\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat tizedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2003. \'aprilis 8.}
\medskip\noindent
Ezen az el\H{o}ad\'ason megfogalmazzuk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as tal\'an legfontosabb
ered\-m\'e\-ny\'et, a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt. (Ennek
az eredm\'enynek a bizony\'{\i}t\'as\'aval k\'es\H{o}bb
foglalkozunk.) Most bemutatjuk az eredm\'eny n\'eh\'any
alkalmaz\'as\'at gyakorlati feladatok megold\'as\'aban.
Ezenk\'{\i}v\"ul n\'eh\'any egy\'eb, a kor\'abbi el\H{o}ad\'ason
szerepelt eredm\'enyt \'es fogalmat felhaszn\'al\'o feladat
megold\'as\'at t\'argyaljuk.
 
A centr\'alis  hat\'areloszl\'ast\'etel megfogalmaz\'asa el\H{o}tt
felid\'ez\"unk n\'eh\'any kor\'abbi fogalmat \'es eredm\'enyt. Egy
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o standard norm\'alis
eloszl\'as\'u, ha a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$\varphi(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, $-\infty<x<\infty$,
alak\'u. Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$E\xi=0$, $\Var\xi=E\xi^2=1$. Ha $\xi$ standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor $\sigma
\xi+m$ $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\sigma^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Az ilyen m\'odon
el\H{o}\'all\'ithat\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
nevezz\"uk $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\sigma^2$
 sz\'or\'asn\'egyzt\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak. Be lehet l\'atni,
hogy egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'altoz\'o akkor \'es
csak akkor norm\'alis eloszl\'as\'u $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es
$\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel, ha s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a
$g(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-m)^2/2\sigma^2}$ f\"uggv\'eny.
Ezt fogalmazzuk meg a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etelben.
\medskip \noindent
{\bf \'Eszrev\'etel:} {\it Egy $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o akkor \'es csak akkor $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es
$\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, ha s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a
$g(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-m)^2/2\sigma^2}$,
$-\infty<x<\infty$ f\"uggv\'eny.}
\medskip \noindent
{\it Indokl\'as:}\/ Ha $\eta=\sigma\xi+m$, ahol $\xi$ standard
norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor $\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=\dfrac1\sigma\varphi\(\dfrac{x-m}\sigma\)=
\dfrac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-m)^2/2\sigma^2}$, ahogy azt
\'all\'{\i}tottuk. Megford\'{\i}tva, ha $\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az adott alak\'u, akkor a
$\xi=\dfrac{\eta-m}\sigma$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\sigma g\(\sigma x+m\)
=\varphi(x)$, azaz ez standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es $\eta=\sigma\xi+m$.
\medskip \noindent
{\it Feladat:}
\medskip \noindent
Legyen $\eta_1$ \'es $\eta_2$ k\'et f\"uggetlen norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m_1$ illetve
$m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, $\sigma_1^2$ \'es $\sigma_2^2$
sz\'or\'asn\'egyzettel. L\'assuk be, hogy az $\eta_1+\eta_2$
\"osszeg $m_1+m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'u \'es
$\sigma_1^2+\sigma^2_2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\medskip
A feladat megold\'asa el\H{o}tt \'erdemes megjegyezni, hogy
$$
\int_{-\infty}^\infty e^{-(x-A)^2/B}\,dx=\sqrt{B\pi}.
$$
Ezt l\'athatjuk p\'eld\'aul az $y=\sqrt 2\dfrac{x-A}{\sqrt B}$
helyettes\'{\i}t\'essel, \'es abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy a
$\varphi(y)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}$ f\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. Ez az \'eszrev\'etel az\'ert hasznos,
mert ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy amennyiben olyan integr\'alt kell
kisz\'amolni, amelyben az integrandus exponens\'eben egy kvadratikus
alak szerepel, akkor az inegrandusban szerepl\H{o} kifejez\'est
teljes n\'egyzett\'e alak\'{\i}tva ki tudjuk sz\'amolni az
integr\'alt. Ez a gondolata a jelen feladat megold\'as\'anak is.
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ Az $\eta_1+\eta_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
\align
f(x)&=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}e^{-(u-m_1)^2/2\sigma_1^2}
e^{-(x-u-m_2)^2/2\sigma_2^2}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\biggl\{-u^2
\(\frac1{2\sigma_1^2}+\frac1{2\sigma_2^2}\)+u\(\frac{m_1}{\sigma_1^2}
+\frac{x-m_2}{\sigma_2^2}\)\\
&\hskip5truecm -\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\biggr\}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\biggl\{-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\(u-\frac{m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2}
{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\)^2 \\
&\hskip4,5truecm +\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\biggr\}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\left\{-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2}u^2 \right\}\,du\\
&\hskip4,5truecm \exp\left\{\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\right\} \\
&=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\exp\left\{
\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\right\}\\
&=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\exp\left\{
-\frac{(x-m_1-m_2)^2}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}\right\}.
\endalign
$$
\medskip
Jegyezz\"uk meg, hogy a fenti sz\'amol\'asban megjelen\H{o}
egyszer\H{u}s\'{\i}t\'esek megjelen\'es\'enek m\'elyebb oka van.
Ha tudjuk, hogy a vizsg\'alt integr\'al \'ert\'eke olyan alak\'u,
amelyben konstansszor egy kvadratikus alak szerepel, akkor mivel a
konvoluci\'o eredm\'enye egy s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, ez\'ert
a v\'egeredm\'eny sz\"uks\'egszer\H{u}en norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. To\-v\'ab\-b\'a, tudjuk, hogy a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny  egy olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye, amelyik
v\'arhat\'o \'ert\'eke $m_1+m_2$ sz\'or\'asn\'egyzete pedig
$\sigma_1^2+\sigma_2^2$. K\'es\H{o}bb megmutatjuk, hogyan lehet a
most t\'argyalt azonoss\'agot bizonyos eddig m\'eg nem t\'argyalt
eredm\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel egyszer\H{u}bben megkapni.
\medskip\noindent
{\bf A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.}
\medskip\noindent
Ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as legfontosabb
eredm\'enye. Azt mondja ki, hogy ha sok f\"ug\-get\-len
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot \"osszegez\"unk, az
\"osszeget alkalmasan normaliz\'aljuk, ak\-kor nagyon \'altal\'anos
felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en az \"osszeg
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg norm\'alis eloszl\'as\'u. A t\'etel
megfogalmaz\'asa el\H{o}tt vezess\"unk be egy az irodalomban gyakran
haszn\'alt fogalmat. \medskip\noindent
{\bf Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o normaliz\'altj\'anak
a fogalma.} {\it Legyen $\xi$ olyan va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o, amelyre $E\xi^2<\infty$. A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o normaliz\'altja a
$\bar\xi=\dfrac{\xi-E\xi}{\sqrt{\Var\xi}}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, azaz a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak az
a line\'aris transzform\'altja, amelynek v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla,
sz\'or\'asn\'egyzete pedig 1.} \medskip
Jegyezz\"uk meg, hogy ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre $E\xi_j^2<\infty$
minden $1\le j\le n$ indexre, akkor az $S=\summ_{j=1}^n\xi_j$
\"osszeg normaliz\'altja az
$$
\bar S=\dfrac{\summ_{j=1}^n\xi_j-\summ_{j=1}^nE\xi_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^n\Var\xi_j}}
$$
kifejez\'es.
\medskip\noindent
{\bf Centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.} {\it Legyenek
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, jel\"olje
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$, $n=1,2,\dots$, e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok r\'esz\-let\-\"ossze\-geit. Ekkor az $S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\dfrac{S_n-ES_n}{\sqrt{\Var S_n}}
=\dfrac{\summ_{j=1}^n\xi_j-\summ_{j=1}^nE\xi_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^n\Var\xi_j}}$ normaliz\'altjai teljes\'{\i}tik
a
$$
\lim_{n\to\infty}
P\(\dfrac{S_n-ES_n}{\sqrt{\Var S_n}}<x\)=\Phi(x), \quad\text{minden
}-\infty<x<\infty \text{ sz\'amra}
$$
rel\'aci\'ot, ahol $\Phi(x)=\dsize\int_{-\infty}^x
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du$, a standard norm\'alis
elosz\'asf\"uggv\'eny.} \medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es:}\/ Az el\H{o}bb kimondott t\'etel val\'oj\'aban
speci\'alis esete az \'altal\'anos centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelnek, amely hasonl\'o eredm\'enyt mond
ki f\"uggetlen, de nem felt\'etlen\"ul azonos eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegeire nagyon \'altal\'anos felt\'etelek mellett.
\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es:}\/ L\'attuk, hogy f\"uggetlen norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'esz\-let\-\"ossze\-gei\-nek normaliz\'altja standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ez
k\"o\-vet\-ke\-zik az el\H{o}ad\'as elej\'en t\'argyalt feladat
eredm\'eny\'eb\H{o}l, amelyik szerint norm\'alis f\"uggetlen
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszege is norm\'alis eloszl\'as\'u. A centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel azt \'all\'{\i}tja, hogy sok f\"uggetlen,
de nem felt\'etlen\"ul norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
normaliz\'altja nemcsak nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es egy
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
hanem ezenk\'{\i}v\"ul k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg norm\'alis eloszl\'as\'u
is. Ez azt jelenti, hogy sok \"osszeadand\'o eset\'en az \"osszeg
eloszl\'asa ,,elfelejti" az \"ossze\-adan\-d\'ok eloszl\'as\'at,
az \H{o} eloszl\'asa k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg norm\'alis eloszl\'as\'u.
B\'ar ezt az eredm\'enyt be lehet bizony\'{\i}tani, az m\'egis
rendk\'{\i}v\"ul meglep\H{o}. A centr\'alis hat\'areloszl\'ast
tekinthetj\"uk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
legnagyobb miszt\'erium\'anak.
\medskip\noindent
{\it 3. megjegyz\'es:}\/ A m\H{u}szaki tudom\'anyokban besz\'elnek
egy olyan megfigyel\'esr\H{o}l, amelyet hibat\"orv\'enynek neveznek.
Gyakran el\'ofordul, hogy egy m\H{u}szaki feladatban egy
ki\-s\'er\-le\-tet t\"obbsz\"or egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul
elv\'egeznek, azok eredm\'enyeitt t\"obbsz\"or megm\'erik, de az
egyes m\'er\'esek pontatlanok. A tapasztalat azt mutatja, hogy
szinte mindig a m\'ert eredm\'enyek diagramja egy az igazi \'ert\'ek
k\"or\"uli tipikus \'ugynevezett harang-g\"orb\'et rajzol ki. A
meglep\H{o} t\'eny az, hogy a legk\"ul\"onb\"oz\H{o}bb feladatokban
mindig ugyanaz a g\"orbe rajzol\'odik ki. Ennek a t\'enynek a
h\'atter\'eben val\'oj\'aban a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
van. Az eredm\'eny oka az, hogy a hib\'ak sok kis apr\'o egym\'ast\'ol
f\"uggetlen hiba \"osszegek\'ent keletkezik. Ez\'ert a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel szerint a hiba norm\'alis eloszl\'as\'u,
\'es a  ,,hibat\"orv\'enyben" megjelen\H{o} harangg\"orbe
val\'oj\'aan a norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny.
\medskip\noindent
{\it 4. megjegyz\'es:}\/ Ha a $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'esz\-let\-\"ossze\-gei teljes\'{\i}tik a centr\'alis
hat\'areloszl\'alst\'etelt, akkor minden $-\infty<x<y<\infty$
sz\'amra teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}P\(x<\frac{S_n-ES_n}{\sqrt{\Var
S_n}}<y\)=\Phi(y)-\Phi(x)
$$
azonoss\'ag, mert
$$
P\(x<\frac{S_n-ES_n}{\sqrt{\Var S_n}}<y\)=
P\(\frac{S_n-ES_n}{\sqrt{\Var S_n}}<y\)-
P\(\frac{S_n-ES_n}{\sqrt{\Var S_n}}\le x\).
$$
Jegyezz\"uk meg tov\'abb\'a, hogy $\Phi(-y)=1-\Phi(y)$ minden
$-\infty<y<\infty$ sz\'amra, mivel a $\Phi(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny $\varphi(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
p\'aros f\"uggv\'eny. Val\'oban,
$\Phi(-y)=\int_{-\infty}^{-y}\varphi(u)\,du
=1-\int^{\infty}_{-y}\varphi(u)\,du=1-\int_{-\infty}^y\varphi(-u)\,du
=1-\int_{-\infty}^y\varphi(u)\,du=1-\Phi(y)$. Ezen eredm\'eny miatt
elegend\H{o} megadni a norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny \'ert\'ekeit
pozit\'{\i}v argumentumokra.
\medskip\noindent
{\it 5. megjegyz\'es:}\/ Term\'eszetesen felvet\H{o}dik a k\'erd\'es,
hogy l\'etezik-e a centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-nek
t\"obb-dimenzi\'os v\'altozata, amelyben f\"uggetlen t\"obb-dimenzi\'os
v\'eletlen vektorok \"ossze\-gei\-nek alkalmas normaliz\'altj\'anak
eloszl\'asai teljes\'{\i}tenek valamilyen
hat\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt nagyon \'altal\'anos felt\'etelek
mellett. Ezenk\'{\i}v\"ul \'erdekel minket a le\-het\-s\'e\-ges
hat\'ar\-elosz\-l\'a\-sok konkr\'et alakja is. Ezt a k\'erd\'est,
amelynek fontos jelent\H{o}s\'ege van mind a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban mind
a matematikai statisztik\'aban megv\'alaszolt\'ak. Ezek a vizsg\'alatok
vezettek a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asok
bevezet\'es\'ehez. A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
t\"obb-dimenzi\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'aval k\'es\H{o}bb m\'eg
foglalkozunk.
 
\medskip
Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} k\'et p\'eld\'at, amelyek
n\'emi inform\'aci\'ot ny\'ujtanak a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel gyakorlati k\"ovetkezm\'enyeir\H{o}l.
A  k\"ovetkez\H{o} el\H{o}ad\'ason a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel tov\'abbi alkalmaz\'asaira
mutatunk p\'eld\'at.
\medskip
 
\vfill\eject
 
\noindent
{\it Els\H{o} p\'elda:}
\medskip\noindent
A 2000. \'evben az Egyes\"ult \'Allamok Florida \'allam\'aban
rendk\'{\i}v\"ul szoros eredm\'eny sz\"uletett.
5~000~000 v\'alaszt\'o v\'alaszt\'o v\'alasztott k\'et
p\'art, a republik\'anus \'es demokrata
p\'art jel\"oltjei k\"oz\"ott. A k\'et jel\"olt \'altal szerzett
szavazatok sz\'ama (egy adott id\H{o}pontbeli felm\'er\'es szerint)
mind\"ossze 300 volt. Tegy\"uk fel, hogy a v\'alaszt\'ok
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
v\'a\-lasz\-tot\-t\'ak valamelyik p\'art jel\"oltj\'et. E feltev\'es
teljes\"ul\'ese est\'en mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
k\'et jel\"olt \'altal \"ossze\-gy\"uj\-t\"ott szavazatok
k\"ul\"onbs\'ege nem haladja meg a h\'aromsz\'azat.
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 5~000~000$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik v\'alaszt\'o a demokrata, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
v\'alaszt\'o a republik\'anus jel\"oltre szavaz. Ekkor
$S=\summ_{j=1}^{5~000~000}\xi_j$ a demokrata, \'es $5~000~000-S$ a
republik\'anus jel\"oltre leadott szavazatok sz\'ama, \'es
minket a $P(|2S-5~000~000|\le300)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
nagys\'aga \'erdekel. Vegy\"uk \'eszre, hogy a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
$E\xi_j=\dfrac12$, $\Var\xi_j=\dfrac14$,  ez\'ert $ES_n=2~500~000$,
$\Var S_n=\dfrac14\cdot5~000~000$, \'es a $P\(\left|\dfrac
{S_n-2~500~000}{\sqrt{\frac14\cdot5~000~000}}\right|<x\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara alkalmazhatjuk a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt. Ennek alap\-j\'an
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(|2S-5~000~000|\le300)&=P\(\left|\frac{S-ES}{\sqrt{\Var
S}}\right|\le\frac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5~000~000}}\)\\
&\sim \Phi\(\dfrac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5000000}}\)-
\Phi\(-\dfrac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5000000}}\)\\
&=2\Phi\(\dfrac{6\sqrt5}{100}\)-1
\sim2\Phi(0.124)-1\sim0.1.
\endalign
$$
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Val\'oj\'aban a feladatban  t\'argyalt
modell  n\'emileg irre\'alis. \'Altal\'aban k\"u\-l\"on\-b\"o\-z\H{o}
k\"orzetek vannak, ahol a jel\"oltek n\'epszer\H{u}s\'ege
elt\'er\H{o}. Egy jobb, a va\-l\'o\-s\'a\-got jobban
k\"ovel\'{\i}t\H{o} modellben p\'eld\'aul azt t\'etelezhatj\"uk fel,
hogy k\"ul\"onb\"oz\H{o} k\"orzetek vannak, az egyes k\"orzetekben az
egyes v\'elem\'enyek f\"uggetlenek, de az, hogy milyen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel v\'alasztja egy v\'alaszt\'o
valamelyik jel\"oltet att\'ol is f\"ugg, hogy mely k\"orzetben lakik.
Ez a modell is vizsg\'alhat\'o a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, de itt m\'ar a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel \'altal\'anosabb, f\"uggetlen, de nem
felt\'etlen\"ul egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek hat\'areloszl\'as\'at le\'{\i}r\'o
alakj\'ara van sz\"uks\'eg.
\medskip
Az el\H{o}z\H{o} feladat azt mutatja, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy f\"uggetlen
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok viszonylag k\"ozel
vannak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\"ukh\"oz el\'eg nagy. Nem irre\'alis
p\'eld\'aul felt\'etelezni, hogy 5~000~000 szavaz\'o \'altal egy
jel\"oltre leadott szavazatok sz\'ama mind\"ossze 150-nel
k\"ul\"onb\"ozik annak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l. A
k\"ovetkez\H{o} feladatban hasonl\'o probl\'em\'at tekint\"unk.
Egy szab\'alyos p\'enzdarabot 10~000 alkalommal feldobunk, \'es
azt akarjuk tudni, mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
fej-dob\'asok sz\'ama mind\"ossze 100-zal vagy 200-zal t\'er el
annak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l. Ezt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kisz\'amoljuk pontosan a centr\'alis
hat\'areloszl\'at\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel. M\'asr\'eszt
megvizsg\'aljuk milyen becsl\'est ad a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg.
Ilyen m\'odon inform\'aci\'ot kapunk arr\'ol is, hogy bizonyos
esetekben milyen j\'o becsl\'est ad a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg.
 
\medskip\noindent
{\it M\'asodik p\'elda:}
\medskip\noindent
Tekints\"unk egy szab\'alyos p\'enzdarab 10~000
egym\'as ut\'ani (f\"uggetlen) feldob\'as\'ab\'ol sz\'ar\-ma\-z\'o
fej-\'{\i}r\'as sorozatot. Adjunk becsl\'est a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a fej-dob\'asok sz\'am\'anak
elt\'er\'ese a v\'art 5000 sz\'amt\'ol legal\'abb 100-zal, illetve
legal\'abb 200-zal elt\'er! Milyen becsl\'est ad ezekre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel?
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/  Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$\le j\le 10~000$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, amelyekre
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a
$j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor $\xi_j$, $1\le j\le
10~000$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$E\xi_j=\frac12$, $\text{Var}\, \xi_j=\frac14$, \'es a
$P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>100\)$ \'es
$P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>200\)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-re kell becsl\'est adnunk. A
Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg az els\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre
a
$$
P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>100\)
\le \dfrac {10000\cdot\Var\xi_1}{100^2}=\dfrac14,
$$
 a m\'asodik val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre pedig a
$$
P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>200\)
\le \dfrac {10000\cdot\Var\xi_1}{200^2}=\dfrac1{16}
$$
els\H{o} becsl\'est adja.
\medskip
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel szerint
$P\(\dfrac{\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)}{\sqrt{10000\cdot\frac
14}}>u\) \sim 1-\Phi(u)$. Innen kapjuk, hogy az els\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz az
$u=\pm\frac{100}{\frac12\cdot100}=\pm 2$ \'ert\'ekeket
kell tekinteni, \'es a vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $(1-\Phi(2))+\Phi(-2)
=2(1-\Phi(2))\sim2(1-0.97720)=0.0456$. A m\'asodik
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg hasonl\'oan k\"or\"ulbel\"ul
$2(1-\Phi(4))\sim0$, (az els\H{o} 4 tizedesjegy 0). (A Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg 0.25 illetve 0.0625 fels\H{o} becsl\'est adta
ezekre a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre.)
\medskip
T\'argyalunk k\'et tov\'abbi feladatot, amelyeket a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel oldunk meg.
\medskip\noindent
{Els\H{o} feladat:}
\medskip\noindent
Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 1200 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"ossze\-ad\-juk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel \'es egy norm\'alis
eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra, hogy ez az
\"osszeg 2280 \'es 2500 k\"oz\'e esik.
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 1200$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6, $\xi_j=0$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 1, 3 vagy 5. Ekkor a $P\(2280\le
\summ_{j=1}^{1200}\xi_j\le2500\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell
j\'ol megbecs\"uln\"unk. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$E\xi_j=\dfrac16(2+4+6)=2$,
$\Var\xi_j=\dfrac16(4+16+36)-4=\dfrac{16}3$.
Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$
\align
P\(2280\le\summ_{j=1}^{1200}\xi_j\le2500\)&=
P\(\dfrac{-120}{\sqrt{1200\frac{16}3}}
\le\dfrac{\summ_{j=1}^{1200}\xi_j-\summ_{j=1}^{1200}E\xi_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^{1200}\Var\xi_j}}
\le\frac{100}{\sqrt{1200\frac{16}3}}\) \\
&\sim\Phi(1.25)-\Phi(-1.5)=0.8944+0.9322-1=0.8266.
\endalign
$$
\medskip
\medskip\noindent
{\it M\'asodik feladat:}
\medskip\noindent
Vegy\"unk egy olyan p\'enzdarabot, amely $\dfrac23$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a fej \'es $\dfrac13$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel az \'{\i}r\'as oldalra. Ezt a
p\'enzdarabot annyiszor  dobjuk fel, ameddig megjelenik  1200 fej
dob\'as. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az elv\'egzett
dob\'asok sz\'ama 1680 1830 k\"uz\'e esik? Adjunk erre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est.
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ Az elv\'egzett dob\'asok sz\'ama egy
$\eta$ negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
$n=1200$ \'es $p=\dfrac23$ param\'eterekkel, azaz
$P(\eta=k+n)=\dbinom{n+k-1}{n-1}(1-p)^kp^n$, $p=\dfrac23$, \'es
$n=1200$ param\'eterrel. Egy ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak ki lehet sz\'amolni a pontos eloszl\'as\'at, azaz
azt, hogy milyen \'ert\'eket milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
vesz fel. Elvileg, ez lehet\H{o}s\'eget ad a k\'{\i}v\'ant
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara
egy bonyolult \"osszeg kisz\'am\'{\i}t\'as\'anak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Enn\'el hasz\-no\-sabb becsl\'est tudunk
kapni a k\"ovetkez\H{o} \'ervel\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel, amely a
k\'{\i}v\'ant va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-get j\'o pontoss\'aggal
kisz\'am\'{\i}tja a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
 
Jel\"olje $\xi_j$, $2\le j\le 1200$, a $j-1$-ik \'es $j$-ik
fejdob\'as k\"oz\"otti dob\'asok sz\'am\'at (a $j$-ik fejdob\'ast
belesz\'am\'{\i}tjuk a $j-1$-iket viszont nem  sz\'am\'{\i}tjuk bele e
dob\'asok k\"oz\'e), \'es legyen $\xi_1$ az els\H{o} fejdob\'asig (ezt
is belesz\'am\'{\i}tva) elv\'egzett dob\'asok sz\'ama. Ekkor a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'uak $n=1$, $p=\dfrac23$
param\'eterekkel, \'es minket a $P(1680<\xi_1+\cdots+\xi_{1200}<1830)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Megmutattuk a 6. el\H{o}ad\'asban,
illetve a hozz\'atartoz\'o feladatokban), hogy
$E\xi_j=\dfrac1{p}=\dfrac32$, $\Var \xi_j=\dfrac
{1-p}{p^2}=\dfrac34$. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
alapj\'an $\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{1200}$ jel\"ol\'essel minket a
$P\(-4<\dfrac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt{1200\Var\xi_1}}<1\)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg \'erdekel. A cent\-r\'a\-lis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel alapj\'an
$P\(-4<\dfrac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt {1200\Var\xi_1}}<1\)
\sim \Phi\(1\)+\Phi(4)-1\sim\Phi(1)$. \medskip
\bigskip
Most n\'eh\'any egy\'eb (nem a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelhez kapcsol\'od\'o) feladatot fogunk
t\'argyalni.
\medskip\noindent
{\it Els\H{o} feladat:}
\medskip\noindent
Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen
$\xi$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$f(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$,
\'es legyen $t$ val\'os sz\'am. Sz\'amoljuk ki az $e^{t\xi}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/
$$
\align
E e^{t\xi}&=\int_{-\infty}^\infty
e^{tu}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du
=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{tu-u^2/2-t^2/2+t^2/2}\,du \\
&=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(t-u)^2/2}\,du=e^{t^2/2}.
\endalign
$$
\medskip\noindent
{\it M\'asodik feladat:}
\medskip\noindent
Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok. L\'assuk be,
hogy $\xi^2+\eta^2$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o $\lambda=\frac12$ param\'eterrel.
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ $P(\xi^2<x)=\Phi(\sqrt x)-\Phi(-\sqrt
x)=2\Phi(\sqrt x)-1$, ha $x\ge0$. \'Irjuk fel $\xi^2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et \'es konvol\'uci\'o
seg\'\i{}ts\'eg\'evel a k\'\i{}v\'ant s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt.
A $\xi^2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye
$g(x)=\dfrac{\varphi(\sqrt x)}{\sqrt x}=\dfrac1{\sqrt{2\pi
x}}e^{-x/2}$, ha $x\ge0$, \'es $g(x)=0$, ha $x<0$, \'es
$\xi^2+\eta^2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
\align
f(x)&=g*g(x)=\int_0^x\frac1{2\pi\sqrt{u(x-u)}}
e^{-u/2}e^{-(x-u)/2}\,du\\
&=e^{-x/2}\int_0^1\frac1{2\pi\sqrt{v(1-v)}}\,dv=\frac12e^{-x/2},
\quad \text{ha } x\ge0,
\endalign
$$
\'es $f(x)=0$, ha $x\le 0$.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az $x$ param\'etert\H{o}l nem f\"ugg\H{o}
$\dsize \int_0^1 \frac1{\sqrt{v(1-v)}}\,dv$ integr\'al \'ert\'ek\'et
meg\-ha\-t\'a\-roz\-za az a t\'eny, hogy a v\'egeredm\'enyk\'ent
kapott f\"uggv\'eny s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, ez\'ert integr\'alja
a sz\'amegyenesen eggyel egyenl\H{o}. De ki is tudjuk sz\'amolni ezt
az integr\'alt. Hogyan? Vagy\"uk \'eszre, hogy
$$
\frac1{\sqrt{v(1-v)}}=\dfrac1{\sqrt{\frac14-(v-\frac12)^2}}
=\dfrac2{\sqrt{1-(2v-1)^2}},
$$
ez\'ert $u=2v-1$ helyettes\'{\i}t\'essel
$$
\int_0^x\frac1{2\pi\sqrt{v(1-v)}}\,dv=
\int_{-1}^{2x-1}\frac1{2\pi\sqrt{1-u^2}}\,du
=\frac1{2\pi}\[\arcsin x\]_{-1}^{2x-1}=\frac{\arcsin
(2x-1)+\frac\pi2}{2\pi}.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy a tekintett integr\'al \'ert\'eke $x=1$
eset\'en $\frac12$. Ugyanis $\arcsin1=\frac \pi2$.
 
\medskip\noindent
{\it Harmadik feladat:}
\medskip\noindent
Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\dfrac\eta\xi$ h\'anyados eloszl\'as \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}
Tegy\"unk el\H{o}sz\"or egy \'altal\'anos megjegyz\'est. Ha
adva van k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\xi$ \'es
$\eta$, amelyek (egy\"uttes s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy ismert
$f(u,v)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, akkor az $\dfrac\eta\xi$
h\'anyados eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et a k\"ovetkez\H{o} m\'odon
sz\'amolhatjuk ki: Vezess\"uk be a $g(u,v)=g_x(u,v)$ f\"uggv\'enyt,
amely a s\'{\i}kon az $\left\{(u,v)\:\dfrac vu<x\right\}$ halmaz
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nye, azaz $g(u,v)=1$, ha $\dfrac vu<x$,
\'es $g(u,v)=0$, ha $\dfrac vu\ge x$. Ekkor $P\(\dfrac\eta\xi<x\)
=E g(\xi,\eta)=\int\int g(u,v) f(u,v)\,du\,dv=
\int\int_{\{(u,v)\:\frac vu<x\}} f(u,v)\,du\,dv$. L\'atni fogjuk,
hogy az ebben a feladatban vizsg\'aland\'o integr\'al viszonylag
egyszer\H{u}, k\"onnyebben kezelhet\H{o}.
 
A feladatban vizsg\'aland\'o h\'anyados eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
\align
F(x)=P\(\frac\eta\xi <x\)&=\iint_{v<xu
}\frac1{2\pi}e^{-(u^2+v^2)/2}\,du\,dv\\
&=2\frac1{2\pi}\int_{-\frac{\pi}2<\varphi<\arctan x}\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr\,d\varphi =\frac12+\frac1{\pi}\arctan x.
\endalign
$$
Ebben a sz\'amol\'asban a fel\'{\i}rt integr\'alt \'at\'{\i}rtuk
$u=r\cos\varphi$, $v=r\sin\varphi$ transzform\'aci\'oval
pol\'arkoordin\'atarendszerben. E sz\'amol\'as sor\'an az
integrandusban megjelenik az $r$ Jacobian mint szorz\'o faktor.
Ezut\'an azt vegy\"uk \'eszre, hogy a bels\H{o} $r$ v\'altoz\'o
szerinti integr\'al $\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr=\[-e^{-r^2/2}\]_0^\infty=1$.
 
Kisz\'amoltuk a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az eloszl\'asf\"uggv\'eny
deriv\'altja, azaz az $f(x)=\dfrac{dF(x)}{dx}=\dfrac1{\pi(1+x^2)}$
f\"uggv\'eny.
\medskip\noindent
{\it M\'asodik megold\'as.}\/ A $(\xi,\eta)$ vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\dfrac1{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}$, ami
for\-ga\-t\'as\-in\-va\-ri\'ans f\"uggv\'eny. Innen k\"ovetkezik,
hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $(\xi,\eta)$ vektor
egy orig\'ob\'ol kiindul\'o $\alpha$ sz\"og\H{u} sz\"ogtartom\'anyba
esik, $\dfrac\alpha{2\pi}$. Ez\'ert
$$
\align
P\(\dfrac\eta\xi<x\)&=P\((\xi,\eta)\in
\[-\dfrac \pi2,\arctan x\)\cup \[\dfrac\pi2, \arctan x+\pi\)
\text{sz\"ogtartom\'anyban}\)\\
&=\frac1{2\pi}2\(\arctan x+\frac\pi2\)=\frac12+\frac1{\pi}\arctan x.
\endalign
$$
 
\medskip\noindent
{\it Negyedik feladat:}
\medskip\noindent
Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[0,1]$ intervallumban, azaz
legyen $f(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $0\le
x\le 1$, $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\medskip\noindent
{\it Els\H{o} megold\'as:}\/
$$
\Var \xi^2=E\(\(\xi^2\)^2\)-\(E\xi^2\)^2=E\xi^4-\(E\xi^2\)^2
=\int x^4 f(x)\,dx-\(\int x^2 f(x)\,dx\)^2,
$$
ahol $f(x)=1$, ha $0\le x\le1$,
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent, azaz $f(x)$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Innen $E\xi^2=\int_0^1
x^2\,dx=\dfrac13$, \'es $\Var\xi^2=\int_0^1
x^4\,dx-\(\int_0^1x^2\,dx\)^2=\dfrac
15-\(\dfrac13\)^2=\dfrac15-\dfrac19=\dfrac4{45}$.
\medskip\noindent
{\it M\'asodik megold\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki
el\H{o}sz\"or a $\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as \'es s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et.
A $\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
F(x)=P(\xi^2<x)=P(-\sqrt x<\xi<\sqrt x)
=P(0\le \xi\le \sqrt x)=\sqrt x,\quad \text{ha } 0\le x\le 1,
$$
$F(x)=0$, ha $\xi<0$, $F(x)=1$, ha $x>1$. Innen a $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\dfrac1{2\sqrt x}$, ha $0\le
x\le 1$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Ez\'ert
$$
E\xi^2=\int_0^1 x\dfrac1{2\sqrt
x}\,dx=\frac12\cdot\frac23=\frac13,
$$
\'es
$$
\Var\xi^2=\int_0^1 x^2\frac1{2\sqrt x}\,dx-\(\int_0^1 x\dfrac1{2\sqrt
x}\,dx\)^2=\frac12\cdot\frac25-\(\frac12\cdot\frac23\)^2=\frac4{45}.
$$
\medskip\noindent
{\it \"Ot\"odik feladat:}
\medskip\noindent
Tegy\"uk fel, hogy a k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot
j\'atszhatjuk: Feldobnak egy szab\'alyos p\'enz\-da\-ra\-bot
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul egym\'as ut\'an. Amennyiben fej a
dob\'as eredm\'enye, akkor a feltett t\'et dupl\'aj\'at kapjuk, ha
\'{\i}r\'as, akkor a t\'et $\frac23$ r\'esz\'et elvesz\'{\i}tj\"uk,
\'es csak $\frac13$ r\'esz\'et \H{o}rizhetj\"uk meg.  Mivel ez a
j\'at\'ek el\H{o}ny\"os, ez\'ert feltessz\"uk minden j\'at\'ekban
minden p\'enz\"unket. L\'assuk be, hogy amennyiben $A$ volt a
vagyonunk a j\'at\'ek kezdete el\H{o}tt, \'es $Z_n$ jel\"oli
vagyonunkat az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an, akkor
\item{a)} $EZ_n=A\(\dfrac76\)^n$, azaz
vagyonunk v\'arhat\'o \'ert\'eke exponenci\'alisan n\H{o}.
\item{b)} $Z_n$ sztochasztikusan tart null\'ahoz,
azaz ha sok\'aig j\'atszunk akkor k\"ozel egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel majdnem minden p\'enz\"unket
elvesz\'{\i}tj\"uk. (Val\'oj\'aban $Z_n$ egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel is tart null\'ahoz, csak ennek
indokl\'as\'ahoz sz\"uks\'eges az el\H{o}\-ad\'a\-son eddig nem
t\'argyalt nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye is.)
\item{c)} \'Erts\"uk meg, hogy ez a k\'et \'all\'{\i}t\'as nem
mond egym\'asnak ellent.
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=\dfrac13$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$P(\xi_j=2)=P\(\xi_j=\dfrac13\)=\dfrac12$, \'es ezenk\'{\i}v\"ul
$Z_n=A\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$. Ez\'ert
$E\xi_j=\dfrac12\(2+\dfrac13\)=\dfrac76$, \'es
$EZ_n=EA\xi_1\xi_2\cdots\xi_n =AE\xi_1 E\xi_2\cdots
E\xi_n=A\(\dfrac76\)^n$. Ez a feladat a) \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip\noindent
A $Z_n=A\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$ rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik,
hogy $\dfrac1n\log Z_n=\dfrac{\log A}n+\dfrac1n \summ_{j=1}^n\log
\xi_j$. To\-v\'ab\-b\'a, $E\log\xi_j=\dfrac12\(\log2+\log\dfrac13\)
=-\dfrac12\log\dfrac32$. Ez\'ert a nagy sz\'amok (gyenge)
t\"orv\'enye sze\-rint $\dfrac1n\log Z_n$ sztochasztikusan konverg\'al
a negat\'{\i}v $-\dfrac12\log\dfrac32$ sz\'amhoz. Innen
tet\-sz\H{o}\-le\-ges $\e>0$ sz\'amra $P(Z_n>\e)=P\(\dfrac1n\log Z_n
>\dfrac{\log\e}n\)$,
\'es ez a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg null\'ahoz
tart, ha $n\to\infty$. Val\'oban, a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'enye, \'es a $-\dfrac1{10}>-\dfrac12\log\dfrac 32$
egyenl\H{o}tlens\'eg miatt $\limm_{n\to\infty}P\(\dfrac1n\log
Z_n<-\dfrac1{10}\)=1$. Mivel
$\limm_{n\to\infty}\dfrac{\log\e}n=0$ innen k\"ovetkezik a feladat
b) \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip\noindent
Az a) r\'esz bizony\'{\i}t\'asa azon alapult, hogy $E\xi_j>1$,
a b) r\'esz\'e pedig azon, hogy $E\log \xi_j<0$. Ez a k\'et
egyenl\H{o}tlens\'eg teljes\"ulhet egyszerre, mert a v\'arhat\'o
\'ert\'ek \'es a logaritmus egym\'assal nem felcser\'elhet\H{o}. Igaz
az $E e^\eta\ge e^{E\eta}$ egyenl\H{o}tlens\'eg (ez a konvex
f\"uggv\'enyekre vonatkoz\'o \'ugynevezett Jensen egyenl\H{o}tlens\'eg
speci\'alis esete), ahonnan $\xi=\log\eta$ v\'alaszt\'assal $E\xi\ge
e^{\log E\xi}$, de egyenl\H{o}s\'eg nem \'{\i}rhat\'o a fenti
egyenl\H{o}tlens\'eg helyett. Jegyezz\"uk meg, hogy hasonl\'o, de
egyszer\H{u}bben \'erthet\H{o} p\'eld\'at mutat a feladat a) \'es
b) \'all\'{\i}t\'as\'anak egyszerre val\'o teljes\"ul\'es\'ere a
k\"ovetkez\H{o} modell. Olyan j\'at\'ekot j\'atszunk, amelyben
$\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel elvesz\'{\i}tj\"uk,
$\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel pedig megh\'aromszorozzuk
a p\'enz\"unket. Az egyes j\'at\'ekok egym\'ast\'ol f\"uggetlenek,
\'es minden id\H{o}pontban minden p\'enz\"unket feltessz\"uk. Ekkor
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an
minden p\'enz\"unket elvesz\'{\i}tj\"uk, $1-\(\frac12\)^n$, ami
rendk\'{\i}v\"ul gyorsan tart egyhez, \'es p\'enz\"unk v\'arhat\'o
\'ert\'eke $3^n\(\frac12\)^n$, ami exponenci\'alisan gyorsan n\H{o}
az $n$ f\"uggv\'eny\'eben. Hasonl\'o, csak kiss\'e rejtettebb eset
t\"ort\'enik az \'altalunk t\'argyalt feladatban is. Tekints\"uk a
feladatban vizs\-g\'alt j\'at\'ek nyerem\'eny\'et sok j\'at\'ek
ut\'an. Azt \'all\'{\i}thatjuk, hogy nagy $n$ indexre az $n$-ik
j\'at\'ek ut\'an nagy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel alig marad
p\'enz\"unk. Viszont kis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nagyon sok
p\'enzt nyer\"unk, \'es ez\'ert nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o
\'ert\'eke nagy. Ez az oka annak, hogy nemcsak a b), hanem az a)
\'all\'{\i}t\'as is teljes\"ul.
\medskip\noindent
{\it \'Eszrev\'etel az \"ot\"odik feladathoz:}
\medskip\noindent
Tekints\"uk az el\H{o}z\H{o} feladatban tekintett j\'at\'ekot
azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy a j\'at\'ek minden egyes
fordul\'oj\'aban vagyonunk $u$-ad r\'esz\'et, $0\le u\le1$, tessz\"uk
fel t\'etk\'ent. Jel\"olje $Z_n(u)$ vagyonunkat a j\'at\'ek $n$-ik
l\'ep\'ese ut\'an. Ekkor az $\dfrac1n\log Z_n(u)$
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sztochasztikusan
konverg\'alnak egy $B(u)$ sz\'amhoz. Hat\'arozzuk meg a legjobb $\bar
u$ sz\'amot, amelyikre $B(\bar u)=\supp_{0\le u\le 1}B(u)$. L\'assuk
be, hogy $B(\bar u)>0$.
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a $\xi_j=\xi_j(u)$,
$j=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat,
me\-lyek\-re $\xi_j=1+u$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej,
\'es $\xi_j=\xi_j(u)=1-\dfrac {2u}3$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor az $n$-ik l\'ep\'esben
a vagyonunk $Z_n=A\xi_1\cdots\xi_n$, a $\xi_j$, $j=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es egyforma
eloszl\'as\'uak, ez\'ert $\dfrac1n\log Z_n=\dfrac{\log A}n
+\dfrac1n\summ_{j=1}^n\log \xi_j$, \'es a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'enye sze\-rint az $\dfrac1n\log Z_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sztochasztikusan konverg\'alnak a $B(u)=E\log
\xi_1=\dfrac12\(\log(1+u)+\log\(1-\dfrac
{2u}3\)\)=\dfrac12\log(1+u)\(1-\dfrac {2u}3\)$ sz\'amhoz.
A $B(u)$ f\"ugg\-v\'eny a maximum\'at az $\bar u=\dfrac14$ helyen
veszi fel, \'es $B(\bar u)=\dfrac12\log\dfrac{25}{24}>1$.
 
\bye
 
 
 
