\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\define\minn{\min\limits}
\define\maxx{\max\limits}
\font\script=cmcsc10
 
\medskip\noindent
\noindent{\bf A november 19.-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
\medskip\noindent
\item{1.} P\'eter \'es P\'al a k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot
j\'atszhatja. Egym\'as ut\'an 10~000 alkalommal feldobnak egy
szab\'alyos kock\'at. Ha a kocka p\'aros oldalra esik, akkor P\'eter
kap a bankt\'ol annyi forintot, amennyi a dob\'as \'ert\'eke, ha a
dob\'as \'ert\'eke h\'arommal oszthat\'o akkor P\'al kap a bankt\'ol
annyi forintot, amennyi a dob\'as \'ert\'eke. (P\'aratlan dob\'as
eset\'en P\'eter nem nem nyer semmit, \'es hasonl\'oan h\'arommal nem
oszthat\'o dob\'as eset\'en P\'al nem nyer semmit. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy P\'eter legal\'abb 19~800 \'es P\'al
legal\'abbb 15~200 forintot nyer? Hogyan tudjuk ezt
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg j\'ol kisz\'amolni a t\"obb-dimenzi\'os
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel \'es egy
sz\'am\'{\i}t\'og\'ep se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel?
\item{}{\it Megold\'as:}
Jel\"olje $Y_j$ P\'eter \'es $Z_j$ P\'al nyerem\'eny\'et a $j$-ik
l\'ep\'esben, $1\le j\le 10~000$, \'es vezess\"uk be az
$S_j=\summ_{j=1}^{10~000}Y_j$, \'es $T_j=\summ_{j=1}^{10~000}Z_j$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Akkor minket
a $P(S\ge19~800, T\ge15~200)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Ezt a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'Its\'eg\'evel akarjuk megtenni. Ahhoz, hogy ezt meg\-te\-gy\"uk,
sz\'amoljuk ki a (f\"uggetlen \'es egyforma eloszl\'as\'u) $(Y_j,Z_j)$
vektorok v\'arhat\'o \'ert\'ek vektor\'at \'es kovariancia
m\'atrix\'at. $EY_j=\frac16(2+4+6)=2$, mert P\'eter $Y_j$
nyerem\'enye $\frac16$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel lesz 2, 4 vagy 6
forint, \'es $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel 0 forint.
Hasonl\'oan
$EZ_j=\frac16(3+6)=\frac32$, $EY_j^2=\frac16(4+16+36)=\frac{28}3$,
$EZ_j^2=\frac6(9+36)=\frac{15}2$, $\Var
Y_j=EY_j^2-(EY^j)^2=\frac{16}3$. $\Var Z_j=EZ_j^2-(EZ_j)^2=\frac{21}4$.
V\'eg\"ul $EY_jZ_j=\frac16\cdot36=6$, mert $Y_jZ_j=36$, ha hatos
dob\'as t\"ort\'enik, aminek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac16$,
\'es a marad\'ek $\frac56$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi esem\'eny
bek\"ovetkez\'esekor nulla, ahonnan
$\Cov(Y_j,Z_j)=EY_jZ_j-EY_jEZ_j=6-3=3$.
\item{} A fentiek alapj\'an
$$
P(S\ge19~800, T\ge15~200)=
P\(\frac{S-ES}{\sqrt{10~000}}\ge-2, \frac{T-ET}{\sqrt{10~000}}\ge2\)
$$
\'es a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a fenti val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel k\"ozel\'{\i}thet\H{o}, hogy
$P(\eta_1\ge-2,\eta_2\ge2)$ egy olyan norm\'alis eloszl\'as\'u
$(\eta_1,\eta_2)$ v\'eletlen vektorra, melyre $E\eta_1=E\eta_2=0$,
\'es e vektor kovariancia m\'atrixa a $D=\(\matrix
\frac{16}3,3\\3,\frac{21}4\endmatrix\)$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek a
norm\'alis eloszl\'as\'u vektornak a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
Ennek \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or kisz\'am\'{\i}tjuk a $D$ m\'atrix
$D^{-1}$ inverz\'et. Azt kapjuk, hogy $\det
D=19$, $D^{-1}=\dfrac1{19}\(\matrix\frac{21}4,-3\\
-3,\frac{16}3\endmatrix\)$, ahonnan $-\frac12(x,y)D^{-1}(x,y)^*=
-\frac1{38}\(\frac{21}4x^2+\frac{16}3y^2-6xy\)$. Ez\'ert a keresett
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny $f(x,y)=\frac1{2\pi\sqrt{\det D}}
e^{-(x,y)D^{-1}(x,y)^*/2}$ alakj\'at felhaszn\'alva kapjuk, hogy
$$
\align
&P(S\ge19~800, T\ge15~200)\\
&\qquad\sim\int_{-2}^\infty\int_2^\infty
\frac1{2\pi\sqrt{19}}\exp\left\{
-\frac1{38}\(\frac{21}4x^2+\frac{16}3y^2-6xy\)\right\}\,dx\,dy.
\endalign
$$
\item{2.)} Minden $x>0$-ra
$$
\(\frac1x-\frac1{x^3}\)\varphi(x)<1-\Phi(x)<\frac1x \varphi(x),
$$
ahol $\Phi(x)$ \'es $\varphi(x)$ a standard norm\'alis eloszl\'as \'es
s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Rarci\'alis integr\'al\'assal kapjuk,
hogy $$
\align
1-\Phi(x)&=\int_x^\infty e^{-u^2/2}\,du=
=-\int_x^\infty \frac1u\frac {d e^{-u^2/2}}{du}\,du=
\frac1x e^{-x^2/2}-
\int_x^\infty\frac1{u^2} e^{-u^2/2}\,du\\
&=\frac1x e^{-x^2/2}-\frac1{x^3}e^{-x^2/2}+
\int_x^\infty\frac3{u^4} e^{-u^2/2}\,du\;,
\endalign
$$
\'es haszn\'aljuk fel, hogy $\int_x^\infty\frac1{u^2}
e^{-u^2/2}\,du\ge0$, \'es $\int_x^\infty\frac3{u^4}
e^{-u^2/2}\,du\ge0$. Innen l\'athat\'o az \'all\'{\i}t\'as.
\item{3.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\lambda>0$
param\'eterrel, $S_k=\summ_{j=1}^k\xi_j$, $1\le k\le n$.
A $\(\dfrac{S_1}{S_n},\dots, \dfrac{S_{n-1}}{S_n}\)$ vektor
f\"uggetlen az $S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-t\'ol,
\'es e vektor elemei a $[0,1]$ intervallumban f\"uggetlen, egyenletes
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok\-b\'ol
\'all\'o rendezett mint\'at alkotnak.
\medskip
Ezt a feladatot \'ugy fogjuk megoldani, hogy kisz\'amoljuk a
defini\'alt v\'e\-let\-len vektor
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et,
\'es ellen\H{o}rizz\"uk, hogy ez olyan tulajdons\'ag\'u,
mint ahogy azt \'all\'{\i}tottuk. Ahhoz, hogy ezt a programot
v\'egrehajtsuk sz\"uks\'eg\"unk van arra, hogy tudjuk bizonyos
transzform\'aci\'ok sor\'an hogyan v\'altozik egy integr\'al.
Felid\'ezem azt az eredm\'enyt, amelyikre sz\"uks\'eg\"unk
van. Ezt a sz\"uks\'egesn\'el \'altal\'anosabb form\'aban fogalmazom
meg. A most vizsg\'alt probl\'em\'aban elegend\H{o} lenne
invert\'alhat\'o lek\'epez\'eseket vizsg\'alni, ahol minden pontnak
egyetlen \H{o}sk\'epe van. A sz\"uks\'eges eredm\'eny
megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or felid\'ezem a Jacobian
foglm\'at.
\medskip\noindent
{\bf Jacobian definici\'oja.} {\it Legyen $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$,
$1\le k\le n$, az $n$-dimenzi\'os t\'er egy tartom\'any\'anak
s\'{\i}ma transzform\'altja az $n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik
tartom\'any\'aba. E transzform\'aci\'o $\Cal J(\bold T(x_1,\dots,x_n))$
Jakobi\'anja  egy $(x_1,\dots,x_n)$ pontban a
$$
\(\dfrac {\partial
T_k(x_1,\dots,x_k)}{\partial x_n}\),  \quad 1\le l,k\le n,
$$
$n\times n$-es (az $(x_1,\dots,x_n)$ pontban vett deriv\'alt) m\'atrix
determin\'ans\'anak az abszolut \'ert\'eke.
 
(A Jacobian szeml\'eletes tartalma: Ez adja meg, hogy az
$(x_1,\dots,x_n)$ pont kis k\"ornyezet\'enek a t\'erfogat\'at a
$\bold T=(T_1,\dots,T_n)$ transzform\'aci\'o h\'anyszoros\'ara
nagy\'{\i}tja ki.)}
\medskip\noindent
{\bf Integr\'altranszform\'aci\'or\'ol sz\'ol\'o k\'eplet.} {\it
Legyen adva az $n$-dimenzi\'os t\'er egy $A$ tartom\'any\'anak egy
s\'{\i}ma $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$, $1\le k\le n$,
transzform\'altja az $n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik $B$
tartom\'any\'aba. Legyen tov\'abb\'a adva a $B$ tartom\'anyon egy
$f(y_1,\dots,y_n)$ f\"uggv\'eny. Ezen $f(y_1,\dots,y_n)$
f\"uggv\'enynek a $\bold T=(T_1,\dots,T_n)$ transzform\'aci\'o \'altal
meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott \H{o}sk\'ep\'en azt az $A$ tartom\'anyon
\'ertelmezett $g(x_1,\dots,x_n)=\bold T^{-1}f(x_1,\dots,x_n)$
f\"uggv\'enyt \'ertj\"uk az $A$ tartom\'anyon, melyre
$$
g(x_1,\dots,x_n)=f(T_1(x_1,\dots,x_n),\dots,T_n(x_1,\dots,x_n))
$$
minden $(x_1,\dots,x_n)\in A$ pontban. Ekkor
$$
\align
&\int _{B} f(y_1,\dots,y_n)\,dy_1\dots\,dy_n \\
&\qquad=\int_{A}\dfrac {\bold T^{-1}f(x_1,\dots,x_n)}
{\summ \Sb \text{olyan } (z_1,\dots,z_n)\in A \text{ pontok}\\
\text{melyekre }T_k(z_1,\dots,z_n)=T_k(x_1,\dots,x_n)\\
k=1,\dots,n\endSb\dfrac1{\Cal J(\bold T(z_1,\dots,z_k))}} \bold
\,dx_1\dots\,dx_n.
\endalign
$$
}\medskip
\item{} {\it A 3. feladat megold\'asa:}\/ Sz\'amoljuk ki az
$(S_1,\dots,S_n)$ vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
$$
P(S_1<u_1,\dots,S_n<u_n)=P((\xi_1,\dots,\xi_n)\in B)=\int_B \lambda^n
e^{-\lambda(y_1+\cdots+y_n)}\,dy_1\,\dots\,dy_n,
$$
ahol $B=B(u_1,\dots,u_n)=\{(y_1,\dots,y_n)\:
y_j\ge0,y_1+y_2+\cdots+y_j<u_j,\;j=1,\dots,n\}$.
 
\item{} \'Irjuk \'at a fenti integr\'alt az $x_j=y_1+\cdots+y_j$,
$j=1,2,\dots, n$ transzform\'aci\'oval. E transzform\'aci\'o
invert\'alhat\'o. Jacobi\'anja 1, a $B$ halmazt az $\{0\le x_j<u_j,\;
j=1,\dots,n\}$ halmazba k\'epezi, ez\'ert
$$
P(S_1<u_1,\dots,S_n<u_n)=\int_{\{0\le x_1\le x_2<\cdots\le x_n,\;
x_j<u_j,\; j=1,\dots,n\}} \lambda^n
e^{-\lambda x_n}\,dx_1\,\dots\,dx_n,
$$
ahonnan az $(S_1,\dots,S_n)$ vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x_1,\dots,x_n)=\lambda^n e^{-\lambda x_n}$, ha $0\le x_1\le x_2\le
\cdots\le x_n$, \'es $f(x_1,\dots,x_n)=0$ egy\'ebk\'ent. Innen az $S_n$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
f_n(x_n)=\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty
f(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\dots \,dx_{n-1}=\dfrac{\lambda^n}{(n-1)!}x^{n-1}
e^{-\lambda x_n},
$$
ha $x_n\ge 0$.
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki az $\(\dfrac {S_1}{S_n},\dots,\dfrac
{S_{n-1}}{S_n},S_n\)$ vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et
az $(S_1,\dots, S_n)$  v\'eletlen vektor $f(x_1,\dots,x_n)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek ismeret\'eben.
$$
\align
&P\(\dfrac {S_1}{S_n}<u_1,\dots,\dfrac {S_{n-1}}{S_n}<u_{n-1},S_n<x\)\\
&\qquad =P(S_1<S_n u_1,\dots, S_{n-1}<S_nu_{n-1},S_n<x)\\
&\qquad =\int_{\{ 0\le y_j< u_j y_n,\, j=1,\dots,n-1,\, 0\le y_n<x\}}
f(y_1,\dots,y_n)\,dy_1\dots dy_n.
\endalign
$$
V\'egezz\"uk el az $x_j=y_jy_n$, $j=1,2,\dots,n-1$ \'es $x_n=y_n$
helyettes\'{\i}t\'esket. E transzform\'aci\'o Jacobi\'anja
$x_n^{n-1}$, \'es
$$
\align
&P\(\dfrac {S_1}{S_n}<u_1,\dots,\dfrac {S_{n-1}}{S_n}<u_{n-1},S_n<x\)\\
&\qquad =\int_{\{ 0\le x_j< u_j,\, j=1,\dots,n-1,\, 0\le x_n<x\}}
x_n^{n-1}f\(\frac{x_1}{x_n},\dots,\frac{x_{n_1}}{x_n},x_n\)\,dx_1\dots
dx_n.
\endalign
$$
Innen a keresett s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny $f(x_1,\dots,
x_{n-1},x_n)=\lambda^n e^{-\lambda x_n} x^{n-1}_n$, ha $0\le
x_1<x_1<\cdots< x_{n-1}\le 1$, \'es $x_n\ge 0$. Ez azt jelenti, hogy
$f(x_1,\dots, x_{n-1},x_n)=g(x_1,\dots,x_{n-1}) h(x_n)$, ahol
$g(x_1,\dots,x_{n-1})=(n-1)!$, ha $0\le x_1\le\cdots\le x_{n-1}\le1$,
$g(x_1,\dots,x_{n-1})=0$, egy\'ebk\'ent,
$h(x_n)=\dfrac{x_n^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda x_n}$, ha $x_n\ge 0$,
$h(x_n)=0$, ha $x_n<0$. Ez azt jelenti, hogy az $\(\dfrac
{S_1}{S_n},\dots,\dfrac {S_{n-1}}{S_n}\)$ vektor \'es $S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, a
tekintett vektor eloszl\'asa megegyezik $n-1$ f\"uggetlen, a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ob\'ol k\'esz\'{\i}tett rendezett minta eloszl\'as\'aval,
az $S_n$ vektor eloszl\'asa pedig $n$ f\"uggetlen $\lambda$
param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek az eloszl\'asa.
(Azt, hogy $h(x_1,\dots,x_{n-1})$ egy $n-1$ elem\H{u} egyenletes
eloszl\'as\'u minta s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye megbesz\'elt\"uk
egy kor\'abbi gyakorlaton.)
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, a $[0,1]$
intervallumon egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, \'es jel\"olje
$\xi_1^*=\maxx_{1\le j\le n}\xi_j$ a maximumukat. Hat\'arozzuk meg a
$(\xi_1,\xi_1^*)$ vektor eloszl\'as\'at. L\'assuk be, hogy ezt
term\'eszetes k\'et r\'eszre osztani annak meg\-fe\-le\-l\H{o}\-en,
hogy $\xi_1=\xi_1^*$ vagy $\xi_1\neq \xi_1^*$. Az egyik m\'ert\'ek az
\'atl\'ora van koncentr\'alva \'es ott s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$x^{n-1}$, a m\'asik r\'esznek az eg\'esz n\'egyzeten van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az $(n-1)y^{n-2}$, ha $0\le
x\le y\le 1$ \'es nulla k\"ul\"onben.
 
 
 
 
\bye
