\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2pt plus 0.5pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\font\script=cmcsc10
 
\medskip\noindent
\noindent{\bf A szeptember 24.-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
\medskip\noindent
 
\item{1.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $\xi$ standard norm\'alis
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'ennyel, azaz
$\varphi(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel, $\eta$
pedig legyen egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumon.
Sz\'um\'{\i}tsuk ki $\xi+\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{}{\it Megold\'as:} Jel\"olje $f(x)=1$, ha $0\le x\le 1$,
$f(x)=0$, ha $x>1$ vagy $x<0$ az egyenletes eloszl\'as
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, $g(x)$
$\xi+\eta$ keresett s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Ekkor
$$
\align
g(x)&=f*\varphi(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)\varphi(x-y)\,dy=\int_0^1
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-(x-y)^2/2}\,dy\\
&=-\int_x^{x-1} \dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,dy=\Phi(x)-\Phi(x-1),
\endalign
$$
ahol $\Phi(x)$ a standard norm\'alis eloszl\'asf\"ugg\'eny. (Ezt az
integr\'alt nem lehet z\'art alakban kiintegr\'alni, ez\'ert ezt a
kifejez\'est tekinthetj\"uk v\'egeredm\'enynek is.
\item{2.} Mutassunk p\'eld\'at $F_n(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek olyan
sorozat\'ara, melyek elosz\'asban konverg\'alnak a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as eloszl\'asf\"uggv\'eny\'ehez,
mindegyik $F_n(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek van $f_n(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es ezek a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nyek majdnem minden $x$ pontban
a null\'ahoz tartanak. (A feladat mondanival\'oja az, hogy az
eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'ab\'ol nem k\"ovetkezik a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nyek konvergenci\'aja. Azt, hogy
az ellenkez\H{o} ir\'anyban m\'as a helyzet a feladatot k\"ovet\H{o}
nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat mondja ki.)
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Defini\'aljuk az $F_n(x)$
eloszl\'usf\"uggv\'enyt a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon: Legyen $F_n(x)=k2^{-n}$ a
$[k2^{-n},(k+1)2^{-n}-2^{-10n}]$ intervallumokon, $k=0,1,\dots,2^n-1$,
$F(x)=1$, ha $x\ge1$, $F(x)=0$, ha $x\le0$, \'es legyen az $F(x)$
f\"uggv\'eny line\'aris a $(k+1)2^{-n}-2^{-10n},(k+1)2^{-n}]$,
$k=0,1,\dots,2^n=1$ intervallumokon. Ekkor az $F_n(x)$
eloszl\'ass\"uggv\'enyek ny\'{\i}lv\'an konverg\'alnak az $[0,1]$
intervallumon egyenletes eloszl\'as eloszl\'asf\"uggv\'eny\'ehez.
M\'asr\'eszt az $F_n(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $[0,1]$ intervallum egy $1-2^{9n}$
m\'ert\'ek\H{u} r\'eszhalmaz\'an nulla, (a marad\'ek $2^{-9n}$
m\'ert\'ek\H{u} halmazon $2^{9n}$.) Mivel
$\summ_{n=1}^\infty2^{-9n}<\infty$, ez\'ert a Borel--Cantelli lemma
szerint a (Lebesgue m\'ert\'ek szerint) majdnem minden $x$ sz\'amra az
$f_n(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny v\'eges sok $n$ indexet
kiv\'eve nulla, \'es az ilyen $x$ sz\'amokra
$\limm_{n\to\infty}f_n(x)=0$. Innen k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.
\medskip
{\it Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Tegy\"uk fel, hogy $g_n(x)$ s\H{u}r\H{u}ss\'egf\"uggv\'enyek
egy sorozata majdnem minden $x$ pontban konverg\'al egy $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyhez. L\'assuk be, hogy ekkor a
$G_n(x)=\int_{-\infty}x g_n(u)\,du$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konverg\'alnak a $G(x)=\int_{-\infty}x g(u)\,du$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez.
\medskip
\item{3.} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye a
$\varphi(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ f\"uggv\'eny, \'es legyen
$t$ val\'os sz\'am. Sz\'amoljuk ki az $e^{t\xi}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ha $\xi$ $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel
rendelkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $h(x)$ val\'os
\'ert\'ek\H{u} (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny, akkor $Eh(\xi)=\int
h(x)f(x)\,dx$. Eset\"unkben ez azt jelenti, hogy ha $\xi$ standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$$
Ee^{t\xi}=\dsize\int_{-\infty}^\infty{e^{tx}}\frac{e^{-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx.
$$
Innen
$$
Ee^{t\xi}=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{tx-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{t^2/2-(t-x)^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=e^{t^2/2}.
$$
\medskip
\item{4.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
10-szer egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Tekints\"uk a p\'aros
eredm\'eny\H{u} dob\'asok \"osszeg\'enek a harmadik hatv\'any\'at, \'es
sz\'a\-mol\-juk ki annak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{}{\it Megold\'as:}\/  Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le10$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6, \'es
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 1, 3, vagy 5. Legyen
$S=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$. Ekkor minket az $ES^3$ mennyis\'eg
\'erdekel. $ES^3=E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j\)^3$. Tov\'abb\'a,
$E\xi_j=2$, $E\xi_j^2=\dfrac{28}3$, $E\xi_j^3=48$ minden $1\le j\le10$
sz\'amra, \'es a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek. Ez\'ert
$$
\align
ES^3&=\!\!\!\! \sum\Sb 1\le j,k,l\le 10\\ \text{a $j,k,l$ indexek
k\"ul\"onb\"oz\H{o}ek}\endSb \!\!\!\!  E\xi_jE\xi_kE\xi_l
+ \!\!\!\!  \sum\Sb 1\le j,k\le 100\\ \text {a $j,k$ indexek
k\"ul\"onb\"oz\H{o}ek}\endSb \!\!\!\!  E\xi_j^2E\xi_k+\sum_{j=1}^{10
}E\xi_j^3\\
&=10\cdot 9\cdot 8\cdot 2^3+3\cdot10\cdot9\cdot2\cdot \frac{28}3+10\cdot
48 =11280.
\endalign
$$
\medskip
\item{5.} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
a $\xi$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye $f(x)=\frac12e^{-|x|}$,
$-\infty<x<\infty$, az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
egyenletes eloszl\'as\'u a $0\le x\le1$ intervallumban, azaz $\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=1$, ha $0\le x\le1$, $g(x)=0$
egy\'ebk\'ent. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi-\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $g^-(\cdot)$ a $-\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Ekkor fel\-\'{\i}r\-hat\-juk,
hogy $g^-(x)=1$, ha $-1\le x\le 0$, $g^-(x)=0$ egy\'ebk\'ent, \'es
a $\xi-\eta=\xi+(-\eta)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $h(x)=f*g^-(x)$ f\"uggv\'eny,
ahol $*$ konvol\'uci\'ot jel\"ol. M\'asr\'eszt, mivel $g^-(x-y)=1$,
ha $x\le y\le x+1$, \'es $g^-(x-y)=0$ k\"ul\"onben, ez\'ert
$$
h(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)g^-(x-y)\,dy=\int_x^{x+1} f(y)\,dy
=\int_x^{x+1} e^{-|y|}\,dy.
$$
V\'alasszuk sz\'et a k\"ovetkez\H{o} h\'arom esetet: a.) $x<-1$, b.)
$-1\le x\le0$, c.) $x>0$. Az a.) esetben, ha $x<-1$
$h(x)=\int_x^{x+1} e^{-|y|}\,dy=
\int_x^{x+1} e^{y}\,dy=e^{x+1}-e^x$, a b.) esetben, ha $-1\le x\le0$
$h(x)=\int_x^{x+1} e^{-|y|}\,dy=\int_x^{0} e^{y}\,dy+
\int_0^{x+1} e^{-y}\,dy=1-e^x+1-e^{-x-1}=2-e^{-x-1}-e^x$, a c.)
esetben, ha $x>0$ $h(x)=\int_x^{x+1} e^{-|y|}\,dy=
\int_x^{x+1} e^{-y}\,dy=e^{-x}-e^{-x-1}$.
 
\bye
