\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2pt plus 0.5pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\font\script=cmcsc10
 
\medskip\noindent
\noindent{\bf Az okt\'ober 8.-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
\medskip\noindent
\item{1.} Egy szab\'alyos kock\'at feldobunk sokszor egym\'as ut\'an.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 20. dob\'asban jelenik
meg a hatos harmadszor?
\medskip\item{}{\it Megold\'as:}\/
$\dbinom {19}2 \(\dfrac 56\)^{17}\(\dfrac16\)^3$. Ez az esem\'eny
ugyanis akkor k\"ovetkezik be, ha egyr\'eszt az els\H{o} 19
dob\'asban k\'et hatos \'es 17 nem hatos dob\'as k\"ovetkezik be,
\'es ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\dbinom {19}2 \(\dfrac
56\)^{17}\(\dfrac16\)^2$, m\'asr\'eszt a h\'uszadik dob\'as hatos,
aminek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\dfrac16$. Tov\'abb\'a ez a k\'et
esem\'eny f\"uggetlen egym\'ast\'ol.
\item{2.} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor$E\xi^{2k-1}=0$,
$E\xi^{2k}=1\cdot3\cdots (2k-1)$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra.
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
momentumait.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
E\xi^{2k-1}=\int_{-\infty}^\infty x^{2k-1}
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=0,
$$
mert az integrandus p\'aratlan f\"uggv\'eny. M\'asr\'eszt
parci\'alis integr\'al\'assal $f(x)=x^{2k-1}$ \'es $g(x)=
x\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}= \dfrac d{dx}\(-
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\)$  kapjuk, hogy
$$
\align
E\xi^{2k}&=\int_{-\infty}^\infty x^{2k}
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=
\int_{-\infty}^\infty (2k-1) x^{2k-2}
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx\\
&=(2k-1)E\xi^{2k-2}.
\endalign
$$
Innen $k$ szerinti indukci\'oval kapjuk a feladat m\'asodik
\'all\'{\i}t\'as\'at.
\medskip
\item{3.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at v\'egtelen sokszor feldobunk
egym\'as ut\'an. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} hatos dob\'as el\H{o}tt pontosan k\'et \"ot\"os dob\'as
k\"ovetkezik be?
\medskip\item{}{\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk azt az $A$ esem\'enyt,
mely akkor k\"ovetkezik be, ha az \"ot\"os dob\'as megel\H{o}zi a
hatos dob\'ast. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac12$, \'es az
ut\'ana k\"ovetkez\H{o} dob\'assorozat f\"uggetlen t\H{o}le. Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ezut\'an az \"ot\"os dob\'as megint
megel\H{o}zi a hatos dob\'ast $\frac12$, majd annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ezut\'an a hatos dob\'as megel\H{o}zi
az \"ot\"os dob\'ast megint $\frac12$, \'es f\"uggetlen a t\"obbi
esem\'enyt\H{o}l. \'{\i}gy a keresett esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\(\frac12\)^3=\frac18$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobok egym\'as ut\'an v\'egtelen
sokszor. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik hatos
dob\'as el\H{o}tt prontosan n\'egy p\'aratlen dob\'as t\"ort\'ent?
\medskip
 
\item{4.} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk eg\'eszen addig,
amig \"ot\"odik alkalommal jelenik meg egy fejdob\'as. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az utols\'o el\H{o}tti dob\'as fej
volt? Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
k\'et dob\'assal az utols\'o dob\'as el\H{o}tt  fejet dobtunk?
\medskip\item{}{\it Megold\'as:}\/ Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az utols\'oel\H{o}tti dob\'as
fejdob\'as? Tekints\"uk a do\-b\'as\-so\-ro\-za\-tot addig, amig a
negyedik fejdob\'as bek\"ovetkezett, \'es vegy\"uk \'eszre, hogy amit
ut\'ana l\'atunk az olyan elosz\'as\'u, mint egy el\"olr\H{o}l
kezd\H{o}d\H{o} do\-b\'as\-so\-ro\-zat. Az az esem\'eny, hogy az
\"ot\"odik fejdob\'as el\H{o}tti dob\'as fej volt azt jelenti, hogy az
\'uj do\-b\'as\-so\-ro\-zat fejdob\'assal kezd\H{o}dik, aminek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac12$.
\item{} Az, hogy az \"ot\"odik fejdob\'as el\H{o}tt kett\H{o}vel
t\"ort\'ent dob\'as fej k\'et egym\'ast kiz\'ar\'o m\'odon
t\"ort\'enhet. Vagy az t\"ort\'enik, hogy a negyedik dob\'as
ut\'an \'{\i}r\'ast, \'es ut\'ana fejet dobunk, aminek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac14$ vagy pedig a negyedik fejdob\'as
el\H{o}tt is, \'es ut\'ana is fejet dobunk. Ezt \'ugyis tekinthetj\"uk,
hogy a harmadik fejdob\'as ut\'an k\"ozvetlen\"ul k\'et fejdob\'as
t\"ort\'ent. Ennek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege is $\frac14$.
\'{\i}gy a k\'erdezett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg e k\'et esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek az \"osszege, vagyis $\frac12$.
\medskip\item{}{\it M\'asodik megold\'as:}\/ \'Erts\"uk meg jobban a
modell szerkezet\'et. Vegy\"uk \'eszre, hogy ha tekint\"unk egy
tetsz\H{o}leges v\'egtelen \'es soroljuk fel el\H{o}sz\"or az
\"ot\"odik fejdob\'as el\H{o}tti dob\'asokat ford\'{\i}tott
sorrendben, majd az \"ot\"odik fejdob\'ast \'es az ut\'ana
k\"ovetkez\H{o} dob\'asokat az  v\'egtelen sok fejdob\'ast
tartalmaznak (ez egy m\'ert\'ek\H{u} halmaz) k\"ol\-cs\"o\-n\"o\-sen
egy\'ertelm\H{u} transzform\'aci\'o, \'es annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a transszform\'aci\'o ut\'an egy
adott v\'eges hossz\'us\'ag\'u sorozattal kezd\H{o}d\H{o}
sorozat jelenik meg ugyanannyi, mint annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a  transzform\'aci\'o el\H{o}tt
ugyanaz a sorozat jelenik meg. (Gondoljuk meg, hogy
egy transzform\'alt sorozat els\H{o} $n$ tagj\'at meghat\'arozza az
eredeti sorozat els\H{o} $n$ tagja, \'es vice versa. (Form\'alis
terminol\'ogi\'aval azt mondhatjuk, hogy m\'ert\'ektart\'o
transzform\'aci\'ot alkalmaztunk.) A tesz eleget, mint az eredeti
v\'egtelen sorozat. Viszont az \'uj sorozatok
nyelv\'en a minket \'erdekl\H{o} k\'erd\'es \'ugy fogalmazhat\'o meg,
hogy mi annak a val\'osz\'{\i}n\'os\'ege, hogy az els\H{o} illetve
m\'asodik fej-dob\'as val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege.
Ezek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pedig $\frac12$.
\medskip
\item{7.} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok. L\'assuk be,
hogy $\xi^2+\eta^2$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $P(\xi^2<x)=\Phi(\sqrt x)-\Phi(-\sqrt
x)=2\Phi(\sqrt x)-1$, ha $x\ge0$. \'Irjuk fel $\xi^2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et \'es konvol\'uci\'o
seg\'\i{}ts\'eg\'evel a k\'\i{}v\'ant s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt.
A $\xi^2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye
$g(x)=\dfrac{\varphi(\sqrt x)}{\sqrt x}=\dfrac1{\sqrt{2\pi
x}}e^{-x/2}$, ha $x\ge0$, \'es $g(x)=0$, ha $x<0$, \'es
$\xi^2+\eta^2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
\align
f(x)&=g*g(x)=\int_0^x\frac1{2\pi\sqrt{u(x-u)}}
e^{-u/2}e^{-(x-u)/2}\,du\\
&=e^{-x/2}\int_0^1\frac1{2\pi\sqrt{v(1-v)}}\,dv=\frac12e^{-x/2},
\quad \text{ha } x\ge0,
\endalign
$$
\'es $f(x)=0$, ha $x\le 0$.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Az $x$ param\'etert\H{o}l nem f\"ugg\H{o}
$\dsize \int_0^1 \frac1{\sqrt{v(1-v)}}\,dv$ integr\'al \'ert\'ek\'et
meg\-ha\-t\'a\-roz\-za az a t\'eny, hogy a v\'egeredm\'enyk\'ent
kapott f\"uggv\'eny s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, ez\'ert integr\'alja
a sz\'amegyenesen eggyel egyenl\H{o}. De ki is tudjuk sz\'amolni ezt
az integr\'alt. Hogyan? Vagy\"uk \'eszre, hogy
$$
\frac1{\sqrt{v(1-v)}}=\dfrac1{\sqrt{\frac14-(v-\frac12)^2}}.
$$
 
 
\bye
