\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat harmadik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2003. febru\'ar 18.}
 
\medskip\noindent
{\it \"Osszefoglal\'o:}\/
 
\medskip\noindent
{\it Felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg t\'argyal\'asa.}
(folyat\'as) \medskip\noindent
Megism\'etlem a felt\'eteles  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg el\H{o}z\H{o}
el\H{o}ad\'ason ismertetett definici\'oj\'at.
\medskip\noindent
{\bf Felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg definici\'oja.} {\it Adva
egy $B$ esem\'eny egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, amelyre $P(B)>0$, egy ugyanezen a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n l\'ev\H{o} $A$  esem\'eny felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege felt\'eve a $B$ esem\'enyt (azaz a $B$
esem\'eny bek\"ovetkez\'es\'et)
$$
P(A|B)=\frac {P(A\cap B)}{P(B)}.
$$
}\medskip \noindent
 
A felt\'eteles \'es hagyom\'anyos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg fogalmai
k\"oz\"ott fogalmaz meg kapcsolatot a k\"ovetkez\H{o} lemma.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, \'es legyen rajtva adva egy
$B\in\Cal A$ esem\'eny, amelyre $P(B)>0$. Vezess\"uk be a
$P_B$, $P_B(A)=P(A|B)$, $A\in \Cal A$, halmazf\"uggv\'enyt a $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'an. Ekkor $(\Omega, \Cal A,P_B)$ szint\'en
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}.} \medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Ez az \'all\'{\i}t\'as megtal\'alhat\'o a
Fazekas k\"onyv 3.5 feladat\'aban. Ugyancsak ezen az oldalon
tal\'alhat\'o a 3.2 \'All\'{\i}t\'as, amely nagyon hasonl\'o ehhez.
Egy k\"ul\"onbs\'eg van a k\'et \'all\'{\i}t\'as k\"oz\"ott. Mi az
eredeti val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} $\sigma$-algebr\'aj\'at
nem v\'altoztattuk meg. A Fazekas k\"onyv 3.2 \'all\'{\i}t\'as\'aban
az $A\cap B$, $A\in \Cal A$ alak\'u halmazokra van megszor\'{\i}tva a
$\sigma$-algebra. \medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ $P_B(\Omega)=1$, $\Cal A$ $\sigma$-algebra,
azt kell m\'eg ellen\H{o}rizni, hogy $P_B$ $\sigma$-additiv az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'an, azaz, ha $A_n$, $n=1,2,\dots$, diszjunkt halmazok,
akkor $P_B\(\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\)=\summ_{n=1}^\infty P_B(A_n)$.
Viszont ebben az esetben az $A_n\cap B$ halmazok is diszjunktak,
ez\'ert
$$
\align
P_B\(\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\)
&=\frac{P\(\(\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\)\cap B\)}{P(B)}=
\frac{P\(\bigcupp_{n=1}^\infty (A_n\cap B)\)}{P(B)}\\
&=\frac{\summ_{n=1}^\infty P(A_n\cap B)}{P(B)}
=\summ_{n=1}^\infty P_B(A_n).
\endalign
$$
\medskip
Megfogalmaztunk n\'eh\'any egyszer\H{u} \'all\'{\i}t\'ast a
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egr\H{o}l. Ezeket nem kell
felt\'etlen\"ul megtanulni, mert olyan \"osszef\"ugg\'eseket
fejeznek ki, amelyekre az ember mag\'at\'ol is r\'aj\"on. Fontosabb
ink\'abb meg\'erteni azt, hogy a t\'argyalt p\'eld\'akban ezeket az
\"osszef\"ugg\'eseket hogyan haszn\'aljuk.
 
El\H{o}sz\"or felid\'ezt\"uk a Fazekas k\"onyv 3.6 definici\'oj\'at
(33. oldal), amely l\'enyeg\'eben nem m\'as mint a halmazelm\'eletben
szerepl\H{o} partici\'o fogalm\'anak \'ujrafogalmaz\'asa a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as terminol\'ogi\'aj\'aval.
\medskip\noindent
{\bf Teljes esem\'enyrendszer definici\'oja}  {\it Legyen adva egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, azon
$A_n\in\Cal A$ esem\'enyek (halmazok) v\'eges vagy
megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen rendszere. Azt mondjuk, hogy az
$A_n$ esem\'enyek teljes esem\'enyrendszert alkotnak, ha azok diszjunkt
halmazok (m\'as sz\'oval egym\'ast kiz\'ar\'o esem\'enyek), \'es \
$\bigcupp_n A_n=\Omega$.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Ha egy $A$ halmazt el\H{o}\'all\'{\i}tunk
v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen sok diszjunkt $A_n$
halmaz uni\'ojak\'ent, azaz $A=A_1\cup A_2\cup A_3\cup\cdots$, akkor
egy ilyen el\H{o}\'all\'{\i}t\'ast az $A$ halmaz partici\'oj\'anak
nevez\"unk. Ennek az \'altal\'anosan haszn\'alt fogalomnak a
felhaszn\'al\'as\'aval egy teljes esem\'enyrendszert az $\Omega$
biztos esem\'eny partici\'oj\'anak is ne\-vez\-he\-t\"unk.
\medskip\noindent
{\bf Teljes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg t\'etele.} {\it Alkossanak a
$B_n$ halmazok pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi halmazokb\'ol
\'all\'o teljes esem\'enyrendszert. Ekkor tetsz\H{o}leges $A$ halmazra
$$
P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots.
$$}
(L\'asd Fazekas k\"onyv 3.7 t\'etel\'et a 33. oldalon.)
\medskip\noindent
{\it A  T\'etel bizony\'{\i}t\'asa:}
$$
P(A)=P(A\cap B_1)+P(A\cap B_2)+\cdots=
P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots.
$$
\medskip\noindent
{\bf Bayes formula.} (l\'asd Fazekas k\"onyv 35. oldal.)
$$
P(B|A)=P(A|B)\frac{P(B)}{P(A)}, \quad\text{ha } P(A)>0,\;\;\text{\'es }
P(B)>0.
$$
\medskip\noindent
Megfogalmazzuk a k\"ovetkez\H{o} (egyszer\H{u}) eredm\'enyt, amelyet
h\'{\i}vnak n\'eha a teljes ese\-m\'eny\-rend\-szer\-r\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etelnek is. (L\'asd Fazekas k\"onyv 3.10 T\'etel a 36. oldalon).
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen adva egy $A$ esem\'eny \'es egy
$B_1,B_2,\cdots$, teljes esem\'enyrendszer. Ekkor
$$
P(B_i|A)=\dfrac{P(A|B_i)P(B_i)}
{\summ_{n=1}^\infty P(A|B_n)P(B_n)} \quad \text{minden }i=1,2,\dots,
\text{ sz\'amra.}
$$
}\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy a fel\'{\i}rt
kifejez\'esben a sz\'aml\'al\'o
$$
P(A|B_i)P(B_i)=P(A\cap B_i),
$$
a nevez\H{o} pedig $\summ_{n=1}^\infty
P(A|B_n)P(B_n)=\summ_{n=1}^\infty P(A\cap B_n)=P(A)$.
\medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az el\H{o}z\H{o} t\'etelben szerepl\H{o}
formula az\'ert hasznos, mert a k\"ovetkez\H{o} gyakran
el\H{o}fordul\'o probl\'em\'anak a megold\'as\'aban seg\'{\i}t.
Ismerj\"uk egy $A$ esem\'eny $P(A|B_1)$, $P(A|B_2)$,\dots
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit felt\'eve egy $B_1,
B_2,\dots$, teljes esem\'enyrendszert, de minket a $P(B_i|A)$,
$i=1,2,\dots$, felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek \'erdekelnek.
E t\'etel ered\-m\'e\-nye szerint ezeket egyszer\H{u}en ki tudjuk
sz\'am\'{\i}tani, ha ismerj\"uk a $P(B_n)$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket is. \medskip
Konkr\'et esetekben ezekre az \"osszef\"ugg\'esekre magunk is
r\'aj\"ohet\"unk an\'elk\"ul, hogy a form\'alis k\'epleteket
n\'ezz\"uk. Tekintett\"unk n\'eh\'any p\'eld\'at.
\medskip
{\it Feladatok:}
\medskip
\item{} H\'arom g\'ep gy\'art csavarokat, az egyik 0.01 a m\'asodik
0.02 a harmadik 0.03 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel gy\'art
hib\'as csavarokat. A csavarokat egy rakt\'arba viszik, \'es
\"osszekeverik azokat. Egy gy\'artott csavar 0.5
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult az
els\H{o} 0.3 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a m\'asodik \'es 0.2
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult a harmadik g\'epen.
Kivesz\"unk egy csavart, megn\'ezz\"uk, \'es azt tal\'aljuk, hogy az
hib\'as. Milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult a csavar eme
felt\'etelek mellett az els\H{o} g\'epen?
\item{} {\it Megold\'as:} Jel\"olje $A_1$, $A_2$ illetve $A_3$ azt az
esem\'enyt, hogy a csavar az els\H{o}, m\'asodik vagy harmadik g\'epen
k\'esz\"ult, $B$ azt az esem\'enyt, hogy a csavar hib\'as. Ekkor minket
a $P(A_1|B)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Tudjuk,
hogy $P(A_1)=0.5$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.2$, tov\'abb\'a
$P(B|A_1)=0.01$, $P(B|A_2)=0.02$, \'es $PB(B|A_3)=0.03$. Ekkor
$$
\align
P(A_1|B)&=\frac{P(B\cap A_1)}{P(B)}=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B\cap
A_1)+ P(B\cap A_2)+P(B\cap A_3)}\\
&=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+
P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)}\\
&=\frac{0.01\cdot 0.5}{0.01\cdot 0.5+0.02\cdot0.3+0.03\cdot 0.2}.
\endalign
$$
\medskip
\item{} Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy
(szab\'alyos) dob\'okocka mindk\'et dob\'as\'anak az eredm\'enye
hatos felt\'eve, hogy legal\'abb az egyik dob\'as hatos?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt,
hogy az els\H{o} dob\'as eredm\'enye hatos, $A_2$ azt az esem\'enyt,
hogy a m\'asodik dob\'as eredm\'enye hatos. Akkor minket a $P(A_1\cap
A_2|A_1\cup A_2)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Viszont
$$
P(A_1\cap A_2|A_1\cup A_2)=\dfrac{P((A_1\cap A_2)\cap(A_1\cup
A_2))}{P(A_1\cup A_2)}=\dfrac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1\cup A_2)}.
$$
M\'asr\'eszt $P(A_1\cap A_2)=\dfrac1{36}$, $P(A_1\cup A_2)=1-P(\bar
A_1\cap \bar A_2)=1-\dfrac{25}{36}=\dfrac{11}{36}$. Innen a keresett
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\dfrac1{11}$.
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} (egyszer\H{u}) feladat c\'elja az, hogy
\"osszehasonl\'{\i}tsuk annak eredm\'eny\'et az el\H{o}bb t\'argyalt
feladat eredm\'eny\'evel, \'es megbesz\'elj\"uk m\'ast jelent az a
felt\'etelt, hogy k\'et kockadob\'as k\"oz\"ul az egyik megnevezett
dob\'as (p\'eld\'aul az els\H{o} dob\'as) hatos, \'es
az hogy ad\'odott hatos dob\'as. K\'epesek vagyunk-e szeml\'elet\"unk
alapj\'an sz\'amol\'as n\'elk\"ul megmondani,  hogy melyik feltev\'es
mellett nagyobb annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
mind a k\'et dob\'as hatos? \medskip
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk k\'etszer egym\'as
ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy mind a
k\'et dob\'as hatos, felt\'eve hogy az els\H{o} dob\'as hatos?
\item{}{Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy az
els\H{o} dob\'as hatos, $A_2$ pedig azt az esem\'enyt, hogy a m\'asodik
dob\'as hatos. Ekkor $A_1\cap A_2$ az az esem\'eny, hogy mind a k\'et
dob\'as hatos, \'es minket a $P(A_1\cap A_2|A_1)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel. Viszont,
$P(A_1\cap A_2|A_1)=\dfrac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)}
=\dfrac{P(A_1)P(A_2)}{P(A_1)}=P(A_2)=\dfrac16$.
 
\medskip
\medskip A k\"ovetkez\H{o} feladattal a gyakorlaton foglalkozunk.
\medskip\item{} K\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} f\'ar\'ol leszednek 10
alm\'at, \'es beteszik k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
(meg\-k\"u\-l\"on\-b\"oz\-tet\-he\-tet\-len dobozba.) Ez egyik f\'ar\'ol
szedett alm\'ak (egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul) $\dfrac14$ a m\'asik
f\'ar\'ol szedett alm\'ak pedig (szint\'en egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul) $\dfrac1{10}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
f\'ergesek. Kivesz\"unk az egyik dobozb\'ol k\'et alm\'at \'es mind a
kett\H{o} f\'erges. Ezek ut\'an kivesz\"unk a m\'asik dobozb\'ol egy
alm\'at. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez az alma m\'ar
nem f\'erges? \medskip\noindent
Ezut\'an a k\"ovetkez\H{o} feladatot t\'argyaltuk.
(l\'asd a Fazekas k\"onyvben a 3.4 P\'eld\'at a 32. oldalon)
\medskip
\item{} Ha egy $n$ l\'etsz\'am\'u csoportban $r$
v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott di\'aknak dolgozatot kell \'{\i}rni,
mi annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legrosszabb
di\'aknak is dolgozatot kell \'{\i}rni, felt\'eve, hogy a legjobb
di\'ak is dolgozatot \'{\i}r.
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A$  azt az esem\'enyt, hogy a
legrosszabb di\'ak \'{\i}r dolgozatot, $B$ azt az esem\'enyt, hogy a
legjobb di\'ak \'{\i}r dolgozatot. Ekkor mi a $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap
B)}{P(B)}$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget akarjuk
kisz\'am\'{\i}tani. Viszont $P(A\cap B)=\dfrac
{\binom{n-2}{r-2}}{\binom nr}$, mert $\binom{n-2}{r-2}$ olyan
v\'alaszt\'as van, amelyben mind a legjobb mind a legrosszabb di\'ak
\'{\i}r dolgozatot, \"osszesen $\binom nr$ v\'alaszt\'as van, \'es
minden v\'alaszt\'as egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}. Hasonl\'oan,
$P(B)=\dfrac{\binom{n-1}{r-1}}{\binom nr}$. Innen egyszer\H{u}
sz\'amol\'assal
$$
P(A|B)=\dfrac{\dbinom{n-2}{r-2}}
{\dbinom{n-1}{r-1}}=\dfrac{r-1}{n-1}.
$$
A gyakorlaton e feladatnak m\'as heurisztikus t\'argyal\'as\'at is
vizsg\'altuk, illetve azt, hogy mi\'ert adnak a heurisztikus
\'ervel\'esek helyes eredm\'enyt.
 
\beginsection Esem\'enyek f\"uggetlens\'ege.
 
Esem\'enyek \'es a k\'es\H{o}bb t\'argyaland\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as egyik
legfontosabb fogalma. Heurisztikusan azt mondhatjuk, hogy egy $A$
esem\'eny akkor f\"uggetlen egy $B$ esem\'enyt\H{o}l, ha az $A$
esem\'eny bek\"ovetkez\'ese vagy  be nem k\"ovetkez\'ese nem
befolya\'asolja annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a $B$
esem\'eny bek\"ovetkezik-e. Ez azt sugallja, hogy a $B$ esem\'eny
akkor f\"uggetlen az $A$ esem\'enyt\H{o}l, ha $P(B|A)=P(B)$. Ezt az
\"osszef\"ugg\'est \'atrendzve jutunk a k\"ovetkez\H{o}
definici\'ohoz. \medskip \noindent
{\bf K\'et esem\'eny f\"uggetlens\'eg\'enek a definici\'oja.} {\it Azt
mondjuk, hogy egy $A$ \'es $B$ esem\'eny f\"uggetlen, ha $P(A\cap
B)=P(A)P(B)$.} \medskip\noindent
Ez a definici\'o azonban \"onmag\'aban nem kiel\'eg\'{\i}t\H{o}
sz\'amunkra. Besz\'elni akarunk t\"obb esem\'eny
f\"uggetlens\'eg\'er\H{o}l is. Ez\'ert a k\"ovetkez\H{o} definici\'ot
is bevezetj\H{u}k.
\medskip\noindent
{\bf T\"obb esem\'eny f\"uggetlens\'eg\'enek definici\'oja:} {\it Az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek akkor (teljesen)
f\"uggetlenek, ha az $\{1,\dots,n\}$ indexhalmaz minden
$\{j_1,\dots,j_k\}\subset \{1,\dots,n\}$ r\'esz\-hal\-ma\-z\'a\-ra
$$
P(A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_k})=P(A_{j_1})\cdots P(A_{j_k}).
$$
Esem\'enyek v\'egtelen $A_1,A_2,\dots$ sorozata akkor \'es csak akkor
f\"uggetlen, ha tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v $n$ eg\'esz sz\'amra az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek f\"uggetlenek.}
\medskip
Speci\'alisan $n=3$ esetben ez a definici\'o a k\"ovetkez\H{o}t
jelenti: Az $A$, $B$ \'es $C$ esem\'enyek akkor f\"uggetlenek,
ha a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agok {\it mindegyike}\/ teljes\"ul:
$$
\align
P(A\cap B)&=P(A)P(B) \\
P(A\cap C)&=P(A)P(C) \\
P(B\cap C)&=P(B)P(C) \\
P(A\cap B\cap C)&=P(A)P(B)P(C).
\endalign
$$
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Al\'abb bevezetj\"uk esem\'enyek p\'aronk\'enti
f\"uggetlens\'eg\'enek  az irodalomban szint\'en haszn\'alt fogalm\'at.
Fontos, hogy esem\'enyek p\'aronk\'enti f\"uggetlens\'eg\'enek \'es
(teljes) f\"uggetlens\'eg\'enek a fogalm\'at meg
tudjuk k\"ul\"onb\"oztetni egym\'ast\'ol.
\medskip\noindent
{\bf Esem\'enyek p\'aronk\'enti f\"uggetlens\'eg\'enek a
definici\'oja.} {\it Legyen $A_1,A_2,\dots$, ese\-m\'e\-nyek (v\'eges
vagy v\'egtelen) sorozata egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n.
Azt mondjuk, hogy ezek az esem\'enyek p\'aronk\'ent f\"uggetlenek, ha
tetsz\H{o}leges k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amokb\'ol \'all\'o $(j,k)$,
$j\neq k$, indexekre $P(A_j\cap A_k)=P(A_j)P(A_k)$.}
\medskip\noindent
Megmutatand\'o, hogy az esem\'enyek (teljes) f\"uggetlens\'eg\'enek
definici\'oj\'aban szerepl\H{o} felt\'etelek mindegyike fontos
tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} feladatot.
\medskip \item{}
Adjunk p\'eld\'at egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}re azon h\'arom $A_1$, $A_2$ \'es
$A_3$ ese\-m\'eny\-re, amelyekre $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=
P(A_1)P(A_2)P(A_3)$, de az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek
nem f\"uggetlenek.
\item{} {\it Egy lehets\'eges konstrukci\'o:}\/ Legyen
$\Omega=\{1,2,3,4,5\}$, $\Cal A$ az $\Omega$ halmaz \"osszes
r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra, $P(\{1\})=x$,
$P(\{2\})=P(\{3\})=P(\{4\})=y$, $P(\{5\})=1-x-3y$, alkalmas $x$ \'es
$y$ sz\'amokkal, $P(A)=\summ_{u\in A} P(\{u\})$ minden $A\in \Cal A$
halmazra. Defini\'aljuk az $A_1=\{1,2\}$, $A_2=\{1,3\}$ \'es
$A_3=\{1,4\}$ halmazokat. Ekkor $A_1\cap A_2\cap A_3=\{1\}$, ez\'ert
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)=x$. M\'asr\'eszt $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=x+y$.
V\'alasszuk meg az $x$ \'es $y$ sz\'amokat \'ugy, hogy $x=(x+y)^3$.
Egy lehet\H{o}s\'eg erre, $x+y=\dfrac13$, \'es ekkor
$x=(x+y)^3=\dfrac1{27}$, $y=\dfrac8{27}$,  tov\'abb\'a
$P(\{5\})=\dfrac2{27}$. Ebben a p\'eld\'aban
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)$. Viszont $A_1\cap
A_2=\{1\}=A_1\cap A_2\cap A_3$, \'{\i}gy ny\'{\i}lv\'an
$P(A_1\cap A_2)\neq P(A_1)P(A_2)$. Teh\'at a f\"uggetlens\'eg nem
teljes\"ul.
\medskip
L\'assunk p\'eld\'at arra is, hogy esem\'enyek p\'aronk\'enti
f\"uggetlens\'eg\'eb\H{o}l nem k\"ovetkezik azok f\"uggetlens\'ege.
\medskip\noindent
{\it P\'elda:}\/ Defini\'alunk egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, azon h\'arom $A_1$, $A_2$,
$A_3$-mal jel\"olt esem\'enyt, amelyek p\'aronk\'ent f\"uggetlenek,
azaz $P(A_1\cap A_2)=P(A_1)P(A_2)$, $P(A_1\cap A_3)=P(A_1)P(A_3)$
\'es $P(A_2\cap A_3)=P(A_2)P(A_3)$, de nem teljes\"ul a $P(A_1\cap
A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)$ azonoss\'ag, teh\'at
ezek az esem\'enyek nem f\"uggetlenek.
 
\'Alljon az $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}ben
$\Omega$ 4 pontb\'ol, a jobb szeml\'elhet\H{o}s\'eg kedv\'e\'ert
legyenek ezek az $(1,1)$, $(1,2)$, $(2,1)$, $(2,2)$ pontok, \'alljon
$\Cal A$ az $\Omega$ halmaz \"osszes r\'eszhalmaz\'ab\'ol, \'es
legyen $P(\{(1,1)\})=P(\{(1,2)\})=P(\{(2,1)\})=P(\{(2,2)\})=\dfrac14$.
Tekints\"uk az $A_1=\{(1,1),(1,2)\}$ $A_2=\{(1,1),(2,1)\}$ \'es
$A_3=\{(1,1),(2,2)\}$ halmazokat. Ekkor teljes\"ulnek a $P(A_1\cap
A_2)=P(A_1)P(A_2)$, $P(A_1\cap A_3)=P(A_1)P(A_3)$ \'es $P(A_2\cap
A_3)=P(A_2)P(A_3)$ azonoss\'agok, mert $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\dfrac12$,
\'es mivel $A_1\cap A_2=A_1\cap A_2=A_2\cap A_3=\{(1,1)\}$, $P(A_1\cap
A_2)=P(A_1\cap A_3)=P(A_2\cap A_3)=\dfrac14$. M\'asr\'eszt,
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)\neq P(A_1)P(A_2)P(A_3)$, mert
 $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(\{(1,1)\})=\dfrac14$, \'es
$P(A_1)P(A_2)P(A_3)=\dfrac18$.
\medskip
Fogalmazzuk meg a f\"uggetlen esem\'enyekre vonatkoz\'o
tulajdons\'agok k\"oz\"ul a legfontosabbakat. \medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Ha $A_1,\dots, A_n$ f\"uggetlen esem\'enyek, \'es
bevezetj\"uk az $A_j^{1}=A_j$ \'es $A_j^{-1}=\Omega\setminus A_j$
jel\"ol\'eseket, akkor tetsz\H{o}leges $\e_j=\pm1$, $1\le j\le n$,
sorozatra az $A_1^{\e_1},\dots,A_n^{\e_n}$ esem\'enyek f\"uggetlenek.}
\medskip\noindent
{\it Indokl\'as:}\/ El\'eg bel\'atni, hogy egy $A_j$ halmaz
kicser\'el\'ese az $A_j^{-1}$ halmazra nem v\'altoztatja meg a
halmazrendszer f\"uggetlens\'eg\'et. Tov\'abb\'a az indexek
szim\-met\-ria tulajdons\'aga miatt el\'eg a $j=1$ esettel foglalkozni.
Ezut\'an a f\"uggetlens\'eget defini\'al\'o rel\'aci\'ok k\"oz\"ul
el\'eg azokat ellen\H{o}rizni, amelyekben a $j=1$ index szerepel. Azt
kell megmutatni. hogy az $A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek f\"uggetlens\'ege
eset\'en teljes\"ul az
$$
P((\Omega\setminus A_1)\cap A_{l_1}\cap\cdots\cap A_{l_s})=
P(\Omega\setminus A_1)P( A_{l_1})\cdots P(A_{l_s})
$$
azonoss\'ag minden $2\le l_1<\cdots<l_s$ indexre. Viszont ekkor
$$
\align
P((\Omega\setminus A_1)\cap A_{l_1}\cap\cdots\cap A_{l_s})&=
P(A_{l_1}\cap\cdots\cap A_{l_s})-
P(A_1\cap A_{l_1}\cap\cdots\cap A_{l_s})\\
&=P(A_{l_1})\cdots P(A_{l_s})-
P(A_1)P(A_{l_1})\cdots P(A_{l_s})\\
&=(1-P(A_1))P(A_{l_1})\cdots P(A_{l_s})\\
&=P(\Omega\setminus A_1)P(A_{l_1})\cdots P(A_{l_s}).
\endalign
$$
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyenek $A_1,\dots,A_n, B_1,\dots, B_m$
esem\'enyek f\"uggetlenek egym\'ast\'ol. Tet\-sz\H{o}\-le\-ges olyan
$C$ esem\'enyre, amelyik el\H{o}\'all\'{\i}that\'o az $A_1,\dots,
A_k$ halmazokb\'ol v\'eges sok metszet, uni\'o \'es
komplementerk\'epz\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel igaz, hogy a
$B_1,\dots,B_m$ \'es $C$ halmazok f\"uggetlenek.}
\medskip\noindent
{\bf Eml\'ekeztet\H{o} 1.} {\it Tanult\'ak, hogy mindent adott
halmazokb\'ol uni\'o, metszet \'es komplementer k\'epz\'essel
el\H{o}\'all\'{\i}that\'o halmaz megadhat\'o \'ugynevezett
konjunkt\'{\i}v vagy diszjunkt\'{\i}v norm\'alform\'aban. Ez a
k\"ovetkez\H{o}t jelenti. Legyen adva egy $\Omega$ halmaz v\'eges
sok $A_1$,\dots, $A_n$ r\'eszhalmaza, \'es jel\"olje
$A_j^{-1}=\Omega\setminus A_j$ az $A_j$ halmaz komplementer\'et,
$1\le j\le n$. Vezess\"uk be tov\'abb\'a az $A^{1}=Aj$
jel\"ol\'est \'es az $\e_j=\pm1$, $1\le j\le n$ sz\'amokat
valamint az \"osszes lehets\'eges $(\e_1,\dots,\e_n)$ alak\'u
sorozatb\'ol \'all\'o halmazt. Ekkor minden az $A_1,\dots,A_n$
halmazokb\'ol v\'eges sok uni\'o, metszet \'es komplementer
seg\'{\i}ts\'eg\'evel el\H{o}\'all\'{\i}that\'o  $C$ halmaz
megadhat\'o a k\"ovetkez\H{o} m\'odon is: L\'etezik a $\Sigma$
halmaznak olyan $J=J(C)\subset\Sigma$ r\'eszhalmaza, amelyre
$$
C=\bigcupp_{(\e_1,\dots,\e_n)\in
J}(A_1^{\e_1}\cap A_2^{\e_2}\cap\cdots\cap A_n^{\e-n})
$$
(konjunkt\'{\i}v norm\'alforma), \'es l\'etezik a $\Sigma$ halmaznak
olyan $\bar J=\bar J(C)\subset\Sigma$ r\'eszhalmaza, amelyre
$$
C=\bigcapp_{(\e_1,\dots,\e_n)\in \bar J}(A_1^{\e_1}\cup
A_2^{\e_2}\cup\cdots\cup A_n^{\e-n})
$$
(diszjunkt\'{\i}v norm\'alforma).}
\medskip\noindent
{\bf Eml\'ekeztet\H{o} 2.} {\it B\'ar erre nem lesz sz\"uks\'eg\"uk,
id\'ezz\"uk fel a diszjunkt\'{\i}v \'es konjunkt\'{\i}v norm\'alforma
l\'etez\'es\'enek egy lehets\'eges indokl\'as\'at. Mindegyik $A_j$,
$1\le j\le n$, halmaz el\H{o}\'all\'{\i}that\'o ilyen alakban. Ebben
a speci\'alis esetben a $J=\bar J$ halmazt \'ugy v\'alasztjuk, mint
azon $(\e_1,\dots,\e_n)$ sorozatok halmaz\'at, amelyeknek a $j$-ik
koordin\'at\'aja $\e_j=1$. Ezut\'an el\'eg bel\'atni, hogy amennyiben
k\'et $B_1$ \'es $B_2$ halmaz  el\H{o}\'all\'{\i}that\'o
konjunkt\'{\i}v \'es diszjunt\'{\i}v norm\'alform\'aban, akkor
ugyanez igaz a $B_1\cap B_2$, $B_1\cup B_2$, $\Omega\setminus B_1$
\'es $\Omega\setminus B_2$ halmazokra is.  Ez n\'emi sz\'amol\'assal
megmugathat\'o. E sz\'amol\'asban \'erdemes felhaszn\'alni az al\'abbi
de Morgan formul\'anak nevezett azonoss\'agokat, amelyeket
egy\'ebk\'ent is tudni kell: $\overline{B_1\cup B_2}=\bar B_1\cap \bar
B_2$, $\overline{B_1\cap B_2}=\bar B_1\cup \bar B_2$, ahol $\bar B$
jel\"oli a $B$ halmaz komplementer\'et. \'Altal\'anosabban,
tetsz\H{o}leges $B_1$,\dots $B_k$ halmazokra
$\overline{B_1\cup B_2\cup\cdots\cup B_k}=\bar B_1\cap \bar
B_2\cap\cdots\cap \bar B_k$, \'es
$\overline{B_1\cap B_2\cap\cdots\cap B_k}=\bar B_1\cup \bar
B_2\cup\cdots\cup \bar B_k$.}
\medskip\noindent
{\it A lemma indokl\'asa:}\/ Minden ilyen $C$ halmaz fel\'{\i}rhat\'o
konjunkt\'{\i}v norm\'alform\'aban, azaz
jel\"ol\'es\'et haszn\'alva $C=\bigcupp_{(j_1,\dots,j_n)\in J}
A^{\e_{j_1}}\cap\cdots\cap A^{\e_{j_n}}$ alakban, ahol $J$ egy $n$
hossz\'us\'ag\'u $\pm1$ sorozatokb\'ol \'all\'o halmaz. Tov\'abb\'a
az ebben a kifejez\'esben szerepl\H{o} $A^{\e_{j_1}}\cap\cdots\cap
A^{\e_{j_n}}$ esem\'enyek diszjunktak k\"ul\"onb\"oz\H{o}
$(j_1,d\dots,j_n)$ indexre diszjunktak, \'es az $A^{\e_{j_n}}$,
$B_1$,\dots, $B_n$ esem\'enyek f\"uggetlenek. Fel\'{\i}rva a
f\"uggetlens\'eg definic\'oj\'aban szerepl\H{o} azonoss\'agokat
ezekre a halmazrendszerekre, majd azokat \"osszeadva az \"osszes
$(j_1,\dots,j_n)\in J$ indexre megkapjuk a Lemma \'all\'{\i}t\'as\'at.
\medskip
Ezut\'an tekintett\"unk n\'eh\'any p\'eld\'at.
\medskip
\item{} Egy 100 tag\'u t\'arsas\'ag minden egyes tagja egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul $\dfrac1{1000}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
betegszik meg. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
t\'arsas\'agnak lesz beteg tagja? A kapott eredm\'enyr\H{o}l mit
mondhatunk? Az nagyon nagy, (majdnem 1) vagy nagyon kicsi (majdnem
nulla) \'ert\'ek?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_j$ azt az esem\'enyt, hogy a
t\'arsas\'ag $j$-ik megbetegszik meg. Ekkor a $P(A_j)=\dfrac1{1000}$,
\'es az $A_j$ esem\'enyek f\"uggetlenek. Sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or a
minket \'erdekl\H{o} esem\'eny komplementer\'enek, azaz annak az
esem\'enynek a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et, hogy mindenki
eg\'eszs\'eges. Ez az $\bigcapp_{j=1}^{1000}(\Omega\setminus A_j)$
esem\'eny. Mivel $P(\Omega\setminus A_j)=1-\dfrac1{1000}$, \'es az
$A_j$ esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'eb\H{o}l k\"ovetkezik az
$\Omega\setminus A_j$ esem\'enyek f\"uggetlens\'ege is, ez\'ert
$P\(\bigcapp_{j=1}^{1000}(\Omega\setminus A_j)\)
=\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}$. Innen a minket \'erdekl\H{o}
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $1-\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}$.
\item{} V\'eg\"ul jegyezz\"uk meg, hogy $\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}=
\(\(1-\dfrac1{1000}\)^{1000}\)^{1/10}\sim e^{-1/10}$. Mi\'ert? Ez a
sz\'am nagyon k\"ozel van az egyhez, ez\'ert a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke kicsi.
\item{} Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}t. $\Omega=\{1,\dots, n\}$, ahol $n$ valamely pozit\'{\i}v
eg\'esz sz\'am, $\Cal A$ az $\Omega$ \"osszes r\'eszhalmazaib\'ol
\'all\'o $\sigma$-algebra,
$$
P(A)=\dfrac{\text{ az $A$ halmaz sz\'amoss\'aga}}n.
$$
Legyen $n=p_1^{r_1}\cdots p_k^{r_k}$ az $n$ sz\'am
pr\'{\i}mt\'enyez\H{o}s felbont\'asa, \'es defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $A_j$ esem\'enyeket: $A_j=\{m\: m\text{ oszthat\'o a
$p_j$ sz\'ammal}\}$, $1\le j\le k$. Legyen $B=\{m\: m\text{ relat\'{\i}v
prim az $n$ sz\'amhoz k\'epest}\}$. Mutassuk meg, hogy
\itemitem{a.} Az $A_1,\dots,A_k$ esem\'enyek f\"uggetlenek.
\itemitem{b.} $P(B)=\prodd_{j=1}^k\(1-\dfrac1{p_j}\)$, azaz \"osszesen
$n\cdot\prodd_{j=1}^k\(1-\dfrac1{p_j}\)$ $n$-n\'el kisebb \'es az
$n$-hez k\'epest relat\'{\i}v prim van.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $A_j=\left\{p_j,2p_j,\dots,\dfrac
n{p_j}p_j\right\}$ egy $\dfrac n{p_j}$ sz\'amb\'ol \'all\'o halmaz,
ez\'ert $P(A_j)=\dfrac1{p_j}$, $1\le j\le k$. Az $A_{j_1}\cap
A_{j_2}\cap\cdots\cap A_{j_s}$ halmaz az $n$-n\'el kisebb $p_{j_1}\cdots
p_{j_s}$ sz\'ammal oszthat\'o sz\'amokb\'ol \'all minden $1\le
j_1<j_2<\cdots<j_s\le k$ sorozatra, ez\'ert sz\'amoss\'aga $\dfrac n
{p_{j_1}\cdots p_{j_s}}$, \'es $P(A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots\cap
A_{j_s})=\dfrac 1 {p_{j_1}\cdots p_{j_s}}$. Ez azt jelenti, hogy
$P(A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots\cap A_{j_s})=P(A_{j_1})
P(A_{j_2})\cdots P(A_{j_s})$ minden $1\le j_1<j_2<\cdots<j_s\le k$
sorozatra, ez\'ert az $A_1$, $A_2$, \dots $A_k$ halmazok f\"uggetlenek.
\item{} V\'eg\"ul $B=\Omega\setminus (A_1\cup\cdots\cup A_k)
=\bigcapp_{j=1}^k(\Omega\setminus A_j)$. Ez\'ert \'es az $A_j$
esem\'enyek f\"uggetlens\'ege miatt $P(B)=\prodd_{j=1}^k
P(\Omega\setminus A_j)=\prodd_{j=1}^k \(1-\dfrac1{p_j}\)$, ahonnan
k\"ovetkezik a $B$ halmaz sz\'amoss\'ag\'ara megadott k\'eplet.
\medskip
V\'eg\"ul megfogalmaztam a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
egyik fontos eredm\'eny\'et, a Borel--Cantelli lemm\'at. A lemma
bizony\'{\i}t\'asa a k\"ovetkez\H{o} el\H{o}ad\'as anyag\'ahoz
tartozik. El\H{o}sz\"or inform\'alisan ismertettem a probl\'em\'at.
 
A k\'erd\'es a k\"ovetkez\H{o}: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos
esem\'enyek k\"oz\"ul v\'egtelen sok bek\"ovetkezik: a.) egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, b.) pozit\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. P\'eld\'aul mikor mondhatjuk egy
(vagy pozit\'{\i}v) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel azt, hogy v\'egtelen
sok olyan nap van, amelyikben valami j\'o k\"ovetkezik. Ez azt
jelenti, hogy b\'armely nap b\'{\i}zhatunk abban, hogy nem
m\'ult el az \"osszes olyan nap, amelyben valami j\'o t\"ort\'enik,
teh\'at \'erdemes m\'eg \'elni.
 
Ahhoz, hogy a Borel--Cantelli lemm\'at megfogalmazzuk sz\"uks\'eges
a halmazelm\'elet nyelv\'en megfogalmazni azt a t\'enyt, hogy
b\'{\i}zonyos esem\'enyek k\"oz\"ul v\'egtelen sok k\"o\-vet\-ke\-zik
be. Ez azt jelenti, hogy adva v\'egtelen sok $A_1,A_2,\dots$ esem\'eny
(halmaz) egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
defini\'alni kell azt az esem\'enyt, amelyiknek
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere kiv\'an\-csi\-ak vagyunk.
 
Legyen adva v\'egtelen sok $A_1,A_2,\dots$ esem\'eny egy $(\Omega,
\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Mikor mondhatjuk,
hogy ezek k\"oz\"ul v\'egtelen sok k\"ovetkezik be, vagy
form\'alisan megfogalmazva mely $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyekre
mondhatjuk, hogy $\oo\in A_n$ v\'egtelen sok $n$ indexre? Egy $\oo$
elemi esem\'eny akkor \'es csak akkor teljes\'{\i}ti ezt a
tulajdons\'agot, ha minden $n$-re $\oo\in\bigcupp_{k=n}^\infty A_k$,
azaz minden $n$-re l\'etezik olyan $m\ge n$ index amelyre $\oo\in A_m$.
Ez akkor \'es csak akkor t\"ort\'enik meg, ha
$\oo\in\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k$. Ez azt jelenti,
hogy a $\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k$ esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere vagyunk kiv\'ancsiak, \'es err\H{o}l ad
inform\'aci\'ot a Borel--Cantelli lemma. \medskip\noindent
{\bf Borel--Cantelli lemma:} {\it Legyen adva v\'egtelen sok
$A_1,A_2,\cdots$ esem\'eny egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. A k\"ovetkaz\H{o} k\'et
\'all\'{\i}t\'as igaz:
\item{a.)} Ha $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)<\infty$, akkor
$$
P\(\bigcapp_{n=1}^\infty \bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)=0,
$$
azaz ebben az esetben egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel csak
v\'eges sok $A_n$ esem\'eny k\"ovetkezik be.
\item{b.)} Ha $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$, \'es az $A_n$,
$n=1,2,\dots$, esem\'enyek f\"uggetlenek, akkor
$$
P\(\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)=1,
$$
azaz ebben az esetben egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'egtelen sok
sok $A_n$ esem\'eny k\"ovetkezik be.} \medskip
 
Tegy\"unk n\'eh\'any megjegyz\'est ezzel az eredm\'ennyel kapcsolatban.
Ha a $P(A_n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek vi\-szony\-lag kicsik, ami jelen
esetben azt jelenti, hogy az \"osszeg\"uk konvergens, akkor csak
v\'eges sok $A_n$ esem\'eny k\"ovetkezik be 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. A m\'asik ir\'any\'u \'all\'{\i}t\'asban
nemcsak azt k\"ovetelt\"uk meg, hogy az esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei legyenek vi\-szony\-lag nagyok, \"osszeg\"uk
legyen divergens, hanem azt is, hogy az egyes $A_n$ esem\'enyek
legyenek f\"uggetlenek. Ebben az esetben viszont er\H{o}sebb
\'all\'{\i}t\'ast fogalmazhattunk meg. Nemcsak azt \'all\'{\i}tjuk,
hogy ebben az esetben annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege hogy v\'egtelen
sok $A_n$ esem\'eny k\"ovetkezik be pozit\'{\i}v, hanem azt is, hogy ez
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg 1. Ha teh\'at az $A_n$ esem\'enyek
f\"uggetlenek, akkor k\'et lehet\H{o}s\'eg fordulhat el\H{o}. Vagy nulla
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\"ovetkezik be v\'egtelen sok $A_n$
esem\'eny (ha a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek \"osszege konvergens)
vagy pedig egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel (ha a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek \"osszege divergens). K\"ozb\"uls\H{o}
lehet\H{o}s\'eg nincs.
 
A b) esetben megfogalmazott eredm\'enyben az $A_n$ esem\'enyek
f\"uggetlens\'ege nagyon fontos felt\'etel. Ezt a felt\'etelt lehet
gyeng\'{\i}teni, de teljesen elhagyni nem lehet. Ezt mutatja az
al\'abbi k\'et p\'elda:
 
Legyen az $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} a
$[0,1]$ intervallum, rajta a Borel m\'erhet\H{o} halmazok
$\sigma$-algebr\'aja, \'es a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
a Lebesque m\'ert\'ek. \medskip
\item{} {\it 1. p\'elda.}\/ Legyen $A_n=\[0,\frac12\]$  minden
$n=1,2,\dots$, sz\'amra. Ekkor $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$,
$\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k=\[0,\frac12\]$, ez\'ert
$P\(\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)=\frac12$.
\item{} {\it 2. p\'elda.}\/ Legyen $A_n=\(0,\frac1n\)$,  $n=1,2,\dots$.
Ekkor
$\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\summ_{j=1}^\infty \frac1n=\infty$,
$\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k=\emptyset$, ez\'ert
$P\(\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)=0$.
\medskip
Az els\H{o} p\'eld\'aban egy olyan esetet l\'attunk, amelyben annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy v\'egtelen sok $A_n$ k\"ovetkezik be,
$\frac12$, teh\'at sem nem nulla sem nem 1. A m\'asodik p\'eld\'aban
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sok $A_n$ esem\'eny
k\"ovetkezett be, noha a $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$
rel\'aci\'o teljes\"ult. Term\'eszetesen egyik p\'eld\'aban sem voltak
a tekintett $A_n$ esem\'enyek f\"ug\-get\-le\-nek. Ezek a p\'eld\'ak
mutatj\'ak, hogy a Borel--Cantelli t\'etel b) r\'esz\'eben
szerepl\H{o} f\"uggetlens\'eg felt\'etel l\'enyeges. Az
gyeng\'{\i}thet\H{o} ugyan, de teljesen el nem hagyhat\'o.
 
\bye
 
