<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2.5pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\minn{\min\limits}
\define\maxx{\max\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\font\script=cmcsc10
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II.
el\H{o}ad\'assorozat nyolcadik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2002. november 5.}
\medskip
\centerline{\bf Hat\'areloszl\'ast\'etelek f\"uggetlen vektor
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra.}
\medskip\noindent
A t\"obb-dimenzi\'os hat\'areloszl\'asok vizsg\'alat\'aban
el\H{o}sz\"or defini\'alnunk kell a t\"obb-di\-men\-zi\-\'os
eloszl\'asok konvergenci\'aj\'at. Ezut\'an meg kell fogalmazni \'es
be kell bi\-zo\-ny\'{\i}\-ta\-ni az el\-osz\-l\'a\-sok
konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o egy-dimenzi\'os eredm\'enyek
t\"obb-dimenzi\'os v\'altozat\'at. Is\-mer\-tet\-ni fogom a
sz\"uks\'eges definici\'okat \'es a megfelel\H{o}
eredm\'enyeket, de a bizony\'{\i}t\'asokat elhagyom. Ezek az
egy-dimenzi\'os eredm\'enyek megfelel\H{o} m\'odos\'{\i}t\'as\'aval
megkaphat\'oak, csak a jel\"ol\'esrendszer lesz komplik\'altabb.
 
\medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban
val\'o konvergenci\'aj\'anak a de\-fi\-ni\-ci\'o\-ja.} {\it
Legyen $F_n(x_1,\dots,x_k)$, $n=1,2,\dots$, $k$-dimenzi\'os
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek sorozata. Azt mondjuk, hogy az
$F_n(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban
konverg\'alnak egy $k$-dimenzi\'os $F(x_1,\dots,x_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha
$\limm_{n\to\infty}F_n(x_1,\dots,x_k)=F(x_1,\dots,x_k)$
az $F(\cdot)$ (hat\'ar)\-elosz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny
minden $(x_1,\dots,x_k)$ folytonoss\'agi pontj\'aban.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel az eloszl\'asban val\'o konvergencia
jellemz\'es\'er\H{o}l folytonos f\"uggv\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel.}
{\it $F_n(u_1,\dots,u_k)$, $n=1,2,\dots$ $k$-dimenzi\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozata akkor \'es csak akkor konverg\'al
eloszl\'asban egy $F(u_1,\dots,u_k)$ $k$-dimenzi\'os
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez, ha minden a $k$-dimenzi\'os
t\'eren \'ertelmezett folytonos, korl\'atos $g(u_1,\dots,u_k)$
f\"uggv\'enyre teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}\int g(u_1,\dots,u_k)\,F_n(\,du_1,\dots,\,du_k)
=\int g(u_1,\dots,u_k)\,F(\,du_1,\dots,\,du_k)
$$
azonoss\'ag.}\medskip
 
Az egy-dimenzi\'os hat\'areloszl\'ast\'etel vizsg\'alat\'aban fontos
szerepet j\'atszott a fenti t\'etel, illetve a Fourier anal\'{\i}zis
m\'odszer\'enek alkalmaz\'as\'aval a feladatot jobban tudtuk
vizsg\'alni. Ennek \'erdek\'eben bevezett\"uk a karakterisztikus
f\"uggv\'eny fogalm\'at. A t\"obb-di\-men\-zi\-\'os esetben is
c\'elszer\H{u} ezt a m\'odszert haszn\'alni, ez\'ert defini\'aljuk a
t\"obb-di\-men\-zi\-\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et is.
\medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a de\-fi\-ni\-ci\'oja.}
{\it Legyen $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamely $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, \'es jel\"olje
$F(u_1,\dots,u_k)=P(\xi_1&lt;u_1,\dots,\xi_k&lt;u_k)$,
$-\infty&lt;u_j&lt;\infty$, $1\le j\le k$, a $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. A
 $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak a karakterisztikus
f\"uggv\'enye a
$$
\align
\varphi(t_1,\dots,t_k)&amp;=Ee^{i(t_1\xi_1+\cdots+t_k\xi_k)}
=\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty
e^{i(t_1u_1+\cdots+t_ku_k)}F(\,du_1,\dots,du_k),\\
&amp;\qquad -\infty&lt;t_j&lt;\infty, \quad 1\le j\le k,
\endalign
$$
f\"uggv\'eny. Adva egy $F(u_1,\dots,u_k)$ $k$-dimenzi\'os
eloszl\'asf\"uggv\'eny az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et is defini\'alni fogjuk mint egy $F$ eloszl\'as\'u
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. (Mivel a karakterisztikus f\"uggv\'enyt a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki
lehet sz\'amolni, ez\'ert jogunk van egy eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'er\H{o}l besz\'elni.)}
\medskip
Egy elosz\'asf\"uggv\'enyt a t\"obb-dimenzi\'os esetben is
meghat\'arozza annak ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enye. Ezt
mondja ki a k\"ovetkez\H{o} t\'etel.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $F(x_1,\dots,x_k)$ \'es $G(x_1,\dots,x_k)$
k\'et eloszl\'asf\"uggv\'ey, melyek ka\-rak\-te\-risz\-tikus
f\"uggv\'enyei minden pontban megegyeznek. Ekkor
$F(x_1,\dots,x_k)=G(x_1,\dots,x_k)$
minden $k$-di\-men\-zi\'os $(x_1,\dots,x_k)$ vektorra.}
\medskip
\medskip Az egydimenzi\'os esethez hasonl\'oan  a fenti t\'etel
bebizony\'{\i}that\'o Weierstrass m\'asodik app\-roxi\-m\'a\-ci\'os
t\'etel\'enek (pontosabban annak t\"obb-dimenzi\'os
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'anak) a se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel.
A teljess\'eg kedv\'e\'ert megfogalmazzuk Weierstrass m\'asodik
approxim\'aci\'os t\'etel\'enek sz\'amunkra hasznos t\"obb-dimenzi\'os
v\'altozat\'at.
\medskip \noindent
{\bf Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etel\'enek
t\"obb-dimenzi\'os v\'altozata.} {\it
Ha $f(t_1,\dots,t_k)$ foly\-to\-nos f\"uggv\'eny a
$k$-dimenzi\'os euklideszi t\'erben, mely minden
koor\-di\-n\'a\-t\'a\-j\'a\-ban $2\pi$ szerint periodikus, azaz
$f(t_1+2j_1\pi,\dots,t_k+2j_k\pi)=f(t_1,\dots,t_k)$ minden eg\'esz
$j_1,\dots j_k$ sz\'amra, \'es $\e&gt;0$ val\'os sz\'am,
akkor l\'etezik olyan $k$ v\'altoz\'os
$$
P_n(t_1,\dots,t_k)=\sum_{(j_1,\dots,j_k)\: |j_1|+\cdots+|j_k|\le n}
a_{j_1,\dots,j_k}e^{i(j_1t_1+\cdots+j_kt_k)},
$$
trigonometrikus polinom, ahol $j_1,\dots,j_k$ eg\'esz sz\'amok, melyre
$$
|f(t_1,\dots,t_k)-P_n(t_1,\dots,t_k)|&lt;\e \quad \text {minden val\'os }
t_1,\dots,t_k\text{ sz\'amra.}
$$
}\medskip
A t\"obb-dimenzi\'os karakterisztikus f\"ugg\'enyekre is \'erv\'enyes
a karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyek folytonoss\'ag\'at kifejez\H{o}
al\'abbi eredm\'eny: \medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Egy $F(x_1,\dots,x_k)$ $k$-v\'altoz\'os
eloszl\'asf\"uggv\'eny
$$
\varphi(t_1,\dots,t_k)=\int e^{t_1x_1+\cdots+t_kx_k}
F(\,dx_1,\dots,\,dx_k)
$$
karakterisztikus f\"uggv\'enye folytonos minden $(t_1,\dots,t_k)$
pontban.} \medskip\noindent
A fenti lemma bizony\'{\i}t\'asa hasonl\'o az egy-dimenzi\'os esethez.
 
Megfogalmazzuk az eloszl\'asf\"uggv\'enyek \'es azok
karakterisztikus f\"uggv\'enyei konvergenci\'aja k\"oz\"otti
kapcsolatot le\'{\i}r\'o Alapt\'etelnek nevezett \'all\'{\i}t\'as
t\"obb-dimenzi\'os v\'al\-to\-za\-t\'at.
\medskip\noindent
{\bf Az eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel
t\"obb-dimenzi\'os v\'altozata.} {\it Legyen $F_n(u_1,\dots,u_k)$,
$-\infty&lt;u_j&lt;\infty$, $1\le j\le k$, $k$-dimenzi\'os
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy sorozata
$\varphi_n(t_1,\dots,t_k)=\int e^{i(t_1u_1+\cdots+t_ku_k)}
F_n(\,du_1,\dots,\,du_k)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel,
$n=1,2,\dots$. Ha a $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)=
\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$ hat\'ar\'ert\'ek
l\'etezik minden $-\infty&lt;t_j&lt;\infty$, $1\le j\le k$, sz\'amra,
\'es a $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ limeszf\"uggv\'eny folytonos
az orig\'oban, akkor l\'etezik olyan $F_0(u_1,\dots,u_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny a $k$-dimenzi\'os t\'erben, melynek a
$\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ f\"uggv\'eny a karakterisztikus
f\"uggv\'enye. Tov\'abb\'a e felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en
az $F_n(u_1,\dots,u_k)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
eloszl\'asban konverg\'alnak ehhez az $F_0(u_1,\dots,u_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
 
Megford\'{\i}tva, ha $F_n(u_1,\dots,u_k)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy olyan so\-ro\-za\-ta, mely egy
$F_0(u_1,\dots, u_k)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez
kon\-ver\-g\'al eloszl\'asban, $\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$,
$n=1,2,\dots$, jel\"oli az $F_n(u_1,\dots,u_k)$,
$\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ pedig az $F_0(u_1,\dots,u_k)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'eny\'et, akkor $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)
=\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$ minden
$-\infty&lt;t_j&lt;\infty$, $1\le j\le k$, sz\'amra. Tov\'abb\'a, ez a
konvergencia egyenletes minden korl\'atos halmazon.}
\medskip
\'Erdemes kimondani a fenti Alapt\'etel al\'abbi k\"ovetkezm\'eny\'et.
\medskip\noindent
{\bf Az Alapt\'etel k\"ovetkezm\'enye.} {\it Az $F_n(x_1,\dots,x_k)$,
$n=1,2,\dots$, $k$-dimenzi\'os el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
sorozata akkor \'es csak akkor konverg\'al eloszl\'asban egy
$F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'ashoz, ha az $F_n$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
$$
\varphi_n(t_1,\dots,t_k)=\int
e^{i(t_1x_1+\cdots+t_kx_k)}F_n(\,dx_1,\dots,\,dx_k)
$$
karakterisztikus f\"uggv\'enyei konverg\'alnak az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'eny
$$
\varphi(t_1,\dots,t_k)=\int
e^{i(t_1x_1+\cdots+t_kx_k)}F(\,dx_1,\dots,\,dx_k)
$$
karakterisztikus f\"uggv\'enyhez minden $(t_1,\dots,t_k)$ pontban.}
\medskip\noindent
A fenti Alapt\'etel egy-dimenzi\'os v\'altozat\'anak
bizony\'{\i}t\'as\'aban fontos szerepet j\'at\-szott eloszl\'asok
relat\'{\i}v kompakts\'ag\'anak a fogalma, \'es egy olyan
eredm\'enyre, mely ennek megadta ennek sz\"uks\'eges \'es
el\'egs\'eges felt\'etel\'et. Ismertetem az itt megfogalmazott
fogalmak \'es eredm\'enyek t\"obb-dimenzi\'os v\'altozat\'at.
\medskip \noindent
{\bf Eloszl\'asok relat\'{\i}v kompakts\'ag\'anak \'es
feszess\'eg\'enek definici\'oja.} {\it Legyen adva
$F_n(t_1,\dots,t_k)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek sorozata a $k$-dimenzi\'os euklideszi
t\'erben, \'es jel\"olje $\mu_n$ az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
\'altal meghat\'arozott val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket az
$R^k$ t\'erben. Azt mondjuk, hogy az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
illetve $\mu_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek sorozata
relat\'{\i}v kompakt, ha az $F_n$ ( vagy $\mu_n$) sorozat
tetsz\H{o}leges $F_{n_k}$ (illetve $\mu_{n_k}$) r\'eszsorozat\'anak
$k=1,2,\dots$, l\'etezik $F_{n_{k_j}}$ (illetve $\mu_{n_{k_j}}$),
$j=1,2,\dots$, eloszl\'asban konvergens r\'eszsorozata.
 
Azt mondjuk, hogy az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek ( illetve az
\'altaluk meghat\'arozott $\mu_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek) sorozata feszes, ha tetsz\H{o}leges $\e&gt;0$ sz\'amra
l\'etezik olyan $K=K(\e)$ sz\'am, hogy a $\bold K(K)^k=\underbrace
{[-K,K]\times\cdots\times [-K,K]}_{k\text{\rm{-szoros szorzat}}}$
$k$-dimenzi\'os kock\'ara
$$
\mu_n(\bold K(K)^k)\ge1-\e \quad \text{\rm minden }
n=1,2,\dots\text{ indexre.}
$$
}\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\mu_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek sorozata az az $R^k$
$k$-dimenzi\'os euklideszi t\'eren. Ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekekb\H{o}l \'all\'o sorozat akkor \'es csak akkor relat\'{\i}v
kompakt, ha feszes. Speci\'alisan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek el\-osz\-l\'as\-ban konvergens sorozata feszes.}
\medskip
Az Alapt\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak egy-dimenzi\'os
v\'altozat\'anak bizony\'{\i}t\'as\'anak egyik fon\-tos l\'ep\'ese
volt annak az \"ot\"odik el\H{o}ad\'as 2. Lemm\'aj\'aban
megfogalmazott eredm\'enynek bizony\'{\i}t\'asa, mely szerint
amennyiben el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy sorozata a nulla
egy kis k\"ornyezet\'eben konverg\'al egy a null\'aban folytonos
f\"uggv\'enyhez, akkor az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek feszesek,
ez\'ert relat\'{\i}v kompaktak. Ez az \'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes
t\"obb-dimenzi\'os el\-osz\-l\'a\-sok\-ra is. Ennek bizony\'{\i}t\'asa
nem is ig\'enyel nagy er\H{o}fesz\'{\i}t\'est. \"Osszehasonl\'{\i}tva
az egy-dimenzi\'os \'es t\"obb-dimenzi\'os m\'ert\'ekek feszess\'eg\'et,
a t\"obb-dimenzi\'os eset visszavezethet\H{o} az egy-dimenzi\'osra.
Azt kell meg\'erteni, hogy t\"obb-dimenzi\'os eloszl\'asok sorozata
akkor \'es csak akkor feszes, ha az \"osszes koordin\'at\'ara vett
egy-dimenzi\'os vet\"ulet\"uk feszes.
 
A fenti eredm\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel az egy-dimenzi\'os eset
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz hasonl\'oan be lehet bizony\'{\i}tani az
Alapt\'etel t\"obb-dimenzi\'os v\'altozat\'at is. Ez azt jelenti,
hogy t\"obb-dimenzi\'os hat\'areloszl\'ast\'etelek p\'eld\'aul a
k\'es\H{o}bb megfogalmazand\'o t\"obb-di\-men\-zi\'os cent\-r\'a\-lis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel bizony\'{\i}t\'as\'at az
egy-dimenzi\'os esethez hasonl\'oan vissza lehet vezetni az
eloszl\'asok karakterisztikus f\"uggv\'enyek vizsg\'alat\'ara.
S\H{o}t, az Alapt\'etel azt is lehet\H{o}v\'e teszi,
hogy a t\"obb-dimenzi\'os hat\'areloszl\'ast\'etelek
bizony\'{\i}t\'as\'at visszavezess\"uk az egy-dimenzi\'os esetre.
Ez a tartalma a k\"ovetkez\H{o} t\'etelnek.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\bold Z_n=(Z_{1,n},\dots,Z_{m,n})$,
$n=1,2,\dots$,
$m$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorok sorozata. A
$\bold Z_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorok akkor \'es csak akkor
konverg\'alnak eloszl\'asban egy $m$-dimenzi\'os
$\bold Z=(Z_1,\dots,Z_m)$ v\'eletlen vektor eloszl\'as\'ahoz
$n\to\infty$ eset\'en, ha tetsz\H{o}leges val\'os $a_1,\dots,
a_m$ sz\'amokra a $Z_n=Z_n(a_1,\dots,a_m)=\summ_{j=1}^m a_jZ_{j,n}$,
$n=1,2,\dots$, egydimenzi\'os va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak $n\to\infty$ eset\'en a
$Z=Z(a_1,\dots,a_m)=\summ_{j=1}^m a_jZ_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as\'ahoz.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
Az Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o
Alapt\'etel alapj\'an l\'athatjuk, hogy a $\bold
Z_n=(Z_{1,n},\dots,Z_{m,n})$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorok akkor \'es csak akkor
kon\-ver\-g\'al\-nak eloszl\'asban a $\bold Z=(Z_1,\dots,Z_m)$
v\'eletlen vektor eloszl\'as\'ahoz, ha ezek $\varphi_n(t_1,\dots,t_m)
=Ee^{it_1Z_{1,n}+\cdots+t_mZ_{m,n}}$ karakterisztikus f\"uggv\'enyei
kon\-ver\-g\'al\-nak a $Z$ v\'eletlen vektor
$\varphi(t_1,\dots,t_m)=Ee^{it_1Z_1+\cdots+t_mZ_m}$ karakterisztikus
f\"uggv\'enyhez $n\to\infty$ eset\'en. Ha tudjuk, hogy az
egy-dimenzi\'os line\'aris kombin\'aci\'ok konverg\'alnak, akkor
$a_1=t_1$,\dots, $a_m=t_m$ v\'alaszt\'assal, \'es felhaszn\'alva,
hogy az 1-dimenzi\'os eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ab\'ol k\"ovetkezik
az is, hogy hogy a line\'aris kombin\'aci\'ok karakterisztikus
f\"uggv\'enyei konverg\'alnak a $t=1$ pontban, kapjuk, hogy
$$
\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t_1,\dots,t_m)=\varphi(t_1,\dots,t_m).
$$
Ez minden $(t_1,\dots,t_n)$ pontban  elmondhat\'o, ez\'ert a $\bold
Z_n$ vektorok eloszl\'asban kon\-ver\-g\'al\-nak a $\bold Z$ vektorhoz.
 
Megford\'{\i}tva, ha a $\bold Z_n$ vektorok eloszl\'asban
konverg\'alnak a $\bold Z$ vektorhoz, akkor \'atfogalmazva ezt a
t\'enyt a karakterisztikus f\"uggv\'enyek nyelv\'ere, azt kapjuk,
tetsz\H{o}leges $(a_1,\dots,a_m)$ vektorra \'es minden $t$ val\'os
sz\'amra $(t_1,\dots,t_m)=(a_1t,\dots,a_mt)$ v\'a\-lasz\-t\'as\-sal,
hogy a $\varphi_n(a_1t,\dots,a_mt)=Ee^{it(a_1Z_{1,n}+\cdots+a_mZ_{m,n}}$
karakterisztikus f\"uggv\'enyek kon\-ver\-g\'al\-nak a
$\varphi(a_1t,\dots,a_mt)=Ee^{it(a_1Z_1+\cdots+a_mZ_m}$
karakterisztikus f\"uggv\'enyhez, ha $n\to\infty$. Ez\'ert a
$\summ_{j=1}^m a_jZ_{j,n}$, $n=1,2,\dots$, egydimenzi\'os
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok eloszl\'asban
konverg\'alnak a $\summ_{j=1}^m a_jZ_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as\'ahoz.
\medskip
B\'ar a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast implicit m\'odon tartalmazza
az el\H{o}z\H{o} t\'etel, m\'egis \'erdemes k\"ul\"on kimondani.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\bold Z=(Z_1,\dots,Z_m)$, $n=1,2,\dots$,
$m$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor. Te\-kint\-s\"uk
tetsz\H{o}leges val\'os $a_1,\dots,a_m$ sz\'amokra az
$Z=Z(a_1,\dots,a_m)=\summ_{j=1}^m a_jZ_j$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ot. A $\bold Z$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor eloszl\'as\'at meghat\'arozza az
\"osszes $Z=Z(a_1,\dots,a_m)$ egy\-di\-men\-zi\'os
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o eloszl\'asa.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ A $\bold Z=(Z_1,\dots,Z_m)$ v\'eletlen
vektor eloszl\'as\'at meghat\'arozza annak karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-nye. Viszont e v\'eletlen vektor
$E^{i(t_1Z_1+\cdots+t_mZ_m)}$ karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nye
megegyezik a $Z(t_1,\dots,t_m)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'evel az 1 pontban. Te\-h\'at a
$\bold Z$ v\'eletlen vektor karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et
meghat\'arozz\'ak a t\'etelben tekintett egydimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok el\-osz\-l\'a\-sai.
\medskip
Ezen eredm\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel nem neh\'ez
bebizony\'{\i}tani a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt. Ehhez el\H{o}bb term\'eszetesen
defini\'alni kell a hat\'areloszl\'asban megjelen\H{o}
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'ast. B\'ar ezut\'an
r\"ogt\"on r\'at\'erhetn\'enk a t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ara,
m\'egis c\'elszer\H{u}nek l\'atszik el\H{o}tte a t\"obb-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as n\'eh\'any tulajdons\'ag\'at megfogalmazni,
melyek \'erthet\H{o}bb\'e teszik a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel \'al\'{\i}t\'as\'at. A
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as tulajdons\'againak
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-hoz nagyon hasznos a t\"obb-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a
kisz\'am\'{\i}t\'asa. A t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et kifejez\H{o}
formul\'at, melynek bi\-zon\-y\'{\i}\-t\'a\-sa nem lesz neh\'ez
k\"ul\"on t\'etelben fogjuk megfogalmazni.
 
\medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asok definici\'oja.}
{\it Defini\'aljuk el\H{o}sz\"or a t\"obb-di\-men\-zi\'os standard
norm\'alis eloszl\'ast. Azt mondjuk, hogy egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor eloszl\'asa a $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'as, ha a $\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-le\-nek, \'es mindegyik $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $1\le j\le k$, standard
norm\'alis eloszl\'as\'u. Ekvivalens megfogalmaz\'asban azt
mondhatjuk, hogy egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'asa a $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as, ha
e v\'eletlen vektornak l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye,
\'es az az $f(u_1,\dots,u_k)=\dfrac1{(2\pi)^{k/2}}\exp
\left\{-\dfrac12\summ_{j=1}^k u_j^2\right\}$ f\"uggv\'eny.
 
Egy $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$ dimenzi\'os v\'eletlen vektor $k$
dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u vektor nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel, ha e v\'eletlen vektor eloszl\'asa megegyezik valamely
$(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)=(\xi_1,\dots,\xi_k)A$
$k$-dimenzi\'os vektor eloszl\'as\'aval, ahol $A$ egy $k\times k$
m\'eret\H{u} m\'atrix, tov\'abb\'a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ egy
$k$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor.
 
Egy $(\zeta_1,\dots,\zeta_k)$ v\'eletlen vektor  $k$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u vektor, ha eloszl\'asa megegyezik egy
$(\eta_1,\dots,\eta_k)+(m_1,\dots,m_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'aval, ahol $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ egy $k$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, melynek a v\'arhat\'o
\'ert\'eke nulla, \'es $(m_1,\dots,m_k)$ $k$-dimenzi\'os
determinisztikus vektor.}
\medskip
 
Tekints\"unk egy $\xi A+m$ t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'eletlen vektort, ahol $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ egy
$k$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor $A$ egy
$k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix \'es $m=(m_1,\dots,m_k)$ $k$-dimenzi\'os vektor.
Ennek a v\'eletlen vektornak a v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$, kovariancia-m\'atrixa
pedig $D=A^*A$. Ez ut\'obbi formula k\"ovetkezik a 7. el\H{o}ad\'ason
megfogalmazott \'es bebizony\'{\i}tott
t\'etelb\H{o}l a kovariancia m\'atrixok  jellemz\'es\'er\H{o}l.
Most kisz\'am\'{\i}tjuk a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis elosz\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-r\H{o}l.}\/ {\it Legyen
$\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)=(\xi_1,\dots,\xi_k)A+(m_1,\dots,m_k)$
egy $k$-dimenzi\'os nor\-m\'a\-lis el\-osz\-l\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ahol $m=(m_1,\dots,m_k)$
$k$-dimenzi\'os (determinisztikus) vektor, $A=(a_{j,l})$,
$1\le j,l\le k$, $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, tov\'abb\'a
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Ekkor az $(\eta_1,\dots,\eta_k)$
v\'eletlen vektor karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$$
Ee^{i(t,\eta)}=Ee^{i(t_1\eta_1+\cdots+t_k\eta_k)}
=e^{i(t,m)-tA^*At^*/2}=\exp\left\{i\sum_{j=1}^k
t_jm_j-\dfrac12\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k d_{j,l}t_jt_l\right\}
$$
f\"uggv\'eny, ahol $(x,y)$ jel\"oli az $x=(x_1,\dots,x_k)$ \'es
$y=(y_1,\dots,y_k)$ vek\-to\-rok $(x,y)=\summ_{j=1}^kx_jy_j$
ska\-l\'ar\-szor\-za\-t\'at, $t=(t_1,\dots,t_k)$, $d_{j,l}$
az $A^*A$ kovariancia m\'atrix\'anak $j$-ik so\-r\'a\-ban, \'es $l$-ik
oszlop\'aban szerepl\H{o} konstans. A $D=A^*A$ m\'atrix megegyezik
az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor kovariancia
m\'atrix\'aval.} \medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
Ee^{i(t,\eta)}=Ee^{i(t, A\xi+m)}=e^{i(t,m)}Ee^{i(tA^*,\xi)}=
e^{i(t,m)}e^{-tA^*At^*/2}=e^{i(t,m)-tA^*At^*/2},
$$
mert, ha $tA^*=\bar t=(\bar t_1,\dots,\bar t_k)$, akkor
$Ee^{i(tA^*,\xi)}=Ee^{i(\bar t_1\xi_1+\cdots+\bar t_k\xi_k)}=
\prodd_{j=1}^k Ee^{i\bar t_j\xi_j}=
\prodd_{j=1}^k e^{-\bar t_j^2/2}=e^{-(\bar t,\bar
t)/2}=e^{-(tA^*,tA^*)/2} =e^{-tA^*At^*/2}$. A fenti sz\'amol\'asban
kihaszn\'altuk azti is, hogy egy $\xi$ standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'enye egy $s$ pontban az $Ee^{is\xi}=e^{-s^2/2}$ f\"uggv\'eny.
 
Tov\'abb\'a, mint azt a T\'etel kimond\'asa el\H{o}tt megjegyezt\"uk,
az exponensben szerepl\H{o} $A^*A$ m\'atrix az $\eta$ vektor $D$
kovariancia m\'atrixa.
\medskip
Vegy\"uk \'eszre, hogy a standard norm\'alis eloszl\'as
karakterisztikus f\"uggv\'enye csak a norm\'alis eloszl\'as v\'arhat\'o
\'ert\'ek vektor\'at\'ol \'es kovariancia m\'atrix\'at\'ol f\"ugg.
Tov\'abb\'a, mivel a karakterisztikus f\"uggv\'eny meghat\'arozza az
eloszl\'asf\"uggv\'enyt. Ez\'ert az el\H{o}z\H{o} t\'etelnek
\'erv\'enyes az al\'abbi k\"ovetkezm\'enye.
\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Egy t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'ast egy\'ertelm\H{u}en meghat\'aroz annak v\'arhat\'o
\'ert\'ek vektora \'es kovariancia m\'atrixa.}
\medskip
\'Erts\"uk meg a K\"ovetkezm\'eny tartalm\'at \'es
jelent\H{o}s\'eg\'et. Tekints\"unk k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} $A$
\'es $B$ m\'atrixot, melyekre $A^*A=B^*B=D$  (l\'attuk, hogy
lehets\'eges megadni k\"ul\"onb\"oz\H{o} $A$ \'es $B$ m\'atrixot,
melyek teljes\'{\i}tik ezt az azonoss\'agot) valamint egy
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ egy standard norm\'alis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektort, \'es defini\'aljuk az $\eta_1=\xi A+m$,
$\eta_2=\xi B+m$ norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektort valamely
determinisztikus vektorral. Form\'alisan a k\'et $\eta_1$ \'es
$\eta_2$ v\'eletlen vektor k\"ul\"onb\"oz\H{o}, ennek ellen\'ere
eloszl\'asuk megegyezik a K\"o\-vet\-kez\-m\'eny \'all\'{\i}t\'asa
szerint. Ugyanis a k\'et norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor
$m$ v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es $D=A^*A=B^*B$ kovariancia m\'atrixa
megegyezik. Ez az\'ert is fontos, mert a t\"obb-dimenzi\'os
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelben a norm\'alis
hat\'areloszl\'ast a v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es kovariancia m\'atrix
seg\'{\i}ts\'eg\'evel adtuk meg. Ahhoz, hogy l\'assuk azt, hogy
ez \'ertelmes tudnunk kell, hogy a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'ast meghat\'arozza annak v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora \'es
kovariancia m\'atrixa. Ezt mondja ki az el\H{o}bb megfogalmazott
K\"ovetkezm\'eny.  (Ez a probl\'ema az egy-dimenzi\'os esetben
az\'ert nem jelent meg, mert ott a sz\"uks\'eges \'all\'{\i}t\'as
k\"onnyen l\'athat\'o.)
 
 
 
 
 
 
 \bye
 
 
</pre></body></html>