\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\noindent{\bf A \'aprilis 15.-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
\medskip
\medskip\noindent
El\H{o}sz\"or n\'eh\'any p\'eld\'at mutatunk a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel alkalmaz\'as\'ara. \medskip
 
\item{1.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 1200 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszeadjuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy ez az \"osszeg 2280 \'es 2500 k\"oz\'e esik.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 1200$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6, $\xi_j=0$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 1, 3 vagy 5. Ekkor a $P\(2280\le
\summ_{j=1}^{1200}\xi_j\le2500\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell
j\'ol megbecs\"uln\"unk. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$E\xi_j=\dfrac16(2+4+6)=2$,
$\Var\xi_j=\dfrac16(4+16+36)-4=\dfrac{16}3$.
Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$
\align
P\(2280\le\summ_{j=1}^{1200}\xi_j\le2500\)&=
P\(\dfrac{-120}{\sqrt{1200\frac{16}3}}
\le\dfrac{\summ_{j=1}^{1200}\xi_j-\summ_{j=1}^{1200}E\xi_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^{1200}\Var\xi_j}}
\le\frac{100}{\sqrt{1200\frac{16}3}}\) \\
&\sim\Phi(1.25)-\Phi(-1.5)=0.8944+0.9322-1=0.8266.
\endalign
$$
\item{2.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at \'es egy szab\'alyos
\'erm\'et feldobunk 3300 alkalommal egy\-m\'as\-t\'ol f\"uggetlen\"ul.
(Az \'erme \'es kockadob\'asok eredm\'enyei is f\"uggetlenek
egy\-m\'as\-t\'ol.) Ha a kockadob\'as eredm\'enye p\'aros \'es az
\'erme a fej oldalra esett, akkor annyi forintot nyer\"unk, amennyi a
kockadob\'as eredm\'enye. Ha az \'erme az \'{\i}r\'as oldalra esett
vagy a kockadob\'as eredm\'enye p\'aratlan sz\'am, akkor nem nyer\"unk,
\'es nem is veszt\"unk semmit. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy az \"ossznyerem\'eny\"unk 3190 \'es 3520 forint k\"oz\'e esik?
Adjunk erre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel \'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
\'es $\eta_j$ $1\le j\le 3300$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 2,
$\xi_j=4$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a
$j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 6, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik kockadob\'as
eredm\'enye 1, 3 vagy 5. Legyen $\eta_j=1$, ha a $j$-ik \'ermedob\'as
eredm\'enye fej, \'es $\eta_j=0$, ha a $j$-ik \'ermedob\'as
\'{\i}r\'as. Legyen $\zeta_j=\xi_j\eta_j$. Ekkor a $j$-ik dob\'asn\'al
a nyerem\'eny\"unk $\zeta_j$ lesz, $1\le j\le 3300$,  \'es a
$P\(3190\le \summ_{j=1}^{3300}\zeta_j\le3520\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell j\'ol megbecs\"uln\"unk. Ennek
\'erdek\'eben sz\'amoljuk ki a f\"uggetlen $\zeta_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
$E\zeta_j=E\xi_j\eta_j=E\xi_jE\eta_j=\dfrac16(2+4+6)\dfrac12=1$,
$E\zeta_j^2=E\xi_j^2E\eta_j^2=\dfrac16(4+16+36)\cdot\dfrac12
=\dfrac{14}3$, $\Var\zeta_j^2=E\zeta_j^2-(E\zeta_j)^2=\dfrac{11}3$.
Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$
\align
P\(3190\le\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j\le3520\)&=
P\(\dfrac{-110}{\sqrt{3300\frac{11}3}}
\le\dfrac{\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j-\summ_{j=1}^{3300}E\zeta_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^{3300}\Var\xi_j}}
\le\frac{220}{\sqrt{3300\frac{11}3}}\) \\
&\sim\Phi(2)-\Phi(-1)=0.9772+0.8413-1=0.9285.
\endalign
$$
 
\item{3.} Vegy\"unk egy olyan p\'enzdarabot, amely $\dfrac23$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a fej \'es $\dfrac13$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel az \'{\i}r\'as oldalra. Ezt a
p\'enzdarabot annyiszor  dobjuk fel, ameddig megjelenik  1200 fej
dob\'as. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az elv\'egzett
dob\'asok sz\'ama 1680 1830 k\"uz\'e esik? Adjunk erre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az elv\'egzett dob\'asok sz\'ama egy
$\eta$ negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
$n=1200$ \'es $p=\dfrac23$ param\'eterekkel, azaz
$P(\eta=k+n)=\dbinom{n+k-1}{n-1}(1-p)^kp^n$, $p=\dfrac23$, \'es
$n=1200$ param\'eterrel. Egy ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak ki lehet sz\'amolni a pontos eloszl\'as\'at, azaz
azt, hogy milyen \'ert\'eket milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
vesz fel. Elvileg, ez lehet\H{o}s\'eget ad a k\'{\i}v\'ant
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara
egy bonyolult \"osszeg kisz\'am\'{\i}t\'as\'anak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Enn\'el hasz\-no\-sabb becsl\'est tudunk
kapni a k\"ovetkez\H{o} \'ervel\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel, amely a
k\'{\i}v\'ant va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-get j\'o pontoss\'aggal
kisz\'am\'{\i}tja a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} Jel\"olje $\xi_j$, $2\le j\le 1200$, a $j-1$-ik \'es $j$-ik
fejdob\'as k\"oz\"otti dob\'asok sz\'am\'at (a $j$-ik fejdob\'ast
belesz\'am\'{\i}tjuk a $j-1$-iket viszont nem  sz\'am\'{\i}tjuk bele e
dob\'asok k\"oz\'e), \'es legyen $\xi_1$ az els\H{o} fejdob\'asig (ezt
is belesz\'am\'{\i}tva) elv\'egzett dob\'asok sz\'ama. Ekkor a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'uak $n=1$, $p=\dfrac23$
param\'eterekkel, \'es minket a $P(1680<\xi_1+\cdots+\xi_{1200}<1830)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Megmutattuk a 6. el\H{o}ad\'asban,
illetve a hozz\'atartoz\'o feladatokban), hogy
$E\xi_j=\dfrac1{p}=\dfrac32$, $\Var \xi_j=\dfrac
{1-p}{p^2}=\dfrac34$. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
alapj\'an $\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{1200}$ jel\"ol\'essel minket a
$P\(-4<\dfrac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt{1200\Var\xi_1}}<1\)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg \'erdekel. A cent\-r\'a\-lis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel alapj\'an
$P\(-4<\dfrac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt {1200\Var\xi_1}}<1\)
\sim \Phi\(1\)+\Phi(4)-1\sim\Phi(1)$.
\item{4.} Legyen birtokunkban 100 l\'ampa, amelyek mindegyike
egym\'ast\'ol f\"uggetlen id\H{o}\-tar\-ta\-mig m\H{u}k\"odik,
\'elettartamuk pedig exponenci\'alis eloszl\'as\'u
$\lambda=\dfrac1{10}$ param\'eterrel. (A l\'amp\'ak \'elettartam\'anak
exponenci\'alis eloszl\'asa term\'eszetes felt\'etelez\'es.) Egy termet
bevil\'ag\'{\i}tunk ezen l\'amp\'ak valamelyik\'evel, majd amikor az
ki\'egett \'uj l\'amp\'at haszn\'alunk fel. Adjunk j\'o becsl\'est
arra, hogy a l\'amp\'ak \"ossz\'elettartama legal\'abb 1150 \'ora.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik l\'ampa
\'el\'ettartam\'at, $1\le j\le100$. Ekkor a
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre kell
j\'o becsl\'est adnunk, ahol az \"osszegben f\"uggetlen
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok szerepelnek $\lambda=\frac1{10}$ param\'eterrel.
Vezess\"uk be az $\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{100}$ jel\"ol\'est.
\item{} Kisz\'amoltuk, hogy jelen esetben
$E\eta=mE\xi_1=\dfrac m\lambda=1000$, $\Var \eta=\dfrac
m{\lambda^2}=10 000$ ($m=100$ \'es $\lambda=\dfrac1{10}$
v\'alaszt\'assal). Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
sze\-rint $\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{ \Var
\eta}}=\dfrac{\eta-1000}{100}$ j\'o
k\"ozel\'{\i}t\'essel standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150) =P\(\dfrac{\eta-E\eta}{\sqrt{\Var
\eta}}>1.5\)\sim1-\Phi(1.5)$.
\item{5.} Egy p\'enzdarabr\'ol ellen\H{o}rizni akarjuk, hogy igaz-e
az a hipot\'ezis, amely szerint ez az \'erme legal\'abb $\frac34$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej \'es legfeljebb $\frac14$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldal\'ara. Ennek
\'erdek\'eben feldobjuk a p\'enzdarabot 30~000 alkalommal, \'es a
k\"ovetkez\H{o} d\"ont\'esi szab\'alyt hozzuk. V\'alasztunk egy $k$
sz\'amot, \'es akkor fogadjuk el a hipot\'ezist helyesnek, ha
legal\'abb $k$ fejdob\'as t\"ort\'ent. Legal\'abb mekkor\'anak kell
v\'alassztanunk ezt a $k$ sz\'amot, ha azt akarjuk, hogy egy a
hipot\'ezist teljes\'{\i}t\H{o} p\'enzdarab eset\'en legal\'abb 0.9
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel d\"onts\"unk \'ugy, hogy a hipot\'ezis
teljes\"ul?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye
\'{\i}r\'as, $1\le j\le30\,000$,
$S=S_{30000}=\summ_{j=1}^{30\,000}\xi_j$. Ha a fejdob\'as
eredm\'eny\'enek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pontosan
$\dfrac34$, $E\xi_j=\dfrac34$, $E\xi_j^2=\dfrac34$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-\(E\xi_j\)^2=\dfrac3{16}$,
$ES=30\,000E\xi_j=22\,500$, $\Var S=30\,000\Var\xi_j=5625=75^2$.
Innen \'es a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l,
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(S>k)&=P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}>\frac{k-22\,500}{75}\)
=1-P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}\le \frac{k-22\,500}{75}\)\\
&\sim 1-\Phi\(\frac{k-22\,500}{75}\).
\endalign
$$
V\'alasszuk a $k$ sz\'amot \'ugy, hogy a fenti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"or\"ulbel\"ul 0.9 legyen. Ekkor a
$\Phi\(\dfrac{k-22\,500}{75}\)=0.1$ vagy ami ezzel ekvivalens,
a $\Phi\(\dfrac{22\,500-k}{75}\)=0.9$ egyenletet kell
kiel\'eg\'{\i}ten\"unk. A norm\'alis eloszl\'as-t\'abl\'azat alapj\'an
$\dfrac{22\,500-k}{75}\sim1.28$, ami azt jelenti, hogy
$k=22\,500-75\times 1.28$ \'es $p=\dfrac34$ eset\'en annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a fejdob\'asok sz\'ama nagyobb mint
$k=22\,500-75\times 1.28=22\,212$ \'es $p=\dfrac34$ eset\'eben annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb ennyi fejdob\'as
t\"ort\'enik k\"or\"ulbel\"ul 0.9. Ha $p\ge\dfrac34$, akkor ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nagyobb. Ez\'ert a $k=22\,212$ helyes
v\'alaszt\'as.
\vfill\eject
 
{\it H\'azi feladat.}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 2700 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszesz\'amoljuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy ez az \"osszeg 420 \'es 720 k\"oz\'e esik.
\medskip
 
\item{6.} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$f(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, \'es legyen $t$ val\'os
sz\'am. Sz\'amoljuk ki az $e^{t\xi}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
E e^{t\xi}&=\int_{-\infty}^\infty
e^{tu}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du
=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{tu-u^2/2-t^2/2+t^2/2}\,du \\
&=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty
\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(t-u)^2/2}\,du=e^{t^2/2}.
\endalign
$$
\item{7.} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok. L\'assuk be,
hogy $\xi^2+\eta^2$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o $\lambda=\frac12$
pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $P(\xi^2<x)=\Phi(\sqrt x)-\Phi(-\sqrt
x)=2\Phi(\sqrt x)-1$, ha $x\ge0$. \'Irjuk fel $\xi^2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et \'es konvol\'uci\'o
seg\'\i{}ts\'eg\'evel a k\'\i{}v\'ant s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt.
A $\xi^2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye
$g(x)=\dfrac{\varphi(\sqrt x)}{\sqrt x}=\dfrac1{\sqrt{2\pi
x}}e^{-x/2}$, ha $x\ge0$, \'es $g(x)=0$, ha $x<0$, \'es
$\xi^2+\eta^2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
\align
f(x)&=g*g(x)=\int_0^x\frac1{2\pi\sqrt{u(x-u)}}
e^{-u/2}e^{-(x-u)/2}\,du\\
&=e^{-x/2}\int_0^1\frac1{2\pi\sqrt{v(1-v)}}\,dv=\frac12e^{-x/2},
\quad \text{ha } x\ge0,
\endalign
$$
\'es $f(x)=0$, ha $x\le 0$.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Az $x$ param\'etert\H{o}l nem f\"ugg\H{o}
$\dsize \int_0^1 \frac1{\sqrt{v(1-v)}}\,dv$ integr\'al \'ert\'ek\'et
meg\-ha\-t\'a\-roz\-za az a t\'eny, hogy a v\'egeredm\'enyk\'ent
kapott f\"uggv\'eny s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, ez\'ert integr\'alja
a sz\'amegyenesen eggyel egyenl\H{o}. De ki is tudjuk sz\'amolni ezt
az integr\'alt. Vagy\"uk \'eszre, hogy
$$
\frac1{\sqrt{v(1-v)}}=\dfrac1{\sqrt{\frac14-(v-\frac12)^2}}
=\dfrac2{\sqrt{1-(2v-1)^2}},
$$
ez\'ert $u=2v-1$ helyettes\'{\i}t\'essel
$$
\align
\int_0^x\frac1{2\pi\sqrt{v(1-v)}}\,dv&=
\int_{-1}^{2x-1}\frac1{2\pi\sqrt{1-u^2}}\,du  \\
&=\frac1{2\pi}\[\arcsin x\]_{-1}^{2x-1}=\frac{\arcsin
(2x-1)+\frac\pi2}{2\pi}.
\endalign
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy a tekintett integr\'al \'ert\'eke $x=1$
eset\'en $\frac12$, mivel $\arcsin1=\frac \pi2$.
\medskip
\item{8.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\dfrac\eta\xi$ h\'anyados eloszl\'as \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
\item{} A megold\'as kidolgoz\'asa el\H{o}tt tegy\"unk el\H{o}sz\"or
egy \'altal\'anos megjegyz\'est. Ha adva van k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\xi$ \'es $\eta$, amelyek
(egy\"uttes) s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy ismert $f(u,v)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, akkor az $\dfrac\eta\xi$
h\'anyados eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et a k\"ovetkez\H{o} m\'odon
sz\'amolhatjuk ki: Vezess\"uk be a $g(u,v)=g_x(u,v)$ f\"uggv\'enyt,
amely a s\'{\i}kon az $\left\{(u,v)\:\dfrac vu<x\right\}$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'enye, azaz $g(u,v)=1$, ha $\dfrac vu<x$, \'es
$g(u,v)=0$, ha $\dfrac vu\ge x$. Ekkor $P\(\dfrac\eta\xi<x\)
=E g(\xi,\eta)=\int\int g(u,v) f(u,v)\,du\,dv=
\int\int_{\{(u,v)\:\frac vu<x\}} f(u,v)\,du\,dv$. L\'atni fogjuk,
hogy az ebben a feladatban vizsg\'aland\'o integr\'al viszonylag
egyszer\H{u}, k\"onnyebben kezelhet\H{o}.
\medskip
\item{} {\it Megold\'as.}\/ A feladatben vizsg\'aland\'o h\'anyados
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
\align
F(x)&=P\(\frac\eta\xi <x\)=\iint_{v<xu
}\frac1{2\pi}e^{-(u^2+v^2)/2}\,du\,dv\\
&=2\frac1{2\pi}\int_{-\frac{\pi}2<\varphi<\arctan x}\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr\,d\varphi
=\frac1{\pi}\int_{-\frac{\pi}2}^{\arctan x}
\,d\varphi
=\frac12+\frac1{\pi}\arctan x.
\endalign
$$
Ebben a sz\'amol\'asban a fel\'{\i}rt integr\'alt \'at\'{\i}rtuk
$u=r\cos\varphi$, $v=r\sin\varphi$ transzform\'aci\'oval
pol\'arkoordin\'atarendszerben. E sz\'amol\'as sor\'an az
integrandusban megjelenik az $r$ Jacobian mint szorz\'o faktor.
Ezut\'an azt vegy\"uk \'eszre, hogy a bels\H{o} $r$ v\'altoz\'o
szerinti integr\'al $\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr=\[-e^{-r^2/2}\]_0^\infty=1$.
\item{} Kisz\'amoltuk a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az eloszl\'asf\"uggv\'eny
deriv\'altja, azaz az $f(x)=\dfrac{dF(x)}{dx}=\dfrac1{\pi(1+x^2)}$
f\"uggv\'eny.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as.}\/ A $(\xi,\eta)$ vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\dfrac1{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}$, ami
for\-ga\-t\'as\-in\-va\-ri\'ans f\"uggv\'eny. Innen k\"ovetkezik,
hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $(\xi,\eta)$ vektor
egy orig\'ob\'ol kiindul\'o $\alpha$ sz\"og\H{u} sz\"ogtartom\'anyba
esik, $\dfrac\alpha{2\pi}$. Ez\'ert
$$
\align
P\(\dfrac\eta\xi<x\)&=P\((\xi,\eta)\in
\[-\dfrac \pi2,\arctan x\)\cup \[\dfrac\pi2, \arctan x+\pi\)
\text{sz\"ogtartom\'anyban}\)\\
&=\frac1{2\pi}2\(\arctan x+\frac\pi2\)=\frac12+\frac1{\pi}\arctan x.
\endalign
$$
\medskip
\item{9.} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[0,1]$ intervallumban, azaz
legyen $f(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $0\le
x\le 1$, $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Els\H{o} megold\'as:}\/ $\Var
\xi^2=E\(\(\xi^2\)^2\)-\(E\xi^2\)^2=E\xi^4-\(E\xi^2\)^2=\int x^4
f(x)\,dx-\(\int x^2 f(x)\,dx\)^2$, ahol $f(x)=1$, ha $0\le x\le1$,
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent, azaz $f(x)$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Innen $E\xi^2=\int_0^1
x^2\,dx=\dfrac13$, \'es $\Var\xi^2=\int_0^1
x^4\,dx-\(\int_0^1x^2\,dx\)^2=\dfrac
15-\(\dfrac13\)^2=\dfrac15-\dfrac19=\dfrac4{45}$.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki
el\H{o}sz\"or a $\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. A $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
F(x)=P(\xi^2<x)=P(-\sqrt x<\xi<\sqrt x)
=P(0\le \xi\le \sqrt x)=\sqrt x,\quad \text{ha } 0\le x\le 1,
$$
$F(x)=0$, ha $\xi<0$, $F(x)=1$, ha $x>1$. Innen a $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\dfrac1{2\sqrt x}$, ha $0\le
x\le 1$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Ez\'ert
$$
E\xi^2=\int_0^1 x\dfrac1{2\sqrt
x}\,dx=\frac12\cdot\frac23=\frac13,
$$
\'es
$$
\Var\xi^2=\int_0^1 x^2\frac1{2\sqrt x}\,dx-\(\int_0^1 x\dfrac1{2\sqrt
x}\,dx\)^2=\frac12\cdot\frac25-\(\frac12\cdot\frac23\)^2=\frac4{45}.
$$
\item{10.} Legyen $(\xi,\eta)$ k\'et-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(x,y)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. L\'as\-suk be, hogy a $\dfrac\eta\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak is l\'etezik
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az a
$g(t)=\int_{-\infty}^\infty f(x,tx)|x|\,dx$ f\"uggv\'eny. Adjunk
ennek az eredm\'enynek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel \'uj meg\-ol\-d\'ast a
nyolcadik feladatra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $G(t)$ a $\dfrac\eta\xi$ t\"ort
$G(t)=P\(\dfrac\eta\xi<t\)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ekkor
$$
G(t)=\dsize\int_{(x,y)\:\frac yx<t} f(x,y)\,dx\,dy.
$$
Sz\'am\'{\i}tsuk ki ezt az integr\'alt az $(x,z)=\(x,\frac yx\)$
helyettes\'{\i}t\'essel. Ekkor a $G(t)$ f\"uggv\'enyt kifejez\H{o}
integr\'alban az \'uj integr\'al\'asi tartom\'any az $\{(x,z)\:
-\infty<x<\infty,\,-\infty<z<t\}$, $f(x,y)=f(x,zx)$, \'es az
integr\'altranszform\'aci\'o kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz meg kell
hat\'aroznunk a lek\'epez\'es Jacobi transzform\'aci\'oj\'at. Ez az
$x=h_1(x,y)=x$, $z=h_2(x,y)=\dfrac yx$ jel\"ol\'essel
$$
J(x,z)
=\left|\( \matrix
\frac{\partial x)}{\partial x},\frac{\partial x)}{\partial
y} \\
\frac{\partial z}{\partial x},\frac{z}{\partial
y}, \endmatrix \)\right|
=\left|\( \matrix
\frac{\partial h_1(x,y)}{\partial x},\frac{\partial h_1(x,y)}{\partial
y},\\
\frac{\partial h_2(x,y)}{\partial x},\frac{\partial h_2(x,y)}{\partial
y}, \endmatrix\right) \right|
=\left|\left( \matrix \, 1,\,\,\, 0\\ -\frac y{x^2}, \frac1x
\endmatrix\right) \right| =\left|\frac1x\right|,
$$
\'es inform\'alisan $dx\,dz=J(x,z)\,dx\,dy$, ahonnan
$dx\,dy=\dfrac1{J(x,z)}\,dx\,dz=|x|\,dx\,dz$,
ahonnan
$$
G(t)=\int_{(x,y)\:\frac yx<t} f(x,y)\,dx\,dy=\int
\int_{(x,z)\:z<t} f(x,zx)|x|\,dx\,dz=\int_{-\infty}^t K(z)\,dz,
$$
ahol
$$
K(z)=\int_{-\infty}^\infty f(xz,z)|x|\,dx.
$$
Innen l\'athat\'o, hogy a keresett s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
$g(t)=K(t)$, amint \'all\'{\i}tottuk.
\item{} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$(\xi,\eta)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x,y)=\dfrac1{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}$, ez\'ert $\dfrac\eta\xi$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
\align
g(t)&=\int_{-\infty}^\infty\dfrac1{2\pi}e^{-(x^2+t^2x^2)/2}|x|\,dx \\
&=\int_{-\infty}^\infty\dfrac1{2\pi (t^2+1)}
e^{-(\sqrt{(t^2+1)}x)^2/2} \left|\(\sqrt{(t^2+1)}x\)\right|\,
d\(\sqrt{(t^2+1)}x\),
\endalign
$$
ahonnan
$$
\align
g(t)&=\dfrac1{2\pi (t^2+1)}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}|x|\,dx
=\dfrac1{\pi (t^2+1)}\int_0^\infty e^{-x^2/2}|x|\,dx \\
&=\dfrac1{\pi (t^2+1)}\[-e^{-x^2/2}\]_0^\infty
=\dfrac1{\pi (t^2+1)}.
\endalign
$$
\medskip
\centerline{\bf AZ \'APRILIS 9.-I JAV\'IT\'O DOLGOZAT FELADATAI}
\medskip\noindent
\bigskip
\item{1.} K\'et szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
100-szor egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Minden egyes dob\'as ut\'an
fel\'{\i}rjuk egy pap\'{\i}rra a nagyobb dob\'as eredm\'eny\'et. (Ha a
k\'et kockadob\'as eredm\'enye megegyezik, akkor ezt a k\"oz\"os
dob\'aseredm\'enyt \'{\i}rjuk fel.) Mi a pap\'{\i}rra fel\'{\i}rt
sz\'amok \"osszeg\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete?
\item{2.} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk egym\'as ut\'an
14 alkalommal. \"Ossze\-sz\'a\-mol\-juk azt, hogy h\'anyszor
k\"ovetkezett be h\'arom egym\'ast k\"ovet\H{o} fej-dob\'as. (Az
ilyen do\-b\'as\-so\-ro\-za\-tok nem felt\'etlen\"ul diszjunktak.
P\'eld\'aul, ha az els\H{o} 5 dob\'as fej, az h\'arom ilyen sorozatot
jelent, az 1,2,3, a 2,3,4 \'es a 3,4,5 sorozatokat.) Mi a v\'arhat\'o
\'ert\'eke \'es
sz\"or\'asn\'egyzete az ilyen dob\'assorozatok sz\'am\'anak?
\item{3.} Egy teszt-vizsg\'an, ahol h\'arom lehet\H{o}s\'eg k\"oz\"ul
kell kiv\'alasztani a helyes v\'alaszt ketten vesznek r\'eszt. Az
els\H{o} r\'esztvev\H{o} $p_1$, a m\'asodik r\'esztvev\H{o} pedig
$p_2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel tudja a helyes v\'alaszt,
tov\'abb\'a a vizsga k\'et r\'esztvev\H{o}je egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul tudja vagy nem tudja, hogy mi a helyes v\'alasz.
Mindk\'et r\'esztvev\H{o} a j\'o v\'alaszt jel\H{o}li meg, ha tudja
azt, ellenkez\H{o} esetben pedig mindent\H{o}l f\"uggetlen\"ul
egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'eletlen\"ul bejel\"oli a
h\'arom lehets\'eges v\'alasz valamelyik\'et. Mi a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy mind a k\'et r\'esztvev\H{o}
a helyes v\'alaszt jel\"olte be, felt\'eve, hogy ugyanazt a v\'alaszt
adta?
\item{4.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $\lambda$ \'es
$\mu$ pa\-ra\-m\'e\-te\-rek\-kel, azaz
$P(\xi=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$,
$P(\eta=k)=\dfrac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}$, $k=0,1,2,\dots$,  \'es
$\lambda>0$, $\mu>0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi+\eta$ eloszl\'as\'at,
azaz a $P(\xi+\eta=k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket.
\item{5.} Fogalmazza meg a Borel--Cantelli lemm\'at. (Arr\'ol az
eredm\'enyr\H{o}l van sz\'o, amely felt\'etelt ad arra, hogy bizonyos
esem\'enyekb\H{o}l v\'egtelen vagy csak v\'eges sok k\"o\-vet\-ke\-zik-e
be.)
\medskip\noindent
{\it Megold\'asok:}
\item{1.} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le 100$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=s$, $1\le s\le 6$,
ha a $j$-ik dob\'assorozat ut\'an fel\'{\i}rt sz\'am $s$. Vegy\"uk
\'eszre, hogy a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek,  \'es $P(\xi_j=1)=\frac1{36}$,
$P(\xi_j=2)=\frac3{36}$, $P(\xi_j=3)=\frac5{36}$,
$P(\xi_j=4)=\frac7{36}$, $P(\xi_j=5)=\frac9{36}$,
$P(\xi_j=6)=\frac{11}{36}$. (Ugyanis minden $(u,v)$, $1\le u,v\le 6$
dob\'asp\'ar val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac1{36}$, a maximum \'ugy
lehet $s$, ha vagy az els\H{o} dob\'as $s$ a m\'asodik dob\'as kisebb
mint $s$, ami $s-1$-f\'elek\'epp t\"ort\'enhet, vagy a
m\'asodik dob\'as $s$ az els\H{o} dob\'as kisebb mint $s$, ami
szint\'en $s-1$-f\'elek\'epp t\"ort\'enhet, vagy mind a k\'et dob\'as
$s$. Ez pontosan $2s-1$ lehet\H{o}s\'eget jelent. Innen
$E\xi_j=\dfrac{1+2\cdot 3+3\cdot 5+4\cdot 7+5\cdot 9+6\cdot 11}{36}=
\dfrac{161}{36}$, $E\xi_j^2=\dfrac{1+4\cdot 3+9\cdot 5+16\cdot 7+25\cdot
9+36\cdot 11}{36}=\dfrac{791}{36}$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\dfrac{791}{36}
-\(\dfrac{161}{36}\)^2=\dfrac{2551}{1296}$ minden $1\le j\le 100$
sz\'amra, ahonnan a minket \'erdekl\H{o} $S=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$
\"osszegre $ES=100E\xi_1=\dfrac{16100}{36}$, $\Var S=100\Var
\xi_j=\dfrac{255100}{1296}$.
\item{2.} Jel\"olje $\xi_j$ azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot, amely 1, ha a $j$-ik, $j+1$-ik, $j+2$-ik dob\'asok
mindegyike fej, $1\le j\le 12$, \'es nulla k\"ul\"onben. Ekkor minket
az $S=\summ_{j=1}^{12}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete
\'erdekel. Mivel $E\xi_j=\frac18$ minden $1\le j\le 12$ sz\'amra,
ez\'ert $ES=\dfrac {12}8=\dfrac32$. A sz\'or\'asn\'egyzet
kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\Var \xi_j$
sz\'or\'asn\'egyzeteket \'es $\Cov(\xi_j,\xi_k)$ kovarianci\'akat.
Fel\'{\i}rhatjuk, hogy $\Var\xi_j=\dfrac7{64}$ minden $1\le j\le 12$
sz\'amra, tov\'abb\'a a $\xi_j$ \'es $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, ha $|j-k|\ge3$,
ez\'ert $\Cov(\xi_j,\xi_k)=0$, ha $|k-j|\ge3$. Tov\'abb\'a
$\Cov(\xi_j,\xi_{j+1})=E\xi_j\xi_{j+1}-E\xi_jE\xi_{j+1}
=\dfrac1{16}-\dfrac1{64}=\dfrac3{64}$, $1\le j\le11$,
$\Cov(\xi_j,\xi_{j+2})=E\xi_j\xi_{j+2}-E\xi_jE\xi_{j+2}
=\dfrac1{32}-\dfrac1{64}=\dfrac1{64}$, $1\le j\le10$. Innen
$$ \allowdisplaybreaks
\align
\Var S&=\summ_{j=1}^{12}\Var\xi_j+2\summ_{1\le j<k\le
12}\Cov(\xi_j,\xi_k)=12\cdot\frac7{64}+2\cdot10\cdot
\dfrac1{64}+2\cdot11\cdot\frac3{64}\\
&=\frac{42+10+33}{32}=\frac{85}{32}.
\endalign
$$
\item{3.} Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy az els\H{o} di\'ak
j\'ol v\'alaszol, $B$ azt az esem\'enyt, hogy a m\'asodik di\'ak j\'ol
v\'alaszol, $D_1$ azt az esem\'enyt, hogy mind a k\'et jel\"olt az
els\H{o}k\'ent felsororolt felt\"untetett rossz v\'alaszt $D_2$ pedig
azt az esem\'enyt, hogy mind a k\'et
jel\"olt a m\'asodiknak felsorolt rossz v\'alaszt adja.
Ekkor $C=(A\cap B)\cup D_1\cup D_2$ jel\"oli azt
az esem\'enyt, hogy a k\'et di\'ak egyform\'an v\'alaszol.
Ekkor minket a $P(A\cap B|C)=\dfrac{P(A\cap B\cap
C)}{P(C)}=\dfrac{P(A\cap B)}{P((A\cap B)\cup D_1\cup D_2)}$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Viszont $P(A)=p_1+\dfrac13(1-p_1)=\dfrac{1+2p_1}3$,
$P(B)=\dfrac{1+2p_2}3$, \'es az $A$ \'es $B$ esem\'enyek
f\"uggetlenek. Innen $P(A\cap B)=\dfrac{1+2p_1}3\cdot\dfrac{1+2p_2}3$,
$P(C)=R(A\cap B)+(D_1)+P(D_2)=\dfrac{1+2p_1}3\cdot\dfrac{1+2p_2}3+2
\dfrac{1-p_1}3\cdot\dfrac{1-p_2}3$. Ugyanis
$P(D_1)=P(D_2)=\dfrac{(1-p_1)}3\cdot\dfrac{(1-p_2)}3$, mivel az
els\H{o} jel\"olt akkor adja az els\H{o} rossz v\'alaszt,
ha nem tudja a helyes v\'alaszt, \'es a
h\'arom lehet\H{o}s\'eg k\"oz\"ul az els\H{o} rossz v\'alaszt jel\"oli
ki, aminek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $(1-p_1)\dfrac13$, annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik jel\"olt ugyanezt
a v\'alaszt adja $(1-p_1)\dfrac13$, a k\'et jel\"olt egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul v\'alaszol. Innen $P(D_1)=\dfrac{(1-p_1)}3\cdot
\dfrac{(1-p_2)}3$. Hasonl\'oan, a $P(D_2)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre
ugyanazt az \'ert\'eket kapjuk. Innen
$$
P(A\cap B|C)=\dfrac{(1+2p_1)(1+2p_2)}{(1+2p_1)(1+2p_2)+2(1-p_1)(1-p_2)}.
$$
\item{4.}
$$
\align
P(\xi+\eta=k)&=\sum_{j=0}^kP(\xi=j,\eta=k-j)=
\sum_{j=0}^kP(\xi=j)P(\eta=k-j) \\
&=\sum_{j=0}^k \frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}
\frac{\mu^{k-j}}{(k-j)!}e^{-\mu}=
\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}
\sum_{j=0}^k \frac{k!}{j!(k-j)!} \lambda^j \mu^{(k-j)} \\
&=\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}(\lambda+\mu)^k.
\endalign
$$
\item{5.} Legyenek $A_1,A_2,\dots$ esem\'enyek egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. A Borel--Can\-tel\-li lemma a
k\"ovetkez\H{o} k\'et \'all\'{\i}t\'ast tartalmazza:
\item{a.)} Ha $\summ_{j=1}^\infty P(A_j)<\infty$, akkor az $A_1$,
$A_2$,\dots esem\'enyek k\"oz\"ul 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
v\'eges sok k\"ovetkezik be.
\item{b.)} Ha $\summ_{j=1}^\infty P(A_j)=\infty$, \'es az $A_1$,
$A_2$,\dots esem\'enyek f\"uggetlenek, akkor az $A_1$,
$A_2$,\dots esem\'enyek k\"oz\"ul 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
v\'egtelen sok k\"ovetkezik be.
 
 
 
 
 
 
 
\bye
 