\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\define\minn{\min\limits}
\define\maxx{\max\limits}
\font\script=cmcsc10
 
\medskip\noindent
\noindent{\bf A november 5.-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
\medskip\noindent
\item{1.} Az el\H{o}z\H{o} gyakorlaton bel\'attuk, hogy ha
$\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, a $\[-\frac12,\frac12\]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, $\xi_1^*=\minn_{1\le k\le n}\xi_k$, $\xi_n^*=\maxx_{1\le
k\le n}\xi_k$, akkor a $(\xi_1^*,\xi_n^*)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'anak van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az
$f(x,y)=n(n-1)(y-x)^{n-2}$, ha $-\frac12\le x\le y\le\frac12$, \'es
$f(x,y)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek az eredm\'enynek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a $\frac{\xi_1^*+\xi_n^*}2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Fel\'{\i}rhatjuk az
$$
\align
E\frac{\xi_1^*+\xi_2^*}2&=\int\int \frac{x+y}2 f(x,y)\,dx\,dy\\
&=n(n-1)\int\int_{\{(x,y)\:\frac12\le x\le y\le\frac12\}}
\frac{x+y}2(y-x)^{n-2} \,dx\,dy
\endalign
$$
$$
\align
E\(\frac{\xi_1^*+\xi_2^*}2\)^2&=\int\int \(\frac{x+y}2\)^2
f(x,y)\,dx\,dy\\
&=n(n-1)\int\int_{\{(x,y)\:\frac12\le x\le y\le\frac12\}}
\(\frac{x+y}2\)^2(y-x)^{n-2} \,dx\,dy.
\endalign
$$
azonoss\'agokat. A fenti integr\'alokat kell kisz\'amolnunk.
\'Erdemes bevezetni az $u=y-x$, $v=y+x$ \'uj v\'altoz\'okat, \'es ezek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel kifejezni a vizsg\'aland\'o integr\'alokat.
Vegy\"uk \'eszre, hogy a transzform\'aci\'o Jacobi\'anja
a $\left|\matrix \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial
u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial
v}{\partial y}\endmatrix\right|$ determin\'ans  (abszolut) \'ert\'eke 2
(minden pontban), \'es a transzform\'aci\'o hat\'as\'ara az
$\{(x,y)\:\frac12\le x\le y\le\frac12\}$ integr\'al\'asi
tartom\'any az $\{(u,v)\:0\le u\le1, -(1-u)\le v\le1-u\}$
tartom\'anyba k\'epz\H{o}dik.
\item{} A fenti \"osszef\"ugg\'esek seg\'{\i}ts\'eg\'evel a
kisz\'am\'{\i}tand\'o integr\'alokat a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon \'{\i}rhatjuk fel:
$$
\align
E\frac{\xi_1^*+\xi_2^*}2
&=\frac{n(n-1)}2\int_0^1\int_{-(1-u)}^{1-u}
\frac v2u^{n-2} \,dv\,du\\
&=\frac{n(n-1)}4\int_0^1 u^{n-2} \(\int_{-(1-u)}^{1-u}
v\,dv\)\,du=0,
\endalign
$$
mert a bels\H{o} integr\'al nulla, \'es
$$ \allowdisplaybreaks
\align
E\(\frac{\xi_1^*+\xi_2^*}2\)^2
&=\frac{n(n-1)}2\int_0^1\int_{-(1-u)}^{1-u}
\(\frac v2\)^2u^{n-2} \,dv\,du\\
&=\frac{n(n-1)}{12}\int_0^1 (1-u)^3u^{n-2}\,dv\,du\\
&=\frac{n(n-1)}{12} \[\frac{u^{n-1}}{n-1}-3\frac{u^n}n+3\frac
{u^{n+1}}{n+1}-\frac{u^{n+2}}{n+2}\]_0^1\\
&=\frac{n(n-1)}{12}\(\frac1{n-1}-\frac1{n+2}-\frac3n+\frac3{n+1}\)\\
&=\frac{n(n+1)(n+2-(n-1))-3(n-1)(n+2)}{12(n+1)(n+2)}\\
&=\frac{3n(n+1)-3(n-1)(n+2)}{12(n+1)(n+2)}
=\frac1{2(n+1)(n+2)}
\endalign
$$
Teh\'at $E\frac{\xi_1^*+\xi_2^*}2=0$ \'es
$\Var\frac{\xi_1^*+\xi_2^*}2=\frac1{2(n+1)(n+2)}$.
\item{2.} Legyen $\xi_1,\dots,\xi_n $ f\"uggetlen, a
$[\vartheta,\vartheta+1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sorozata valamely
(ismeretlen) $\vartheta$ param\'eterrel. Legyen $\xi_1^*=\minn_{1\le
k\le n}\xi_k$ $\xi_n^*=\maxx_{1\le k\le n}\xi_k$. Mutassuk meg, hogy
$E\frac{\xi_1^*+\xi_n^*}2=\vartheta+\frac12$,
$\Var\frac{\xi_1^*+\xi_n^*}2=\frac1{2(n+1)(n+2)}$,
$E\frac{\xi_1+\cdots+\xi_n}n=\vartheta+\frac12$ \'es
$\Var\frac{\xi_1+\cdots+\xi_n}n=\frac1{12n}$.
\item{} Besz\'elj\"uk meg a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'est: Meg akarjuk
becs\"ulni az ismeretlen $\vartheta$ para\-m\'e\-tert a (megfigyelt)
$\xi_1,\dots,\xi_n$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Melyik becsl\'est tartj\'ak jobbnak:
\itemitem{a.)}
$\tilde\vartheta_n^{(1)}=\frac{\xi_1+\cdots+\xi_n}n-\frac12$
\itemitem{b.)} $\tilde\vartheta_n^{(2)}=\frac{\xi_1^*+\xi_n^*}2-\frac12$
\itemitem{c.)} Kombin\'aljuk a k\'et becsl\'est \'es legyen
$\tilde\vartheta_n^{(3)}=\frac{\tilde\vartheta_n^{(1)}+
\tilde\vartheta_n^{(2)}}2$.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ A $\bar\xi_j=\xi_j-\(\vartheta+12\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, egyenletes
eloszl\'as\'uak a $\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban, \'es
$\minn_{1\le k\le n}\bar\xi_k=\xi_1^*-\(\vartheta+12\)$,
$\maxx_{1\le k\le n}\bar\xi_k=\xi_n^*-\(\vartheta+12\)$. Ez\'ert
\'att\'erve a $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol a
$\bar\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra a
vizsg\'alt mennyis\'egek v\'arhat\'o \'ert\'eke
$\vartheta+\frac12$-vel cs\"okken, a sz\'or\'asn\'egyzet\"uk pedig nem
v\'altozik. Ez\'ert elegend\H{o} a feladatot a $\bar\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra bizony\'{\i}tani. (Ezt
\'ugy is megfogalmazhatjuk, hogy el\'eg a $\vartheta=-\frac12$ esetet
tekinteni.) Az els\H{o} kifejez\'es v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et az els\'o feladatban kisz\'amoltuk, \'es onnan
l\'atszik a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'as. A m\'asodik kifejez\'esre
fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$E\frac{\bar\xi_1+\cdots+\bar\xi_n}n=E\bar\xi_1=0$ \'es
$\Var\frac{\bar\xi_1+\cdots+\bar\xi_n}n=\frac{\Var\bar\xi_1}n
=\frac1{12n}$, mert
$\Var\bar\xi_1=\int_{-1/2}^{1/2}x^2\,dx=\frac1{12}$.
\item{} Mind a h\'arom esetben a vizsg\'alt kifejez\'es v\'arhat\'o
\'ert\'eke $\vartheta$, (ezt szaksz\'oval \'ugy mondj\'ak, hogy
torz\'{\i}tatlan becsl\'eseket adtunk meg), ez\'ert term\'eszetes a
becsl\'esek k\"oz\"ul azt v\'a\-lasz\-ta\-ni, amelyiknek a legkisebb
a sz\'or\'asn\'egyzete. L\'attuk, hogy ebben az \'ertelemben a
$\tilde\vartheta_n^{(2)}$ becsl\'es jobb, mint a
$\tilde\vartheta_n^{(1)}$ becsl\'es. Azt is meg lehet mutatni, hogy
a $\tilde\vartheta_n^{(2)}$ becsl\'es a $\tilde\vartheta_n^{(3)}$
becsl\'esn\'el is jobb. Most el\'egedj\"unk meg annak
megmutat\'as\'aval, hogy nagy $n$ elemsz\'amra ez a helyzet, s\H{o}t
azt is \'all\'{\i}thatjuk, hogy a becsl\'es nagys\'agrendje j\'obb.
\item{} Ugyanis $E\(\tilde\vartheta_n^{(1)}-\vartheta\)^2$
nagys\'agrendje $\const n^{-1}$, m\'{\i}g a
$E\(\tilde\vartheta_n^{(2)}-\vartheta\)^2$ kifejez\'es
nagys\'agrendje $\const n^{-2}$, ha $n\to \infty$. Innen
$$
E\(\tilde\vartheta_n^{(3)}-\vartheta\)^2
=\frac14\(E\(\tilde\vartheta_n^{(1)}-\vartheta\)^2
+E\(\tilde\vartheta_n^{(2)}-\vartheta\)^2
+2E\(\tilde\vartheta_n^{(1)}-\vartheta\)
\(\tilde\vartheta_n^{(2)}-\vartheta\)\),
$$
\'es a Cauchy--Schwarz egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
$$\left|E\(\tilde\vartheta_n^{(1)}-\vartheta\)
\(\tilde\vartheta_n^{(2)}-\vartheta\)\right|\le
E\(\(\tilde\vartheta_n^{(1)}-\vartheta\)^2
\(E\tilde\vartheta_n^{(2)}-\vartheta\)^2\)^{1/2},
$$
\'es ez a kifejez\'es $n^{-3/2}$ nagys\'agrendben tart null\'ahoz
$n\to\infty$ eset\'en. Ezekb\H{o}l a becsl\'esekb\'ol az k\"ovetkezik,
hogy az $E\(\tilde\vartheta_n^{(3)}-\vartheta\)^2$ kifejez\'es az
$E\(\tilde\vartheta_n^{(1)}-\vartheta\)^2$ kifejez\'eshez hasonl\'oan
$n^{-1}$ nagys\'agrendben tart null\'ahoz  $n\to\infty$ esetben.
(Teh\'at lassabban, mint a b.) esetben.
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} feladatban megt\'argyalunk egy m\'as m\'odszert a
rendezett minta legnagyobb \'es \'es legkisebb elem\'enek egy\"uttes
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara.
\item{3.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $f(x)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'ennyel,
$\xi_1^*<\xi_2^*<\cdots<\xi_n^*$
a bel\H{o}l\"uk k\'esz\'{\i}tett rendezett minta. L\'assuk be, hogy a
$(\xi_1^*,\dots,\xi_n^*)$ v\'eletlen vektornak van
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, \'es az a
$g(x_1,\dots,x_n)=n!f(x_1)\cdots f(x_n)$ f\"uggv\'eny, ha
$x_1<x_2<\cdots<x_n$, \'es
$g(x_1,\dots,x_n)=0$ egy\'ebk\'ent.
\item{} L\'assuk be, hogy ha egy $(\eta_1,\dots,\eta_n)$ v\'eletlen
vektornak $g(x_1,\dots,x_n)$ van
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye,
\'es $k\le n$, akkor az $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$$
h(x,\dots,x_k)=\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty
g(x_1,\dots,x_n)\,dx_{k+1}\,dx_{k+2}\cdots\,dx_n.
$$
\item{} A $[-\frac12,\frac12]$ intervallumon egyenletes
eloszl\'as\'u f\"uggetlen $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok\-b\'ol elk\'esz\'{\i}tett
$\xi_1^*<\xi_2^*<\cdots<\xi_n^*$ rendezett mint\'ara
a $(\xi_1^*,\xi_n^*)$ v\'eletlen vektor
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$f(x,y)=n(n-1)(y-x)^{n-2}$, ha $-\frac12\le x\le y\le\frac12$, \'es
$f(x,y)=0$ egy\'ebk\'ent.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $C\subset
R^n$ halmazt: $C=\{(x_1,\dots,x_n)\: x_1\le x_2\le\cdots\le x_n\}$,
azaz $C$ azon pontokb\'ol \'all, melynek koordin\'at\'ai nagys\'ag
szerint rendezve vannak. Adva egy $B\subset C$ halmaz defini\'aljuk
ennek $B^{sz}$  szimmetrikus b\H{o}v\'{\i}t\'es\'et, mint
$B^{sz}=\{(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})\,(x_1,\dots,x_n\in
B,\,(pi(1),\dots,\pi(n))\in \Pi_n\}$, ahol $\Pi_n$ jel\"oli az
$\{1,\dots,n\}$ halmaz \"osszes permut\'aci\'oj\'at. Szeml\'eletesen
arr\'ol van sz\'o, hogy a $B$ halmaz $(x_1,\dots,x_n)$ pontjaiban
vessz\"uk a koordin\'at\'ak \"osszes lehets\'eges permut\'aci\'oj\'at,
\'es az \'{\i}gy el\H{o}\'all\'{\i}that\'o pontok alkotj\'ak a $B$
halmaz szimmetriz\'alt b\H{o}v\'{\i}t\'es\'et. Ekkor
$P((\xi^*_1,\dots,\xi^*_n)\in C)=1$, \'es tetsz\H{o}leges
(m\'erhet\H{o}) $A\subset R^n$ halmazra
$$      \allowdisplaybreaks
\align
P((\xi_1^*,\dots,\xi^*_n)\in A)&=
P((\xi_1^*,\dots,\xi^*_n)\in A\cap C)=
P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in (A\cap C)^{sz})\\
&=\int_{A\cap C)^{sz}}f(x_1)f(x_2)\dots f(x_n)\,dx_1\dots\,dx_n\\
&=\int_{A\cap C)}n!f(x_1)f(x_2)\dots f(x_n)\,dx_1\dots\,dx_n\\
&=\int_A  g(x_1,x_2,\dots,x_n)\,dx_1\dots\,dx_n,
\endalign
$$
\'es ez jelenti azt, hogy a
$(\xi_1^*,\dots,\xi^*_n)$ v\'eletlen vektor eloszl\'asa a
$g(x_1,x_2,\dots,x_n)$ f\"uggv\'eny.
\item{} A felt\'etel teljs\"ul\'ese eset\'en minden $A\subset R^k$
halmazra
$$
\align
&P((\eta_1,\dots,\eta_k)\in A)=
P((\eta_1,\dots,\eta_k)\in A, (\eta_{k+1},\dots,\eta_n)\in R^{n-k})\\
&\qquad=
\int\cdots\int_{A\times R^{n-k}}g(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\dots\, dx_k
\,dx_{k+1}\dots\,dx_n\\
&\qquad
=\int\cdots\int_A\(\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty
g(x_1,\dots,x_n)\,dx_{k+1}\,dx_{k+2}\cdots\,dx_n\)\,dx_1\dots\,dx_k\\
&\qquad =\int\cdots\int_A h(x,\dots,x_k)\,dx_1\dots\,dx_k,
\endalign
$$
\'es ez volt a m\'asodik bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'as.
\item{} Az el\H{o}bbiek alapj\'an $-\frac12\le x\le y\le y\le \frac12$
eset\'en a keresett s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
$$
\align
g(x,y)&=\int_{x\le x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<y} n! \,dx_2\dots\,dx_{n-1}\\
&=n!\lambda\{(x_2,\dots,x_{n-1}\:x\le
x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<y\}=\frac{n!(y-x)^{n-2}}{(n-2)!}\\
&=n(n-1)(y-x)^{n-2},
\endalign
$$
ahol $\lambda(A)$ jel\"oli az $A$ halmaz t\'erfogat\'at. A
marad\'ek halmazon a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny nulla, mert a
rendezett minta $g(x,x_2,\dots,x_{n-1},y)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, amit in\-teg\-r\'al\-ni kell, nulla,
ha $y<x$, $y>\frac12$ vagy $x<-\frac12$.
\item{4.} Legyen egy urn\'aban 10 piros \'es 20 feh\'er goly\'o.
H\'uzzunk ki 10 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul, \'es a m\'asodik
h\'uz\'ast\'ol kezdve minden h\'uz\'as alkalm\'aval nyerj\"unk 2
forintot, ha a kih\'uzott goly\'o sz\'{\i}ne megegyezik az
el\H{o}z\H{o} kih\'uzott goly\'o sz\'{\i}n\'evel, \'es
vesz\'{\i}ts\"unk 1 forintot, ha ez a k\'et sz\'{\i}n
k\"ul\"onb\"ozik. Sz\'amoljuk ki nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyz\'et.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetez\H{o} $\eta_j$,
$1\le j\le 9$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\eta_j=2$,
ha a $j$-ik \'es $j+1$ h\'uz\'as mindegyike feh\'er vagy mindegyike
piros, \'es $\eta_j=-1$, ha a k\'et h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er,
piros, vagy piros feh\'er. Ekkor minket a $\summ_{j=1}^9\eta_j$
v\'eletlen \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete
\'erdekel. Ennek kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki
el\H{o}sz\"or az $E\eta_j$, $\Var\eta_j$ \'es $\Cov(\eta_j,\eta_k)$
mennyis\'egeket. $\eta_j$ \'ert\'eke 2, ha piros, piros vagy feh\'er,
feh\'er h\'uz\'as t\"ort\'ent, \'es ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\frac{10}{30}\frac9{29}+\frac{20}{30}{19}{30}=\frac{47}{87}$, annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $\eta_j=-1$ $\frac{40}{87}$. Innen
$E\eta_j=\frac{2\cdot47-40}{87}=\frac{18}{29}$, \'es a keresett
v\'arhat\'o \'ert\'ek $9\cdot\frac{18}{29}=\frac{162}{29}$.
Hasonl\'oan $E\eta_j^2=\frac{4\cdot47+40}{87}=\frac{228}{87}$,
$\Var\eta_j=E\eta_j^2-(E\eta_j)^2$.
 
\item{} Az $\Cov(\eta_j,\eta_k)$ mennyis\'egek
kisz\'amol\'as\'an\'al k\"ul\"onb\"oztess\"uk meg a $k=j+1$ \'es
$k>j+1$ eseteket. Els\H{o} esetben az $E\eta_j\eta_{j+1}$ mennyis\'eg
kisz\'amol\'as\'anal h\'arom egym\'ast k\"ovet\H{o} h\'uz\'as
eredm\'eny\'et kell figyelemebe venni. $\eta_j\eta_k$ \'ert\'eke 4,
ha feh\'er, feh\'er, feh\'er, vagy piros, piros, piros h\'uz\'as
t\"ort\'enik, \'es ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\frac{1\cdot9\cdot8+2\cdot19\cdot18}{3\cdot29\cdot28}$, $-2$, ha
feh\'er, piros, piros vagy feh\'er, feh\'er, piros vagy piros, piros,
feh\'er vagy piros, feh\'er, feh\'er h\'uz\'assorozat t\"ort\'enik,
\'es ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $2\cdot\frac{2\cdot 19\cdot
\cdot10+ 9\cdot\cdot 20}{3\cdot29\cdot28}$, \'es $-1$, ha piros,
feh\'er, piros vagy feh\'er, piros, feh\'er h\'uz\'as t\"ort\'enik,
aminek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\frac{9\cdot20+2\cdot19\cdot10}{3\cdot29\cdot28}$.
Innen $E\eta_j\eta_{j+1}=4\cdot\(
\frac{1\cdot9\cdot8+2\cdot19\cdot18}{3\cdot29\cdot28}
-\frac{2\cdot 19\cdot \cdot10+ 9\cdot\cdot 20}{3\cdot29\cdot28}\)+
\frac{9\cdot20+2\cdot19\cdot10}{3\cdot29\cdot28}$.  To\-v\'ab\-b\'a,
$\Cov(\eta_j,\eta_{j+1})=E\eta_j\eta_{j+1}-E\eta_1^2$.
\item{} Azt az esetet, amikor a $k>j+1$ kiss\'e nehezebb
\'attekinteni, mert ekkor 16 k\"ul\"onb\"oz\H{o} h\'uz\'assorozatot
kell figyelembe venni. N\'emileg egyszer\H{u}s\'{\i}ti az
\'attekint\'est, ha \'eszrevessz\"uk, hogy az egyes
h\'uz\'assorozatok val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege csak att\'ol f\"ugg,
hogy h\'any feh\'er goly\'ot tartalmaznak. Ezenk\'{\i}v\"ul m\'eg azt
is n\'ezve, hogy mennyi a k\"ul\"onb\"oz\H{o} esetekben az
$\eta_j\eta_k$ v\'altoz\'o \'ert\'eke azt kapjuk, hogy
$k>j+1$ esetben $E\eta_j\eta_k=
4\cdot\frac{2\cdot19\cdot18\cdot17}{3\cdot29\cdot28\cdot27}
-8\cdot\frac{2\cdot19\cdot18\cdot10}{3\cdot29\cdot28\cdot27}
(8+4)\frac{2\cdot19\cdot10\cdot9}{3\cdot29\cdot28\cdot27}
-8\cdot\frac{9\cdot8\cdot20}{3\cdot29\cdot28\cdot27}
+4\cdot\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot29\cdot28\cdot27}$, \'es a
$Cov(\eta_j,\eta_k)=E\eta_jE\eta_k-E\eta_j^2$ \'erv\'enyes ebben az
esetben is. V\'eg\"ul fel\'{\i}rjuk, hogyan lehet a fenti k\'epleteket
felhaszn\'alva fel\'{\i}rni a keresett sz\'or\'asn\'egyzetet. Vegy\"uk
\'eszre, hogy mindegyik $\Cov(\eta_j,eta_{j+1})$ \'ert\'eke megegyezik,
\'es ugyanez mondhat\'o el a $\Var\eta_j$ illetve $\Cov(\eta_j,\eta_k$
kifejez\'esekre, ha $k>j+1$. Figyelembe v\'eve, hogy melyik tagb\'ol
h\'anyat kell venni kapjuk, hogy
$\Var\(\summ_{j=1}^9\eta_j\)=9\Var\eta_1+18\Cov(\eta_1,\eta_2)+
54\Cov(\eta_1,\eta_3)$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Legyen adva k\'et urna, mindkett\H{o}ben 10 piros \'es 20
feh\'er goly\'o. H\'uzzunk ki 10 goly\'ot mind a k\'et urn\'ab\'ol,
az egyikb\H{o}l visszatev\'essel, a m\'asikb\'ol visszatev\'es
n\'elk\"ul. Minden h\'uz\'asp\'ar alkalm\'aval nyerj\"unk 2 forintot,
ha a k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} urn\'ab\'ol kih\'uzott goly\'ok
sz\'{\i}ne megegyezik, \'es vesz\'{\i}ts\"unk 1 forintot, ha ez a
k\'et sz\'{\i}n k\"u\-l\"on\-b\"o\-zik. Sz\'amoljuk ki nyerem\'eny\"unk
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyz\'et.
 
 
\bye
