\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf Az \'aprilis 8.-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
%\plainfootnote{$^1$}{Id\H{o}hi\'any miatt bizonyos feladatok
%t\'argyal\'as\'at el kell hagyni. $^*$-gal jel\"oltem azokat, amelyeket
%els\H{o}sorban elhagyn\'ek.}
\medskip \noindent {\it Feladatok:}
\medskip
\item{1.} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $m$, $\sigma$ val\'os
sz\'amok, akkor az $\sigma\xi+m$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$ sz\'or\'asn\'egyzete
$\sigma^2$, s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig
$g(u)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}|\sigma|}e^{-(u-m)^2/2\sigma^2}$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$E(\sigma\xi+m)=\sigma E\xi+m=m$, \'es
$\Var(\sigma\xi+m)=\sigma^2 \Var\xi=\sigma^2$. Tov\'abb\'a, az
el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'enye alapj\'an a $\sigma\xi+m$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
az $f(x)=\dfrac1{|\sigma|}\varphi\(\dfrac{x-m}\sigma\)$, ahol
$\varphi(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, a standard norm\'alis
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny. Innen k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
momentumait, azaz egy olyam val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
momentumait adjuk meg, mely\-nek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha
$x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$. \medskip
\item{2.} Mutassuk meg, hogy egy exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} \'ugynevezett \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot:
$$
P(\xi>x+y|\xi>y)=P(\xi>x)
$$
minden $x\ge0$ \'es $y\ge0$ sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Mivel $P(\xi>u)=e^{-\lambda u}$ minden
$u\ge 0$ sz\'amra, ez\'ert
$P(\xi>x+y|\xi>y)=\dfrac{e^{-\lambda(x+y)}}{e^{-\lambda y}}
=e^{-\lambda x}=P(\xi>x)$.
\medskip
{\it Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Ha egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
teljes\H{u}ti az \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot, akkor az
exponenci\'alis eloszl\'as\'u.
\medskip
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Azt kell bel\'atni, hogy amennyiben
$P(\xi> x+y)=P(\xi> x)P(\xi> y)$ minden $x\ge0$ \'es $y\ge0$
sz\'amra, akkor $P(\xi> x)=e^{-\lambda x}$ minden $x\ge0$ sz\'amra.
Legyen $P(\xi> x)=e^{-\lambda(x) x}$ valamely $x>0$ sz\'amra.
L\'assuk be el\H{o}sz\"or az $y=\frac pq x$ alak\'u sz\'amokra,
ahol $p$ \'es $q$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok, hogy
$P(\xi> y)=e^{-\lambda(x)y}$. V\'eg\"ul, mivel $P(\xi> x)$ monoton
cs\"okken\H{o} f\"uggv\'eny, ez\'ert $\lambda(x)=\lambda$. \medskip
\item{3.} Mutassuk meg, hogy l\'etezik olyan $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} szuper \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot:
$$
P(\xi>x+y|\xi>y)>P(\xi>x)
$$
minden $x>0$ \'es $y>0$ sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o olyan, hogy $P(\xi>x)=e^{-\sqrt x}$, ha $x\ge0$ \'es
$P(\xi>x)=1$, ha $x<0$. Ekkor $P(\xi>x+y|x>y)=e^{-\sqrt{x+y}+\sqrt y}$,
ha $x>0$, $y>0$. Ez\'ert el\'eg megmuatatni, hogy
$e^{-\sqrt{x+y}+\sqrt y}>e^{-\sqrt y}$, illetve hogy
$\sqrt{x+y}<\sqrt x+\sqrt y$, ha $x>0$ \'es $y>0$. Ez az
egyenl\H{o}tlens\'eg viszont (n\'egyzetre emel\'es ut\'an)
k\"onnyen l\'athat\'o.
\item{4.} Adjuk meg a $[0,1\times\cdots\times[0,1]$ $k$-dimenzi\'os
egys\'egkock\'an egyenletes eloszl\'as
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et.
\item{b.)} Tekints\"uk a s\'{\i}kon a $(0,0)$, $(0,1)$ \'es
$(1,0)$ cs\'ucspontok \'altal meghat\'arozott $\bold K$
h\'a\-rom\-sz\"o\-g\"on az egyenletes eloszl\'ast. Adjuk meg ennek
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}
A $[0,1]\times\cdots\times[0,1]$ $k$-dimenzi\'os egys\'egkock\'an
egyenletes eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o eloszl\'asa az $F(x_1,\dots,x_k)=G(x_1)\cdots G(x_k)$
f\"uggv\'eny, ahol $G(x)=0$, ha $x\le0$, $G(x)=x$, ha $0\le x\le 1$,
\'es $G(x)=1$, ha $x\ge1$.
\item{} A tekintett h\'aromsz\"og\"on defini\'alt egyenletes
eloszl\'as $H(x,y)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye, $H(x,y)=0$, ha $x\le0$
vagy $y\le0$. $H(x,y)=1$, ha $\ge1$ \'es $y\ge1$. Defini\'alni kell
m\'eg a $H(x,y)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt abban az esetben, ha $0\le
x\le1$ \'es $0\le y\le1$. Ebben az esetben
$H(x,y)=2\lambda([0,x]\times[0,y]\cap\bold K)$. innen $H(x,y)=xy$,
ha $0\le x\le1$ \'es $0\le y\le1$, \'es $x+y\le1$. Ha $0\le x\le1$
\'es $0\le y\le1$, \'es $x+y\ge1$, akkor
$H(x,y)=xy-\dfrac12(x+y-1)^2$.
\item{5.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n,\xi_{n+1},\dots,\xi_{n+m}$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$g(x_1,\dots,x_n)$ $n$-v\'altoz\'os (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny,
$\eta=g(\xi_1,\dots,\xi_n)$. Mutassuk meg a Fubini t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy $\eta,\xi_{n+1},\dots,\xi_{n+m}$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
\item{} {\it Megold\'as:}
R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamilyen $x_0,x_1,\dots, x_m$ sz\'amokat.
Defini\'aljuk ezek se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel a $h_j(u)=1$, ha
$u<x_j$, $h_j(u)=0$, ha $u\ge x$, $1\le j\le m$, f\"uggv\'enyeket,
valamint legyen $h_0(u_1,\dots,u_n)=1$, ha $g(u_1,\dots,u_n)<x_0$,
$h_0(u_1,\dots,u_n)=0$, ha $g(u_1,\dots,u_n)\ge x_0$. Jel\"olje
$F_j(\cdot)$ a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ekkor a Fubini t\'etel alapj\'an
$$
\align
&P(\eta<x_0,\xi_{n+1}<x_{n+1},\dots,\xi_{n+m}<x_{n+m}) \\
&\qquad=\int h_0(u_1,\dots,u_n)h_1(u_{n+1})\dots h_{n+m}(u_{n+m})
F_1(\,du_1)\dots F_{n+m}(\,du_{n+m})\\
&\qquad =\int h_0(u_1,\dots,u_n) F_1(\,du_1)\dots
F_n(\,du_{n})
\\ &\qquad \qquad\int h_1(u_{n+1})F_{n+1}(\,du_{n+1}) \cdots\int
h_m(u_{n+m}) F_{n+m}(\,du_{n+m}) \\
&\qquad =P(\eta<x_0)P(\xi_{n+1}<x_{n+1})\cdots P(\xi_{n+m}<x_{n+m}),
\endalign
$$
ahonnan k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{6.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es legyen a $\xi_j$,
$1\le j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es jel\"olj\"uk az
$f_j(\cdot)$-vel. L\'assuk be a Fubini t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ v\'eletlen
vektornak is van s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, \'es az
az $f(u_1,\dots,u_n)=f_1(u_1)\cdots f_n(u_n)$ f\"uggv\'eny.
\item{} {\it Megold\'as:}
R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamilyen $x_0,x_1,\dots, x_n$ sz\'amokat, \'es
defini\'aljuk ezek se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel a $h_j(u)=1$, ha
$u<x_j$, $h_j(u)=0$, ha $u\ge x$ $1\le j\le n$, f\"uggv\'enyeket.
Ekkor
$$
\align
P(\xi_1<x_1,\cdots,\xi_{n}<x_{n}) &=P(\xi_1<x_1) \cdots
P(\xi_{n}<x_{n})\\
&=\int h_1(u)f_1(u)\,du\cdots  \int h_n(u)f_n(u)\,du\\
&=\int\cdots\int h_1(u_1)f_1(u_1)\cdots h_n(u_n)f_n(u_n)\,du_1\dots
\,du_n\\
&=\int_{-\infty}^{x_1}\cdots\int_{-\infty}^{x_n}
f_1(u_1)\cdots f_n(u_n)\,du_1\dots\,du_n
\endalign
$$
ahonnan k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
 
\item{7.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, a
$\[-\dfrac12,\dfrac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi$
\'es $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $-\dfrac12\le
x\le\dfrac12$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'amoljuk ki
$\xi+\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $g(x)=\int f(y)f(x-y)\,dy$
f\"uggv\'eny, ahol $f(x)$ a $\[-\dfrac12,\dfrac12\]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Ez\'ert
$f(y)f(x-y)=1$, ha $-\dfrac12\le y\le\dfrac12$, \'es $-\dfrac12\le
x-y\le\dfrac12$, azaz $-\dfrac12+x\le y\le\dfrac12+x$, \'es nulla
egy\'ebk\'ent. Ez azt jelenti, hogy a $\xi+\eta$ \"osszeg $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az $x$ pontban megegyezik a
$\[-\dfrac12,\dfrac12\]\cap \[-\dfrac12+x,\le\dfrac12+x\]$
intervallum hossz\'aval. Ha $|x|>1$, akkor a fenti metszet \"ures,
ez\'ert ebben az eset\-ben $g(x)=$. Ha $0\le x\le 1$, akkor ez a
metszet a $\[-\dfrac12+x,\dfrac12\]$ intervallum, \'es ennek hossza
$1-x$, azaz ebben az eset\-ben $g(x)=1-x$. Ha $-1\le x\le0$, akkor ez
a metszet a $\[-\dfrac12,\dfrac12+x\]$ intervallum amelynek hossza
$1+x=1-|x|$, azaz $g(x)=1+x=1-|x|$ ebben az eset\-ben. Ez azt jelenti,
hogy $g(x)=1-|x|$, ha $|x|\le 1$, \'es $g(x)=0$, ha $x>1$.
\medskip
\item{} Megadunk egy m\'asik geometriai \'ervel\'esen alapul\'o
megold\'ast is, amelyik a kor\'abban t\'argyalt geometriai
\'ervel\'esen alapul. \medskip
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki el\H{o}sz\"or a $\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $G(x)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. De\-fi\-ni\'al\-juk a
$K=\[-\dfrac12,\dfrac12\]\times\[-\dfrac12,\dfrac12\]$ n\'egyzetet,
\'es jel\"olje $\lambda$ a Lebesgue m\'ert\'eket, azaz a ter\"uletet
a s\'{\i}kon. Ekkor a s\'{\i}k tetsz\H{o}leges $A\subset R^2$
m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaz\'ara igaz az, hogy $P((\xi,\eta)\in
A)=\lambda(A\cap K)$. Speci\'alisan, $G(x)=P(\xi+\eta<x)=
\lambda(K\cap\{(u,v)\:u+v<x\})$. Ha $x\le-1$, akkor $G(x)=0$, ha
$-1\le x\le0$, akkor $G(x)$ a $\(-\frac12,-\frac12\)$,
$\(-\frac12,\frac12+x\)$ \'es $\(\frac12+x,-\frac12\)$ pontok \'altal
meghat\'arozott h\'aromsz\"og ter\"ulete $\frac12(1+x)^2$.
Hasonl\'oan, ha $x\ge1$, akkor $G(x)=1$. Ha $0\le x\le1$, akkor a
$G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny megegyezik annak a poligonnak
ter\"ulet\'evel, amelyet \'ugy kapunk, hogy a $K$ n\'egyzetb\H{o}l
kihagyjuk a $\(\frac12,\frac12\)$, $\(\frac12,-\frac12+x\)$
\'es $\(-\frac12+x,\frac12\)$ pontok \'altal meghat\'arozott
h\'aromsz\"oget. Ez\'ert $G(x)=1-\frac12(1-x)^2$ ebben az eset\-ben.
A $G(x)$ f\"uggv\'enyt deriv\'alva kapjuk, hogy $g(x)=0$, ha
$|x|\le1$, $g(x)=1+x$, ha $-1\le x\le0$, \'es $g(x)=1-x$, ha $0\le
x\le1$.
\medskip
\item{8.} Legyenek $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, azaz legyen
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ha
$x\ge 0$, \'es $f(x)=0$, ha $x>0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_1+\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} \'Altal\'anosabban, legyenek $\xi_1, \dots \xi_m$
f\"ug\-get\-len exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\lambda>0$ param\'eterrel.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_1+\cdots+\xi_m$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ki kell sz\'amolnunk az $f*f(x)$ illetve
$\underbrace {f*\cdots* f}_{m-\text{szer}}(x)$ konvoluci\'okat a fenti
$f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Mivel $f(x)=0$, ha $x\le 0$,
a konvoluci\'ot meghat\'aroz\'o integr\'alban szerepl\H{o} $f(y)f(x-y)$
integrandus nulla, ha $y\le 0$ vagy $x-y\le0$. Innen a konvoluci\'ot
defini\'al\'o integr\'al csak $x\ge0$ eset\'en lehet nulla, az $x\le0$
esetben $f(y)f(x-y)>0$ minden $y$-ra nulla, \'es $x\ge0$ eset\'en az
$f(y)f(x-y)>0$ integrandus csak $0\le y\le x$ eset\'en nem nulla.
Innen a $\xi_1+\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f_2(x)=f*f(x)$ $x<0$-ra $f_2(x)=0$,
\'es
$$
\align
f_2(x)&=f*f(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)f(x-y)\,dy=\int_0^x
\lambda e^{-\lambda y}\lambda e^{-\lambda(x-y)}\,dy\\
&=\int_0^x \lambda^2 e^{-\lambda x}\,dy=\lambda^2xe^{-\lambda x},
\quad \text{ha } x\ge0.
\endalign
$$
Hasonl\'oan, ha $f_m(x)=\underbrace {f*\cdots* f}_{m-\text{szer}}(x)$
jel\"oli $\xi_1+\cdots\xi_m$  s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, akkor
$f_m(x)=0$ minden $m\ge1$ sz\'amra, ha $x<0$. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy
$f_m(x)=\dfrac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!}e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$.
Ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni teljes
indukci\'oval azt, hogy $f_{m-1}*f(x)=f_m(x)$ a fent defini\'alt $f_m$
f\"uggv\'enyekkel. Viszont
$$
\align
f_{m-1}*f(x)&=\int_{-\infty}^\infty f_{m-1}(y)f(x-y)\,dy=\int_0^x
\lambda^{m-1}\frac{y^{m-2}}{(m-2)!} \lambda
e^{-\lambda y}e^{-\lambda(x-y)}\,dy\\
&=\lambda^m e^{-\lambda x}\int_0^x
\frac{y^{m-2}}{(m-2)!} \,dy=e^{-\lambda
x}\frac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!},\quad\text{ha }x\ge0.
\endalign
$$
M\'asr\'eszt $f_m(x)=0$, ha $x\le 0$.
\medskip
\item{9.} Legyen $\xi$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda=1$ param\'eterrel,
azaz $F(x)=P(\xi<x)=1-e^{-x}$, ha $x\ge0$, $F(x)=P(\xi<x)=0$, ha
$x\le0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi+\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $G(x)$ a $\xi+\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
Ekkor a $G(x)=P(\{\oo\:\xi(\oo)+\xi^2(\oo)<x\})$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enyt kell kisz\'amolni az $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny ismeret\'eben. Viszont, ha ismerj\"uk egy
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et, akkor az meghat\'arozza a
$P(\oo\:\xi(\oo)\in B)$ halmazok
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et minden ,,sz\'ep", azaz Borel
m\'erhet\H{o} $B$ halmazra. Vegy\"uk \'eszre, hogy jelen feladatban
is ilyen jelleg\H{u} probl\'em\'at kell megoldani. Az ebben a
feladatban megjelen\H{o} $B$ halmaz egyszer\H{u} szerkezet\H{u},
\'es ez\'ert ez a feladat k\"onnyebben megoldhat\'o.
Tekints\"uk az $A(\oo,x)=\{\oo\:\xi(\oo)+\xi(\oo)^2<x\}$ halmazokat.
Ezek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et kell kisz\'am\'{\i}tanunk. Ennek
\'erdek\'eben tekints\"uk az $B(x)=\{y\:y+y^2<x\}$ hamazt. Vegy\"uk
\'eszre, hogy $B(x)=\{y\:y_1(x)<y<y_2(x)\}$, ahol
$y_1(x)=\dfrac{-1-\sqrt{1+4x}}2$ \'es
$y_2(x)=\dfrac{-1+\sqrt{1+4x}}2$ az $y^2+y=x$ egyenlet kisebb \'es
nagyobb megold\'asa, \'es $A(\oo,x)=\{\oo\:y_1(x)<\xi(\oo)<y_2(x)\}$.
Innen $G(x)=P\(\{\oo\:y_1(x)<\xi(\oo)<y_2(x)\}\)=F(y_2(x))-F(y_1(x))$.
Ez\'ert a $\xi+\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye a $G(x)=P\(y_1(x)<\xi<y_2(x)\)=
P\(\xi<y_2(x)\)=1-e^{-y_2(x)}=1-\exp\left\{
\dfrac{1-\sqrt{1+4x}}2\right\}$, ha $x\ge0$, \'es $G(x)=0$, ha
$x\le0$ f\"uggv\'eny. A $\xi+\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $g(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye ennek
deriv\'altja, azaz $g(x)=0$, ha $x<0$, \'es $g(x)=
\dfrac1{\sqrt{1+4x}}\exp\left\{
\dfrac{1-\sqrt{1+4x}}2\right\}$, ha $x\ge0$.
\medskip
\item{} Tekints\"unk k\'et a m\'asodik el\H{o}ad\'ason t\'argyalt
feladatot, amelyet annak idej\'en geometriai meggondol\'asok alapj\'an
oldottunk meg. Megmutatjuk, hogy ezek a feladatok megoldhat\'oak a most
t\'argyalt konvoluci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel is.
 
\medskip
\item{10.} K\'et ember 8 \'es 9 \'ora k\"oz\"ott megjelenik egy
t\'eren egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'es egyenletes eloszl\'asal.
Mind a kett\H{o} f\'el\'or\'at v\'ar a m\'asikra, \'es ha az addig
nem j\"on, akkor hazamegy. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy tal\'alkoznak?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$,
$j=1,2$, azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely azt adja
meg, hogy h\'any (0 \'es 1 k\"oz\"otti sz\'ammal kifejezhet\H{o})
\'or\'aval 8 \'ora ut\'an jelent meg a $j$-ik ember a helysz\'{\i}nen.
Ekkor $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen a $[0,1]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
Minket a $-\frac12\le \xi_1-\xi_2\le \frac 12$ esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege \'erdekel. Az $F(u)=P(\xi_1-\xi_2<u)$
eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $g(u)=f_1*f_2(u)$
konvol\'uci\'o, ahol $f_1(u)=1$, ha $0\le u\le 1$, $f_1(u)=0$,
k\"ul\"onben, $f_2(u)=1$, ha $-1\le u\le0$, $f_2(u)=0$ k\"ul\"onben.
Ekkor a minket \'erdekl\H{o} mennyis\'eg az $F\(\frac12\)
-F\(-\frac12\)=\dsize\int_{-1/2}^{1/2}g(u)\,du$ integr\'al.
Tov\'abb\'a,
$$
g(x)=f_1*f_2(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(u)f_2(x-u)\,du
=\int_{-\infty}^{\infty} f(u)f(x-u)\,du, \;\; -\infty<x<\infty,
$$
ahol $f(u)=1$, ha $\frac12\le  u\le \frac12$, $f(u)=0$, ha
$u\ge\frac12$.
\item{} Az \"ot\"odik feladat megold\'as\'aban l\'attuk, hogy
$g(u)=1-u$, ha $0<u<1$ $g(u)=1+u$, ha $-1<u<0$. Innen $F\(\frac12\)
-F\(-\frac12\)=\dsize\int_{-1/2}^{1/2}(1-|u|)\,du=\dfrac34$.
\item{11.} K\'et botot v\'eletlenszer\H{u}en, egyenletes
eloszl\'assal elt\"or\"unk. A k\'et r\"ovidebb darabot
\"osszeragasztjuk. Mi az \'{\i}gy kapott \'uj bot hossz\'anak az
$F(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye? \medskip
\item{}{\it Negold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$,
$j=1,2$, azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely azt
adja meg, hogy a $j$-ik bot r\"ovidebb v\'eg\'enek mi a hossza.
Ekkor $\xi_1$, \'es $\xi_2$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, melyek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az az $f(\cdot)$
f\"uggv\'eny, amelyre $f(x)=2$, ha $0\le x\le\frac12$, \'es $f(x)=0$
egy\'ebk\'ent. Minket a $\xi_1+\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asa \'erdekel. Viszont $\xi_1+\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=f*f(x)$, ahonnan $g(x)=2-|2-4x|$,
ha $0\le x\le 1$, $g(x)=0$ k\"ul\"onben. Ezt kiintegr\'alva megkapjuk
az eredm\'enyt, amelyet a a k\"ovetkez\H{o} k\'epletek adnak meg:
$F(u)=0$, ha $u\le 0$, $F(u)=1-2u^2$, ha $0\le u\le \frac12$,
$F(u)=1-2(1-u)^2=4u-2u^2-1$, ha $\frac12\le u\le 1$. Ha $u\ge1$,
akkor $F(u)=1$.
 
\bye
 
 
 
 
