\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\font\script =cmcsc10
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat t\'{\i}zenkettedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2003. \'aprilis 29.}
 
Felid\'ezem a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'aban megjelen\H{o} \'es az el\H{o}z\H{o}
el\H{o}\-ad\'as\-ban t\'argyalt leg\'erdekesebb eredm\'enyeket
\'es fogalmakat. A bizony\'{\i}t\'as viszonylag f\'araszt\'o
technikai r\'eszleteit elhagyom, viszont a felid\'ezend\H{o}
fogalmak \'es eredm\'enyek \"on\-ma\-guk\-ban is \'erdekesek.
 
Az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'asban ismertettem az eloszl\'asban
val\'o konvergencia definici\'oj\'at. A hat\'areloszl\'ast\'etelek
bizony\'{\i}t\'as\'aban viszont e definici\'o helyett ink\'abb az
al\'abbi a m\'ult el\H{o}ad\'ason ismertetett
eredm\'enyt \'erdemes haszn\'alni.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it $F_n(u)$, $n=1,2,\dots$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
sorozata akkor \'es csak akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha minden a sz\'amegyenesen \'ertelmezett
folytonos, korl\'atos $g(u)$ f\"uggv\'enyre teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}\int g(u)\,dF_n(u)=\int g(u)\,dF(u) \tag a
$$
azonoss\'ag.}
\medskip
Term\'eszetes m\'odon felmer\"ulhet  az a k\'erd\'es, hogy nem
el\'eg-e a hat\'areloszl\'ast\'etelek bizony\'{\i}t\'as\'aban az
el\H{o}bb id\'ezett t\'etelben szerepl\H{o}
(a) tulajdons\'agot egy k\"onnyebben ellen\H{o}rizhet\H{o}
tulajdons\'aggal helyettes\'{\i}teni, nevezetesen a folytonos
\'es korl\'atos f\"ugg\-v\'e\-nyek csal\'adj\'anak csak  egy kisebb
\'es jobban kezelhet\H{o} r\'esz\'enek az integr\'alj\'at vizsg\'alni.
Erre a k\'erd\'esre igenl\H{o} v\'alaszt lehet adni. A v\'alasz
pontosabb megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben bevezett\"uk az
\'ugynevezett karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket, (amelyek a $t$
param\'etert\H{o}l f\"ugg\H{o}) $e_t(x)=e^{itx}$ f\"ugg\-v\'e\-nyek
integr\'aljai az $x$ v\'altoz\'oban a tekintett
val\'osz\'{\i}m\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye szerint. Felid\'ezek tov\'abb\'a n\'eh\'any
eredm\'enyt, amelyek megmagyar\'azz\'ak, hogy mi\'ert \'erdemes a
karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel dolgozni.
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamely $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, \'es jel\"olje $F(u)=P(\xi<u)$,
$-\infty<u<\infty$, a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak a karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$$
\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^\infty e^{itu}F(\,du),\quad
-\infty<t<\infty,
$$
f\"uggv\'eny. Adva egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et is
defini\'alni fogjuk mint egy $F$ eloszl\'as\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. (Mivel a karakterisztikus f\"uggv\'enyt a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki
lehet sz\'amolni, ez\'ert jogunk van egy eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'er\H{o}l besz\'elni.) } \medskip
A k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} \'all\'{\i}t\'asokat azok
fontoss\'aga miatt k\"ul\"on Lemma form\'aj\'aban fogalmaztam meg.
\medskip\noindent
{\bf Lemma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek viselked\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,
\xi_n$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, jel\"olje
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$ e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'et \'es $\varphi_j(t)$, $1\le j\le n$, a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Ekkor az $S_n$ \"osszeg karakterisztikus
f\"uggv\'enye a $\psi_n(t)=Ee^{itS_n}=\prodd_{j=1}^n\varphi_j(t)$,
$-\infty<t<\infty$  f\"uggv\'eny. Ha $A$ \'es $B\neq0$ val\'os
sz\'amok, akkor a $\dfrac{S_n-A}B$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye az
$$
Ee^{it(S_n-A)/B}=e^{-itA/B}\psi_n\(\dfrac{t}B\)=e^{-itA/B}
\prodd_{j=1}^n\varphi_j\(\dfrac{t}B\)
$$
f\"uggv\'eny.
 
Legyen $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'ennyel, amelyre teljes\"ul az
$E|\xi|^k=\dsize\int_{-\infty}^\infty |u|^kF(\,du)<\infty$
egyenl\H{o}tlens\'eg valamilyen $k$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra.
Ekkor a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\varphi(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a deriv\'altjai megadhat\'ok a
$\dfrac{d^j}{dt^j}\varphi(t)=\dsize\int_{-\infty}^\infty
i^ju^j e^{itu}F(\,du)$ k\'eplettel minden $0\le j\le k$ \'es
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra. Speci\'alisan, $t=0$ v\'alaszt\'assal
$\left.\dfrac{d^j\varphi(t)}{dt^j}\right|_{t=0}
=\dsize\int_{-\infty}^\infty i^ju^j F(\,du)=i^jE\xi^j$ minden $0\le
j\le k$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
amelyekre $E\xi_1=0$, \'es vezess\"uk be a $\sigma_2=\Var \xi_1$,
valamint az $Ee^{it\xi_1}=\varphi(t)$, $-\infty<t<\infty$ ($\varphi(t)$
a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'enye) jel\"ol\'eseket. Legyen tov\'abb\'a
$S_n=\summ_{k=1}\xi_k$ \'es $\bar S_n=\dfrac{S_n}{\sqrt n\sigma}$
az $S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o normaliz\'altja.
Ekkor $Ee^{itS_n}=\varphi(t)^n$, $Ee^{it\bar S_n}=
\varphi\(\dfrac t{\sqrt n\sigma}\)^n$, \'es $\varphi\(\dfrac
t{\sqrt n\sigma}\)\sim 1-\dfrac {t^2}{2 n\sigma^2}$. Ez a formula
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy viszonylag j\'o becsl\'est adjunk a
$\bar S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'ere. Azt k\'{\i}v\'anjuk vizsg\'alni, lehet\H{o}v\'e
teszi-e ez a formula egy j\'o hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'at f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
normaliz\'altj\'anak az \"osszeg\'ere.
\medskip
Abb\'ol, hogy b\'{\i}zonyos $F_n$ eloszl\'asok $\varphi_n(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyeinek a sorozata konverg\'al egy $F$
eloszl\'asf\"uggv\'eny $\varphi(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ehez
minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra, akkor $\int \(\summ
c_ke^{itx}\)F_n(\,dx)\to\int \(\summ c_ke^{itx}\)F(\,dx)$ minden ilyen
tipus\'u f\"uggv\'enyre. K\'erd\'es az, hogy elegend\H{o}ek-e ezen
rel\'aci\'o igazol\'asa annak bizony\'{\i}t\'as\'ahoz, hogy az
$F_n$ \'es $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek teljes\'{\i}tik az
(a) tulajdons\'agot, azaz az $F_n$ eloszl\'sok eloszl\'asban
konyverg\'alnak az $F$ eloszl\'ashoz. E k\'erd\'esre igenl\H{o}
v\'alaszt lehet adni, de ennek megmutat\'asa
\'erdek\'eben olyan eredm\'enyekre van sz\"uks\'eg\"unk,
amelyek azt mondj\'ak ki, hogy a trigonometrikus f\"uggv\'enyek
line\'aris kombin\'aci\'oi a folytonos f\"uggv\'enyek el\'eg gazdag
csal\'adj\'at alkotj\'ak. Ilyen jelleg\H{u}, \'es sz\'amunkra a
tov\'abbiakban nagyon hasznos eredm\'eny az al\'abb megfogalmazott
Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etele.
\medskip\noindent
{\bf Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etele.} {\it
Tetsz\H{o}leges folytonos \'es $2\pi$ szerint periodikus $f(t)$
f\"uggv\'enyre \'es $\e>0$ val\'os sz\'amra l\'etezik olyan
$P_n(t)=\summ_{k=-n}^n a_k e^{ikt}$ trigonometrikus polinom, amelyre
$$
\sup_{-\infty<t<\infty} |f(t)-P_n(t)|<\e.
$$
}\medskip
 
Ez az eredm\'eny a trigonometrikus f\"uggv\'enyeknek a k\'{\i}v\'ant
jelleg\H{u} tulajdons\'ag\'at fejezi ki, de csak peri\'odikus
folytonos f\"uggv\'enyeket tudunk ilyen m\'odon approxim\'alni
trigonometrikus polinomokkal. Vegy\"uk \'eszre, hogy a $(-\pi,\pi]$
intervallumban \'ertelmezett \'es a sz\'amegyenesre
$2\pi$ peri\'odissal kiterjesztett folytonos f\"uggv\'enyeket
az $\e_n(t)=e^{int}$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$, polinomjaival tudjuk
tetsz\H{o}leges pontoss\'aggal k\"ozel\'{\i}teni. Ezt az eredm\'enyt
felhaszn\'alva \'es \'atsk\'al\'azva kapjuk, hogy tetsz\H{o}leges az
eredetileg $(-T,T]$ intervallumban \'ertelmezett \'es $2T$ szerint
peri\'odikusan kiterjesztett folytonos f\"uggv\'enyek a szupr\'emum
norm\'aban tetsz\H{o}leges pontoss\'aggal meg lehet k\"ozel\'{\i}teni
az $e_n(t)=e^{int/2\pi T}$ alak\'u f\"uggv\'enyek l\'{\i}ne\'aris
kombin\'aci\'oval. Ebb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy ha az $F_n$
eloszl\'asok $\varphi_n(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyei
konverg\'alnak minden pontban egy $F$ eloszl\'as $\varphi(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ehez, akkor
$\int g(x)F_n(\,dx)\to\int g(x)F(\,dx)$ minden folytonos \'es
peri\'odikus f\"uggv\'enyre. K\'erd\'es, hogy elegend\H{o}-e ez az
(a) rel\'aci\'o biztos\'{\i}t\'as\'ahoz?
 
Ahhoz, hogy eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus
f\"uggv\'enyeinek konvergenci\'aj\'ab\'ol k\"ovetkeztetni tudjunk
magunknak az eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek a konvergenci\'aj\'ara
tudnunk kell, hogy a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
meghat\'arozz\'ak az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket.
Ezt az \'all1t\'ast fogalmazza meg az al\'abbi eredm\'eny, amelyet
 Weierstrass m\'asodik app\-ro\-xi\-m\'a\-ci\'os
t\'etele seg\'{\i}ts\'eg\'evel be lehet bizony\'{\i}tani. (Ennek
bizony\'{\i}t\'as\'at le\'{\i}rtam az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'as
anyag\'aban.)
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $F(\cdot)$ \'es $G(\cdot)$ k\'et
eloszl\'asf\"uggv\'ey, amelyek karakterisztikus f\"uggv\'enye
megegyezik. Ekkor $F(x)=G(x)$ minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
Szeretn\'enk olyan min\'el er\H{o}sebb eredm\'enyt bizony\'{\i}tani,
amelyik szerint a ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enyek
konvergenci\'aj\'ab\'ol \'es esetleg n\'eh\'any tov\'abbi \'altal\'anos
felt\'etelek eset\'en \'erv\'enyes \'es k\"onnyen
ellen\H{o}rizhet\H{o} tulajdons\'ag teljes\"ul\'es\'eb\H{o}l
k\"o\-vet\-ke\-zik
az eloszl\'asok konvergenci\'aja. Felmer\"ul a k\'erd\'es, hogy csak a
karakterisztikus f\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'ab\'ol
k\"o\-vet\-ke\-zik-e az eloszl\'asok konvergenci\'aja?
Jegyezz\"uk meg el\H{o}sz\"or, hogy amennyiben eloszl\'asok $F_n$
sorozata konverg\'al egy eloszl\'ashoz, akkor ezen eloszl\'asok
$\varphi_n(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyei konverg\'alnak egy
f\"uggv\'enyhez, (a ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'ehez). Azt k\'erdezz\"uk,  hogy amennyiben
tudjuk, hogy eloszl\'asok karakterisztikus f\"uggv\'enyei
konverg\'alnak egy f\"uggv\'enyhez, de semmi plusz
inform\'acionk sincsen, akkor ez elegend\H{o}-e ahhoz, hogy
ebb\H{o}l az eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ara
k\"o\-vet\-kez\-tes\-s\"unk. E probl\'ema meg\'ert\'ese
\'er\-de\-k\'e\-ben tekints\"uk el\H{o}sz\"or az al\'abbi p\'eld\'at:
\medskip\noindent
{\it P\'elda karakterisztikus f\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'ara:}\/
Legyen $F_n(\cdot)$, $n=1,2\dots$, a $[-n,n]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sorozata, azaz
legyen $F_n(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az
$f_n(u)=\dfrac1{2n}$, ha $-n\le u\le n$, $f_n(u)=0$, ha $|u|>n$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadott f\"uggv\'eny. Ekkor
az $F_n(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus
f\"uggv\'enyei minden pontban konverg\'alnak az $\varphi(0)=1$,
$\varphi(t)=0$, ha $t\neq0$ k\'eplettel megadott $\varphi(t)$
f\"uggv\'enyhez, amelyik az orig\'oban nem folytonos. Tov\'abb\'a
az $F_n(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek nem konverg\'alnak
eloszl\'asban, mert minden v\'eges $[a,b]$ intervallumra
$\limm_{n\to\infty}F_n([a,b])=0$. \medskip
Val\'oban, az $F_n$ f\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'enye a
fenti p\'eld\'aban $\varphi_n(t)=\dsize\int_{-n}^n\frac1{2n}
e^{itu}\,du=\frac{e^{itn}-e^{-itn}}{i2nt}=\frac{\sin tn}{tn}$, ha
$t\neq0$, \'es $\varphi_n(0)=1$. Innen l\'athat\'o, hogy
$\varphi(t)=\limm_{n\to\infty}\varphi(t)=0$, ha $t\neq0$, \'es
$\varphi(0)=\limm_{n\to\infty}\varphi(0=1)$ hat\'ar\'ert\'ek
l\'etezik. M\'asr\'eszt az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek nem
konverg\'alnak egy eloszl\'asf\"uggv\'enyhez. Nem neh\'ez l\'atni,
hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=\frac12$ minden $x$
sz\'amra, azaz a hat\'ar\'ert\'ek l\'etezik, de az nem
eloszl\'asf\"uggv\'eny.
 
A fenti p\'eld\'aban az eloszl\'asok nem konverg\'alnak, b\'ar
karakterisztikus f\"uggv\'enyeik konverg\'alnak. Viszont azt is tudjuk,
hogy amennyiben az eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozata egy
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez konverg\'al, akkor ezek
karakterisztikus f\"uggv\'enyeinek sorozata a
hat\'areloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ehez
konverg\'al, amelyik folytonos minden pontban. A legfontosabb az,
hogy a karakterisztikus f\"uggv\'enyek egy az orig\'oban is
folytonos f\"uggv\'enyhez konverg\'aljanak. A
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik alap\-ve\-t\H{o}
\'es az el\H{o}z\H{o} el\H{o}\-ad\'as\-ban is megfogalmaozott
ered\-m\'e\-nye azt mondja ki, hogy ez m\'ar elegend\H{o}
az eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ahoz. Megism\'etlem ennek  az
eredm\'enynek a megfogalmaz\'as\'at.
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel.}
{\it Legyen $F_n(u)$, $-\infty<u<\infty$,
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy sorozata $\varphi_n(t)=\int
e^{itu}F_n(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel, $n=1,2,\dots$.
Ha a $\varphi_0(t)=\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t)$ hat\'ar\'ert\'ek
l\'etezik minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra, \'es a $\varphi_0(t)$
limeszf\"uggv\'eny folytonos az orig\'oban, akkor l\'etezik olyan
$F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny, amelynek a $\varphi_0(t)$
f\"uggv\'eny a karakterisztikus f\"uggv\'enye. Tov\'abb\'a e
felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en az $F_n(u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek eloszl\'asban konverg\'alnak
az $F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
 
Megford\'{\i}tva, ha $F_n(u)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy olyan sorozata, amely egy $F_0(u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez kon\-ver\-g\'al eloszl\'asban,
$\varphi_n(t)$, $n=1,2,\dots$, jel\"oli az $F_n(u)$, $\varphi_0(t)$
pedig az $F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et, akkor $\varphi_0(t)=\limm_{n\to\infty} \varphi_n(t)$
minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra. Tov\'abb\'a, ez a konvergencia
egyenletes minden v\'eges intervallumban.}
\medskip
Ugyancsak megism\'etlem ennek az eredm\'enynek a m\'ult el\H{o}ad\'ason
megfogalmazott egyszer\H{u}s\'{\i}tett \'es sz\'amunkra hasznos
v\'altozat\'at.
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel
gyeng\'{\i}tett v\'altozata.} {\it Legyen $F_n(u)$, $-\infty<u<\infty$,
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy sorozata $\varphi_n(t)=\int
e^{itu}F_n(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel, $n=1,2,\dots$,
\'es $F_0(u)$, $-\infty<u<\infty$, eloszl\'asf\"uggv\'eny
$\varphi_0(t)=\int e^{itu}F_0(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'ennyel.
Az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek akkor \'es csak akkor konverg\'alnak
eloszl\'asban az $F_0$ eloszl\'ashoz, ha a $\varphi_n(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyek konverg\'alnak a $\varphi_0(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyhez minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra.}
\medskip
Megmutatjuk, hogyan k\"ovetkezik a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
$\xi_1,\xi_2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
normaliz\'alt \"osszegeire.
 
Eml\'ekezz\"unk arra, hogy a m\'ult el\H{o}ad\'ason megmutattuk, hogy
a standard norm\'alis eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$\varphi_0(t)=e^{-t^2/2}$ f\"uggv\'eny. Tov\'abb\'a, mint azt
megt\'argyaltuk egy megjegyz\'esben, ha $\xi_1-E\xi_1$
karakterisztikus f\"uggv\'enye a $\varphi(t)$ f\"ugg\-v\'eny,
$E\xi_1=m$, $\Var\xi_1=\sigma^2$, akkor $\dfrac{\xi_1-E\xi_1}{\sigma}$
karakterisztikus f\"uggv\'enye $\varphi\(\dfrac t\sigma\)$, az
$\dfrac{S_n-nm}{\sqrt n\sigma}$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\psi_n(t)=\varphi^n\(\dfrac t{\sqrt n\sigma}\)$. Tov\'abb\'a a
$\varphi(t)$ f\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek
Taylor-sorfejt\'ese azt adja, hogy $\varphi\(\dfrac t{\sqrt
n\sigma}\)=1-\dfrac{t^2}{2n}+o\(\dfrac1n\)$. (Azt haszn\'aljuk fel,
hogy $\varphi(0)=0$, $\varphi'(0)=E(\xi-E\xi)=0$,
$\varphi''(0)=-E(\xi-E\xi)^2=-\sigma^2$). Innen
$\limm_{n\to\infty}\psi_n(t)=\limm_{n\to\infty}\(1-\dfrac{t^2}{2n}
+o\(\dfrac1n\)\)^n =e^{-t^2/2}$. Ez azt jelenti, hogy a f\"uggetlen
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
norm\'aliz\'alt \"osszegeinek a karakterisztikus f\"uggv\'enyei
konverg\'alnak a standard norm\'alis eloszl\'as karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'ehez. Innen k\"ovetkezik a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel.
\medskip\noindent
{\bf A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye.} \medskip\noindent
T\'argyaltuk a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et, amely szerint ha
tekintj\"uk $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"ug\-get\-len, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$,
$j=1,\dots,n$, \"osszeg\'et \'es $\dfrac{S_n}n$ \'atlag\'at, akkor
az $\dfrac{S_n}n$ \'atlagok sztochasztikusan konverg\'alnak egy
de\-ter\-mi\-nisz\-ti\-kus sz\'am\-hoz, amely a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E\xi_1$ v\'arhat\'o
\'ert\'eke. Bel\'attuk, (a Csebisev egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg
seg\'{\i}ts\'eg\'evel), hogy a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye
\'erv\'enyes akkor, ha a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak l\'etezik sz\'or\'asn\'egyzete. Val\'oj\'aban ez a
felt\'etel l\'enyegesen gyeng\'{\i}thet\H{o}. Ezenk\'{\i}v\"ul,
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlagai nagyon
\'altal\'anos felt\'etelek mellett nemcsak sztochasztikusan, hanem
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel is konverg\'alnak a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E\xi_1$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'ehez. Ezt az eredm\'enyt nevezik a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'enek. Megfogalmazom az eml\'{\i}tett eredm\'enyeket \'es
fogalmakat pontosan, \'es t\'argyalni fogom ezen eredm\'enyek
egym\'assal val\'o kapcsolat\'at. Sok fontos \'es tanuls\'agos
eredm\'enyt csk kimondok, de id\H{o}hi\'any miatt a
bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom.
 
El\H{o}sz\"or fel\'{\i}rom a (r\'eszben m\'ar kor\'abban ismertetett)
k\"ul\"onb\"oz\H{o} konvergenciafogalmakat.
 
\medskip\noindent
{\bf Az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergencia
definici\'oja:}  {\it Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozata akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha (egyr\'eszt ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak defini\'alva, m\'asr\'eszt)
$$
P\(\oo\: \lim_{n\to\infty}\xi_n(\oo)=\xi(\oo)\)=1.
$$
}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
konvergenci\'at a  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban
\'es m\'ert\'ek\-elm\'e\-let\-ben majdnem minden\"utt val\'o
konvergenci\'anak is h\'{\i}vj\'ak.
\medskip\noindent
{\bf A sztochasztikus konvergencia definici\'oja:}  {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor konverg\'al sztochasztikusan egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha (egyr\'eszt ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak
de\-fi\-ni\-\'al\-va, m\'asr\'eszt) minden $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{n\to\infty} P\(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|>\e\)=0.
$$
}\medskip\noindent
{\bf Az eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oja:}  {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez vagy az
ezen el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny \'altal meghat\'arozott
el\-osz\-l\'as\-hoz, ha $\limm_{n\to\infty}P(\xi_n<u)=F(u)$
{\rm minden olyan $u$ sz\'amra, ahol az $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny f\"uggv\'eny folytonos.} (Azt mondjuk, hogy
a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata eloszl\'asban konverg\'al egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha ez a sorozat
eloszl\'asban konverg\'al az $F(u)=P(\xi<u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez.)}
\medskip
A tov\'abbiakban t\'argyalni fogjuk (r\'eszben kit\H{u}z\"ott
feladatok form\'aj\'aban) a k\"u\-l\"on\-b\"o\-z\H{o}
konvegenciafogalmak k\"oz\"otti kapcsolatot.
\medskip
Igaz a k\"ovetkez\H{o} kapcsolat: Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
konvergencia $\Rightarrow$ Sztochasztikus konvergencia $\Rightarrow$
Eloszl\'asban val\'o konvergencia.
 
T\'argyaljuk el\H{o}sz\"or az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi \'es
sztochasztikus konvergencia kapcsolat\'at.
 
Ha $\xi_n(\oo)\to\xi(\oo)$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,
akkor defini\'alva az
$$
A_n=A_n(\e)=\left\{\oo\:\supp_{k\ge n}|\xi_k(\oo)-\xi(\oo)|<\e\right\}
$$
halmazokat azt kapjuk, hogy az egym\'asba skatuly\'azott $A_n$
halmazokra, (azaz $A_1(\oo)\subset A_2\subset\cdots$), teljes\"ul
a $P\(\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\)=1$ rel\'aci\'o. Ez\'ert
$\limm_{n\to\infty}P(A_n)=1$. Mivel  \'erv\'enyes a
$\{\oo\:|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|<\e\} \supset A_n$ rel\'aci\'o, ez\'ert
$P(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|<\e)\to1$, azaz
$P(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|\ge\e)\to0$, ha $n\to\infty$. Ez azt jelenti,
hogy az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergenci\'ab\'ol
k\"ovetkezik a sztochasztikus konvergencia.
\medskip
Nem k\"otelez\H{o} h\'azifeladat:
\medskip
\item{} Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozata, akkor \'es csak akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha az $\eta_n=\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata sztochasztikusan
konverg\'al null\'ahoz, azaz minden $\e>0$ sz\'amra
$P\(\limm_{n\to\infty}\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|>\e\)=0$.
\medskip
L\'assunk p\'eld\'at arra, hogy lehets\'eges olyan $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, \'es $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
konstru\'alni, amelyekre a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
sztochasztikusan tart $\xi$-hez, de a  $\xi_n$ sorozat nem
konverg\'al egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.
 
Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t: $\Omega$ a $[0,1]$ intervallum,
$\Cal A$ a Borel m\'erhet\H{o} halmazok $\sigma$-algebr\'aja a $[0,1]$
intervallumon, a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek a Lebesgue
m\'ert\'ek. Legyen
$$
\aligned
\xi_n(x)&=\left\{
\aligned
&1\quad\text{ha }x\in\[(n-2^k)2^{-k},(n+1-2^k)2^{-k}\]\\
&0\quad\text{ha }x\notin\[(n-2^k)2^{-k},(n+1-2^k)2^{-k}\]
\endaligned \right.  \\
&\qquad\qquad\qquad \text{akkor ha } 2^k\le n<2^{k+1},\quad
k=1,2,\dots,
\endaligned
$$
\'es $\xi(x)=0$ minden $0\le x\le 1$ sz\'amra. Ekkor
$P(|\xi_n-\xi|>\e)=2^{-k}$ minden $\e>0$ sz\'amra, ha $2^k\le
n<2^{k+1}$. Teh\'at a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
sztochasztikusan konverg\'al a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz. Viszont mivel $\limsupp_{n\to\infty}\xi_n(x)=1$
minden $0\le x\le 1$ sz\'amra, ez\'ert a $\xi_n$ sorozat nem
konverg\'al egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.
 
M\'asr\'eszt a Borel-Cantelli lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
amennyiben minden $\e>0$ sz\'amra $\summ_{n=1}^\infty
P(|\xi_n-\xi|>\e)<\infty$, akkor a $\xi_n$ sorozat egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz. Mi\'ert?
 
A sztochasztikus konvergencia \'es eloszl\'aban val\'o konvergencia
k\"oz\"otti kapcsolatra \'erv\'enyesek a k\"ovetkez\H{o} nem
k\"otelez\H{o} h\'azi feladatok form\'aj\'aban megfogalmazott
\'all\'{\i}t\'asok.
\medskip
Nem k\"otelez\H{o} h\'azifeladat:
\medskip
\item{a.)} Ha $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sztochasztikusan konverg\'alnak egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, akkor a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban is
konverg\'alnak ehhez a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz.
\item{b.)} Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a megford\'{\i}t\'asa nem
igaz. P\'eld\'aul, ha $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"ug\-get\-len,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
amelyek nem elfajultak, azaz nincs olyan konstans amelyeket ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesznek fel, akkor a $\xi_n$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'al\-to\-z\'ok eloszl\'asban
konverg\'alnak a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz,
viszont nem konverg\'alnak sztochasztikusan.
\item{c.)} Viszont igaz a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as: Ha
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak egy $a$ konstanshoz, (azaz
egy  olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, amely egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az $a$ konstanst veszi fel, akkor a
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat sztochasztikusan is konverg\'al
ehhez az $a$ konstanshoz. \medskip
 
Most r\'at\'er\"unk annak t\'argyal\'as\'ara, hogyan lehet a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'enek a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'egen
alapul\'o bizony\'{\i}t\'as\'at finom\'{\i}tva a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et is bebizony\'{\i}tani alkalmas felt\'etelek mellett.
Az al\'abb ismertetend\H{o} \'ervel\'esben val\'oj\'aban a t\'etel
bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben a sz\"uks\'egesn\'el sokkal
er\H{o}sebb kik\"ot\'eseket tesz\"unk. Id\'ezz\"uk fel a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eget, illetve a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'at a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
 
\medskip\noindent
{\bf Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg:} {\it Ha a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o m\'asodik momentuma
$E\xi^2=m^2$, akkor tetsz\H{o}leges $x>0$ sz\'amra
$$
P(|\xi|>x)\le \dfrac{m_2}{x^2}.
$$
Innen k\"ovetkezik, ha ezt az egyenl\H{o}tlens\'eget a
$\bar\xi=\xi-E\xi$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora
al\-kal\-maz\-zuk, hogy
$$
P(|\xi-E\xi|>x)\le \frac{\text{\rm Var}\,\xi}{x^2},
$$
 }\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg a Markov
egyenl\H{o}tlens\'eg k\"ovetkezm\'enye, amely szerint $P(|\xi|>x)\le
\dfrac {E|\xi|}x$. Alkalmazva ezt az \'all\'{\i}t\'ast a $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora kapjuk a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eget. Hasonl\'o m\'odon, alkalmazva a Markov
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-get a $\xi^{2k}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ora, ahol $k$ tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am,
$x>0$, kapjuk, hogy $P(|\xi|>x)\le\dfrac{E\xi^{2k}}{x^{2k}}$
\medskip
A nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et \'ugy bizony\'{\i}tottuk be,
hogy megvizsg\'altuk milyen becsl\'est ad a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere,
hogy f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'atlaga legal\'abb $\e$-nal elt\'er e v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l. Id\'ezz\"uk fel ezt a sz\'amol\'ast,
illetve ezzel p\'arhuzamosan vizsg\'aljuk meg azt is, milyen
becsl\'est kapunk, ha tov\'abbre is azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot vizsg\'aljuk, amelyet \'ugy kapunk, hogy f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'atlaga minusz azok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et vessz\"uk, de most
ennek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak nemcsak a m\'asodik
momentum\'at sz\'amoljuk ki, mint tett\"uk a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg alkalmaz\'as\'aban, ha\-nem a negyediket is.
L\'atni fogjuk, hogy ekkor \'erdekes \'uj eredm\'enyeket kapunk.
 
Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'eseket. Legyenek
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma el\-osz\-l\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$. Tegy\"uk fel, hogy $E\xi_1=0$, \'es
vizsg\'aljuk az
$$
E\(\frac{S_n}n\)^2,\quad E\(\frac{S_n}n\)^4\quad\text{\'es}\quad
P\(\frac{|S_n|}n>\e\)=P\(\left|\frac{S_n}n-E\xi_1\right|>\e\),\; \e>0
$$
kifejez\'eseket. Az utols\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
vizsg\'alat\'aban nem jelent megszor\'{\i}t\'ast az $E\xi_1=0$
felt\'etel, mert a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
a $\xi_j-E\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal
he\-lyet\-te\-s\'{\i}t\-ve az \'altal\'anos esetet erre a speci\'alis
esetre reduk\'alhatjuk.
$$
\text{Var}\,\frac{S_n}n=\frac1{n^2}\text{Var}\,{S_n}=
\frac n{n^2}\text{Var}\,\xi_1=
\frac 1n\text{Var}\,\xi_1,\quad
P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)\le\frac {\text{Var}\,\xi_1}{n\e^2}.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)=0$,
teh\'at \'erv\'enyes a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye.
$$
E\(\frac{S_n}n\)^4=\frac1{n^4}E(\xi_1+\cdots+\xi_n)^4,
$$
$$
\align
E(\xi_1+\cdots+\xi_n)^4&=\sum_{k=1}^n E\xi_k^4+6\sum\Sb 1\le j,k\le
n\\ j\neq k\endSb E\xi_j^2 E\xi_k^2
+4\sum\Sb 1\le j,k\le
n\\ j\neq k\endSb \underbrace{E\xi_j^3E\xi_k}_{=0} \\
&\qquad+4\sum\Sb 1\le j,k,l\le
n\\ j,k,l\text{ k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amok}\endSb
\underbrace{E\xi_j^2E\xi_kE\xi_l}_{=0} \\
&\qquad +\sum\Sb 1\le j,k,l,m\le
n\\ j,k,l,m\text{ k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amok}\endSb
\underbrace{E\xi_jE\xi_kE\xi_lE\xi_m}_{=0} \\
&=n E\xi_1^4+6n(n-1) (E\xi_1^2)^2,
\endalign
$$
ez\'ert
$$
P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)\le\frac{\frac1n
E\xi_1^4+6\(1-\frac1n)(E\xi_1)^2\)}{n^2\e^4}\le \frac{\const}{n^2\e^4}.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy
$\summ_{n=1}^\infty P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)<\infty$ minden
$\e>0$ sz\'amra, \'es a Borel--Cantelli lemma (k\"onnyebbik
fel\'eb\H{o}l) k\"ovetkezik, hogy minden $\e>0$ sz\'amra \'es majdnem
minden $\oo\in\Omega$ pontban teljes\"ul, hogy
$\left|\dfrac{S_n(\oo)}n\right|\le \e$, ha $n\ge
n_0(\oo)$. Alkalmazva ezt a rel\'aci\'ot minden $\e=\frac1k$ sz\'amra
$k=1,2,\dots$, kapjuk a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et,
amelyet az al\'abbi t\'etelben fogalmazunk meg.
\medskip\noindent
{\bf A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel
egy {\it gyenge form\'aja}\/:} {\it Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots,$
f\"uggetlen egyforma eloszl\'aa\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata egy $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, amelyekre teljes\"ul
az $E\xi_1^4<\infty$ felt\'etel, \'es vezess\"uk be az
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat. Ekkor az $\dfrac{S_n(\oo)}n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok majdnem minden
$\oo\in\Omega$-ra konverg\'alnak ez $E\xi_1$, sz\'amhoz, azaz ezek
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et.} \medskip
Megfogalmazom a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et kimond\'o
t\'etelt eredeti, \'eles for\-m\'a\-j\'a\-ban is.
\medskip\noindent
{\bf A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et kimond\'o t\'etel.}
{\it Legyen $\xi_1$, $\xi_2$,\dots, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es defini\'aljuk
az $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$, r\'eszlet\"osszegeket. Az
$\dfrac{S_n(\oo)}n$, $n=1,2,\dots$, sorozat akkor \'es csak akkor
konverg\'al pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha
$E|\xi_1|<\infty$. Ha $E|\xi_1|<\infty$, akkor ez a sorozat
teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et, azaz
$$
\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n(\oo)}n=E\xi_1\quad\text{majdnem minden }
\oo\in\Omega\text{-ra}.
$$
}
\medskip\noindent
L\'attuk, hogy a nagy sz\'amok k\"ul\"onb\"oz\H{o} t\"orv\'enyeit
kimond\'o t\'etelekben az \"osszeadand\'ok momentumair\'ol tesz\"unk
fel bizonyos felt\'eteleket. S\H{o}t, az utolj\'ara kimondott t\'etel
a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l, egyben jelzi
azt, hogy ez a felt\'etel nemcsak el\'egs\'eges, hanem sz\"uks\'eges
felt\'etel is. Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, mi\'ert j\'atszik olyan
fontos szerepet a momentumok l\'etez\'ese ezekben az eredm\'enyekben.
 
A nagy sz\'amok t\"orv\'enyei olyan \'all\'{\i}t\'ast fogalmaznak meg,
hogy f\"uggetlen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
\'atlagai egyfajta tipikus viselked\'est mutatnak, amelyikben az
egyes \"osszeadand\'ok hat\'asa \"onmag\'aban nem jelent\H{o}s, azaz
nagy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nem fordulhat el\H{o}, hogy van az
\"osszegben olyan kiugr\'oan nagy \'ert\'eket felvev\H{o} tag, amelynek
hat\'asa \"osszem\'erhet\H{o} az \"osszes t\"obbi tag hat\'as\'aval.
M\'arpedig az, hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
valamely momentuma kisebb egy adott sz\'amn\'al olyan tulajdons\'agot
fogalmaz meg, amely szerint a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
kis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesz fel nagy \'ert\'ekeket. Ahhoz,
hogy finomabb vizsg\'alatokat el tudjunk v\'egezni, ki kell tudnunk
fejezni a momentumok v\'egess\'eg\'et az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
nyelv\'en. A k\"ovetkez\H{o} lemma \'all\'{\i}t\'asa \'erdekes lesz a
nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'aban.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
abszolut \'ert\'ek\'enek akkor \'es csak akkor l\'etezik v\'arhat\'o
\'ert\'eke, azaz akkor \'es csak akkor teljes\"ul az $E|\xi|<\infty$
rel\'aci\'o, ha $\summ_{n=1}^\infty P(|\xi|>n)<\infty$.}
\medskip\noindent
{\bf Kieg\'esz\'{\i}t\'es.} {\it Az al\'abb ismertetend\H{o}
bizony\'{\i}t\'as finom\'{\i}t\'as\'aval be lehet l\'atni, hogy
a $|\xi|$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak akkor
\'es csak akkor van v\'eges m\'asodik momentuma, ha $\summ_{n=1}^\infty
nP(|\xi|>n)<\infty$. \'Altal\'anosabban $E|\xi|^k<\infty$ valamilyen
$k=1,2,\dots$, sz\'amra akkor \'es csak akkor, ha $\summ_{n=1}^\infty
n^{k-1}P(|\xi|>n)<\infty$.  De ezen \'all\'{\i}t\'asok
bizony\'{\i}t\'as\'at, amelyekre nem lesz sz\"uks\'eg\"unk elhagyjuk.}
\medskip\noindent
{\it A Lemma bizony\'{\i}t\'asa:} Tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt a
speci\'alis esetet, amikor a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o csak eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel. Ekkor az
$E|\xi|<\infty$ rel\'aci\'o  definici\'o szerint akkor \'es csak
akkor teljes\"ul, ha $\summ_{n=0}^\infty nP(|\xi|=n)<\infty$. Ezt
\'ugy is \'{\i}rhatjuk, hogy $\summ_{n=0}^\infty
n\(P(|\xi|>n-1)-P(\xi<n)\)<\infty$, \'es b\'armely r\"ogz\'{\i}tett
$N$ eg\'esz sz\'amra
$$
\summ_{n=0}^N nP(|\xi|=n)=\summ_{n=0}^N n\(P(|\xi|>n-1)-P(|\xi|>n)\)
=\summ_{n=0}^{N-1}P(|\xi|>n)-NP(|\xi|>N). \tag $*$
$$
Ha $E|\xi|=\infty$, akkor
$\summ_{n=1}^\infty P(|\xi|>n)=\limm_{N\to\infty}
\summ_{n=0}^{N-1}P(|\xi|>n)\ge \limm_{N\to\infty}
\summ_{n=0}^{N}nP(|\xi|=n)=\infty$ a $(*)$ rel\'aci\'o alapj\'an.
Ha $E|\xi|<\infty$, akkor $NP(|\xi|>N)\le E|\xi|$ minden $N$-re,
azaz az el\H{o}z\H{o} kifejez\'esnek van egy $N$-t\H{o}l f\"uggetlen
fels\H{o} becsl\'ese. Ez\'ert $\summ_{n=1}^\infty
P(|\xi|>n)=\limm_{N\to\infty} \summ_{n=0}^{N-1}P(|\xi|>n)\le
\limm_{N\to\infty}\summ_{n=0}^{N}nP(|\xi|=n)+\const<\infty$, szint\'en
a $(*)$ rel\'aci\'o alapj\'an.
 
Egy \'altal\'anos $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eset\'en defini\'aljuk a $\xi_1$ \'es $\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat \'ugy, hogy $k\le |\xi|<k+1$ eset\'en $\xi_1=k$,
$\xi_2=k+1$, $k=0,1,2,\dots$. Ekkor $\xi_1\le |\xi|\le \xi_2$, \'es
$\xi_2-\xi_1\equiv1$, ez\'ert az $E\xi_1$, $E|\xi|$ \'es $E\xi_2$
v\'arhat\'o \'ert\'ekek egyszerre v\'egesek vagy v\'egtelenek.
Tov\'abb\'a $\summ_{n=0}^\infty P(|\xi|>n)=\summ_{n=0}^\infty
P(\xi_2>n)$, ez\'ert a Lemma \'all\'{\i}t\'asa az \'altal\'anos esetben
k\"ovetkezik annak m\'ar bebizony\'{\i}tott speci\'alis eset\'eb\H{o}l.
\medskip
 Megmutatjuk az el\H{o}bbi feladat eredm\'eny\'enek \'es a
Borel--Cantelli lemm\'anak a se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel, hogy
amennyiben $E|\xi_1|=\infty$, akkor a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oval azonos eloszl\'as\'u $\xi_j$, $j=1,2,\dots$,
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem
teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et. Pontosabban
azt \'all\'{\i}tjuk, hogy ebben az esetben az
$S_n(\oo)=\summ_{j=1}^n\xi_j(\oo)$, $n=1,2,\dots$, \"osszegekre az
$S_n(\oo)$ majdnem minden $\oo\in\Omega$ pontban nem konvergens.
 
Val\'oban, az el\H{o}bb megfogalmazott eredm\'eny, \'es a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok azonos eloszl\'asa miatt az
$E|\xi_1|=\infty$ felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$\summ_{n=1}^\infty P(|\xi_1|>n)=\summ_{n=1}^\infty
P(|\xi_n|>n)=\infty$. Ez\'ert, \'es a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege miatt a
Borel--Cantelli lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy majdnem minden
$\oo\in\Omega$-ra $|\xi_n(\oo)|>n$ v\'egtelen sok az ($\oo$ elemi
esem\'enyt\H{o}l f\"ugg\H{o}) $n$ indexre. Val\'oban,
tegy\"uk fel, hogy valamely $\oo\in \Omega$ elemi esem\'enyre
$\limm_{n\to\infty}\dfrac{S_n(\oo)}n=a$ valamilyen v\'eges $a$
sz\'amra, amelyik \'ert\'eke f\"ugghet az $\oo$ elemi esem\'enyt\H{o}l.
Ekkor viszont a $\limm_{n\to\infty}\dfrac{S_{n-1}(\oo)}n=a$ rel\'aci\'o
is teljes\"ul, ahonnan $\limm_{n\to\infty}\(\dfrac{S_{n}(\oo)}n-
\dfrac{S_{n-1}(\oo)}n\)=\limm_{n\to\infty}\dfrac{\xi_n(\oo)}n=0$. Ez
a rel\'aci\'o viszont, mint l\'attuk egy 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
halmazon nem teljes\"ul.
 
L\'attuk, hogy mind a nagy sz\'amok gyenge mind a nagy sz\'amok
er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz arra van
sz\"uks\'eg\"unk, hogy k\'epesek legy\"unk f\"uggetlen (\'es egyforma
el\-osz\-l\'a\-s\'u), nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
$\xi_1,\xi_2,\dots,$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$, $n=1,2,\dots$, \"ossze\-g\'e\-nek
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'ere j\'o becsl\'est tudjunk adni. Pontosabban
arra van sz\"uk\-s\'e\-g\"unk, hogy j\'ol meg tudjuk becs\"ulni minden
$n$ indexre \'es r\"ogz\'{\i}tett $\e>0$ sz\'amra a $P(|S_n|>\e n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Val\'oj\'aban a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'aban hasznosabb, ha a
 $P\(\supp_{1\le m\le n}|S_m|>\e n\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket
tudjuk j\'ol megbecs\"ulni. Els\H{o} l\'at\'asra azt gondolhatn\'ank,
hogy az ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek becsl\'es\'ere
al\-kal\-maz\-hat\-n\'ank a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt.
Val\'oj\'aban a helyzet bonyolultabb.
 
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel j\'o aszimptotik\'at ad a
$P(S_n>x\sqrt n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre nagy $n$ indexre,
\'es r\"ogz\'{\i}tett $x$ sz\'amra. De szabad-e r\"ogz\'{\i}tett $x$
helyett $n$-t\H{o}l f\"ugg\H{o} $x_n=\e\sqrt n$ sz\'amot \'{\i}rni,
\'es alkalmazni form\'alisan a centr\'alis hat\'areloszl\'asban
szerepl\H{o} k\'epletet nem t\"or\H{o}dve az $x_n$ sz\'amnak az $n$
indext\H{o}l val\'o f\"ugg\'es\'evel? Az, hogy e k\'erd\'es
felvet\'es\'en\'el nem form\'alis k\"ot\H{o}zk\"od\'esr\H{o}l van
sz\'o mutatja a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} p\'elda: Legyenek
$\xi_1,\xi_2\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre
$P(\xi_1=1)=P(\xi_1=-1)=\dfrac12$, $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$. Ekkor a
$p_n(x)=P\(S_n\ge nx\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre $p_n(x)=0$, ha
$x>1$, \'es $p_n(x)=2^{-n}$, ha $x=1$. (Az $x<1$ esetben is j\'o
aszimptotikus formul\'at lehet adni a $p_n(x)$ mennyis\'egre, de
ahhoz k\"ul\"on vizsg\'al\'od\'as lenne sz\"uks\'eges, ez\'ert ezt
most nem tessz\"uk.) Ez a p\'elda azt mutatja, hogy a $p_n(x)$
f\"uggv\'eny nem \'ugy viselkedik, ahogy a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l ad\'od\'o form\'alis anal\'ogia
sugalln\'a. A $P(S_n\ge nx)$ alak\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
vizsg\'alat\'aval a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
egyik fontos \'es \'erdekes fejezete a nagy elt\'er\'esek elm\'elete
foglalkozik. Ez az elm\'elet nem t\'em\'aja a jelen
el\H{o}ad\'assorozatnak.
 
A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'at
nem dolgozom ki. Mind\"ossze azt teszem, hogy megfogalmazom a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egy fontos
egyenl\H{o}tlens\'eg\'et, amelynek az itt nem t\'argyalt
bizony\'{\i}t\'asa is tanuls\'agos, \'es a r\'eszletek kidolgoz\'asa
n\'elk\"ul jelzem, hogyan k\"ovetkezik a Kolmogorov
egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"or\-v\'enye.
\medskip
Annak sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etele is ismert, hogy
f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok teljes\'{\i}ts\'ek a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et.
Megfogalmazom ezt az eredm\'enyt, de az \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom. S\H{o}t ennek az eredm\'enynek az
ismeret\'et sem v\'arom el a vizsg\'an.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata $F$ eloszl\'asf\"uggv\'ennyel. Ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok akkor \'es csak
akkor teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'et, azaz a $\dfrac1n\summ_{k=1}^n\xi_k$ \'atlag akkor
\'es csak akkor konverg\'al sztochasztikusan  $n\to\infty$ eset\'eben
egy $a$ sz\'amhoz, $-\infty<a<\infty$, ha
$$
\lim_{x\to\infty}x\[F(-x)+\(1-F(x)\)\]=0, \quad \text{\'es} \quad
\lim_{u\to\infty}\int_{-u}^u xF(\,dx)=a.
$$
}\medskip
 
Ha \"osszehasonl\'{\i}tjuk a nagy sz\'amok gyenge \'es er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et azt l\'atjuk,  hogy a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'enye n\'emileg enyh\'ebb megk\"ot\'esek mellett
\'erv\'enyes mint a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye. \'Erdemes
l\'atni f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok olyan sorozat\'at, amelyik teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok
gyenge, de nem teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et. Ilyen p\'eld\'at fogalmazok meg a k\"ovetkez\H{o}
nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladatban. Egyben jelzem, hogyan lehet
bebizony\'{\i}tani azt, hogy ez a p\'elda teljes\'{\i}ti a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et an\'elk\"ul, hogy
felhaszn\'aln\'ank a nem bizony\'{\i}tott t\'etelt a nagy sz\'amok
gyenge t\"orv\'eny\'enek sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges
felt\'etel\'er\H{o}l. \medskip
Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat
\medskip
\item{} Legyen $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-ta,
az $f(x)=\dfrac C{x^2\log |x|}$, ha $|x|>2$. $f(x)=0$, ha $|x|\le 2$,
k\'eplettel megadott s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel.
($\dsize\int_{|x|>2}\frac {C\,dx}{x^2\log |x|}=1$.)
Defini\'aljuk az $S_n=\summ_{k=1}^m\xi_k$, $n=1,2,\dots$,
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-ket. L\'assuk be, hogy $E|\xi_1|=\infty$,
ez\'ert ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem
teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et. M\'asr\'eszt az $\dfrac{S_n}n$
\'atlagok szto\-chasz\-ti\-ku\-san tartanak null\'ahoz, azaz minden
$\e>0$ sz\'amra $P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)\to0$, ha
$n\to\infty$.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Legyen $\bar\xi_k=\bar
\xi_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|\le a_n\)$, $\bar{\bar\xi}_k=\bar{\bar
\xi}_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|>a_n\)$, \'es $\bar
S_n=\summ_{k=1}^n\bar\xi_k$, $\bar{\bar
S}_n=\summ_{k=1}^n\bar{\bar\xi}_k$. Ekkor $P(|S_n|>\e n)\le
P\(|\bar S_n|>\dfrac\e2n\)+P\(|\bar{\bar S}_n|>\dfrac\e2n\)\le \dfrac
{\text {Var}\,\bar S_n}{\frac{\e^2}4n^2}+nP\(\bar{\bar \xi_1}\neq0\)$.
Adjunk az $a_n$ konstans alkalmas meg\-v\'a\-lasz\-t\'a\-s\'a\-val
(p\'eld\'aul $a_n=n$) j\'o becsl\'est a $P(|S_n|>n\e)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre.
\medskip
 
Term\'eszetesen felvet\H{o}dik a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'es:
Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre $E\xi_1=0$. Legyen
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$. Ekkor a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'enye szerint a $\dfrac{S_n}n$ \'atlagok sztochasztikusan
tartanak null\'ahoz, a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye szerint
pedig egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel is null\'ahoz tartanak.
Hogyan lehet \'eles\'{\i}teni a nagy sz\'amok gyenge illetve er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et? Pontosabban fogalmazva, milyen $a_n$, $n=1,2,\dots$
sorozatokra mondhatjuk, hogy $\dfrac{S_n}{a_n}$ sztochasztikusan tart
null\'ahoz, ha $n\to\infty$? Milyen $b_n$, $n=1,2,\dots$ sorozatokra
mondhatjuk, hogy $\dfrac{S_n}{b_n}$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
tart null\'ahoz, ha $n\to\infty$? Az egyszer\H{u}s\'eg kedv\'e\'ert
tegy\"uk fel, hogy olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
tekint\"unk, amelyeknek van m\'asodik momentumuk.
 
Az els\H{o} k\'erd\'esre a v\'alasz viszonylag egyszer\H{u}
k\"ovetkezm\'enye a centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-nek,
\'es ezt tartalmazza a k\"ovetkez\H{o} feladat. A m\'asodik
k\'erd\'esre a v\'alaszt nehezebb megadni. Erre a k\'erd\'esre az
al\'abb megfogalmazott bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul k\"oz\"olt
iter\'alt logaritmust\'etel adja meg a v\'alaszt.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre $E\xi_1=0$ \'es
$E\xi_1^2<\infty$. Legyen $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$.
Ekkor pozit\'{\i}v val\'os sz\'amok valamely $a_n$ sorozat\'ara a
$\dfrac{S_n}{a_n}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok akkor \'es
csak akkor tartanak sztochasztikusan null\'ahoz $n\to\infty$ eset\'en,
ha $\limm_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{\sqrt n}=\infty$.
\medskip
V\'eg\"ul megfogalmazom a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
egyik h\'{\i}res eredm\'eny\'et, az \'ugy\-neve\-zett iter\'alt
logaritmus t\'etelt \medskip\noindent
{\bf Iter\'alt logaritmus t\'etel.} {\it Legyenek
$\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok valamilyen $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelyekre $E\xi_1(\oo)=0$,
$\Var\xi_1(\oo)=\sigma^2<\infty$.
Ekkor
$$
\limsup_{n\to\infty}\frac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}=1, \quad\text{majdnem minden
$\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre,}
$$
\'es
$$
\liminf_{n\to\infty}\frac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}=-1,
\quad\text{majdnem minden $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre.}
$$
}
\medskip\noindent
{\bf Kieg\'esz\'{\i}t\'es:}
\medskip\noindent
Ebben a kieg\'esz\'{\i}t\'esben bebizony\'{\i}tom a nagy sz\'amok
t\"orv\'eny\'enek el\'eg\-s\'e\-ges\-s\'eg\-r\H{o}l sz\'ol\'o fel\'et
az al\'abb megfogalmazott Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Pontosabban, azt l\'atom be, hogy ha
$\xi_1,\xi_2,\dots,$ f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sorozata,
amely teljes\'{\i}ti az $E|\xi_1|<\infty$ felt\'etelt, akkor ez a
sorozat teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et is.
\medskip\noindent
{\bf Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg}.
{\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, (nem
felt\'etlen\"ul egyforma eloszl\'as\'u)
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok, $E\xi_k=0$,
$E\xi_k^2=\sigma_k^2$, $S_k=\sum\limits_{p=1}^k\xi_p$, $k=1,\dots,n$.
Ekkor $$
P\(\sup_{1\le k\le n}|S_k|\ge x\)\le\frac{ES_n^2}{x^2}
=\frac{\sum\limits_{k=1}^n\sigma_k^2}{x^2}
$$
minden $x>0$-ra.}
\medskip
\'Erdemes megjegyezni, hogy a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg
ugyan\-azt a fels\H o becsl\'est adja annak
val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy az $S_k$ r\'eszlet\"osszegek
szup\-r\'e\-mu\-ma nagyobb mint valamilyen $x>0$ sz\'am, mint amit a
Csebisev egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg ad annak az ese\-m\'eny\-nek a
val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy az utols\'o tag $S_n$ nagyobb,
mint~$x$. Term\'eszetesen
$$
P\(\supp_{1\le k\le n}|S_k|>x|\)\ge P\(S_n|>x|\),
$$
de mint ahogy a Kolmogorov \'es Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg
\"osszehasonl\'{\i}t\'asa is sugallja a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg
baloldala nem sokkal nagyobb mint a jobboldala.
\medskip\noindent
{\it A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek
bizony\'{\i}t\'asv\'azlata a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel.}\/ Term\'eszetes gondolat
sz\'etv\'alasztani a $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
t\'ul nagy \'es nem t\'ul nagy \'ert\'ekeinek a hat\'as\'at a
bizony\'{\i}t\'asban. Ez sugallja, hogy \'erdemes a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'altoz\'ok k\"ovetkez\H{o}
felbont\'as\'at venni: $\xi_n=\xi_nI(|\xi_n|\le
n)+\xi_nI(|\xi_n|>n)=\xi_n'+\xi_n''$, ahol $I(A)$ egy $A$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'eny\'et jel\"oli. Azt, hogy a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ekeit az $n$
szinten csonk\'{\i}tottuk az teszi term\'eszetess\'e, hogy az egyik az
el\H{o}ad\'ason t\'argyalt eredm\'eny szerint az
$E|\xi_1|<\infty$
felt\'etel ekvivalens a $\summ_{n=1}^\infty P(\xi_n''=0)
=\summ_{n=1}^\infty P(|\xi_n|>n)=\summ_{n=1}^\infty
P(|\xi_1|>n)<\infty$ felt\'etellel, ami azt jelenti, hogy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, a $\xi_n''$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'eges sok kiv\'etellel null\'aval egyenl\H{o}ek. Ez
azt jelenti, hogy el\'eg a v\'eges sz\'or\'assal rendelkez\H{o}
$\xi_n'$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeinek
maximum\'ara j\'o  becsl\'est adni. Ez lehets\'eges a Kolmogorov
egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ha j\'o becsl\'est tudunk
adni a $\xi_n'$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'ere \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'ere.
 
N\'emi nem t\'ul neh\'ez, de itt nem t\'argyalt sz\'amol\'as
seg\'{\i}ts\'eg\'evel meg lehet mutatni, hogy
$\limm_{n\to\infty}\dfrac1n\summ_{k=1}^n E\xi_k'=
-\limm_{n\to\infty}\dfrac1n\summ_{k=1}^n E\xi_k''=0$, \'es ez
lehet\H{o}v\'e teszi a feladat reduk\'al\'as\'at arra a probl\'em\'ara,
hogy a $\bar\xi_k=\xi_k'-E\xi_k'$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\bar S_n=\summ_{k=1}^n\bar\xi_k$ \"osszegei
teljes\'{\i}tik a $\dfrac{\bar S_n}n\to0$ rel\'aci\'ot 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Ez a redukci\'o az\'ert hasznos, mert
ekkor f\"uggetlen, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlag\'at
kell vizsg\'alni, \'es ekkor alkalmazhatjuk a Kolmogorov
egyenl\H{o}tlens\'eget. N\'emi (az integr\'alok \'atrendez\'es\'en
m\'ul\'o, de itt nem t\'argyalt) sz\'amol\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel
megmutathat\'o, hogy teljes\"ul a $\summ_{k=1}^\infty
\dfrac{\Var\bar\xi_k}{k^2}<\infty$ azonoss\'ag. Ennek
felhaszn\'al\'as\'aval a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a k\"ovetkez\H{o} becsl\'eseket
hajthatjuk v\'egre.
 
$$
\align
P\(\sup_{2^{n-1}<k\le 2^n}\left|S_k-S_{2^{n-1}}\right|>\e2^{n-1}\)
&=P\(\sup_{1\le k\le 2^{n-1}}
\left|\summ_{j=1}^k\xi_{j+2^{n-1}}\right|>\e2^{n-1}\)\\
&\le\frac{\summ_{k=2^{n-1}+1}^{2^n}\Var\xi_k}{\e^2 2^{2(n-1)}}
\le\const\summ_{k=2^{n-1}+1}^{2^n}\frac{\Var\xi_k}{\e^2k^2},
\endalign
$$
ahonnan a $\bar\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sz\'or\'asn\'egyzet\'ere fel\'{\i}rt becsl\'es alapj\'an
$$
\summ_{n=1}^\infty P\(\sup_{2^{n-1}<k\le
2^n}\left|S_k-S_{2^{n-1}}\right|>\e2^{n-1}\)<\infty.
$$
Ez\'ert a Borel--Cantelli lemma alapj\'an egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
$$
\supp_{2^{n-1}<k\le 2^n}\left|S_k(\oo)-S_{2^{n-1}}(\oo)\right|
\le\e2^{n-1}\quad\text{v\'eges sok
($\oo$-t\'ol f\"ugg\H{o}) $n$ index kiv\'etel\'evel.}
$$
Innen viszont $S_N(\oo)\le\summ_{n\:2^{n-1}\le N}
\supp_{2^{n-1}<k\le 2^n}\left|S_k(\oo)-S_{2^{n-1}}(\oo)\right|
\le \const+4N\e$ majdnem minden $\oo$-ra egy csak $\oo$-t\'ol
f\"ugg\H{o} konstanssal. Mivel ez az \'all\'{\i}t\'as minden $\e>0$-ra
\'es $N$-re igaz, innen k\"ovetkezik a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'enye.
\bye
 
 
{\it Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Bizony\'{\i}tsuk be az
eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel
gyeng\'{\i}tett v\'altozat\'at.
\medskip
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Bizony\'{\i}tsuk be az el\H{o}ad\'as
elej\'en kimondott t\'etelben megfogalmazott (a) tulajdons\'agot
el\H{o}sz\"or folytonos \'es periodikus f\"uggv\'enyekre
 
 
 
 
 
 
 
