A szeptember 17.-i előadáshoz kapcsolódó gyakorlat feladatai

1. Jellemezzük az olyan valószínűségi változók eloszlásfüggvényeit, melyek egy valószínűséggel csak véges sok érték valamelyikét vehetik fel. Mutassunk példát olyan diszkrét eloszlású valószínűségi változóra, amelyik minden intervallumban szigorúan monoton nő. Megoldás: Könnyű belátni, hogy egy F (x) függvény akkor és csak akkor egy véges sok értéket felvevő valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, ha F (x) monoton, és létezik véges sok x_{1} < ⋯ < x_{n} pont úgy, hogy az F (x) függvény konstans (−∞, x_{1}), [x_{1}, x_{2}), [x_{2}, x_{3}), … [x_{n}, ∞) intervallumon, a (−∞, x_{1}) félegyenes értéke nulla és az [x_{n}, ∞) félegyenesen 1. Ez olyan valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, amelyik az x_{1}, …, x_{n} értékek valamelyikét veszi fel, és az x_{j} értékét akkora valószínűséggel, amennyi az F (·) függvény ugrása az x_{j} pontban. Ha a valószínűségi változó megszámlálható értéket vehet fel, akkor eloszlásfüggvényének nem feltételnül van ilyen egyszerű geometriai szerkezete. Egy példa erre: Soroljuk fel a racionális számokat valamilyen r_{1}, r_{2}, … sorrendben. Tekintsünk olyan valószínűségi változót, amelyik az r_{n} értéket 2^{−n} valószínűséggel veszi fel. Egy ilyen valószínűségi változó diszkrét eloszlású F (x) eloszlásfüggvénye pedig szigorúan monoton, azaz F (x_{1}) < F (x_{2}), ha x_{1} < x_{2}, mert minden (x_{1}, x_{2}) intervallum tartalmaz a belsejében racionális pontot.

2. Az egységintervallumra egyenletes eloszlással ledobunk egy pontot, azaz annak valószínűsége, hogy a pont egy [a, b] ⊂ [0, 1] intervallumba esik b − a, valamint ettől függetlenül egy szabályos pénzdarabot. Ha fej a pénzdobás eredménye, akkor legyen a nyereményünk a leesési hely értékével egyenlő, ha pedig írást dobunk, akkor legyen a nyereményünk a dobás értékétől függetlenül \frac{1}{2}. Számoljuk ki nyereményünk várható értékét és szórásnégyzetét. Megoldás: Nyereményünk eloszlásfüggvénye F (x) = \frac{1}{2}F_{1}(x) + \frac{1}{2}F_{2}(x), ahol F_{1}(x) az egyenletes eloszlásfüggvény, és F_{2}(x) egy olyan (elfajult) valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, amelyik 1 valószínűséggel az \frac{1}{2} értéket veszi fel. Ugyanis \frac{1}{2}F_{1}(x) annak a valószínűsége, hogy fej a pénzdobás eredménye, és nyereményünk kisebb, mint x, míg \frac{1}{2}F_{2}(x) annak a valószínűsége, hogy írás a pénzdobás eredménye, és nyereményünk értéke kisebb, mint x. Jelölje η nyereményünk értékét. Ekkor

Eη = ∫ xF ( dx) = \frac{1}{2} ∫ xF_{1}( dx) + \frac{1}{2} ∫ xF_{2}( dx) = \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} x dx + \frac{1}{2} · \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
Eη^{2} = ∫ x^{2}F ( dx) = \frac{1}{2} ∫ x^{2}F_{1}( dx) + \frac{1}{2} ∫ x^{2}F_{2}( dx) = \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} x^{2} dx + \frac{1}{2} · (\frac{1}{2})^{2}

= \frac{7}{24}.

Innen Eη = \frac{1}{2}, Var η = Eη^{2} − (Eη)^{2} = \frac{7}{24} − \frac{1}{4} = \frac{1}{24}.

Házi feladat.

Az egységintervallumra ledobunk egymástól függetlenül egyenletes eloszlással két pontot, és legyen a két dobás eredménye ξ_{1} és ξ_{2}. Ezenkívül feldobunk (a többi kisérlettől függetlenül) egy szabályos dobókockát. Ha hatost dobunk legyen nyereményünk értéke max(ξ_{1}, ξ_{2}), ha nem hatost, akkor pedig min(ξ_{1}, ξ_{2}). Számítsuk ki nyereményünk várható értékét és szórásnégyzetét.

3. Ha az F_{1}(x), …, F_{k}(x) függvények egyváltozós eloszlásfüggvények, akkor szorzatuk, az F (x_{1}, …, x_{k}) = F_{1}(x_{1}) ⋯ F_{n}(x_{k}) függvény k-változós eloszlásfüggvény. Megoldás: Először értsük meg a feladatot. Az első előadáson megfogalmaztuk azokat a tulajdonságokat, melyek jellemzik az eloszlásfüggvényeket. Azt kell megmutatni, hogy ha az F_{1}(x), …, F_{k}(x) függvények kielégítik az egyváltozós eloszlásfüggvényekre előírt tulajdonságokat, akkor az F (x_{1}, …, x_{k}) = F_{1}(x_{1}) ⋯ F_{k}(x_{k}) függvény teljesíti a k-változós eloszlásfüggvényekre előírt tulajdonságokat. Ezek egyszerűen ellenőrizhetőek, az egyetlen tulajdonság, melynek indoklásán kissé el kell gondolkozni a következő (iv) feltételnek nevezett tulajdonság: Definiáljuk egy az R^{k} téren definiált F függvényre és egy K = [a_{1}, b_{1})×⋯×[a_{k}, b_{k}) téglatestre a

μ(K) = μ_{F} (K) = ∑_{\begin{matrix}u_{j}= a_{j} vagy b_{j} \\ j=1,...,k \end{matrix}}(−1)^{χ(u_{1},...,u_{k})}F (u_{1}, …, u_{k})

mennyiséget, ahol χ(u_{1}, …, u_{k}) jelöli az a_{j}-k számát az u_{1}, …, u_{k} sorozatban. Ekkor

(iv) μ_{F} (K) ≥ 0 minden K téglatestre.

Azt kell észrevenni, hogy jelen esetben a μ_{F} (K) kifejezés egyszeűen felírható. Neve-

zetesen, a bevezetett jelöléseket alkalmazva: μ_{F} (K) = ∏_{j=1}^{k} (F_{j}(b_{j}) − F_{j}(a_{j})), ahon-

nan következik a kívánt tulajdonság.

Egy más lehetséges megoldás: Elegendő megmutatni, hogy az adott feltételek mellett létezik egy (Ω, A, P) valószínűségi mező, és rajta olyan (ξ_{1}, …, ξ_{k}) valószínűségi (ξ_{1}, …, ξ_{k}) változók, melyeknek eloszlásfüggvénye az F_{1}(x_{1}) ⋯ F_{k}(x_{k}) függvény. Tekintsünk minden j = 1, …, k számra (Ω_{j}, A_{j}, P_{j}) egy valószínűségi mezőt és rajta egy ξ_{j}(ω_{j}) valószínűségi változót, melynek az eloszlásfüggvénye F_{j}(x). Tekintsük ezen valósszínűségi mezők (Ω_{1} × ⋯ × Ω_{k}, A_{1} × ⋯ × A_{k}, μ_{1} × ⋯ × μ_{k}) szorzatát, és azon az η_{j}(ω_{1}, …, ω_{k}) = ξ_{j}(ω_{j}), 1 ≤ j ≤ k, valószínűségi változókat. Nem nehéz belátni, hogy ezen valószínűségi változóknak az eloszlásfüggvénye az F (x_{1}, …, x_{k}) = F_{1}(x_{1}) ⋯ F_{k}(x_{k}) függvény. Viszont ez a megoldás felhasznált egy nem triviális mértékelméleti eredményt arról, hogy lehet tekinteni valószínűségi mezők szorzatát, mint új valószínűségi mezőt.

Szerepelt az előadáson a következő két eredmény:

Tétel A. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független valószínűségi változók, B_{1}, …, B_{n} a számegyenes Borel mérhető részhalmazai. Ekkor

P (ξ_{1} ∈ B_{1}, …, ξ_{n} ∈ B_{n}) = P (ξ_{1} ∈ B_{1}) ⋯ P (ξ_{n} ∈ B_{n}).

Tétel B. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független k-dimenziós) valószínűségi változók, (k tetszőleges pozitív egész szám, és g_{1}, …, g_{n} valós értékű függvények a k-dimenziós euklidészi téren. Ekkor

E (g_{1}(ξ_{1}(ω) ⋯ g_{n}(ξ_{n}(ω))) = Eg_{1}(ξ_{1}(ω)) ⋯ Eg_{n}(ξ_{n}(ω)).

A fenti azonosság úgy értendő, hogy amennyiben az egyik oldalon szereplő kifejezés értelmes, akkor a másik oldalon szereplő kifejezés is értelmes, és egyenlő vele.

4. Mutassuk meg, hogy a Tétel A. következik a Tétel B.-ből.

Megoldás: Definiáljuk a g_{j}(x) függvényt, mint az B_{j} halmaz indikátorfügggvényét, 1 ≤ j ≤ k, azaz legyen g_{j}(x) = 1, ha x ∈ B_{j}, és g_{j}(x) = 0, ha x ∉ B_{j}, 1 ≤ j ≤ k. Ilyen választással E (g_{1}(ξ_{1}(ω) ⋯ g_{n}(ξ_{n}(ω))) = P (ξ_{1} ∈ B_{1}, …, ξ_{n} ∈ B_{n}), és Eg_{1}(ξ_{1}(ω)) ⋯ Eg_{n}(ξ_{n}(ω)) = P (ξ_{1} ∈ B_{1}) ⋯ P (ξ_{n} ∈ B_{n}). Ezért a Tétel B-ben felírt azonosságból következik a Tétel A-ban szereplő azonosság.

5. Bizonyítsuk be az alábbi az előadáson szerepelt tételt a Fubini tétel segítségével:

Tétel. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n}, ξ_{n+1}, …, ξ_{n+k} független valószínűségi változók egy Ω, A, P) valószínűségi mezőn, f(x_{1}, …, x_{k}) tetszőleges (mérhető) k-változós függvény. Definiáljuk az η = f(ξ_{n+1}, …, ξ_{n+k}) valószínűségi változót, amelyik nem függ az első n ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változótól. Ekkor a ξ_{1}, …, ξ_{n}, η valószínűségi változók függetlenek.

Megoldás: Rögzítve valamely x_{1}, …, x_{n}, x_{n+1} számokat vezessük be a következő függvényeket: g_{j}(u) = 1, ha u ≤ x_{j}, és g_{j}(u) = 0, ha u ≥ x_{j}, 1 ≤ j ≤ n; h(v_{1}, …, v_{k}) = 1, ha f(v_{1}, …, v_{k}) < x_{n+1}, és h(v_{1}, …, v_{k}) = 0, ha f(v_{1}, …, v_{k}) ≥ x_{n+1}. Ekkor a Fubini tétel alapján felírhatjuk, hogy

R(ξ_{1} < x_{1}, …, ξ_{n} < x_{n}, η < x_{n+1})
= ∫ g_{1}(u_{1}) ⋯ g_{n}(u_{n})h(u_{n+1}, …, u_{n+k})F_{1}(du_{1}) ⋯ F_{n+k}(du_{n+k})
= ∫ g_{1}(u_{1})F_{1}(du_{1}) ⋯ ∫ g_{n}(u_{n})F_{n}(du_{n})
∫ h(u_{n+1}, …, u_{n+k})F_{n+1}(du_{n+1}) ⋯ F_{n+k}(du_{n+k})
= P (ξ_{1} < x_{1}) ⋯ P (ξ_{n} < x_{n})P (η < x_{n+1}),

ahol F_{j} jelöli a ξ_{j} valószínűségi változó eloszlásfüggvényét, és ezt kellett belátni.

6. Bizonyítsuk be az előadáson megfogalmazott (Eξ)^{2} ≤ Eξ^{2} és |EξEη| ≤ \sqrt{Eξ^{2}Eη^{2}} egyenlőtlenségeket, melyeket egyébként Schwarz vagy Cauchy–Schwartz egyenlőtlenségnek is szoktak nevezni.

Megoldás: Az itteni feladat tulajdonképpen az analízisben tanultak ismétlése. Az alábbiakban a valószínűségszámítás jelölésrendszerét fogjuk használni, de az ott szereplő várható értékeket integrál formában felírva megkapjuk az analízisban szereplő bizonyítást. Jegyezzük meg, hogy ezen számolásokban sehol nem használjuk ki, hogy a valószínűségi (azaz egyre normált) mérték szerint integrálunk. Felírhatjuk az 0 ≤ E(ξ + λη)^{2} = Eξ^{2} + 2λEξη + λ^{2}Eη^{2} azonosságot tetszőleges λ számra. Természetes ezt a λ paramétert úgy választani, hogy a lehető legélesebb egyenlőtlenséget kapjuk. Egy másodfokú polinom szélsőértékének a meghatározása

azt sugallja, hogy válasszuk a λ = −\frac{Eξη}{Eη^{2}} számot. Ilyen választással és Eη^{2}-vel

beszorozva az egyenlőtlenséget kapjuk, hogy Eξ^{2}Eη^{2} − 2(Eξη)^{2} + (Eξη)^{2} ≥ 0, ami ekvivalens a második egyenlőtlenséggel. Ez az egyenlőtlenség a speciális η = ξ választással megadja az első egyenlőtlenséget is.

7. Mutassunk példát olyan ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változókra, melyek nem függetlenek, viszont teljesítik a Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = 0 azonosságot minden 1 ≤ j < k ≤ n számpárra, ezért

Var (c_{1}ξ_{1} + c_{2}ξ_{2} + ⋯ + c_{n}ξ_{n}) = c_{1}^{2}Var ξ_{1} + c_{2}^{2}Var ξ_{2} + ⋯ + c_{n}^{2}Var ξ_{n}

minden valós c_{1}, …, c_{n} számsorozatra. Megoldás: Tekintsük például a következő példát: (Ω, A, P) = ([0, 2π), B, λ), ahol B a Borel σ-algebra a [0, 2π) intervallumon, és λ a Lebesgue mérték osztva 2π-vel. Definiáljuk a ξ_{k}(x) = cos kx valószínűségi változókat ezen a téren. Ekkor mint azt analízisből tanultuk Eξ_{k} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} cos kx dx = 0, Eξ_{j}ξ_{k} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} cos jx cos kx dx = 0, ha j ≠ k. Ez azt jelenti, hogy Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = 0, ha j ≠ k. (Ezeket a függvényeket kiegészíthetjük a sin kx függvényekkel is, és hasonlóan konstruálhatunk példát tetszőleges az azonosan 1 függvényt is tartalmazó ortogonális függvények rendszerét is felhasználva.) A tekintett valószínűségi változók nem függetlenek. Ez látható például onnan, hogy ξ_{2} = 2ξ_{1}^{2} −1, ami nem más mint a cos 2x = 2 cos^{2} x−1 azonosság felírása ebben a jelölésrendszerben.

8. Mutassunk példát három olyan ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3} (nem független) valószínűségi változóra, melyekre Eξ_{1}ξ_{2} = Eξ_{1}Eξ_{2}, Eξ_{1}ξ_{3} = Eξ_{1}Eξ_{3}, Eξ_{2}ξ_{3} = Eξ_{2}Eξ_{3}, de Eξ_{1}ξ_{2}ξ_{3} ≠ Eξ_{1}Eξ_{2}Eξ_{3}. Megoldás: Tekintve függvények egy ortogonális rendszerét kaphatunk ilyen példát, mert tipikusan a háromtagú szorzatra már nem teljesül a független valószínűségi változók szorzatára teljesülő azonosság. A következő példa könnyen ellenőrizhetően teljesíti a kívánt feltételeket: Legyen η_{1}, η_{2}, eta_{3} három független valószínűségi változó, melyekre η_{j} =, η_{j}^{2} ≠ 0, 1 ≤ j ≤ 3. Definiáljuk a ξ_{1} = η_{2}η_{3}, ξ_{2} = η_{1}η_{3}, ξ_{3} = η_{1}η_{2} valószínűségi változókat. Ekkor könnyen ellenőrizhető az η_{j} valószínűségi változók függetlenségét felhasználva, hogy Eξ_{1} = Eξ_{2} = Eξ_{3} = 0, és Eξ_{1}ξ_{2} = Eξ_{1}ξ_{3} = Eξ_{2}ξ_{3} = 0. Ez azt jelenti, hogy a kívánt azonosságok teljesülnek. Viszont Eξ_{1}ξ_{2}ξ_{3} = Eη_{1}^{2}η_{2}^{2}η_{3}^{2} = Eη_{1}^{2}Eη_{2}^{2}Eη_{3}^{2} > 0, ezért Eξ_{1}ξ_{2}ξ_{3} ≠ Eξ_{1}Eξ_{2}Eξ_{3}.