\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2pt plus 0.5pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\font\script=cmcsc10
 
\medskip\noindent
\noindent{\bf A szeptember 17.-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
\medskip\noindent
 
\item{1.} Jellemezz\"uk az olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asf\"uggv\'enyeit, melyek egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel csak
v\'eges sok \'ert\'ek valamelyik\'et vehetik fel. Mutassunk
p\'eld\'at olyan disz\-kr\'et eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ora, amelyik minden
intervallumban szigor\'uan monoton n\H{o}.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ K\"onny\H{u} bel\'atni, hogy egy $F(x)$
f\"uggv\'eny akkor \'es csak akkor egy v\'eges sok \'ert\'eket
felvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye, ha $F(x)$ monoton, \'es l\'etezik v\'eges sok
$x_1<\cdots<x_n$ pont \'ugy, hogy az $F(x)$ f\"uggv\'eny konstans
$(-\infty,x_1)$, $[x_1,x_2)$, $[x_2,x_3)$,\dots $[x_n,\infty)$
intervallumon, a $(-\infty,x_1)$ f\'elegyenes \'ert\'eke nulla \'es
az $[x_n,\infty)$ f\'elegyenesen 1. Ez olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye,
amelyik az $x_1,\dots,x_n$ \'ert\'ekek valamelyik\'et veszi
fel, \'es az $x_j$ \'ert\'ek\'et akkora val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,
amennyi az $F(\cdot)$ f\"uggv\'eny ugr\'asa az $x_j$ pontban.
\item{} Ha a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
megsz\'aml\'alhat\'o \'ert\'eket vehet fel, akkor
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek nem felt\'eteln\"ul van
ilyen egyszer\H{u} geometriai szerkezete. Egy p\'elda erre: Soroljuk
fel a racion\'alis sz\'amokat valamilyen $r_1,r_2,\dots$ sorrendben.
Tekints\"unk olyan va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ot, amelyik az $r_n$ \'ert\'eket $2^{-n}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel veszi fel. Egy ilyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o diszkr\'et eloszl\'as\'u
$F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye pedig szigor\'uan monoton, azaz
$F(x_1)<F(x_2)$, ha $x_1<x_2$, mert minden $(x_1,x_2)$ intervallum
tartalmaz a bel\-se\-j\'e\-ben racion\'alis pontot.
\medskip
\item{2.} Az egys\'egintervallumra egyenletes eloszl\'assal ledobunk
egy pontot, azaz annak va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy a
pont egy $[a,b]\subset[0,1]$ intervallumba esik $b-a$, valamint
ett\H{o}l f\"uggetlen\"ul egy szab\'alyos p\'enzdarabot. Ha fej
a p\'enzdob\'as eredm\'enye, akkor legyen a nyerem\'eny\"unk a
lees\'esi hely \'ert\'ek\'evel egyenl\H{o}, ha pedig \'{\i}r\'ast
dobunk, akkor legyen a nyerem\'eny\"unk a dob\'as \'ert\'ek\'et\H{o}l
f\"uggetlen\"ul $\frac12$. Sz\'amoljuk ki nye\-re\-m\'e\-ny\"unk
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Nyerem\'eny\"unk eloszl\'asf\"uggv\'enye
$F(x)=\frac12F_1(x)+\frac12F_2(x)$, ahol $F_1(x)$ az egyenletes
eloszl\'asf\"uggv\'eny, \'es $F_2(x)$ egy olyan (elfajult)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye,  amelyik 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az $\frac12$ \'ert\'eket veszi
fel. Ugyanis $\frac12 F_1(x)$ annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy fej a p\'enzdob\'as
eredm\'enye, \'es nyerem\'eny\"unk kisebb, mint $x$, m\'{\i}g $\frac12
F_2(x)$ annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy \'{\i}r\'as a
p\'enzdob\'as eredm\'enye, \'es nyerem\'eny\"unk \'ert\'eke
kisebb, mint $x$. Jel\"olje $\eta$ nyerem\'eny\"unk \'ert\'ek\'et.
Ekkor
$$
\align
E\eta&=\int x F(\,dx)=\frac12\int x F_1(\,dx)+\frac12\int x F_2(\,dx)
=\frac12\int_0^1 x\,dx+\frac12\cdot\frac12=\frac12\\
E\eta^2&=\int x^2 F(\,dx)=\frac12\int x^2 F_1(\,dx)+\frac12\int x^2
F_2(\,dx) =\frac12\int_0^1
x^2\,dx+\frac12\cdot\(\frac12\)^2\\
&=\frac7{24}.
\endalign
$$
Innen $E\eta=\dfrac12$,
$\Var\eta=E\eta^2-(E\eta)^2=\dfrac7{24}-\dfrac14=\dfrac1{24}$.
 
\vfill\eject
 
%\medskip
{\it H\'azi feladat.}
\medskip
\item{} Az egys\'egintervallumra ledobunk egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul egyenletes eloszl\'assal k\'et
pontot, \'es legyen a k\'et dob\'as eredm\'enye $\xi_1$ \'es $\xi_2$.
Ezenk\'{\i}v\"ul feldobunk (a t\"obbi kis\'erlett\H{o}l
f\"uggetlen\"ul) egy szab\'alyos dob\'okock\'at. Ha hatost
dobunk legyen nye\-re\-m\'e\-ny\"unk \'ert\'eke $\max(\xi_1,\xi_2)$,
ha nem hatost, akkor pedig $\min(\xi_1,\xi_2)$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki
nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et. \medskip
\item{3.} Ha az $F_1(x),\dots,F_k(x)$ f\"uggv\'enyek egyv\'altoz\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enyek, akkor szor\-za\-tuk, az
$F(x_1,\dots,x_k)=F_1(x_1)\cdots
F_n(x_k)$ f\"uggv\'eny $k$-v\'altoz\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ El\H{o}sz\"or \'erts\"uk meg a feladatot.
Az els\H{o} el\H{o}ad\'ason megfogalmaztuk azokat a tulajdons\'agokat,
melyek jellemzik az eloszl\'asf\"uggv\'enyeket. Azt kell megmutatni,
hogy ha az $F_1(x),\dots,F_k(x)$ f\"uggv\'enyek kiel\'eg\'{\i}tik az
egyv\'altoz\'os el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek\-re el\H{o}\'{\i}rt
tulajdons\'agokat, akkor az $F(x_1,\dots,x_k)=F_1(x_1)\cdots
F_k(x_k)$ f\"uggv\'eny  teljes\'{\i}ti a $k$-v\'altoz\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enyekre el\H{o}\'{\i}rt tulajdons\'agokat. Ezek
egyszer\H{u}en ellen\H{o}rizhet\H{o}ek, az egyetlen tulajdons\'ag,
melynek indokl\'as\'an kiss\'e el kell gondolkozni a k\"ovetkez\H{o}
(iv) felt\'etelnek nevezett tulajdons\'ag:
\item{} Defini\'aljuk egy az $R^k$ t\'eren defini\'alt
$F$ f\"uggv\'enyre \'es egy
$\bold K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ t\'eg\-la\-test\-re a
$$
\mu(\bold K)=\mu_F(\bold K)=\sum\Sb u_j=\; a_j\text{ vagy
}b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)}F(u_1,\dots,u_k)
$$
mennyis\'eget, ahol $\chi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k
sz\'am\'at az $u_1,\dots,u_k$ sorozatban. Ekkor
\item{(iv)} $\mu_F(\bold K)\ge 0$ minden $\bold K$ t\'eglatestre.
\medskip
\item{} Azt kell \'eszrevenni, hogy jelen esetben a $\mu_F(\bold K)$
kifejez\'es egysze\H{u}en fel\'{\i}rhat\'o. Ne\-ve\-ze\-te\-sen, a
bevezetett jel\"ol\'eseket alkalmazva: $\mu_F(\bold
K)=\prodd_{j=1}^k\(F_j(b_j)-F_j(a_j)\)$,
ahonnan k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant tulajdons\'ag.
\medskip
\item{} {\it Egy m\'as lehets\'eges megold\'as:}\/ Elegend\H{o}
megmutatni, hogy az adott felt\'etelek mellett l\'etezik egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, \'es rajta
olyan $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$  v\'altoz\'ok, melyeknek eloszl\'asf\"uggv\'enye
az $F_1(x_1)\cdots F_k(x_k)$ f\"uggv\'eny.
Te\-kint\-s\"unk minden $j=1,\dots,k$ sz\'amra $(\Omega_j, \Cal A_j,
P_j)$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t \'es rajta egy
$\xi_j(\oo_j)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, melynek az
eloszl\'asf\"uggv\'enye $F_j(x)$. Te\-kint\-s\"uk ezen
val\'ossz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}k
$(\Omega_1\times\cdots\times\Omega_k,\Cal A_1\times\cdots\times\Cal
A_k,\mu_1\times\cdots\times\mu_k)$ szorzat\'at, \'es azon az
$\eta_j(\oo_1,\dots,\oo_k)=\xi_j(\oo_j)$, $1\le j\le k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Nem neh\'ez bel\'atni,
hogy ezen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak az
eloszl\'asf\"uggv\'enye az $F(x_1,\dots,x_k)=F_1(x_1)\cdots
F_k(x_k)$ f\"uggv\'eny. Viszont ez a megold\'as felhaszn\'alt egy nem
trivi\'alis m\'er\-t\'ek\-el\-m\'e\-le\-ti eredm\'enyt arr\'ol, hogy
lehet tekinteni val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}k szorzat\'at, mint
\'uj va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}t.
\medskip\noindent
Szerepelt az el\H{o}ad\'ason a k\"ovetkez\H{o} k\'et eredm\'eny:
 \medskip\noindent
{\bf T\'etel A.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $B_1,\dots,B_n$ a
sz\'am\-egye\-nes Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazai. Ekkor
$$
P(\xi_1\in B_1,\dots,\xi_n\in B_n)=
P(\xi_1\in B_1)\cdots P(\xi_n\in B_n).
$$
}\medskip\noindent
{\bf T\'etel B.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
$k$-dimenzi\'os) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, ($k$
tet\-sz\H{o}\-le\-ges pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am, \'es $g_1,\dots,g_n$
val\'os \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'enyek  a
$k$-dimenzi\'os euklid\'eszi t\'eren. Ekkor
$$
E\(g_1(\xi_1(\oo)\cdots g_n(\xi_n(\oo))\)=
Eg_1(\xi_1(\oo))\cdots Eg_n(\xi_n(\oo)).
$$
A fenti azonoss\'ag \'ugy \'ertend\H{o}, hogy amennyiben az egyik
oldalon szerepl\H{o} kifejez\'es \'ertelmes, akkor a m\'asik oldalon
szerepl\H{o} kifejez\'es is \'ertelmes, \'es egyenl\H{o} vele.}
\medskip
\item{4.} Mutassuk meg, hogy a T\'etel A. k\"ovetkezik a T\'etel
B.-b\H{o}l.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Defini\'aljuk a $g_j(x)$ f\"uggv\'enyt,
mint az $B_j$ halmaz indik\'atorf\"ugggv\'eny\'et, $1\le j\le k$, azaz
legyen $g_j(x)=1$, ha $x\in B_j$, \'es $g_j(x)=0$, ha $x\notin B_j$,
$1\le j\le k$. Ilyen v\'alaszt\'assal
$E\(g_1(\xi_1(\oo)\cdots g_n(\xi_n(\oo))\)=
P(\xi_1\in B_1,\dots,\xi_n\in B_n)$, \'es
$Eg_1(\xi_1(\oo))\cdots Eg_n(\xi_n(\oo))=P(\xi_1\in B_1)\cdots
P(\xi_n\in B_n)$. Ez\'ert a T\'etel~B-ben fel\'{\i}rt azonoss\'agb\'ol
k\"ovetkezik a T\'etel~A-ban szerepl\H{o} azonoss\'ag.
\medskip
\item{5.} Bizony\'{\i}tsuk be az al\'abbi az el\H{o}ad\'ason szerepelt
t\'etelt a Fubini t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel:
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek
$\xi_1,\dots,\xi_n,\xi_{n+1},\dots,\xi_{n+k}$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy $\Omega,\Cal
A, P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, $f(x_1,\dots,x_k)$
tetsz\H{o}leges (m\'erhet\H{o}) $k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny.
De\-fi\-ni\-\'al\-juk az $\eta=f(\xi_{n+1},\dots,\xi_{n+k})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amelyik nem f\"ugg az els\H{o}
$n$ $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot\'ol. Ekkor a $\xi_1,\dots,\xi_n,\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.}
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ R\"ogz\'{\i}tve valamely
$x_1,\dots,x_n,x_{n+1}$ sz\'amokat vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
f\"uggv\'enyeket:  $g_j(u)=1$, ha $u\le x_j$, \'es $g_j(u)=0$, ha
$u\ge x_j$, $1\le j\le n$; $h(v_1,\dots,v_k)=1$, ha
$f(v_1,\dots,v_k)<x_{n+1}$, \'es $h(v_1,\dots,v_k)=0$,
ha $f(v_1,\dots,v_k)\ge x_{n+1}$. Ekkor a Fubini t\'etel alapj\'an
fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\align
&R(\xi_1<x_1,\dots,\xi_n<x_n,\eta<x_{n+1})\\
&\qquad =\int g_1(u_1)\cdots g_n(u_n)
h(u_{n+1},\dots,u_{n+k})F_1(du_1)\cdots  F_{n+k}(du_{n+k})\\
&\qquad=\int g_1(u_1)F_1(du_1)\cdots\int  g_n(u_n)F_n(du_n) \\
&\qquad\qquad \int h(u_{n+1},\dots,u_{n+k})F_{n+1}(du_{n+1})\cdots
F_{n+k}(du_{n+k})\\
&\qquad=P(\xi_1<x_1)\cdots P(\xi_n<x_n)P(\eta<x_{n+1}),
\endalign
$$
ahol $F_j$ jel\"oli a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et, \'es ezt kellett bel\'atni.
\medskip
\item{6.} Bizony\'{\i}tsuk be az el\H{o}ad\'ason megfogalmazott
$\(E\xi\)^2\le E\xi^2$ \'es $|E\xi E\eta| \le \sqrt
{E\xi^2 E\eta^2}$ egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-ge\-ket, melyeket
egy\'ebk\'ent Schwarz vagy Cauchy--Schwartz
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg\-nek is szoktak ne\-vez\-ni.
\item{} {\it Megold\'as:}\/  Az itteni feladat tulajdonk\'eppen az
anal\'{\i}zisben tanultak ism\'etl\'ese. Az al\'abbiakban a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as jel\"ol\'esrendszer\'et
fogjuk haszn\'alni, de az ott sze\-rep\-l\H{o} v\'arhat\'o
\'ert\'ekeket integr\'al form\'aban fel\'{\i}rva megkapjuk az
anal\'{\i}zisban szerepl\H{o} bizony\'{\i}t\'ast. Jegyezz\"uk meg,
hogy ezen sz\'amol\'asokban sehol nem haszn\'aljuk ki, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi (azaz egyre norm\'alt) m\'ert\'ek szerint
integr\'alunk.
\item{} Fel\'{\i}rhatjuk az $0\le E(\xi+\lambda\eta)^2=E\xi^2+2\lambda
E\xi\eta+\lambda^2 E\eta^2$ azonoss\'agot tetsz\H{o}leges $\lambda$
sz\'amra. Term\'eszetes ezt a $\lambda$ param\'etert \'ugy
v\'alasztani, hogy a lehet\H{o} leg\'elesebb egyenl\H{o}tlens\'eget
kapjuk. Egy m\'asodfok\'u polinom sz\'els\H{o}\'ert\'ek\'enek a
meghat\'aroz\'asa azt sugallja, hogy v\'alasszuk a
$\lambda=-\dfrac{E\xi\eta}{E\eta^2}$ sz\'amot. Ilyen v\'alaszt\'assal
\'es $E\eta^2$-vel beszorozva az egyenl\H{o}tlens\'eget kapjuk, hogy
$E\xi^2 E\eta^2-2(E\xi\eta)^2+(E\xi\eta)^2\ge0$, ami ekvivalens a
m\'asodik egyenl\H{o}tlens\'eggel. Ez az egyenl\H{o}tlens\'eg a
speci\'alis $\eta=\xi$ v\'alaszt\'assal megadja az els\H{o}
egyenl\H{o}tlens\'eget is.
\medskip
\item{7.} Mutassunk p\'eld\'at olyan $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra, melyek nem
f\"ug\-get\-le\-nek, viszont teljes\'{\i}tik a $\Cov(\xi_j,\xi_k)=0$
azonoss\'agot minden $1\le j<k\le n$ sz\'amp\'arra, ez\'ert
$$
\Var(c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_n\xi_n)=
c_1^2\Var\xi_1+c^2_2\Var\xi_2+\cdots+c_n^2\Var\xi_n
$$
minden val\'os $c_1,\dots, c_n$ sz\'amsorozatra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o}
p\'eld\'at: $(\Omega, \Cal A,P)=([0,2\pi),\Cal B,\lambda)$, ahol
$\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebra a $[0,2\pi)$ intervallumon, \'es
$\lambda$ a Lebesgue m\'ert\'ek osztva $2\pi$-vel. Defini\'aljuk a
$\xi_k(x)=\cos kx$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat ezen a
t\'eren. Ekkor mint azt anal\'{\i}zisb\H{o}l tanultuk
$E\xi_k=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \cos kx\,dx=0$,
$E\xi_j\xi_k=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos jx \cos kx\,dx=0$, ha
$j\neq k$. Ez azt jelenti, hogy $\Cov(\xi_j,\xi_k)=0$, ha $j\neq k$.
(Ezeket a f\"uggv\'enyeket kieg\'esz\'{\i}thetj\"uk a $\sin kx$
f\"uggv\'enyekkel is, \'es hasonl\'oan konstru\'alhatunk p\'eld\'at
tetsz\H{o}leges az azonosan 1 f\"uggv\'enyt is tartalmaz\'o
ortogon\'alis f\"uggv\'enyek rendszer\'et is felhaszn\'alva.) A
tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem f\"uggetlenek.
Ez l\'athat\'o p\'eld\'aul onnan, hogy $\xi_{2}=2\xi_1^2-1$, ami nem
m\'as mint a $\cos 2x=2\cos^2 x-1$ azonoss\'ag
fel\'{\i}r\'asa ebben a jel\"ol\'esrendszerben.
 
\medskip
\item{8.} Mutassunk p\'eld\'at h\'arom olyan $\xi_1,\xi_2,\xi_3$
(nem f\"uggetlen) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora,
me\-lyek\-re $E\xi_1\xi_2=E\xi_1 E\xi_2$, $E\xi_1\xi_3=E\xi_1 E\xi_3$,
$E\xi_2\xi_3=E\xi_2 E\xi_3$, de
$E\xi_1\xi_2\xi_3\neq E\xi_1 E\xi_2 E\xi_3$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekintve f\"uggv\'enyek egy ortogon\'alis
rendszer\'et kaphatunk ilyen p\'eld\'at, mert tipikusan a
h\'aromtag\'u szorzatra m\'ar nem teljes\"ul a f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szorzat\'ara teljes\"ul\H{o}
azonoss\'ag. A k\"ovetkez\H{o} p\'elda k\"onnyen
ellen\H{o}rizhet\H{o}en teljes\'{\i}ti a k\'{\i}v\'ant
felt\'eteleket: Legyen $\eta_1$, $\eta_2$,\ $eta_3$ h\'arom
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyekre
$\eta_j=$, $\eta_j^2\neq0$, $1\le j\le 3$. Defini\'aljuk a
$\xi_1=\eta_2\eta_3$, $\xi_2=\eta_1\eta_3$, $\xi_3=\eta_1\eta_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor k\"onnyen
ellen\H{o}rizhet\H{o} az $\eta_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'et felhaszn\'alva, hogy
$E\xi_1=E\xi_2=E\xi_3=0$, \'es $E\xi_1\xi_2=E\xi_1\xi_3=E\xi_2\xi_3=0$.
Ez azt jelenti, hogy a k\'{\i}v\'ant azonoss\'agok teljes\"ulnek.
Viszont $E\xi_1\xi_2\xi_3=E\eta_1^2\eta_2^2\eta_3^2
=E\eta_1^2E\eta_2^2E\eta_3^2>0$, ez\'ert
$E\xi_1\xi_2\xi_3\neq E\xi_1 E\xi_2 E\xi_3$.
 
 
\bye
