<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\font\script=cmcsc10
 
\medskip\noindent
\noindent{\bf A szeptember 10.-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
\medskip\noindent
 
{\it Nem k\"otelez\H{o} feladat:}
\medskip
\item{}Tekints\"uk az $r$-dimenzi\'os euklid\'eszi t\'ernek azon
halmazait, melyek el\H{o}\'allnak, mint v\'eges sok olyan t\'eglatest
uni\'oja, me\-lyek a koor\-di\-n\'a\-ta\-ten\-ge\-lyek\-kel
p\'ar\-hu\-za\-mos bal\-r\'ol z\'art jobbr\'ol ny\'{\i}lt intervallumok
direkt szorzatai. (Ezek az intervallumok lehetnek f\'elegyenesek vagy
egyenesek is.) Mutassuk meg, hogy az ilyen halmazok algebr\'at
alkotnak, de nem alkotnak $\sigma$-algebr\'at.
 
\item{} Tekints\"uk az \"osszes v\'egtelen fej--\'{\i}r\'as
sorozatb\'ol \'all\'o halmaz olyan r\'eszhalmazait, melyek els\H{o}
$n$ koordin\'at\'aja valamely $n$ sz\'amra el\H{o}\'{\i}rt,
$n=1,2,\dots$, a t\"obbi koordin\'ata pedig tetsz\H{o}leges. Azon
halmazok, melyek el\H{o}\'allnak v\'eges sok ilyen halmaz
uni\'ojak\'ent algebr\'at alkotnak alkotnak. M\'asr\'eszt az \"osszes
olyan sorozatb\'ol \'all\'o halmaz, melyben a p\'aros helyeken fej
van, a p\'aratlan helyeken szerepl\H{o} dob\'asok pedig
tetsz\H{o}legesek nem elemei ennek az algebr\'anak. Ezert ez az
algebra nem $\sigma$-algebra.
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ (A megold\'as sor\'an a szeml\'eletre
hagyatkozunk, nem dolgozunk ki for\-m\'a\-lis jel\"ol\'esrendszert,
stb.) Ha adva van v\'eges sok t\'eglatest uni\'oja, akkor v\'agjuk
sz\'et a teret az \"osszes olyan s\'{\i}kkal, mely valamelyik
t\'eglatest lapja. Ekkor l\'athatjuk, hogy e t\'eglalatestek uni\'oja
\'ugy is el\H{o}\'all\'{\i}that\'o, mint t\'eglalatestek diszjunkt
uni\'oja. Ennek felhaszn\'al\'as\'aval ellen\H{o}rizhet\H{o}, hogy a
vizsg\'alt halmazrendszer algebra.  Az  algebra csupa olyan
elemb\H{o}l \'all, melynek hat\'ara v\'eges sok valamelyik
koordin\'atatengelyre mer\H{o}leges s\'{\i}k r\'esze. M\'asr\'eszt
egy g\"omb nem ilyen halmaz. Viszont egy g\"omb benne van az ilyen
halmazok \'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'aban.
\item{} Hasol\'oan, k\"onny\H{u} ellen\H{o}rizni, hogy a m\'asodik
p\'eld\'aban azok \'es csak azok a halmazok jelennek meg, melyekre
l\'etezik egy olyan $n$ eg\'esz sz\'am, melyre igaz, hogy egy
fej--\'{\i}r\'as sorozat els\H{o} $n$ tagj\'anak az ismer\'et\'eben
eld\"onthet\H{o}, hogy a sorozat beletartozik-e a halmazba. Az ilyen
halmazok algebr\'at alkotnak. Viszont a fel\-adat\-ban megadott halmaz
nem tartozik bele ebbe az algebr\'aba, de beletartozik ezen algebr\'aba
tartoz\'o $\sigma$-algebr\'aba. Az\'ert tartozik bele ebbe a
$\sigma$-algebr\'aba, mert megsz\'aml\'alhat\'o
sok az algebr\'aba tartoz\'o elem metszetek\'ent el\H{o}\'all.
\medskip
\item{1.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at v\'egtelen sokszor feldobunk.
Adjunk erre egy j\'o va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi modellt.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Megt\'argyaljuk, hogy hogyan lehet ilyen
modellt konstru\'alni a m\'ert\'ekek szorzatter\'er\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etel illetve a val\'osz\'{\i}n\H{u}\'es\'egsz\'am\'{\i}t\'as
alapt\'etel\'enek nevezett ered\-m\'eny alapj\'an.
\item{} A m\'ert\'ekek szorzat\'ar\'ol sz\'ol\'o eredm\'eny alapj\'an
a k\"ovetkez\H{o} konstukci\'ot v\'e\-gez\-het\-j\"uk: Defini\'aljuk
minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra a k\"ovetkez\H{o} ($n$-t\H{o}l
f\"uggetlen) $(\Omega,\Cal A_n,P_n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}t: $\Omega_n=\{1,2,3,4,5,6\}$, $\Cal A_n$ az $\Omega_n$ halmaz
\"osszes r\'eszhalmaza, $P_n(\{1\})=P_n(\{2\})=P_n(\{3\})=P_n(\{4\})=
P_n(\{5\})=P_n(\{6\})=\frac16$. Tekints\"uk e v\'egtelen sok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} drirekt szorzat\'at, amelyik a
k\"ovetkez\H{o}: $\Omega$ az \"osszes $\{j_1,j_2,\dots\}$ sorozat,
ahol $j_n$ az 1,2,3,5,6 jelek valamelyike. Adva egy $n$
hossz\'us\'ag\'u $j_1,j_2,\dots,j_n$ sorozat jel\"olje
$A(j_1,\dots,j_n)$ az \"osszes olyan v\'egtelen 1---6 jelekb\H{o}l
\'all\'o sozozatot, melynek els\H{o} $n$ jele $j_1,\dots,j_n$.
Defini\'aljuk az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at \'ugy mint a
legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebr\'at, amelyik tartalmazza az \"osszes
lehets\'eges $A_n(j_1,\dots,j_n)$ alak\'u halmazt, \'es legyen
$P(A_n(j_1,\dots,j_n))=\(\frac16\)^n$. A m\'ert\'ekterek
szorzat\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel azt \'all\'{\i}tja, hogy l\'etezik
egyetlen $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'an, mely teljes\'{\i}ti a k\'{\i}v\'ant
felt\'eteleket. Ezt a modellt tekinthetj\"uk egy megfelel\H{o}
modellnek, ahol az $\oo=\{j_1,j_2,\dots\}$ elemi esem\'eny azt
jelenti, hogy a v\'egtelen $j_1,j_2,\dots$ dob\'assorozat k\"ovetkezik
be.
\item{} A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as alapt\'etele
alapj\'an a k\"ovetkez\H{o} m\'odon \'ervelhet\"unk.
De\-fi\-ni\-\'al\-juk a k\"ovetkez\H{o} $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt:
$F(x)=0$, ha $x\le 1$, $F(x)=1$, ha $x&gt;6$, $F(x)=\frac k6$, ha $k&lt;x\le
k+1$, $1\le k\le6$. (Ez olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye, mely a $k$ \'ert\'eket $\frac16$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel veszi fel, $1\le k\le6$.)
De\-fi\-ni\-\'al\-juk az $F_n(x_1,\dots,x_n)=F(x_1)R(x_2)\dots F(x_n)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyt minden $n$-re. C\'elunk egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} konstrukci\'oja, \'es azon
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
definici\H{o}ja, melyekre $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ eloszl\'asa az $f_n$
eloszl\'asf\"uggv\'eny minden $n$-re. Mivel ezek az
eloszl\'asf\"uggv\'enyek konzisztensek, az alapt\'etel
bizony\'{\i}t\'asa a k\"ovetkez\H{o} konstukci\'ot adja.
Legyen $\Omega=R^\infty$, a sz\'amegyenes \"onmag\'aval vett
v\'egtelen sok p\'eld\'any\'anak direkt szorzata, $\Cal B^\infty$ az
ezen a t\'eren \'ertelmezett Borel $\sigma$-algebra, amelyiket az
$A_n(x_1,\dots,x_n)=\{(u_1,u_2,\dots,)\, u_j&lt;x_j,\text{ ha }1\le j\le
n\}$ alak\'u halmazok gener\'alnak,
$P(A_n(x_1,\dots,x_n))=F(x_1,\dots,x_n)$ minden ilyen alak\'u
halmazra. Az alapt\'etel szerint l\'etezik egyetlen ilyen $R$
m\'ert\'ek. Legyen $\xi_n(x_1,x_2,\dots)=x_n$, $n=1,2,\dots$.
\item{} Hogy viszonyul a fenti k\'et konstrukci\'o egym\'ashoz?
Vegy\"uk \'eszre, hogy az alapt\'etel alapj\'an v\'egzett
konstrukci\'oban az $\Omega_0=\{j_1,j_2,\dots,\, j_n=1,\dots,6\text{
minden } n=1,2,\dots \text{ sz\'amra }$ halmazra $P(\Omega_0)=1$.
Ez\'ert a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t m\'odos\'{\i}thatjuk
\'ugy, hogy megszor\'{\i}tjuk az $\Omega_0$ halmazra, ami azt
jelenti, hogy az $\Omega_0$ t\'eren az $\Cal A_0$ $\sigma$-algebr\'at
tekintj\"uk, amelyik az $A\cap \Omega_0$ alak\'u halmazokb\'ol \'all,
ahol $A\in Cal A$. Ilyen m\'odon ugyanazt a konstrukci\'ot kapjuk mint
az els\H{o} konstrukci\'oban. A f\H{o} k\"ul\"onbs\'eg abban \'all,
hogy m\'as m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel
adjuk meg a konstrukci\'o j\'os\'ag\'anak bizony\'{\i}t\'asa\'at.
\medskip
\item{2.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at \'es egy szab\'alyos
p\'enzdarabot egym\'as ut\'an egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul feldobunk,
eg\'eszen addig, m\'{\i}g meg nem jelenik h\'arom fejdob\'as.
Azut\'an a dob\'assorozatot abbahagyjuk. Adjunk erre egy j\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az el\H{o}z\H{o} feladathoz hasonl\'oan
megkonstru\'alhatjuk egy szab\'alyos do\-b\'o\-koc\-ka \'es \'erme
v\'egtelen sok egym\'asi ut\'an v\'egrehajtott (f\"uggetlen)
dob\'as\'anak a modellj\'et. Tekinthetj\"uk ezt is a feladat
megold\'as\'anak, hiszen ez tartalmazza az \"osszes a harmadik
fejdob\'asig bek\"ovetkezett esem\'enyt. De ha \'ugy k\'{\i}v\'anjuk
reduk\'alhatjuk a modellt, \'es elhagyhatjuk annak ,,felesleges''
r\'esz\'et. Jel\"olje $A_n$ azt az esem\'enyt, hogy az $n$-ik
dob\'asn\'al jelenik meg a harmadik fejdob\'as, $n=2,2,\dots$,
$\Omega_0=\bigcupp_{n=1}^\infty A_n$ a fenti
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ekkor
$P(\Omega_0)=1$. (Mi\'ert?)
\item{} Defini\'aljuk az \'uj
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'agi mez\'ot, mint a r\'egi
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} megszor\'{\i}t\'as\'at az
$\Omega_0$ halmazra, azaz legyen $\Cal A_0$ az $A\cap \Omega_0$ alak\'u
halmazokb\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra, ahol $A\in \Cal A$. $P_0$ a
$P$ m\'ert\'ek megszor\'{\i}t\'asa az $A_0$ $\sigma$-algebr\'ara. Ekkor
tekinthetj\"uk az $(\Omega_0,\Cal A_0,P_0)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}t is, mint megfelel\H{o} modellt.
\medskip
\item{3.} Egy pontot v\'eletlen\"ul egyenletesen ledobunk
az egys\'egn\'egyzetre. Adjunk erre val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A term\'eszetes modell a k\"ovetkez\H{o}.
Legyen $\Omega$ a $[0,1]\times[0,1]$ egy\-s\'eg\-n\'egy\-zet, azaz a
pontdob\'as \"osszes lehets\'eges $(x,y)$ eredm\'enye, $\Cal A$ a a
,,sz\'ep'' halmazokb\'ol, ami azt jelenti, hogy a Borel m\'erhet\H{o}
halmazokb\'ol \'all\'o $\sigma$ algebra. Ez azt jelenti, hogy a
legkisebb $\sigma$-algebra a  $[0,1]\times[0,1]$
egy\-s\'eg\-n\'egy\-ze\-ten, amelyik tartalmazza az
egy\-s\'eg\-n\'egy\-zet\-ben l\'ev\H{o} \"osszes $[a,b]\times [c,d]$
t\'eglalapot. A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek a Lebesgue
m\'ert\'ek, aminek l\'etez\'ese a m\'ert\'ekelm\'elet eredm\'enyei
k\"oz\'e tartozik.
\item{} T\'argyaljuk meg, hogy l\'enyeg\'eben ezt a modellt kapjuk
akkor is, ha alkalmazzuk azt az el\H{o}aad\'ason megfogalmazott
eredm\'enyt (illetve a hozz\'a tartoz\'o konstrukci\'ot), amelyik azt
adja meg, hogyan lehet egy adott eloszl\'asf\"uggv\'enyhez
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, \'es azon az el\H{o}\'{\i}rt
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Eset\"unkben
$F(x,y)=G(x)G(y)$, $C(x)=x$, ha $0\le x\le 1$, $G(x)=0$, ha $x\le0$,
$G(x)=1$, ha $x\ge1$. Az \'altalunk ismertetett modellben $\Omega$ az
$(x,y)$ pontp\'arokb\'ol \'all, ami azonos\'{\i}that\'o a s\'{\i}kkal,
a $\Cal A$ a Borel $\sigma$-algebra a s\'{\i}kon, $P$ a $G(x,y)$
\'altal meghat\'arozott $\mu_G$ Lebesgue--Stieltjes m\'ert\'ek.
Ez jelen esetben azt jelenti, hogy egy $A$ halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege az $A\cap([0,1]\times [0,1]))$ metszet
Lebesgue m\'ert\'eke. Vegy\"uk \'eszre, hogy amennyiben ezt a modellt
megszor\'{\i}tjuk az 1 m\'ert\'ek\H{u} $[0,1]\times[0,1]$
egys\'egn\'egyzetre, akkor az el\H{o}z\H{o} modellt kapjuk meg.
 
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Egy pontot v\'eletlen\"ul ledobunk az egys\'egn\'egyzetre.
Adjunk r\'a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mo\-dellt.
 
\medskip
\item{4.} Van k\'et egy m\'eter hossz\'u botunk, melyek
mindegyik\'et v\'eletlen\"ul elt\"or\"unk egy\-m\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul \'ugy, hogy minden t\"or\'espont egyform\'an
val\'osz\'{\i}n\H{u}. Az els\H{o} bot hosszabb \'es a m\'asodik bot
r\"ovidebb darabj\'at \"osszeragasztjuk. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az \'{\i}gy \"osszeragasztott bot
hossza kisebb, mint 0.9 m\'eter?
\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/ A feladatra k\'et term\'eszetes megold\'as
adhat\'o. Az egyik az, hogy ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-juk a k\'et
\"osszeragasztand\'o botr\'esz hossz\'anak az eloszl\'as\'at; ezek
egyenletes eloszl\'as\'uak, az $\[\frac12,1\]$ illetve a
$\[0,\frac12\]$ intervallumban, f\"uggetlenek egym\'ast\'ol, ez\'ert
konvoluci\'oval kisz\'am\'{\i}thatjuk \"osszeg\"uknek, az
\"osszeragasztott bot hossz\'anak a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et \'es eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
A m\'asodik megold\'as geometriai meggondol\'asokon alapul.
\item{} {\it Els\H{o} megold\'as:}\/ Bel\'atjuk, hogy a k\'et
\"osszeragasztott bot hossza egyenletes eloszl\'as\'u az
$\[\frac12,1\]$ illetva a $\[0,\frac12\]$ intervallunban. Az els\H{o}
bot baloldali v\'ege egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,1]$
intervallumbna. A na\-gyobb bot hossza mindig na\-gyobb, mint $1/2$,
\'es akkor akkor nagyobb, mint $x$, $x&gt;1/2$, ha a baloldali
bot hossza na\-gyobb, mint $x$ vagy kisebb mint $1-x$,  ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pedig $2(1-x)$. Ez azt jelenti, hogy az
elt\"ort bot hosszabb darabja egyenletes eloszl\'as\'u az
$\[\frac12,1\]$ intervallumban. Hasonl\'oan a r\"ovidebb intervallum
hossza egyenletes eloszl\'as\'u a $\[0,\frac12\]$ intervallumban. A
k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
\"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye kisz\'am\'{\i}that\'o,
s\H{o}t tulajdonk\'eppen ez kiolvashat\'o az el\H{o}z\H{o}
f\'el\'evben kisz\'amolt $[0,1]$ intervallumban egyenletes
eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek \"onmag\'aval vett
kon\-vo\-lu\-ci\'o\-j\'a\-nak az \'ert\'ek\'eb\H{o}l. (Annak
line\'aris transzform\'aci\'oja.) Eredm\'enyk\'ent az kapjuk,
hogy a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny $4\(x-\frac12\)$, ha
$\frac12&lt;x&lt;1$, $4\(\frac32-x\)$, ha $1\le x\le \frac32$. Innen annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az \"osszeg kisebb mint 0.9
$\int_{0,5}^{0.9}4\(x-\frac12\)\,dx=\[2\(x-\frac12\)^2\]_{0.5}^{0.9}
=0.32$.
\item{} Megmutatjuk, hogy a vizsg\'alt s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
val\'oban olyan alak\'u, mint azt \'al\-l\'{\i}\-tot\-tuk. K\'et
$f(x)$ \'es $g(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny konvoluci\'oj\'at
kell kisz\'am\'{\i}tanunk, ahol $f(x)=2$, ha $\frac12\le x\le1$,
\'es 0 egy\'ebk\'ent, $g(x)=2$, ha $0\le x\le\frac12$, \'es nulla
k\"ul\"onben. Ez\'ert r\"ogz\'{\i}tett $\frac12\le x\le1$ eset\'en
$f(y)g(x-y)=4$ $\frac12\le y\le x$ eset\'en, ahonnan e k\'et
f\"uggv\'eny konvoluci\'oja $f*g(x)=\int f(y)g(x-y)\,dy
=4\(x-\frac12\)$, ha $\frac12\le x\le1$. Ha $1\le x\le\frac32$, akkor
$f(y)g(x-y)=4$, ha $x-\frac12\le y\le1$, ahonnan $f*g(x)=\frac32-x$
ebben az esetben.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as:}\/ Legyen az els\H{o} bot
baloldali v\'eg\'enek a hossza $x$, a m\'asodik bot baloldali
v\'eg\'enek a hossza $y$. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az $(x,y)$ pontp\'ar a $[0,1]\times[0,1]$ n\'egyzet egy
$[a,b]\times[c,d]$ t\'eglalap alak\'u r\'esz\'ebe esik megegyezik e
t\'eglalap ter\"ulet\'enek $(b-a)(d-c)$ ter\"ulet\'evel, ez\'ert,
illetve a m\'ert\'ek kiterjeszt\'es\'enek egy\'ertelm\H{u}s\'ege
miatt annak val\'ossz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az $(x,y)$ pontp\'ar beleesik az egy\-s\'eg\-n\'egy\-zet
valamelyik sz\'ep tartom\'any\'aba megegyezik a tartom\'any
ter\"ulet\'evel.
 
\item{} Ezek ut\'an meg kell hat\'arozni, melyik tartom\'anyba kell
esnie az $(x,y)$ pontp\'arnak ahhoz, hogy a k\'et \"osszeragasztott
bot \"osszhossza kisebb legyen, mint 0.9. Az els\H{o} botnak a
hosszabb, a m\'asodiknak pedig a r\"ovidebb v\'eg\'et kell tekinteni.
Tal\'an a legegyszer\H{u}bb \'ugy sz\'amolni, hogy k\"ul\"on
tekintj\"uk a $\{0\le x\le\frac12,\, 0\le y\le\frac12\}$ n\'egyzetet,
ahol az $\{(x,y)\:1-x+y&lt;0.9\}$ tartom\'anyt, a $\{0\le x\le\frac12,\,
\frac12\le y\le1\}$ n\'egyzetet, ahol az $\{(x,y)\:x+y&lt;0.9\}$
tartom\'anyt, a $\{\frac12\le x\le1,\, 0\le y\le\frac12\}$
n\'egyzetet, ahol az $\{(x,y)\:1-x+1-y&lt;0.9\}$ tartom\'anyt, \'es
a $\{\frac12\le x\le1,\, \frac12\le y\le1\}$ n\'egyzetet, ahol az
$\{(x,y)\:x+1-y&lt;0.9\}$ tartom\'anyt kell tekinteni.
Felrajzolva a tekintett tartom\'anyokat, kapjuk, hogy a
k\"ovetkez\H{o} k\'et h\'aromsz\"og egyes\'{\i}t\'es\'eb\H{o}l
\'all\'o tartom\'any ter\"ulet\'et kell tekinteni: Az egyik
h\'aromsz\"ug cs\'ucsai a $(0,\,0.1)$, $(0,\,0.9)$ \'es $(0.5,\,0.4)$
pontok, a m\'asik h\'aromsz\"og\'e pedig az $(1,\,0.1)$, $(1,\,0.9)$
\'es $(0.5,\,0.6)$ pontok. Innen k\"onny\H{u} kisz\'amolni, hogy a
keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg 0.32.
 
\item{} A vizsg\'an sz\"uletett erre  a feladatra egy v\'aratlan
megold\'as, amelyik k\"ul\"on figyelmet \'erdemel. Ez a k\"ovetkez\H{o}
\'ervel\'esen alapult: Az els\H{o} \"ossze\-ra\-gasz\-tan\-d\'o bot
hossza 0.5 \'es 1 k\"oz\"ott van. T\"orj\"unk le bel\H{o}le 0.5-t,
akkor annak hossza is 0 \'es 0.5 k\"oz\"ott lesz, teh\'at a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg megegyezik annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy a k\'et r\"ovidebb
\"osszeragasztott bot \"osszhossza kisebb, mint 0.4. Ezut\'an az
(el\H{o}b\-bi\ megold\H{u}\'ashoz, hasonl\'oan, de egyszer\H{u}bb \'es
egy\-sze\-r\H{u}bben, \'attekinthet\H{o}bb geometriai meggondol\'assal
megmutathat\'o, hogy ennek va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'ege 0.32.
Mindegyik fent tekintett n\'egyzet sark\'aban egy 0.4 befog\'oj\'u
h\'aromsz\"oget kell tekinteni. Ennek ter\"ulete 0.08, \'es n\'egy
ilyen h\'aromsz\"og van.
 
\item{}V\'eletlen\"ul ad-e ez az \'ervel\'es helyes eredm\'enyt vagy
ez egy j\'o m\'odszer? A v\'alasz az, hogy meg lehet indokolni,
hogy ez a m\'odszer j\'o eredm\'enyt ad, de az k\"ul\"on \'ervel\'est
ig\'enyel. Ugyanis a hosszabb botb\'ol let\"orve 0.5 m\'etert egy
m\'as hossz\'us\'ag\'u botot kapunk, mint akkor, ha a r\"ovidebb botot
venn\'enk. Ez azt sugallja, hogy ebben az esetben m\'as megold\'ast
kapunk, h\'{\i}szen k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} feladat eredm\'eny\'et
hasonl\'{\i}tjuk \"ossze.
 
\item{} De ha alaposabban v\'egiggondoljuk a helyzetet r\'aj\"ohet\"unk
arra, hogy mind  a r\"o\-vi\-debb bot hossza, mind a hosszabb bot
hossza minusz 0.5 m\'eter mennyis\'eg ugyan\-olyan eloszl\'as\'u,
mind a kett\H{o} egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,1/2]$ intervallumban.
Ezen\-k\'{\i}\-v\"ul ennek a botnak az eloszl\'asa f\"uggetlen att\'ol,
hogy mi a m\'asik bot hossza. Teh\'at az\'ert kaptunk helyes
megold\'ast, mert az eredm\'eny att\'ol f\"ugg\"ott, hogy a k\'et
te\-kin\-tett bot hossz\'anak mi volt az eloszl\'asa. Annak, hogy a
vizsg\'alt adott eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ot milyen m\'odon kaptuk meg nincs jeletn\H{o}s\'ege.
\medskip
\item{5.} Adva egy tetsz\H{o}leges $T$ indexhalmaz meg akarjuk
fogalmazni annak a felt\'etel\'et, hogy adott el\H{o}\'{\i}rt
v\'eges--dimenzi\'os eloszll\'asf\"uggv\'enyekhez l\'etezzen egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} \'es rajta a $T$ indexhalmaz
elemeivel indexelt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok rendszere
\'ugy, hogy ezek az eloszl\'asf\"uggv\'enyek adj\'ak meg e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'eges dimenzi\'os
eloszl\'asait. Ehhez sz\"uks\'eges, hogy a v\'eges--dimenzi\'os
eloszl\'asok teljes\'{\i}tsenek bizonyos konzisztencia felt\'etelt.
Pr\'ob\'aljuk megfogalmazni ezt a konzisztencia feltev\'est.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ El\H{o}sz\"or el kell d\"onten\"unk egy
jel\"ol\'erendszerbeli k\'erd\'esre a v\'alaszt. Ho\-gyan jel\"olj\"uk
a v\'eges-dimenzi\'os eloszl\'asokat. A $T$ halmaz v\'eges
r\'eszhalmazait kell te\-kin\-te\-n\"unk. Ha k\'et $\{t_1,\dots,t_n\}$
\'es $\{t_1',\dots,t+n'\}$ halmaz megegyezik csak m\'as sorrendben
soroljuk fel a halmaz elemeit tesz\"unk-e a kett[ k\"oz\"ott
k\"ul\"onbs\'eget? B\'ar ez nem k\"otelez\H{o}, k\"ul\"onb\"oztess\"uk
meg \H{o}ket. Ekkor fel kell \'{\i}rnunk a k\"ovetkez\H{o} felt\'etelt
is. $F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})=
F_{\pi(t_1),\dots,\pi(t_n)}(x_{\pi(t_1)},\dots,x_{\pi(t_n)})$, ahol
$\pi(\cdot)$ a $\{t_1,\dots,t_n\}$ halmaz tetsz\H{o}leges
perturb\'aci\'oja. Ezek ut\'an egyszer\H{u}bben fogalmazhatjuk meg a
felt\'etelt. Azt kell megk\"oveteln\"unk, hogy ha az utols\'o
koordin\'at\'at elhagyjuk, ugyanazt az eloszl\'asf\"uggv\'eny kapjuk,
mint akkor, ha annak hely\'ebe v\'egtelent \'{\i}runk. K\'eplettel
fel\'{\i}rva
$$
F_{t_1,\dots,t_n,t_{n+1}}(x_{t_1},\dots,x_{t_n},\infty)=
F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})
$$
minden $\{t_1,\dots,t_{n+1}\}\subset T$ halmazra \'es $x_{t_1}$,\dots
$x_{t_n}$ val\'os sz\'amokra.
\medskip\noindent
Ha marad id\H{o}, t\'argyaljuk a visszatev\'eses \'es visszatev\'es
n\'elk\"uli urnah\'uz\'as val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellj\'et \'es
annak bizony\'{\i}t\'as\'at hogy a h\'uz\'asok eredm\'enyei nem
f\"uggnek att\'ol, hogy hanyadik h\'uz\'ast tekintj\"uk.
 
 
\bye
</pre></body></html>