\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat t\'{\i}zenegyedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2003. \'aprilis 15.}
\medskip\noindent
El\H{o}sz\"or n\'eh\'any tov\'abbi p\'eld\'at mutatunk a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel alkalmaz\'as\'ara.
\medskip\noindent
{\it  1. feladat:}
\medskip\noindent
Egy szab\'alyos dob\'okock\'at \'es egy szab\'alyos \'erm\'et
feldobunk 3300
alkalommal egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. (Az \'erme \'es kockadob\'asok
eredm\'enyei is f\"uggetlenek egym\'ast\'ol.) Ha a kockadob\'as
eredm\'enye p\'aros \'es az \'erme a fej oldalra esett, akkor annyi
forintot nyer\"unk, amennyi a kockadob\'as eredm\'enye. Ha az \'erme
az \'{\i}r\'as oldalra esett vagy a kockadob\'as eredm\'enye p\'aratlan
sz\'am, akkor nem nyer\"unk, \'es nem is veszt\"unk semmit. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az \"ossznyerem\'eny\"unk
3190 \'es 3520 forint k\"oz\'e esik? Adjunk erre j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, \'es
$\eta_j$ $1\le j\le 3300$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=2$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a
$j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik kockadob\'as
eredm\'enye 6, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 1, 3
vagy 5. Legyen $\eta_j=1$, ha a $j$-ik \'ermedob\'as eredm\'enye fej,
\'es $\eta_j=0$, ha a $j$-ik \'ermedob\'as \'{\i}r\'as. Legyen
$\zeta_j=\xi_j\eta_j$. Ekkor a $j$-ik dob\'asn\'al a nyerem\'eny\"unk
$\zeta_j$ lesz, $1\le j\le 3300$,  \'es a $P\(3190\le
\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j\le3520\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell
j\'ol megbecs\"uln\"unk. Ennek \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki a
f\"uggetlen $\zeta_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
$E\zeta_j=E\xi_j\eta_j=E\xi_jE\eta_j=\dfrac16(2+4+6)\cdot\dfrac12=1$,
$E\zeta_j^2=E\xi_j^2E\eta_j^2=\dfrac16(4+16+36)\cdot\dfrac12
=\dfrac{14}3$, $\Var\zeta_j^2=E\zeta_j^2-(E\zeta_j)^2=\dfrac{11}3$.
Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$
\align
P\(3190\le\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j\le3520\)&=
P\(\dfrac{-110}{\sqrt{3300\frac{11}3}}
\le\dfrac{\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j-\summ_{j=1}^{3300}E\zeta_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^{3300}\Var\xi_j}}
\le\frac{220}{\sqrt{3300\frac{11}3}}\) \\
&\sim\Phi(2)-\Phi(-1)=0.9772+0.8413-1=0.9285.
\endalign
$$
\medskip\noindent
{\it  2. feladat:}
\medskip\noindent
Legyen birtokunkban 100 l\'ampa, amelyek mindegyike
egym\'ast\'ol f\"uggetlen id\H{o}\-tar\-ta\-mig m\H{u}k\"odik,
\'elettartamuk pedig exponenci\'alis eloszl\'as\'u
$\lambda=\dfrac1{10}$ param\'eterrel. (A l\'amp\'ak \'elettartam\'anak
exponenci\'alis eloszl\'asa term\'eszetes felt\'etelez\'es.) Egy termet
be\-vi\-l\'a\-g\'{\i}\-tunk ezen l\'amp\'ak valamelyik\'evel, majd
amikor az ki\'egett \'uj l\'amp\'at haszn\'alunk fel. Adjunk j\'o
becsl\'est arra, hogy a l\'amp\'ak \"ossz\'elettartama legal\'abb 1150
\'ora.
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik l\'ampa
\'el\'ettartam\'at, $1\le j\le100$. Ekkor a
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre kell
j\'o becsl\'est adnunk, ahol az \"osszegben f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szerepelnek
$\lambda=\frac1{10}$ param\'eterrel. Vezess\"uk be az
$\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{100}$ jel\"ol\'est.
 
Kisz\'amoltuk, hogy jelen esetben
$E\eta=mE\xi_1=\dfrac m\lambda=1000$, $\Var \eta=\dfrac
m{\lambda^2}=10 000$ ($m=100$ \'es $\lambda=\dfrac1{10}$
v\'alaszt\'assal). Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
sze\-rint $\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{ \Var
\eta}}=\dfrac{\eta-1000}{100}$ j\'o
k\"ozel\'{\i}t\'essel standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150) =P\(\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{\Var
\eta}}>1.5\)\sim1-\Phi(1.5)$.
\medskip
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel nagy seg\'{\i}ts\'eget ad a
ma\-te\-ma\-ti\-kai statisztika k\'et fontos probl\'emak\"or\'eben,
a becsl\'eselm\'eletben  \'es a hipot\'ezisvizsg\'alatban. A
becsl\'eselem\'eletben olyan k\'erd\'esekkel foglalkozunk mint
p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'esek: Mennyi egy l\'ampa
v\'arhat\'o \'elettartama, mennyi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy egy kocka a hatos oldalra esik, mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy egy (\'eletbiztos\'{\i}t\'ast k\"otni akar\'o ember) meg\'eli a
hetvenedik \'evet? \'Altal\'aban a k\'erd\'es a k\"ovetkez\H{o}: Egy
esem\'eny eloszl\'asa f\"ugg valamilyen ismeretlen
param\'eter(ek)t\H{o}l, \'es ez(eke)t a param\'eter(eke)t akarjuk
megbecs\"ulni. Ennek \'erdek\'eben kis\'erleteket v\'egz\"unk, \'es
valamilyen j\'o m\'odszer seg\'{\i}ts\'eg\'evel pr\'ob\'aljuk
megbecs\"ulni az ismeretlen param\'etert e kis\'erletek
eredm\'eny\'enek a f\"uggv\'eny\'eben.
 
A hipot\'ezisvizsg\'alatban a feladat az, hogy bizonyos
hipot\'ezis\"unk van arr\'ol, hogy mennyi az \'elettartama egy
l\'amp\'anak, mennyire n\'epszer\H{u} egy v\'elem\'eny a
v\'alaszt\'ok k\"oz\"ott, hogy  egy gy\'ogyszer hat\'asosabb mint
egy m\'asik vagy valamilyen hasonl\'o prob\-l\'e\-m\'a\-r\'ol van
valamilyen ellen\H{o}rizend\H{o} felt\'etelez\'es\"unk. Annak
\'erdek\'eben, hogy eld\"onts\"uk, helyes-e a hipot\'ezis\"unk
kis\'erleteket v\'egz\"unk. Ha kis\'erleteink eredm\'enye nagyon
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}t\-len hipot\'ezis\"unk teljes\"ul\'ese
eset\'en, akkor hipot\'ezis\"unket elutas\'{\i}tjuk, ha pedig
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}, akkor elfogadjuk azt. De mikor
tekintj\"uk a bek\"ovetkezett eredm\'enyt val\'osz\'{\i}n\H{u}nek
\'es mikor val\'osz\'{\i}n\H{u}tlennek? E k\'erd\'es
eld\"ont\'es\'eben sokszor a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}t. Erre mutatunk n\'eh\'any p\'eld\'at. E p\'eld\'ak
t\'argyal\'asa el\H{o}tt bevezetj\"uk a ma\-te\-ma\-ti\-kai statisztika
n\'eh\'any egyszer\H{u} \'es term\'eszetes fogalm\'at. Jelen
el\H{o}\-ad\'as\-soro\-zat\-ban csak a hipot\'ezisvizsg\'alattal
foglalkozunk, az ehhez kapcsol\'od\'o fogalmakat vezetj\"uk be.
 
Azt a felt\'etelez\'est, amelyet ellen\H{o}r\'{\i}zni akarunk nevezik
null-hipot\'ezisnek, annak ellenkez\H{o}j\'et pedig ellenhipot\'ezisnek.
Vannak olyan feladatok, amelyekben a null-hipot\'ezis egyetlen
elemb\H{o}l \'all, p\'eld\'aul, ha azt t\'etelezz\"uk fel, hogy egy
dob\'okocka szab\'alyos. Az ilyen hipot\'eziseket nevezik egyszer\H{u}
hipot\'ezisnek. Vannak olyan feladatok, amelyekben a null-hipot\'ezis
t\"obb elemb\'ol \'all, p\'eld\'aul az a felt\'etelez\'es, hogy egy
javaslatot az emberek legal\'abb fele t\'amogat. Az ilyen
hipot\'eziseket h\'{\i}vj\'ak \"osszetett hipot\'ezisnek. K\'et fajta
hib\'at k\"ovethet\"unk el. Az egyik hiba az, hogy a hipot\'ezis
teljes\"ul, mi m\'egis elutas\'{\i}tjuk azt. Ezt nevezik els\H{o}faj\'u
hib\'anak. Ha a hipot\'ezis nem teljes\"ul, mi m\'egis \'ugy
d\"ont\"unk, hogy az teljes\"ul, akkor ezt m\'asodfaj\'u hib\'anak
nevezz\"uk. Az els\H{o}faj\'u hiba cs\"okkent\'ese \'erdek\'eben
min\'el t\"obbsz\"or kell elfogadni, a m\'asodfaj\'u hipot\'ezis
cs\"okkent\'ese \'erdek\'eben pedig min\'el t\"obbsz\"or kell
elutas\'{\i}tani a hipot\'ezist. A gyakorlatban \'altal\'aban \'ugy
szokt\'ak a feladatokat megfogalmazni, hogy az els\H{o}faj\'u hib\'ara
el\H{o}\'{\i}runk egy fels\H{o} korl\'atot, \'es eme felt\'etel mellett
pr\'ob\'aljuk a m\'asodfaj\'u hib\'at min\'el kisebb\'e tenni. Az
els\H{o}faj\'u hib\'ara adott fels\H{o} korl\'at \"osszetett
null-hipot\'ezis eset\'en azt jelenti, hogy az els\H{o}faj\'u hiba
minden a null-hipot\'ezis teljes\"ul\'ese eset\'en el\H{o}fordulhat\'o
eloszl\'as eset\'en legyen kisebb mint az el\H{o}\'{\i}rt fels\H{o}
korl\'at.
\medskip\noindent
{\it 3. feladat}
\medskip\noindent
Egy p\'enzdarabr\'ol ellen\H{o}rizni akarjuk, hogy igaz-e
az a hipot\'ezis, amely szerint ez az \'erme legal\'abb $\frac34$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej \'es legfeljebb $\frac14$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldal\'ara. Ennek
\'erdek\'eben feldobjuk a p\'enzdarabot 30~000 alkalommal, \'es a
k\"ovetkez\H{o} d\"ont\'esi szab\'alyt hozzuk. V\'alasztunk egy $k$
sz\'amot, \'es akkor fogadjuk el a hipot\'ezist helyesnek, ha
legal\'abb $k$ fejdob\'as t\"ort\'ent. Legal\'abb mekkor\'anak kell
v\'alassztanunk ezt a $k$ sz\'amot, ha azt akarjuk, hogy egy a
hipot\'ezist teljes\'{\i}t\H{o} p\'enzdarab eset\'en legal\'abb 0.9
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel d\"onts\"unk \'ugy, hogy a
hipot\'ezis teljes\"ul?
 
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye
\'{\i}r\'as, $1\le j\le30\,000$,
$S=S_{30000}=\summ_{j=1}^{30\,000}\xi_j$. Ha a fejdob\'as
eredm\'eny\'enek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pontosan
$\dfrac34$, akkor $E\xi_j=\dfrac34$, $E\xi_j^2=\dfrac34$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-\(E\xi_j\)^2=\dfrac3{16}$,
$ES=30\,000E\xi_j=22\,500$, $\Var S=30\,000\Var\xi_j=5625=75^2$.
Innen \'es a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l,
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(S>k)&=P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}>\frac{k-22\,500}{75}\)
=1-P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}\le \frac{k-22\,500}{75}\)\\
&\sim 1-\Phi\(\frac{k-22\,500}{75}\).
\endalign
$$
V\'alasszuk a $k$ sz\'amot \'ugy, hogy a fenti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"or\"ulbel\"ul 0.9 legyen. Ekkor a
$\Phi\(\dfrac{k-22\,500}{75}\)=0.1$ vagy ami ezzel ekvivalens,
a $\Phi\(\dfrac{22\,500-k}{75}\)=0.9$ egyenletet kell
kiel\'eg\'{\i}ten\"unk. A norm\'alis eloszl\'as-t\'abl\'azat alapj\'an
$\dfrac{22\,500-k}{75}\sim1.28$, ami azt jelenti, hogy
$k=22\,500-75\cdot 1.28$ \'es $p=\dfrac34$ eset\'en annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a fejdob\'asok sz\'ama nagyobb mint
$k=22\,500-75\cdot 1.28=22\,212$ \'es $p=\dfrac34$ eset\'eben annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb ennyi fejdob\'as
t\"ort\'enik k\"or\"ulbel\"ul 0.9. Ha $p\ge\dfrac34$, akkor ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nagyobb. Ez\'ert a $k=22\,212$ helyes
v\'alaszt\'as.
\medskip\noindent
{\it 4. feladat:}
\medskip\noindent
Ledobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 24~000 pontot a
$[0,2]$ intervalumra egyenletes el\-osz\-l\'as\-sal, (azaz annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy ledobott pont \'ert\'eke
$x$-n\'el kisebb $\dfrac x2$-vel egyenl\H{o}, ha $0\le x\le 2$, eggyel
egyenl\H{o}, ha $x\ge2$, \'es nulla, ha $x\le0$.) \H{O}rizz\"uk meg
azokat a ledobott pontokat, melyek \'ert\'eke 1-n\'el kisebb, \'es
hagyjuk el azokat, melyek \'ert\'eke, nagyobb mint egy. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a meg\H{o}rz\"ott pontok \'ert\'ekeinek
az \"osszege 5900  \'es 6075 k\"oz\'e esik? Adjunk erre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est
a mell\'ekelt norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 24~000$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=x$, ha a $j$-ik ledobott pont \'ert\'eke $x$, \'es $0\le x\le
1$, \'es $\xi_j=0$, ha a $j$-ik ledobott pont \'ert\'eke az $(1,2]$
intervallumba esik. Ekkor a meg\H{o}rz\"ott pontok \"osszege
$S=\summ_{j=1}^{24~000}\xi_j$, tov\'abb\'a a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es egyforma
eloszl\'as\'uak.  Ez\'ert a centr\'alis hat\'arelosz\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o becsl\'est tudunk adni a minket
\'erdekl\H{o} $P(5900<S<6075)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre. Ennek
\'erdek\'eben ki kell sz\'amolnunk  a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Vegy\"uk \'eszre, hogy ugyan a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\'us\'egi v\'al\-to\-z\'o\-nak nincs
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es nem disz\-kr\'et eloszl\'aa\'u,
viszont anak $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enye fel\'{\i}rhat\'o
$F(x)=F_1(x)+F_2(x)$ alakban, ahol $F_1(x)$ nek van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ami az $f(x)=\frac12$
f\"uggv\'eny a $[0,1]$ intervallumon, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$ vagy
$x>1$, \'es $F_2(x)$ olyan m\'ert\'eket hat\'aroz meg, amelyik a
null\'aba van koncentr\'alva, \'es a nulla m\'ert\'eke $\frac12$.
Pontosabban, tetsz\H{o}leges $A$ halmaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$P(A)=\int_A F(\,dx)=\int_A F_1(\,dx)+\int_A F_2(\,dx)=
\int_A \frac12\,dx+\int_A F_2(\,dx)$, ahol
$\int_A F_2(\,dx)=\frac12$, ha $0\in A$, \'es
$\int_A F_2(\,dx)=0$, ha $0\notin A$. Ekkor tetsz\H{o}leges $h(x)$
f\"uggv\'enyre $Eh(\xi)=\int h(x) F(\,dx)=\int h(x) F_1(\,dx)+\int h(x)
F_2(\,dx)=\int _0^1 \frac12 h(x)\,dx+\frac12 h(0)$. Ez\'ert
$E\xi_1=\frac12\int_0^1 x\,dx=\dfrac14$,
$E\xi_1^2=\frac12\int_0^1 x^2\,dx=\dfrac16$, $\Var
\xi_1=\dfrac16-\dfrac1{16}=\dfrac5{48}$, \'es $ES=6000$, $\Var S=2500$.
Innen
$$
\align
P(5900<S<6075)&=P\(-2< \frac {S-ES}{\sqrt{\Var S}}<1.5\)\\
&\sim\Phi(1.5)-\Phi(-2)=\Phi(1.5)+\Phi(2)-1.
\endalign
$$
\medskip
{\it H\'azi feladat.}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 2700 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszesz\'amoljuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy ez az \"osszeg 420 \'es 720 k\"oz\'e esik.
 
 
\medskip\noindent
{\it Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol.}
\medskip\noindent
A centr\'alis eloszl\'at\'etel form\'alis megfogalmaz\'asa \'ugy
sz\'ol, hogy bizonyos va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'as\'anak sorozata konverg\'al a norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez. Annak \'er\-de\-k\'eben, hogy ezt
bebizony\'{\i}tsuk el\H{o}sz\"or tiszt\'azni kell a k\"ovetkez\H{o}
k\'erd\'est: Mikor mondjuk azt, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asai konverg\'alnak egy
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-hoz? Ez a k\'erd\'es nem annyira egyszer\H{u}
mint azt az els\H{o} pillanatban gondoln\'ank. E fogalom helyes
definici\'oja a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'anak az els\H{o} term\'eszetes l\'ep\'ese. A
probl\'em\'at az okozza, hogy egy \'altal\'anos elvet kell
kidolgoznunk, amelyik viszonylag j\'ol ellen\H{o}z\'{\i}zhet\H{o}
felt\'etelt ad arra, hogy eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy sorozata
konverg\'aljon egy eloszl\'asf\"uggv\'enyhez. Ehhez viszont az
eloszl\'asban val\'o konvergencia j\'o definicoj\'at kell megadni,
\'es ezt olyan hat\'areloszl\'asok eset\'eben is meg kell tenn\"unk,
amelyek bonyolultabbak, mint a norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny.
Ez\'ert olyan az eloszl\'asok konvergenci\'aj\'aval kapcsolatos
probl\'em\'akat is t\'argyalnunk kell, amelyek abban a sz\'ep eset\-ben,
amikor norm\'alis eloszl\'as a hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny nem
mer\"ulnek meg. (Mag\'anak a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
r\'eszletes bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'at id\H{o}hiany miatt
elhagyjuk.)
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oja.} {\it Legyen
$F_n(\cdot)$, $n=1,2,\dots$, el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
sorozata a sz\'amegyenesen. Azt mondjuk, hogy az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak egy $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$ az
$F(\cdot)$ (hat\'ar)\-elosz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny
minden folytonoss\'agi pontj\'aban.
 
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata. Azt mondjuk, hogy a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
egy $F(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha az $F_n(x)=P(\xi_n<x)$,
$-\infty<x<\infty$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban
konverg\'alnak az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
 
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata. Azt mondjuk, hogy a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha az
$F_n(x)=P(\xi_n<x)$, $-\infty<x<\infty$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek
eloszl\'asban konverg\'alnak az $F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.}
\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es:}\/ A norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny minden
pontban folytonos. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny
azt mondja ki, hogy f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'altjai
eloszl\'asban konverg\'alnak a standard norm\'alis
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez. Ebben az esetben nincs
jelent\H{o}s\'ege annak, hogy a hat\'areloszl\'asl\'asf\"uggv\'eny
(jelen esetben nem l\'etez\H{o}) szakad\'asi pontjaiban nem
k\"ovetelj\"uk meg a konvergenci\'at.
\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es:}\/ A fenti definici\'oban van bizonyos
\"onism\'etl\'es. Sokszor el\H{o}fordul, hogy ugyanazt a fogalmat
n\'emileg elt\'er\H{o} sz\'ohaszn\'alatban haszn\'alj\'ak. Ez\'ert
egym\'as mellett felsoroltuk a k\"ul\"onb\"oz\H{o} lehets\'eges
megfogalmaz\'asokat. Tulajdonk\'eppen csak arr\'ol van sz\'o, hogy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban val\'o
konvergenci\'aj\'an e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'as\'anak az eloszl\'asban val\'o
konvergenci\'aj\'at \'ertj\"uk. Tov\'abb\'a azt mondhatjuk, hogy az
eloszl\'asban val\'o konvergencia limesze egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ha a limesz ennek
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak az eloszl\'asa.
\medskip
Felmer\"ul a k\'erd\'es, mi\'ert van kit\"untetett szerepe a
hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny szakad\'asi pontjainak az
eloszl\'asf\"uggv\'eny konvergenci\'aj\'anak definici\'oj\'aban.
Term\'eszetes-e, hogy ezekben a pontokban nem k\"ovetelt\"uk
meg a konvergenci\'at? E k\'erd\'es meg\'ert\'es\'enek
\'erdek\'eben tegy\"uk a k\"ovetkez\H{o} megjegyz\'est.
 
Egy a sz\'amegegyenesen megadott $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny induk\'al
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket a sz\'amegyenesen. Ez az
a Stieltjes m\'ert\'ek, amelyet $\mu_F$-fel jel\"olt\"unk, \'es
amelynek l\'etez\'es\'et csak kimondtuk, de az \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'at elhagytuk, mert az a
m\'ert\'ekelm\'elet feladata. Az eloszl\'asban val\'o konvergencia
definici\'oj\'aban val\'oj\'aban nem az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konvergenci\'aj\'at k\"ovetelj\"uk meg az $F$ eloszl\'ashoz, hanem az
$F_n$ eloszl\'asok \'altal induk\'alt $\mu_{F_n}$ Stieltjes
m\'ert\'ekek konvergenci\'aj\'at az $F$ eloszl\'as \'altal induk\'alt
$\mu_F$ m\'ert\'ekhez. Szeml\'eletesen a $\mu_{F_n}$ m\'ert\'ekek
elk\'epzelhet\H{o}ek mint olyan t\"o\-meg\-el\-osz\-l\'a\-sok a
sz\'amegyenesen, amelyekben egy $A\subset R$ halmaz ,,s\'ulya" a
$\mu_F(A)$ m\'ert\'ek. Az el\-osz\-l\'as\-ban val\'o konvergencia azt
jelenti, hogy a $\mu_{F_n}$ t\"omegeloszl\'asok nagy $n$
indexre k\"ozel vannak a $\mu_F$ t\"omegeloszl\'ashoz.
 
Az eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oj\'anak jobb
meg\'ert\'ese \'erdek\'eben tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o}
egyszer\H{u} p\'eld\'at. Legyen $x_0=0$, \'es $x_n$, $n=1,2,\dots$,
olyan sz\'amsorozat, amelyre $x_n<0$, $n=1,2,\dots$, \'es
$\limm_{n\to\infty}x_n=0$. Legyen $\mu_{F_n}$, $n=0,1,2,\dots$,
az a m\'ert\'ek, amely az $x_n$ pontba van koncentr\'alva, azaz
$\mu_{F_n}(\{x_n\})=1$, r\'eszletesebben $\mu_{F_n}(A)=1$, ha
$x_n\in A$, \'es $\mu_{F_n}(A)=0$, ha $x_n\notin A$. A $\mu_{F_n}$
eloszl\'as azon $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott
Stieltjes m\'ert\'ek, amelyre $F_n(x)=0$, ha $x\le x_n$, $F_n(x)=1$,
ha $x>x_n$. Term\'eszetes azt v\'arni, hogy az eloszl\'asf\"uggv\'eny
alkalmas definici\'oja eset\'en a most defini\'alt p\'eld\'aban az
$F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak
az $F_0$ eloszl\'ashoz. M\'asr\'eszt vegy\"uk \'eszre, hogy
$\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F_0(x)$ minden $x\neq0$ sz\'amra. De az
$x=0$ pontban, azaz az $F_0$ f\"uggv\'eny szakad\'asi pontj\'aban ez
a konvergencia nem teljes\"ul, mert $F_n(0)=1$, ha $n\ge1$,
\'es $F_0(0)=0$. Teh\'at az \'altalunk megadott definici\'o szerint
az $F_n$ eloszl\'asok eloszl\'asban konverg\'alnak az $F_0$
eloszl\'ashoz, de annak \'erdek\'eben, hogy ez teljes\"ulj\"on
sz\"uks\'eg volt arra, hogy az eloszl\'asban val\'o konvergencia
definici\'oj\'aban ne k\"ovetelj\"uk meg az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konvergenci\'aj\'at a hat\'arf\"uggv\'eny szakad\'asi pontjaiban.
 
Be lehet l\'atni, hogy az eloszl\'asban val\'o konvergencia kifejezi
azt a szeml\'eletes tartalmat, amelyet a t\"omegeloszl\'asokkal val\'o
reprezent\'aci\'o sugall, ezt azonban nem tessz\"uk. Ehelyett egy olyan
eredm\'enyt fogalmazok meg, amely az eloszl\'asban val\'o
konvergencia egy ekvivalens jellemz\'es\'et adja meg. Ennek az
eredm\'enynek csak bizony\'{\i}t\'asv\'azlat\'at adom meg, b\'ar a
bizony\'{\i}t\'as nem neh\'ez. Ut\'ana r\"oviden le\'{\i}rom, mi\'ert
hasznos ez az eredm\'eny hat\'areloszl\'ast\'etelek vizsg\'alat\'aban.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it $F_n(u)$, $n=1,2,\dots$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
sorozata akkor \'es csak akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha minden a sz\'amegyenesen \'ertelmezett
folytonos, korl\'atos $g(u)$ f\"uggv\'enyre teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}\int g(u)\,dF_n(u)=\int g(u)\,dF(u) \tag a
$$
azonoss\'ag.}
\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es:}\/ Az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'aj\'anak
k\'et jellemz\'es\'et adtuk meg. Az egyik a definici\'oban megadott
le\'{\i}r\'as, a m\'asik a t\'etelben megadott ekvivalens jellemz\'es.
Ez a t\'etelben adott jellemz\'es az\'ert hasznos, mert amikor
bizony\'{\i}tani akarjuk eloszl\'asok konvergenci\'aj\'at, akkor azt
egyszer\H{u}bb \'ugy megtenni, hogy korl\'atos \'es folytonos
f\"ugg\-v\'e\-nyek ezen eloszl\'asok szerinti integr\'alj\'anak a
konvergenci\'aj\'at bizony\'{\i}tjuk be. Vi\-szont, mint a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel\'ehez kapcsol\'od\'o p\'eld\'aink is
mutatj\'ak, a ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-te\-lek gyakorlati
alkalmaz\'asaiban majdnem mindig eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konvergenci\'ajanak az eredeti definici\'oj\'aban megadott
tulajdons\'ag\'at haszn\'aljuk.
\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es:}\/ Az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'at
szok\'as gyenge konvergenci\'anak is ne\-vez\-ni. \'Erdemes
megjegyezni, hogy a funkcion\'alanal\'{\i}zisben is szok\'as Banach
terek funk\-cio\-n\'al\-jai\-nak gyenge konvergenci\'aj\'ar\'ol
besz\'elni, \'es az el\H{o}bb kimondott t\'etel azt is jelenti,
hogy a gyenge konvergenci\'anak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban \'es
funk\-cio\-n\'al\-ana\-l\'{\i}\-zis\-ben hasz\-n\'alt \'ertelmez\'ese
\"osszhangban van egym\'assal. Ugyanis egy a sz\'amegyenesen
defini\'alt $\mu$ (va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi) m\'ert\'eket
fel lehet fogni, mint a korl\'atos \'es folytonos f\"ugg\-v\'e\-nyek
Banach ter\'en \'ertelmezett (korl\'atos \'es line\'aris)
funkcion\'alt. Nevezetesen a $\mu$ m\'ert\'ek az $f(\cdot)$
korl\'atos \'es folytonos f\"uggv\'enyhez hozz\'arendeli a
$\mu(f)=\int f(u)\mu(\,du)$ sz\'amot. A funkcion\'alanal\'{\i}zisben
de\-fi\-ni\-\'alt fogalomrendszer szerint a $\mu_n$ m\'ert\'ekek
gyenge konvergenci\'aja a $\mu$ m\'ert\'ekhez azt jelenti, hogy
$\limm_{n\to\infty}\int f(u)\mu_n(\,du)=\int f(u)\mu(\,du)$ minden
folytonos \'es korl\'atos f\"ugg\-v\'eny eset\'eben, ez pedig
a fent kimondott t\'etel szerint a $\mu_n$ m\'ert\'ekeknek,
pontosabban az \'altaluk meghat\'arozott $F_n(x)=\mu_n(\{u\:u<x\})$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek gyenge (azaz el\-osz\-l\'as\-beli)
konvergenci\'aj\'at jelenti a $\mu$ m\'ert\'ekhez, pontosabban
az \'altala meghat\'arozott $F(x)=\mu(\{u\:u<x\})$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
\medskip\noindent
{\it Binony\'{\i}t\'asv\'azlat:} Tegy\"uk fel el\H{o}sz\"or azt,
hogy az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak
egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, \'es tekints\"unk egy folytonos
\'es korl\'atos $g(\cdot)$ f\"uggv\'enyt a sz\'amegyenesen. Ekkor a
$g$ f\"uggv\'eny folytonoss\'aga \'es az $F$ illetve $F_n$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek viselked\'ese miatt $\pm\infty$ pontok
k\"ornyezet\'eben minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan el\'eg
nagy $K=K(\e)>0$, amelyre $\int_{u\:|u|>K} |g(u)|\,dF_n(u)<\e$ minden
$n=1,2,\dots$ indexre, \'es ez az \'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes akkor
is, ha az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'ennyel helyettes\'{\i}tj\"uk. Tov\'abb\'a a
folytonos $g(\cdot)$ f\"uggv\'eny a $[-K,K]$ intervallumban
egyenletesen folytonos. Ennek az \'eszrev\'etelnek \'es annak a
t\'enynek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$
az $F(\cdot)$ minden folytonoss\'agi pontj\'aban be lehet l\'atni,
v\'eve a $[-K,K]$ intervallumnak egy olyan el\'eg finom
feloszt\'as\'at, amelynek az oszt\'opontjai az $F$ f\"uggv\'eny
folytonoss\'agi pontjai, hogy
$$
\left|\int_{u\:|u|\le K} g(u)\,dF_n(u)-\int_{u\:|u|\le K}
g(u)\,dF(u)\right|<\e,\quad\text{ha } n\ge n_0(\e).
$$
(E l\'ep\'esben kihaszn\'aljuk azt, hogy egy monoton f\"uggv\'enynek
csak megsz\'aml\'alhat\'o sok szakad\'asi pontja van. Mi\'ert?)
Innen $\e\to0$ hat\'ar\'atmenettel megkapjuk az (a) \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'at.
 
Megford\'{\i}tva tegy\"uk fel, hogy teljes\"ul az (a) rel\'aci\'o,
\'es legyen $x$ az $F$ f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontja.
R\"ogz\'{\i}tve egy kis $\e>0$ sz\'amot defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $g^\pm(u)=g_{x,\e}^\pm(u)$, $-\infty<u<\infty$
folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'enyeket: $g^+(u)=0$, ha $u\ge
x+\e$, $g^+(u)=1$, ha $u\le x$, $g^+(u)=\dfrac{x+\e-u}\e$, ha $x\le
u\le x+\e$, $g^-(u)=0$, ha $u\ge x$, $g^-u)=1$, ha $u\le x-\e$,
$g^-(u)=\dfrac{x-u}\e$, ha $x-\e\le u\le x$. Alkalmazva az (a)
\'all\'{\i}t\'ast kapjuk, hogy
$$
\align
F(x-\e)&\le \int g_{\e,x}^-(u) F(\,du)
=\limm_{n\to\infty}\int g_{\e,x}^-(u) F_n(\,du)
\le \liminff_{n\to\infty} F_n(x) \\
&\le \limsupp_{n\to\infty} F_n(x)\le
\limm_{n\to\infty}\int g_{\e,x}^+(u) F_n(\,du)=
\int g_{\e,x}^+(u) F(\,du)\le F(x+\e),
\endalign
$$
\'es v\'eve az $\e\to0$
hat\'ar\'atmenetet kapjuk, hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$,
felt\'eve, hogy az $x$ pont az $F$ f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontja.
\medskip
Sok vizsg\'alatban az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'anak a
t\'etelben megadott jel\-lem\-z\'e\-se jobban hasz\-n\'al\-ha\-t\'o
mint az eredeti definici\'o.
 
Mell\'ekesen megjegyzem, hogy ennek az eredm\'enynek egy m\'asik
haszna az, hogy ezt a definici\'ot jobban tudjuk
\'altal\'anos\'{\i}tani, ha eloszl\'asok konvergenci\'aj\'at akarjuk
defini\'alni \'altal\'anosabb terekben. Az ilyen k\'erd\'esek
ter\-m\'e\-sze\-tes m\'odon felmer\"ulnek, ha nemcsak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok viselked\'es\'et akarjuk
vizsg\'alni, hanem v\'eletlen folyamatok\'et egy v\'eges
id\H{o}intervallumban. Itt az a probl\'ema mer\"ul fel, hogy ebben
az esetben olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal kell
dolgoznunk, amelyek \'ert\'ek\"uket a sz\'amegyenesen \'ertelmezett
f\"uggv\'enyek ter\'en veszik fel. Viszont az eloszl\'asf\"uggv\'enyek,
illetve azok konvergenci\'aja nem defini\'alhat\'o \'altal\'anos
terekben, mert az eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oj\'aban
szerepl\H{o} f\'elegyenesek t\'uls\'agosan er\H{o}sen k\"ot\H{o}dnek
a sz\'amegyenes, a t\"obb\-di\-men\-zi\'os el\-osz\-l\'a\-sok
definici\'oja pedig az euklid\'eszi t\'er geometri\'aj\'ahoz. Ha
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek helyett
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'ert\'ekeket tekint\"unk,
akkor ezek konvergenci\'aj\'anak a definici\'oj\'at ter\-m\'e\-sze\-tes
m\'odon tudjuk defini\'alni nagyon \'altal\'anos terekben is az (a)
rel\'aci\'o \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-sa
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
 
Ha eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'at az (a) tulajdons\'ag
vizsg\'alat\'anak seg\'{\i}ts\'eg\'evel akarjuk bebizony\'{\i}tani,
akkor term\'eszetes m\'odon felmer\"ul az a k\'erd\'es, hogy nem
le\-het\-s\'e\-ges-e ezt a felt\'etelt gyeng\'{\i}teni, nem
elegend\H{o}-e az (a) rel\'aci\'o teljes\"ul\'es\'et a folytonos
\'es korl\'atos f\"uggv\'enyeknek csak egy el\'eg gazdag
r\'eszoszt\'aly\'ara ellen\H{o}rizni, \'es ennek
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel eld\"onteni, hogy teljes\"ul-e az
eloszl\'asban val\'o konvergencia. Term\'eszetesen a folytonos \'es
korl\'atos f\"uggv\'enyek olyan r\'eszoszt\'aly\'at k\'{\i}v\'anjuk
tekinteni, amelyikre ez a felt\'etel k\"onnyebben
ellen\H{o}rizhet\H{o}. Kider\"ult, hogy erre a k\'erd\'esre
igenl\H{o} v\'alaszt lehet adni, elegend\H{o} csak a trigonometrikus
f\"uggv\'enyeket tekinteni, azaz az $g_t(u)=e^{itu}$,
$-\infty<t<\infty$, alak\'u f\"uggv\'enyeket. Jegyezz\"uk meg,
hogy ezek a f\"uggv\'enyek komplex \'es nem val\'os \'ert\'ek\H{u}ek,
de mindazok az eredm\'enyek, amelyek val\'os \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra \'erv\'enyesek,
term\'eszetes m\'odon \'altal\'anos\'{\i}that\'ok komplex sz\'am
\'ert\'ek\H{u} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok\-ra is. Annak oka, hogy a trigonometrikus
f\"uggv\'enyeket j\'ol tudjuk haszn\'alni az, hogy minden
$-\infty<s,t<\infty$, param\'eterre teljes\"ul a
$g_s(u)g_t(u)=e^{isu}e^{itu}=e^{i(s+t)u}=g_{s+t}(u)$ azonoss\'ag.
L\'atni fogjuk, hogy ez az azonoss\'ag sok seg\'{\i}ts\'eget jelent,
ha f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeinek
eloszl\'as\'at vizsg\'aljuk. Megjegyzem, hogy az ilyen jelleg\H{u}
\"osszef\"ugg\'esek alkalmaz\'asa nemcsak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban
fontos. Ennek \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'an alapul az algebra egy
m\'ely \'es fontos ter\"ulete, a csoportreprezent\'aci\'ok
elm\'elete.
 
A tov\'abbi vizsg\'alatokban hasznos a karakterisztikus
f\"uggv\'enyek al\'abb megadott definici\'oja.
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamely $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, \'es jel\"olje $F(u)=P(\xi<u)$,
$-\infty<u<\infty$, a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak a karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$$
\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^\infty e^{itu}F(\,du),\quad
-\infty<t<\infty,
$$
f\"uggv\'eny. Adva egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et is
defini\'alni fogjuk mint egy $F$ eloszl\'as\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. (Mivel a karakterisztikus f\"uggv\'enyt a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki
lehet sz\'amolni, ez\'ert jogunk van egy eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'er\H{o}l besz\'elni.) } \medskip
A k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} \'all\'{\i}t\'asokat azok
fontoss\'aguk miatt k\"ul\"on Lemma form\'aj\'aban mondjuk ki.
\medskip\noindent
{\bf Lemma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek viselked\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,
\xi_n$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, jel\"olje
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$ e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'et \'es $\varphi_j(t)$, $1\le j\le n$, a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Ekkor az $S_n$ \"osszeg karakterisztikus
f\"uggv\'enye a $\psi_n(t)=Ee^{itS_n}=\prodd_{j=1}^n\varphi_j(t)$,
$-\infty<t<\infty$  f\"uggv\'eny. Ha $A$ \'es $B\neq0$ val\'os
sz\'amok, akkor a $\dfrac{S_n-A}B$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye az
$$
Ee^{it(S_n-A)/B}=e^{-itA/B}\psi_n\(\dfrac{t}B\)=e^{-itA/B}
\prodd_{j=1}^n\varphi_j\(\dfrac{t}B\)
$$
f\"uggv\'eny.
 
Legyen $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'ennyel, amelyre teljes\"ul az
$E|\xi|^k=\dsize\int_{-\infty}^\infty |u|^kF(\,du)<\infty$
egyenl\H{o}tlens\'eg valamilyen $k$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra.
Ekkor a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\varphi(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a deriv\'altjai megadhat\'ok a
$\dfrac{d^j}{dt^j}\varphi(t)=\dsize\int_{-\infty}^\infty
i^ju^j e^{itu}F(\,du)$ k\'eplettel minden $0\le j\le k$ \'es
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra. Speci\'alisan, $t=0$ v\'alaszt\'assal
$\left.\dfrac{d^j\varphi(t)}{dt^j}\right|_{t=0}
=\dsize\int_{-\infty}^\infty i^ju^j F(\,du)=i^jE\xi^j$ minden $0\le
j\le k$ sz\'amra.} \medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
Ee^{itS_n}=E^{it(\xi_1+\cdots+\xi_n)}
=Ee^{it\xi_1}e^{it\xi_2}\cdots e^{it\xi_n}
=Ee^{it\xi_1}Ee^{it\xi_2}\cdots Ee^{it\xi_n}
=\prodd_{j=1}^n\varphi_j(t)
$$
a $\xi_j$, $1\le j\le n$, f\"uggetlens\'ege miatt illetve az
$e^{it\xi_j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ebb\H{o}l
k\"ovetkez\H{o} f\"uggetlens\'ege miatt. Ezenk\'{\i}v\"ul
$$
Ee^{it(S_n-A)/B}= Ee^{i(t/B)S_n}e^{-itA/B}=e^{-itA/B}
\psi_n\(\dfrac{t}B\),
$$
ha az $S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye $\psi_n(t)$. Innen
k\"ovetkeznek a Lemma els\H{o} paragrafus\'aban kimondott
\'all\'{\i}t\'asok.
 
A Lemma m\'asodik paragrafus\'aban kimondott \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben \'{\i}rjuk fel a
$\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\dsize\int_{-\infty}^\infty
e^{itu}F(\,du)$ azonoss\'agot, \'es differenci\'aljuk $j$, $j\le k$,
alkalommal. Be lehet l\'atni, hogy az $E|\xi|^k<\infty$ felt\'etel
teljes\"ul\'ese eset\'en az azonoss\'ag jobb\-ol\-da\-l\'an az
integr\'al\'as \'es differenci\'al\'as sorrendje
felcser\'elhet\H{o}. Innen kapjuk, hogy  $\dfrac{d^j}{dt^j}\varphi(t)
=\dsize\int_{-\infty}^\infty i^ju^j e^{itu}F(\,du)$. Alkalmazva a
$t=0$ helyettes\'{\'i}t\'est megkapjuk a Lemma utols\'o
bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'as\'at is.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Legyenek $\xi_1,\xi_2.\dots$, f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
amelyekre $E\xi_1=0$, \'es vezess\"uk be a $\sigma_2=\Var \xi_1$,
valamint az $Ee^{it\xi_1}=\varphi(t)$, $-\infty<t<\infty$ ($\varphi(t)$
a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'enye) jel\"ol\'eseket. Legyen tov\'abb\'a
$S_n=\summ_{k=1}\xi_k$ \'es $\bar S_n=\dfrac{S_n}{\sqrt n\sigma}$
az $S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o normaliz\'altja. Ekkor
$Ee^{itS_n}=\varphi(t)^n$, $Ee^{it\bar S_n}=
\varphi\(\dfrac t{\sqrt n\sigma}\)^n$, \'es $\varphi\(\dfrac
t{\sqrt n\sigma}\)\sim 1-\dfrac {t^2}{2 n\sigma^2}$. Ez a formula
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy viszonylag j\'o becsl\'est adjunk a
$\bar S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'ere. Azt k\'{\i}v\'anjuk vizsg\'alni, lehet\H{o}v\'e
teszi-e ez a formula egy j\'o hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'at f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
normaliz\'altj\'anak az \"osszeg\'ere.
\medskip
Tekints\"uk el\H{o}sz\"or csak azt a speci\'alis esetet, amikor
olyan olyan $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et tekintj\"uk, amelyik csak eg\'esz
\'ert\'ekeket vesz fel. Legyen $P(\xi=k)=p_k$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$,
$\summ_{k=-\infty}^\infty p_k=1$. Ekkor a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye
az $\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\summ_{k=-\infty}^\infty
e^{ikt}P(\xi=t)=\summ_{k=-\infty}^\infty p_ke^{ikt}$,
$-\infty<t<\infty$. Ekkor a $\varphi(t)$ f\"uggv\'eny $2\pi$ szerint
peri\'odikus, \'es tulajdonk\'eppen egy Fourier sor, amelynek $k$-ik
(azaz az $e^{ikt}$ trigonometrikus f\"uggv\'enyhez tartoz\'o Fourier
egy\"utthat\'oja) \ $p_k$. A Fourier sorok elm\'elet\'enek egy
egyszer\H{u}, de nagyon fontos eredm\'enye alapj\'an egy $\varphi(t)
=\summ_{k=-\infty}^\infty a_ke^{ikt}$, $-\pi<t\le\pi$, f\"uggv\'eny
Fourier egy\"utthat\'oit a $\varphi(t)$ Fourier sor
ismeret\'eben az
$$
a_k=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-ikt}\varphi(t)\,dt \tag$*$
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki lehet sz\'amolni. Az el\H{o}bb
kimondott Lemma alapj\'an f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok normaliz\'alt \"osszeg\'enek a karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'ere viszonylag egyszer\H{u}  \'es j\'o
k\"ozel\'{\i}t\'est lehet adni. Ez \'es a ($*$) formula azt is
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben j\'o becsl\'est
adjunk arra, hogy f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszegei egy adott \'ert\'eket vesznek fel. Ez lehet\H{o}v\'e teszi
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at abban a
speci\'alis esetben, ha eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'et vizsg\'aljuk. Az
\'altal\'anos eset vizsg\'alat\'anak a vez\'ermot\'{\i}vuma
tu\-laj\-don\-k\'eppen az, hogy hogyan tudjuk ezt a m\'odszert
adapt\'alni az \'altal\'anos esetre, amikor nem \'all
rendelkez\'es\"unkre a $*$ k\'eplethez hasonl\'o viszonylag
egyszer\H{u} ,,inverzi\'os formula".
Most az eg\'esz \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
vizsg\'alat\'an\'al a r\'eszletek kidolgoz\'asa helyett megmutatjuk a
kieg\'esz\'{\i}t\'esben azt, hogy hogyan lehet ennek a m\'odszernek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az anal\'{\i}zis egyik fontos k\'eplet\'et az
\'ugynevezett Stirling formul\'at bebizony\'{\i}tani. Ez a
k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny.
\medskip\noindent
{\bf Stirling formula:}
{\it
$$
n!\sim\sqrt{2\pi n}\(\frac ne\)^n,
$$
azaz az els\H{o} $n$ eg\'esz sz\'am szorzat $n!$ teljes\'{\i}ti az
al\'abbi rel\'aci\'ot:
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi n}\(\dfrac ne\)^n}{n!}=1.
$$
}
\medskip
Ahhoz, hogy a karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel j\'ol tudjunk
sz\'amolni, sz\"uks\'eg\"unk van olyan eredm\'enyre, amely szerint
a tri\-go\-no\-met\-ri\-kus polinomok a folytonos f\"uggv\'enyek egy
el\'eg gazdag r\'eszoszt\'aly\'at alkotj\'ak. Ilyen jelleg\H{u}
eredm\'eny Weierstrass m\'asodik
approxim\'aci\'os t\'etele, amely azt mondja ki, hogy folytonos \'es
periodikus f\"uggv\'enyeket tetsz\H{o}leges pontoss\'aggal
lehet k\"ozel\'{\i}teni a szupr\'emum norm\'aban trigonometrikus
polinomokkal. (Weierstrass els\H{o} approxim\'aci\'os t\'etele
hasonl\'o \'all\'{\i}t\'ast fogalmaz meg v\'eges intervallumban
folytonos f\"uggv\'enyek polinomokkal val\'o
app\-ro\-xi\-m\'al\-ha\-t\'o\-s\'a\-g\'a\-r\'ol.) Megfogalmazzuk ezt
az ered\-m\'enyt, \'es (v\'azlatosan) bebizony\'{\i}tjuk annak
n\'e\-h\'any sz\'a\-munk\-ra fontos k\"ovetkezm\'eny\'et.
 
\medskip\noindent
{\bf Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etele.} {\it
Tetsz\H{o}leges folytonos \'es $2\pi$ szerint periodikus $f(t)$
f\"uggv\'enyre \'es $\e>0$ val\'os sz\'amra l\'etezik olyan
$P_n(t)=\summ_{k=-n}^n a_k e^{ikt}$ trigonometrikus polinom, amelyre
$$
\sup_{-\infty<t<\infty} |f(t)-P_n(t)|<\e.
$$
}\medskip
Ahhoz, hogy eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus
f\"uggv\'enyeinek konvergenci\'aj\'ab\'ol k\"ovetkeztetni tudjunk
magunknak az eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek a konvergenci\'aj\'ara
tudnunk kell azt, hogy az a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
meghat\'arozz\'ak az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket.
Megfogalmazzuk ezt az eredm\'enyt, \'es megadjuk annak
bizony\'{\i}t\'as\'at Weierstrass m\'asodik apprxim\'aci\'os
t\'etele seg\'{\i}ts\'eg\'evel. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $F(\cdot)$ \'es $G(\cdot)$ k\'et
eloszl\'asf\"uggv\'ey, amelyek karakterisztikus f\"uggv\'enye
megegyezik. Ekkor $F(x)=G(x)$ minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy Weierstrass
m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etel\'eb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
tetsz\H{o}leges $K>0$ \'es $\e>0$ sz\'amokra \'es a $K$ sz\'am
szerint periodikus $h(\cdot)$ f\"uggv\'enyre igaz, hogy l\'etezik
olyan $P_n(t)=\summ_{j=-n}^n a_j e^{2\pi ijt/K}$ trigonometrikus
polinom, amelyre teljes\"ul a $\supp_{-\infty<t<\infty}
|P_n(t)-h(t)|\le\e$ becsl\'es. Integr\'alva a $h(\cdot)$ \'es a
$P_n(\cdot)$ f\"uggv\'enyt a $F$ \'es $G$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
szerint, a fenti approxim\'aci\'ob\'ol kapjuk, hogy $\int
|h(u)-P_n(u)|F(\,du)\le\e$ \'es $\int |h(u)-P_n(u)|G(\,du)\le\e$.
Ez\'ert $\left|\int h(u)F(\,du)-\int h(u)G(\,du)\right|\le2\e$. Mivel
ez minden $\e>0$ sz\'amra igaz, ez\'ert $\int h(u)F(\,du)=\int
h(u)G(\,du)$. Tov\'abb\'a, innen k\"ovetkezik az is, hogy ha $
h(\cdot)$ kompakt tart\'oj\'u, folytonos f\"uggv\'eny, azaz ha
l\'etezik olyan $A$ sz\'am, amelyre $h(u)=0$, ha $|u|\ge A$, akkor
$\int h(u)F(\,du)=\int h(u)G(\,du)$. Val\'oban, defini\'aljuk minden
$K>A$ sz\'amra azt a $h_K(\cdot)$ f\"uggv\'enyt, amely a $h(\cdot)$
f\"uggv\'eny  $[-K,K]$ intervallumra vett megszor\'{\i}t\'as\'anak
a $2K$ szerinti periodikus kiterjeszt\'ese, azaz $h_K(u)=h(u-2lK)$,
ahol $l$ olyan eg\'esz sz\'am, amelyre $-K\le u<K$. Ekkor $\int h(u)
F(\,du)=\limm_{K\to\infty}\int h_K(u) F(\,du)=\limm_{K\to\infty}\int
h_K(u) G(\,du) =\int h(u) G(\,du)$.
 
Legyenek $-\infty<x<y<\infty$ olyan sz\'amok a sz\'amegyenesen,
amelyek folytonoss\'agi pontjai mind az $F$ mind a $G$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek. Bel\'atjuk a fenti rel\'aci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy $F(y)-F(x)=G(y)-G(x)$. Val\'oban,
r\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $\e>0$ sz\'amot, \'es defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $h(\cdot)=h_{\e}(\cdot)$f\"uggv\'enyt: $h(u)=1$,
ha $x\le u\le y$, $h(u)=0$, ha $y+\e\le u$ vagy $u\le x-\e$,
$h(u)=\dfrac{y+\e-u}\e$, ha $y\le u\le y+\e$,
$h(u)=\dfrac{u-x+\e}\e$, ha $x-\e\le u\le x$. Felhaszn\'alva az $\int
h^\pm_{\e}(u)F(\,du)=\int h^\pm_{\e}(u)G(\,du)$ azonoss\'agot,
\'es azt hogy $\limm_{\e\to0}\int
h_{\e}(u)F(\,du)= F(y)-F(x)$, $\limm_{\e\to0}\int
h_{\e}(u)G(\,du)=G(y)-G(x)$, ha $x$ \'es $y$ az $F$ \'es $G$
f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontjai, $\e\to0$
hat\'ar\'atmenettel kapjuk az $F(y)-F(x)=G(y)-G(x)$ azonoss\'agot.
 
Ez ut\'obbi azonoss\'agot felhaszn\'alva \'es alkalmazva az
$x\to-\infty$ hat\'ar\'atmenetet kapjuk, hogy $F(y)=G(y)$, ha $y$
mind az $F(\cdot)$ mind a $G(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek
foly\-to\-nos\-s\'a\-gi pontja. Mivel az $F$ \'es $G$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek csak megsz\'aml\'alhat\'o sok szakad\'asi
pontja van, \'es mind a k\'et f\"uggv\'eny balr\'ol folytonos,
innen k\"ovetkezik, hogy az $F$ \'es $G$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
megegyeznek. \medskip
 
Az el\H{o}z\H{o} t\'etel bizony\'{\i}t\'asi m\'odszer\'enek
finom\'{\i}t\'asa seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet bebizony\'{\i}tani
a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt, amelyet fontoss\'aga miatt
alapt\'etelnek nevez\"unk. Ennek bizony\'{\i}t\'asa azonban a
Fourier anal\'{\i}zis m\'as m\'odszereit is felhaszn\'alja. Emiatt,
illetve id\H{o}hi\'any miatt a bizony\'{\i}t\'ast elhagyom.
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel.}
{\it Legyen $F_n(u)$, $-\infty<u<\infty$,
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy sorozata $\varphi_n(t)=\int
e^{itu}F_n(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel, $n=1,2,\dots$.
Ha a $\varphi_0(t)=\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t)$ hat\'ar\'ert\'ek
l\'etezik minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra, \'es a $\varphi_0(t)$
limeszf\"uggv\'eny folytonos az orig\'oban, akkor l\'etezik olyan
$F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny, amelynek a $\varphi_0(t)$
f\"uggv\'eny a karakterisztikus f\"uggv\'enye. Tov\'abb\'a e
felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en az $F_n(u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek eloszl\'asban konverg\'alnak
az $F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
 
Megford\'{\i}tva, ha $F_n(u)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy olyan sorozata, amely egy $F_0(u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez kon\-ver\-g\'al eloszl\'asban,
$\varphi_n(t)$, $n=1,2,\dots$, jel\"oli az $F_n(u)$, $\varphi_0(t)$
pedig az $F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et, akkor $\varphi_0(t)=\limm_{n\to\infty} \varphi_n(t)$
minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra. Tov\'abb\'a, ez a konvergencia
egyenletes minden v\'eges intervallumban.}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Az el\H{o}ad\'ashoz csatlakoz\'o gyakorlatban
kit\H{u}ztem egy (elm\'eleti jelleg\H{u}) fel\-ada\-tot, amely fontos
szerepet j\'atszik a bizony\'{\i}t\'asban. E fel\-adat eredm\'eny\'enek
a seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudjuk kihaszn\'alni a t\'etel
azon felt\'etel\'et, hogy a ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enyek
hat\'ar\'ert\'eke folytonos a null\'aban.
\medskip
A fent kimondott t\'etel a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
rendk\'{\i}v\"ul fontos eredm\'enye, \'es az eloszl\'asbeli
konvergencia vizsg\'alat\'aban rendk\'{\i}v\"ul fontos
szerepet j\'atszik. Ez\'ert illik tudni ennek az eredm\'enynek a
pontos megfogalmaz\'as\'at. Viszont a minket \'erdekl\H{o}
hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz elegend\H{o}
tudni e t\'etel al\'abbi gyeng\'{\i}tett v\'altozat\'at, amelynek
bizony\'{\i}t\'asa egyszer\H{u}bb.
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel
gyeng\'{\i}tett v\'altozata.} {\it Legyen $F_n(u)$, $-\infty<u<\infty$,
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy sorozata $\varphi_n(t)=\int
e^{itu}F_n(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel, $n=1,2,\dots$,
\'es $F_0(u)$, $-\infty<u<\infty$, eloszl\'asf\"uggv\'eny
$\varphi_0(t)=\int e^{itu}F_0(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'ennyel.
Az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek akkor \'es csak akkor konverg\'alnak
eloszl\'asban az $F_0$ eloszl\'ashoz, ha a $\varphi_n(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyek konverg\'alnak a $\varphi_0(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyhez minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az alapt\'etel illetve annak gyeng\'{\i}tett
v\'altozat\'anak f\H{o} jelent\H{o}s\'ege abban \'all, hogy
lehet\H{o}v\'e teszik eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'anak
bizony\'{\i}t\'as\'at azok ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'enyeinek seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A l\'enyeges
k\"ul\"onbs\'eg az Alapt\'etel, illetve annak gyeng\'{\i}tett
v\'altozata k\"oz\"ott az, hogy az Alapt\'etel seg\'{\i}t a
hat\'areloszl\'as megtal\'al\'as\'aban akkor is, ha azt nem
ismerj\"uk a kezdet kezdet\'en, illetve annak vizsg\'alat\'aban,
hogy l\'etezik-e egy\'altal\'an valamilyen hat\'areloszl\'as. Ha eleve
megvan a jel\"olt a ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-ra, \'es annak ki tudjuk
sz\'am\'{\i}tani a karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et, (a centr\'alis
ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel\-ben ez a helyzet), akkor a
konvergencia bizony\'{\i}t\'as\'ahoz elegend\H{o} az Alapt\'etel
gyeng\'{\i}tett v\'altozat\'anak a haszn\'alata. Jegyezz\"uk meg
tov\'abb\'a, hogy minden karakterisztikus f\"uggv\'eny folytonos
minden\"utt. Ez\'ert az az eloszl\'asban val\'o konvergencia
sz\'am\'ara az Alapt\'etelben megfogalmazott k\"ovetelm\'eny, hogy a
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyek limesze egy null\'aban folytonos
f\"uggv\'eny term\'eszetes elv\'ar\'as. Val\'oj\'aban ennek a
li\-mesz\-nek minden\"utt folytonosnak kell lennie, de a null\'aban
val\'o folytonoss\'ag az igaz\'an fontos, \'es egyben legnehezebben
bizony\'{\i}that\'o tulajdons\'ag. Felmer\"ulhet az a k\'erd\'es,
hogy mi\'ert olyan fontos ez a tulajdons\'ag. Ennek meg\'ert\'ese az
el\H{o}ad\'asban el\-ha\-gyott bizony\'{\i}t\'as egyik kulcsl\'ep\'ese.
Az esetleges \'erdekl\H{o}d\H{o}k sz\'am\'ara megfogalmazom fel\-adat
form\'aj\'aban azt az eredm\'enyt, amelyik megfogalmazza, milyen
sz\'amunkra \'ert\'ekes k\"ovetkezm\'enye van a hat\'arf\"uggv\'enynek
a null\'aban val\'o konvergenci\'aj\'aanek. Tov\'abb\'a n\'emi
seg\'{\i}ts\'eget is adok e fel\-adat megold\'as\'ahoz. Ugyancsak
t\'argyalok n\'eh\'any tov\'abbi fel\-ada\-tot, amelyek
seg\'{\i}thetnek az alapt\'etelben szerepl\H{o} felt\'etelek
je\-len\-t\H{o}\-s\'e\-g\'e\-nek jobb meg\-\'er\-t\'e\-s\'e\-ben.
\medskip\noindent
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $F_n(\cdot)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy sorozata, amelyek $\varphi_n(\cdot)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyei az orig\'o egy kis k\"ornyezet\'eben
konverg\'alnak egy a null\'aban folytonos f\"uggv\'enyhez.
\itemitem{a.)} L\'assuk be (a Lebesgue t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel),
hogy ekkor tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$\delta=\delta(\e)$ sz\'am, amelyre
$\dsize\limm_{n\to\infty} \dfrac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi_n(t)]\,dt\le\e$, ahol $\Re z$ a $z$ sz\'am re\'alis
r\'esz\'et jel\"oli.
\itemitem{b.)} Mutassuk meg, hogy amennyiben $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek $\varphi_n(\cdot)$ ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'enyei teljes\'{\i}tik az a) r\'eszben megfogalmazott
tulajdons\'agot, ak\-kor minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$K=K(\e)$ sz\'am, amelyre $F_n(-K)+(1-F_n(K))\le \e$ minden
$n=1,2,\dots$ sz\'amra.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Mutassuk meg, hogy egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
$\varphi(t)=\int e^{itu}F(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
folytonos minden pontban.
\medskip
 
Annak \'erdek\'eben, hogy l\'assuk annak a
felt\'etelnek a fontoss\'ag\'at, amely szerint a hat\'arf\"uggv\'eny
folytonos az orig\'oban tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o}
feladatban megadott p\'eld\'at.
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $F_n(\cdot)$, $n=1,2\dots$, a $[-n,n]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sorozata, azaz
legyen $F_n(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az
$f_n(u)=\dfrac1{2n}$, ha $-n\le u\le n$, $f_n(u)=0$, ha $|u|>n$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadott f\"uggv\'eny. L\'assuk be,
hogy az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus f\"uggv\'enyei minden
pontban konverg\'alnak az $\varphi(0)=1$, $\varphi(t)=0$, ha
$t\neq0$ k\'eplettel megadott $\varphi(t)$ f\"uggv\'enyhez,
amelyik az orig\'oban nem folytonos. Tov\'abb\'a az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek nem konverg\'alnak eloszl\'asban, mert
minden v\'eges $[a,b]$ intervallumra $\limm_{n\to\infty}F_n([a,b])=0$.
\medskip
 
Az alapt\'etel alapj\'an a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg kisz\'amolni a standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et, \'es
megmutatni, hogy ha vessz\"uk f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeinek a
nor\-ma\-li\-z\'alt\-jait, akkor ezek karakterisztikus f\"uggv\'enyei
a standard norm\'alis eloszl\'as ka\-rak\-te\-risz\-tikus
f\"uggv\'eny\'ehez tartanak. Fogalmazzuk meg el\H{o}sz\"or azt az
eredm\'enyt, amely meg\-adja a standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakerisztikus f\"uggv\'eny\'et.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'er\H{o}l.} {\it A
$\varphi(u)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}$, $-\infty<u<\infty$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$g(t)=e^{-t^2/2}$ f\"uggv\'eny, azaz
$$
\int_{-\infty}^\infty
e^{itu}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=e^{-t^2/2}.
$$
}\medskip\noindent
{\it Magyar\'azat:}
$$
\align
\int_{-\infty}^\infty e^{itu}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du&=
\int_{-\infty}^\infty \dfrac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-(u-it)^2/2}e^{-t^2/2}\,du\\
&=e^{-t^2/2} \int_{-\infty-it}^{\infty-it} \dfrac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-u^2/2}e^{-t^2/2}\,du.
\endalign
$$
A fenti sz\'amol\'asban a szok\'asos technik\'at alkalmaztuk, az
exponensben szerepl\H{o} kvad\-ra\-ti\-kus alakot teljes n\'egyzett\'e
alak\'{\i}totuk \'at. Azt \'all\'{\i}tom, hogy
$$
\int_{-\infty-it}^{\infty-it} \dfrac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-u^2/2}e^{-t^2/2}\,du=1.
$$
Ez az integr\'al abban k\"ul\"onb\"ozik a standard norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny integr\'alj\'at\'ol, hogy a norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny integr\'alj\'at nem a val\'os
tengelyen, hanem egy vele p\'arhuzamos egyenesen tekintj\"uk. Azt
\'all\'{\i}tom, hogy ez az integr\'al ugyanannyi, mintha a val\'os
tengelyen interg\'altunk volna. Ezt nem neh\'ez bel\'atni, ha szabad
hivatkozni a komplex f\"uggv\'enytan tal\'an legfontosabb
eredm\'eny\'ere, amely szerint egy analitikus f\"uggv\'eny
k\"orintegr\'alja egy z\'art g\"orb\'en nulla. Azt kell
kihaszn\'alni, hogy a $g(x)=e^{-z^2/2}$ f\"uggv\'eny analitikus az
eg\'esz sz\'ams\'{\i}kon, \'es ezenk\'{\i}v\"ul a $g(z)$ f\"uggv\'eny
olyan, hogy amennyiben a $z$ argumentum imagin\'arius r\'esz\'enek az
abszolut \'ert\'eke kisebb mint valamely fix $K$ sz\'am re\'alis
r\'esz\'enek az abszolut \'ert\'eke pedig nagyon nagy, akkor a
$g(z)$ f\"uggv\'eny nagyon kicsi. Mivel ez a bizony\'{\i}t\'as a
komplex f\"uggv\'enytani ismeretek felhaszn\'al\'asa
seg\'{\i}ts\'eg\'evel egyszer\H{u}en v\'egrehajthat\'o, viszont ez
a komplex f\"uggv\'enytani r\'esz, amelyet nem tanult mindenki
elengedhetetlen a bizony\'{\i}t\'asban, ez\'ert a r\'eszletek
kidolgoz\'as\'at elhagyom.
 
\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Mutassuk meg, a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy amennyiben $\xi$ \'es $\eta$ k\'et
f\"uggetlen, norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $m_1$ \'es $m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, $\sigma_1^2$
\'es $\sigma_2^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel, akkor $\xi+\eta$ norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m_1+m_2$
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, \'es $\sigma_1^2+\sigma_2^2$
sz\'or\'asn\'egyzettel.
 
%\vfill\eject
 
\medskip
\centerline{\bf Kieg\'esz\'{\i}t\'es}
\medskip\noindent
{\it A Stirling formula bizony\'{\i}t\'asa:} El\H{o}sz\"or azt
mutatjuk meg, hogy
$$
n!=\(\frac ne\)^n\frac{2\pi}{\dsize\int_{-\pi}^\pi
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt}. \tag a
$$
Tekints\"unk egy $\xi$ Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot $\lambda=n$ param\'eterrel, legyen azaz
$P(\xi=k)=\dfrac{n^k}{k!}e^{-n}$, $k=0,1,2,\dots$. Sz\'am1tsuk ki a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $P(t)=Ee^{it\xi}$
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et. Ez a  k\"ovetkez\H{o} $P_n(t)$
Fourier sor:
$$
P_n(t)=\sum_{k=0}^\infty P(\xi=k)e^{itk}
=\sum_{k=0}^\infty \dfrac{n^k}{k!}e^{-n+ikt}
=e^{-n}\sum_{k=0}^\infty \dfrac{(ne^{it})^k}{k!}
=e^{-n+ne^{it}}.
$$
Innen, illetve a $(*)$ formul\'ab\'ol $k=n$ v\'alaszt\'assal kapjuk,
hogy
$$
P(\xi=n)=\dfrac{n^n}{n!}e^{-n}
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-int}P_n(t)\,dt
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-int-n+ne^{it}})\,dt.
$$
Ez a formula ekvivalens az (a) formul\'aval.
 
Az (a) formula alapj\'an a Stirling formula bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
el\'eg megmutatni azt, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt n}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\pi}^\pi
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt=1,
$$
amit \'ugyis \'{\i}rhatunk, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\dsize\int_{-\pi}^\pi e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt}
{\dsize\int_{-\infty}^\infty e^{-nt^2/2}\,dt}=1.
$$
Viszont tekintve az $e^{it}$ f\"uggv\'eny Taylor sor\'at kapjuk, hogy
$$
n(e^{it}-1-it)=-n\(\dfrac{t^2}2+\alpha(t)t^3\)=-\dfrac{nt^2}2
+\beta(t)n^{-1/8},
$$
alkalmas $\alpha(t)|\le \const$ \'es $\beta(t)|\le \const$
egy\"utthat\'okkal, ha $|t|\le n^{3/8}$, ahonnan
$e^{n(e^{it}-1-it)}=e^{-nt^2/2}e^{\beta(t)n^{-1/8}}=e^{-nt^2/2}
\(1+\gamma(t)n^{-1/8}\)$, $\gamma(t)\le \const$, ha $t\le n^{3/8}$, \'es
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\dsize\int_{-n^{-3/8}}^{n^{-3/8}}
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt}
{\dsize\int_{-n^{-3/8}}^{n^{-3/8}} e^{-nt^2/2}\,dt}=1.
$$
Tov\'abb\'a nem neh\'ez bel\'atni, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}\dfrac{\dsize\int_{-n^{-3/8}}^{n^{-3/8}}
e^{-nt^2/2}\,dt} {\dsize\int_{-\infty}^\infty e^{-nt^2/2}\,dt}=1,
$$
ez\'ert el\'eg megmutatni, hogy az
$\dsize\int_{-\pi}^{-n^{-3/8}} e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt$ \'es
$\dsize\int^{\pi}_{n^{-3/8}} e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt$
in\-teg\-r\'a\-lok el\'eg kicsik. Ennek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
jegyezz\"uk viszont meg, hogy $|e^z|=e^{\Re z}$ tetsz\H{o}leges $z$
komplex sz\'amra, ahol $\Re z$  a $z$ sz\'am val\'os r\'esz\'et
jel\"oli. Innen
$$
|e^{n(e^{it}-1-it)}|=e^{n(\cos t-1)}\le e^{-\const n^{1/4}},
$$
ha $n^{3/8}\le|t|\le \pi$, ahonnan k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant
becsl\'es.
 
 
\bye
 
 
 
