\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\TagsOnRight
 
%\parskip=1pt plus 1pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat m\'asodik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2003. febru\'ar 11.}
\medskip\noindent
{\it \"Osszefoglal\'o:}\/
 
\medskip\noindent
{\it Hogyan defini\'alhatjuk a kor\'abban vizsg\'alt
probl\'em\'akat le\'{\i}r\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'as
Kolmogorov-f\'ele definici\'oj\'anak megfelel\H{o} modelleket?}
\medskip
 
Az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'ason l\'attunk n\'eh\'any p\'eld\'at.
Ezen p\'eld\'ak mindegyik\'eben az elv\'egzett k\'{\i}s\'erleteknek
v\'eges sok k\"ul\"onb\"oz\H{o} lehets\'eges kimenetele
volt, \'es ezt a Kolmogorov-f\'ele definic\'ot kiel\'eg\'{\i}t\H{o}
konstrukci\'okban kihaszn\'altuk. Azt tett\"uk, hogy az $\Omega$-t
\'ugy de\-fi\-ni\-\'al\-tuk, mint az \"osszes lehets\'eges
kimenetelb\H{o}l \'all\'o halmazt, $\Cal A$-t, mint az $\Omega$
\"osszes lehets\'eges r\'eszhalmaz\'ab\'ol \'all\'o
$\sigma$-algebr\'at, az egyes lehets\'eges kimeneteleket tekintett\"uk
elemi ese\-m\'e\-nyek\-nek, ezek mindegyik\'enek defini\'altuk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, \'es egy $A\in\Cal A$ halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et \'ugy defini\'altuk, mint az \'altala
tartalmazott elemi esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek az
\"ossze\-g\'et. Ez a konstrukci\'os
m\'odszer j\'ol m\H{u}k\"odik, ha a lehets\'eges kimenetelek sz\'ama
v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen, de olyan esetekben,
amikor a lehets\'eges kimenetelek sz\'ama enn\'el is nagyobb,
p\'eld\'aul \'ugynevezett kontinum sz\'a\-mos\-s\'a\-g\'u akkor
\'uj gondolatokra, \'es a m\'ert\'ekelm\'elet bizonyos m\'ely
eredm\'enyeinek felhaszn\'al\'as\'ara van sz\"uks\'eg egy
k\'{\i}v\'ant val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modell
megkonstru\'al\'as\'ahoz. Ez a probl\'ema fel\-me\-r\"ul olyan
term\'eszetes k\'erd\'esekn\'el is, mint p\'eld\'aul, ha egy
szab\'alyos p\'enzdarabot v\'egtelen sok alkalommal feldobunk \'es
a dob\'assorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
t\"or\-v\'eny\-sze\-r\H{u}\-s\'e\-ge\-it k\'{\i}v\'anjuk vizsg\'alni
vagy egy az egys\'egn\'egyzetre v\'eletlen\"ul ledobott pontot
akarunk vizsg\'alni. \medskip\noindent
{\bf Eml\'ekeztet\H{o}:} {\it Egy $X$ halmazt megsz\'aml\'alhat\'oan
v\'egtelen sz\'amoss\'ag\'unak nevez\"unk, ha egyr\'eszt nem v\'eges
sok elemb\H{o}l \'all, m\'asr\'eszt elemei felsorolhat\'oak, azaz
megadhat\'o olyan az $X$ elemeib\H{o}l \'all\'o $\{x_1,x_2,\dots\}$
sorozat, amelyben el\H{o}bb-ut\'obb az $X$ halmaz minden eleme sorra
ker\"ul. Ha ez nem lehets\'eges, akkor azt mondjuk, hogy az $X$
halmaz nem megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen sz\'amoss\'ag\'u.
P\'elda (nem trivi\'alisan) megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen
sz\'aml\'alhat\'o halmazra a racion\'alis sz\'amok halmaza, p\'elda
nem meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o\-an v\'egtelen halmazra a val\'os
sz\'amok halmaza vagy a v\'egtelen hossz\'us\'ag\'u 0--1 sorozatok
halmaza.}
\medskip
Tekints\"uk el\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'at: Egy
szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk {\it v\'egtelen sokszor}\/
egym\'as ut\'an. Alkossuk meg ennek egy lehets\'eges
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mo\-dell\-j\'et, \'es vizsg\'aljuk meg,
k\'epesek vagyunk-e vizsg\'alni az ilyen dob\'assorozatokra
megfogalmazhat\'o term\'eszetes probl\'em\'akat. A term\'eszetes
hozz\'a\'all\'as a k\"ovetkez\H{o}. Legyenek az elemi esem\'enyek
az $\oo=(\cdots, F,\cdots,I,\cdots)$ v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as
sorozatok, \'es legyen az $\Omega$ biztos esem\'eny az \"osszes
ilyen sorozatb\'ol \'all\'o halmaz. Ezek ut\'an ki kell jel\"olni
az $\Omega$ bizonyos r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'at, \'es defini\'alni kell az $A\in\Cal A$
halmazok $P(A)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Hangs\'ulyozni
szeretn\'em, hogy nem vagyunk k\"otelesek az $\Omega$ minden
lehets\'eges r\'eszhalmaz\'at belevenni az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'aba, \'es azoknak a halmazoknak, amelyek
nincsenek benne ebben a $\sigma$-algebr\'aban nem kell
defini\'alnunk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Ezzel a
szabads\'agunkkal \'elni is fogunk.
 
Vegy\"uk \'eszre, hogy minden $\oo$ elemi esem\'enynek nulla a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, tov\'abb\'a egy ,,tipikus''
$\Omega$-beli halmaz kontinum sok $\oo$ elemi esem\'enyb\H{o}l \'all.
Gondoljuk p\'eld\'aul meg, hogy az az esem\'eny, hogy az els\H{o}
dob\'as fej azon v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as sorozatokb\'ol \'all,
amelynek els\H{o} jegye F, ezt pedig tetsz\H{o}leges tov\'abbi
sorrendben k\"ovethetik F \'es I jelek. Az az esem\'eny, hogy az
els\H{o} 20 dob\'asban t\"obb fej-dob\'as t\"ort\'ent, mint
\'{\i}r\'as dob\'as azon v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as sorozatb\'ol
\'all, amelynek els\H{o} 20 jegy\'eben legal\'abb 11 F jel van, \'es
m\'as megk\"ot\'es nincsen. Az el\H{o}bb defini\'alt halmazok
kontinum sok null m\'ert\'ek\H{u} halmazb\'ol \'allnak. Viszont ez
az inform\'aci\'o nem elegend\H{o} egy halmaz (esem\'eny)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek a definic\'oj\'ahoz. Milyen
m\'odszert \'erdemes v\'alasztani? Term\'eszetes gondolat a
k\"ovetkez\H{o}: Vannak bizonyos ,,sz\'ep'' halmazok, amelyeknek
egy szab\'alyos p\'enzdob\'as eset\'en meg tudjuk
mondani a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Abb\'ol, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek $\sigma$-addit\'{\i}v
k\"ovetkezik, hogy tov\'abbi halmazok val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
is egy\'ertelm\H{u}en meg van hat\'arozva. Abban b\'{\i}zhatunk,
hogy ily m\'odon halmazok el\'eg gazdag oszt\'aly\'anak meg van
hat\'arozva a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, \'es e halmazok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et a k\'{\i}v\'ant m\'odon
de\-fi\-ni\-\'al\-va j\'o modellt kapunk. L\'atni fogjuk, hogy ez az
elk\'epzel\'es helyes, \'es bizonyos (m\'ely) m\'ert\'ekelm\'eleti
ismeretek seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o modellt kapunk.
 
Fejts\"uk ki a fent mondottakat r\'eszletesebben: Defini\'aljuk
minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra, \'es $k$ hossz\'us\'ag\'u
$(\cdots,F,\cdots,I,\cdots)$ sorozatra az
$$
\aligned
A_k(\cdots,F,\dots,I,\dots)&=\{\oo\: \oo \text{ olyan v\'egtelen
fej-\'{\i}r\'as sorozat,} \\
&\qquad\text{ amelynek els\H{o} $k$ jegye ez a
$(\dots,F,\dots,I,\dots)$ sorozat}\}
\endaligned \tag$*$
$$
halmazt, \'es legyen $P(A_k(\dots,F,\dots,I,\dots))=2^{-k}$ e halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege. Szem\-l\'e\-le\-te\-sen azt tett\"uk,
hogy tekintett\"uk azokat az esem\'enyeket, amelyek azt \'{\i}rj\'ak
le, hogy mi volt az els\H{o} $k$ dob\'as eredm\'enye, \'es ezek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et \'ugy defini\'altuk ahogy egy
szab\'alyos p\'enzdob\'as eset\'eben azt tenni kell. Term\'eszetes
elv\'ar\'as, hogy az el\H{o}bbi esem\'enyek legyenek benne a
konstru\'aland\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'aj\'aban, \'es ezek
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge legyenek az el\H{o}bb
megadott sz\'amok. A va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}
definici\'oja l\'enyeg\'eben ezen k\"ovetelm\'enyek
teljes\'{\i}t\'es\'eb\H{o}l \'all. A form\'alis definici\'o megad\'asa
\'er\-de\-k\'e\-ben bizony\'{\i}tsuk a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u}
lemm\'at.
\medskip\noindent
{\bf Lemma:} {\it Legyen adva egy $\Omega$ halmaz, \'es $\Omega$
r\'eszhalmazainak valamilyen $\Cal F_0$ rendszere. L\'etezik egy az
$\Cal F_0$ halmazrendszert tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb
$\sigma$-algebra, azaz egy olyan $\Cal F$ $\sigma$-algebra, amelyre
igaz, hogy
\item{a.)} $\Cal F$  tartalmazza az $\Cal F_0$ halmazrendszert, azaz,
ha $F\in\Cal F_0$, akkor $F\in \Cal F$.
\item{b.)} Ha egy $\bar{\Cal F}$ $\sigma$-algebra tartalmazza a $\Cal
F_0$ halmazrendszert, akkor az tartalmazza a $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'at is, azaz, ha $F\in \Cal F$, akkor $F\in \bar{\Cal
F}$.} \medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'at szokt\'ak a
$\Cal F_0$ \'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'anak is
h\'{\i}vni.
\medskip\noindent {\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy
l\'etezik az $\Cal F_0$ halmazrendszert tartalmaz\'o $\sigma$-algebra.
Ilyen p\'eld\'aul, az $\Omega$ \"osszes r\'eszhalmaz\'at tartalmaz\'o
$\sigma$-algebra. Tekints\"uk az $\Cal F_0$ halmazrendszert
tartalmaz\'o \"osszes $\Cal G$ $\sigma$-algebra
$$
\Cal F^*=\bigcap_{\Cal F_0\subset \Cal G} \Cal G
$$
metszet\'et, ahol $\Cal F_0\subset \Cal G$ azt jelenti, hogy a
$\Cal G$ $\sigma$-algebra tartalmazza az $\Cal F_0$ halmazrendszert,
a metszet pedig \'ugy \'ertend\H{o}, hogy $F\in \bigcapp \Cal G$, ha
$F\in \Cal G$ a metszetben szerepl\H{o} mindegyik $\Cal G$
$\sigma$-algebr\'ara. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy $\Cal F^*$
$\sigma$-algebra. Val\'oban, ha $F_n$, $n=1,2,\dots$ halmazokra igaz,
hogy $F_n\in \Cal F^*$, akkor az $F=\bigcapp_{n=1}^\infty F_n$
halmazra szint\'en teljes\"ul, hogy $F\in \Cal F^*$. Ugyanis, ekkor
minden $\Cal G\supset \Cal F_0$ $\sigma$-algebr\'ara, $F_n\in\Cal G$,
teh\'at a $\sigma$-algebra tulajdons\'ag miatt $F\in \Cal G$ az
ilyen $\sigma$-algebr\'akra. Innen k\"ovetkezik, hogy
$F=\bigcapp_{n=1}^\infty F_n\in \Cal F^*$. Hasonl\'oan
$\bigcupp_{n=1}^\infty F_n\in \Cal F^*$, $\Omega\in \Cal
F^*$, \'es $\Omega\setminus F\in \Cal F^*$, ha $F\in \Cal F^*$.
 
Ez\'ert $\Cal F^*$ egy az $\Cal F_0$ halmazrendszert tartalmaz\'o
$\sigma$-algebra. Innen, illetve $\Cal F^*$ definici\'oj\'ab\'ol
viszont k\"ovetkezik, hogy ez az $\Cal F_0$-t tartalmaz\'o
legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebra. \medskip
 
Jelen esetben tekinthetj\"uk az \"osszes $(*)$ alak\'u halmazb\'ol
\'all\'o $\Cal F_0$ halmazrendszert \'es az \'altala gener\'alt
$\sigma$-algebr\'at. Ez lesz a defini\'aland\'o $(\Omega,\Cal A,P)$
rendszerben az $\Cal A$ $\sigma$-algebra. Defini\'alnunk kell m\'eg
a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket is az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'an. Ez lehets\'eges az al\'abb kimondott, de
ebben az el\H{o}ad\'assorozatban nem bizony\'{\i}tand\'o t\'etel
alapj\'an.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Tekints\"uk az \"osszes fej-\'{\i}r\'as
sorozatb\'ol \'all\'o $\Omega$ halmaz  $(*)$ k\'eplet \'altal
defini\'alt $A_k(F,\dots,I,\dots)$ alak\'u halmazokb\'ol \'all\'o
$\Cal F_0$ halmazrendszert, \'es a $\Cal F_0$ halmazrendszer \'altal
gener\'alt $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at. Minden r\"ogz\'{\i}tett
$k$-ra legyen $P(A_k(F,\dots,I,\dots)=2^{-k}$ tetsz\H{o}leges
$k$-hossz\'u fej-\'{\i}r\'as sorozatra. (Azaz ak\'arhogy is adjuk
meg az els\H{o} $k$ dob\'as eredm\'eny\'et, annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez bek\"ovetkezik, legyen $2^{-k}$.)
Ekkor l\'etezik az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an egy olyan
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott $\sigma$-addit\'{\i}v m\'ert\'ek,
amely teljes\'{\i}ti a fenti azonoss\'agokot.}
\medskip
 
A fenti eredm\'eny azt jelenti, hogy l\'etezik a term\'eszetes
elv\'ar\'asokat kiel\'eg\'{\i}t\H{o}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'ert\'ek, s\H{o}t ezek a
felt\'etelek egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozz\'ak a $\Cal A$
$\sigma$-algebra \"osszes esem\'eny\'enek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Ez az egy\'ertelm\H{u}s\'eg is fontos,
ez azt fejezi ki, hogy az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'aban szerepl\H{o}
halmazok va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'ert\'eke \'ertelmes,
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott sz\'am. Megjegyezz\"uk,
hogy ez a nem-trivi\'alis eredm\'eny val\'oj\'aban spe\-ci\-\'a\-lis
esete egy \'altal\'anosabb eredm\'enynek. Ezeket az eredm\'enyeket
itt nem t\'argyaljuk, de az ezen el\H{o}ad\'ashoz \'{\i}rt
Kieg\'esz\'{\i}t\'esben megadom a k\'erd\'esk\"or vizsg\'alat\'ahoz
sz\"uks\'eges legfontosabb eredm\'enyeket. A r\'eszletek pontos
kidolgoz\'asa a m\'er\-t\'ek\-elm\'e\-let tant\'argy t\'em\'aja.
Fazekas Istv\'an k\"onyve a 45. oldalon szint\'en t\'argyalja ezt a
probl\'em\'at, s\H{o}t a k\"onyv 7. fejezete (Appendix) tov\'abbi
\'ert\'ekes inform\'aci\'okat tartalmaz. Jelen szinten el\'egedj\"unk
meg azzal a tal\'an kiss\'e pongyol\'an megfogalmazott
\'all\'{\i}t\'assal, hogy minden term\'eszetes m\'odon felmer\"ul\H{o}
probl\'em\'anak meg lehet adni val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellj\'et.
Ezt a definici\'ot \'ugy lehet megadni, ahogy azt j\'ozan paraszti
\'esszel elv\'arjuk. Neh\'ezs\'eget az okoz, hogy a konstrukci\'ok
helyess\'eg\'enek bizony\'{\i}t\'asa m\'ely m\'ert\'ekelm\'eleti
eredm\'enyek ismeret\'et ig\'enyli.
 
Felmer\"ulhet a k\'erd\'es: Nem okoz-e gondot az, hogy nem minden
lehets\'eges halmaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et defini\'altuk. A
v\'alasz az, hogy nem. Ugyanis minket csak az olyan esem\'enyek
(halmazok) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege \'erdekel, amelyeket explicit
m\'odon meg tudunk adni. Viszont ezek benne vannak az \'altalunk
k\'es\"obbiekben defini\'alt $\sigma$-algebr\'aban.
 
Annak \'erdek\'eben, hogy l\'assuk, a fenti konstrukci\'o j\'ol
m\H{u}k\"odik, l\'assuk be a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} \'all\'{\i}t\'ast.
\medskip\noindent
{\bf \'All\'{\i}t\'as:} {\it Tekints\"uk az el\H{o}bb defini\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, ahol a szab\'alyos p\'enzdarab
v\'egtelen dob\'assorozat\'at defini\'altuk. Adva egy $\oo$ v\'egtelen
fej-\'{\i}r\'as dob\'assorozat, jel\"olje $k(n,\oo)$ az $\oo$ sorozat
els\H{o} $n$ jel\'eben szerepl\H{o} $F$ bet\H{u}k sz\'am\'at.
L\'assuk be, hogy az az $A$ halmaz, amelyet \'ugy defini\'alunk, hogy
$$
A=\left\{\oo: \text{L\'etezik a } \lim_{n\to\infty}\frac{k(n,\oo)}n
\text{ hat\'ar\'ert\'ek.}\right\}
$$
teljes\'{\i}ti az $A\in \Cal A$ tulajdons\'agot. M\'as szavakkal: Az
az esem\'eny, hogy a fejdob\'asok relat\'{\i}v gyakoris\'ag\'anak van
hat\'ar\'ert\'eke azon esem\'enyek k\"oz\'e tartozik, amelyeknek
de\-fi\-ni\-\'al\-tuk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et.} \medskip
\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as}\/ Az, hogy a $\dfrac{k(n,\oo)}n$ sorozat,
$n=1,2,\dots$ valamely $\oo$-ra konverg\'al, ekvivalens azzal, hogy
a $\dfrac{k(n,\oo)}n$ sorozat, $n=1,2,\dots$,  Cauchy sorozat, ami
azt jelenti, hogy minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$n_0=n_0(\e,\oo)$ k\"usz\"obindex, hogy $n\ge n_0$ \'es
$\bar n\ge n_0$ eset\'en $\left|\dfrac{k(n,\oo)}n-\dfrac{k(\bar
n,\oo)}{\bar n} \right|<\e$. Ez ekvivalens azzal, hogy minden $k$
pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amhoz l\'etezik olyan $n_0=n_0(k,\oo)$
k\"usz\"obindex, hogy $n\ge n_0$ \'es $\bar n\ge n_0$ eset\'en
$\left|\dfrac{k(n,\oo)}n-\dfrac{k(\bar n,\oo)}{\bar
n}\right|<\dfrac1k$.
 
Az, hogy ez az ut\'obbi \'all\'{\i}t\'as teljes\"ul valamilyen $k$
\'es $n_0$ sz\'amra, ekvivalens azzal, hogy $\oo\in A_{k,n_0}$, ahol
$$ \allowdisplaybreaks
\align
A_{k,n_0}&=\left\{\oo\:
\left|\dfrac{k(n,\oo)}n-\dfrac{k(\bar n,\oo)}{\bar
n}\right|<\dfrac1k\quad \text{ha } n\ge n_0,\; \bar n\ge n_0\right\} \\
&=\bigcap_{n=n_0}^\infty\bigcapp_{\bar n=n_0}^\infty
\left\{\oo\:\left|\dfrac{k(n,\oo)}n-\dfrac{k(
\bar n,\oo)}{\bar n}\right|<\dfrac1k \right\}.
\endalign
$$
Akkor l\'etezik olyan $n_0=n_0(k,\oo)$ k\"usz\"obindex, amelyre
teljes\"ul a $\left|\dfrac{k(n,\oo)}n-\dfrac{k(\bar n,\oo)}
{\bar n}\right|<\dfrac1k$ rel\'aci\'o minden $n\ge n_0$ \'es
$\bar n\ge n_0$ sz\'am eset\'en, ha
$$
\oo\in A_k=\bigcupp_{m=1}^\infty A_{k,m}.
$$
Akkkor Cauchy sorozat a $\dfrac{k(n,\oo)}n$ sz\'amsorozat, ha
$$
\oo\in A=\bigcapp_{k=1}^\infty A_k.
$$
Vegy\"uk \'eszre, hogy az
$\left\{\oo\:\left|\dfrac{k(n,\oo)}n-\dfrac{k(\bar n,\oo)}{\bar
n}\right|<\dfrac1k \right\}$ halmaz minden el\H{o}\'{\i}rt $(n,\bar
n)$ sz\'am\-p\'ar\-ra eleme az $\Cal A$ $\sigma$-algeb\'anak, mert
megmondhat\'o, hogy mely $\max (n,\bar n)$ fej \'es \'{\i}r\'asjellel
kezd\H{o}d\H{o} sorozatok tartoznak ehhez a halmazhoz, \'es melyek nem.
Innen \'es a $\sigma$-algebra definici\'oj\'ab\'ol viszont az is
k\"ovetkezik, hogy az halmazok seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt
$A_{k,n_0}$, $A_k$ halmazok minden $k$, $n_0$ indexre, valamint az $A$
halmaz eleme az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'anak. Viszont az $A\in \Cal
A$ \'all\'{\i}t\'as az, amit bizony\'{\i}tanunk kelllett. \medskip
\noindent
{\it Egy m\'asik vizsg\'alt probl\'ema, amelynek megold\'asa
nem-trivi\'alis anal\'{\i}zisbeli eredm\'enyek felhaszn\'al\'as\'at
ig\'enyli:}
\medskip
Ledobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul egy $x$ \'es egy $y$ pontot
egyenletesen a $[0,1]$ intervallumba, azaz mind az $x$ mind az $y$
pont $|b-a|$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik egy $[a,b]\subset
[0,1]$ intervallumba. Az $(x,y)$ sz\'amp\'ar kijel\"ol egy v\'eletlen
pontot az egys\'egn\'egyzeten. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy ez a pont beleesik az egys\'egn\'egyzet valamely $A$ halmaz\'aba?
 
Azt v\'arjuk, hogy ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg megegyezik a halmaz
\'es az egys\'egn\'egyzet metszet\'enek a ter\"ulet\'evel. Ez az
elk\'epzel\'es l\'enyeg\'eben helyes, de term\'eszetesen csak azzal a
megszor\'{\i}t\'assal, hogy az \'all\'{\i}t\'as olyan halmazokra igaz,
amelyeknek van ter\"ulet\"uk. Sze\-ret\-n\'enk megfogalmazni az
anal\'{\i}zisnek azokat az eredm\'enyeit, amelyek lehet\H{o}v\'e teszik
a sz\"uks\'eges val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modell le\'{\i}r\'as\'at.
Ez\'ert felid\'ezz\"uk az anal\'{\i}zisben szerepl\H{o}
Borel $\sigma$-algebra \'es Lebesgue m\'ert\'ek fogalm\'at.
 
Tekints\"uk az egys\'egn\'egyzet $[a,b]\times [c,d]$ alak\'u
r\'eszhalmazait, (amelyek t\'eglalapok), \'es defini\'aljuk ezek
ter\"ulet\'et (Lebesgue m\'ert\'ek\'et) mint $(b-a)(d-c)$. Tekints\"uk
azt a legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebr\'at, amely tartalmazza az
\"osszes ilyen alak\'u halmazt. Az \"osszes ilyen halmazb\'ol \'all\'o
rendszert h\'{\i}vj\'ak Borel f\'ele $\sigma$-algebr\'anak az
egys\'egn\'egyzeten. Az anal\'{\i}zis egy fontos eredm\'enye szerint
a fenti t\'eglalapokon defini\'alt ter\"uletet ki lehet terjeszteni a
Borel f\'ele $\sigma$-algebr\'ara mint egy $\sigma$-addit\'{\i}v
hal\-maz\-f\"ugg\-v\'enyt, \'es ez a kiterjeszt\'es egy\'ertelm\H{u}.
Ezt a hal\-maz\-f\"ugg\-v\'enyt h\'{\i}vj\'ak az irodalomban Lebesgue
m\'ert\'eknek.
 
Ezen eredm\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alni tudunk egy
sz\'amunkra k\'{\i}v\'anatos va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
modellt. Legyenek az $\oo$ ele\-mi esem\'enyek az egys\'egn\'egyzet
pontjai, $\Omega$, a biztos esem\'eny, a $[0,1]\times [0,1]$
egys\'egn\'egyzet. Legyen $\Cal A$ a Borel f\'ele $\sigma$-algebr\'anak
az egys\'egn\'egyzeten, a $P$ m\'ert\'ek pedig a Lebesgue
m\'ert\'ek ezen a $\sigma$-algebr\'an. Mutatunk k\'et p\'eld\'at arra,
hogy ennek a modellnek a meg\'ert\'ese nagy seg\'{\i}ts\'eget jelenthet
bizonyos feladatok meg\-ol\-d\'a\-s\'a\-ban.
 
\item{} Els\H{o} feladat: K\'et ember 8 \'es 9 \'ora k\"oz\"ott
megjelenik egy t\'eren egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'es egyenletes
eloszl\'asal. Mind a kett\H{o} f\'el\'or\'at v\'ar a m\'asikra, \'es
ha az addig nem j\"on, akkor hazamegy. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
annak, hogy tal\'alkoznak?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk az
egys\'egn\'egyzetet, \'es v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az
egys\'egn\'egyzeten, amelynek $x$ koordin\'at\'aja megadja, hogy az
els\H{o} ember az $y$ koordin\'at\'aja pedig megadja, hogy a m\'asodik
ember ember mikor \'erkezett. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont
egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten, azaz annak
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy ez a pont az
egys\'egn\'egyzet egy (sz\'ep) r\'eszhalmaz\'aba esik meg\-egye\-zik e
halmaz ter\"ulet\'evel. Az, hogy a k\'et ember tal\'alkozik azt az
esem\'enyt jelenti, hogy az \'{\i}gy defini\'alt $(x,y)$ pont az
egys\'egn\'egyzet
$$
A=\left\{(x,y)\:-\frac12\le y-x\le \frac12\right\}\cap[0,1]\times
[0,1]
$$
r\'eszhalmaz\'aba esik. Ennek a halmaznak a ter\"ulete
$1-2\cdot\dfrac18=\dfrac34$, \'es ez a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg.
\item{} M\'asodik feladat: K\'et egy m\'eter hossz\'u botot
v\'eletlenszer\H{u}en, (egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-le\-n\"ul)
egyenletes eloszl\'assal elt\"or\"unk. A k\'et r\"ovidebb darabot
\"osszeragasztjuk. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge,
hogy az \'{\i}gy kapott \'uj bot hossza kisebb mint $0.8$ m\'eter?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Ez a feladat is hasonl\'o
m\'odon t\'argyalhat\'o. Tekints\"uk az egy\-s\'eg\-n\'egy\-ze\-tet,
\'es v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az egys\'egn\'egyzeten,
amelynek $x$ koordin\'at\'aja megadja, hogy  hol t\"ort\"uk el az
els\H{o} botot az $y$ koordin\'at\'aja pedig azt, hogy hol t\"ort\"uk
el a m\'asodik botot. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont egyenletes
eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten. Az az esem\'eny, hogy az
\"osszeragasztott bot hossza kisebb mint $0.8$ megegyezik annak az
esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az $(x,y)$ pont
a k\"ovetkez\H{o} $A_1$, $A_2$, $A_3$ \'es  $A_4$ halmazok
$A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4$ uni\'oj\'aba esik:
$A_1=\{(x,y)\: x+y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$,
$A_2=\{(x,y)\: x+(1-y)<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$,
$A_3=\{(x,y)\: 1-x+y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$ \'es
$A_4=\{(x,y)\: 1-x+1-y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$. Rajzoljuk le
ezeket a halmazokat. Az \'abra mutatja, hogy az $A_1\cup A_2\cup
A_3\cup A_4$ halmaz komplementere az a n\'egyzet amelynek cs\'ucsai a
$(0.3,\,0.5)$, $(0.5,\,0,3)$, $(0.7,\,0.5)$, \'es $(0.5,\,0.7)$
pontok. Ennek a n\'egyzetnek a ter\"ulete, $0.08$ teh\'at a minket
\'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $1-0.08=0.92$.
\medskip
K\'es\H{o}bb tanulni fogunk olyan m\'odszereket, amelyek
lehet\H{o}v\'e teszik e k\'et feladat megold\'as\'at m\'as m\'odon.
Akkor majd vissza fogunk t\'erni ezekhez a feladatokhoz.
\medskip
 
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg definici\'oj\'aban feltett\"uk, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek nemcsak addit\'{\i}v, hanem
$\sigma$-addit\'{\i}v is. Ez k\'enyelmesebb\'e teszi a
sz\'amol\'asokat, \'es ezenk\'{\i}v\"ul ez tette lehet\H{o}v\'e a
v\'egtelen dob\'assorozatot defini\'al\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek illetve a pontledob\'ast le\'{\i}r\'o Lebesgue m\'ert\'ek
{\it egy\'ertelm\H{u}}\/ definici\'oj\'at. \'Erdemes meg\'erteni a
$\sigma$-addit\'{\i}v \'es addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyek
k\"oz\"otti kapcsolatot. A Fazekas k\"onyv 23. oldal\'an tal\'alhat\'o
egy \'all\'{\i}t\'as (2.5 \'All\'{\i}t\'as) arr\'ol, hogy a
$\sigma$-additivit\'as az  ekvivalens azzal, hogy az
additiv\'{\i}t\'ason k\'{\i}v\"ul m\'eg egy m\'ert\'ek
folytonoss\'ag\'anak nevezett tulajdons\'ag is teljes\"ul.
Ezt az \'all\'{\i}t\'ast al\'abb megfogalmazom az al\'abbi T\'etel~A
eredm\'eny\'eben, \'es annak (egyszer\H{u}) bizony\'{\i}t\'as\'at
megadom a Kieg\'esz\'{\i}t\'esben. \medskip\noindent
{\bf T\'etel A.} {\it Legyen adva egy $\Omega$ halmaz, annak
bizonyos r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\Cal A$ $\sigma$-algebra,
\'es azon egy v\'eges, $P$ add\'{\i}tiv nem-negat\'{\i}v
halmazf\"uggv\'eny, azaz feltessz\"uk, hogy $0<P(\Omega)<\infty$,
\'es $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$, ha $A$ \'es $B$ diszjunkt halmazok. A
$P$ halmazf\"uggv\'eny akkor \'es csak akkor $\sigma$-addit\'{\i}v a
$\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an, ha teljes\'{\i}ti az al\'abbi a
m\'ert\'ek folytonoss\'ag\'anak nevezett tulajdons\'agot:
 
Ha $A_n\in\Cal A$, $n=1,2,\dots$ az $\Cal A$ $\sigma$-algebra
olyan elemei, amelyekre
$$
\cdots \subset A_n\subset A_{n-1}\subset\cdots\subset A_1,\quad
\text{\'es}\quad \bigcapp_{n=1}^\infty A_n=\emptyset,
$$
akkor $\limm_{n\to\infty} P(A_n)=0$.
 
A fenti \'all\'{\i}t\'as akkor is \'erv\'enyes, ha az $\Cal A$
algebra, de nem felt\'etelen\"ul $\sigma$-algebra. Ez esetben a
$\sigma$-addit\'{\i}vit\'as \'ugy \'ertend\H{o}, hogy amennyiben az
$A_n$, $n=1,2,\dots$, halmazok diszjunktak, $A_n\in \Cal A$ minden
$n=1,2,\dots$ indexre, \'es ezenk\'{\i}v\"ul az
$A=\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\in \Cal A$ felt\'etel is teljes\"ul,
akkor $P(A)=\summ_{n=1}^\infty P(A_n)$.
 
Ha $P$ v\'eges, $\sigma$-addit\'{\i}v nem-negat\'{\i}v
halmazf\"uggv\'eny egy algebr\'an, akkor teljes\'{\i}ti a fent
megfogalmazott folytonoss\'agi tulajdons\'ag k\"ovetkez\H{o}
er\H{o}sebb v\'altozat\'at is. Legyen $B_n\in \Cal A$,
$n=0,1,2,\dots$, az $\Cal A$ algebra olyan monoton cs\"okken\H{o}
halmazsorozata, melyre
$$
\cdots \subset B_n\subset B_{n-1}\subset\cdots\subset B_1,\quad
\text{\'es}\quad \bigcapp_{n=1}^\infty B_n=B_0\in \Cal A,
$$
$C_n\in \Cal A$, $n=0,1,2,\dots$, az $\Cal A$ algebra olyan
monoton n\"ovekv\H{o} halmazsorozata, melyre
$$
\cdots \subset C_n\subset C_{n+1}\subset\cdots\quad
 \text{\'es}\quad \bigcupp_{n=1}^\infty C_n=C_0\in\Cal A.
$$
Ekkor $\limm_{n\to\infty}P(B_n)=P(B_0)$, \'es
$\limm_{n\to\infty}P(C_n)=P(C_0)$.}
\medskip
 
Vil\'agos, hogy legal\'abbis form\'alisan a $\sigma$-additit\'as
er\H{o}sebb k\"ovetelm\'eny mint csak az additivit\'as. De tudunk-e
p\'eld\'at adni egy $\sigma$-algebr\'an addit\'{\i}v, de nem
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyre? Elk\'epzelhet\H{o}-e, hogy
a $\sigma$-additiv\'{\i}t\'as el\H{o}\'{\i}r\'asa miatt bizonyos
\'erdekes feladatokra nem tudunk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt
adni?
 
Ezekre a k\'erd\'esekre megnyugtat\'o v\'alaszt tudunk adni.
L\'eteznek $\sigma$-algebr\'an addit\'{\i}v, de nem
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyek. Ezeket viszont mindig
csak nem konstrukt\'{\i}v m\'odon (kiv\'alaszt\'asi axi\'oma vagy egy
vele ekvivalens \'all\'{\i}t\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet megadni.)
Teh\'at konkr\'et, j\'ol megfogalmazhat\'o feladatokban nem jelenik
meg az a probl\'ema, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget megad\'o
term\'eszetes jel\"olt addit\'{\i}v, de nem $\sigma$-addit\'{\i}v.
 
V\'eg\"ul a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellek konstrukci\'oja
kapcs\'an m\'eg egy megjegyz\'es. A megadott konstrukci\'ok j\'o
konstrukci\'ok, de nem az egyed\"ul j\'o konstrukci\'ok. P\'eld\'aul
egy szab\'alyos p\'enzdarab 10 egym\'as ut\'ani feldaob\'as\'ara az
is lehet modell, hogy a p\'enzdarabot, 20 alkalommal dobjuk fel, de
az utols\'o t\'{\i}z dob\'as eredm\'eny\'et nem vessz\"uk figyelembe.
Jegyezz\"uk meg azt is, hogy a vizsg\'alt feladatokban a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek ki\-sz\'a\-mo\-l\'a\-s\'a\-ban nem
j\'atszott szerepet, hogy  a k\'{\i}v\'ant feladatnak milyen (a
feladat felt\'eteleit kiel\'eg\'{\i}t\H{o}) modellj\'et tekintj\"uk.
 
Gondoljuk meg p\'eld\'aul, milyen \'ervel\'essel bizony\'{\i}tottuk
be az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'ason azt, hoty az urnamodellben
visszatev\'eses h\'uz\'as eset\'en annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az els\H{o} illetve \"ot\"odik h\'uz\'askor kih\'uzott goly\'o
sz\'{\i}ne piros megegyezik. Tekintett\"uk az \"osszes lehets\'eges
h\'u\-z\'as\-so\-ro\-za\-tot, kisz\'amoltuk ezek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit, \'es ilyen esem\'enyek
\"ossze\-ge\-k\'ent sz\'amoltuk ki a vizsg\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Abban a modellben, amelyet
mint a Kol\-mo\-go\-rov-f\'e\-le elm\'elet modellj\'et
megkonstru\'altunk ebben a feladatban, ezek a
h\'u\-z\'as\-so\-ro\-za\-tok voltak az elemi esem\'enyek.
Val\'oj\'aban a bizony\'{\i}t\'as sor\'an csak azt haszn\'altuk ki,
hogy ezek esem\'enyek (nem kell, hogy felt\'etlen\"ul tov\'abb nem
bonthat\'o elemi esem\'enyek legyenek). Ez azt jelenti, hogy a
visszatev\'eses urnamodell tetsz\H{o}leges modellj\'eben az \'altalunk
ismertetett indokl\'as v\'egrehajthat\'o.
 
 
\beginsection Felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
 
Annak \'erdek\'eben, hogy meg\'erts\"uk, milyen fogalmat prob\'alunk
pontosan megfogalmazni tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'at. Egy
szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk 10 alkalommmal. V\'alaszoljuk
meg a k\"ovetkez\H{o} k\'et k\'erd\'est:
\item {a.)} Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy pontosan 6
fejdob\'as t\"ort\'enik?
\item {b.)} Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy pontosan 6
fejdob\'as t\"ort\'enik, ha tudjuk, hogy az els\H{o} p\'enzdob\'as
eredm\'enye fej? \medskip
Az a.) k\'erd\'esre a v\'alasz az, hogy $\dbinom{10}6 2^{-10}$,
mert $\dbinom{10}6$ egym\'ast kiz\'ar\'o esem\'enyt kell figyelembe
venni, \'es ezek mindegyik\'enek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$2^{-10}$. A b.) k\'erd\'esre a v\'alasz az, hogy $\dbinom{9}5 2^{-9}$,
mert $\dbinom95$ egym\'ast kiz\'ar\'o esem\'enyt kell figyelembe venni,
\'es ezek mindegyik\'enek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $2^{-9}$.
Teh\'at, ha van valamilyen plusz inform\'aci\'onk, akkor az
befoly\'asolhatja \'ert\'ekel\'es\"unket arr\'ol, hogy mi egy
adott esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege. A felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg foglama ezt az elk\'epzel\'est \"onti
form\'aba. A form\'alis definici\'o a k\"ovetkez\H{o}:
\medskip\noindent
{\bf Felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg definici\'oja.} {\it Adva
egy $B$ esem\'eny egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, amelyre $P(B)>0$, egy ugyanezen a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n l\'ev\H{o} $A$  esem\'eny felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege felt\'eve a $B$ esem\'enyt (azaz a $B$
esem\'eny bek\"ovetkez\'es\'et)
$$
P(A|B)=\frac {P(A\cap B)}{P(B)}.
$$
}\medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Csak pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
$B$ esem\'enyek, azaz $P(B)>0$ eset\'en defini\'aljuk a  $P(A|B)$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget. \medskip
 
E definici\'o szeml\'eletes tartalma a k\"ovetkez\H{o}. Ha a $B$
esem\'eny bek\"ovetkezik, akkor minden a $B$ esem\'enyt kiz\'ar\'o
esem\'eny felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, (felt\'eve a $B$
esem\'enyt) nulla, tov\'abb\'a tetsz\H{o}leges $A$ esem\'eny
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege megegyezik az $A\cap B$
esem\'eny felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel. Term\'eszetes
feltenni, hogy az $A\cap B$ esem\'eny $P(A\cap B|B)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege ar\'anyos ezen esem\'eny $P(A\cap B)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel. Mivel $P(B|B)=1$, ez sugallja a fenti
definic\'ot.
 
A felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre \'erv\'enyes n\'eh\'any
egyszer\H{u}, de gyakorlati al\-kal\-ma\-z\'a\-sok\-ban fontos
\"osszef\"ugg\'es. Ezek ismertet\'ese a k\"ovetkez\H{o} el\H{o}ad\'as
t\'em\'aja lesz. Megjegyzem, hogy ezek a formul\'ak nagyon
egyszer\H{u}ek, \'es azt javaslom, hogy a form\'alis k\'epletek
helyett ink\'abb azokat az elveket tanulja meg, amelyekb\H{o}l azok
egyszer\H{u}en, kev\'es munk\'aval k\"ovetkeznek. A mostani
el\H{o}ad\'ason, mintegy bevezet\'esk\'ent megoldjuk a
k\"ovetkez\H{o} feladatot:
\medskip
\item{} {\it Feladat:}\/ Reggel valaki hazulr\'ol elmenve a
lak\'askulcsot elteszi, m\'egpedig \'ugy, hogy 0.5
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel teszi a
kab\'atzseb\'ebe, 0.3 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a nadr\'agzseb\'ebe
\'es 0.2 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a mell\'enyzseb\'ebe.
A nap folyam\'an mindenfel\'e j\'ar, ez\'ert a lak\'askulcs a
kab\'atzseb\'eb\H{o}l 0.1, a nadr\'agzseb\'eb\H{o}l 0.2, a
mell\'enyzseb\'eb\H{o}l viszont 0
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik ki. Este hazat\'erve
ember\"unk  el\H{o}sz\"or a kab\'at majd a nad\-r\'ag\-zse\-b\'e\-ben
keresi a kulcsot, de egyik helyen sem tal\'alja. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a lak\'askulcs
ott van a mell\'enyzseb\'eben?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy
ember\"unk a lak\'askulcsot a kab\'at $A_2$, hogy a nadr\'ag \'es
$A_3$, hogy a mell\'enyzseb\'ebe tette. Jel\"olje tov\'abb\'a $B$ azt
az esem\'enyt, hogy a kulcs nem veszett el. Ekkor felt\'eteleink
szerint az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek egym\'ast kiz\'ar\'oak,
$P(A_1)=0.5$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.2$ tov\'abb\'a $P(B|A_1)=0.9$,
$P(B|A_2)=0.8$ \'es $P(B|A_3)=1$. Vezess\"uk be a
$C=(\bar B\cap A_1)\cup (\bar B\cap A_2)\cup A_3$ esem\'enyt. Ekkor
$C$ jelenti azt az esem\'enyt, hogy ember\"unk este nem tal\'alta a
lak\'askulcsot sem a kab\'at sem a nadr\'agzseb\'eben. Ez\'ert
minket a $P(B|C)=\dfrac{P(B\cap C)}{P(C)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Viszont $P(C)=P(A_1\cap \bar
B)+P(A_2\cap \bar B)+P(A_3)=P(\bar B|A_1)P(A_1)+P(\bar
B|A_2)P(A_2)+P(A_3)=0.1\cdot 0.5+0.2\cdot 0.3+0.2=0.31$, \'es
$P(B\cap C)=P(B\cap A_3)=P(A_3)=0.2$. Innen a minket \'erdekl\H{o}
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke
$\dfrac{0.2}{0.31}=\dfrac{20}{31}$.
\bigskip
\centerline{\bf Kieg\'esz\'{\i}t\'es:}
\medskip\noindent
{\it A T\'etel A bizony\'{\i}t\'asa.}\/ L\'assuk el\H{o}sz\"or be,
hogy amennyiben a $P$ v\'eges ]\'ert\'ek\H{u} halmazf\"uggv\'eny
nem\-csak addit\'{\i}v, hanem $\sigma$-addit\'{\i}v is, akkor
teljes\'{\i}ti a folytonoss\'agi tulajdons\'agot: Le\-gye\-nek
$A_n\in\Cal A$, $n=1,2,\dots$, az $\Cal A$ $\sigma$-algebra (vagy
algebra) olyan elemei, amelyekre $\cdots \subset A_n\subset
A_{n-1}\subset\cdots\subset A_1$, \'es $\bigcapp_{n=1}^\infty
A_n=\emptyset$. Defini\'aljuk a (diszjunkt) $B_n=A_n\setminus A_{n+1}$,
halmazokat. Ekkor $A_n=\bigcupp_{k=n}^\infty B_k$, $n=1,2,\dots$,
ez\'ert a $P$ halmazf\"uggv\'eny $\sigma$-addit\'{\i}vit\'asa
alapj\'an $P(A_n)=\summ_{k=n}^\infty P(B_k)$. Speci\'alisan,
$P(A_1)=\summ_{k=1}^\infty P(B_k)<\infty$. Ez\'ert minden $\e>0$
sz\'amhoz l\'etezik olyan $n_0=n_0(\e)$ k\"usz\"obindex, amelyre
teljes\"ul, hogy $P(A_n)=\summ_{k=n}^\infty P(B_k)<\e$, ha
$n\ge n_0$, \'es ezt kellett bel\'atni.
 
Ha a $P$ halmazf\"uggv\'eny addit\'{\i}v, \'es teljes\'{\i}ti a
folytonoss\'agi felt\'etelt, akkor tekints\"uk $A_n\in \Cal A$,
$n=1,2,\dots$ diszjunkt halmazok tetsz\H{o}leges rendszer\'et,
legyen $B_n=\bigcupp_{k=n}^\infty A_k$, $n=1,2,\dots$. (Jegyezz\"uk
meg, hogy akkor is tudjuk, hogy $B_n\in \Cal A$, ha $\Cal A$ algebra,
de nem felt\'etlen\"ul $\sigma$-algebra. Ugyanis feltett\"uk, hogy
$B_1\in\Cal A$, ez\'ert $B_n=B_1\setminus\(\bigcupp_{k=1}^{n-1}A_k\)
\in \Cal A$ minden $n=1,2,\dots$ indexre.) Ekkor $\cdots \subset
B_n\subset B_{n-1}\subset\cdots\subset B_1$, \'es
$\bigcapp_{n=1}^\infty B_n=\emptyset$, ez\'ert a $P$
halmazf\"uggv\'eny folytonoss\'agi tulajdons\'aga miatt
$\limm_{n\to\infty}P(B_n)=0$. Ez\'ert tetsz\H{o}leges $N$
pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra
$$
P\(\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\)=P\(\bigcupp_{n=1}^{N-1} A_n\)+P(B_N)
=\summ_{n=1}^{N-1} P(A_n)+P(B_N).
$$
Mivel $\limm_{N\to\infty}P(B_N)=0$, innen $N\to\infty$
hat\'ar\'atmenettel megkapjuk a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'ast.
 
Tekints\"uk ezut\'an azt az esetet, ha $P$ v\'eges
$\sigma$-addit\'{\i}v, \'es ez\'ert folytonos hal\-maz\-f\"ugg\-v\'eny.
Legyen $B_n\in\Cal A$, $n=1,2,\dots$, az $\Cal A$ algebra monoton
cs\"okken\H{o} halmazsorozata, amelyre $\bigcapp_{n=1}^\infty
B_n=B_0\in \Cal A$. Ekkor $A_n=B_n\setminus B_0$ v\'alaszt\'assal
azt \'{\i}rhatjuk, hogy $\bigcapp_{n=1}^\infty A_n=\emptyset$, \'es
$\limm_{n\to\infty}P(B_n)=\limm_{n\to\infty}P(A_n)+P(B_0)=P(B_0)$.
Legyen $C_n\in\Cal A$, $n=1,2,\dots$, az $\Cal A$ algebra monoton
n\"ovekv\H{o} halmazsorozata, $C_0=\bigcupp_{n=1}^\infty C_n$. Ekkor
az $A_n=C_0\setminus C_n$ v\'alaszt\'assal azt \'{\i}rhatjuk, hogy
$\bigcapp_{n=1}^\infty A_n=\emptyset$, \'es
$\limm_{n\to\infty}P(C_n)=P(C_0)-\limm_{n\to\infty}P(A_n)=P(C_0)$,
\'es ezeket az \'all\'{\i}t\'asokat kellett bizony\'{\i}tani.
 
\medskip
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellekben szerepl\H{o} $P$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek
$\sigma$-addit\'{\i}vit\'as\'anak igazol\'as\'aban alapvet\H{o}
szerepet j\'atszik a m\'ert\'ekelm\'elet al\'abbi, itt nem
bizony\'{\i}tand\'o nagyon fontos eredm\'enye: \medskip\noindent
{\bf Carath\'eodory t\'etele m\'ert\'ekek egy\'ertelm\H{u}
kiterjeszt\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen adva egy nem-negat\'{\i}v
v\'eges $\mu$ m\'ert\'ek (azaz $\sigma$-addit\'{\i}v
halmazf\"uggv\'eny) egy $\Omega$ halmaz b\'{\i}zonyos
r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\Cal A_0$ algebr\'an. Ekkor a $\mu$
m\'ert\'ek egy\'ertelm\H{u}en kiterjeszthet\H{o} az $\Cal A_0$
\'altal gener\'alt $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'ara.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Fontos, hogy ez az eredm\'eny nemcsak a
m\'ert\'ek kiterjeszthet\H{o}s\'eg\'et \'all\'{\i}tja, hanem annak
egy\'ertelm\H{u}s\'eg\'et is. Ez azt jelenti, hogy a gener\'alt
$\sigma$-algebr\'aban szerepl\H{o} halmazok m\'ert\'ek\'et
(a minket \'erdekl\H{o} alkalmaz\'asok eset\'eben
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et) egy\-\'er\-tel\-m\H{u}en
tudjuk defini\'alni. \medskip
A fenti eredm\'eny \"onmag\'aban nem elegend\H{o} az el\H{o}ad\'asban
tekintett szab\'alyos p\'enz\-da\-rab v\'egtelen dob\'assorozatokat
le\'{\i}r\'o modell helyess\'eg\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'ahoz. Meg
kell ugyanis el\H{o}sz\"or adni azt az $\Cal A_0$ algebr\'at \'es
rajta azt a $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyt, amelyre a
t\'etelt alkalmazhatjuk.
 
Jelen p\'eld\'aban term\'eszetes m\'odon defini\'alhatjuk azt az
$\Cal A_0$ algebr\'at \'es a rajta \'ertelmezett $P$ m\'ert\'eket,
amelyre a Carath\'eodory t\'etelt alkalmazni k\'{\i}v\'anjuk.
Nevezetesen, \'alljon $\Cal A_0$ az \"osszes lehets\'eges v\'egtelen
fej-\'{\i}r\'ast tartalmaz\'o $\Omega$ halmaz azon
r\'esz\-hal\-ma\-zai\-b\'ol, amelyek csak v\'eges sok
koordin\'at\'at\'ol f\"uggnek, azaz egy $A$ halmaz akkor \'es csak
akkor tartozik a $\Cal A_0$ algebr\'ahoz, ha l\'etezik egy $k$
pozit\'{\i}v eg\'esz  sz\'am \'es $k$-hossz\'us\'ag\'u
fej-\'{\i}r\'as sorozatoknak egy $B$ halmaza, amelyre igaz, hogy egy
v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as sorozat akkor \'es csak akkor tartozik az
$A$ halmazba, ha az els\H{o} $k$ tagj\'ab\'ol \'all\'o $k$
hossz\'us\'eg\'u fej-\'{\i}r\'as sorozat a $B$ halmazhoz tartozik.
(Az ilyen tipus\'u halmazokat h\'{\i}vj\'ak az irodalomban
henger-halmazoknak.) Tov\'abb\'a, legyen egy ilyen $A$ halmaz $P$
m\'ert\'eke a $B$ halmaz m\'ert\'eke szorozva a $2^{-k}$ sz\'ammal.
 
Nem neh\'ez bel\'atni, hogy ilyen m\'odon egy $\Cal A_0$ algebr\'at
defini\'altunk, \'es azon egy $P$ nem-negat\'{\i}v egyre norm\'alt
addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'enyt. Viszont kor\'antsem
ny\'{\i}lv\'anval\'o, hogy a $P$ add\'{\i}tiv
halmazf\"uggv\'eny egyben $\sigma$-addit\'{\i}v is. Ez ut\'obbi
\'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'ahoz \'erdemes felhaszn\'alni a
T\'etel~A eredm\'eny\'et, amely szerint a $P$ halmazf\"uggv\'eny
$\sigma$-addi\-t\'{\i}\-vi\-t\'a\-s\'a\-nak bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
el\'eg bel\'atni, hogy az teljes\'{\i}ti a T\'etel~A-ban megfogalmazott
folytonoss\'agi tulajdons\'agot. Ez ut\'obbi \'all\'{\i}t\'ast az\'ert
viszonylag k\"onny\H{u} ellen\H{o}rizni, mert mint az elemien (b\'ar
nem teljesen trivi\'alisan) megmutathat\'o, ha a fent-defini\'alt
hengerhalmazok egy egym\'asba skatuly\'azott sorozat\'anak a
metszete \"ures, akkor megadhat\'o e hengerhalmazok k\"oz\"ott
v\'eges sok is \'ugy, hogy ezek metszete \"ures.
 
\'Erdemes megjegyezni, hogy ha hasonl\'o eredm\'enyeket akarunk
bel\'atni \'altal\'anosabb modellekben, akkor a fent v\'azolt m\'odszer
adapt\'alhat\'o, de az \'ervel\'es az anal\'{\i}zis n\'eh\'any m\'ely
,,absztrakt" eredm\'eny\'et is felhaszn\'alja. \'{\i}gy
p\'eld\'aul nagyon hasznos az ilyen \'ervel\'esekben a topol\'ogia
egyik alapvet\H{o}, m\'ely eredm\'enye, a Tyihonov t\'etel. Ez az
eredm\'eny azt \'all\'{\i}tja, hogy kompakt topol\'ogikus terek
direkt szorzata is kompakt topo\-l\'o\-gi\-kus t\'er. V\'eg\"ul az
utols\'onak eml\'{\i}tett eredm\'eny is egy \'altal\'anosabb
topol\'ogiai ered\-m\'eny\-nek a speci\'alis esete. E szerint az
eredm\'eny szerint, ha egym\'asba skatuly\'azott kompakt halmazok
metszete \"ures, akkor megadhat\'o ezen kompakt halmazok v\'eges sok
tagja is \'ugy, hogy azok metszete \"ures.
 
 
 \bye
