'asban pontosan $r-1$ fej \'es $k$ \'{\i}r\'as dob\'as t\"ort\'ent,
aminek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\dbinom {k+r-1}{r-1} (1-p)^k
p^{r-1}$, valamint a $k+r$-ik dob\'as fej, aminek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $p$, \'es f\"uggetlen az el\H{o}z\H{o}
esem\'enyt\H{o}l.
\medskip\noindent
{\bf Negat\'{\i}v binomi\'alis \'es geometriai eloszl\'as
definici\'oja.} {\it Azt mondjuk, hogy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o negat\'{\i}v binomi\'alis
eloszl\'as\'u $r$, $r=1,2,\dots$, \'es $p$, $0< p\le1$, param\'eterrel,
ha $\xi$ $r,r+1,\dots$, \'ert\'ekeket vesz fel \'es
$$
P(\xi=k+r)=\dbinom {k+r-1}{r-1} (1-p)^k p^r, \quad k=0,1,2,\dots.
$$
Az $r=1$ \'es $p$ param\'eterhez tartoz\'o negat\'{\i}v binomi\'alis
eloszl\'ast $p$ param\'eter\H{u} geometriai eloszl\'asnak is nevezik.}
\medskip\noindent
A kor\'abbi gyakorlatok bizonyos eredm\'enyeib\H{o}l k\"ovetkezik,
hogy  a negativ binomi\'alis eloszl\'as val\'oban
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeloszl\'as, azaz $\summ_{k=0}^\infty\dbinom
{k+r-1}{r-1} (1-p)^k p^r=1$, mert egy v\'egtelen p\'enzfeldob\'as
sorozat eset\'eben egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel el\H{o}bb-ut\'obb
megjelenik $r$ darab fejdob\'as. Val\'oj\'aban ez az indokl\'as
hallgat\'olagosan felhaszn\'al egy igaz, de az el\H{o}ad\'ason nem
bizony\'{\i}tott fontos eredm\'enyt. Azt haszn\'altuk fel, hogy a
v\'egtelen f\"uggetlen fej-\'{\i}r\'as dob\'assorozatoknak van
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellje, ez\'ert alkalmazhatjuk r\'a a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as eredm\'enyeit. (A
neh\'ezs\'eget az okozza, hogy csak bizonyos eddig nem tanult
m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet
bebizony\'{\i}tani azt, hogy az ebben a modellben term\'eszetes
m\'odon defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg val\'oban
$\sigma$-addit\'{\i}v.) De ez az \'all\'{\i}t\'as k\"ovetkezni fog
n\'eh\'any m\'as k\'es\H{o}bb  bizony\'{\i}tand\'o eredm\'enyb\H{o}l
is. T\'argyaljuk meg a negat\'{\i}v binomi\'alis
eloszl\'as n\'eh\'any fontos tulajdons\'ag\'at.
%\medskip
 
\vfill\eject
 
{\it Feladat:}
\medskip
\item{}  Bizony\'{\i}tsuk be val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
meggondol\'asok seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy egy $r_1$ \'es $p$
pa\-ra\-m\'e\-te\-r\H{u} valamint egy $r_2$ \'es $p$ param\'eter\H{u}
negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as konval\'uci\'oja egy $r_1+r_2$
\'es $p$ param\'eter\H{u} negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeloszl\'as. K\"o\-vet\-ke\-z\'es\-k\'ep\-pen,
egy $r$ \'es $p$ param\'eter\H{u} negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as
el\H{o}\'all mint $r$ darab $p$ param\'eter\H{u} geometriai eloszl\'as
konvoluci\'oja. \medskip
L\'assuk be az al\'abbi feladatot k\"ozvetlen sz\'amol\'assal is.
El\'eg bel\'atni azt, hogy egy $r$ \'es $p$  param\'eter\H{u}
negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'u
valamint egy $p$ param\'eter\H{u} geometriai eloszl\'as
konvoluci\'oja egy $r+1$ \'es $p$ param\'eter\H{u} negat\'{\i}v
binomi\'alis eloszl\'as.
 
Azt kell bel\'atni, hogy
$$
\summ_{j=0}^k\binom{r+j-1}{r-1} (1-p)^j p^r(1-p)^{k-j}p=\binom {k+r}r
(1-p)^k p^{r+1}.
$$
Ezt az azonoss\'agot k\"onnyen l\'atjuk, ha tudjuk, hogy \'erv\'enyes
a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'ag:
$$
\summ_{j=0}^k\binom{j+r-1}{r-1}=\binom{k+r} r.
$$
Az ut\'obbi azonoss\'ag viszont k\"ovetkezik p\'eld\'aul a
k\"ovetkez\H{o} kombinatorikai \'ervel\'esb\H{o}l. A term\'eszetes
sz\'amok halmaz\'an $\dbinom{k+r} r$ m\'odon jel\"olhet\"unk ki
$r+1$ sz\'amot \'ugy, hogy a (nagys\'ag szerint) $r+1$-ik sz\'am a
$k+r+1$ sz\'am legyen, \'es az azonoss\'ag jobboldala ezzel
egyenl\H{o}. Ezt viszont \'ugyis kisz\'amolhatjuk, hogy azt
tekintj\"uk, h\'any olyan
elrendez\'es van, amelyben az $r$-ik kijel\"olt pont a $j+r$, az
$r+1$-ik pedig a $k+r+1$ sz\'am, majd \"osszegez\"unk $0\le j\le k$-ra.
Mivel r\"ogz\'{\i}tett $j$-re az ilyen elrendez\'eek sz\'ama
$\dbinom{j+r-1}{r-1}$, innen k\"ovetkezik a fel\'{\i}rt azonoss\'ag.
 
Megmutatjuk, hogyan lehet a fenti \"osszf\"ugg\'est analitikus m\'odon
bebizony\'{\i}tani. Tekints\"uk az $r$ \'es $p$ param\'eterekhez
tartoz\'o $g_{r,p}(x)$ gener\'atorf\"uggv\'enyt, azaz az
$$
g_{r,p}(x)=\summ_{k=0}^\infty
\dbinom {k+r-1}{r-1} (1-p)^k p^r x^{k+r}
$$
\"osszeget. Ha bel\'atjuk, hogy ez az \"osszeg konvergens p\'eld\'aul
az $-1<x<1$ intervallumon, valamint $g_{r_1,p}(x)
g_{r_2,p}(x)=g_{r_1+r_2,p}(x)$, akkor innen az el\H{o}z\H{o}
el\H{o}ad\'as v\'eg\'en tett \'eszrev\'etelekb\H{o}l k\"ovetkezik az
\'all1t\'as. A $g_{r,p}(x)$ f\"uggv\'eny viszont egyszer\H{u}en z\'art
alakra hozhat\'o. Ennek \'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
\align
\dbinom {k+r-1}{r-1}&=\dbinom {k+r-1}k
=\frac{(k+r-1)(k+r-2)\cdots (r+1)r}{k!}\\
&=\frac{r(r+1)\cdots (k+r-2)(k+r-1)}{k!}\\
&=(-1)^k\frac{(-r)(-r-1)\cdots (-r-k+2)(-r-k+1)}{k!}=(-1)^k\binom {-r}k,
\endalign
$$
ahonnan
$$
\align
g_{r,p}(x)&=\summ_{k=0}^\infty (-1)^k\binom {-r}k (1-p)^k p^r x^{k+r}
=(px)^r\summ_{k=0}^\infty \binom {-r}k(-(1-p)x)^k\\
&=(px)^r (1-(1-p)x)^{-r}=\(\dfrac{px}{1-(1-p)x}\)^r,
\endalign
$$
ami az $(1+x)^{-r}$ f\"uggv\'eny hatv\'anysor\'anak az alakj\'ab\'ol
l\'athat\'o. Innen viszont k\"onnyen l\'athat\'o a
gener\'atorf\"uggv\'enyekre fel\'{\i}rt azonoss\'ag.
 
A fenti azonoss\'ag ad magyar\'azatot arra, hogy mi\'ert nevezz\"uk a
most tekintett eloszl\'asokat negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'asnak.
Ugyanis, mivel
$\dbinom {k+r-1}{r-1}=(-1)^k\dbinom {-r}k$,
$$
P(\xi=k+r)=\dbinom {k+r-1}{r-1} (1-p)^k p^r=\binom {-r}k
(p-1)^k p^r, \quad k=0,1,2,\dots.
$$
Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Ezt k\"onnyen kisz\'am\'{\i}thatn\'ank
a gener\'atorf\"uggv\'eny deriv\'al\'as\'anak seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
de ehelyett egy geometriai eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et
kisz\'amoljuk direkt m\'odon, majd az \'altal\'anos esetet
visszavezetj\"uk erre.
 
Legyen $\xi$ geometriai eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $p$ param\'eterrel, azaz legyen $P(\xi=k+1)=p^k(1-p)$,
$k=0,1,\dots$. Ekkor
$$
E\xi=\summ_{k=0}^\infty (k+1)(1-p)^kp=p\summ_{k=0}^\infty k(1-p)^{k-1},
$$
$E\xi^2=p\summ_{k=0}^\infty k^2(1-p)^{k-1}$, \'es
$\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2$. Deriv\'aljuk k\'etszer a
$\summ_{k=0}^\infty x^k=\dfrac1{1-x}$, $|x|<1$ azonoss\'agot. Azt
kapjuk, hogy
$$
\dfrac1{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^\infty k x^{k-1},
$$
$$
\dfrac2{(1-x)^3}=\sum_{k=2}^\infty k(k-1) x^{k-2}.
$$
Innen $x=1-p$ helyettes\'{\i}t\'essel
$\dfrac1{p^2}=\summ_{k=1}^\infty k(1-p)^{k-1}$,
$E\xi=p\summ_{k=1}^\infty k(1-p)^{k-1}=\dfrac p{p^2}=\dfrac1p$,
$\summ_{k=0}^\infty k^2(1-p)^{k-1}=
(1-p)\summ_{k=2}^\infty k(k-1)(1-p)^{k-2}+
\summ_{k=1}^\infty k(1-p)^{k-1}=\dfrac{2(1-p)}{p^3}+\dfrac1{p^2}$,
$E\xi^2=\dfrac{2(1-p)}{p^2}+\dfrac1p$,
$\Var\xi=\dfrac{2(1-p)}{p^2}+\dfrac1p-\dfrac1{p^2}
=\dfrac1{p^2}-\dfrac1p=\dfrac{1-p}{p^2}$.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $n$ \'es $p$ param\'eter\H{u}
negat\'{\i}v binomi\'alis elosz\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et
annak az ismeretnek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy egy $p$
param\'eter\H{u} geometriai eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $\dfrac1p$ \'es
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zete $\dfrac{1-p}{p^2}$.
\medskip
T\'argyaljuk meg, hogyan lehet egy negat\'{\i}v binomi\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kisz\'amolni a
gener\'atorf\"uggv\'enye ismeret\'eben. S\H{o}t, l\'assunk be egy
olyan formul\'at, amely \'altal\'anosabb esetben is alkalmazhat\'o.
 
Legyen $\Cal P=\{p_k\:k=1,2,\dots\}$, $p_k\ge 0$, $k=0,1,2,\dots$,
$\summ_{k=0}^\infty p_k=1$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg eloszl\'as a nem
negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amokon. Vezess\"uk be az ezen eloszl\'ashoz
tartoz\'o
$$
g(x)=g_{\Cal P}(x)=\sum_{k=0}^\infty p_kx^k.
$$
gener\'atorf\"uggv\'enyt. Vegy\"uk \'eszre, hogy a $g(x)$ f\"uggv\'enyt
defini\'al\'o hatv\'anysor konvergens a $-1<x<1$ intervallumban.
Tov\'abb\'a k\'etszeri deriv\'al\'as \'es az $x=1$
(form\'alis) helyettes\'{\i}t\'es azt sugallja, hogy
$$
g'(x)=\sum_{k=1}^\infty kp_kx^{k-1}, \quad
g''(x)=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)p_kx^{k-2},
$$
valamint
$$
g'(1)=\sum_{k=1}^\infty kp_k, \quad
g''(1)=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)p_k,
$$
\'es ezen azonoss\'agok seg\'{\i}ts\'eg\'evel kisz\'amolhatjuk a
keresett v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et.
Ugyanis $E\xi=\summ_{k=0}^\infty kp_k=g'(1)$, $E\xi^2
=\summ_{k=0}^\infty k^2p_k =\summ_{k=2}^\infty k(k-1)p_k+
\summ_{k=1}^\infty kp_k=g''(1)+g'(1)$, ahonnan
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=g''(1)+g'(1)-g'(1)^2$.
 
Felmer\"ul a k\'erd\'es, szabad-e az al\'abbi sz\'amol\'asokat
v\'egrehajtani. A probl\'em\'at az okozza, hogy hatv\'anysorokat szabad
tagonk\'ent deriv\'alni a konvergenciatartom\'any belsej\'eben, de mi
az $x=1$ helyettes\'{\i}t\'est hajtottuk v\'egre, \'es lehet, hogy a
$g(x)$ f\"uggv\'eny hatv\'anysora nem terjeszthet\H{o} ki
egy a $(-1,1)$ intervallumn\'al nagyobb intervallumra. A negat\'{\i}v
binomi\'alis eloszl\'as gener\'atorf\"uggv\'enye eset\'en egy ilyen
kiterjeszt\'es lehets\'eges, de \'erdemes az \'altal\'anos esetet
is tekinteni, \'es ekkor nem szabad kiz\'arni ezt a lehet\H{o}s\'eget.
 
Az anal\'{\i}zis bizonyos eredm\'enyei biztos\'{\i}tj\'ak a fenti
sz\'amol\'as jogoss\'ag\'at. Egyr\'eszt igaz az, hogy ha egy
$h(x)=\summ_{k=0}^\infty a_kx^k$ hatv\'anysor konvergens egy $(-A,A)$
intervallumban, \'es a $h(A)=\summ_{k=0}^\infty a_kA^k$ \"osszeg
konvergens, akkor $\limm_{x\to A}h(x)=h(A)$. M\'asr\'eszt, ha a $h(x)$
Taylor-sor $a_k$ egy\"utthat\'oi nem negat\'{\i}vak, akkor
$\limm_{x\to A}h(x)=h(A)$. Speci\'alisan, ha ebben az esetben
$\limm_{x\to A}h(x)<\infty$ akkor $h(A)<\infty$.  Ezeknek az
eredm\'enyeknek az alkalmaz\'as\'aval $A=1$ \'es $h(x)=g'(x)$ illetve
$h(x)=g''(x)$ v\'alaszt\'assal meg lehet mutatni a fenti sz\'amol\'asok
jogoss\'ag\'at. \'Erdemes megjegyezni, hogy az \'altal\'anos esetben a
$g'(1)=\limm_{x\to 1} g'(x)$, $g''(1)=\limm_{x\to 1} g''(x)$ k\'epletet
kell alkamaznunk annak \'erdek\'eben, hogy a $g'(1)$ \'es $g''(1)$
sz\'amokat \'ertelmezni tudjuk. \medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az, hogy egy hatv\'anysor hogyan viselkedik a
kovergenciak\"or\'enek sz\'el\'en, a komplex f\"uggv\'enytan egyik
neh\'ez \'es fontos k\'erd\'ese. Annak \'erdek\'eben, hogy l\'assunk
egy egyszer\H{u} p\'eld\'at, amely r\'avil\'ag\'{\i}that arra, hogy
vigy\'azni kell a form\'alis sz\'amol\'asok sor\'an,
tekints\"uk az $h(x)=\dfrac 1{1+x}=\summ_{k=0}^\infty (-1)^{k} x^k$
hatv\'anysort. Ekkor $h(x)$ konvergens a $-1<x<1$ intervallumban,
$h(1)=\dfrac12$, \'es $h(x)$ hatv\'anysora az $x=1$ pontban, a
$\summ_{k=0}^\infty (-1)^{k}$ sor, divergens. Ez a p\'elda az\'ert
nem mond ellen a fent elmondottaknak, mert ebben a hatv\'anysorban
vannak negat\'{\i}v egy\"utthat\'ok is.
\medskip
%\vfill\eject
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} L\'assuk be, hogy amennyiben egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o gener\'atorf\"uggv\'enye
va\-la\-mely $g(x)$ f\"uggv\'eny, akkor $E\xi=g'(1)$,
$\Var\xi=g''(1)+g'(1)-g'(1)^2$, ahol az \'altal\'anos esetben a
$g'(1)=\limm_{x\to1}g'(x)$ \'es $g''(1)=\limm_{x\to1}g''(x)$
k\'epletek defini\'alj\'ak ezeket a mennyis\'egeket. Sz\'amoljuk ki
egy $r$ \'es $p$ param\'eter\H{u} negat\'{\i}v binomi\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et, felhaszn\'alva, hogy e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'altoz\'o gener\'atorf\"uggv\'enye a
$\(\dfrac{px}{1-(1-p)x}\)^r$ f\"uggv\'eny. \medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Mutassunk p\'eld\'at olyan $\Cal P=\{p_k\:k=1,2,\dots\}$,
$p_k\ge 0$, $k=0,1,2,\dots$, $\summ_{k=0}^\infty p_k=1$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg eloszl\'ara a nem negat\'{\i}v eg\'esz
sz\'amokon, amelynek $g(x)=\summ_{k=0}^\infty p_kx^k$
gener\'atorf\"uggv\'enye semmilyen $\e>0$ sz\'am
eset\'en nem konvergens a $-1-\e<x<1+\e$ intervallumon.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip\item{} Legyen $\xi$ geometriai eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz
legyen $P(\xi=k)=p(1-p)^{k-1}$, $k=1,2,\dots$. L\'assuk be, hogy
$\xi$ teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} (diszkr\'et) \"or\"okifj\'u
tulajdons\'agot.
$$
P(\xi=k+l|\xi>l)=p(1-p)^{k-1}=P(\xi=k).
$$
Adjuk meg ennek az azonoss\'agnak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi magyar\'azat\'at is.
 
\medskip\noindent
b.) {\it Hipergeometrikus eloszl\'as.}
\medskip
Tekints\"unk el\H{o}sz\"or egy tipikus p\'eld\'at, amelyben ilyen
eloszl\'asok megjelennek.
 
Adva van egy urn\'aban $M$ piros \'es $N-M$ feh\'er goly\'o.
Visszatev\'es n\'elk\"ul kih\'uzunk $n$, $n\le N$ goly\'ot. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $k$ piros goly\'ot h\'uztunk ki?
 
Ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\dfrac{\dbinom Mk
\dbinom{N-M}{n-k}}{\dbinom Nn}$. Val\'oban, ha
megk\"ul\"onb\"oztetj\"uk az egyes goly\'okat, akkor $\dbinom Nn$
k\"ul\"onb\"oz\H{o} h\'uz\'aseredm\'eny alakulhat ki. (Nem
k\"ul\"onb\"oztet\"unk meg k\'et h\'uz\'aseredm\'enyt, ha ugyanazokat a
goly\'okat h\'uztuk ki csak m\'as sorrendben. Kiss\'e r\'eszletesebben
kifejtve: Az urn\'aban lev\H{o} goly\'okat sz\'amozzuk meg $1$-t\H{o}l
$N$-ig \'ugy, hogy a piros goly\'ok kapj\'ak az $1,\dots,M$ \'es a
feh\'er goly\'ok az $M+1,\dots,N$ sz\'amokat. Egy $n$ hossz\'us\'ag\'u
visszatev\'es n\'elk\"uli h\'uz\'assorozat eredm\'enye egy az
$1,\dots,N$ sz\'amokb\'ol \'all\'o $n$ hossz\'u sz\'amsorozat, amelynek
minden tagja k\"ul\"onb\"oz\H{o}. A k\"ul\"onb\"oz\H{o}
h\'uz\'assorozatok sz\'am\'at sz\'amoljuk ki, ha azonos\'{\i}tunk
k\'et olyan sorozatot, amelyben ugyanazok a sz\'amok szerepelnek csak
m\'as sorrendben. Ezut\'an azon $n$ hossz\'us\'ag\'u
h\'uz\'assorozatok sz\'am\'at sz\'amoljuk \"ossze, amelyekben $k$
piros, azaz az $1,\dots, M$ sz\'amok valamelyik\'evel
in\-de\-xe\-zett goly\'o van.) Olyan h\'uz\'assorozat,
amelyben az $M$ piros goly\'ob\'ol $k$-t, az $N-M$ feh\'er goly\'ob\'ol
pedig  $n-k$-t h\'uzunk ${\dbinom Mk \dbinom{N-M}{n-k}}$ van. Mivel
ezek azok az $n$ hossz\'u h\'uz\'assorozatok, amelyekben pontosan $k$
piros goly\'ot  h\'uzunk, \'es az egyes h\'uz\'assorozatok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege megegyezik, innen k\"ovetkezik az
\'all\'{\i}t\'as. \medskip\noindent
{\bf A hipergeometrikus eloszl\'as
definici\'oja.} {\it Azt mondjuk, hogy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o hipergeometrikus
eloszl\'as\'u $N$, $M$ \'es $n$ param\'eterekkel, ahol $N$, $M$ \'es
$n$ nem negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amok, $M<N$, $n<N$, ha
$$
P(\xi=k)=\dfrac{\dbinom Mk \dbinom{N-M}{n-k}}{\dbinom Nn}, \quad 0\le
k\le n.
$$
}\medskip
Ilyen m\'odon val\'oban eloszl\'ast defini\'altunk. A $\summ_{k=0}^n
P(\xi=k)=1$ azonoss\'aggal ekvivalens $\summ_{k=0}^n\dbinom
Mk\dbinom{N-M}{n-k}=\dbinom Nn$  azonoss\'agot (m\'as
jel\"ol\'essel) bel\'attuk a binomi\'alis eloszl\'as vizsg\'alat\'aban.
\medskip
 
%\vfill\eject
 
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Sz\'amoljuk ki annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a
lott\'oban pontosan h\'arom tal\'alatunk lesz.
\medskip
\item{} Sz\'amoljuk ki egy hipergeometrikus eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Sz\'amoljuk ki egy $N$, $M$ \'es $n$ param\'eter\H{u}
hipergeometrikus eloszl\'as\'u $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et,
azaz egy olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et,
amelyre
$$
P(\xi=k)=\dfrac{\dbinom Mk \dbinom{N-M}{n-k}}{\dbinom Nn}, \quad 0\le
k\le n.
$$
Mutassuk meg, hogy $E\xi=n\dfrac MN$, $\Var\xi=\dfrac{nM}N\(1-\dfrac
MN\)\dfrac{n-n}{N-1}$.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Tekints\"unk egy urnamodellt, amelyben
$\xi$ jel\"oli azt, hogy $N$ piros \'es $N-M$ feh\'er goly\'ob\'ol $n$
visszatev\'es n\'elk\"uli h\'uz\'asban h\'any piros goly\'ot h\'uzunk.
Legyen $\xi_j=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros, $\xi_j=0$,
ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er, $1\le j\le n$. Ekkor a
$\xi=\summ_{j=1}^n\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
kisz\'amolnunk. Hogyan kell ezt csin\'alni? Eml\'ekezz\"unk arra,
hogy mint kor\'abban megmutattuk, ebben a modellben annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy valamely h\'uz\'as(ok)ban piros
goly\'ot h\'uzunk nem f\"ugg att\'ol, hogy hanyadik h\'uz\'ast
tekintett\"uk. \medskip
Ha egy urnah\'uz\'asban $N$ \'es $N-M$ nagy, azaz sok feh\'er \'es
piros goly\'o van az urn\'aban, \'es fix sz\'am\'u goly\'ot kih\'uzunk,
akkor a h\'uz\'aseredm\'eny szempontj\'ab\'ol alig van
jelent\H{o}s\'ege annak, hogy a kih\'uzott goly\'okat visszadobjuk-e
vagy sem. Ilyen jelleg\H{u} \'all\'{\i}t\'ast fogalmaz meg a
k\"ovetkez\H{o} (egyszer\H{u}) feladat. \medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Ha $N\to\infty$, $\limm_{N\to\infty}\dfrac MN=p$, $0<p<1$, $n$
r\"ogz\'{\i}tett eg\'esz sz\'am, akkor
$$
\limm_{N\to\infty} \dfrac{\dbinom Mk \dbinom{N-M}{n-k}}{\dbinom
Nn}=\dbinom nk p^k(1-p)^{n-k} \quad \text{minden } 0\le k\le n \text{
sz\'amra}.
$$
\medskip
A hipergeometrikus eloszl\'as term\'eszetes \'altal\'anos\'{\i}t\'asa
a polihipergeometrikus el\-osz\-l\'as. Ennek meg\'ert\'ese \'erdek\'eben
tekints\"uk a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} feladatot: Egy urn\'aban $r$
k\"u\-l\"on\-b\"o\-z\H{o} sz\'{\i}n\H{u} goly\'o van, $N_1$ 1-es, $N_2$
2-es, \dots $N_r$ $r$-es sz\'{\i}n\H{u} goly\'o. Legyen $N=\summ_{j=1}^r
N_j$. Ezekb\H{o}l a goly\'okb\'ol kih\'uzunk $n$-et visszatev\'es
n\'elk\"ul. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $k_1$ 1-es,
$k_2$ 2-es, \dots $k_r$ $r$-es sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot h\'uzunk ki?
 
A v\'alasz:
$$
\frac{\dbinom{N_1}{k_1}\dbinom{N_2}{k_2}\cdots\dbinom{N_r}{k_r}}
{\dbinom Nn},
$$
ahol $n=\summ_{j=1}^r k_r$. Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a
bizony\'{\i}t\'asa hasonl\'oan t\"ort\'enhet mint a hipergeometrikus
eloszl\'as bevezet\'ese el\H{o}tt tekintett feladat\'e. Ennek a
feladatnak az alapj\'an vezett\'ek be a k\"ovetkez\H{o} fogalmat.
\medskip\noindent
{\bf A polihipergeometrikus eloszl\'as
definici\'oja.} {\it Azt mondjuk, hogy a $(\xi_1,\dots,\xi_r)$
v\'eletlen vektor polihipergeometrikus
eloszl\'as\'u $N_1,\dots N_r$ \'es $n$ param\'eterekkel, ahol $N_j$,
$1\le j\le r$, \'es $n$ nem negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amok, \'es
$N=\summ_{j=1}^r N_j$ jel\"ol\'essel $n<N$, ha
$$
P(\xi_1=k_1,\dots,\xi_r=k_r)=
\frac{\dbinom{N_1}{k_1}\dbinom{N_2}{k_2}\cdots\dbinom{N_r}{k_r}}
{\dbinom Nn},
$$
ahol $n=\summ_{j=1}^r k_j$.}
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip \item{} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_L$ \'es
$\eta_1,\dots,\eta_M$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. L\'assuk be, hogy
$$
\Cov\(\sum_{j=1}^L\xi_j,\sum_{k=1}^M \eta_k\)=
\sum_{j=1}^L \sum_{k=1}^M  \Cov(\xi_j,\eta_k).
$$
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $(\xi_1,\dots,\xi_r)$ v\'eletlen vektor
polihipergeometrikus eloszl\'as\'u $N_1,\dots N_r$ \'es $n$
param\'eterekkel. Sz\'am\'{\i}tsuk ki az $E\xi_j$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekeket, a $\Var\xi_j$ sz\'or\'asn\'egyzetet minden $1\le
j\le r$ sz\'amra \'es a $\Cov(\xi_j,\xi_k)$ kovarianciaf\"uggv\'enyt,
ha $1\le j,k\le r$, $j\neq k$.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ A hipergeometrikus eloszl\'asr\'ol
sz\'ol\'o hasonl\'o feladat m\'odszere term\'eszetes m\'odon
adapt\'alhat\'o ebben az esetben is.
\medskip\noindent
 
\vfill\eject
 
\noindent
d.) {\it Poisson eloszl\'as.}
\medskip
A Poisson eloszl\'ast k\"ozvetlen\"ul fogjuk defini\'alni. Azok a
tulajdons\'agai, amelyek miatt fontos szerepet j\'atszik a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban k\'es\H{o}bb fognak
kider\"ulni.
\medskip\noindent
{\bf Poisson eloszl\'as definici\'oja.}  {\it Egy
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$
pa\-ra\-m\'e\-te\-r\H{u} Poisson eloszl\'as\'u, ha $\xi$
nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel, \'es
$$
P(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \quad k=0,1,2,\dots
$$
}\medskip
Ez val\'oban val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg eloszl\'as, mert
$$
\sum_{k=0}^\infty P(\xi=k)=\sum_{k=0}^\infty
\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty
\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda} e^\lambda=1.
$$
Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
ge\-ne\-r\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Ez
$$
\sum_{k=0}^\infty P(\xi=k)x^k=\sum_{k=0}^\infty
\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}x^k=e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty
\frac{(\lambda x)^k}{k!}=e^{-\lambda} e^{\lambda x}=e^{\lambda(x-1)}.
$$
A k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast fontoss\'aga miatt fogalmazzuk meg
T\'etel form\'aj\'aban. \medskip\noindent
{\bf T\'etel} {\it Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, $\lambda$
illetve $\mu$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor $\xi+\eta$ $\lambda+\mu$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o.} \medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
\align
P(\xi+\eta=k)&=\sum_{j=0}^kP(\xi=j,\eta=k-j)=
\sum_{j=0}^kP(\xi=j)P(\eta=k-j) \\
&=\sum_{j=0}^k \frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}
\frac{\mu^{k-j}}{(k-j)!}e^{-\mu}=
\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}
\sum_{j=0}^k \frac{k!}{j!(k-j)!} \lambda^j \mu^{(k-j)} \\
&=\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}(\lambda+\mu)^k.
\endalign
$$
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Mutassuk meg, hogy a Poisson eloszl\'as
gener\'atorf\"uggv\'eny\'enek alakj\'ab\'ol l\'athat\'o, hogy
ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, $\lambda$ illetve
$\mu$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, akkor $\xi+\eta$ $\lambda+\mu$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\medskip
A fenti eredm\'eny k\"ovetkezm\'enye, hogy amennyiben v\'eges sok
f\"uggetlen, Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak vessz\"uk az
\"osszeg\'et, az ism\'et Poisson eloszl\'as\'u lesz, amelynek
param\'etere az egyes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
param\'etereinek az \"osszege. A k\"ovetkez\H{o} feladat
\'all\'{\i}t\'asa, amelynek \'erdekes k\"ovetkezm\'enyei vannak,
tekinthet\H{o} \'ugy mint ennak az \'all\'{\i}t\'asnak a
megford\'{\i}t\'asa. Abban ugyanis egy al\-kal\-mas konstrukci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel egy Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot bontunk fel f\"uggetlen kisebb
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'ere.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen adva $k$ darab  urna, \'es ezekbe
dobjunk be v\'eletlen $\xi$ sz\'am\'u goly\'ot, ahol $\xi$  Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda>0$
param\'eterrel. Legyenek az egyes dob\'asok eredm\'enyei egym\'ast\'ol
\'es a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlenek.
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy  minden egyes dob\'asn\'al a goly\'o
az $j$-ik urn\'aba $p_j\ge0$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
esik, $j=1,\dots,k$, $\sum\limits_{j=1}^k p_j=1$. Jel\"olje $\eta_j$ a
$j$-ik urn\'aba es\H o goly\'ok sz\'am\'at. Ekkor az $\eta_j$,
$j=1,\dots,k$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
\'es $\eta_j$ Poisson eloszl\'as\'u $\lambda p_j$ param\'eterrel,
$j=1,\dots,k$.
\medskip
L\'assuk be az el\H{o}z\H{o} feladat seg\'{\i}ts\'eg\'evel a
k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast: \medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen adva $\xi$ Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$ param\'eterrel.
Dobjunk le egym\'ast\'ol \'es a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen\"ul v\'eletlen\"ul egyenletesen $\xi$
darab pontot az egys\'egintervallumra, azaz tegy\"uk fel, hogy minden
pont $b-a$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik valamely $[a,b]\subset
[0,1]$ intervallumba. Ekkor a $[0,1]$ intervallum tetsz\H{o}leges
felbont\'as\'ara $[s_0,s_1]$, $[s_1,s_2]$,\dots, $[s_{k-1},s_k]$
intervallumokra, $0=s_0<s_1<\cdots<s_k=1$, az egyes intervallumokba
es\H{o} pontok sz\'ama egym\'ast\'ol f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $s_j-s_{j-1}$, $1\le j\le k$,
param\'eterrel.
\medskip
Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $\xi$ $\lambda$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
$$
E\xi=\sum_{k=1}^\infty k\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
=e^{-\lambda}\lambda\sum_{k=1}^\infty \dfrac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}
=\lambda e^{-\lambda+\lambda}=\lambda,
$$
$$
\align
E\xi^2=\sum_{k=1}^\infty k^2\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
&=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
+\sum_{k=1}^\infty k\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \\
&=e^{-\lambda}\lambda^2\sum_{k=2}^\infty
\dfrac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}+\lambda
=\lambda^2+\lambda,
\endalign
$$
\'es
$\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2=(\lambda+\lambda^2)-\lambda^2=\lambda$.
 
Jegyezz\"uk meg, hogy a Poisson eloszl\'as v\'arhat\'o \'ert\'ek\'ere
\'es sz\'or\'asn\'egyzetre kapott eredm\'enyek \"osszhangban vannak
azzal a t\'ennyel, hogy f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \"osszege olyan
Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelynek
para\-m\'e\-te\-re az \"osszeadand\'ok param\'etereinek az \"osszege.
Ugyanis mind a v\'arhat\'o \'ert\'ek mind a sz\'or\'asn\'egyzet
addit\'{\i}v f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszegz\'ese eset\'en. \medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyenek $\xi_j$, $j=1,\dots,r$, f\"uggetlen Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\lambda_j$,
$1\le j\le r$, param\'eterekkel. Mutassuk meg, hogy
$$
P\(\left.\vphantom{\sum_{j=1}^r}
\xi_1=k_1,\dots, \xi_r=k_r\right|\sum_{j=1}^r\xi_j=n\)=
\dfrac{n!}{k_1!\cdots k_r!}\prod_{j=1}^r \frac
{\lambda_j^{k_j}}{\(\summ_{s=1}^r\lambda_s\)^{k_j}},
$$
ha $\summ_{j=1}^r k_j=n$. Azaz a $\xi_1,\dots,\xi_r$ vektor
felt\'eteles eloszl\'asa felt\'eve, hogy
$\summ_{j=1}^r k_j=n$ a polinomi\'alis eloszl\'as $n$ \'es $p_j=
\dfrac{\lambda_j}{\summ_{s=1}^r\lambda_s}$, $1\le j\le r$,
param\'eterekkel.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra tekints\"unk egy
$S_n$ binomi\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ot $B(n,p_n)$ eloszl\'assal, azaz $n$ \'es $p_n$
param\'eterekkel. Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy a $\lambda_n=np_n$,
$n=1,2,\dots$, sz\'amok teljes\'{\i}tik a
$\limm_{n\to\infty}\lambda_n=\lambda$
felt\'etelt valamilyen $\lambda>0$ sz\'ammal. Ekkor
$$
\lim_{n\to\infty} P(S_n=k)=\frac{\lambda_k}{k!}e^{-\lambda}
$$
minden $k=0,1,2,\dots$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}
$$
\align
P(S_n=k)&=\dbinom nk \(1-\dfrac {\lambda_n}n\)^{n-k}\(\dfrac
{\lambda_n}n\)^k=\\
&\dfrac{\lambda_n^k}{k!}
\(1-\dfrac {\lambda_n}n\)^n
\(1-\dfrac {\lambda_n}n\)^{-k}
\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\to \dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},
\endalign
$$
ha $n\to\infty$ minden $k=0,1,2,\dots$ sz\'amra, mert
$\dfrac{\lambda_n^k}{k!}\to\dfrac{\lambda^k}{k!}$,
$\(1-\dfrac {\lambda_n}n\)^n\to e^{-\lambda}$,
$\(1-\dfrac {\lambda_n}n\)^{-k}\to1$, \'es
$\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\to1$, ha $n\to\infty$.
 
 
\bye
 
 
 
 
Jegyezz\"uk meg, hogy ha j\'ol meg\'ertj\"uk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}k \'es v\'altoz\'ok
szerkezet\'et a fenti \'all\'{\i}t\'as kiolvashat\'o abb\'ol a
kor\'abban megfogalmazott feladat eredm\'eny\'eb\H{o}l is, amely megad
egy lehet\H{o}s\'eget arra, hogy egy Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot felbontsunk kisebb
param\'eter\H{u} f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"ossze\-g\'e\-re. Ugyanis,
ha abban a ledobott $\xi$ goly\'o sz\'ama $\xi=\summ_{j=1}^r\xi_j$,
akkor $\xi=n$ felt\'etel v\'a\-lasz\-t\'as\-sal, azaz
pontosan $n$ pontot dobva le, a fenti eredm\'enyt kapjuk.
 
