\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2pt plus 0.5pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\define\minn{\min\limits}
\define\maxx{\max\limits}
\font\script=cmcsc10
 
\medskip\noindent
\noindent{\bf Az okt\'ober 29.-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
\medskip\noindent
\item{1.} Legyen $\eta_1$ \'es $\eta_2$ k\'et f\"uggetlen norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m_1$ illetve
$m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, $\sigma_1^2$ \'es $\sigma_2^2$
sz\'or\'asn\'egyzettel. L\'assuk be, hogy $\eta_1+\eta_2$ $m_1+m_2$
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'u \'es $\sigma_1^2+\sigma^2_2$
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az $\eta_1+\eta_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
\align
f(x)&=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}e^{-(u-m_1)^2/2\sigma_1^2}
e^{-(x-u-m_2)^2/2\sigma_2^2}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\biggl\{-u^2
\(\frac1{2\sigma_1^2}+\frac1{2\sigma_2^2}\)+u\(\frac{m_1}{\sigma_1^2}
+\frac{x-m_2}{\sigma_2^2}\)\\
&\hskip5truecm -\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\biggr\}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\biggl\{-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\(u-\frac{m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2}
{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\)^2 \\
&\hskip4,5truecm +\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\biggr\}\,du \\
&=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\exp\left\{
\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\right\}\\
&=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\exp\left\{
-\frac{(x-m_1-m_2)^2}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}\right\}.
\endalign
$$
Jegyezz\"uk meg, hogy a fenti sz\'amol\'asban megjelen\H{o}
egyszer\H{u}s\'{\i}t\'esek megjelen\'es\'enek m\'elyebb oka van.
Ha tudjuk, hogy a vizsg\'alt integr\'al \'ert\'eke olyan alak\'u,
melyben konstansszor egy kvadratikus alak szerepel, akkor mivel a
konvoluci\'o eredm\'enye egy s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, ez\'ert
a v\'egeredm\'eny sz\"uks\'egszer\H{u}en norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. Tov\'abb\'a, tudjuk, hogy a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny  egy olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye, amelyik
v\'arhat\'o \'ert\'eke $m_1+m_2$ sz\'or\'asn\'egyzete pedig
$\sigma_1^2+\sigma_2^2$.
\medskip
\item{2.} Bizony\'{\i}tsuk be az el\H{o}z\H{o} feladat
\'all\'{\i}t\'as\'at a karakterisztikus f\"uggv\'eny m\'odszerrel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tudjuk, hogy egy eloszl\'asf\"uggv\'enyt
meghat\'aroz a karakerisztikus f\"ugg\-v\'e\-nye, ez\'ert el\'eg
megmutatni, hogy a feladat felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en
$\eta_1+\eta_2$ $\varphi(t)_{\eta_1+\eta_2}(t)$ karakterisztikus
f\"uggv\'enye megegyezik egy $m_1+m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'u \'es
$\sigma_1^2+\sigma^2_2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-vel. M\'asr\'eszt azt is tudjuk, hogy
$\varphi(t)_{\eta_1+\eta_2}(t0=\varphi_{\eta_1}(t)\varphi_{\eta_2}(t)$
$\eta_1$ \'es $\eta_2$ f\"uggetlens\'ege miatt. Tov\'abb\'a tanultuk,
hogy egy $\zeta$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\varphi_\zeta(t)=e^{-t^2/2}$, ahonnan egy $m$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} \'es $\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis
eloszl\'as\'u  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'enye $e^{imt-\sigma^2t^2/2}$. Mi\'ert? (Vegy\"uk \'eszre, hogy
egy ilyen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
$\sigma\zeta+m$ alakban \'{\i}rhat\'o, ahol $\zeta$ standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.) Ez\'ert
$$
\varphi(t)_{\eta_1+\eta_2}(t0=\varphi_{\eta_1}(t)\varphi_{\eta_2}(t)
=e^{itm_1-\sigma_1^2t^2/2}e^{itm_2-\sigma_2^2t^2/2}
=e^{it(m_1+m_2)-(\sigma_1^2+\sigma_2^2)t^2/2}.
$$
Innen l\'athat\'o a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{3.} Ledobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 24~000 pontot a
$[0,2]$ intervalumra egyenletes eloszl\'assal, (azaz annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy ledobott pont \'ert\'eke
$x$-n\'el kisebb $\dfrac x2$-vel egyenl\H{o}, ha $0\le x\le 2$, eggyel
egyenl\H{o}, ha $x\ge2$, \'es nulla, ha $x\le0$.) \H{O}rizz\"uk meg
azokat a ledobott pontokat, melyek \'ert\'eke 1-n\'el kisebb, \'es
hagyjuk el azokat, melyek \'ert\'eke, nagyobb mint egy. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a meg\"orz\"ott pontok \'ert\'ekeinek
az \"osszege 5900  \'es 6075 k\"oz\'e esik? Adjunk erre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{}  {\it Megold\'as:} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=x$, ha a $j$-ik
dob\'as \'ert\'eke $x$, \'es $0\le x\le1$, \'es $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
dob\'as \'ert\'eke $x$, $1\le x\le2$. Ekkor $\xi_j$ azt m\'eri, hogy
mekkora a hozad\'eka a $j$-ik dob\'asnak a vizsg\'alt \"osszeghez,
\'es ha bevezetj\"uk az $S=\summ_{j=1}^{24000}\xi_j$
val\'osz1n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, akkor minket a $P(5900<S<6075)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek a kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz sz\'amoljuk
ki el\H{o}sz\"or a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et. A $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et $F(x)=F_1(x)+F_2(x)$
alakban \'{\i}rhatjuk, ahol $F_1(x)=\int_{-\infty}^x f_1(u)\,du$,
ahol $f_1(x)=\frac12$, ha $0\le x\le 1$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent.
Az $F_2(x)$ egy olyan m\'ert\'eket hat\'aroz meg, amelyik a nulla
pontba $\frac12$ s\'ulyt tartalmaz, a marad\'ek r\'esz s\'ulya pedig
nulla. Az $F_1$ \'es $F_2$ f\"uggv\'enyek nem eloszl\'asf\"uggv\'enyek,
(nem egyre norm\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket
hat\'aroznak meg), de ugyan\'ugy sz\'amolhatunk vele, mint az
eloszl\'adf\"uggv\'enyekkel. Ez\'ert $E\xi_j=\int x F(\,dx)=\int x
F_1(\,dx)+\int x F_2(dx)=\int_0^\frac12 x\,dx+0=\frac14$,
$E\xi_j^2=\int x^2 F(\,dx)=\int x^2 F_1(\,dx)+\int x^2
F_2(\,dx)=\int_0^\frac12 x^2\,dx+0=\frac16$. Innen $\Var
\xi_j=\frac16-\frac16=\frac5{48}$, $ES=6000$, $\Var S=2500=50^2$.
Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$P(5900<S<6075)=P\(-2<\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}<1.5)
\sim\Phi(1.5)-\Phi(-2\)=\Phi(2)+\Phi(1.5)-1$, ahol $\Phi(\cdot)$
a norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azatban kikereshet\H{o} norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny.
\medskip
\item{4.} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, $\lambda$
illetve $\mu$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz
$P(\xi=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$,
$P(\eta=k)=\dfrac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}$, $k=0,1,2,\dots$,  akkor
$\xi+\eta$ $\lambda+\mu$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\item{}  {\it Megold\'as:}
$$
\align
P(\xi+\eta=k)&=\sum_{j=0}^kP(\xi=j,\eta=k-j)=
\sum_{j=0}^kP(\xi=j)P(\eta=k-j) \\
&=\sum_{j=0}^k \frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}
\frac{\mu^{k-j}}{(k-j)!}e^{-\mu}=
\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}
\sum_{j=0}^k \frac{k!}{j!(k-j)!} \lambda^j \mu^{(k-j)} \\
&=\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}(\lambda+\mu)^k.
\endalign
$$
\medskip
\item{5.} Legyen adva $k$ darab urna, \'es ezekbe dobjunk be
v\'eletlen $\xi$ sz\'am\'u goly\'ot, ahol $\xi$  Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda>0$
param\'eterrel. Legyenek az egyes dob\'asok eredm\'enyei egym\'ast\'ol
\'es a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlenek.
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy  minden egyes dob\'asn\'al a goly\'o
az $j$-ik urn\'aba $p_j\ge0$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
esik, $j=1,\dots,k$, $\sum\limits_{j=1}^k p_j=1$. Jel\"olje $\eta_j$ a
$j$-ik urn\'aba es\H o goly\'ok sz\'am\'at. Ekkor az $\eta_j$,
$j=1,\dots,k$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
\'es $\eta_j$ Poisson eloszl\'as\'u $\lambda p_j$ param\'eterrel,
$j=1,\dots,k$.
\item{} {\it Megold\'as:}
$$
\align
P(\eta_1=l_1,\dots,\eta_k=l_k)
&=P(\xi=l_1+\cdots+l_k)\frac{(l_1+\cdots+l_k)!}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}\\
&=\frac{\lambda^{(l_1+\cdots+l_k)}}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}e^{-\lambda} \\
&=\frac{\lambda^{l_1}\cdots\lambda^{l_k}}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}e^{-\lambda(p_1+\cdots+p_k)}
=\prod_{j=1}^k\frac{ (\lambda p_j)^{l_j}}{l_j!}e^{-\lambda p_j}
\endalign
$$
tetsz\H{o}leges $l_1\ge0$, \dots, $l_k\ge0$ eg\'esz sz\'amokra. Innen
ad\'odik az \'all\'{\i}t\'as.\medskip
 
 
 
%\vfill\eject
 
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, $(n,p)$
illetve $(m,p)$ param\'eter\H{u} binomi\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, azaz
$P(\xi=k)=\dbinom nk p^k(1-p)^{n-k}$, $k=0,1,\dots,n$,
$P(\eta=k)=\dbinom mk p^k(1-p)^{m-k}$, $k=0,1,\dots,m$,
akkor $\xi+\eta$ $(n+m.p)$ param\'eter\H{u} binomi\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\item{6.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Defini\'aljuk az
$\eta_1=\minn_{1\le k\le n}\xi_k$ \'es $\eta_2=\maxx_{1\le k\le
n}\xi_k$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Sz\'amoljuk
ki az $(\eta_1,\eta_2)$ v\'eletlen vektor eloszl\'as \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vizsg\'aljuk az
$F(x,y)=P(\eta_1<x,\eta_2<y)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt. A k\'{\i}v\'ant
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg helyett az al\'abbi hasonl\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget tudjuk egyszer\H{u}en kisz\'amolni:
$P(\eta_1\ge x,\eta_2<y)=\(\min(y,\frac12\)-\max\(x,-\frac12\)^n$, ha
$\max\(x,-\frac12\)\le\min(y,\frac12)$,
\'es $P(\eta_1\ge x,\eta_2<y)=0$ egy\'ebk\'ent. Ugyanis,
$\{\oo\:\eta_1(\oo)\ge x,\eta_2(\oo)<y\}=\{\oo\:x\le \xi_j(\oo)<y
\text{ minden } 1\le j\le n \text{ indexre }$. Vegy\"uk tov\'abbra
\'eszre, hogy $P(\eta_1<x,\eta_2<y)=P(\eta_2<y)-P(\eta_1\ge
x,\eta_2<y)=(y-x)^n$, \'es $P(\eta_2<y)=\min\(y+\frac12\)^n$, ha
$-\frac12\le x\le\frac12$, $P(\eta_2<y)=0$ ha $y\le-\frac12$,
\'es $P(\eta_2<y)=1$ ha $y\ge\frac12$.
Innen ki tudjuk sz\'amolni a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget. Ezt
megadjuk az al\'abbi formul\'aban. Ez kiss\'e bonyolult, de nem annyira
r'emiszt\H{o}, mint els\H{o} pillanatban l\'atszik. Minket a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny \'erdekel, \'es ennek
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz az eloszl\'asf\"uggv\'enyt kell parci\'alisan
deriv\'alni mind az $x$ mind az $y$ v\'altoz\'o szerint. Ez viszont csak
abban a tartom\'anyban nem nulla, ahol az eloszl\'asf\"uggv\'eny mind a
k\'et v\'altoz\'oj\'at\'ol f\"ugg. Ez\'ert az hossz\'u al\'abbi
formuil\'aban egyetlen sor j\'atszik fontos szerepet.
$$
F(x,y)=P(\eta_1<x,\eta_2<y)=\left\{
\aligned
&\(y+\frac12\)^n-(y-x)^n,\quad\text{ha }
-\frac12\le x\le y\le\frac12,\\
&\(y+\frac12\)^n,\quad\text{ha }
-\frac12\le y\le x\le\frac12,\\
&0,\quad\text{ha }
-\frac12\le x\le\frac12,\;y\le- \frac12\\
&1-(1-x)^n,\quad\text{ha }
-\frac12\le x\le\frac12\le y,\\
&0,\quad\text{ha } x\le -\frac12,\\
&0,\quad\text{ha } \frac12\le x,\; y\le- \frac12,\\
&\(y+\frac12\),\qquad\text{ha } \frac12\le x,\;-\frac12\le y\le
\frac12,\\
&1,\quad\text{ha } \frac12\le x,\; \frac12\le y,
\endaligned \right.
$$
Innen az $(\eta_1,\eta_2)$ v\'eletlen vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x,y)=\dfrac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x\partial y}(x,y)$, ahonnan
$f(x,y)=n(n-1)(y-x)^{n-2}$, ha $-\frac12\le x\le y\le\frac12$, \'es
$f(x,y)=0$ egy\'ebk\'ent.
\medskip
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Gyakorlati szempontb\'ol (a
k\"ul\"onb\"uz\H{o} momentumok kisz\'am\'{\i}t\'asa \'er\-de\-k\'e\-ben)
a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny kisz\'am\'{\i}t\'asa a
fontos. Ezt szem\'eleletesen egyszer\H{u}en lehet l\'atni. Ugyanis
$f(x,y)\,dx\,dy$ annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy l\'etezik
olyan $j$ index, melyre $\xi_j\in [x,x+\,dx]$, $\xi_k\in [y,y+\,dy]$,
\'es az \"osszes t\"obbi $\xi_l$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
az $[x,y]$ intervallumba esik. R\"ogz\'{\i}tett $h$ \'es $k$
indexre ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $(y-x)^{n-2}\,dx\,dy$, ha
$-\frac12<x<y<\frac12$, \'es nulla k\"ul\"onben. M\'asr\'eszt a
$(j,k)$ indexp\'art $n(n-1)$ f\'elek\'eppen v\'alaszthatjuk, ez\'ert
jelenik meg az $n(n-1)$ faktor. A fenti \'ervel\'es prec\'{\i}zz\'e
tehet\H{o}. Seg\'{\i}ts\'eg\'evel ugyanis megmutathat\'o, hogy
$P((\eta_1,\eta_2)\in A)=\int\int_A f(u,v)\,du\,dv$ a s\'{\i}k minden
,,sz\'ep'' r\'eszhalmaz\'ara, \'es innen k\"ovetkezik az
\'all\'{\i}t\'as.
 
 
 
 
\bye
