A november 26.-i előadáshoz kapcsolódó gyakorlat feladatai

1. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független exponenciális eloszlású valószínűségi változók λ > 0 paraméterrel, azaz f(y) = λe^{−λy}, ha y ≥ 0, f(y) = 0, ha y < 0 sűrűségfüggvénnyel.

Legyen S_{k} = ∑_{j=1}^{k} ξ_{j}, 1 ≤ k ≤ n. Számítsuk ki a

(S_{1}, …, S_{n−1}, S_{n}) és (\frac{S_{1}}{S_{n}} , …, \frac{S_{n−1}}{S_{n}} , S_{n})

véletlen vektorok sűrűségfüggvényét. Ezen eredmények segítségével mutassuk meg,

hogy az (\frac{S_{1}}{S_{n}} , …, \frac{S_{n−1}}{S_{n}} ) véletlen vektor független az S_{n} valószínűségi változótól,

és e vektor elemei a [0, 1] intervallumban független, egyenletes eloszlású valószínűségi változókból álló rendezett mintát alkotnak.

Ezt a feladatot úgy fogjuk megoldani, hogy kiszámoljuk a definiált véletlen vektor sűrűségfüggvényét, és ellenőrizzük, hogy ez olyan tulajdonságú, mint ahogy azt állítottuk. Ahhoz, hogy ezt a programot végrehajtsuk szükségünk van arra, hogy tudjuk bizonyos transzformációk során hogyan változik egy integrál. Felidézem azt az eredményt, amelyikre szükségünk van. Ezt a szükségesnél általánosabb formában fogalmazom meg. A most vizsgált problémában elegendő lenne invertálható leképezéseket vizsgálni, ahol minden pontnak egyetlen ősképe van. A szükséges eredmény megfogalmazása érdekében először felidézem a Jacobian foglmát.

Jacobian definiciója. Legyen y_{k} = T_{k}(x_{1}, …, x_{n}), 1 ≤ k ≤ n, az n-dimenziós tér egy tartományának síma transzformáltja az n-dimenziós tér egy másik tartományába. E transzformáció J (T(x_{1}, …, x_{n})) Jakobiánja egy (x_{1}, …, x_{n}) pontban a

(\frac{∂T_{k}(x_{1}, …, x_{k})}{∂x_{n}}) , 1 ≤ l, k ≤ n,

n × n-es (az (x_{1}, …, x_{n}) pontban vett derivált) mátrix determinánsának az abszolut értéke.

(A Jacobian szemléletes tartalma: Ez adja meg, hogy az (x_{1}, …, x_{n}) pont kis környezetének a térfogatát a T = (T_{1}, …, T_{n}) transzformáció hányszorosára nagyítja ki.)

Integráltranszformációról szóló képlet. Legyen adva az n-dimenziós tér egy A tartományának egy síma y_{k} = T_{k}(x_{1}, …, x_{n}), 1 ≤ k ≤ n, transzformáltja az n-dimenziós tér egy másik B tartományába. Legyen továbbá adva a B tartományon egy f(y_{1}, …, y_{n}) függvény. Ezen f(y_{1}, …, y_{n}) függvénynek a T = (T_{1}, …, T_{n}) transzformáció által meghatározott ősképén azt az A tartományon értelmezett g(x_{1}, …, x_{n}) = T^{−1}f(x_{1}, …, x_{n}) függvényt értjük az A tartományon, melyre

g(x_{1}, …, x_{n}) = f(T_{1}(x_{1}, …, x_{n}), …, T_{n}(x_{1}, …, x_{n}))

minden (x_{1}, …, x_{n}) ∈ A pontban. Ekkor

∫_{B} f(y_{1}, …, y_{n}) dy_{1} … dy_{n}

= ∫_{A} \frac{T^{−1}f(x_{1}, …, x_{n})}{∑_{olyan (z_{1},...,z_{n})∈A pontok melyekre T_{k}(z_{1},...,z_{n})=T_{k}(x_{1},...,x_{n}) k=1,...,n} \frac{1}{J (T(z_{1}, …, z_{k}))}} dx_{1} … dx_{n}.

Megoldás: Számoljuk ki az (S_{1}, …, S_{n}) vektor sűrűségfüggvényét. Ezt a következőképp tesszük. Mivel az {ω: S_{1}(ω) < u_{1}, …, S_{n}(ω) < u_{n})} esemény kifejezhető, mint egy {ω: (ξ_{1}(ω), …, ξ_{n}(ω)) ∈ B} alakú esemény, és a (ξ_{1}(ω), …, ξ_{n}(ω)) véletlen vektornak ismerjük a sűrűségfüggvényét, a keresett eseményt ki tudjuk fejezni, mint egy alkalmas integrált. Természetes integráltranszformációval ezt az integrált át tudjuk írni, mint egy olyan integrált, melyben az integrálási tartomány az {(x_{1}, …, x_{n}): x_{1} < u_{1}, …, x_{n} < u_{n}} halmaz, és a transzformáció szerkezetéből fogva az integrandus nem függ az u_{1}, …, u_{n} számoktól, így megkapjuk a keresett sűrűségfüggvényt. Konkrétan a következő számolást végezzük el:

P (S_{1} < u_{1}, …, S_{n} < u_{n}) = P ((ξ_{1}, …, ξ_{n}) ∈ B) = ∫_{B} f(y_{1}) ⋯ f(y_{n}) dy_{1} … dy_{n},

ahol B = B(u_{1}, …, u_{n}) = {(y_{1}, …, y_{n}): y_{1} + y_{2} + ⋯ + y_{j} < u_{j}, j = 1, …, n}.

Írjuk át a fenti integrált a T (y_{1}, …, y_{n}) = (x_{1}, …, x_{n}), x_{j} = y_{1} + ⋯ + y_{j}, j = 1, 2, …, n transzformációval. E transzformáció invertálható, és Jacobiánja 1, a B halmazt az {(x_{1}, …, x_{n}): x_{j} < u_{j}, j = 1, …, n} halmazba képezi. (A leképezés inverze: y_{1} = x_{1}, y_{j} = x_{j} − x_{j−1}, j = 2, …, n. Ezért

P (S_{1} < u_{1}, …, S_{n} < u_{n}) = ∫_{x_{1}≤u_{1},x_{2}≤u_{2},...x_{n}≤u_{n}} g(x_{1}, …, x_{n}) dx_{1} … dx_{n},

ahol g(x_{1}, …, x_{n}) = λ^{n}e^{−λx_{n}}, ha 0 ≤ x_{1} ≤ x_{2} ≤ ⋯ ≤ x_{n}, és nulla egyébként. (Ugyanis f(y_{1}) ⋯ f(y_{n}) = f(x_{1})f(x_{2} − x_{1}) ⋯ f(x_{n} − x_{n−1}) = λ^{n}e^{−λx_{n}}, ha 0 ≤ x_{1} ≤ ⋯ ≤ x_{n}, és nulla egyébként. Innen az (S_{1}, …, S_{n}) vektor sűrűségfüggvénye f(x_{1}, …, x_{n}) = λ^{n}e^{−λx_{n}}, ha 0 ≤ x_{1} ≤ x_{2} ≤ ⋯ ≤ x_{n}, és f(x_{1}, …, x_{n}) = 0 egyébként. Ezért speciálisan S_{n} sűrűségfüggvénye

f_{n}(x_{n}) = ∫_{−∞}^{∞} ⋯ ∫_{−∞}^{∞} g(x_{1}, …, x_{n}) dx_{1} … dx_{n−1} = \frac{λ^{n}}{(n − 1)!}x^{n−1}e^{−λx_{n}},

ha x_{n} ≥ 0, f_{n}(x_{n}) = 0, ha x_{n} < 0.

Számítsuk ki az (\frac{S_{1}}{S_{n}} , …, \frac{S_{n−1}}{S_{n}} , S_{n}) vektor sűrűségfüggvényét az (S_{1}, …, S_{n})

véletlen vektor f(x_{1}, …, x_{n}) sűrűségfüggvényének ismeretében hasonló módon. Jegyezzük meg először, hogy az (S_{1}, …, S_{n}) sűrűségfüggvényének speciális alakja miatt, (annak következtében, hogy az bizonyos helyeken nulla) P ((S_{1}, …, S_{n}) ∈ D) = 1, P ((\frac{S_{1}}{S_{n}} , …, \frac{S_{n−1}}{S_{n}} , S_{n}) ∈ E) = 1, a D = ((z_{1}, …, z_{n}): 0 ≤ z_{1} ≤ z_{2} ⋯ ≤ z_{n}) és E = {(y_{1}, …, y_{n}): 0 ≤ y_{1} ≤ y_{2} ≤ ⋯ ≤ y_{n−1} ≤ 1, 0 < y_{n}} halmazokra. Ezért

P (\frac{S_{1}}{S_{n}} < u_{1}, …, \frac{S_{n−1}}{S_{n}} < u_{n−1}, S_{n} < x)

= P ((S_{1} < S_{n}u_{1}, …, S_{n−1} < S_{n}u_{n−1}, S_{n} < x) ∩ (S_{1}, …, S_{n}) ∈ D))
= ∫_{K∩D} g(y_{1}, …, y_{n}) dy_{1} … dy_{n}.

ahol K = {(y_{1}, …, y_{n}): 0 ≤ y_{j} < u_{j}y_{n}, j = 1, …, n − 1, 0 ≤ y_{n} < x}. Definiáljuk a T (x_{1}, …, x_{n}) = (y_{1}, …, y_{n}), y_{1} = \frac{x_{1}}{x_{n}}, y_{2} = \frac{x_{2}}{x_{n}}, y_{n−1} = \frac{x_{n−1}}{x_{n}}, y_{n} = x_{n} transzformációt az D halmazon. Ez invertálható transzformáció az D halmazról a E halmazra, melynek Jacobiánja az x_{n}^{−(n−1)} függvény. (A függvény inverze, x_{n} = y_{n}, x_{k} = y_{k}y_{n}, 1 ≤ k ≤ n − 1. Ezen leképezés szerint a K ∩ D halmaz ősképe az {(x_{1}, …, x_{n}): x_{1} < u_{1}, …, x_{n−1} < u_{n−1}, x_{n} < x} ∩ E halmaz. Ezért

P (\frac{S_{1}}{S_{n}} < u_{1}, …, \frac{S_{n−1}}{S_{n}} < u_{n−1}, S_{n} < x)

= ∫_{\{0≤x_{j}<u_{j}, j=1,...,n−1, 0≤x_{n}<x\}∩E} x_{n}^{n−1}f (\frac{x_{1}}{x_{n}} , …, \frac{x_{n_{1}}}{x_{n}} , x_{n}) dx_{1} … dx_{n}.

Innen a keresett sűrűségfüggvény f(x_{1}, …, x_{n−1}, x_{n}) = λ^{n}e^{−λx_{n}}x_{n}^{n−1}, ha 0 ≤ x_{1} < x_{1} < ⋯ < x_{n−1} ≤ 1, és x_{n} ≥ 0, azaz (x_{1}, …, x_{n}) ∈ E, és f(x_{1}, …, x_{n−1}, x_{n}) = 0, egyébként. Ez azt jelenti, hogy f(x_{1}, …, x_{n−1}, x_{n}) = g(x_{1}, …, x_{n−1})h(x_{n}), ahol g(x_{1}, …, x_{n−1}) = (n − 1)!, ha 0 ≤ x_{1} ≤ ⋯ ≤ x_{n−1} ≤ 1, g(x_{1}, …, x_{n−1}) = 0,

egyébként, h(x_{n}) = \frac{x_{n}^{n−1}}{(n − 1)!}e^{−λx_{n}}, ha x_{n} ≥ 0, h(x_{n}) = 0, ha x_{n} < 0. Ez azt jelenti,

hogy az (\frac{S_{1}}{S_{n}} , …, \frac{S_{n−1}}{S_{n}} ) vektor és S_{n} valószínűségi változók függetlenek, a tekin-

tett vektor eloszlása megegyezik n − 1 független, a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változóból készített rendezett minta eloszlásával, az S_{n} vektor eloszlása pedig n független λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó összegének az eloszlása. (Azt, hogy h(x_{1}, …, x_{n−1}) egy n − 1 elemű egyenletes eloszlású minta sűrűségfüggvénye megbeszéltük egy korábbi gyakorlaton.)

Házi feladat:

Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, exponenciális eloszlású eloszlású valószínűségi változók λ paraméterrel, azaz legyen sűrűségfüggvényük f(x) = λe^{−λx}, ha x ≥ 0, f(x) = 0, ha x ≤ 0. Számtsuk ki közvetlenül (konvolúcuó) segítségével a ξ_{1}+⋯+ξ_{n} összeg sűrűségfüggvényét.

2. Van négy urna, mindegyikben 10 fehér és 10 piros golyó. Elvégezünk 5 húzássorozatot, mindegyik húzáskor mindegyik urnából kiveszünk egy golyót visszatevés nélkül. Az egyes húzások alkalmával két forintot nyerünk, ha ugyanannyi piros golyót húzunk mint fehéret, és egy forintot veszítünk, ha ezek száma eltérő. Számoljuk ki nyereményünk várható értékét és szórásnégyzetét. Megoldás: Jelölje Z_{j} a j-ik húzás során szerzett nyereményünket. Számoljuk ki a Z_{j} valószínűségi változók várható értékét és szórásnégyzetét, illetve a Cov (Z_{j}, Z_{k}) covarianciákat. Ennek érdekében tekintsük a Z_{j} valószínűségi változók, illetve a (Z_{j}, Z_{k}) véletlen vektorok eloszlását. P (Z_{j} = 2) = P (Z_{1} = 2 = 6 ⋯ \frac{1}{16}. (Hat módon választhatom ki azt az két urnát, ahonnan piros golyót húzok, és \frac{1}{6} annak a valószínűsége, hogy mindegyik urnában az előirt golyót húzom. P (Z_{j} = −1) = \frac{5}{8}.

Ha j ≠ k, akkor P (Z_{j} = 2, Z_{k} = 2) = \frac{3}{8} (\frac{9^{4}·+10^{4}+4·9^{2}·10^{2}}{19^{4}} ), (annak valószínűségét számoltuk ki, hogy először két fehéret és két pirosat húzunk, aztán vagy minden urnából ugyanolyan színű golyót húzunk vagy minden urnából ellenkező színűt, azután azt, hogy mind a fehér mind a piros hízások közül egyben megváltozott a húzás színe, egyben pedig nem.) P (Z_{j} = 2, Z_{k} = 1) = P (Z_{j} = 1, Z_{k} = 2) = P (Z_{j} = 2) − P (Z_{j} = 2, Z_{k} = 2, P (Z_{j} = 1, Z_{k} = 1) = P (Z_{j} = 1) − P (Z_{j} = 1, Z_{k} = 2). Innen következik, hogy EZ_{j} = 2P (Z_{j} = 2) − P (Z_{j} = −1) = \frac{1}{8}, ezért a keresett várható érték az egyes húzásokból származó nyereményeinek várható érték összege \frac{5}{8}. EZ_{j}^{2} = \frac{4·3+5}{8} = \frac{17}{8}, Var Z_{j} = \frac{17}{8} − \frac{1}{64}. Ki lehet számolni az EZ_{j}Z_{k} = 4P (Z_{j} = 2, Z_{k} = 2) + P (Z_{j} = −1, Z_{k} = −1) − 2P (Z_{j} = 2, Z_{k} = −1) − 2P (Z_{j} = 2, Z_{k} = −1) és Cov (Z_{j}, Z_{k}) = EZ_{j}Z_{k}−EZ_{j}EZ_{k} mennyiségeket. Végül a keresett szórásnégyzet 5EZ_{1}^{2} + 20Cov (Z_{1}, Z_{2}). Ezt ki lehet számolni behelyettesítve a megfelelő formulákba, de ezeket az érdektelen számolásokat elhagyom.

3. Tegyük fel, hogy a következő játékot játszhatjuk: Feldobnak egy szabályos pénzdarabot egymástól függetlenül egymás után. Amennyiben fej a dobás eredménye, akkor a feltett tét dupláját kapjuk, ha írás, akkor a tét \frac{2}{3} részét elveszítjük, és csak \frac{1}{3} részét őrizhetjük meg. Mivel ez a játék előnyös, ezért feltesszük minden játékban minden pénzünket. Lássuk be, hogy amennyiben A volt a vagyonunk a játék kezdete előtt, és Z_{n} jelöli vagyonunkat az n-ik játék után, akkor

a) EZ_{n} = A (\frac{7}{6})^{n}, azaz vagyonunk várható értéke exponenciálisan nő.

b) Z_{n} nyereményünk egy valószínűséggel tart nullához.

c) Értsük meg, hogy ez a két állítás nem mond egymásnak ellent.

Megoldás: Vezessük be a következő ξ_{j} valószínűségi változókat: ξ_{j} = 2, ha a j-ik

dobás eredménye fej, ξ_{j} = \frac{1}{3}, ha a j-ik dobás eredménye írás. Ekkor ξ_{1}, ξ_{2}, …,

független valószínűségi változók, P (ξ_{j} = 2) = P (ξ_{j} = \frac{1}{3}) = \frac{1}{2}, és ezenkívül

Z_{n} = Aξ_{1}ξ_{2} ⋯ ξ_{n}. Ezért Eξ_{j} = \frac{1}{2} (2 + \frac{1}{3}) = \frac{7}{6}, és EZ_{n} = EAξ_{1}ξ_{2} ⋯ ξ_{n} =

AEξ_{1}Eξ_{2} ⋯ Eξ_{n} = A (\frac{7}{6})^{n}. Ez a feladat a) állítása.

A Z_{n} = Aξ_{1}ξ_{2} ⋯ ξ_{n} relációból következik, hogy \frac{1}{n} log Z_{n} = \frac{log A}{n} + \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} log ξ_{j}.

Továbbá, E log ξ_{j} = \frac{1}{2} (log 2 + log \frac{1}{3}) = −\frac{1}{2} log \frac{3}{2}. Ezért a nagy számok törvénye

szerint \frac{1}{n} log Z_{n} egy valószínűséggel konvergál a negatív −\frac{1}{2} log \frac{3}{2} számhoz. Vá-

lasszunk olyan c számot, melyre 0 < c < \frac{1}{2} log \frac{3}{2}. Az előzó állításból kövekezik,

hogy Z_{n}(ω) < e^{−cn} minden elég nagy n ≥ n_{0}(ω) indexre a a nagy számok törvénye alapján. Innen következik a feladat b) állítása.

Az a) rész bizonyítása azon alapult, hogy Eξ_{j} > 1, a b) részé pedig azon, hogy E log ξ_{j} < 0. Ez a két egyenlőtlenség teljesülhet egyszerre, mert a várható érték és a logaritmus egymással nem felcserélhető. Igaz az Ee^{η} ≥ e^{Eη} egyenlőtlenség (ez a konvex függvényekre vonatkozó úgynevezett Jensen egyenlőtlenség speciális esete), ahonnan ξ = log η választással Eξ ≥ e^{log Eξ}, de egyenlőség nem írható a fenti egyenlőtlenség helyett. Jegyezzük meg, hogy hasonló, de egyszerűbben érthető példát mutat a feladat a) és b) állításának egyszerre való teljesülésére a következő modell. Olyan játékot játszunk, melyben \frac{1}{2} valószínűséggel elveszítjük, \frac{1}{2} valószínűséggel pedig megháromszorozzuk a pénzünket. Az egyes játékok egymástól függetlenek, és minden időpontban minden pénzünket feltesszük. Ekkor annak a valószínűsége, hogy az n-ik játék után minden pénzünket elveszítjük, 1 − (\frac{1}{2})^{n}, ami rendkívül gyorsan tart egyhez, és pénzünk várható értéke 3^{n} (\frac{1}{2})^{n}, ami exponenciálisan gyorsan nő az n függvényében. Hasonló, csak kissé rejtettebb eset történik az általunk tárgyalt feladatban is. Tekintsük a feladatban tekintett játék nyereményét sok játék után. Azt állíthatjuk, hogy nagy n indexre az n-ik játék után nagy valószínűséggel alig marad pénzünk. Viszont kis valószínűséggel nagyon sok pénzt nyerünk, és ezért nyereményünk várható értéke nagy. Ez az oka annak, hogy nemcsak a b), hanem az a) állítás is teljesül.