Az október 15.-i előadáshoz kapcsolódó gyakorlat feladatai

Az előzó gyakorlaton szereplő egyik feladatban (mi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókocka dobásában pontosan két ötös dobás következik be az első hatos dobás előtt) felhasználtunk egy heurisztikus gondolatot, mely szerint bizonyos események bekövetkezése után történő események ugyanolyan valószínűségi törvényeknek tesznek eleget, mintha kezdettől fogva néznénk a folyamatot. A következő két feladat célja ennek az elvnek egy lehetséges pontos megfogalmazása és bebizonyítása.

1. Legyen ξ_{1}, ξ_{2}, … független egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata, és tegyük fel (az egyszerűség kedvéért), hogy egész értékeket vesznek fel. Tekintsük az egész számok két A és B, A ⊂ B, részhalmazát, és legyen a τ (valószínűségi változó) a legkisebb, k szám, melyre ξ_{k} ⊂ A. Tegyük fel, hogy P (τ < ∞) = 1. Definiáljuk az η_{n} = ξ_{τ+n}, n = 1, 2, …, valamint a következő ζ valószínűségi változót: ζ = 1, ha ξ_{τ} ∈ A, ζ = 0, ha ξ_{τ} ∈ B \ A. Lássuk be, hogy ζ, η_{1}, η_{2}, … független valószínűségi változók, továbbá az η_{n} valószínűségi változók eloszlása megegyezik

a ξ_{n} valószínűségi változók eloszlásával, és P (ζ = 1) = 1 − P (ζ = 0) = \frac{P (ξ_{1} ∈ A)}{P (ξ_{1} ∈ B)}.

Megoldás: Elég megmutatni, hogy tetszőleges τ = n eseményre, m indexre, k_{1}, …, k_{m} egész számokra valamint ε = 0 vagy ε = 1 számra

P (η_{l} = k_{l}|τ = n) = P (ξ_{l} = k_{l}), 1 ≤ l ≤ m, P (ζ = ε|τ = n) = P (ζ̄ = ε), (a)

és

P (η_{1} = k_{1}, …, η_{m} = k_{m}, ζ = ε|τ = n) = P (ξ_{1} = k_{1}), …, P (ξ_{m} = k_{m})P (ζ̄ = ε), (b)

ahol ζ̄ olyan valószínűségi változó, melyre P (ζ̄ = 1) = 1 − P (ζ̄ = 0) = \frac{P (ξ_{1} ∈ A)}{P (ξ_{1} ∈ B)}.

Valóban, egyrészt a második relációból következik, hogy

P (η_{1} = k_{1}, …, η_{m} = k_{m}, ζ = ε) = P (ξ_{1} = k_{1}), …, P (ξ_{m} = k_{m})P (ζ̄ = ε),

mert

P (η_{1} = k_{1}, …, η_{m} = k_{m}, ζ = ε) = ∑_{n=1}^{∞} P (η_{1} = k_{1}, …, η_{m} = k_{m}, ζ = ε|τ = n)P (τ = n)

= ∑_{n=1}^{∞} P (ξ_{1} = k_{1}), …, P (ξ_{n} = k_{m})P (ζ̄ = ε)P (τ = n)

= P (ξ_{1} = k_{1}), …, P (ξ_{m} = k_{m})P (ζ̄ = ε) ∑_{n=1}^{∞} P (τ = n)

= P (ξ_{1} = k_{1}), …, P (ξ_{m} = k_{m})P (ζ̄ = ε), másrészt

P (η_{1} = k_{1}) ⋯ P (η_{m} = k_{m})P (ζ = ε)

= ( ∑_{n_{1}=1}^{∞} P (η_{1} = k_{1}|τ = n_{1})P (τ = n_{1})) ⋯ ( ∑_{n_{m}=1}^{∞} P (η_{m} = k_{m}|τ = n_{m})P (τ = n_{m}))

( ∑_{n_{m+1}=1}^{∞} P (ζ = ε|τ = n_{m+1})P (τ = n_{m+1}))

= ( ∑_{n_{1}=1}^{∞} P (ξ_{1} = k_{1})P (τ = n_{1})) ⋯ ( ∑_{n_{m}=1}^{∞} P (ξ_{m} = k_{m})P (τ = n_{m}))

( ∑_{n_{m+1}=1}^{∞} P (ζ̄ = ε)P (τ = n_{m+1}))

= P (ξ_{1} = k_{1}) ⋯ P (ξ_{m} = k_{m})P (ζ̄ = ε) ( ∑_{n_{1}=1}^{∞} P (τ = n_{1})) ⋯ ( ∑_{n_{m}=1}^{∞} P (τ = n_{m}))

( ∑_{n_{m+1}=1}^{∞} P (τ = n_{m+1})) = P (ξ_{1} = k_{1}) ⋯ P (ξ_{m} = k_{m})P (ζ̄ = ε)

A (b) állítás bizonyítása érdekében vegyük észre, hogy

P (η_{1} = k_{1}, …, η_{m} = k_{m}, ζ = 1, τ = m) = P (ξ_{1} ∉ B, ξ_{2} ∉ B, ξ_{n−1} ∉ B, ξ_{n} ∈ A, ξ_{n+1} = k_{1}, …, ξ_{n+m} = k_{m}) = P (ξ_{1} ∉ B, ξ_{2} ∉ B, ξ_{n−1} ∉ B, ξ_{n} ∈ A)P (ξ_{n+1} = k_{1}) ⋯ P (ξ_{n+m} = k_{m})

= P (τ = n)\frac{P (ξ_{n} ∈ A)}{P (ξ_{n} ∈ B)}P (ξ_{n+1} = k_{1}) ⋯ P (ξ_{n+m} = k_{m})

= P (τ = n)P (ζ̄ = 1)P (ξ_{n+1} = k_{1}) ⋯ P (ξ_{n+m} = k_{m})

A (b) azonosság bizonyítása ζ = 0 esetben, illetve az (a) azonosság bizonyítása hasonló.

2. Legyenek ζ_{1}, …, ζ_{l}, ξ_{1}, ξ_{2}, … független, egész értékű valószínűségi változók, és definiáljunk egy ζ_{l+1} valószínűségi változót illetve valószínűségi változók egy η_{1}, η_{2}, …, sorozatát csak a ξ_{1}, ξ_{2}, … sorozat segítségével, ami azt jelenti, hogy

ζ_{l+1} = g(ξ_{1}, ξ_{2}, …), η_{k} = f_{k}(ξ_{1}, ξ_{2}, …), k = 1, 2, …

bizonyos (mérhető) g és f_{k} függvényekkel. (Az egyszerűség kedvééet feltesszük, hogy az új valószínűségi változók is egész értékűek. A jelölést kissé elbonyolítottam. Azért beszélek külön egy ζ_{l+1} valószínűségi változóról, ahelyett, hogy például η_{0}-lal jelöltem volna azt, mert ez a bonyolultabb jelölés jobban illeszkedik ahhoz a feladathoz, melyben alkalmazni kívánjuk.) Tegyük fel továbbá azt is, hogy léteznek olyan N-változós egész értékű g_{N}(x_{1}, …, x_{N}), és f_{k,N}(x_{1}, …, x_{N}) függvények,

N = 1, 2, …, k = 1, 2, …, melyekre lim_{N→∞} g_{N}(ξ_{1}, …, ξ_{N}) = g(ξ_{1}, ξ_{2}, …) = ζ_{l+1},

lim_{N→∞} f_{k,_{N}} (ξ_{1}, …, ξ_{N}) = f_{k}(ξ_{1}, ξ_{2}, …) = η_{k}, k = 1, 2, … egy valószínűséggel.

(Az, hogy ez a tulajdonság a minket érdeklő esetben teljesül könnyen látható. Egyébként valójában ez a feltétel nem jelent megszorítást, mindig teljesül. De ennek indoklása nem-triviális mértékelméleti meggondolásokat igényel, ezért ettől eltekintünk.) Lássuk be, hogy a

ζ_{1}, …, ζ_{l} valószínűségi változók és a (ζ_{l+1}, η_{1}, η_{2}, …, η_{m}) véletlen vektor

(az m pozitív egész szám tetszőleges) függetlenek. Megoldás: Tekintsük először azt a speciális esetet, amikor a ζ_{l+1} és η_{1}, η_{2}, … valószínűségi változókat definiáló valószínűségi változók csak N változótól függnek, azaz a ζ_{l+1}^{(N)} = g_{N}(ξ_{1}, …, ξ_{N}) η_{k}^{(n)} = f_{k,_{N}} (ξ_{1}, …, ξ_{N}), k = 1, 2, …, valószínűségi változókat tekintjük. Ebben az esetben a feladat állítása a függetlenségről tanult tulajdonságok között szerepelt, egyébként a Fubini tételből, illetve a valószínűségi változók függetlenségét az eloszlásfüggvények segítségével kifejező formula felhasznásával könnyen bizonyítható. Az általános eset n → ∞ határátmenettel (például a Lebesgue tétel segítségével) adódik. Ugyanis

P (ζ_{1} ∈ A_{1}, …, ζ_{l} ∈ A_{l}, (ζ_{l+1}, η_{1}, η_{2}, …, η_{m}) ∈ B)

= lim_{N→∞} P (ζ_{1} ∈ A_{1}, …, ζ_{l} ∈ A_{l}, (ζ_{l+1}^{(N)}, η_{1}^{(N)}, η_{2}^{(N)}, …, η_{m}^{(N)}) ∈ B)

és

P (ζ_{1} ∈ A_{1}) ⋯ P (ζ_{l} ∈ A_{l}, (ζ_{l+1}, η_{1}, η_{2}, …, η_{m}) ∈ B)

= lim_{N→∞} P (ζ_{1} ∈ A_{1}) ⋯ lim_{N→∞} P (ζ_{l} ∈ A_{l}) lim_{N→∞} P ((ζ_{l+1}^{(N)}, η_{1}^{(N)}, η_{2}^{(N)}, …, η_{m}^{(N)}) ∈ B)

Házi feladat:

Legyenek a ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók valamint az (η_{1}, …, η_{m}) véletlen vektor függetlenek. Legyenek ezenkívül az (η_{1}, …, η_{m}) véletlen vektor η_{1}, …, η_{m} koordinátái is függetlenek egymástól. Mutassuk meg, hogy ekkor a ξ_{1}, …, ξ_{n}, η_{1}, …, η_{m} valószínűségi változók is függetlenek.

3. Láttuk, hogy egy ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó momentumaira, Eξ^{2k+1} = 0, Eξ^{2k} = 1 · 3 · 5 · · · · · (2k − 1). Ugyancsak szerepelt az előadáson, hogy egy η valószínűségi változó momentumai az η φ(t) = Ee^{itη} segítségével

Eη^{k} = i^{k} \frac{d^{k}φ(t)}{dt^{k}} |_{t=0}. Hasonlóan látható, hogy η R(t) = Ee^{tη} momentumgeneráló függvényére Eη^{k} = \frac{d^{k}R(t)}{dt^{k}} |_{t=0}. Felhasználva, hogy a standard normális eloszlás karakterisztikus függvénye és momentumgeneráló függvénye megegyezik a függvény hatványsorával (ez is indoklásra szorul) mutassuk meg, hogy Ee^{itξ} = e^{t^{2}/2}, Ee^{tξ} = e^{t^{2}/2}. Megoldás:

Ee^{itξ} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{i^{k}Eξ^{k}}{k!t^{k}} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{i^{2k}1 · 3 ⋯ (2k − 1)}{(2k)!}t^{2k}.

Viszont

\frac{i^{2k}1 · 3 ⋯ (2k − 1)}{(2k)!} = (−1)^{k} \frac{(2k)!}{2 · 4 · · · · · 2k} \frac{1}{(2k)!} = (−1)^{k} \frac{1}{2^{k}k!}

Innen

Ee^{itξ} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{2^{k}k!}(−t^{2})^{k} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} (−\frac{t^{2}}{2} )^{k} = e^{−t^{2}/2}.

Hasonlóan,

Ee^{tξ} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{Eξ^{k}}{k!t^{k}} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1 · 3 ⋯ (2k − 1)}{(2k)!}t^{2k} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{2^{k}k!}t^{2k} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} (\frac{t^{2}}{2} )^{k} = e^{t^{2}/2}.

4 Ha ξ és η két független, λ illetve μ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó, azaz P (ξ = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{−λ}, P (η = k) = \frac{μ^{k}}{k!} e^{−μ}, k = 0, 1, 2, …, akkor ξ + η λ + μ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó. Megoldás

P (ξ + η = k) = ∑_{j=0}^{k} P (ξ = j, η = k − j) = ∑_{j=0}^{k} P (ξ = j)P (η = k − j)

= ∑_{j=0}^{k} \frac{λ^{j}}{j!} e^{−λ} \frac{μ^{k−j}}{(k − j)!}e^{−μ} = \frac{e^{−(λ+μ)}}{k!} ∑_{j=0}^{k} \frac{k!}{j!(k − j)!}λ^{j}μ^{(k−j)}

= \frac{e^{−(λ+μ)}}{k!} (λ + μ)^{k}.

Házi feladat: Ha ξ és η két független, (n, p) illetve (m, p) paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó, azaz P (ξ = k) = \binom{n}{k}p^{k}(1 − p)^{n−k}, k = 0, 1, …, n, P (η = k) =

\binom{m}{k}p^{k}(1 − p)^{m−k}, k = 0, 1, …, m, akkor ξ + η (n + m.p) paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó.