\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2.5pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\minn{\min\limits}
\define\maxx{\max\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\font\script=cmcsc10
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II.
el\H{o}ad\'assorozat kilencedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2002. november 12.}
\medskip
\centerline{\bf Hat\'areloszl\'ast\'etelek f\"uggetlen vektor
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra,}
\centerline{\bf \'es a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as
n\'eh\'any fontos tulajdons\'aga.}
\medskip\noindent
A kor\'abbi el\H{o}k\'esz\'{\i}t\'es ut\'an nem neh\'ez megfogalmazni
\'es bebizony\'{\i}tani a centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel
t\"obb-dimenzi\'os v\'altozat\'at. Ezt csak f\"uggetlen \'es egyforma
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorok \"osszeg\'ere tessz\"uk meg,
b\'ar nem lenne neh\'ez a Lindeberg felt\'etelt teljs\'{\i}t\H{o}
sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok\-ra megfogalmazott centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelnek a t\"obb-di\-men\-zi\-\'os
v\'al\-to\-za\-t\'at bebizony\'{\i}tani.
\medskip\noindent
{\bf A t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.}
{\it Legyenek $\xi^{(j)}=\(\xi^{(j)}_1,\dots,\xi^{(j)}_k\)$,
$j=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u $k$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyekre teljes\"ul az
$E{\xi^{(1)}_l}^2<\infty$, $1\le l\le k$ felt\'etel. Legyen a
$\xi^{(1)}=\(\xi^{(1)}_1,\dots,\xi^{(1)}_k\)$ vektor v\'arhat\'o
\'ert\'eke $E\xi^{(1)}=\(E\xi^{(1)}_1,\dots,E\xi^{(1)}_k\)$,
kovariancia m\'atrixa pedig egy $D=(d_{j,l})$,
$d_{j,l}=\Cov(\xi_j,\xi_l)$, $1\le j,l\le k$, $k\times k$ m\'eret\H{u}
m\'atrix. Defini\'aljuk az $S^{(n)}=\(S^{(n)}_1,\dots,S^{(n)}_k\)=
\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}=\(\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}_1,\dots,
\summ_{j=1}^n\xi^{(j)}_k\)$ \"osszegeket, $n=1,2,\dots$. Ekkor
minden $(x_1,\dots,x_k)$ $k$-dimenzi\'os vektorra \'erv\'enyes a
$$
\lim_{n\to\infty}P\(\frac1{\sqrt n}\(S^{(n)}_1-ES^{(n)}_1\) < x_1,
\dots,\frac1{\sqrt n}\(S^{(n)}_k-ES^{(n)}_k\) < x_k\)
=\Phi_D(x_1,\dots,x_k)
$$
azonoss\'ag, ahol $\Phi_{D}(x_1,\dots,x_k)$  a $k$-dimenzi\'os nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} $D$ kovariancia m\'at\-rix\'u norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny \'ert\'eke az $(x_1,\dots,x_k)$ pontban.}
\medskip
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} L\'attuk, hogy egy tetsz\H{o}leges v\'eletlen
vektor kovariancia m\'atrixa szimmetrikus pozit\'{\i}v szemidefinit
m\'atix, \'es minden ilyen m\'atrixra l\'etezik nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es ilyen kovariancia m\'atrix\'u
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Tov\'abb\'a egy
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor eloszl\'as\'at
meghat\'arozza annak v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es kovariancia
m\'atrixa. Ez t\"obbek k\"oz\"ott azt jelenti, hogy a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelben
szerepl\H{o} hat\'areloszl\'ast egy\'ertelm\H{u}en megadtuk.
\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Jel\"olj\"on
$(\eta_1,\dots,\eta_k)$ egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $D$
kovariancia m\'atrix\'u norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektort. Azt kell bel\'atnunk, hogy a
$$
\(\dfrac1{\sqrt n}\(S^{(n)}_1-ES^{(n)}_1\),
\dots,\dfrac1{\sqrt n}\(S^{(n)}_k-ES^{(n)}_k\)\)
$$
v\'eletlen vektorok eloszl\'asban konverg\'alnak az
$(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen
vektorhoz. Ehhez viszont, mint l\'attuk el\'eg azt megmutatni, hogy
tetsz\H{o}leges $a_1,\dots,a_k$ val\'os sz\'amokra a
$\dfrac1{\sqrt n}\summ_{j=1}^na_j\(S^{(n)}_j-ES^{(n)}_j\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
a $\summ_{j=1}^na_j\eta_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okhoz.
Viszont $\summ_{j=1}^ka_j\eta_j$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'ossz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel
\'es $a Da^*$ sz\'or\'asn\'egyzettel, ahol $a=(a_1,\dots,a_k)$. (Ez
leg\-egy\-sze\-r\H{u}b\-ben \'ugy l\'athat\'o, ha fel\'{\i}rjuk
a $\summ_{j=1}^ka_j\eta_j$ v\'eletlen vektor
$E\exp\left\{it\(\summ_{j=1}^ka_j\eta_j\)\right\}=
\exp\left\{\(-\frac{t^2}2\summ_{j=1}^n\summ_{l=1}^ka_j\eta_j\)\right\}=
e^{-aDa^*t^2/2}$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et.) M\'asr\'eszt
$$
\dfrac1{\sqrt n}\summ_{j=1}^n \(S^{(n)}_j-ES^{(n)}_j\)=\dfrac1{\sqrt
n}\summ_{j=1}^n\zeta_j,
$$
ahol $\zeta_j=\summ_{j=1}^k a_j(\zeta_j-E\zeta_j)$, $1\le j\le n$.
Vegy\"uk \'eszre tov\'abb\'a, hogy a $\zeta_j$, $1\le j\le n$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es $\Var\zeta_j=aDa^*$  sz\'or\'asn\'egyzettel, mely
sz\'am megegyezik az $\eta=\summ_{j=1}^ka_j\eta_j$ nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} \'es norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'evel. Teh\'at elegend\H{o} bel\'atni,
hogy a $\dfrac1{\sqrt n}\summ_{j=1}^n\zeta_j$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\Var\zeta_j$
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'aa\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-hoz. Viszont ezt
az \'all\'{\i}t\'ast mondja ki az egy-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel.
\medskip
Megadtuk a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et. Ezt fogalmazzuk meg a k\"ovetkez\H{o}
\'all\'{\i}t\'asban.
\medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek jellemz\'ese.} {\it
Egy $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye
a k\"ovetkez\H{o} alak\'u:
$$
Ee^{i(t,\xi)}=Ee^{i(t_1\xi_1+\cdots+t_k\xi_k)}=e^{i(m,t)-tDt^*/2},
$$
ahol $m=(m_1,\dots,m_k)$ a $\xi$ vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke,
$D=(d_{j,l})$ pedig az $\xi$ vektor kovariancia m\'atrixa, azaz
$m_j=E\xi_j$, $1\le j\le k$, $d_{j,l}=\Cov(\xi_j,\xi_l)$, $1\le j,l\le
k$. (A $t=(t_1,\dots,t_k)$ jel\"ol\'est haszn\'aljuk, $t^*$ jel\"oli
a $t$ vektor transzpon\'altj\'at, \'es ha $a=(a_1,\dots,a_k)$,
$b=(b_1,\dots,b_k)$ k\'et $k$-dimenzi\'os vektor, akkor
$(a,b)=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb)k$ jel\"oli a k\'et vektor
skal\'ar-szorzat\'at.} \medskip
Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak van n\'eh\'any fontos k\"ovetkezm\'enye,
melyeket \'erdemes k\"ul\"on kimondani. Az els\H{o} k\"ovetkezm\'enyt
l\'enyeg\'eben megfogalmaztam (\'es megindokoltam) az el\H{o}z\H{o}
el\H{o}ad\'ason.
\medskip\noindent
{\bf Els\H{o} k\"ovetkezm\'eny.} {\it Egy t\"obb-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'ast egy\'ertelm\H{u}en meghat\'aroz v\'arhat\'o
\'ert\'ek vektora \'es kovariancia m\'atrixa. Egy $k$ dimenzi\'os $m$
vektorhoz \'es $D$ $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrixhoz akkor \'es
csak akkor l\'etezik olyan $k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor, melynek ez a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
kovariancia m\'atrixa, ha a $D$ m\'atrix szimmetrikus \'es pozit\'{\i}v
szemidefinit.}
\medskip\noindent
{\bf 2. k\"ovetkezm\'eny.} {\it Legyen $(\xi,\eta)$ k\'et-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Ha a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok korrel\'alatlanok, azaz
$\Cov(\xi,\eta)=0$, akkor $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. \'Altal\'anosabban, legyen
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyre igaz, hogy valamilyen
$j$, indexre, $1\le j< k$, az els\H{o} $j$ \'es utols\'o $k-j$
koordin\'at\'ak korrel\'alatlanok, azaz $\Cov(\xi_p,\xi_q)=0$, ha
$1\le p\le j<q\le k$. Ekkor a $(\xi_1,\dots,\xi_j)$ \'es
$(\xi_{j+1},\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektorok f\"uggetlen $j$ \'es
$k-j$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ L\'attuk, hogy f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok korrel\'alatlanok, de ennek
az \'all\'{\i}t\'asnak a megford\'{\i}t\'asa \'altal\'aban nem
igaz, azaz l\'eteznek olyan korrel\'alatlan
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, melyek nem
f\"uggetlenek. Az el\H{o}bb megfogalmazott k\"ovetkezm\'eny viszont
azt a figyelemrem\'elt\'o \'es a matematikai statisztika
vizsg\'alataiban fontos \'all\'{\i}t\'ast fogalmazza meg,
mely szerint abban a speci\'alis esetben, ha egy norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor koordin\'at\'ait tekintj\"uk, akkor
a koordin\'at\'ak korrel\'alalatlans\'ag\'ab\'ol azok f\"uggetlens\'ege
is k\"ovetkezik. S\H{o}t \'erv\'enyes ennek az \'all\'{\i}t\'asnak
t\"obb-dimenzi\'os megfelel\H{o}je is, mely szerint ez az
\'all\'{\i}t\'as a norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor
t\"obb-dimenzi\'os \'ert\'ek\H{u} koordin\'at\'aira is \'erv\'enyes.
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ \'Irjuk fel a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrix\'at \'es karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et. A $k$ dimenzi\'os vektor $k\times k$ m\'eret\H{u}
$D$ kovariancia m\'atrixa $D=\(\matrix D_1,0\\
0\,,\,D_2\endmatrix\)$ alak\'u, ahol $D_1=(d_{p,q})$,
$d_{p,q}=\Cov(\xi_p,\xi_q)$, $1\le p,q\le j$, a $(\xi_1,\dots,\xi_j)$
v\'eletlen vektor $D_2=(\bar d_{p,q})$,
$\bar d_{p,q}=\Cov(\xi_p,\xi_q)$, $j+1\le p,q\le k$, a
$(\xi_{j+1},\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa, a
$D$ m\'atrix el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'aban szerepl\H{o} k\'et nulla
egy $j\times(k-j)$ m\'eret\H{u} \'es $(k-j)\times j$ m\'eret\H{u}
csupa null\'ab\'ol \'all\'o m\'atrixot jel\"ol. Tekints\"unk
egy $t=(t_1,\dots,t_k)$ $k$-dimenzi\'os v\'eletlen vektort, \'es
vezess\"uk be a $t^{(1)}=(t_1,\dots,t_j)$  \'es
$t^{(2)}=(t_{j+1},\dots,t_k)$ illetve $m=(E\xi_1,\dots,E\xi_k)$, \'es
$m^{(1)}=(E\xi_1,\dots,E\xi_j)$, $m^{(2)}=(E\xi_{j+1},\dots,E\xi_k)$
jel\"ol\'eseket is. Ekkor
$i(m,t)-tDt^*/2=i(m^{(1)},t^{(1)})-t^{(1)}D_1{t^{(1)}}^*/2
+i(m^{(2)},t^{(2)})-t^{(2)}D_1{t^{(2)}}^*/2$. Ez\'ert
$$
Ee^{it_1\xi_1+\cdots t_k\xi_k}=e^{i(m,t)-tDt^*}
=e^{i(m^{(1)},t^{(1)})-t^{(1)}D_1{t^{(1)}}^*}\cdot
e^{i(m^{(2)},t^{(2)})-t^{(2)}D_1{t^{(2)}}^*}.
$$
Ez azt jelenti, hogy amennyiben vesz\"unk k\'et f\"uggetlen a
$(\xi_1,\dots,\xi_j)$ illetve $(\xi_{j+1},\dots,\xi_k)$ v\'eletlen
vektorral megegyez\H{o} f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, akkor ezek egy\"uttes\'enek karakterisztikus
f\"uggv\'enye megegyezik a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
karaktetisztikus f\"uggv\'eny\'evel. Mivel a karakterisztikus
f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza az el\-osz\-l\'ast,
innen k\"ovetkezik a 2. k\"ovetkezm\'enyben megfogalmazott
\'all\'{\i}t\'as.
\medskip\noindent
{\bf 3. k\"ovetkezm\'eny} {\it Ha $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
$k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor $A$
tetsz\H{o}leges $k\times p$ m\'eret\H{u} m\'atrix valamely $p$
eg\'esz sz\'ammal, akkor $\eta=\xi A$ $p$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi A$ v\'eletlen
vektor karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et. Jel\"olje $D$ a $\xi$ vektor
kovariancia m\'atrix\'at, $n$ a v\'arhat\'o \'ert\'ek vektor\'at.
Tetsz\H{o}leges $t$ $p$-dimenzi\'os vektorra
$$
Ee^{i(t,\eta)}=Ee^{(it,\xi A)}=Ee^{i(t A^*,\xi)}=e^{i(t
A^*,m)-(tA^*D(tA^*)^*/2}=e^{i(t,\bar m)-(t,\bar D t)/2}
$$
$\bar m=m A$, $\bar D=A^*DA$ v\'alaszt\'assal. Ez azt jelenti, hogy
$\eta$  norm\'alis eloszl\'as\'u $\bar m$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel
\'es $\bar D$ kovariancia m\'atrix-szal.
\medskip\noindent
{\bf 4. k\"ovetkezm\'eny.} {\it A $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor akkor \'es csak akkor norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u,
ha tetsz\H{o}leges  $a_1, \dots,a_k$ sz\'amokra  a $\summ_{p=1}^k
a_p\xi_p$ line\'aris kombin\'aci\'o norm\'alis eloszl\'as\'u.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ A norm\'alis eloszl\'as karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek alakj\'ab\'ol l\'athat\'o, hogy a $\summ_{p=1}^k
a_p\xi_p$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
karakterisztikus f\"uggv\'enye,
$$
E\exp\left\{it\summ_{p=1}^k
a_p\xi_p\right\}=e^{itm(a_1,\dots,a_k)-t^2 aDa^*/2},
$$
ahol $m(a_1,\dots,a_k)=\summ_{p=1}^k a_pE\xi_p$, $a=(a_1,\dots,a_k)$
\'es $D$ a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ vektor kovariancia m\'atrixa. Ez egy
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
karakterisztikus f\"uggv\'enye.
 
Megford\'{\i}tva, ha a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
tetsz\H{o}leges linea\'aris kombin\'aci\'oja norm\'alis eloszl\'asa\'u,
akkor speci\'alisan igaz az is, hogy mindegyik $\xi_p$, $1\le p\le k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak l\'etezik $E\xi_p=m_p$
v\'arhat\'o \'ert\'eke, \'es $E\xi_p^2$ m\'asodik momentuma.
Jel\"olje $D=(d_{p,q})$, $d_{p,q}=\Cov(\xi_p,\xi_q)$, a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrix\'at,
$m=(E\xi_1,\dots,\xi_k)$ annak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. Ekkor
tetsz\H{o}leges $t_1,\dots,t_k$ val\'os sz\'amokra a $\summ_{p=1}^k
t_p\xi_p$ norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $(t,m)$ \'es
sz\'or\'asn\'egyzete $tDt^*$, ahol a $t=(t_1,\dots,t_k)$ jel\"ol\'est
haszn\'aljuk. Ez\'ert karakterisztikus f\"uggv\'enye az
$E\exp\left\{iu\summ_{p=1}^k t_p\xi_p\right\} =e^{iu(t,m)-u^2tDt^*/2}$
f\"uggv\'eny. Innen $u=1$ helyettes\'{\i}t\'essel \'es tetsz\H{o}leges
$(t_1,\dots,t_k)$ vektorra azt kapjuk, hogy a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor karakterisztikus f\"uggv\'enye egy norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor karakterisztikus f\"uggv\'enye.
\medskip\noindent
{\bf 5. k\"ovetkezm\'eny.} {\it  Ha $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ k\'et
f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, akkor a
$\xi+\eta$ v\'eletlen vektor is norm\'alis eloszl\'as\'u.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.} A t\"obb-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben is be
lehet vezetni a konvoluci\'ot, \'es annak seg\'{\i}ts\'eg\'evel
bebizony\'{\i}tani az \'all\'{\i}t\'ast de egyszer\H{u}bb a
karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel dolgozni. Ha $\xi$ kovariancia
m\'atrixa $D_1$ v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora $m_1$, $\eta$
kovariancia m\'atrixa $D_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora $m_2$,
akkor valamely $t=(t_1,\dots,t_k)$ pontban $\xi$ karakterisztikus
f\"uggv\'enye $Ee^{i(t,\xi)}=e^{i(m,t)-tD_1t^*/2}$ $\eta$
karakterisztikus f\"uggv\'enye $Ee^{i(t,\eta)}=e^{i(m_2,t)-tD_2t^*/2}$,
$\xi+\eta$ karakterisztikus f\"uggv\'enye pedig
$Ee^{i(t,\xi+\eta)}=Ee^{i(t,\xi)} \cdot Ee^{i(t,\eta)}
=e^{i(t,m_1+m_2)-t(D_1+D_2)t^*/2}$. Innen l\'athat\'o, hogy $\xi+\eta$
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor $m_1+m_2$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es $D_1+D_2$ covariancia m\'atrix-szal.
 \medskip\noindent
{\bf 6. k\"ovetkezm\'eny.} {\it  Ha $(\xi,\eta)$ k\'et-dimenzi\'os
norm\'alis v\'eletlen vektor, $\Var\eta>0$ akkor a $\xi$
v\'alasz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fel\'{\i}rhat\'o
$\xi=a\eta+\zeta$ alakban, ahol $a$ alkalmas val\'os sz\'am
$\zeta$ pedig egy $\eta$-t\'ol f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. \'Altal\'anosabban, ha
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_j)$, \'es $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ k\'et
olyan norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, melyekre a
$(\xi,\eta)=(\xi_1,\dots,\xi_j,\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen
vektor is norm\'alis eloszl\'as\'u, \'es az $\eta$ v\'eletlen vektor
kovariancia m\'atrixa invert\'alhat\'o, akkor l\'etezik olyan $A$
$j\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, melyre a $\xi-\eta A$ v\'eletlen
vektor a $\xi$ v\'eletlen vektort\'ol f\"uggetlen norm\'alis
eloszl\'as\'u vektor.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ A fenti \'all\'{\i}t\'as azt mondja ki, hogy egy
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor bizonyos komponensei
kifejezhet\H{o}ek, mint a t\"obbi komponens line\'aris
transzform\'aci\'oja plusz az ezen komponensekt\H{o}l f\"uggetlen
norm\'alis vektor. Ez a t\'eny fontos szerepet j\'atszik bizonyos
statisztikai vizsg\'alatokban. Ugyanis bevezett\'ek a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles eloszl\'as fogalm\'at az
\'altal\'anos esetben is, \'es bizonyos feladatokban sze\-ret\-n\'enk
azt kisz\'amolni. A fenti eredm\'eny teszi lehet\H{o}v\'e, hogy
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorok eset\'eben ezt a feladatot
viszonylag egyszer\H{u}en megoldhassuk. Megjegyezz\"uk, hogy az 5.
k\"ovetkezm\'enyben is fontos szerepet j\'atszik az, hogy norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorokkal dolgozunk. Ekkor ugyanis a 2.
k\"ovetkezm\'eny alapj\'an a f\"ug\-get\-len\-s\'eg bizony\'{\i}t\'ashoz
elegend\H{o} a korrel\'alatlans\'agot ellen\H{o}rizni.
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'aas.}\/ \'Irjuk fel a $\xi=a\eta+(\xi-a\eta)$
azonoss\'agot valamely $a$ val\'os sz\'ammal, \'es legyen
$\zeta=\xi-a\eta$. Ekkor $(\xi,\zeta)$ egy norm\'alis vektor
line\'aris transzform\'altja, ez\'ert a 3. k\"ovetkezm\'eny szerint
maga is norm\'alis eloszl\'as\'u. Ez\'ert a 2. k\"ovetkezm\'eny
szerint, $\eta$ \'es $\zeta$ f\"uggetlenek, ha az $a$ sz\'amot \'ugy
v\'alasztjuk, hogy $\Cov(\eta,\zeta)=0$. Ezt meg tudjuk tenni az
$a=\dfrac{\Cov(\xi,\eta)}{\Var\eta}$ v\'alaszt\'assal. Ekkor ugyanis
$\Cov(\zeta,\eta)=\Cov(\xi,\eta)-a\Var\xi=0$.
 
Az \'altal\'anos esetben is elegend\H{o} bel\'atni, hogy l\'etezik
olyan $A$ $j\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, melyre a $\xi-\eta A$
vektor az $\eta$ vektor minden koordin\'at\'aja  \'es a $\xi-\eta A$
v\'eletlen vektor minden koordin\'at\'aja korrel\'alatlan. S\H{o}t,
reduk\'alhatjuk a feladatot arra az egyszer\H{u}bb speci\'alis esetre
is, amikor az $\eta$ vektor  kovariancia f\"uggv\'enye az identit\'as
m\'atrix. Va\-l\'o\-ban, ha az $\eta$ kovariancia m\'atrixa $D$, akkor
az $\bar\eta= \eta D^{-1/2}$ kovariancia m\'atrixa,
$D^{-1/2}DD^{-1/2}=I$, \'es ha $\bar\eta$ koordin\'at\'ai valamint a
$\xi-\bar\eta A$ koordrin\'at\'ai korrel\'alatlanok, akkor ugyanez
igaz a $\xi-\eta D^{-1/2}A$ \'es $\eta=D^{1/2}\bar\eta$
koordrin\'at\'ara is. Ez\'ert feltehetj\"uk, hogy $\eta$
kovariancia m\'atrixa az identit\'as.
 
Legyen ezut\'an $\zeta_l=\xi_l-\summ_{p=1}^k\Cov(\xi_l,\eta_p)\eta_p$,
$1\le l\le k$. Ekkor $\Cov(\zeta_l,\eta_m)
=E(\xi_l,\eta_m)-\Cov(\xi_l,\eta_m)\Var\eta_m^2=0$
minden $1\le l,m\le k$ sz\'amra, ahonnan k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant
\'all\'{\i}t\'as. \medskip
\noindent
Befejez\'es\"ul kisz\'am\'{\i}tjuk a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
 
\vfill \eject
 
%\medskip
\noindent
{\bf T\'etel a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'enyek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek az alakj\'ar\'ol.} {\it Legyen
adva egy $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$
$k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, melynek
$m=(m_1,\dots,m_k)=(E\eta_1,\dots,E\eta_k)$
a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es $D=(d_{j,l})$,
$d_{j,l}=\Cov(\eta_j,\eta_l)$, $1\le j,l\le k$, a kovariancia
m\'atrixa. Az $\eta$ $k$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak akkor \'es csak akkor van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha a $D$ kovariancia m\'atrix
invert\'alhat\'o. Ha a $D$ kovariancia m\'atrix invert\'alhat\'o,
akkor az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az a k\"ovetkez\H{o} alak\'u:
$$
f(x)=f(x_1,\dots,x_k)=\frac1{(2\pi)^{k/2}\det D^{1/2}}\exp
\left\{ -(x-m)D^{-1}(x-m)^*/2\right\},
$$
ahol $x=(x_1,\dots,x_k)\in R^k$ $k$-dimenzi\'os vektor.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$
v\'eletlen vektor eloszl\'asa megegyezik egy olyan
$\bar\eta=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)
=(\xi_1,\dots,\xi_k)A+(m_1,\dots,m_k)$ v\'eletlen vektornak az
eloszl\'as\'aval, amelyikre $\xi_j$, $1\le j\le k$, f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, \'es $D=A^*A$. Jegyezz\"uk meg, hogy a line\'aris
algebra standard eredm\'enyei szerint az $A$ \'es $A^*$
m\'atrixok egyszerre invert\'alhat\'oak vagy nem invert\'alhat\'oak,
\'es a $D=A^*A$ m\'atrix akkor \'es csak akkor invert\'alhat\'o, ha
az $A$ m\'atrix invert\'alhat\'o. Ez\'ert, ha a $D$ m\'atrix nem
invert\'alhat\'o, akkor az $\eta$ vektornak nincs
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha pedig a $D$ m\'atrix
invert\'alhat\'o, akkor a k\"ovetkez\H{o} m\'odon sz\'amolhatunk:
 
Alkalmazva az $x=yA+m$ transzform\'aci\'ot $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$,
$x=(x_1,\dots,x_k)$, $y=(y_1,\dots,y_k)$ \'es
$\varphi(y)=\varphi(y_1,\dots,y_k)=\dfrac1{(2\pi)^{k/2}}
e^{-(y_1^2+\cdots+y_k^2)/2}$ jel\"ol\'essel  kapjuk, hogy
tetsz\H{o}leges m\'erhet\H{o} $B\subset R^k$ halmazra
$$
\align
P(\bar\eta\in B)&=P(\eta\in B)=P\(\xi\in
(B-m)A^{-1}\)=\int_{(y_1,\dots,y_k)\in (B-m)A^{-1}} \varphi(y)\,dy \\
&=\dfrac1{|\det A|}\int_{(x_1,\dots,x_k)\in B}
\varphi\((x-M)A^{-1}\)\,dx \endalign
$$
alak\'u, ahol $|\det A|$ az $x=yA+M$ lek\'epez\'es Jacobian-ja.
 
E formul\'ab\'ol kiolvashat\'o, hogy a vizsg\'alt norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $\dfrac1{|\det A|}
\varphi\((x-m)A^{-1}\)$ f\"uggv\'eny. Annak \'erdek\'eben, hogy
be\-bi\-zo\-ny\'{\i}t\-suk a t\'etelt vegy\"uk \'eszre, hogy mivel
$D=A^*A$, ez\'ert $\det D=\det A^*\det A=(\det A)^2$, ez\'ert $|\det A|
=\det D^{1/2}$, \'es
$$
\align
\varphi\((x-m)A^{-1}\) &=\dfrac1{(2\pi)^{k/2}}\exp
\left\{-\dfrac{((x-m)A^{-1},(x-m)A^{-1})}2\right\}\\
&=\dfrac1{(2\pi)^{k/2}}\exp
\left\{-\dfrac{(x-m)A^{-1}\(A^{-1}\)^*(x-m)^*}2\right\}\\
&=\dfrac1{(2\pi)^{k/2}}
\exp\left\{-\dfrac{{(x-m)(A^*A)^{-1}}(x-m)^*}2\right\} \\
&=\dfrac1{(2\pi)^{k/2}}
\exp\left\{-\dfrac{(x-m)D^{-1}(x-m)^*}2\right\},
\endalign
$$
mert $A^{-1}\(A^{-1}\)^*=A^{-1}\(A^*\)^{-1}=\(A^* A\)^{-1}$. Innen
k\"ovetkezik a T\'etel \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip \noindent
{\it 1.~megjegyz\'es:}\/ L\'attuk, hogy egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor kovarianciam\'atrixa akkor \'es csak akkor
szemidefinit (\'es nem szigor\'uan pozit\'{\i}v definit), ami
ekvivalens azzal, hogy $\det D=0$, ha a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor valamilyen $\summ_{j=1}^ka_j\xi_j=\const$
hipers\'{\i}kon van egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Az
ny\'{\i}lv\'anval\'o, hogy amennyiben a norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny ilyen, akkor nincs
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. A fenti t\'etel viszont azt (is)
\'all\'{\i}tja, hogy amennyi\-ben $\det D\neq0$, akkor a norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektornak l\'etezik
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.
\medskip \noindent
{\it 2.~megjegyz\'es:}\/ Egy t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
ka\-rak\-te\-risz\-tikus f\"uggv\'eny\'et megad\'o k\'epletben a
kovariancia m\'atrix szerepel, m\'{\i}g a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny\'et megad\'o k\'epletben a
kovariancia m\'atrix inverze. Mivel a ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"ugg\-v\'eny kisz\'am\'{\i}t\'as\'aban nem kellett invert\'alni
a kovariancia m\'atrixot, ez\'ert a karakterisztikus f\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel k\"onnyebb vizsg\'alni a norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyek tulajdons\'agait.
 
 
 \bye
 
 
