A Valószínűségszámítás II. előadássorozat nyolcadik előadása. 2002. november 5.

Határeloszlástételek független vektor értékű valószínűségi változókra.

A több-dimenziós határeloszlások vizsgálatában először definiálnunk kell a több-di-menziós eloszlások konvergenciáját. Ezután meg kell fogalmazni és be kell bizonyítani az eloszlások konvergenciájáról szóló egy-dimenziós eredmények több-dimenziós változatát. Ismertetni fogom a szükséges definiciókat és a megfelelő eredményeket, de a bizonyításokat elhagyom. Ezek az egy-dimenziós eredmények megfelelő módosításával megkaphatóak, csak a jelölésrendszer lesz komplikáltabb.

Több-dimenziós eloszlásfüggvények eloszlásban való konvergenciájának a definiciója. Legyen F_{n}(x_{1}, …, x_{k}), n = 1, 2, …, k-dimenziós eloszlásfüggvények sorozata. Azt mondjuk, hogy az F_{n}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak egy kdimenziós F (x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvényhez, ha lim_{n→∞} F_{n}(x_{1}, …, x_{k}) = F (x_{1}, …, x_{k}) az F (·) (határ)eloszlásfüggvény minden (x_{1}, …, x_{k}) folytonossági pontjában.

Tétel az eloszlásban való konvergencia jellemzéséről folytonos függvények segítségével. F_{n}(u_{1}, …, u_{k}), n = 1, 2, … k-dimenziós eloszlásfüggvények sorozata akkor és csak akkor konvergál eloszlásban egy F (u_{1}, …, u_{k}) k-dimenziós eloszlásfüggvényhez, ha minden a k-dimenziós téren értelmezett folytonos, korlátos g(u_{1}, …, u_{k}) függvényre teljesül a

lim_{n→∞} ∫ g(u_{1}, …, u_{k}) F_{n}( du_{1}, …, du_{k}) = ∫ g(u_{1}, …, u_{k}) F ( du_{1}, …, du_{k})

azonosság.

Az egy-dimenziós határeloszlástétel vizsgálatában fontos szerepet játszott a fenti tétel, illetve a Fourier analízis módszerének alkalmazásával a feladatot jobban tudtuk vizsgálni. Ennek érdekében bevezettük a karakterisztikus függvény fogalmát. A több-di-menziós esetben is célszerű ezt a módszert használni, ezért definiáljuk a több-dimenziós eloszlásfüggvények karakterisztikus függvényét is.

Több-dimenziós valószínűségi változók karakterisztikus függvényének a definiciója. Legyen ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{k}) k-dimenziós valószínűségi változó valamely (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, és jelölje F (u_{1}, …, u_{k}) = P (ξ_{1} < u_{1}, …, ξ_{k} < u_{k}), −∞ < u_{j} < ∞, 1 ≤ j ≤ k, a ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{k}) véletlen vektor eloszlásfüggvényét. A ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{k}) k-dimenziós ξ valószínűségi változónak a karakterisztikus függvénye a

φ(t_{1}, …, t_{k}) = Ee^{i(t_{1}ξ_{1}+···+t_{k}ξ_{k})} = ∫_{−∞}^{∞} ⋯ ∫_{−∞}^{∞} e^{i(t_{1}u_{1}+···+t_{k}u_{k})}F ( du_{1}, …, du_{k}),
− ∞ < t_{j} < ∞, 1 ≤ j ≤ k,

függvény. Adva egy F (u_{1}, …, u_{k}) k-dimenziós eloszlásfüggvény az F eloszlásfüggvény karakterisztikus függvényét is definiálni fogjuk mint egy F eloszlású ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{k}) kdimenziós valószínűségi változó karakterisztikus függvényét. (Mivel a karakterisztikus függvényt a (ξ_{1}, …, ξ_{k}) valószínűségi változó eloszlásfüggvényének a segítségével ki lehet számolni, ezért jogunk van egy eloszlásfüggvény karakterisztikus függvényéről beszélni.)

Egy eloszásfüggvényt a több-dimenziós esetben is meghatározza annak karakterisztikus függvénye. Ezt mondja ki a következő tétel.

Tétel. Legyen F (x_{1}, …, x_{k}) és G(x_{1}, …, x_{k}) két eloszlásfüggvéy, melyek karakterisztikus függvényei minden pontban megegyeznek. Ekkor F (x_{1}, …, x_{k}) = G(x_{1}, …, x_{k}) minden k-dimenziós (x_{1}, …, x_{k}) vektorra.

Az egydimenziós esethez hasonlóan a fenti tétel bebizonyítható Weierstrass második approximációs tételének (pontosabban annak több-dimenziós általánosításának) a segítségével. A teljesség kedvéért megfogalmazzuk Weierstrass második approximációs tételének számunkra hasznos több-dimenziós változatát.

Weierstrass második approximációs tételének több-dimenziós változata. Ha f(t_{1}, …, t_{k}) folytonos függvény a k-dimenziós euklideszi térben, mely minden koordinátájában 2π szerint periodikus, azaz f(t_{1} + 2j_{1}π, …, t_{k} + 2j_{k}π) = f(t_{1}, …, t_{k}) minden egész j_{1}, … j_{k} számra, és ε > 0 valós szám, akkor létezik olyan k változós

P_{n}(t_{1}, …, t_{k}) = ∑_{(j_{1},...,j_{k}) : |j_{1}|+···+|j_{k}|≤n} a_{j_{1},...,j_{k}}e^{i(j_{1}t_{1}+···+j_{k}t_{k})},

trigonometrikus polinom, ahol j_{1}, …, j_{k} egész számok, melyre

|f(t_{1}, …, t_{k}) − P_{n}(t_{1}, …, t_{k})| < ε minden valós t_{1}, …, t_{k} számra.

A több-dimenziós karakterisztikus függényekre is érvényes a karakterisztikus függvények folytonosságát kifejező alábbi eredmény:

Lemma. Egy F (x_{1}, …, x_{k}) k-változós eloszlásfüggvény

φ(t_{1}, …, t_{k}) = ∫ e^{t_{1}x_{1}+···+t_{k}x_{k}}F ( dx_{1}, …, dx_{k})

karakterisztikus függvénye folytonos minden (t_{1}, …, t_{k}) pontban.

A fenti lemma bizonyítása hasonló az egy-dimenziós esethez.

Megfogalmazzuk az eloszlásfüggvények és azok karakterisztikus függvényei konvergenciája közötti kapcsolatot leíró Alaptételnek nevezett állítás több-dimenziós változatát.

Az eloszlások konvergenciájáról szóló Alaptétel több-dimenziós változata. Legyen F_{n}(u_{1}, …, u_{k}), −∞ < u_{j} < ∞, 1 ≤ j ≤ k, k-dimenziós eloszlásfüggvények egy sorozata φ_{n}(t_{1}, …, t_{k}) = ∫ e^{i(t_{1}u_{1}+···+t_{k}u_{k})}F_{n}( du_{1}, …, du_{k}) karakterisztikus függvényekkel, n = 1, 2, . . .. Ha a φ_{0}(t_{1}, …, t_{k}) = lim_{n→∞} φ_{n}(t_{1}, …, t_{k}) határérték létezik minden −∞ < t_{j} < ∞, 1 ≤ j ≤ k, számra, és a φ_{0}(t_{1}, …, t_{k}) limeszfüggvény folytonos az origóban, akkor létezik olyan F_{0}(u_{1}, …, u_{k}) eloszlásfüggvény a k-dimenziós térben, melynek a φ_{0}(t_{1}, …, t_{k}) függvény a karakterisztikus függvénye. Továbbá e feltétel teljesülése esetén az F_{n}(u_{1}, …, u_{k}) eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak ehhez az F_{0}(u_{1}, …, u_{k}) eloszlásfüggvényhez.

Megfordítva, ha F_{n}(u_{1}, …, u_{k}), n = 1, 2, …, eloszlásfüggvényeknek egy olyan sorozata, mely egy F_{0}(u_{1}, …, u_{k}) eloszlásfüggvényhez konvergál eloszlásban, φ_{n}(t_{1}, …, t_{k}), n = 1, 2, …, jelöli az F_{n}(u_{1}, …, u_{k}), φ_{0}(t_{1}, …, t_{k}) pedig az F_{0}(u_{1}, …, u_{k}) eloszlásfüggvény karakterisztikus függvényét, akkor φ_{0}(t_{1}, …, t_{k}) = lim_{n→∞} φ_{n}(t_{1}, …, t_{k}) minden −∞ < t_{j} < ∞, 1 ≤ j ≤ k, számra. Továbbá, ez a konvergencia egyenletes minden korlátos halmazon.

Érdemes kimondani a fenti Alaptétel alábbi következményét.

Az Alaptétel következménye. Az F_{n}(x_{1}, …, x_{k}), n = 1, 2, …, k-dimenziós eloszlásfüggvények sorozata akkor és csak akkor konvergál eloszlásban egy F (x_{1}, …, x_{k}) eloszláshoz, ha az F_{n} eloszlásfüggvények

φ_{n}(t_{1}, …, t_{k}) = ∫ e^{i(t_{1}x_{1}+···+t_{k}x_{k})}F_{n}( dx_{1}, …, dx_{k})

karakterisztikus függvényei konvergálnak az F eloszlásfüggvény

φ(t_{1}, …, t_{k}) = ∫ e^{i(t_{1}x_{1}+···+t_{k}x_{k})}F ( dx_{1}, …, dx_{k})

karakterisztikus függvényhez minden (t_{1}, …, t_{k}) pontban.

A fenti Alaptétel egy-dimenziós változatának bizonyításában fontos szerepet játszott eloszlások relatív kompaktságának a fogalma, és egy olyan eredményre, mely ennek megadta ennek szükséges és elégséges feltételét. Ismertetem az itt megfogalmazott fogalmak és eredmények több-dimenziós változatát.

Eloszlások relatív kompaktságának és feszességének definiciója. Legyen adva F_{n}(t_{1}, …, t_{k}), n = 1, 2, …, eloszlásfüggvényeknek sorozata a k-dimenziós euklideszi térben, és jelölje μ_{n} az F_{n} eloszlásfüggvény által meghatározott valószínűségi mértéket az R^{k} térben. Azt mondjuk, hogy az F_{n} eloszlásfüggvények illetve μ_{n} valószínűségi mértékek sorozata relatív kompakt, ha az F_{n} ( vagy μ_{n}) sorozat tetszőleges F_{n_{k}} (illetve μ_{n_{k}}) részsorozatának k = 1, 2, …, létezik F_{n_{k_{j}}} (illetve μ_{n_{k_{j}}}), j = 1, 2, …, eloszlásban konvergens részsorozata.

Azt mondjuk, hogy az F_{n} eloszlásfüggvények ( illetve az általuk meghatározott μ_{n} valószínűségi mértékek) sorozata feszes, ha tetszőleges ε > 0 számra létezik olyan K = K(ε) szám, hogy a K(K)^{k} = \underbrace{[−K, K] × ⋯ × [−K, K]}_{k-szoros szorzat} k-dimenziós kockára

μ_{n}(K(K)^{k}) ≥ 1 − ε minden n = 1, 2, … indexre.

Tétel. Legyen μ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi mértékek sorozata az az R^{k} k-dimenziós euklideszi téren. Ez a valószínűségi mértékekből álló sorozat akkor és csak akkor relatív kompakt, ha feszes. Speciálisan valószínűségi mértékek eloszlásban konvergens sorozata feszes.

Az Alaptétel bizonyításának egy-dimenziós változatának bizonyításának egyik fontos lépése volt annak az ötödik előadás 2. Lemmájában megfogalmazott eredménynek bizonyítása, mely szerint amennyiben eloszlásfüggvények egy sorozata a nulla egy kis környezetében konvergál egy a nullában folytonos függvényhez, akkor az eloszlásfüggvények feszesek, ezért relatív kompaktak. Ez az állítás érvényes több-dimenziós eloszlásokra is. Ennek bizonyítása nem is igényel nagy erőfeszítést. Összehasonlítva az egydimenziós és több-dimenziós mértékek feszességét, a több-dimenziós eset visszavezethető az egy-dimenziósra. Azt kell megérteni, hogy több-dimenziós eloszlások sorozata akkor és csak akkor feszes, ha az összes koordinátára vett egy-dimenziós vetületük feszes.

A fenti eredmények segítségével az egy-dimenziós eset bizonyításához hasonlóan be lehet bizonyítani az Alaptétel több-dimenziós változatát is. Ez azt jelenti, hogy több-dimenziós határeloszlástételek például a később megfogalmazandó több-dimenziós centrális határeloszlástétel bizonyítását az egy-dimenziós esethez hasonlóan vissza lehet vezetni az eloszlások karakterisztikus függvények vizsgálatára. Sőt, az Alaptétel azt is lehetővé teszi, hogy a több-dimenziós határeloszlástételek bizonyítását visszavezessük az egy-dimenziós esetre. Ez a tartalma a következő tételnek.

Tétel. Legyen Z_{n} = (Z_{1,n}, …, Z_{m,n}), n = 1, 2, …, m-dimenziós valószínűségi vektorok sorozata. A Z_{n} valószínűségi vektorok akkor és csak akkor konvergálnak eloszlásban egy m-dimenziós Z = (Z_{1}, …, Z_{m}) véletlen vektor eloszlásához n → ∞ esetén, ha

tetszőleges valós a_{1}, …, a_{m} számokra a Z_{n} = Z_{n}(a_{1}, …, a_{m}) = ∑_{j=1}^{m} a_{j}Z_{j,n}, n = 1, 2, …,

egydimenziós valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak n → ∞ esetén a Z =

Z(a_{1}, …, a_{m}) = ∑_{j=1}^{m} a_{j}Z_{j} valószínűségi változó eloszlásához.

Bizonyítás: Az Eloszlások konvergenciájáról szóló Alaptétel alapján láthatjuk, hogy a Z_{n} = (Z_{1,n}, …, Z_{m,n}), n = 1, 2, …, valószínűségi vektorok akkor és csak akkor konvergálnak eloszlásban a Z = (Z_{1}, …, Z_{m}) véletlen vektor eloszlásához, ha ezek φ_{n}(t_{1}, …, t_{m}) = Ee^{it_{1}Z_{1,n}+···+t_{m}Z_{m,n}} karakterisztikus függvényei konvergálnak a Z véletlen vektor φ(t_{1}, …, t_{m}) = Ee^{it_{1}Z_{1}+···+t_{m}Z_{m}} karakterisztikus függvényhez n → ∞ esetén. Ha tudjuk, hogy az egy-dimenziós lineáris kombinációk konvergálnak, akkor a_{1} = t_{1}, …, a_{m} = t_{m} választással, és felhasználva, hogy az 1-dimenziós eloszlások konvergenciájából következik az is, hogy hogy a lineáris kombinációk karakterisztikus függvényei konvergálnak a t = 1 pontban, kapjuk, hogy

lim_{n→∞} φ_{n}(t_{1}, …, t_{m}) = φ(t_{1}, …, t_{m}).

Ez minden (t_{1}, …, t_{n}) pontban elmondható, ezért a Z_{n} vektorok eloszlásban konvergálnak a Z vektorhoz.

Megfordítva, ha a Z_{n} vektorok eloszlásban konvergálnak a Z vektorhoz, akkor átfogalmazva ezt a tényt a karakterisztikus függvények nyelvére, azt kapjuk, tetszőleges (a_{1}, …, a_{m}) vektorra és minden t valós számra (t_{1}, …, t_{m}) = (a_{1}t, …, a_{m}t) választással, hogy a φ_{n}(a_{1}t, …, a_{m}t) = Ee^{it(a_{1}Z_{1,n}+···+a_{m}Z_{m,n}} karakterisztikus függvények konvergálnak a φ(a_{1}t, …, a_{m}t) = Ee^{it(a_{1}Z_{1}+···+a_{m}Z_{m}} karakterisztikus függvényhez, ha n →

∞. Ezért a ∑_{j=1}^{m} a_{j}Z_{j,n}, n = 1, 2, …, egydimenziós valószínűségi változók eloszlásban

konvergálnak a ∑_{j=1}^{m} a_{j}Z_{j} valószínűségi változó eloszlásához.

Bár a következő állítást implicit módon tartalmazza az előző tétel, mégis érdemes külön kimondani.

Tétel. Legyen Z = (Z_{1}, …, Z_{m}), n = 1, 2, …, m-dimenziós valószínűségi vektor.

Tekintsük tetszőleges valós a_{1}, …, a_{m} számokra az Z = Z(a_{1}, …, a_{m}) = ∑_{j=1}^{m} a_{j}Z_{j} va-

lószínűségi változót. A Z valószínűségi vektor eloszlását meghatározza az összes Z = Z(a_{1}, …, a_{m}) egydimenziós valószínűségi változó eloszlása.

Bizonyítás: A Z = (Z_{1}, …, Z_{m}) véletlen vektor eloszlását meghatározza annak karakterisztikus függvénye. Viszont e véletlen vektor E^{i(t_{1}Z_{1}+···+t_{m}Z_{m})} karakterisztikus függvénye megegyezik a Z(t_{1}, …, t_{m}) valószínűségi változó karakterisztikus függvényével az 1 pontban. Tehát a Z véletlen vektor karakterisztikus függvényét meghatározzák a tételben tekintett egydimenziós valószínűségi változók eloszlásai.

Ezen eredmények segítségével nem nehéz bebizonyítani a több-dimenziós centrális határeloszlástételt. Ehhez előbb természetesen definiálni kell a határeloszlásban megjelenő több-dimenziós normális eloszlást. Bár ezután rögtön rátérhetnénk a tétel bizonyítására, mégis célszerűnek látszik előtte a több-dimenziós normális eloszlás néhány tulajdonságát megfogalmazni, melyek érthetőbbé teszik a több-dimenziós centrális határeloszlástétel álítását. A több-dimenziós normális eloszlás tulajdonságainak bizonyításához nagyon hasznos a több-dimenziós normális eloszlás karakterisztikus függvényének a kiszámítása. A több-dimenziós normális eloszlásfüggvény karakterisztikus függvényét kifejező formulát, melynek bizonyítása nem lesz nehéz külön tételben fogjuk megfogalmazni.

Több-dimenziós normális eloszlások definiciója. Definiáljuk először a több-di-menziós standard normális eloszlást. Azt mondjuk, hogy egy (ξ_{1}, …, ξ_{k}) véletlen vektor eloszlása a k-dimenziós standard normális eloszlás, ha a ξ_{1}, …, ξ_{k} valószínűségi változók függetlenek, és mindegyik ξ_{j} valószínűségi változó, 1 ≤ j ≤ k, standard normális eloszlású. Ekvivalens megfogalmazásban azt mondhatjuk, hogy egy (ξ_{1}, …, ξ_{k}) véletlen vektor eloszlása a k-dimenziós standard normális eloszlás, ha e véletlen vektornak létezik

sűrűségfüggvénye, és az az f(u_{1}, …, u_{k}) = \frac{1}{(2π)^{k/2}} exp \{−\frac{1}{2} ∑_{j=1}^{k} u_{j}^{2}\} függvény.

Egy (η_{1}, …, η_{k}) k dimenziós véletlen vektor k dimenziós normális eloszlású vektor nulla várható értékkel, ha e véletlen vektor eloszlása megegyezik valamely (η̄_{1}, …, η̄_{k}) = (ξ_{1}, …, ξ_{k})A k-dimenziós vektor eloszlásával, ahol A egy k × k méretű mátrix, továbbá (ξ_{1}, …, ξ_{k}) egy k-dimenziós standard normális eloszlású véletlen vektor.

Egy (ζ_{1}, …, ζ_{k}) véletlen vektor k-dimenziós normális eloszlású vektor, ha eloszlása megegyezik egy (η_{1}, …, η_{k}) + (m_{1}, …, m_{k}) véletlen vektor eloszlásával, ahol (η_{1}, …, η_{k}) egy k-dimenziós normális eloszlású véletlen vektor, melynek a várható értéke nulla, és (m_{1}, …, m_{k}) k-dimenziós determinisztikus vektor.

Tekintsünk egy ξA + m több-dimenziós normális eloszlású valószínűségi véletlen vektort, ahol ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{k}) egy k-dimenziós standard normális eloszlású valószínűségi vektor A egy k × k méretű mátrix és m = (m_{1}, …, m_{k}) k-dimenziós vektor. Ennek a véletlen vektornak a várható értéke m, kovariancia-mátrixa pedig D = A^{∗}A. Ez utóbbi formula következik a 7. előadáson megfogalmazott és bebizonyított tételből a kovariancia mátrixok jellemzéséről. Most kiszámítjuk a több-dimenziós normális eloszlás karakterisztikus függvényét.

Tétel a több-dimenziós normális eloszású valószínűségi változók karakterisztikus függvényéről. Legyen η = (η_{1}, …, η_{k}) = (ξ_{1}, …, ξ_{k})A + (m_{1}, …, m_{k}) egy k-dimenziós normális eloszlású valószínűségi változó, ahol m = (m_{1}, …, m_{k}) kdimenziós (determinisztikus) vektor, A = (a_{j,l}), 1 ≤ j, l ≤ k, k × k méretű mátrix, továbbá ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{k}) k-dimenziós standard normális eloszlású véletlen vektor. Ekkor az (η_{1}, …, η_{k}) véletlen vektor karakterisztikus függvénye a

Ee^{i(t,η)} = Ee^{i(t_{1}η_{1}+···+t_{k}η_{k})} = e^{i(t,m)−tA^{∗}At^{∗}/2} = exp \{i ∑_{j=1}^{k} t_{j}m_{j} − \frac{1}{2} ∑_{j=1}^{k} ∑_{l=1}^{k} d_{j,l}t_{j}t_{l}\}

függvény, ahol (x, y) jelöli az x = (x_{1}, …, x_{k}) és y = (y_{1}, …, y_{k}) vektorok (x, y) =

∑_{j=1}^{k} x_{j}y_{j} skalárszorzatát, t = (t_{1}, …, t_{k}), d_{j,l} az A^{∗}A kovariancia mátrixának j-ik so-

rában, és l-ik oszlopában szereplő konstans. A D = A^{∗}A mátrix megegyezik az η = (η_{1}, …, η_{k}) véletlen vektor kovariancia mátrixával.

Bizonyítás:

Ee^{i(t,η)} = Ee^{i(t,Aξ+m)} = e^{i(t,m)}Ee^{i(tA^{∗},ξ)} = e^{i(t,m)}e^{−tA^{∗}At^{∗}/2} = e^{i(t,m)−tA^{∗}At^{∗}/2},

mert, ha tA^{∗} = t̄ = (t̄_{1}, …, t̄_{k}), akkor Ee^{i(tA^{∗},ξ)} = Ee^{i(t̄_{1}ξ_{1}+···+t̄_{k}ξ_{k})} = ∏_{j=1}^{k} Ee^{it̄_{j}ξ_{j}} =

∏_{j=1}^{k} e^{−t̄_{j}^{2}/2} = e^{−(t̄,t̄)/2} = e^{−(tA^{∗},tA^{∗})/2} = e^{−tA^{∗}At^{∗}/2}. A fenti számolásban kihasználtuk

azti is, hogy egy ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó karakterisztikus függvénye egy s pontban az Ee^{isξ} = e^{−s^{2}/2} függvény.

Továbbá, mint azt a Tétel kimondása előtt megjegyeztük, az exponensben szereplő A^{∗}A mátrix az η vektor D kovariancia mátrixa.

Vegyük észre, hogy a standard normális eloszlás karakterisztikus függvénye csak a normális eloszlás várható érték vektorától és kovariancia mátrixától függ. Továbbá, mivel a karakterisztikus függvény meghatározza az eloszlásfüggvényt. Ezért az előző tételnek érvényes az alábbi következménye.

Következmény. Egy több-dimenziós normális eloszlást egyértelműen meghatároz annak várható érték vektora és kovariancia mátrixa.

Értsük meg a Következmény tartalmát és jelentőségét. Tekintsünk két különböző A és B mátrixot, melyekre A^{∗}A = B^{∗}B = D (láttuk, hogy lehetséges megadni különböző A és B mátrixot, melyek teljesítik ezt az azonosságot) valamint egy ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{k}) egy standard normális eloszlású véletlen vektort, és definiáljuk az η_{1} = ξA+m, η_{2} = ξB +m normális eloszlású véletlen vektort valamely determinisztikus vektorral. Formálisan a két η_{1} és η_{2} véletlen vektor különböző, ennek ellenére eloszlásuk megegyezik a Következmény állítása szerint. Ugyanis a két normális eloszlású véletlen vektor m várható értéke és D = A^{∗}A = B^{∗}B kovariancia mátrixa megegyezik. Ez azért is fontos, mert a többdimenziós centrális határeloszlástételben a normális határeloszlást a várható érték és kovariancia mátrix segítségével adtuk meg. Ahhoz, hogy lássuk azt, hogy ez értelmes tudnunk kell, hogy a több-dimenziós normális eloszlást meghatározza annak várható érték vektora és kovariancia mátrixa. Ezt mondja ki az előbb megfogalmazott Következmény. (Ez a probléma az egy-dimenziós esetben azért nem jelent meg, mert ott a szükséges állítás könnyen látható.)