\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2.5pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\font\script=cmcsc10
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II.
el\H{o}ad\'assorozat hetedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2002. okt\'ober 29.}
\medskip
\centerline{\bf Hat\'areloszl\'ast\'etelek f\"uggetlen vektor
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra.}
\medskip\noindent
Hangs\'ulyoztuk, hogy a Lindeberg f\'ele centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel nemcsak azt \'all\'{\i}totta, hogy
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak a Lindeberg
felt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o} sorozat\'anak nor\-ma\-li\-z\'alt\-jai
eloszl\'asban a norm\'alis eloszl\'ashoz konverg\'alnak, hanem azt
is, hogy a norm\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel a ,,helyes
sz\'or\'assal'' rendelkezik. Tanuls\'agos lehet l\'atni olyan
p\'eld\'at, melyben a Lindeberg felt\'etelt nem teljes\'{\i}t\H{o},
de egyenletesen kicsi f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegei a norm\'alis
eloszl\'ashoz konverg\'alnak, de a ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-te kisebb, mint a szab\'alyos esetekben.
A p\'elda he\-lyes\-s\'e\-g\'e\-nek bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben
el\H{o}sz\"or bel\'atunk egy \"onmag\'aban is \'erdekes \'es hasznos
lemm\'at, melyet az irodalomban Slutsky lemm\'anak is szok\'as
h\'{\i}vni.
\medskip\noindent
{\bf Slutsky lemma.} {\it Legyen adva val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok k\'et $S_n$ \'es $T_n$, $n=1,2,\dots$, sorozata,
melyekre az $S_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat eloszl\'asban konverg\'al
valamilyen $F$ eloszl\'ashoz, \'es a $T_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
sztochasztikusan konverg\'al null\'ahoz, azaz $P(|T_n|>\e)\to0$
minden $\e>0$ sz\'amra, ha $n\to\infty$. Ekkor az $S_n+T_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozat szint\'en konverg\'al eloszl\'asban az $F$
eloszl\'ashoz.}
\medskip
A Slutsky lemma szeml\'eletes tartalma vil\'agos. Azt mondja ki,
hogy ha egy el\-osz\-l\'as\-ban konvergens sorozat elemeit nagyon
kicsit v\'altozatatjuk meg, akkor a konvergencia tov\'abbra is
\'erv\'enyben marad.
\medskip\noindent
{\it A Slutsky lemma bizony\'{\i}t\'asa:}\/
Tekints\"uk az $F(\cdot)$ hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny egy $x$
foly\-to\-nos\-s\'a\-gi pontj\'at. Azt kell bel\'atnuk, hogy a
$\limm_{n\to\infty}P(S_n+T_n<x)=F(x)$ rel\'aci\'o is teljes\"ul.
Ennek \'erdek\'eben vegy\"unk tetsz\H{o}les  $\e>0$  sz\'amhoz
olyan $\delta=\delta(\e,x)>0$ sz\'amot, melyre
$F(x)-\frac\e2<F(x-\delta)<F(x)<F(x+\delta)
<F(x+\delta)+\frac\e2$. Mivel az $F(\cdot)$ monoton f\"uggv\'enynek
csak megsz\'aml\'alhat\'oan sok szakad\'asi pontja van, az
\'altal\'anoss\'ag megszor\'{\i}t\'asa n\'elk\"ul azt is
feltehetj\"uk, hogy az $x\pm\delta$ pontok folytonoss\'agi pontjai
az $F(\cdot)$ f\"uggv\'enynek. A felt\'etelek teljes\"ul\'ese
eset\'en l\'etezik olyan $n_0=n_0(x,\delta,\e)$ index, melyre
$P(S_n<x+\delta)<F(x+\delta)+\frac\e4$,
$P(S_n>x-\delta)<1-F(x-\delta)+\frac\e4$, \'es
$P(|T_n|\ge \delta)<\frac\e4$, ha $n\ge n_0$. Ekkor
$$
P(S_n+T_n<x)\le
P(S_n<x+\delta)+P(|T_n|\ge\delta)<F(x+\delta)+\frac\e2<F(x)+\e,
$$
ha $n\ge n_0(\e,\delta)$, mert $\{\oo\:S_n(\oo)+T_n(\oo)<x\}\subset
\{\oo\:S_n(\oo)<x+\delta\}\cup \{\oo\:|T_n(\oo)|\ge\delta\}$.
Hasonl\'oan kapjuk, hogy
$$
P(S_n+T_n\ge x)<P(S_n\ge x-\delta)+P(|T_n|\ge \delta)<1-F(x)+\e,
$$
ha $n\ge n_0(\e,\delta)$, mert $\{\oo\:S_n(\oo)\ge x\}\subset
\{\oo\:S_n(\oo)+T_n(\oo)\ge x-\delta\}\cup
\{\oo\:|T_n(\oo)|\ge \delta\}$.
 
Az els\H{o} egyenl\H{o}tles\'egb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$\limsupp_{n\to\infty}P(S_n+T_n<x)< F(x)+\e$, a m\'asodik
egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l pedig az, hogy
$\liminff_{n\to\infty}P(S_n+T_n<x)> F(x)-\e$. Mivel  ezek az
egyenl\H{o}tlens\'egek tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra igazak,
innen k\"ovetkezik a Slutsky lemma.
\medskip
Most r\'at\'er\"unk a k\'{\i}v\'ant tulajdons\'ag\'u p\'elda
ismertet\'es\'ere.
\medskip\noindent
{\bf 1. P\'elda:} {\it Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,  f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o sorozatot,
melyek elemeinek eloszl\'asa a k\"ovetkez\H{o}:
$P(\xi_n=n)=P(\xi_n=-n)=\dfrac1{4n^2}$,
$P(\xi_n=1)=P(\xi_n=-1)=\dfrac14$, \'es
$P(\xi_n=0)=\dfrac12-\dfrac1{2n^2}$, $n=1,2,\dots$. Ekkor $E\xi_n=0$,
$E\xi_n^2=1$. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy az
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$, r\'eszlet\"osszegek
$\frac1{\sqrt n}S_n$, $n=1,2,\dots$, normaliz\'altjai
eloszl\'asban konverg\'alnak egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u},
$\frac12$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.}
\medskip\noindent
{\it Az 1. P\'elda igazol\'asa:}\/
Vezess\"uk be az $X_n=\xi_n I(|\xi_n|\le 2)$, \'es $Y_n=\xi_n
I(|\xi_n|>2)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, ahol
$I(A)$ jel\"oli az $A$ halmaz indik\'atorf\"uggv\'eny\'et, \'es
vezess\"uk be az $\bar S_n=\summ_{k=1}^n X_k$ \'es $T_n=\summ_{k=1}^n
Y_k$, $n=1,2,\dots$, r\'eszlet\"osszegeket. Ekkor $\frac1 {\sqrt n}
\bar S_n$ sorozat eloszl\'asban konverg\'al a nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} \'es $\frac12$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis
eloszl\'ashoz, mert $EX_n=0$, $EX_n^2=\frac12$,
$s_n^2=\summ_{k=1}^nEX_k^2=\frac n2$, \'es az $X_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a Lindeberg
felt\'etelt, hiszen $\summ_{k=1}^nEX_k^2I(|X_k|\ge\e s_n)=0$, ha
$n\ge n_0(\e)$. M\'asr\'eszt a $\frac1{\sqrt n} T_n$ kifejez\'esek
sztochasztikusan konverg\'alnak null\'ahoz, ha $n\to\infty$. Ez
l\'athat\'o, ha \'eszrevessz\"uk, hogy $\summ_{k=1}^\infty
P(Y_k\neq0)<\infty$, ez\'ert a Borel--Cantelli lemma alapj\'an egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sok $Y_k(\oo)$ nem
egyenl\H{o} null\'aval, \'es  ez\'ert $\summ_{k=1}^\infty
|Y_k(\oo)|\le K(\oo)$. Innen k\"ovetkezik, hogy majdnem minden
$\oo\in\Omega$ pontban $|T_n(\oo)|\le K(\oo)$ minden $n=1,2,\dots$
sz\'amra, ahol a jobboldalon szerepl\H{o} becsl\'es f\"ugghet az
$\oo$ elemi esem\'enyt\H{o}l, de nem f\"ugg az $n$ indext\H{o}l. A
Slutsky lemm\'ab\'ol, az $\frac1{\sqrt n}S_n=\frac1{\sqrt
n}\bar S_n+\frac1{\sqrt n}T_n$ azo\-nos\-s\'ag\-b\'ol \'es a
k\"ovetkezik, hogy az $\frac1{\sqrt n}S_n$ \'es a $\frac1{\sqrt n}
T_n$ sorozat sztochasztikus konvergeni\'aj\'ab\'ol null\'ahoz
k\"ovetkezik, hogy a $\frac1{\sqrt n}S_n$ \'es
$\frac1{\sqrt n}\bar S_n$ sorozatoknak ugyanaz a hat\'areloszl\'asuk,
ez\'ert igaz a p\'eld\'aban megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as.
 
Jegyezz\"uk meg azt is, hogy a p\'eld\'aban sze\-rep\-l\H{o} $\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik az egyenletes
kicsis\'eg felt\'etel\'et, de nem teljes\'{\i}tik
a Lindeberg felt\'etelt. Val\'oban, $E\xi_k^2=1$,
$s_n^2=\summ_{k=1}^nE\xi_k^2=n$, ez\'ert $\limm_{n\to\infty}
\supp_{1\le k\le n} \frac{E\xi_k^2}{s_n^2}=0$, azaz az egyenletes
kicsis\'eg felt\'etele teljes\"ul. M\'asr\'eszt
$\limm_{n\to\infty}\summ_{k=1}^nE\xi_k^2I(|\xi_k|>\e
s_n)=\limm_{n\to\infty}\frac1n\summ_{k=1}^nEY_k^2=\frac12$, teh\'at a
Lindeberg felt\'etel ebben a p\'eld\'aban nem teljes\"ul.
 
\medskip
Az egyforma eloszl\'as\'u f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok norm\'aliz\'alt \"osszegeir\H{o}l sz\'ol\'o centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelben feltett\"uk, hogy az \"osszeadand\'oknak
van v\'eges m\'asodik momentumuk. Ez term\'eszetes felt\'etel,
m\'egis \'erdekes lehet megmutatni, hogy lehets\'eges olyan
eset is, amikor v\'egtelen sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'atltoz\'ok
alkalmasan normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegei is konverg\'alnak
eloszl\'asban a norm\'alis eloszl\'ashoz. Ennek lehet\H{o}s\'eg\'et
mutatjuk meg a k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'aban, amelyik m\"og\"ott
hasonl\'o gondolat van, mint az els\H{o} p\'eld\'aban.
\medskip\noindent
{\bf 2. P\'elda:} {\it Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
so\-ro\-za\-ta, mely sorozat tagjainak l\'etezik
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es azt az $f(x)=\frac1{|x|^3}$, ha
$|x|\ge 1$, $f(x)=0$, ha $-1<x<1$ k\'eplet adja meg. Ekkor
$E\xi_1=0$, $E\xi_1^2=\int_{x\:|x|\ge1} x^2\frac1{|x|^3}\,dx=\infty$.
Tov\'abb\'a az $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$,
r\'eszlet\"osszegek $\frac1{\sqrt {n\log n}}S_n$ normaliz\'altjai
eloszl\'asban konverg\'alnak a standard norm\'alis eloszl\'ashoz.}
\medskip\noindent
{\it Az 2. P\'elda igazol\'asa:}\/ Defini\'aljuk minden
$n=1,2,\dots$ sz\'amra az $\eta_{k,n}=\xi_kI(|\xi_k|\le\sqrt{n\log\log
n})$ \'es az $\zeta_{k,n}=\xi_kI(|\xi_k|>\sqrt{ n \log\log n})$,
$1\le k\le n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, valmint
ezek $\bar S_n=\summ_{k=1}^n\eta_{k,n}$ \'es
$T_n=\summ_{k=1}^n\zeta_{k,n}$ \"osszegeit. Ekkor
$$
\frac1{\sqrt {n\log n}}S_n=\frac1{\sqrt {n\log n}}\bar S_n
+\frac1{\sqrt {n\log n}}T_n
$$
ez\'ert a Slutsky lemma alapj\'an elegend\H{o} bel\'atni, hogy a
$\frac1{\sqrt {n\log n}}\bar S_n$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'al\-to\-z\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak a standard norm\'alis
eloszl\'ashoz, \'es a $\frac1{\sqrt {n\log n}}T_n$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-t\'o\-z\'ok
sztochasztikusan konverg\'alnak null\'ahoz. Az els\H{o}
\'all\'{\i}t\'as igazol\'as\'ahoz azt kell megmutatni, hogy a $\bar
\xi_{k,n}=\frac{\xi_{k,n}}{\sqrt{n\log n}}$, $1\le k\le n$,
sz\'eriasorozatra alkalmazhatjuk a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt. Ehhez vegy\"uk \'eszre, hogy $E\bar
\xi_{k,n}=0$,
$$
E\bar \xi_{k,n}^2=\int_{x\:1\le |x|\le \sqrt{n\log\log n}}
\frac{x^2}{n\log n}\frac1{|x|^3}\,dx=\frac{2\log
\sqrt{(n\log \log n)}}{n\log n}=\frac{\log(n\log\log n)}{n\log n},
$$
ahonnan $\summ_{k=1}^nE\bar\xi_{k,n}^2=\frac{\log n+\log\log\log n}
{\log n}\to1$, ha $n\to\infty$. Ez\'ert el\'eg ellen\H{o}rizni,
hogy a $\bar\xi_{k,n}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
teljes\'{\i}tik a Lindeberg felt\'etelt, azaz minden $\e>0$ sz\'amra
$$
\summ_{k=1}^nE\bar\xi_{k,n}^2I(|\bar\xi_{k,n}|>\e)=n\int_{x\:\e\sqrt
{n\log n}<|x|<\sqrt{n\log\log n}}\frac{x^2}{n\log
n|x|^3}\,dx\to0\quad\text{ha }x\to\infty.
$$
Ez az \'all\'{\i}t\'as viszont igaz, mivel el\'eg nagy $n$-re az
$\{x\:\e\sqrt {n\log n}<|x|<\sqrt{n\log\log n}\}$ integr\'al\'asi
tartom\'any az \"ures halmaz, ez\'ert a tekintett integr\'al nulla.
 
Be kell m\'eg l\'atnunk, hogy a $\frac1{\sqrt {n\log n}}T_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata
szto\-chasz\-ti\-ku\-san null\'ahoz tart, azaz $\limm_{n\to\infty}
P\(\left|\frac1{\sqrt {n\log n}}T_n\right|>\e\)=0$ minden $\e>0$
sz\'amra. Bel\'atjuk, hogy az er\H{o}sebb
$\limm_{n\to\infty}P(T_n\neq0)=0$ rel\'aci\'o is teljes\"ul.
Val\'oban,
$$
P(T_n\neq0)\le \summ_{k=0}^nP(\zeta_{k,n}\neq0)=n\int
_{x\:|x|>\sqrt{ n \log\log n}}\frac{\,dx}{|x|^3}=\frac1{\log\log
n}\to0\quad\text{ha }n\to\infty.
$$
\medskip
L\'attuk, hogy a hat\'areloszl\'as sz\'or\'asn\'egyzete lehet
kisebb, mint az eloszl\'asok sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'e\-nek a
limesze. Felmer\"ul a k\'erd\'es, hogy lehet-e nagyobb. A v\'alasz
erre a k\'erd\'esre nemleges, \'es ezt mondja ki az al\'abbi lemma.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Konverg\'aljon $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy
sorozata egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez. Ekkor $\liminff_{n\to
\infty}\int x^2F_n(\,dx)\ge \int x^2 F(\,dx)$. \'Altal\'anosabban, ha
$g(x)$ tetsz\H{o}leges folytonos, nem negat\'{\i}v
(de nem felt\'etlen\"ul korl\'atos f\"uggv\'eny), akkor
$$
\liminff_{n\to\infty} \int g(x)F_n(\,dx)\ge \int g(x)F(\,dx).
$$
} \medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ El\H{o}sz\"or tekints\"uk azt az
esetet, amikor $\int g(x)F(\,dx)<\infty$. Ekkor tetsz\H{o}leges $\e>0$
sz\'amhoz l\'etezik olyan $K=K(\e)>0$ sz\'am, melyre a
$g_K(x)=\min(K,g(x))$ korl\'atos \'es folytonos f\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti az $\int g_K(x) F(\,dx)\ge \int g(x) F(\,dx)-\e$
rel\'aci\'ot. Ez\'ert az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek gyenge
konvergenci\'aj\'ab\'ol az $F$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez
k\"ovetkezik, hogy
$$
\liminf_{n\to\infty}\int g(x)F_n(\,dx)\ge
\lim_{n\to\infty}\int g_K(x)F_n(\,dx)=\int g_K(x)F(\,dx)\ge
\int g(x)F(\,dx)-\e,
$$
\'es mivel ez az egyenl\H{o}tlens\'eg minden $\e>0$ sz\'amra
\'erv\'enyes, innen k\"ovetkezik a Lemma \'all\'{\i}t\'asa ebben az
esetben.
 
Ha $\int g(x)F(\,dx)=\infty$ akkor tetsz\H{o}leges $L>0$ sz\'amhoz
l\'etezik olyan $K=K(L)>0$ sz\'am, melyre a $g_K(x)=\min(K,g(x))$
korl\'atos \'es folytonos f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az $\int g_K(x)
F(\,dx)\ge L$ rel\'aci\'ot. Ez\'ert az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
gyenge konvergenci\'aj\'ab\'ol az $F$ eloszl\'asf\"ugggv\'enyhez
k\"ovetkezik, hogy
$$
\liminf_{n\to\infty}\int g(x)F_n(\,dx)\ge
\lim_{n\to\infty}\int g_K(x)F_n(\,dx)=\int g_K(x)F(\,dx)\ge L,
$$
\'es mivel ez az \'all\'{\i}t\'as minden $L>0$ sz\'amra \'erv\'enyes,
a Lemma \'all\'{\i}t\'asa ebben az esetben is \'erv\'enyes.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az el\H{o}z\H{o} Lemma mutat n\'emi
hasonl\'os\'agot a m\'ert\'ekelm\'eletben tanult Fatou lemm\'aval,
melyet ismertettem az \"ot\"odik el\H{o}ad\'as
kieg\'esz\'{\i}t\'es\'eben. A k\'et \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'asa is nagyon hasonl\'o.
\medskip
A fenti p\'eld\'ak mutatj\'ak, hogy a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel megfogalmaz\'as\'aban sze\-rep\-l\H{o}
felt\'etelek fontosak. Ezek nem teljes\"ul\'ese eset\'en m\'asfajta
jelens\'egek is fel\-l\'ep\-het\-nek. Term\'eszetes m\'odon
felmer\"ult az az ig\'eny az elm\'eletben, hogy adjunk teljes k\'epet
arr\'ol, hogy mikor lehets\'eges az, hogy f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'esz\-let\-\"ossze\-gei eloszl\'asban norm\'alis eloszl\'ashoz
konverg\'alnak, de a norm\'al\'as lehet szokatlan is. Err\H{o}l a
probl\'em\'ar\'ol sok \'erdekes \'es tartalmas eredm\'enyt
bizony\'{\i}tottak, de ezzel mi nem fogunk foglalkozni.
Gyakorlati szempontb\'ol ugyanis csak a kor\'abban t\'argyalt
eredm\'enyek fontosak, az itt t\'argyalt eredm\'enyek csak nagyon
speci\'alis esetekben jelennek meg.
 
\'Erdemes megeml\'{\i}teni, hogy az eml\'{\i}tett p\'eld\'akban a
v\'aratlan jelens\'egek oka az volt, hogy egy kis halmazon a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nagyon nagy \'ert\'eket
vettek fel, ami alig befoly\'asolta \"osszegeik eloszl\'as\'at. Ezt
a t\'enyt a Slutsky lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudtuk megmutatni.
Viszont egy kis halmazon felvett nagy \'ert\'ekek nagyon
megv\'altoztatt\'ak a momentumokat. Minden szokatlan norm\'al\'assal
\'erv\'enyes hat\'areloszl\'ast\'etel h\'atter\'eben ilyen jelens\'eg
van. S\H{o}t, mint l\'atni fogjuk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
egy\'eb probl\'em\'aiban, mint p\'eld\'aul a k\'es\H{o}bb
t\'argyaland\'o nagy sz\'amok t\"orv\'eny\'enek probl\'em\'aj\'aban
is hasonl\'o probl\'em\'ak jelennek meg.
\medskip\noindent
{\script Hat\'areloszl\'ast\'etelek vizsg\'alata vektor\'ert\'ek\H{u}
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
\"osszegeire.}
\medskip
Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} k\'et probl\'em\'at
\medskip
\item{a.)} Egy p\'enzdarabr\'ol el akarjuk d\"onteni, hogy
szab\'alyos-e. Ennek \'erdek\'eben a p\'enz\-da\-ra\-bot sokszor
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul feldobjuk, \'es feljegyezz\"uk a
kis\'erletek ered\-m\'e\-ny\'et. Milyen eredm\'enysorozat eset\'en
tekinthetj\"uk a p\'enz\-da\-ra\-bot szab\'alyosnak?
\medskip
\item{b.)} Egy dob\'okock\'ar\'ol el akarjuk d\"onteni, hogy
szab\'alyos-e. Ennek \'erdek\'eben a do\-b\'o\-koc\-k\'at sokszor
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul feldobjuk, \'es feljegyezz\"uk a
kis\'erletek ered\-m\'e\-ny\'et. Milyen eredm\'enysorozat eset\'en
tekinthetj\"uk a do\-b\'o\-koc\-k\'at szab\'alyosnak?
\medskip
Term\'eszetes \'ugy d\"onteni, hogy a p\'enzdarabot akkor tekintj\"uk
szab\'alyosnak, ha a dob\'asok k\"or\"ulbel\"ul fele feje
k\"or\"ulbel\"ul fele pedig \'{\i}r\'asdob\'as. Hasonl\'oan, a
dob\'okock\'at akkor tekintj\"uk szab\'alyosnak, ha mindegyik
dob\'aseredm\'eny az \"osszes dob\'as k\"or\"ulbel\"ul egyhatod\'aban
k\"ovetkezik be. De mit jelent a ,,k\"or\"ulbel\"ul'' sz\'o ezekben az
\'all\'{\i}t\'asokban?
 
Az a) probl\'ema eset\'eben a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel adhatunk pontosabb v\'alaszt erre a
k\'erd\'esre. V\'egezz\"unk \"osszesen $n$ kis\'erletet, \'es legyen
$S_n$ a fedob\'asok sz\'am\'at, akkor $\dfrac{S_n-\frac n2}
{\frac{\sqrt n}2}$ a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
k\"ovetkezt\'eben k\"ozel norm\'alis
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o.
Val\'oban vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_k$, $1\le k\le n$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_k=1$, ha a $k$-ik
dob\'as ered\-m\'e\-nye fej, $\xi_k=0$, ha a $k$-ik dob\'as
ered\-m\'e\-nye \'{\i}r\'as. Ekkor $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$,
$E\xi_k=\frac12$, $\Var\xi_k=\frac14$, tov\'abb\'a a $\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek. Ez\'ert a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik a
megfogalmazott ered\-m\'eny. Ennek seg\'{\i}ts\'eg\'evel
kidolgozhatunk egy term\'eszetes strat\'egi\'at. Term\'eszetesen
nem adhatunk olyan elj\'ar\'ast, amelyik biztosan helyes
d\"ont\'est ad. Pr\'o\-b\'al\-junk olyan d\"ont\'est hozni,
amelyik egy szab\'alyos p\'enzdarabot 0.9 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
sza\-b\'a\-lyos\-nak min\H{o}s\'{\i}t. Term\'eszetes elj\'ar\'as a
k\"ovetkez\H{o}: Keress\"uk ki egy nom\'alis
el\-osz\-l\'as\-t\'ab\-l\'a\-zat seg\'{\i}ts\'eg\'evel azt az $x$
sz\'amot, melyre $\Phi(x)-\Phi(-x)=0.9$, ahol $\Phi(x)$ jel\"oli a
standard norm\'alis eloszl\'ast. Ezut\'an tekints\"uk a
p\'enzdarabot szab\'alyosnak, ha
$-\frac12\sqrt n x\le S_n-\frac n2\le \frac12\sqrt n x$, ellenkez\H{o}
esetben pedig tekints\"uk a p\'enzdarabot szab\'alytalannak.
 
Lehet-e hasonl\'o m\'odszet megadni a b) feladat megold\'as\'ara?
A v\'alasz erre a k\'erd\'esre igenl\H{o}, de ennek
kidolgoz\'as\'ahoz be kell bizony\'{\i}tani  a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel t\"obb-di\-men\-zi\-\'os
v\'al\-to\-za\-t\'at. Legyen ugyanis
$S_n=(S^{(1)}_n,S^{(2)}_n,S^{(3)}_n,S^{(4)}_n,S^{(5)}_n,S^{(6)}_n)$
az 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-\"os \'es 6-os eredm\'eny\H{u} dob\'asok
sz\'ama, akkor ha $n$ dob\'ast hajtunk v\'egre. A k\'es\H{o}bb
t\'argyaland\'o t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelben ezen v\'eletlen vektor alkalmas
normaliz\'altj\'anak az aszimptotikus eloszl\'as\'ara kiv\'anunk
ered\-m\'enyt kapni. Vezess\"uk be $\xi^{(k)}=
(\xi^{(k)}_1,\xi^{(k)}_2,\xi^{(k)}_3,\xi^{(k)}_4,
\xi^{(k)}_5,\xi^{(k)}_6)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ot,
amelyiknek a $j$-ik koordin\'at\'aja 1, ha a $k$-ik dob\'as
eredm\'enye $j$, \'es ebben az esetben az \"osszes t\"obbi
koordin\'ata nulla. A $\xi^{(k)}$ vektor azt m\'eri, hogy a $k$-ik
dob\'asnak mennyi a hozad\'eka k\"ul\"onb\"oz\H{o}
dob\'aseredm\'enyek sz\'am\'ahoz, ez\'ert
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi^{(k)}$. Ez azt jelenti, hogy a
vizsg\'aland\'o $S_n$ v\'eletlen vektor el\H{o}\'all\'{\i}that\'o,
mint f\"uggetlen v\'eletlen vektorok \"osszege. Ez\'ert
term\'eszetes azt vizsg\'alni, hogy a klasszikus centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt hogyan lehet \'altal\'anos\'{\i}tani
v\'eletlen vektorokra. Mint a b) p\'elda mutatja, egy ilyen eredm\'eny
hasznos lehet term\'eszetes gyakorlati probl\'em\'ak megold\'as\'aban
is. Megjegyezz\"uk, hogy a b) probl\'em\'ahoz hasonl\'oan
t\'argyalhat\'o az al\'abbi c) probl\'ema:
\medskip
\item{c)} Legyen adva $k$ urna, \'es ezekbe egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul bedobunk $n$ goly\'ot egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul,
amelyek ugyanolyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esnek az egyes
urn\'akba. Pr\'o\-b\'al\-juk meg ellen\H{o}r\'{\i}zni azt,
hogy igaz-e, hogy a goly\'ok az egyes urn\'akba $p_1,\dots,p_k$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esnek. (Feltessz\"uk, hogy az
elv\'egzett kis\'erletek $n$ sz\'ama nagyon nagy.)
\medskip
Annak \'erdek\'eben, hogy a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt bebizony\'{\i}tsuk bizonyos
eredm\'enyeknek \'es fogalmaknak ki kell dolgozni a
t\"obb-dimenzi\'os megfelel\H{o}j\'et, \'{\i}gy defini\'alnunk
kell t\"obb-dimenzi\'os eloszl\'asok konvergenci\'aj\'at es a
karakterisztikus f\"uggv\'enyek t\"obb-dimenzi\'os megfelel\H{o}j\'et.
Ezut\'an be lehet bizony\'{\i}tani azt, hogy a t\"obb-dimenzi\'os
eloszl\'asokat is meghat\'arozza azok karakterisztikus
f\"uggv\'enye, \'es igaz az eloszl\'asok konvergenci\'ajank
elapt\'etelek\'ent elnevezett eredm\'eny t\"obb-dimenzi\'os
v\'al\-to\-za\-ta. Ezeket az eredm\'enyeket meg fogjuk fogalmazni,
de a bizony\'{\i}t\'asok r\'eszleteit, melyek l\'enyeg\'eben az
egy-dimenzi\'os esetben t\'argyalt bizony\'{\i}t\'asok
term\'eszetes m\'o\-do\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-b\'ol \'allnak,
elhagyjuk. Ezek az eredm\'eyek lehet\H{o}v\'e teszik, hogy a
t\"obb-dimenzi\'os cent\-r\'a\-lis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt
annak egy-dimenzi\'os v\'altozat\'ahoz hasonl\'oan bizony\'{\i}tsuk
be. S\H{o}t, val\'oj\'aban a helyzet m\'eg enn\'el is egyszer\'ubb.
Meg lehet mutatni, hogy a t\"obb-dimenzi\'os
centr\'alis-hat\'areloszl\'ast\'etel k\"ozvetlen
m\'odon visszavezethet\H{o} az egy-dimenzi\'os esetre.
 
A fenti \'all\'{\i}t\'asok r\'eszletesebb megt\'argyal\'asa lesz a
k\"ovetkez\H{o} programunk. De miel\H{o}tt ehhez hozz\'akezden\'enk,
megt\'argyaljuk az egy-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok vizsg\'alat\'aban fontos szerepet j\'atsz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet fogalm\'anak a t\"obb-dimenzi\'os
megfelel\H{o}it, a t\"obb-dimenzi\'os v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es a
kovarianciam\'atrix fogalm\'at. Ez ut\'obbi vizsg\'alat\'aban fontos
szerepet j\'atszanak bizonyos alapvet\H{o} line\'aris algebrai
ismeretek, mindenekel\H{o}tt a szimmetrikus m\'atrixok tulajdons\'agai,
\'es azok \'ugynevezett f\H{o}tengely transzform\'aci\'oja.
 
\medskip\noindent
{\script T\"obb-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es kovariancia m\'at\-rixa valamint azok
legfontosabb tulajdons\'agai.}
\medskip\noindent
El\H{o}sz\"oris ismertetem a t\'argyaland\'o fogalmak
definici\'oj\'at. \medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek \'es kovariancia m\'at\-ri\-x\'a\-nak
a definici\'oja.} {\it Legyen $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$ $k$-dimenzi\'os
v\'eletlen vektor. E v\'eletlen vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke az
$EZ=(EZ_1,\dots,EZ_k)$ $k$-dimenzi\'os vektor, felt\'eve, hogy
mindegyik $EZ_j$, $1\le j\le k$ v\'arhat\'o \'ert\'ek l\'etezik.
 
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy a $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$ v\'eletlen
vektor minden koordin\'at\'aja teljes\'{\i}ti az $EZ_j^2<\infty$,
$1\le j\le k$, felt\'etelt. Ekkor defini\'aljuk e v\'eletlen vektor
kovariancia m\'atrix\'at is, \'es az a $D=(d_{j,l})$, $1\le j,l\le k$,
$k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, mely m\'atrix $j$-ik
sor\'aban \'es $l$-ik oszlop\'aban l\'ev\H{o} elem a
$d_{j,l}=\Cov(Z_j,Z_l)=EZ_jZ_l-EZ_j EZ_l$ sz\'am.}
\medskip
Megfogalmazom meg a vektor\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek \'es kovariancia
m\'atrix\'anak n\'eh\'any fontos tulajdons\'ag\'at.
\medskip\noindent
{\bf 1. T\'etel.} {\it Legyenek $Z^{(j)}=\(Z^{(j)}_1,\dots,Z^{(j)}_k\)$,
$1\le j\le n$, v\'eletlen $k$-dimenzi\'os vektorok ugyanazon az
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ekkor a
$Z^{(1)}+\cdots+Z^{(n)}$ \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'eke megegyezik a
$Z^{(j)}$ vektorok v\'arhat\'o \'ert\'ekeinek az \"osszeg\'evel,
azaz
$$
E\(Z^{(1)}+\cdots+Z^{(n)}\)=EZ^{(1)}+\cdots+EZ^{(n)}.
$$
Ha egy $Z=\(Z_1,\dots,Z_k\)$, v\'eletlen
vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke $M=(M_1,\dots,M_k)$,
$a$ tet\-sz\H{o}\-le\-ges val\'os sz\'am, $x=(x_1,\dots,x_k)$
tetsz\H{o}leges $k$-dimenzi\'os vektor, akkor $E(Z+x)=EZ+x$, a $Z+x$
akkor  $aZ=\(aZ_1,\dots,aZ_k\)$, v\'eletlen vektor v\'arhat\'o
\'ert\'eke  $aM$, \'es $E(Z+x)=EZ+x$.}
\medskip
Ez az \'all\'{\i}t\'as k\"ovetkezm\'enye az egy-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'er\-t\'e\-k\'e\-r\H{o}l tanult eredm\'enyeknek.
\medskip\noindent
{\bf 2. T\'etel.} {\it Ha az 1. T\'etelben szerepl\H{o}
$Z^{(j)}$, $1\le j\le n$, v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek, vagy
\'altal\'anosabban a k\"ul\"onb\"oz\H{o} vektorok koordin\'at\'ai
korrel\'alatlanok, ami azt jelenti, hogy $\Cov
(Z^{(i)}_lZ^{(i')}_{l})=0$, ha $i\neq i'$, $1\le j,l\le k$, akkor a
kovariancia m\'atrix is addit\'{\i}v. R\'eszletesebben megfogalmazva:
Ha a $Z^{(j)}$ m\'atrix kovariancia m\'atrixa a $D_j$ m\'atrix,
$1\le j\le n$, akkor a $Z^{(1)}+\cdots+Z^{(n)}$ v\'eletlen \"osszeg
kovariancia m\'atrixa a $D_1+\cdots+D_n$ m\'atrix. Ha egy
$Z=\(Z_1,\dots,Z_k\)$, v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa a $D$
$k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, $a$ tetsz\H{o}leges val\'os sz\'am,
akkor az $aZ=\(aZ_1,\dots,aZ_k\)$, kovariancia m\'atrixa az $a^2D$
kovariancia m\'atrix. Tov\'abb\'a, ha $x=(x_1,\dots,x_k)$
tetsz\H{o}leges $k$-dimenzi\'os vektor, akkor a $Z+x$ vektor
kovariancia m\'atrixa megegyezik a $Z$ vektor kovariancia
m\'atrix\'aval.}
\medskip
A 2. T\'etel is egyszer\H{u} k\"ovetkezm\'enye az egy-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek
sz\'am\'{\i}t\'asar\'ol sz\'ol\'o \'all\'{\i}t\'asoknak. L\'assuk
p\'eld\'aul azt, hogyan lehet kisz\'am\'{\i}tanai az \"osszeg
kovarianciam\'atrix\'anak egy elem\'et
$$
\align
&\Cov(Z^{(1)}_j+\cdots+Z^{(n)}_j,
Z^{(1)}_l+\cdots+Z^{(n)}_l)=\summ_{i=1}^n\sum_{i'=1}^n
EZ^{(i)}_jZ^{(i')}_l -\summ_{i=1}^n\sum_{i'=1}^n EZ^{(i)}_j
EZ^{(i')}_l\\
&\qquad =\sum_{i=1}^n \Cov(Z^{(i)}_jZ^{(i)}_l)
+\sum_{1\le i,i'\le n,\, i\neq i'} \Cov(Z^{(i)}_jZ^{(i')}_l).
\endalign
$$
Viszont a jobboldalon szerepl\H{o} m\'asodik tag nulla a
$\Cov (Z^{(i)}_lZ^{(i')}_{l})=0$, ha $i\neq i'$, $1\le j,l\le k$,
felt\'etel miatt, az els\H{o} tag pedig megegyezik a $D_1+\cdots+D_n$
m\'atrix $j$-ik sor\'aban \'es $l$-ik oszlop\'aban szerepl\H{o}
taggal. A T\'etel t\"obbi \'all\'{\i}t\'as\'anak a bizony\'{\i}t\'asa
egyszer\H{u}bb.
\medskip
Meg akarjuk adni, hogy milyen m\'atrixok jelenhetnek meg, mint
alkalmas v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa. Ennek a
k\'erd\'esnek a vizsg\'alat\'aban fel kell haszn\'alnunk a line\'aris
algebra n\'eh\'any alapvet\H{o} fogalm\'at \'es eredm\'eny\'et.
El\H{o}sz\"or id\'ezz\"uk fel a k\"ovetkez\H{o} line\'aris algebrai
fogalmat. \medskip\noindent
{\bf Szimmetrikus \'es pozit\'{\i}v (szemi)definit m\'atrixok
definici\'oja.} {\it Legyen $D=(d_{j,l})$ egy $k\times k$ m\'eret\H{u}
m\'atrix. Azt mondjuk, hogy a $D$ m\'atrix szimmetrikus, ha minden
$1\le j,l\le k$ indexre $d_{j,l}=d_{l,j}$. (Pontosabban azt
k\"ovetelj\"uk meg, ha nemcsak val\'os, hanem \'altal\'anos komplex
\'ert\'ek\H{u} elemekkel rendelkez\H{o} m\'atrixokat is
tekint\"unk, ami ebben az el\H{o}ad\'asban nem fog el\H{o}fordulni),
hogy $d_{j,l}=\bar d_{l,j}$, ahol $\bar z$ a $z$ komplex sz\'am
konjug\'altja, azaz, ha $z=a+ib$, akkor $\bar z=a-ib$.) Egy
$k\times k$ m\'eret\H{u} szimmetrikus $D=(d_{j,l})$
m\'atrix pozit\'{\i}v szemidefinit, ha minden $x=(x_1,\dots,x_k)$
$k$-dimenzi\'os vektorra $xDx^*=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k x_j
d_{j,l} x_l\ge0$ \'es (szigor\'uan) pozit\'{\i}v definit, ha a
$xDx^*=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k x_j d_{j,l} x_l>0$ szigor\'u
egyenl\H{o}tlens\'eg is teljes\"ul minden
$(x_1,\dots,x_k)\neq(0,\dots,0)$ vektorra.
(Ebben a formul\'aban $x^*$ jel\"oli az $x$ vektor
transzpon\'altj\'at, azaz azt az oszlopvektort, melynek
f\"ol\"ulr\H{o}l sz\'am\'{\i}va $l$-ik eleme megegyezik az $x$ vektor
balr\'ol sz\'am\'{\i}tott $l$-ik elem\'evel. Ekkor $xDx^*$ a
szok\'asos vektor \'es m\'atrix szorz\'ast jel\"oli.)}
\medskip
Sz\"uks\'eges lesz a szimmetrikus m\'atrixok egyszer\H{u}
reprezent\'aci\'oj\'at \'es a pozit\'{\i}v sze\-mi\-de\-fi\-nit
m\'atrixok jellemz\'es\'et. Ez az eredm\'eny m\'artixok
\'ugynevezett f\H{o}\-ten\-gely\-transz\-for\-m\'a\-ci\'o\-inak
megad\'asa. Ennek az elnevez\'esnek az ok\'ar\'ol a t\'etel ut\'an
egy meg\-jegy\-z\'es\-ben \'{\i}rok. A t\'etel kimond\'asa el\H{o}tt
id\'ezz\"uk fel az unit\'er m\'atrixok definici\'oj\'at \'es
legfontosabb fogalmait.
 
Egy $U$ $k\times k$ m\'eret\H{u} n\'egyzetes m\'atrixot unit\'ernek
nevez\"unk, ha teljes\"ul az $UU^*=I$ azonoss\'ag, ahol $I$ az
identit\'as m\'atrix. Ez az azonoss\'ag akkor \'es csak akkor
teljes\"ul, ha \'erv\'enyes az $U^*U=I$ azonoss\'ag. Az unit\'er
m\'atrixok m\'as ekvivelens jellemz\'ese az, hogy sorai
(\'es egyben az oszlopai is) ortonorm\'alt vektorok. \'Erdemes
felid\'ezni az unit\'er m\'atrixok geometriai tartalm\'at is. Egy $U$
m\'atrix akkor \'es csak akkor unit\'er, ha az \'altala meghat\'arozott
transzform\'aci\'o t\'avols\'ag (\'es ez\'ert egyben sz\"ogtart\'o)
transzform\'aci\'o.
\medskip\noindent
{\bf Szimmetrikus m\'atrixok f\H{o}tengelytranszform\'aci\'oj\'ar\'ol
sz\'ol\'o t\'etel.} {\it Egy $A$ szim\-met\-ri\-kus m\'atrix
fel\'{\i}rhat\'o $A=U\Lambda U^*$ alakban, ahol $U$ unit\'er,
$\Lambda$ pedig diagon\'alis m\'atrix. Egy $k\times k$ m\'eret\H{u}
szim\-met\-ri\-kus $A$ m\'atrix $A=U\Lambda U^*$
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at meg lehet adni a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon: L\'etezik az $A$ m\'atrixnak $k$ ortonorm\'alt
$u_1,\dots,u_k$ saj\'atvektora $\lambda_1$,\dots, $\lambda_k$
sa\-j\'at\-\'e\-rt\'e\-kek\-kel, azaz olyan vektorok \'es sz\'amok
melyekre teljes\"ul az $u_jA=\lambda_j u_j$, $1\le j\le k$,
azonoss\'ag. Ekkor az $U$ m\'atrixot megadhatjuk, mint azt a
m\'atrixot, melynek $j$-ik oszlopa az $u^*_j$ oszlopvektor, a
$\Lambda$ m\'atrix pedig ebben az esetben az a diagon\'alis
m\'atrix, melynek $j$-ik sor\'aban \'es $j$-ik oszlop\'aban a
$\lambda_j$ sz\'am \'all.
 
Egy $A$ m\'atrix akkor \'es csak akkor pozit\'{\i}v szemidefinit, ha
minden saj\'at\'ert\'eke nem negat\'{\i}v, \'es akkor (szigor\'uan)
pozit\'{\i}v definit, ha \"osszes saj\'at\'ert\'eke pozit\'{\i}v.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A f\H{o}tengelytranszform\'aci\'onak
szeml\'eletes tartalma a k\"ovetkez\H{o}. Egy $A$ m\'atrixnak (egy
r\"ogz\'{\i}tett ortonorm\'alt b\'azis eset\'en) megfelel egy
line\'aris transzform\'aci\'o. Ha a m\'atrix szimmetrikus,
(amelyik tulajdons\'ag megfogalmazhat\'o a neki megfelel\H{o} $A$
line\'aris transzform\'aci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel is, mint az
$(xA,y)=(yA,x)$ azonoss\'ag), akkor l\'etezik olyan ortonorm\'alt
b\'azis, melyben az $A$ m\'atrixnak megfelel\H{o} transzfom\'aci\'o
diagon\'alis. Az erre a koordin\'atarendszerre val\'o \'att\'er\'est
nevezik f\H{o}\-ten\-gely\-transz\-for\-m\'a\-ci\'o\-nak. A t\'etelben
megfogalmazott eredm\'eny tulajdonk\'eppen azt \'{\i}rja le, hogy a
transz\-for\-m\'a\-ci\'o\-nak ez a ,,sz\'ep'' koordin\'atarendszerben
megadott diagon\'alis alakja hogyan l\'atszik az eredeti
koordin\'atarendszerben.
\medskip
Ezut\'an a line\'aris algebrai el\H{o}k\'esz\'{\i}ts ut\'an meg tudjuk
fogalmazni \'es be tudjuk bizony\'{\i}tani a kovarianciam\'atrixok
jellemz\'es\'et kimond\'o t\'etelt.
 
\medskip\noindent
{\bf T\'etel a kovariancia m\'atrixok  jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it
Legyen $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$ egy $k$-dimenzi\'os v\'eletlen vektor.
Ekkor a $Z$ vektor kovariancia m\'atrixa szimmetrikus \'es
pozit\'{\i}v szemi\-de\-fi\-nit m\'atrix. Megford\'{\i}tva,
tetsz\H{o}leges $D$ szimmetrikus, pozit\'{\i}v szemidefinit
m\'at\-rix\-hoz l\'etezik olyan $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$ v\'eletlen
vektor, melynek ez a $D$ m\'atrix a kovariancia m\'atrixa. S\H{o}t
igaz a k\"ovetkez\H{o} tartalmasabb \'all\'{\i}t\'as is: Legyen
$Y=(Y_1,\dots,Y_k)$ olyan v\'eletlen vektor, melynek a kovariancia
m\'atrixa az identit\'as m\'atrix, azaz $\Var Y_j=1$, $1\le j\le k$,
$\Cov(Y_j,Y_l)=0$, ha $1\le j,l\le k$, \'es $j\neq l$. (Ez a helyzet
p\'eld\'aul akkor, ha az $Y_j$, $1\le j\le k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, \'es $\Var Y_j=1$.) Ekkor l\'etezik olyan $A=(a_{j,l})$
$k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, melyre igaz, hogy a
$Z=(Z_1,\dots,Z_k)=(Y_1,\dots,Y_k)A=\(\summ_{p=1}^k a_{1,p}Y_p,\dots,
\summ_{p=1}^k a_{k,p}Y_p\)$ v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa
a $D$ m\'atrix.}
\medskip
A bizony\'{\i}t\'as felhaszn\'alja a k\"ovetkez\H{o} line\'aris
algebrai eredm\'enyt.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel a line\'aris algebr\'ab\'ol.} {\it Legyen $D$ pozit\'{\i}v
szemidefinit m\'atrix. Ekkor l\'etezik olyan $A$ m\'atrix, melyre
\'erv\'enyes a $D=A^*A$ azonoss\'ag, ahol $A^*$ az $A$ m\'atrix
transz\-po\-n\'alt\-j\'at jel\"oli. S\H{o}t, azt is feltehetj\"uk,
hogy az $A$ m\'atrix \"onadjung\'alt \'es pozit\'{\i}v szemidefinit.}
\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa a line\'aris algebr\'ar\'ol
kimondott t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel.} Tekints\"unk el\H{o}sz\"or
egy $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$ egy $k$-dimenzi\'os v\'eletlen vektort \'es
annak $D=\(d_{j,l}\)$, $d_{j,l}=\Cov (Z_j,Z_l)$, $1\le j,l\le k$,
kovariancia m\'atrix\'at. Ekkor $D$ szimmetrikus m\'atrix, mert
$d_{j,l}=d_{l,j}$, azaz $\Cov(Z_j,Z_l)=\Cov(Z_l,Z_j)$. M\'asr\'eszt
tetsz\H{o}leges $x=(x_1,\dots,x_k)$ $k$-dimenzi\'os vektorra
$\Var\(\summ_{j=1}^k x_jZ_j\)\ge0$. Ezenk\'{\i}v\"ul
$$
\align
\Var\(\summ_{j=1}^k x_jZ_j\)&=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k
E\(x_jx_l(Z_jZ_l-EZ_jEZ_l)\)=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k
x_jx_l\Cov(Z_j,Z_l)\\
&=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k x_jx_ld_{j,l}=xDx^*.
\endalign
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy $xDx^*\ge0$ tetsz\H{o}leges
$x=(x_1,\dots,x_k)$ $k$-dimenzi\'os vektorra, azaz $D$ szimmetrikus
pozit\'{\i}v szemi\-defi\-nit m\'atrix.
 
Megford\'{\i}tva, legyen $D$ pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix,
\'es $Y=(Y_1,\dots,Y_k)$ olyan v\'eletlen vektor, melynek a
kovariancia m\'atrixa az identit\'as m\'atrix, azaz $\Var Y_j=1$,
$1\le j\le k$, $\Cov(Y_j,Y_l)=0$, ha $1\le j,l\le k$, \'es $j\neq l$.
A kimondott line\'aris algebrai eredm\'eny szerint l\'etezik olyan
$A=\(a_{j,l}\)$, $1\le j,l\le k$ $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix,
melyre $D=A^*A$. Azt \'all\'{\i}tom, hogy a $Z=(Z_1,\dots,Z_k)=YA$,
azaz a $Z=(Z_1,\dots,Z_k)$, $Z_j=\summ_{p=1}^k a_{p,j}Y_p$, $1\le j\le
k$, v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa a $D$ m\'atrix. Innen
k\"ovetkezik a fel\-adat m\'asodik \'all\'{\i}t\'asa is. Ennek az
azonoss\'agnak a bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki a
$\Cov(Z_j,Z_l)$, $1\le j,l\le k$, kovarianci\'akat. Azt kapjuk, hogy
$\Cov (Z_j,Z_l)=\Cov\(\summ_{p=1}^k a_{p,j}Y_p, \summ_{q=1}^k
a_{q,l} Y_q\)$, ez\'ert $\Cov (Z_j,Z_l)=\summ_{p=1}^k\summ_{q=1}^k
a_{p,j}a_{q,l}\Cov(Y_p,Y_q)$, ahonnan mivel $\Cov(Y_p,Y_q)=0$, ha
$p\neq q$, \'es $\Cov(Y_p,Y_p)=1$, $\Cov(Z_j,Z_l)
=\summ_{p=1}^ka_{p,j}a_{p,l}=d_{j,l}$, ahol $d_{j,l}$ a $D=A^*A$
m\'atrix $j$-ik sor\'aban \'es $l$-ik oszlop\'aban szerepl\H{o}
konstans. Ezt kelllett bebizony\'{\i}tanunk
\medskip\noindent
{\it A felhaszn\'alt line\'aris algebrai t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}
\'Irjuk fel az $D$ m\'atrixot $D=U\Lambda U^*$ alakban, ahol $U$
unit\'er, $\Lambda$ pedig diagon\'alis m\'atrix. Az, hogy az $D$
m\'atrix pozit\'{\i}v szemidefinit azt jelenti, hogy a $\Lambda$
diagon\'alis m\'atrix $\lambda_j$, $1\le j\le k$, elemei nem
negat\'{\i}vak. Ez\'ert l\'etezik az $\sqrt\Lambda$ diagon\'alis
m\'atrix, melynek $j$-ik sor\'anak $j$-ik oszlop\'aban a $\sqrt
{\lambda_j}$ elem \'all. Defini\'aljuk az $A=U\sqrt\Lambda U^*$
m\'atrixot. Ekkor $A$ szimmetrikus m\'atrix, mert $A^*=(U\sqrt\Lambda
U^*)^*=U\sqrt\Lambda U^*=A$, valamint $A^*A=A^2=U\sqrt\Lambda
U^*U\sqrt\Lambda U^* =U\Lambda U^*=D$. Az $A$ m\'atrix
pozit\'{\i}v szemidefinit is egyben, ha a $\lambda_j$ sz\'amok
pozit\'{\i}v n\'egyzetgy\"okeit vessz\"uk.)
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es a  line\'aris algebrai t\'etelhez:}\/
A nem negat\'{\i}v sz\'amoknak a pozit\'{\i}v szemidefinit
m\'atrixok felelnek meg magasabb dimenzi\'oban. A megfogalmazott
ered\-m\'eny azt mondja ki, hogy pozit\'{\i}v szemidefinit
m\'atrixokb\'ol, hasonl\'oan a nem negat\'{\i}v sz\'a\-mok\-hoz
lehet n\'egyzetgy\"ok\"ot vonni. Ez a n\'egyzetgy\"okvon\'as nem
egy\'ertelm\H{u}. P\'eld\'aul egy megold\'as ismeret\'eben a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon lehet \'uj megold\'asokat kapnin. Ha
$D=A^*A$ \'es $U$ unit\'er transzform\'aci\'o, akkor az $\bar A=UA$
m\'atrixra is teljes\"ul, hogy ${\bar A}^*\bar A=A^*U^*UA=A^*A=D$,
teh\'at $A^*$ is megold\'asa a tekintett egyenletnek. Jegyezz\"uk
meg, hogy val\'os sz\'amok k\"oz\"ott is csak akkor egy\'ertelm\H{u}
a gy\"okvon\'as, ha csak a pozit\'{\i}v gy\"ok\"ot tekintj\"uk.
Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak \'erv\'enyes a k\"ovetkez\H{o}
t\"obb-di\-men\-zi\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'asa: A $D=A^*A$
egyenletnek pontosan egy szimmetrikus pozit\'{\i}v szemidefinit
megold\'asa van. Ennek bizony\'{\i}t\'asa nem neh\'ez, de mivel erre
nem lesz sz\"uks\'eg\"unk, ez\'ert a bizony\'{\i}t\'ast elhagyon.
\medskip
Val\'os \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sz\'or\'asn\'egyzete nem-negat\'{\i}v, teh\'at nem z\'artuk ki
annnak a leht\H{o}s\'eg\'et sem, hogy nulla. De ez csak abban az
elfajult esetben lehets\'eges, ha a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o konstans, azaz 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel  ugyanazt az \'ert\'eket veszi fel.
Hasonl\'oan, a t\"obb-dimenzi\'os esetben csak azt k\"ovetelt\"uk
meg, hogy a v\'eletlen vektor kovarianciam\'atrixa pozit\'{\i}v
szemidefefinit legyen, de megendedt\"uk, hogy ne legyen (szigor\'uan)
pozit\'{\i}v definit. De ha a kovarianciam\'atrix nem
pozit\'{\i}v definit az bizonyos elfajults\'agot jelent, \'es
akkor a v\'eletlen vektozoknak van olyan nem trivi\'alis line\'aris
kombin\'aci\'oja, amelyik egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konstans.
Ezt a t\'enyt fogalmazzuk meg az al\'abbi Lemm\'aban.
\medskip \noindent
{\bf Lemma.} {\it Egy $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
$D=(d_{i,j})$ kovariancim\'atrixa akkor \'es csak akkor nem
(szigor\'uan) pozit\'{\i}v definit, ha l\'eteznak olyan $a_j$, $1\le
j\le k$, sz\'amok, melyek nem mindegyike nulla, \'es
$\summ_{j=1}^ka_j\xi_j=K$ valamilyen $K$
(determinisztikus) konstanssal egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Ha l\'eteznek olyan $a_1,\dots,a_k$
sz\'amok, melyek nem mindegyike nulla, \'es $\summ_{j=1}^ka_j\xi_j=K$
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, akkor
$$
0=\Var \(\summ_{j=1}^ka_j\xi_j\)=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^ka_ia_j\Cov
(\xi_i,\xi_j)=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^ka_ia_j  d_{i,j},
$$
ami azt jelenti, hogy a $D=(d_{i,j})$ m\'atrix nem (szigor\'uan)
pozit\'{\i}v definit.
 
Megford\'{\i}tva, ha a $D=(d_{i,j})$ m\'atrix nem (szigor\'uan)
pozit\'{\i}v definit, akkor l\'eteznek olyan $a_1,\dots,a_k$ sz\'amok,
melyek nem mindegyike nulla \'es $\summ_{i=1}^k\summ_{j=1}^k a_i a_j
d_{i,j}=0$. Ekkor a $\summ_{i=1}^ka_i\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ora
$$
\Var \(\summ_{j=1}^ka_j\xi_j\)=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^ka_ia_j\Cov
(\xi_i,\xi_j)=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^ka_ia_j  d_{i,j}=0,
$$
ahonnan $\summ_{i=1}^ka_i\xi_k=K$ valamilyen $K$ konstansra egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
 
 
 
 
 \bye
 
 
