\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\define\minn{\min\limits}
\define\maxx{\max\limits}
\font\script=cmcsc10
 
\medskip\noindent
\noindent{\bf A november 12.-i el\H{o}ad\'ashoz kapcsol\'od\'o
gyakorlat feladatai}
\medskip\noindent
 
\medskip
\item{1.} Mutassunk p\'eld\'at k\'et korrel\'alatlan $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora, melyek nem f\"uggetlenek.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sok egyszer\H{u} p\'eld\'at adhatunk.
Tekints\"uk p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'at: Legyen $\xi$
egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban, Ekkor a $\xi$ \'es $\eta=\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok korrel\'alatlanok, de nem
f\"uggetlenek. Val\'oban, $E\xi=0$, $E\eta=E\xi^2=\dfrac1{12}$,
$E\xi\eta=E\xi^3=0$, $\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta=0$.
M\'asr\'eszt $\xi$ \'es $\eta$ nem f\"uggetlenek, s\H{o}t az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o determinisztikus f\"uggv\'enye.
Egy lehets\'eges form\'alis indokl\'asa annak, hogy $\xi$ \'es $\eta$
nem f\"uggetlen a k\"ovetkez\H{o}: Legyen $0<a<1$ tetsz\H{o}leges
sz\'am. Ekkor $\{\oo\:\eta<a^2\}=\{\oo\:|\xi|<a\}$. Ez\'ert
$P(\xi<a,\eta<a^2)=P(\xi<a)$, azaz $P(\xi<a,\eta<a^2)\neq
P(\xi<a)P(\eta<a^2)$.
 
 
\medskip
\item{2.} Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o $(\Omega,\Cal B, \bold P)$
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi mez\H ot: $\Omega=[0,1]$, \
$\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebra $[0,1]$-en, \'es $\bold P$ a
Lebesgue m\'ert\'ek. Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o $\xi$
\'es $\eta$ va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat ezen
a mez\H on: $\xi(x)=\Phi^{-1}(x)$,
$$
\eta(x)=\cases
\xi(1-x)& \text{ha }0\le x<\frac12\\
\xi\(x-\frac12\)& \text{ha }\frac12\le x\le1
\endcases.
$$
L\'assuk be, hogy $\xi$ \'es $\eta$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok, de a $(\xi,\eta)$ vektor
nem norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektor.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok azonos eloszl\'as\'uak.
Tov\'abb\'a,
$$
P(\xi>x)=\lambda(\Phi(x),1])=1-\Phi(x)\;.
$$
Az, hogy  $(\xi,\eta)$ vektor nem norm\'alis eloszl\'as\'u
k\"ovetkezik p\'eld\'aul a $P(\xi+\eta=0)=\frac12$ azonoss\'agb\'ol.
Val\'aban, egy norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o nem vehet fel egy konkr\'et \'ert\'eket $\frac12$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
\medskip
\item{3.} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen a
$\[-\dfrac12,\dfrac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok.
Mutassuk meg, hogy a $\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\summ_{j=1}^n\xi_j^2$ \"osszegek nor\-ma\-li\-z\'alt\-jai\-nak
azaz az  $\sqrt{\dfrac{12}n}\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\sqrt{\dfrac{180}n}\summ_{j=1}^n\(\xi_j^2-\dfrac 1{12}\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak az egy\"ut\-tes
el\-osz\-l\'asa a k\'et-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'ashoz konverg\'al, ha $n\to\infty$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/  $E\xi=0$, $E\xi^2=\dfrac1{12}$,
$\Var\xi=\dfrac1{12}$, $\Var\xi^2=E\xi^4-(E\xi^2)^2
=\dfrac1{80}-\dfrac1{144}=\dfrac1{180}$. Tov\'abb\'a $\Cov
(\xi,\xi^2)=E\xi^3-E\xi E\xi^2=0$. Ez\'ert a
$\(\sqrt{12}\xi_j,\sqrt{180}\(\xi_j^2-\dfrac1{12}\)\)$, $j=1,2,\dots$,
v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel
\'es az identit\'as kovariancia m\'atrix-szal. Innen, \'es a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l
k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{3a.} Dobjunk le a $\[-\dfrac12,\dfrac12\]$ intervallumba
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul  egyenletes eloszl\'assal 18~000
pontot. Adjunk j\'o  k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra, hogy a ledobobott pontok \'ert\'ek\'enek
a n\'egyzet\"osszege kisebb, mint 1520, a ledobott pontok
\'ert\'ekenek az \"osszege pedig nagyobb, mint 60.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik ledobott pont
\'ert\'ek\'et, $1\le j\le 18~000$, \'es defini\'aljuk az
$S=\summ_{j=1}^{18~000}\xi_j$ \'es
$T=\summ_{j=1}^{18~000}\xi_j^2$ \"osszegeket. Ekkor, mint l\'attuk a
centr\'alis ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel szerint az
a $\sqrt{\dfrac{12}{18~000}}\summ_{j=1}^{18~000}\xi_j=
\sqrt{\dfrac{12}{18~000}}S$ \'es
$\sqrt{\dfrac{180}{18~000}}\summ_{j=1}^{18~000}
\(\xi_j^2-\dfrac 1{12}\)= \sqrt{\dfrac{180}{18~000}}T-1500$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg
f\"uggetlenek \'es standard nor\-m\'a\-lis eloszl\'as\'uak.
Ez\'ert a minket \'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$$
\align
P(S>60,T<1520)&\sim
P\(\sqrt{\dfrac{12}{18~000}}S>\frac6{\sqrt15}\)\cdot
P\(\sqrt{\dfrac{180}{18~000}}T-1500<2\)\\
&\sim\(1-\Phi\(\frac6{\sqrt{15}}\)\)\cdot\Phi(2),
\endalign
$$
ahol $\Phi(x)$ a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'enyt jel\"oli.
\medskip
\item{4.} Legyen $\xi$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda=1$ param\'eterrel, azaz
$F(x)=P(\xi<x)=1-e^{-x}$, ha $x\ge0$, $F(x)=P(\xi<x)=0$, ha $x\le0$.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi+\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $G(x)$ a $\xi+\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
Ekkor $G(x)=P(\xi+\xi^2<x)$. Mivel a $\xi$ (exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi) v\'altoz\'o csak nem
negat\'{\i}v \'ert\'ekeket vesz fel, ez\'ert $\xi+\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o is egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel nem negat\'{\i}v
\'ert\'eket vesz fel, azaz $G(x)=0$, ha $x<0$. Ha $x\ge0$, akkor a
$\xi+\xi^2<x$ egyenl\H{o}tlens\'eg akkor \'es csak akkor
teljes\"ul, ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o olyan
$y$ \'ert\'eket vesz fel, melyre $y+y^2<x$, azaz $y_1(x)<\xi<y_2(x)$,
ahol $y_2(x)=\dfrac{-1+\sqrt{1+4x}}2$, \'es
$y_1(x)=\dfrac{-1-\sqrt{1+4x}}2$, azaz $y_2(x)$ \'es $y_1(x)$ az
$y^2+y-x=0$ egyenlet nagyobb illetve kisebb gy\"oke. Mivel $y_1(x)\le
0$, $y_2(x)\ge0$ minden $x\ge0$ sz\'amra, ez\'ert
$G(x)=P\(y_1(x)<\xi<y_2(x)\)=
P\(\xi<y_2(x)\)=1-e^{-y_2(x)}=1-\exp\left\{
\dfrac{1-\sqrt{1+4x}}2\right\}$, ha $x\ge0$. Ezzel meghat\'aroztuk a
$\xi+\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $G(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. A $\xi+\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $g(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye ennek
deriv\'altja, azaz $g(x)=0$, ha $x<0$, $g(x)=
\dfrac1{\sqrt{1+4x}}\exp\left\{
\dfrac{1-\sqrt{1+4x}}2\right\}$, ha $x\ge0$.
\item{5.} Legyen adva $k$ darab urna, \'es ezekbe dobjunk be
v\'eletlen $\xi$ sz\'am\'u goly\'ot, ahol $\xi$  Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda>0$
param\'eterrel. Legyenek az egyes dob\'asok eredm\'enyei egym\'ast\'ol
\'es a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlenek.
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy  minden egyes dob\'asn\'al a goly\'o
az $j$-ik urn\'aba $p_j\ge0$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
esik, $j=1,\dots,k$, $\sum\limits_{j=1}^k p_j=1$. Jel\"olje $\eta_j$ a
$j$-ik urn\'aba es\H o goly\'ok sz\'am\'at. Ekkor az $\eta_j$,
$j=1,\dots,k$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
\'es $\eta_j$ Poisson eloszl\'as\'u $\lambda p_j$ param\'eterrel,
$j=1,\dots,k$.
\item{} {\it Megold\'as:}
$$
\align
P(\eta_1=l_1,\dots,\eta_k=l_k)
&=P(\xi=l_1+\cdots+l_k)\frac{(l_1+\cdots+l_k)!}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}\\
&=\frac{\lambda^{(l_1+\cdots+l_k)}}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}e^{-\lambda} \\
&=\frac{\lambda^{l_1}\cdots\lambda^{l_k}}{l_1!\cdots l_k!}
p_1^{l_1}\cdots p_k^{l_k}e^{-\lambda(p_1+\cdots+p_k)}
=\prod_{j=1}^k\frac{ (\lambda p_j)^{l_j}}{l_j!}e^{-\lambda p_j}
\endalign
$$
tetsz\H{o}leges $l_1\ge0$, \dots, $l_k\ge0$ eg\'esz sz\'amokra. Innen
ad\'odik az \'all\'{\i}t\'as.\medskip
\item{6.} L\'assuk be az el\H{o}z\H{o} feladat seg\'{\i}ts\'eg\'evel
a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast:
\item{} Legyen adva $\xi$ Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$ param\'eterrel.
Dobjunk le egym\'ast\'ol \'es a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen\"ul v\'eletlen\"ul egyenletesen $\xi$
darab pontot az egys\'egintervallumra, azaz tegy\"uk fel, hogy minden
pont $b-a$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik valamely $[a,b]\subset
[0,1]$ intervallumba. Ekkor a $[0,1]$ intervallum tetsz\H{o}leges
felbont\'as\'ara $[s_0,s_1]$, $[s_1,s_2]$,\dots, $[s_{k-1},s_k]$
intervallumokra, $0=s_0<s_1<\cdots<s_k=1$, az egyes intervallumokba
es\H{o} pontok sz\'ama egym\'ast\'ol f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $s_j-s_{j-1}$, $1\le j\le k$,
param\'eterrel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} urnamodellt.
Tekint\"unk $\xi$ sz\'am\'u goly\'ot, teh\'at annyit, ah\'any
ledobott pontot tekintett\"unk az el\H{o}z\H{o} feladatban. Tegy\"uk az
$l$-ik goly\'ot a $j$-ik urn\'aba, ha a $l$-ik pont az $[s_{j-1},s_j]$
intervallumba esett, $1\le j\le k$. Akkor az el\H{o}z\H{o}  feladat
eredm\'enye alapj\'an az egyes urn\'akba es\H{o} goly\'ok sz\'ama
egym\'ast\'ol f\"uggetetlen Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $s_j-s_{j-1}$, $1\le j\le k$,
param\'eterrel. Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{7.} Legyen
$$
\align
&\xi_{1,1}\dots,\xi_{1,n_1}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots   \\
&\xi_{k,1}\dots,\xi_{k,n_k}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots
\endalign
$$
sz\'eriasorozat, azaz tegy\"uk fel, hogy az egy sorban \'all\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-le\-nek.
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok teljes\'{\i}tik a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket:
\itemitem{1.)} A $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel.
\itemitem{2.)} $P(\xi_{k,j}=1)=\lambda_{k,j}$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}=\lambda>0$.
\itemitem{3.)} $\supp_{1\le j\le n_k}\lambda_{k,j}\to0$, ha
$k\to\infty$, \'es $\summ_{j=1}^{n_k}P\(\xi_{k,j}\ge2\)\to0$, ha
$k\to\infty$.
\item{} Ekkor az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
a $\lambda$ para\-m\'e\-te\-r\H{u} Poisson eloszl\'ashoz, ha
$k\to\infty$, azaz
$\limm_{k\to\infty}P(S_k=l)=\dfrac{\lambda^l}{l!}e^{-\lambda}$ minden
$l=0,1,2,\dots$ sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A feladat \'all\'{\i}t\'asa ekvivalens
azzal, hogy az $S_k$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
karakterisztikus f\"uggv\'enyei konverg\'alnak egy $\lambda$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ehez. Egy $\lambda$ param\'eter\H{u}
Pois\-son el\-osz\-l\'a\-s\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye
$$
g(t)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}e^{ikt}
=e^{-\lambda}\summ_{k=0}^\infty \frac{(\lambda e^{it})^k}{k!}
=\exp\left\{\lambda(e^{it}-1)\right\}.
$$
Vegy\"uk \'eszre, hogy r\"ogz\'{\i}tett r\"ogz\'{\i}tett $t$ sz\'amra
$Ee^{it\xi_{k,j}}=1-\lambda_{k,j}+\lambda_{k,j}e^{it}+\e(k,j)$, ahol
az $\e_(k,j)$ hibatag teljes\'{\i}ti az $|\e_(k,j)|\le \const
\summ_{j=1}^{n_k}P(\xi_{k,j}\ge2)$. Ezt a becsl\'est kapjuk, ha
az $Ee^{it\xi_{k,j}}=P(\xi_{k,j}=0)+\lambda_{k,j}e^{it}
+\summ_{j=2}^\infty e^{ijt} P(\xi_{k,j}=j)$ \"osszegben a
$\summ_{j=2}^\infty e^{ijt} P(\xi_{k,j}=j)$ kifejez\'est a
$\summ_{j=2}^\infty P(\xi_{k,j}=j)=P(\xi_{k,j}\ge2)$ kifejez\'essel
hegyettes\'{\i}tj\"uk, \'es figyelembe vessz\"uk az elk\"ovetett
hib\'at. \item{} Innen k\"ovetkezik, hogy
$\log Ee^{it\xi_{k,j}}=-\lambda_{k,j}+\lambda_{k,j}e^{it}+\delta(k,j)$,
ahol $\delta(k,j)\le\const(\e(k,j)+\lambda_{k,j}^2)$. Ez k\"ovetkezik
a $\log(1+z)=z+\alpha(z)$, $|\alpha(z)|\le z^2$,
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg\-b\H{o}l, ami \'erv\'enyes akkor, ha
$|z|\le\frac12$. Ez kiolvashat\'o $\log(1+z)$ f\"uggv\'eny
hatv\'anysor\'ab\'ol. M\'asr\'eszt azt haszn\'aljuk ki, hogy el\'eg
nagy $k$-ra a megfogalmazott felt\'etelekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$\left|Ee^{it\xi_{k,j}}-1\right|\frac12$, ha $k\ge k_0(t)$.
\item{} Innen k\"ovetkezik, hogy $\limm_{k\to\infty}
\log
\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}Ee^{it\xi_{k,j}}
=-\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}(\lambda_{k,j}+\lambda_{k,j}e^{it})
=\lambda(e^{it}-1)$, mert
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}P(\xi_{k,j}\ge2$, \'es
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}^2\to0$, mert
$$
\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}^2\le \supp_{1\le n_k}\lambda_{k,j}
\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}\le\const \supp_{1\le j\le n_k}
\lambda_{k,j}.
$$
Tov\'abb\'a felhaszn\'altuk, hogy
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\lambda_{k,j}=\lambda>0$.
\item{} A bizony\'{\i}tott \'all\'{\i}t\'asokb\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$\limm_{k\to\infty}Ee^{itS_k}=
\limm_{k\to\infty}\prodd_{j=1}^{n_k}Ee^{itx_{j,k}}=
\limm_{k\to\infty}\exp\left\{\summ_{j=1}^{n_k}\log
Ee^{itx_{j,k}}\right\} =e^{\lambda(e^{it}-1)},
$$
\'es ezt kellett bel\'atni.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha
$x\ge0$, $f(x)=0$, ha $x<0$, illetve $g(x)=e^{-\mu x}$, ha $x\ge0$,
\'es $g(x)=0$, ha $x<0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi+\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
 
 
\bye
