\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\font\script =cmcsc10
\parskip=3pt plus 1.5pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat tizennegyedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2003. m\'ajus 13.}
 
\beginsection A t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.
 
 R\'eszben felid\'ezz\"uk a m\'ult el\H{o}ad\'as bizonyos fogalmait
 \'es eredm\'enyeit r\'eszben megfogalmazzuk ezek n\'eh\'any fontos
 k\"ovetkezm\'eny\'et. Megjegyzem, hogy ezek a k\"ovetkezm\'anyek
els\H{o}sorban a k\'es\H{o}bb tanuland\'o matematikai statisztik\'aban
j\'atszanak fontos szerepet.
\medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asok definici\'oja.}
{\it Defini\'aljuk el\H{o}sz\"or a t\"obb-di\-men\-zi\'os standard
norm\'alis eloszl\'ast. Azt mondjuk, hogy egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor eloszl\'asa a $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'as, ha a $\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-le\-nek, \'es mindegyik $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $1\le j\le k$, standard
norm\'alis eloszl\'as\'u. Ekvivalens megfogalmaz\'asban azt
mondhatjuk, hogy egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'asa a $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as, ha
e v\'eletlen vektornak l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye,
\'es az az $f(u_1,\dots,u_k)=\dfrac1{(2\pi)^{k/2}}\exp
\left\{-\dfrac12\summ_{j=1}^k u_j^2\right\}$ f\"uggv\'eny.
 
Egy $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$ dimenzi\'os v\'eletlen vektor $k$
dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u vektor nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel, ha e v\'eletlen vektor eloszl\'asa megegyezik valamely
$(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)=(\xi_1,\dots,\xi_k)A$
$k$-dimenzi\'os vektor eloszl\'as\'aval, ahol $A$ egy $k\times k$
m\'eret\H{u} m\'atrix, tov\'abb\'a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ egy
$k$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor.
 
Egy $(\zeta_1,\dots,\zeta_k)$ v\'eletlen vektor  $k$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u vektor, ha eloszl\'asa megegyezik egy
$(\eta_1,\dots,\eta_k)+(m_1,\dots,m_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'aval, ahol $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ egy $k$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, amelynek a v\'arhat\'o
\'ert\'eke nulla, \'es $(m_1,\dots,m_k)$ $k$-dimenzi\'os
determinisztikus vektor.} \medskip
K\'es\H{o}bb meg fogjuk adni a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as m\'as ekvivalens jel\-lem\-z\'e\-s\'et. El\H{o}sz\"or
azonban megfogalmazunk egy a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
eloszl\'ast\'etel kimond\'as\'ahoz sz\"uks\'eges k\'es\H{o}bb
bizony\'{\i}tand\'o eredm\'enyt. \medskip\noindent
{\bf T\'etel a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as
tulajdons\'agair\'ol.} {\it Tekints\"unk egy $k$-dimenzi\'os
$(\eta_1,\dots,\eta_k)=(\xi_1,\dots,\xi_k)A+(m_1,\dots,m_k)$
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot,
ahol $A$ egy $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, $m=(m_1,\dots,m_k)$
$k$-dimenzi\'os (v\'eletlent\H{o}l nem f\"ugg\H{o}) vektor
\'es $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ egy $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Akkor $(\eta_1,\dots,\eta_k)$
$m=(m_1,\dots,m_k)$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $D=A^*A$
kovariancia m\'atrix\'u v\'eletlen vektor. Tov\'abb\'a egy
$k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as\'at meghat\'arozza annak $m$ v\'arhat\'o
\'ert\'eke \'es $D$ kovariancia m\'atrixa.} \medskip
 
Jegyezz\"uk meg, hogy r\"ogz\'{\i}tett $D$ (szimmetrikus \'es
pozit\'{\i}v szemidefinit) m\'atrixra az $A^*A=D$ egyenletnek nem
egy\-\'er\-tel\-m\H{u} a megold\'asa. Tekints\"unk k\'et
k\"ul\"onb\"oz\H{o} $A$ \'es $B$ m\'atrixot, amelyre $A^*A=B^*B$.
A fenti t\'etel szerint, ha tekint\"unk egy $k$-dimenzi\'os standard
norm\'alis eloszl\'as\'u $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ vektort, illetve a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt $(\xi_1,\dots,\xi_k)A$
\'es $(\xi_1,\dots,\xi_k)B$ v\'eletlen vektorokat, akkor b\'ar ez
az ut\'obbi k\'et v\'eletlen vektor k\"ul\"onb\"oz\H{o},
eloszl\'asuk megegyezik. Ugyanis mind a k\'et (norm\'alis
eloszl\'as\'u) vektor nulla v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek\H{u} \'es
$A^*A=B^*B$ kovariancia m\'atrix\'u. Ez a tulajdons\'ag er\H{o}sen
kihaszn\'alja azt, hogy norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol van sz\'o. Ennek
tov\'abbi fontos k\"ovetkezm\'enyei vannak, amelyeket k\'es\H{o}bb
t\'argyalni fogunk.
 
A t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as tulajdons\'agair\'ol
sz\'ol\'o valamint a kovariancia m\'atrixok jellemz\'es\'er\H{o}l
sz\'ol\'o t\'etelekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy b\'armely
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eset\'en l\'etezik olyan $k$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o,
amelynek kovariancia m\'atrixa \'es v\'arhat\'o \'ert\'eke
megegyezik ennek a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'onak a kovariancia
m\'atrix\'aval \'es v\'arhat\'o \'ert\'ek\'evel. Tov\'abb\'a
ennek a $k$-dimenzi\'os norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'onak az eloszl\'as\'at
meg\-ha\-t\'a\-rozza a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o kovariancia m\'atrixa \'es v\'arhat\'o \'ert\'eke. Erre
az \'esz\-re\-v\'e\-tel\-re sz\"uk\-s\'e\-g\"unk van ahhoz, hogy
l\'assuk: Az al\'abb megfogalmazott t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'as \'ertelmes \'all\'{\i}t\'as. \medskip\noindent
{\bf A t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.}
{\it Legyenek $\xi^{(j)}=\(\xi^{(j)}_1,\dots,\xi^{(j)}_k\)$,
$j=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u $k$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre teljes\"ul az
$E{\xi^{(1)}_l}^2<\infty$, $1\le l\le k$ felt\'etel. Legyen a
$\xi^{(1)}=\(\xi^{(1)}_1,\dots,\xi^{(1)}_k\)$ vektor v\'arhat\'o
\'ert\'eke $E\xi^{(1)}=\(E\xi^{(1)}_1,\dots,E\xi^{(1)}_k\)$,
kovariancia m\'atrixa pedig egy $D$ $k\times k$ m\'eret\H{u}
m\'atrix. Defini\'aljuk az $S^{(n)}=\(S^{(n)}_1,\dots,S^{(n)}_k\)=
\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}=\(\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}_1,\dots,
\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}_k\)$ \"osszegeket, $n=1,2,\dots$. Ekkor
minden $(x_1,\dots,x_k)$ $k$-dimenzi\'os vektorra \'erv\'enyes a
$$
\lim_{n\to\infty}P\(\frac1{\sqrt n}\(S^{(n)}_1-ES^{(n)}_1\) < x_1,
\dots,\frac1{\sqrt n}\(S^{(n)}_k-ES^{(n)}_k\) < x_k\)
=\Phi_D(x_1,\dots,x_k)
$$
azonoss\'ag, ahol $\Phi_{D}(x_1,\dots,x_k)$  a $k$-dimenzi\'os nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} $D$ kovariancia m\'at\-rix\'u norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny \'ert\'eke az $(x_1,\dots,x_k)$ pontban.}
\medskip
A teljess\'eg kedv\'e\'ert felid\'ezem az eloszl\'asban val\'o
konvergenxia definici\'oj\'at a t\"obb-dimenzi\'os eset\'eben.
\medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban
val\'o konvergenci\'aj\'anak a de\-fi\-ni\-ci\'o\-ja.} {\it
Legyen $F_n(x_1,\dots,x_k)$, $n=1,2,\dots$, $k$-dimenzi\'os
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek sorozata. Azt mondjuk, hogy az
$F_n(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban
konverg\'alnak egy $k$-dimenzi\'os $F(x_1,\dots,x_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha
$\limm_{n\to\infty}F_n(x_1,\dots,x_k)=F(x_1,\dots,x_k)$
az $F(\cdot)$ (hat\'ar)\-elosz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny
minden $(x_1,\dots,x_k)$ folytonoss\'agi pontj\'aban.}
\medskip
Mint azt egy az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'asban is megfogalmazott
eredm\'eny \'all\'{\i}tja az egy-di\-men\-zi\-\'os esethez hasonl\'oan
t\"obb-dimenzi\'os eloszl\'asok eset\'eben is jellemezhet\H{o}
eloszl\'asok konvergenci\'aja \'ugy, hogy folytonos \'es
korl\'atos f\"uggv\'enyek ezen eloszl\'asok szerinti integr\'aljai
konverg\'alnak. Viszont a t\"obb-dimenzi\'os eloszl\'asok
konvergenci\'aj\'anak az ese\-t\'e\-ben fel\-me\-r\"ul egy olyan
k\'erd\'es, amelyik az egy-di\-men\-zi\-\'os esetben nem j\'atszik
olyan fontos szerepet. Ugyanis a magasabb dimenzi\'os esetben a t\'er
halmazainak a geometriai strukt\'ur\'aja gazdagabb. Szeretn\'enk
p\'eld\'aul tudni, hogy a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
teljes\"ul\'es\'eb\H{o}l k\"ovetkezik-e az, hoyg annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az egyes v\'eletlen vektorok egy
adott sz\'ep halmazba, p\'eld\'aul egy g\"ombbe esik megegyezik-e
ennek a halmaznak a hat\'arm\'ert\'ek szerinti m\'ert\'eke szerint.
Erre a k\'erd\'esre alkalmas felt\'etelek mellett pozit\'{\i}v
v\'alaszt lehet adni, de ez k\"ul\"on bizony\'{\i}t\'asra
szorul. Al\'abb megfogalmazzuk a pontos eredm\'enyt, illetve egy
m\'asik szint\'en hasznos eredm\'enyt, de ezen eredm\'enyek
bizony\'{\i}t\'as\'at csak a kieg\'esz\'{\i}t\'esben fogom ismertetni.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel~A.} {\it Konverg\'aljanak $k$-dimenzi\'os
$F_n(x_1,\dots,x_k)$, $n=1,2,\dots$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek valamely
$F_0(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'ashoz, ha $n\to\infty$, \'es jel\"olje
$\mu_{F_n}$, $n=0,1,2,\dots$, ezen eloszl\'asok \'altal meghat\'arozott
Stieltjes m\'ert\'eket. Ekkor minden olyan Borel-m\'erhet\H{o} $A$
halmazra, amelynek $\partial A$ hat\'ara teljes\'{\i}ti a
 $\mu_{F_0}(\partial A)=0$, teljes\"ul a
$\limm_{n\to\infty}\mu_{F_n}(A)=\mu_{F_0}(A)$ azonoss\'ag.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel~B.} {\it Legyen $(S_{1,n},\dots,S_{k,n})$, $n=1,2\dots$,
$k$-dimenzi\'os val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektorok so\-ro\-za\-ta,
amelyik eloszl\'asban konverg\'al egy $(S_1,\dots,S_k)$ $k$-dimenzi\'os
v\'eletlen vektorhoz $n\to\infty$ eset\'en, \'es legyen
$f(x_1,\dots,x_k)$ egy $k$-v\'altoz\'os folytonos f\"uggv\'eny.
Ekkor a $T_n=f\(S_{1,n},\dots,S_{k,n}\)$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
a $T=f\(S_1,\dots,S_k\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz
$n\to\infty$ eset\'en.} \medskip\noindent
 
 
A t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'asa hasonl\'o a  klasszikus egy-dimenzi\'os esethez.
Az ott bevezetett fogalmaknak \'es eredm\'enyeknek megadhat\'oak
a t\"obb-dimenzi\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'asaik, \'es a
megfelel\H{o} eredm\'enyek hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'oak.
Ez\'ert csak a fogalmakat \'es az eredm\'enyeket fogom ismertetni.
K\"ul\"on  \'erdemes hang\-s\'u\-lyoz\-ni, hogy a vizsg\'alatok sor\'an
bevezetj\"uk a t\"obb-dimenzi\'os karakterisztikus f\"uggv\'eny
fogalm\'at, \'es a t\"obb-dimenzi\'os karakterisztikus f\"uggv\'enyek
vizsg\'alata nagy seg\'{\i}ts\'eget jelent a t\"obb-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'asok viselked\'es\'enek meg\'ert\'es\'eben is.
 
\medskip
 
Az egydimenzi\'os esethez hasonl\'oan  a fenti t\'etel \'es
Weierstrass m\'asodik app\-roxi\-m\'a\-ci\'os t\'etele (pontosabban
annak t\"obb-dimenzi\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'asa)
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
konvergenci\'aj\'at j\'ol lehet vizsg\'alni a
karakterisztikus f\"uggv\'enyek al\'abb bevezetett t\"obb-dimenzi\'os
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a de\-fi\-ni\-ci\'oja.}
{\it Legyen $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamely $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, \'es jel\"olje
$F(u_1,\dots,u_k)=P(\xi_1<u_1,\dots,\xi_k<u_k)$,
$-\infty<u_j<\infty$, $1\le j\le k$, a $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. A
 $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak a karakterisztikus
f\"uggv\'enye a
$$
\align
\varphi(t_1,\dots,t_k)&=Ee^{i(t_1\xi_1+\cdots+t_k\xi_k)}
=\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty
e^{i(t_1u_1+\cdots+t_ku_k)}F(\,du_1,\dots,du_k),\\
&\qquad -\infty<t_j<\infty, \quad 1\le j\le k,
\endalign
$$
f\"uggv\'eny. Adva egy $F(u_1,\dots,u_k)$ $k$-dimenzi\'os
eloszl\'asf\"uggv\'eny az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et is defini\'alni fogjuk mint egy $F$ eloszl\'as\'u
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. (Mivel a karakterisztikus f\"uggv\'enyt a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki
lehet sz\'amolni, ez\'ert jogunk van egy eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'er\H{o}l besz\'elni.)}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $F(x_1,\dots,x_k)$ \'es $G(x_1,\dots,x_k)$
k\'et eloszl\'asf\"uggv\'ey, amelyek ka\-rak\-te\-risz\-tikus
f\"uggv\'enyei megegyeznek. Ekkor $F(x_1,\dots,x_k)=G(x_1,\dots,x_k)$
minden $k$-di\-men\-zi\'os $(x_1,\dots,x_k)$ vektorra.}
\medskip
 Megfogalmazzuk az eloszl\'asf\"uggv\'enyek \'es azok
karakterisztikus f\"uggv\'enyei konvergenci\'aja k\"oz\"otti
kapcsolatot le\'{\i}r\'o Alapt\'etelnek nevezett \'all\'{\i}t\'as
t\"obb-dimenzi\'os v\'al\-to\-za\-t\'at.
\medskip\noindent
{\bf Az eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel
t\"obb-dimenzi\'os v\'altozata.} {\it Legyen $F_n(u_1,\dots,u_k)$,
$-\infty<u_j<\infty$, $1\le j\le k$, $k$-dimenzi\'os
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy sorozata
$\varphi_n(t_1,\dots,t_k)=\int e^{i(t_1u_1+\cdots+t_ku_k)}
F_n(\,du_1,\dots,\,du_k)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel,
$n=1,2,\dots$. Ha a $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)=
\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$ hat\'ar\'ert\'ek
l\'etezik minden $-\infty<t_j<\infty$, $1\le j\le k$, sz\'amra,
\'es a $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ limeszf\"uggv\'eny folytonos
az orig\'oban, akkor l\'etezik olyan $F_0(u_1,\dots,u_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny a $k$-dimenzi\'os t\'erben, amelynek a
$\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ f\"uggv\'eny a karakterisztikus
f\"uggv\'enye. Tov\'abb\'a e felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en
az $F_n(u_1,\dots,u_k)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
eloszl\'asban konverg\'alnak ehhez az $F_0(u_1,\dots,u_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
 
Megford\'{\i}tva, ha $F_n(u_1,\dots,u_k)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy olyan so\-ro\-za\-ta, amely egy
$F_0(u_1,\dots, u_k)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez
kon\-ver\-g\'al eloszl\'asban, $\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$,
$n=1,2,\dots$, jel\"oli az $F_n(u_1,\dots,u_k)$,
$\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ pedig az $F_0(u_1,\dots,u_k)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'eny\'et, akkor $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)
=\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$ minden
$-\infty<t_j<\infty$, $1\le j\le k$, sz\'amra. Tov\'abb\'a, ez a
konvergencia egyenletes minden v\'eges
intervallumban.}
\medskip
Megfogalmazzuk a fenti eredm\'enyek n\'eh\'any fontos
k\"ovetkezm\'eny\'et. El\H{o}sz\"or jellemezz\"uk a
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asok karakterisztikus
f\"uggv\'enyeit. \medskip\noindent
{\bf T\'etel a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis elosz\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-r\H{o}l.}\/ {\it Legyen
$\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)=(\xi_1,\dots,\xi_k)A+(m_1,\dots,m_k)$
egy $k$-dimenzi\'os nor\-m\'a\-lis el\-osz\-l\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ahol $m=(m_1,\dots,m_k)$
$k$-dimenzi\'os (determinisztikus) vektor, $A=(a_{j,l})$,
$1\le j,l\le k$, $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, tov\'abb\'a
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Ekkor az $(\eta_1,\dots,\eta_k)$
v\'eletlen vektor karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$$
Ee^{i(t,\eta)}=Ee^{i(t_1\eta_1+\cdots+t_k\eta_k)}
=e^{i(t,m)-tA^*At^*/2}=\exp\left\{i\sum_{j=1}^k
t_jm_j-\dfrac12\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k d_{j,l}t_jt_l\right\}
$$
f\"uggv\'eny, ahol $(x,y)$ jel\"oli az $x=(x_1,\dots,x_k)$ \'es
$y=(y_1,\dots,y_k)$ vek\-to\-rok $(x,y)=\summ_{j=1}^kx_jy_j$
ska\-l\'ar\-szor\-za\-t\'at, $t=(t_1,\dots,t_k)$, $d_{j,l}$
az $A^*A$ kovariancia m\'atrix\'anak $j$-ik so\-r\'a\-ban, \'es $l$-ik
oszlop\'aban szerepl\H{o} konstans. A $D=A^*A$ m\'atrix megegyezik
az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor kovariancia
m\'atrix\'aval.} \medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
Ee^{i(t,\eta)}=Ee^{i(t, A\xi+m)}=e^{i(t,m)}Ee^{i(tA^*,\xi)}=
e^{i(t,m)}e^{-tA^*At^*/2}=e^{i(t,m)-tA^*At^*/2},
$$
mert, ha $tA^*=\bar t=(\bar t_1,\dots,\bar t_k)$, akkor
$Ee^{i(tA^*,\xi)}=Ee^{i(\bar t_1\xi_1+\cdots+\bar t_k\xi_k)}=
\prodd_{j=1}^k Ee^{i\bar t_j\xi_j}=
\prodd_{j=1}^k e^{-\bar t_j^2/2}=e^{-(\bar t,\bar
t)/2}=e^{-tA^*At^*/2}$.
 
Az $\eta$ v\'eletlen vektor $D=(d_{j,l})$ kovariancia
m\'atrix\'aban a $j$-ik sor $l$-ik eleme
$d_{j,l}=\Cov(\eta_j,\eta_l)=\Cov\(\summ_{p=1}^k
a_{p,j}\xi_p,\summ_{q=1}^k a_{q,l}\xi_q\)=\summ_{p=1}^k
a_{p,j}a_{p,l}E\xi_p^2 =\summ_{p=1}^k a_{p,j}a_{p,l}$, \'es
ez az $A^*A$ m\'atrix $j$-ik sor\'aban \'es $l$-ik oszlop\'aban
\'all\'o elem. Ez\'ert az $\eta$ v\'eletlen vektor kovariancia
m\'atrixa a $D=A^*A$ m\'atrix. Az ny\'{\i}lv\'anval\'o, hogy
az $\eta$ v\'eletlen vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke~$m$. \medskip
Az el\H{o}z\H{o} t\'etelnek van n\'eh\'any fontos k\"ovetkezm\'enye.
\medskip\noindent
{\bf 1. k\"ovetkezm\'eny.} {\it Egy $k$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'ast meghat\'aroz v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora \'es
kovariancia m\'atrixa.} \medskip\noindent
{\bf 2. k\"ovetkezm\'eny.} {\it Legyen $(\xi,\eta)$ k\'et-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Ha a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok korrel\'alatlanok, azaz
$\Cov(\xi,\eta)=0$, akkor $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. \'Altal\'anosabban, legyen
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre igaz, hogy valamilyen
$j$, indexre, $1\le j< k$, az els\H{o} $j$ \'es utols\'o $k-j$
koordin\'at\'ak korrel\'alatlanok, azaz $\Cov(\xi_p,\xi_q)=0$, ha
$1\le p\le j<q\le k$. Ekkor a $(\xi_1,\dots,\xi_j)$ \'es
$\xi_{j+1},\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektorok f\"uggetlen $j$ \'es
$k-j$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok.}
\medskip\noindent
{\it Fontos megjegyz\'es:}\/ L\'attuk kor\'abban, hogy f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kor\-re\-l\'a\-lat\-la\-nok,
viszont ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a megford\'{\i}t\'asa nem
igaz, azaz l\'eteznek olyan korrel\'alatlan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, amelyek nem f\"uggetlenek. A fent megfogalmazott
2.~k\"o\-vet\-kez\-m\'eny viszont azt \'all\'{\i}tja, hogy ha olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat tekint\"unk, amelyek egy
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor
koordin\'at\'ainak is fel\-fog\-ha\-t\'ok, akkor e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok korrel\'alatlans\'ag\'ab\'ol
k\"ovetkezik azok f\"ug\-get\-len\-s\'e\-ge. Az a
meg\-szo\-r\'{\i}\-t\'as, hogy a tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok egy norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor
koordin\'at\'ai nagyon szigor\'u megk\"ot\'es. Viszont ez nagyon
fontos speci\'alis eset, amelyik fontos szerepet j\'atszik mind a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban mind a
ma\-te\-ma\-ti\-kai sta\-tisz\-ti\-k\'a\-ban.
\medskip\noindent
{\bf 3. k\"ovetkezm\'eny.} {\it Egy $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
$k$-dimenzi\'os val\'oszin\H{u}s\'egi v\'altoz\'o akkor \'es csak
akkor norm\'alis eloszl\'as\'u, ha karakterisztikus f\"uggv\'enye
$$
Ee^{i(t,\xi)}=Ee^{i(t_1\xi_1+\cdots+t_k\xi_k)}
=e^{i(t,m)-tDt^*/2}=\exp\left\{i\sum_{j=1}^k
t_jm_j-\dfrac12\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k d_{j,l}t_jt_l\right\}
$$
alak\'u f\"uggv\'eny, ahol $m=(m_1,\dots,m_k)$ $k$-dimenzi\'os
(val\'os koordin\'at\'akb\'ol \'all\'o) vektor, $D=(d_{j,l})$, $1\le
j,l\le k$, $k\times k$ m\'eret\H{u} pozit\'{\i}v szemidefinit
m\'atrix, $(x,y)$ jel\"oli az $x=(x_1,\dots,x_k)$ \'es
$y=(y_1,\dots,y_k)$ $(x,y)=\summ_{j=1}^kx_jy_j$ skal\'arszorzat\'at,
$t=(t_1,\dots,t_k)$, tetsz\H{o}leges $k$-dimenzi\'os vektor.
A norm\'alis eloszl\'as\'u $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fenti jellemz\'es\'eben az
$m$ vektor a $\xi$ t\"obb-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke, $D$ pedig a
kovariancia m\'atrixa.} \medskip
Az els\H{o} k\"ovetkezm\'eny k\"ovetkezik abb\'ol, hogy egyr\'eszt
egy norm\'alis  eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et fel lehet \'{\i}rni
annak v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora \'es kovariancia m\'atrixa
ismeret\'eben, m\'asr\'eszt egy eloszl\'ast meghat\'aroz annak
karakterisztikus f\"uggv\'enye.
 
A m\'asodik k\"ovetkezm\'eny indokl\'asa hasonl\'o. Tekints\"uk az
abban megfogalmazott \'altal\'anosabb \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'at, \'es vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
jel\"ol\'eseket. Jel\"olje $m=(E\xi_1,\dots,E\xi_k)$ a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$  v\'eletlen vektor v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et,
$D=(d_{p,q})$, $d_{p,q}=\Cov(\xi_p,\xi_q)$,
$1\le p,q\le k$, ennek a vektornak a kovariancia m\'atrix\'at.
Legyen $m_1=(E\xi_1,\dots,E\xi_j)$ a $(\xi_1,\dots,\xi_j)$ vektor
v\'arhat\'o \'ert\'eke, $D_1=(d_{p,q})$, $d_{p,q}=
\Cov(\xi_p,\xi_q)$, $1\le p,q\le j$, ennek a vektornak a
kovariancia m\'atrixa, v\'eg\"ul legyen
$m_2=(E\xi_{j+1},\dots,E\xi_k)$ a $(\xi_{j+1},\dots,\xi_k)$
vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke, $D_2=(d_{p,q})$, $d_{p,q}=
\Cov(\xi_p,\xi_q)$, $j+1\le p,q\le k$, ennek a vektornak a
a kovariancia m\'atrixa. Ezenk\'{\i}v\"ul tekints\"unk egy
tetsz\H{o}leges $\bold t=(t_1,\dots,t_k)$ $k$-dimenzi\'os vektort,
\'es legyen $\bold t_1=(t_1,\dots,t_j)$, $\bold
t_2=(t_{j+1},\dots,t_k)$.
 
Ekkor a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor karakterisztikus
f\"uggv\'enye a $\varphi(t_1,\dots,t_k)=e^{i(\bold t, m)-\bold t D
\bold t^*/2}$ f\"uggv\'eny. Az exponensben szerepl\H{o} kifejez\'es
fel\'{\i}rhat\'o mint $i(\bold t,m)-\dfrac{\bold t D\bold t^*}2=
i(\bold t_1,m_1)-\dfrac{\bold t_1 D_1\bold t_1^*}2+
i(\bold t_2,m_2)-\dfrac{\bold t_2 D_2 \bold t_2^*}2$, mert
$\Cov(\xi_p,\xi_q)=0$, ha $1\le p\le j<q\le k$ vagy $1\le q\le j<p\le
k$. Ez\'ert $\varphi(t_1,\dots,t_k)=\varphi_1(t_1,\dots,t_j)
\varphi_2(t_{j+1},\dots,t_k)$, ahol
$\varphi_1(t_1,\dots,t_j)=e^{i(\bold t_1, m_1)-\bold t_1
D_1 \bold t_1^*/2}$, a $(\xi_1,\dots,\xi_j)$,
$\varphi_2(t_{j+1},\dots,t_k)=e^{i(\bold t_2, m_2)-\bold t_2
D_2 \bold t_1^*/2}$ pedig a $(\xi_{j+1},\dots,\xi_k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'enye. Mivel a karakterisztikus f\"uggv\'eny
meghat\'arozza az eloszl\'asf\"uggv\'enyt ez azt jelenti, hogy a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor eloszl\'asf\"uggv\'enye
megegyezik k\'et olyan f\"uggetlen $j$ illetve $k-j$-v\'altoz\'os
v\'eletlen vektor egy\"uttes eloszl\'as\'aval, amelyek
k\"oz\"ul az els\H{o} v\'eletlen vektor ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'enye $\varphi_1(t_1,\dots,t_j)$ a m\'asodik\'e pedig
$\varphi_2(t_{j+1},\dots,t_k)$. Mivel $(\xi_1,\dots,\xi_j)$
v\'eletlen vektor karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nye
$\varphi_1(t_1,\dots,t_j)$, a $(\xi_{j+1},\dots,\xi_k)$ v\'eletlen
vektor karakterisztikus f\"uggv\'enye pedig
$\varphi_2(t_{j+1},\dots,t_k)$, innen k\"ovetkezik a m\'asodik
k\"o\-vet\-kez\-m\'eny \'all\'{\i}t\'asa.
 
A harmadik k\"ovetkezm\'eny azonnal k\"ovetkezik a t\"obb-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek jellemz\'es\'et le\'{\i}r\'o
t\'etelb\'ol, abb\'ol a kimondott line\'aris algebrai
t\'etelb\H{o}l, amely szerint minden pozit\'{\i}v szemidefinit $D$
m\'atrix fel\'{\i}rhat\'o $D=A^*A$ alakban, illetve abb\'ol a
t\'enyb\H{o}l, hogy egy $A^*A$ alak\'u m\'atrix mindig pozit\'{\i}v
szemidefinit. Ez ut\'obbi \'all\'{\i}t\'as ellen\H{o}rz\'es\'ehez
vegy\"uk \'eszre, hogy tetsz\H{o}leges $x=(x_1,\dots,x_k)$ vektorra
$xA^*Ax^*=xA^*(xA^*)^*=(xA^*,xA^*)\ge0$ \'es ezt az
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-get kellett megmutatni.
 
Az els\H{o} k\"ovetkezm\'enyb\H{o}l, illetve norm\'alis \
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o kovarianca
m\'atrix\'anak kor\'abban kisz\'amolt alakj\'ab\'ol
k\"ovetkezik a kor\'abban megfogalmazott t\'etel a
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as tulajdons\'agair\'ol.
Annak \'erdek\'eben, hogy l\'assuk  fontos volt feltenni a
m\'asodik k\"ovetkezm\'enyben, hogy norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat vizsg\'alunk oldjuk meg
a k\"ovetkez\H{o} feladatot.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen a
$\[-\dfrac12,\dfrac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok.
Mutassuk meg, hogy a $\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\summ_{j=1}^n\xi_j^2$ \"osszegek nor\-ma\-li\-z\'alt\-jai\-nak
azaz az  $\sqrt{\dfrac{12}n}\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\sqrt{\dfrac{180}n}\summ_{j=1}^n\(\xi_j^2-\dfrac 1{12}\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak az egy\"ut\-tes
el\-osz\-l\'asa a k\'et-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'ashoz konverg\'al, ha $n\to\infty$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/  $E\xi=0$, $E\xi^2=\dfrac1{12}$,
$\Var\xi=\dfrac1{12}$, $\Var\xi^2=E\xi^4-(E\xi^2)^2
=\dfrac1{80}-\dfrac1{144}=\dfrac1{180}$. Tov\'abb\'a $\Cov
(\xi,\xi^2)=E\xi^3-E\xi E\xi^2=0$. Ez\'ert a
$\(\sqrt{12}\xi_j,\sqrt{180}\(\xi_j^2-\dfrac1{12}\)\)$, $j=1,2,\dots$,
v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel
\'es az identit\'as kovariancia m\'atrix-szal. Innen, \'es a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l
k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $(\xi,\eta)$ norm\'alis eloszl\'as\'u vektor
$m=(m_1,m_2)=(E\xi,E\eta)$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es
$$
\(\matrix
\sigma_{1,1},&\sigma_{1,2}\\
\sigma_{2,1},&\sigma_{1,1}
\endmatrix\) =
\(\matrix
E\xi^2-(E\xi)^2,&E\xi\eta-E\xi E\eta\\
E\xi\eta-E\xi E\eta,&E\eta^2-(E\eta)^2
\endmatrix\)
$$
kovarianciam\'atrix-szal. Ekkor l\'etezik a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak $\xi=a\eta+\zeta$ alak\'u
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa alkalmas $a$ konstanssal, \'es az
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen
$\zeta$ norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oval. Ez azt jelenti, hogy ha $(\xi,\eta)$
k\'et-di\-men\-zi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor az els\H{o} koordin\'ata
kifejezhet\H{o} mint a m\'asodik kooordin\'ata konstansszoros\'anak
\'es egy a m\'asodik koordin\'at\'at\'ol f\"uggetlen norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszege. A
k\'{\i}v\'ant $a$ konstanst explicit m\'odon megadhatjuk az
$a=\dfrac{\sigma_{1,2}}{\sigma_{2,2}}$ k\'eplet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} Hogy \'altal\'anos\'\i{}that\'o a fenti \'all\'\i{}t\'as abban
az esetben, ha $\xi$ \'es $\eta$ vektorv\'altoz\'ok is lehetnek?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\zeta=\xi-\dfrac{\sigma_{1,2}}
{\sigma_{1,1}}\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggetlen
az $\eta$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ot\'ol. Ehhez a
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as tulajdons\'agai
alapj\'an el\'eg ellen\H{o}rizni, hogy $\Cov(\zeta,\eta)=0$. Innen
k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{} Az az eset, amikor $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_s)$,
$\eta=(\eta_1,\dots,\eta_p)$, \'es
$(\xi_1,\dots,\xi_s,\eta_1,\dots,\eta_p)$ egy $s+p$ dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
hasonl\'oan t\'argyalhat\'o. L\'assuk be, hogy
l\'etezik olyan $\A$ m\'atrix, amelyre $\eta$ \'es $\xi-\eta\A$
f\"uggetlenek. Ennek \'erdek\'eben l\'assuk be el\H osz\"or, hogy
l\'etezik olyan $\U$ unit\'er m\'atrix amelyre $\eta\U=(\bar
\eta_1,\dots,\bar\eta_p)=\bar\eta$ vektor koordin\'at\'ai
f\"uggetlenek. Ugyanis, ha az $\eta$ v\'eletlen vektor $D$
kovarianciam\'atrix\'at $D=\bold U^*\Lambda \bold U$ alakban
\'{\i}rjuk, ahol $\bold U$ unit\'er $\Lambda$ pedig diagon\'alis
m\'atrix, akkor az $\bar\eta=\eta\bold U$ v\'eletlen norm\'alis
eloszl\'as\'u vektor kovarianciam\'atrixa $\Lambda$, ahonnan
k\"ovetkezik, hogy az $\bar\eta$ m\'atrix koordin\'at\'ai
f\"uggetlenek. Legyen $\bar \xi_r=\xi_r-\sum\limits_{k=1}^p
\dfrac{E\xi_r\bar \eta_k}{E\bar\eta_k^2}\bar\eta_k$, $r=1,\dots,s$.
Ezt m\'a\-trix\-je\l\"o\-l\'es\-sel \'\i{}rjuk $\bar\xi=\xi-\bar
\eta\BB$ form\'aban. Ekkor $(\xi-\bar\eta B,\bar\eta)$ olyan $p+s$
dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amelynek els\H{o} $s$ \'es utols\'o $p$ koordin\'at\'aja
korrel\'alatlan, ez\'ert f\"uggetlen. Mivel a $\xi-\bar\eta\BB$ \'es
$\bar\eta$ vektorok f\"uggetlenek, ez\'ert
$\zeta=\xi-\bar\eta\BB=\xi-\eta \bold U\BB$ f\"uggetlen az
$\eta=\bar\eta \bold U^*$ vektort\'ol.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
illetve statisztika finomabb k\'erd\'eseinek vizs\-g\'a\-la\-t\'a\-ban
bevezett\'ek a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es
felt\'eteles eloszl\'as fogalm\'at olyan esetekben is, amikor a
felt\'etel nulla val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\"ovetkezik be.
Bizonyos vizsg\'alatokban fontos kisz\'amolni, hogy mi a felt\'eteles
eloszl\'asa egy t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis vektor bizonyos
koordin\'at\'ainak azon felt\'etel mellett, hogy a t\"obbi
koordin\'ata \'ert\'ek\'et r\"ogz\'{\i}tj\"uk. E feladat
megold\'as\'anak kulcsl\'ep\'ese a fent t\'argyalt feladat
megold\'asa.  \medskip
 
A t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt be lehet
bizony\'{\i}tani az egydimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
 centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelhez hasonl\'oan az
Alapt\'etelnek nevezett \'all\'{\i}t\'as t\"obb-dimenzi\'os
v\'altozat\'anak seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Val\'oj\'aban van
egyszer\H{u}bb megold\'as is. Meg lehet mutatni, --- szint\'en az
Alapt\'etel t\"obb-dimenzi\'os v\'altozata seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
--- hogy a t\"obb-dimenzi\'os hat\'areloszl\'ast\'etelek
k\"ovetkeznek azok egy-dimenzi\'os v\'altozat\'ab\'ol. Ennek
r\'eszleteit, amelynek t\'argyal\'as\'at bizonyos r\'eszletess\'eggel
tartalmazza az el\H{o}z\H{o} el\H{o}\-ad\'as\-hoz \'{\i}rt, de
val\'oj\'aban nem elmondott ismertet\'es, itt elhagyjuk.
\medskip
Egy t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o koordin\'at\'ai norm\'alis
eloszl\'as\'uak. A k\"ovetkez\H{o} feladatban p\'eld\'at
mutatunk arra, hogy ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a
megford\'{\i}t\'asa nem igaz.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o $(\Omega,\Cal B, \bold P)$
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi mez\H ot: $\Omega=[0,1]$, \
$\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebra $[0,1]$-en, \'es $\bold P$ a
Lebesgue m\'ert\'ek. Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o $\xi$
\'es $\eta$ va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat ezen
a mez\H on: $\xi(x)=\Phi^{-1}(x)$,
$$
\eta(x)=\cases
\xi(1-x)& \text{ha }0\le x<\frac12\\
\xi\(x-\frac12\)& \text{ha }\frac12\le x\le1
\endcases.
$$
L\'assuk be, hogy $\xi$ \'es $\eta$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok, de a $(\xi,\eta)$ vektor
nem norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektor.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok azonos eloszl\'as\'uak.
Tov\'abb\'a,
$$
P(\xi>x)=\lambda(\Phi(x),1])=1-\Phi(x)\;.
$$
Az, hogy  $(\xi,\eta)$ vektor nem norm\'alis eloszl\'as\'u
k\"ovetkezik p\'eld\'aul a $P(\xi+\eta=0)=\frac12$ azonoss\'agb\'ol.
Mi\'ert?
 
\beginsection A $\chi^2$ eloszl\'asokr\'ol \'es $\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol.
 
Tekints\"uk a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asok
bevezet\H{o}j\'eben tekintett els\H{o} probl\'em\'at. Hogyan tudjuk
ellen\H{o}rizni, hogy egy dob\'okocka szab\'alyos-e?
 
Dobjuk fel a dob\'okock\'at $n$ alkalommal, \'es legyen
$$
(\nu(1),\dots,\nu(6))=(\nu_n(1),\dots,\nu_n(6))
$$
az $1,\dots,6$ dob\'aseredm\'enyek sz\'ama. Megmutatjuk a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy az $\dfrac1n\summ_{j=1}^6\(\nu_n(j)
-\dfrac n6\)^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak van
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'a\-suk, ha $n\to\infty$,  (felt\'eve, hogy egy
szab\'alyos dob\'okocka egym\'ast\'ol f\"uggetlen dob\'asainak az
eredm\'enyeit tekintj\"uk), \'es ezt a hat\'areloszl\'ast explicit
m\'odon meg tudjuk adni. Ez lehet\H{o}s\'eget ad egy kocka
szab\'alyoss\'ag\'anak ellen\-\H{o}r\-z\'e\-s\'ere. Ennek a
feladatnak a k\"ovetkez\H{o} term\'eszetes
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at fogjuk tekinteni:
 
Legyen adva $k$ urna, \'es ellen\H{o}rizni akarjuk azt a
felt\'etelez\'est, amely szerint ha egy goly\'ot v\'eletlen\"ul
bedobunk ezen ur\-n\'ak valamelyik\'ebe, akkor az $p_j$, $p_j>0$,
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a $j$-ik urn\'aba,
$\summ_{j=1}^k p_j=1$. Ennek a fel\-t\'e\-te\-le\-z\'es\-nek az
ellen\H{o}rz\'ese  \'erdek\'eben dobjunk egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul $n$ goly\'ot ezekbe az urn\'akba, \'es jel\"olje
$\nu_n(j)$ a $j$-ik urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'am\'at. Be fogjuk
l\'atni, hogy felt\'etelez\'es\"unk teljes\"ul\'ese eset\'en a
$\summ_{j=1}^k\dfrac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak l\'etezik
hat\'areloszl\'asa $n\to\infty$ eset\'en, \'es ez a
hat\'areloszl\'as az \'ugynevezett $k-1$ szabads\'agfok\'u $\chi^2$
eloszl\'as. Megfogalmazzuk ezt az eredm\'enyt pontosabban, el\H{o}tte
azonban megadjuk a $\chi^2$ eloszl\'asok definici\'oj\'at.
\medskip\noindent
{\bf A $k$ szabads\'agfok\'u $\chi^2$ eloszl\'as definici\'oja.} {\it
Legyen $\xi_1,\dots,\xi_k$ $k$ darab f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ekkor a
$\summ_{j=1}^k\xi_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as\'at nevezz\"uk $k$ szabads\'agfok\'u $\chi^2(k)$
eloszl\'asnak.} \medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ L\'attuk a 10. el\H{o}ad\'ason t\'argyalt
feladatok egyik\'eben, hogy a 2 sza\-bad\-s\'ag\-fo\-k\'u
$\chi^2(2)$ eloszl\'as a $\lambda=\dfrac12$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as, azaz az az eloszl\'as, amelynek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az
$f(x)=\dfrac12e^{-x/2}$, ha $x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$.
\medskip
Ezut\'an megfogalmazzuk a $\chi^2$ pr\'oba alapj\'aul szolg\'al\'o
eredm\'enyt. A bizon\'{\i}t\'ast viszont csak a kieg\'esz`\'{\i}t\'esben
adom meg, ami azt jelenti, hogy ez nem k\"otelez\H{o} r\'esze a
vizsg\'anak.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen adva $k$ darab urna, amelyekbe bedobunk
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul goly\'okat \'ugy, hogy mindegyik
goly\'o $p_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a $j$-ik urn\'aba,
$1\le j\le k$, $\summ_{j=1}^k p_j=1$. Jel\"olje $\nu_n(j)$ a $j$-ik
urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'am\'at az $n$-ik dob\'as ut\'an.
Ekkor a
$$\summ_{j=1}^k\dfrac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}, \qquad n=1,2,\dots
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
a $k-1$ szabads\'agfok\'u $\chi^2(k-1)$ el\-osz\-l\'as\-hoz, ha
$n\to\infty$. (Az urn\'ak $k$ sz\'ama r\"ogz\'{\i}tett.)}
\medskip
A fenti t\'etelben megjelen\H{o} hat\'areloszl\'as csak az urn\'ak
$k$ sz\'am\'at\'ol f\"ugg, de nem f\"ugg a $p_j$, $1\le j\le k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekt\H{o}l. Ez jelzi azt, hogy term\'eszetes
statisztik\'at vett\"unk, olyat amelyben a k\"ul\"onb\"oz\H{o}
urn\'akban lev\H{o} goly\'ok sz\'am\'anak az elt\'er\'ese annak
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l egyforma fontos szerepet j\'atszik.
Az, hogy a hat\'areloszl\'as a $k-1$ szabads\'agfog\'u $\chi^2(k-1)$
eloszl\'as azzal f\"ugg \"ossze, hogy b\'ar $k$ v\'eletlen sz\'am
s\'ulyozott n\'egyzet\"osszeg\'et tekintett\"uk, (az egyes urn\'akba
es\H{o} goly\'ok sz\'am\'anak elt\'er\'es\'et tekintett\"uk azok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l), de ezek k\"oz\"ott van egy
determinisztikus \"osszef\"ugg\'es. Nevezetesen az, hogy az \"osszes
urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'ama minusz azok v\'arhat\'o \'ert\'eke
null\'aval egyenl\H{o}. Ezt inform\'alisan \'ugy szokt\'ak
interpret\'alni, hogy $k-1$ szabads\'agi fokkal
rendelkez\H{o} v\'eletlen vektorok koordin\'at\'ainak a
n\'egyzet\"osszeg\'et tekintett\"uk, illetve azok
hat\'areloszl\'as\'at. Ilyen eset\-ben a hat\'areloszl\'ast olyan
v\'eletlen \"osszeg adja meg, amelyben mindegyik szabads\'agi foknak
egy \"osszeadand\'o felel meg, amelyik f\"uggetlen a t\"obbi
\"osszeadand\'ot\'ol, \'es az egy standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o n\'egyzete.
 
\medskip\noindent
{\bf Kieg\'esz\'{\i}t\'es.}
\medskip\noindent
A hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'asa azon alapul,
hogy egyr\'eszt meg tudjuk adni a
$$
\left\{\dfrac{\nu_n(j)-np_j}{\sqrt{np_j}},\;j=1,\dots,k\right\}
$$
v\'eletlen vektorok ha\-t\'ar\-elosz\-l\'a\-s\'at a t\"obb-dimenzi\'os
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel.
M\'asr\'eszt bel\'atjuk, hogy ha $\(\eta^{(n)}_1,\dots,\eta_k^{(n)}\)$
v\'eletlen vektorok eloszl\'asban konverg\'alnak egy
$(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektorhoz $n\to\infty$ eset\'eben,
\'es $f(x_1,\dots,x_k)$ folytonos $k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny,
akkor az $f\(\eta^{(n)}_1,\dots,\eta_k^{(n)}\)$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
az $f(\eta_1,\dots,\eta_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'o\-hoz. Ez lehet\H{o}v\'e teszi a minket \'erdekl\H{o}
statisztik\'ak hat\'areloszl\'as\'anak megad\'as\'at. Ezt a
hat\'areloszl\'ast egyszer\H{u}, j\'ol \'attekinthet\H{o} alakban
akarjuk megadni. Ezt az\'ert tudjuk megtenni, mert mint azt egy
megold\'as\'aval egy\"utt ismertetett feladatban megfogalmazom, ha
$(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} $D$ kovarianciam\'atrix\'u nor\-m\'a\-lis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor valamilyen ismert $D$ kovariancia m\'atrix-szal,
akkor bizonyos alapvet\H{o} line\'aris al\-geb\-rai eredm\'enyek
felhaszn\'al\'as\'aval egyszer\H{u} form\'aban megadhatjuk a
$\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as\'at.
 
El\H{o}sz\"or megfogalmazzuk \'es bebizony\'{\i}tjuk a fent
eml\'{\i}tett \'all\'{\i}t\'ast. Ez a f\H{o} r\'eszben is
megfogalmazott T\'etel~B. \medskip\noindent
{\bf T\'etel~B.} {\it Legyen $(S_{1,n},\dots,S_{k,n})$, $n=1,2\dots$,
$k$-dimenzi\'os val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektorok so\-ro\-za\-ta,
amelyik eloszl\'asban konverg\'al egy $(S_1,\dots,S_k)$ $k$-dimenzi\'os
v\'eletlen vektorhoz $n\to\infty$ eset\'en, \'es legyen
$f(x_1,\dots,x_k)$ egy $k$-v\'altoz\'os folytonos f\"uggv\'eny.
Ekkor a $T_n=f\(S_{1,n},\dots,S_{k,n}\)$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
a $T=f\(S_1,\dots,S_k\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz
$n\to\infty$ eset\'en.} \medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Haszn\'aljuk a t\'etelt az eloszl\'asban
val\'o konvergencia jellemz\'es\'er\H{o}l folytonos f\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Eszerint az $S_{1,n},\dots,S_{k,n}$ v\'eletlen
vektorok sorozat\'anak el\-osz\-l\'as\-ban val\'o konvergenci\'at
\'ugy is megfogalmazhatjuk, hogy tetsz\H{o}leges folytonos \'es
korl\'atos $h(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'enyre teljes\"ul a
$\limm_{n\to\infty}Eh(S_{1,n},\dots,S_{k,n})=
Eh(S_1,\dots,S_k)$ rel\'aci\'o. Legyen $g(\cdot)$ folytonos
\'es korl\'atos f\"uggv\'eny. Ekkor $g(f(x_1,\dots,x_k))$ folytonos
\'es korl\'atos f\"uggv\'eny, ez\'ert teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}Eg(T_n)=\limm_{n\to\infty}
Eg\(f\(S_{1,n},\dots,S_{k,n}\)\)=Eg\(f\(S_1,\dots,S_k\)\)
=Eg(T)
$$
rel\'aci\'o. Innen k\"ovetkezik a T\'etel~B \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip
 
Most megfogalmazom, hogyan lehet reduk\'alni a
a $\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etelt.
\medskip\noindent
{\bf A $\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel redukci\'oja.} {\it
Legyen $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, melynek v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
kovriancia m\'atrixa teljes\'{\i}ti az $E\eta_j=0$, $1\le j\le k$,
$\Cov(\eta_j,\eta_l)=-\sqrt{p_jp_l}$, $1\le j,l\le k$, $j\neq l$,
\'es $\Var\eta_j=(1-p_j)$, $1\le j\le k$ rel\'aci\'okat. Akkor
$\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ eloszl\'asa a $k-1$ szabads\'agfok\'u
$\chi^2(k-1)$ eloszl\'as. (A most megfogalmazott eredm\'enyben
speci\'alisan azt is \'all\'{\i}tjuk, hogy l\'etezik az adott
kovarianci\'aval rendelkez\H{o} v\'eletlen vektor tetsz\H{o}leges
$p_j$, $p_j\ge0$, $1\le j\le k$, $\summ_{j=1}^kp_j=1$ sz\'amokra.)}
\medskip\noindent
{\it A  $\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel visszavezet\'ese
annak redukci\'oj\'ara.} Ahogy az el\H{o}ad\'as elej\'en tet\"uk,
vezess\"uk be a $Z_m=(Z_m^{(1)},\dots,Z_m^{(k)})$, $m=1,2,\dots,n$,
v\'eletlen vektorokat, melyeket a k\"ovetkez\H{o} m\'odon
defini\'alunk: A $Z_m$ vektor $Z_m^{(j)}$ koordin\'at\'aja 1,
\'es az \"osszes t\"obbi koordin\'at\'aja nulla ha az $m$-ik
dob\'asban az $j$-ik urn\'aba esik a goly\'o. Vezess\"uk be ennek a
k\"ovetkez\H{o} transzform\'altjait: $X_m=
(X_m^{(1)},\dots,X_m^{(k)})$, $m=1,2,\dots,n$,
$X_m^{(j)}=\dfrac{Z_m^{(j)}-p_j}{\sqrt {p_j}}$, $1\le m\le n$, $1\le
j\le k$. Vegy\"uk \'eszre egyr\'eszt, hogy a vizsg\'alt $\nu_n(j)$
mennyi\-s\'e\-gek (a $j$-ik urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'ama az $n$-ik
dob\'as ut\'an \'es a fenti $X_m$ v\'eletlen vektorok az al\'abbi
azonoss\'agot teljes\'{\i}tik: $\dfrac1{\sqrt
n}\summ_{l=1}X_m=\(\dfrac{\nu_n(1)-np_1}{\sqrt{np_1}},
\dots, \dfrac{\nu_n(k)-np_k}{\sqrt{np_k}}\)$. Tov\'abb\'a az $X_m$
vektorok f\"uggetlenek \'es egyforma eloszl\'as\'uak, v\'arhat\'o
\'ert\'ek vektoruk nulla, \'es kovariancia m\'atrixuk teljes\'{\i}ti
a $\Cov(X_m^{(j)},X_m^{(l)})=-\sqrt{p_jp_l}$, $1\le j,l\le k$,
$j\neq l$, \'es $\Var X_m^{(j)}=(1-p_j)$, $1\le j,l\le k$, $1\le
m\le n$ rel\'ac\'okat. Ugyanis egyszer\H{u} sz\'amol\'as adja, hogy
$EZ_m=(p_1,\dots,p_k)$, $\Cov(Z_m^{(j)},Z_m^{(l)})=-p_jp_l$, $1\le
j,l\le k$, $j\neq l$, \'es $\Var Z_m^{(j)}=p_j(1-p_j)$, $1\le j,l\le
k$, $1\le m\le n$. Innen l\'atszik, hogy $EX_m=0$, \'es
$\Cov(X_m^{(j)},X_m^{(l)})=
\dfrac{\Cov(Z_m^{(j)},Z_m^{(l)})}{\sqrt{p_jp_l}}=-\sqrt{p_jp_l}$,
$\Var X_m^{(j)}=\dfrac{\Var Z_m^{(j)}}{p_j}=1-p_j$. Innen k\"ovetkezik
speci\'alisan az is, hogy a  $\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel
redukci\'oj\'aban szerepl\H{o} kovarianca m\'atrix\'u (nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'u) (norm\'alis eloszl\'as\'u)
$(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor val\'oban l\'etezik.
Tov\'abb\'a, a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
szerint a $\(\dfrac{\nu_n(1)-np_1}{\sqrt{np_1}},\dots,
\dfrac{\nu_n(k)-np_k}{\sqrt{np_k}}\)$ eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektorok eloszl\'asban konverg\'alnak egy ilyen$(\eta_1,\dots,\eta_k)$
norm\'alis vektorhoz. Ez\'ert alkalmazva az el\H{o}z\H{o} t\'etelt az
$f(x_1,\dots,x_k)=\summ_{j=1}^kx^2_j$ folytonos
f\"uggv\'ennyel kapjuk, hogy a
$\summ_{j=1}^k\dfrac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok\-nak
van hat\'areloszl\'asuk, \'es az megegyezik a $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval. Ez azt
jelenti, hogy a $\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg annak reduk\'alt v\'altozat\'at
bel\'atni.
\medskip
A fenti eredm\'eny azt jelenti, hogy egy norm\'alis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor koor\-di\-n\'a\-t\'a\-i\-b\'ol k\'epezett
kvadratikus forma eloszl\'as\'at kell kisz\'amolnunk. Eml\'ekezz\"unk
arra, hogy egy norm\'alis vektor line\'aris transzform\'altja is
norm\'alis eloszl\'as\'u, \'es tetsz\H{o}leges norm\'alis eloszl\'as\'u
vektor el\H{o}\'all, mint standard norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektor line\'aris transzform\'altja. Ez azt sugallja, hogy
pr\'ob\'aljuk meg a vizsg\'alt (vagy egy vele azonos eloszl\'as\'u)
kifejez\'est el\H{o}\'all\'{\i}tani, mint alkalmas f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'aa\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok egyszer\H{u} kvadratikus form\'aj\'at. A
$\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel redukci\'oj\'aban
eredetileg megadott kifejez\'est az\'ert k\'{\i}v\'anjuk
\'atalak\'{\i}tani, mert igaz ugyan, hogy norm\'alis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nagyon egyszer\H{u}
kvadratikus form\'aj\'ar\'ol van sz\'o, viszont a kvadratikus
form\'aban szerepl\H{o} v\'altoz\'ok nem f\"uggetlenek. Viszont az
al\'abbi lemma nagyon hasznos lesz a sz\'amunkra.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os
norm\'alis  eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $D$ kovariancia m\'atrix-szal.
Legyenek a $D$ m\'atrix saj\'at\'ert\'ekei a
$\lambda_1,\dots,\lambda_k$ sz\'amok (multiplicit\'assal). Ekkor a
$\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa megegyezik egy $\summ_{j=1}^k\lambda_j\xi_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval,
ahol $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ A $D$ m\'atrix fel\'{\i}rhat\'o
$D=U\Lambda U^*$ alakban, ahol $U$ unit\'er, $\Lambda$ pedig olyan
diagon\'alis m\'atrix, melynek \'atl\'oj\'aban a $D$ m\'atrix
$\lambda_j$ saj\'at\'ert\'ekei vannak (multiplicit\'assal). (Az $U$
m\'atrix is fel\'{\i}rhat\'o explicit m\'odon a $D$ n\'atrix
saj\'atvektorainak seg\'{\i}ts\'eg\'evel, de erre a t\'enyre most
nincs sz\"uks\'eg\"unk.)
Az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor eloszl\'asa
megegyezik egy $\bar\eta=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)
=\xi\Lambda^{1/2} U^* =(\xi_1,\dots,\xi_k)\Lambda^{1/2} U^*$
v\'eletlen vektor eloszl\'as\'aval, ahol $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
standard norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Val\'oban
$\bar\eta$ norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektor, melynek v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla \'es kovariancia
m\'atrixa a $(\Lambda^{1/2}U^*)^*\Lambda^{1/2}U^*
=U\Lambda^{1/2}\Lambda^{1/2} U^*=U\Lambda U^*=D$ m\'atrix. Ez\'ert
az $\eta$ \'es $\bar\eta$ v\'eletlen vektorok eloszl\'asa megegyezik.
Innek az is k\"ovetkezik, hogy a $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asa megegyezik a $\summ_{j=1}^k\bar\eta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval. Vegy\"uk
\'eszre, hogy az $\tilde\eta=(\tilde\eta_1,\dots,\tilde\eta_k)
=\bar\eta U=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)U$ vektorra teljes\"ul a
$\summ_{j=1}^k\bar\eta_j^2=\summ_{j=1}^k\tilde\eta_j^2$ azonoss\'ag,
mert $U$ unit\'er, teh\'at t\'avols\'agtart\'o
transz\-for\-m\'a\-ci\'o. Viszont $\tilde\eta=\bar\eta
U=\xi\Lambda^{1/2}U^*U=\xi\Lambda^{1/2}$.
Ez azt jelenti, hogy a $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa megegyezik a
$\summ_{j=1}^k(\lambda_j^{1/2}\xi_j)^2=\summ_{j=1}^k\lambda_j\xi_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval, \'es ez a
Lemma \'all\'{\i}t\'asa. \medskip
Most befejezz\"uk a $\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'at.
\medskip\noindent
{\it A $\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel redukci\'oj\'anak a
bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Tekints\"uk a
$\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot,
ahol $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
melynek v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla, \'es $D=d_{j,l}$,
$d_{j,l}=\Cov(\eta_j,\eta_l)$, $1\le j,l\le k$, kovariancia
m\'at\-ri\-x\'at a $\Var\eta_j=(1-p_j)$, $1\le j,l\le k$, \'es
$\Cov(\eta_j,\eta_l)=-\sqrt{p_jp_l}$, ha $1\le j,l\le k$, \'es
$j\neq l$ k\'epletek hat\'arozz\'ak meg. Az el\H{o}z\H{o} lemma
alapj\'an azt kell megmutatni, hogy a fenti $D$ kovariancia
m\'atrixnak az 1 $k-1$ multiplicit\'as\'u saj\'at\'ert\'eke (azaz
$k-1$ ortonorm\'alt 1 saj\'at\'ert\'ekkel rendelkez\H{o}
saj\'atvektora van) \'es ezenk\'{\i}v\"ul m\'eg a nulla a
saj\'at\'ert\'eke 1-szeres multiplicit\'assal.
 
\'Irjuk fel a $D$ m\'atrixot $D=I-B$ alakban, ahol $I$ az
identit\'as m\'atrix, $B=(b_{i,j})$, $b_{i,j}=\sqrt{p_i}\sqrt {p_j}$,
$1\le i,j\le k$, \'es vegy\"uk \'eszre, hogy amennyiben egy $B$
m\'atrixnak a saj\'atvektorai $e_1,\dots,e_k$ vektorok,
$\lambda_1,\dots,\lambda_k$ saj\'at\'ert\'ekkel, akkor
tetsz\H{o}leges $c$ sz\'amra az $I+cB$ m\'atrix saj\'atvektorai
ugyanazok az $e_1,\dots,e_k$ vektorok
$1+c\lambda_1,\dots,1+c\lambda_k$ saj\'at\'ert\'ekkel. Ezt az
eredm\'enyt alkalmazva $c=-1$ v\'alaszt\'assal elegend\H{o}
megtal\'alni a $B$ m\'atrix saj\'at\'ert\'ekeit. Viszont egy
$B=(b_ib_j)$, $1\le i,j\le k$ alak\'u m\'atrix egyik saj\'atvektora
a $b=(b_1,\dots,b_k)$ vektor $\summ_{j=1}^kb_j^2$ saj\'at\'ert\'ekkel,
\'es a $b$ vektort ortogon\'alisan kieg\'esz\'{\i}t\H{o} alt\'er a $B$
m\'atrix $k-1$-dimenzi\'os saj\'at altere nulla saj\'at\'ert\'ekkel.
Ez azt jelenti, hogy a nulla a $B$ m\'atrix $k-1$
multiplicit\'as\'u saj\'at\'ert\'eke, mert $B$ $k-1$-dimenzi\'os
nulla saj\'at\'ert\'ek\H{u} saj\'atalter\'enek egy ortonorm\'alt
b\'azisa $k-1$ ortonorm\'alt saj\'atvektort
biztos\'{\i}t nulla saj\'at\'ert\'ekkel.
 
Az el\H{o}bb megfogalmazott \'all\'{\i}t\'asok egyszer\H{u}en
ellen\H{o}rizhet\H{o}ek. Val\'oban egyszer\H{u} sz\'amol\'as mutatja,
hogy a $b=(b_1,\dots,b_k)$ vektorra $bB=\(\summ_{j=1}^kb_j^2\)b$,
\'es ha valamely $c=(c_1,\dots,c_k)$ vektorra $\summ_{j=1}^kc_jb_j=0$,
akkor $cB=0$, mert e vektor $l$-ik koordin\'at\'aja
$b_l\summ_{j=1}^kc_jb_j=0$, \'es ez jelenti a $b$ vektor ortogon\'alis
kieg\'esz\'{\i}t\H{o} alter\'ere megfogalmazott \'all\'{\i}t\'ast.
 
Jelen esetben a tekintett $B$ m\'atrix a fent vizsg\'alt
alak\'u a $b_j=\sqrt{p_j}$ sz\'amokkal. Ez\'ert
$\summ_{j=1}^kb_j^2=\summ_{j=1}^kp_j=1$, a $B$
vektornak a nulla $k-1$-szeres az 1 pedig egyszeres
multiplicit\'as\'u saj\'at\'ert\'eke. Ez azt jelenti, hogy a
$D=I-B$ m\'atrixnak a nulla egyszeres az 1 pedig $k-1$-szeres
multiplicit\'as\'u gy\"oke, mint \'all\'{\i}tottuk.
\medskip
V\'eg\"ul ismertetem a f\H{o} r\'eszben megfogalmazott T\'etel~A
bizony\'{\i}t\'as\'at.
\medskip\noindent
{\it A T\'etel~A bizony\'{\i}t\'asa.} A bizony\'{\i}t\'asban az
eredm\'eny \'all\'{\i}t\'as\'at visszavezetj\"uk a T\'etel~B
\'all\'{\i}t\'as\'ara. Ebben felhaszn\'aljuk az euklideszi
t\'er k\"ovetkez\H{o} fontos topol\'ogiai tulajdons\'ag\'at. Legyen
adva az $R^k$ $k$-dimenzi\'os euklideszi t\'er k\'et $F_1$  \'es $F_2$
diszjunkt z\'art r\'eszhalmaza. Ekkor l\'etezik egyan $f$ folytonos
f\"uggv\'eny az $R^k$ t\'eren, amelyre $f(x)=0$, ha $f(x)\in F_1$,
$f(x)=1$, ha $f(x)\in F_2$, \'es $0\le f(x)\le 1$ minden $x\in R^k$
sz\'anra. (Ilyen f\"uggv\'eny p\'eld\'aul az
$f(x)=\dfrac{\rho(x,F_1)}{\rho(x,F_1)+\rho(x,F_2)}$ f\"uggv\'eny, ahaol
$\rho(x,F)$ jel\"oli az $x$ pont \'es $F$ halmaz t\'avols\'ag\'at.
 
Adott $\delta>0$ sz\'amra jel\"olje $A_\delta=\{x\:\rho(x,A)<\delta$
az $A$ halmaz $\delta$ sugar\'u k\"ulsej\'et,
$A^0_\delta=\{x\:\rho(x,R^k\setminus A)le\delta$ az $A$ halmaz $\delta$
sugar\'u belsej\'et, $\bar A=A\cup \partial A$, $A$ lez\'artj\'at,
$A^0=A\setminus \partial A$, $A$ belsej\'et. Ekkor  $\bar
A=\bigcapp_{\delta>0} A_\delta$, $A^0=\bigcupp_{\delta>0} A^0_\delta$.
Innen a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek folytonoss\'ag\'ab\'ol,
illetve abb\'ol a felt\'etelb\H{o}l, hogy $\mu_{F_0}(\partial A)=0$,
k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{\delta\to0}\mu_{F_0}(A^0_\delta)=\mu_{F_0}(A^0)=\mu_{F_0}(A)=
\mu_{F_0}(\bar A)=\limm_{\delta\to0}\mu_{F_0}(A_\delta)$. Ez\'ert minden
$\e>0$ sz\'amhoz, l\'etezik olyan $=\delta(\e)>0$ sz\'am, melyre
$\mu_{F_0}(A)-\e\le \mu_{F_0}(A_\delta^0)\le \mu_{F_0}(A)\le
\mu_{F_0}(A_\delta)\le \mu_{F_0}(A)+\e$.
 
V\'alasszunk egy ilyen $\delta$ sz\'amot valamint ezut\'an olyan $f$
folytonos f\"uggv\'enyt az $R^k$ t\'eren, amelyre $f(x)=1$, ha $x\in
\bar A$, $f(x)=0$, ha $x\in R^k\setminus A_delta$, \'es $0\le f(x)\le
1$ minden $x\in R^k$ halmazra. (Mivel $\bar A$ \'es $R^k\setminus
A_\delta$ z\'art halmazok, ez\'ert ez lehets\'eges.) Ekkor a T\'etel~B
alapj\'an
$$
\limsupp_{n\to\infty}\mu_{F_n}(A)\le
\limsupp_{n\to\infty}\int f(x)\mu_{F_n}(\,dx)
=\int f(x)\mu_{F_0}(\,dx)\le \mu_{F_0}(A_\delta)\le \mu_{F_0}(A)+\e.
$$
Mivel ez az \'all\'{\i}t\'as minden $\e>0$ sz\'amra elmondhat\'o, azt
kapjuk, hogy $\limsupp_{n\to\infty}\mu_{F_n}(A)\le \mu_{F_0}(A)$.
 
V\'alasszunk ezut\'an olyan $f$ f\"uggv\'enyt, amelyre $f(x)=1$, ha
$x\in A^0_\delta$, $f(x)=0$, ha $x\in R^k\setminus A_0$, \'es
$0\le f(x)\le1$ minden $x\in R^k$ pontra. (Ez lehets\'eges, mert
$A^0_\delta$ \'es $R^k\setminus A_0$ z\'art halmazok.) Ezzel a
v\'alaszt\'assal az el\H{o}z\H{o}h\"oz hasonl\'o \'ervel\'essel
kapjuk, hogy $\liminff_{n\to\infty}\mu_{F_n}(A)\ge \mu_{F_0}(A)$. A
bebizony\'{\i}tott egyenl\H{o}tlens\'egekb\H{o}l k\"ovetkezik a
T\'etel~A \'all\'{\i}t\'asa.
 
\beginsection  A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
bevzet\H{o} el\H{o}ad\'as r\"ovid \'attekint\'ese
 
Megfogalmaztunk n\'eh\'any val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi probl\'em\'at,
azut\'an r\'at\'ert\"unk a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
prec\'{\i}z Kolmogorov \'altal megadott ismertet\'es\'ere.
K\"ul\"on\"osen fontos volt annak meg\'ert\'ese, hogyan lehet a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as probl\'em\'ait e
form\'alis, a halmazelm\'elet nyelv\'et haszn\'al\'o modellbe
\'atfogalmazni. Ugyancsak fontos volt annak meg\-\'er\-t\'e\-se,
hogy ez az \'atfogalmaz\'as hogyan seg\'{\i}t konkr\'et feladatok
megold\'as\'aban. A Kolmogorov-f\'ele elm\'elet kidolgoz\'as\'aban,
annak \'erdek\'eben hogy ne csak a v\'eges sok lehets\'eges esem\'enyt
tartalmaz\'o modellt tudjuk vizsg\'alni, sz\"uks\'eg volt bizonyos
m\'ely m\'ert\'ekelm\'eleti ered\-m\'e\-nyek felid\'ez\'es\'ere.
Elegend\H{o} a fogalmak \'es eredm\'enyek jelent\'es\'enek
meg\'ert\'ese, illetve azt l\'atni, hogyan lehet ezt feladatok
megold\'as\'aban haszn\'alni (geometriai eloszl\'asok), a
bizony\'{\i}t\'asok r\'eszleteinek ismerete nem sz\"uks\'eges.
 
T\'argyaltuk \'es bizony\'{\i}tottuk a Borel--Cantelli lemm\'at. Itt
is elegend\H{o} az eredm\'eny \'ert\'ese \'es az hogy tudjuk
haszn\'alni. A k\"ovetkez\H{o} fontos fogalom a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg volt. Nagyon fontos meg\'erteni, hogy hogyan
kell ezt haszn\'alni. Az itt kimondott ered\-m\'e\-nye\-ket jobban
lehet meg\'erteni, ha a konkr\'et feladatokat vizsg\'aljuk.
Defini\'altuk esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'et. Az itt kimondott
fogalmak, eredm\'enyek ismerete rendk\'{\i}v\"ul fontos. A
t\'argyal\'as sor\'an sz\'oba ker\"ultek m\'ert\'ekelm\'eleti fogalmak
\'es eredm\'enyek. Az egyszer\H{u}bb fogalmakat, mint
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, $\sigma$-algebra ismerni
kell, de m\'ar olyan fogalmaknak az ismeret\'et, mint p\'eld\'aul a
majdnem-minden\"utt teljes\"ul\H{o} tulajdons\'agok, Lebesgue
integr\'al, Fubini t\'etel elegend\H{o} k\"or\"ulbel\"ul tudni,
azon a szinten, ami ahhoz kell, hogy a le\'{\i}rt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi eredm\'enyeket \'erts\'ek \'es tudj\'ak
haszn\'alni. (Az, hogy milyen szigor\'us\'aggal k\"ovetelik meg ezen
eredm\'enyek ismeret\'et a m\'ert\'ekelm\'elet vizsg\'an nem
az \'en probl\'em\'am.)
 
Ezut\'an egyr\'eszt konkr\'et el\H{o}bb diszkr\'et, k\'es\H{o}bb
folytonos eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
vizsg\'altunk. Defini\'altuk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'eg\'et, v\'arhat\'o \'er\-t\'e\-k\'et,
sz\'or\'asn\'egyzet\'et \'es k\"ul\"onb\"oz\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kovarianciaf\"uggv\'eny\'et.
Ezeket el\H{o}\-sz\"or diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okra defini\'altuk ezeket a fogalmakat, \'es csak
k\'e\-s\H{o}bb t\'ar\-gyal\-tuk folytonos esetben. Ez ut\'obbi
definici\'o kidolgoz\'asa \'erdek\'eben v\'azoltuk azt, hogyan kell
defini\'alni a Lebesgue integr\'alt. Ez ut\'obbi fogalom pontos
ismerete (ezen tant\'argy keretein bel\"ul) nem sz\"uks\'eges.
Viszont tudni kell a v\'arhat\'o \'ert\'ek, sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet,
f\"ug\-get\-len val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek
eloszl\'as\'anak (a konvoluci\'onak) kisz\'am\'{\i}t\'as\'at, (akkor is,
ha nem felt\'etlen\"ul f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'et vizsg\'aljuk \'es ennek \'erdek\'eben tudni
kell az anal\'{\i}zisben tanult integr\'al \'es
dif\-fe\-ren\-ci\'al\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'ast is.
A tanult diszkr\'et \'es folytonos eloszl\'asokat, illetve azok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi tartalm\'at tudni  kell.
 
T\'argyaltuk a Markov \'es Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eget. Ezut\'an
az el\H{o}ad\'as fontos t\'em\'aja volt az eloszl\'asok fogalma,
legfontosabb tulajdons\'agai, a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban sze\-rep\-l\H{o}
k\"ul\"onb\"oz\H{o} konvergenciafogalmak (eloszl\'asban val\'o
konvergencia, sztochasztikus konvergencia, egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel val\'o konvergencia) valamint azok
jelent\'ese \'es kap\-cso\-la\-ta. Ugyan\-csak fontos meg\'erteni a
nagy sz\'amok gyenge \'es er\H{o}s t\"orv\'eny\'et. A
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-sok r\'esz\-le\-tei\-nek ismerete nem
sz\"uks\'eges.
 
Az el\H{o}ad\'as legfontosabb t\'em\'aja a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel volt. Ennek t\'argyal\'asa \'erdek\'eben
bevezett\"uk a karakterisztikus f\"uggv\'eny fogalm\'at. Ennek
er\'eszletes t\'ar\-gya\-l\'a\-s\'a\-ra azonban nem maradt id\H{o},
ez\'ert  ezt nem fogom k\'erni. Viszont nagyon fontos tudni azt,
hogyan \'es mire lehet haszn\'alni a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt. Ebbe beletartoznak az el\H{o}ad\'ason
t\'argyalt statisztikai probl\'em\'ak is.
 
V\'eg\"ul a t\"obbdimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt
\'es a $\chi$-n\'egyzet pr\'ob\'at t\'ar\-gyal\-tuk. Ezen bel\"ul
t\'argyaltuk bizonyos fogalmak (eloszl\'as f\"uggv\'eny,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, eloszl\'asban val\'o konvergencia,
v\'arhat\'o \'ert\'ek, sz\'or\'asn\'egyzet) t\"obb-dimenzi\'os
megfelel\H{o}it. Ezen fogalmakat \'es a hozz\'ajuk k\"ot\"od\H{o}
eredm\'enyeket ismerni kell. Viszont a bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-so\-kat
nem k\'erem, ezekr\H{o}l elegend\H{o} bizonyos durva \'attekint\'es\'et
ismerni.
 
V\'eg\"ul megjegyzem, hogy a vizsga els\H{o}sorban feladatok
megold\'as\'ab\'ol fog \'allni. Ez\'ert a felk\'esz\"ul\'eshez azt
javaslom, hogy ne csak az el\H{o}ad\'asok, hanem a gyakorlatokon
t\'argyalt feladatokat is tanulm\'anyozz\'ak. Ez ut\'obbiak is
megtal\'alhat\'oak (a feladatok megold\'asaival egy\"utt)
megtal\'alhat\'oak a homepage-emen.
 
Homepage-em c\'{\i}me: http://www.renyi.hu/$\tilde{}\,\,$major
 
\bye
 
