\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2.5pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\font\script=cmcsc10
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II.
el\H{o}ad\'assorozat hatodik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2002. okt\'ober 15.}
\medskip
\centerline{\bf A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.}
\medskip\noindent
Ebben az el\H{o}ad\'asban a f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'ere vonatkoz\'o centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etellel foglalkozunk. Ezt az eredm\'enyt a
lehet\H{o} leg\'altal\'anosabb form\'aban fogalmazzuk meg, \'es
t\'argyaljuk annak legfontosabb speci\'alis eseteit, melyek
felt\'eteleit viszonylag k\"onnyen ellen\H{o}r\'{\i}zhetj\"uk.
Annak \'erdek\'eben, hogy ezt a programot v\'eg\-re\-hajt\-suk,
be kell vezetn\"unk n\'eh\'any fontos fogalmat.
 
El\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} fogalmakat vezetj\"uk be:
\medskip\noindent
{\bf Sz\'eriasorozatok definici\'oja.} {\it A
$$
\align
&\xi_{1,1},\dots,\xi_{1,n_1}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots   \\
&\xi_{k,1},\dots,\xi_{k,n_k}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots
\endalign
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok rendszere egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\'on, $k\to\infty$,
sz\'e\-ria\-so\-ro\-zat, ha az egy sorban lev\H{o} $\xi_{k,1}$,\dots,
$\xi_{k,n_k}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"ug\-get\-le\-nek. (A k\"ul\"onb\"oz\H{o} sorokban lev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok kapcsolat\'ar\'ol nem
t\'etelez\"unk fel semmit.)} \medskip
Tekints\"uk egy $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
sz\'eriasorozat egy sorban l\'ev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oinak $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ \"osszegeit. Azt
fogjuk vizsg\'alni, hogy az $S_k$ \"osszegek $k\to\infty$ esetben
mikor konverg\'alnak eloszl\'asban a norm\'alis eloszl\'ashoz. A
k\'erd\'es h\'atter\'eben az a k\'ep van, hogy  a bevezet\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as el\H{o}ad\'asban ta\-nult
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel azt sugallja, hogy nagyon
\'altlal\'anos esetben, ha sok kis f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot \"osszeadunk, akkor az
\"osszeg eloszl\'asa ,,majdnem el\-fe\-lej\-ti'' az egyes
\"osszeadand\'ok eloszl\'as\'at, \'es k\"ozel norm\'alis eloszl\'as\'u
lesz. Ilyen eredm\'enyt azonban csak akkor v\'arhatunk, ha az
egyes \"osszeadand\'ok az \"osszeghez k\'epest nagyon kicsik. Ezt a
tulajdons\'agot viszont meg kell fogalmaznunk pontosabban. Ez a
c\'elja az al\'abbi egyenletes kicsis\'eg definici\'oj\'anak.
\medskip\noindent
{\bf(Normaliz\'alt) sz\'eriasorozat egyenletes kicsis\'eg\'enek a
definici\'oja.} {\it Legyen
$$
\align
&\xi_{1,1},\dots,\xi_{1,n_1}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots \\
&\xi_{k,1},\dots,\xi_{k,n_k}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots
\endalign
$$
sz\'eriasorozat, melynek tagja teljes\'{\i}tik a $E\xi_{k,j}=0$,
$E\xi_{k,j}^2=\sigma_{k,j}^2<\infty$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
felt\'eteleket, tov\'abb\'a az $S_k^2$ sor\"osszegek
$ES_k^2=\summ_{j=1}^{n_k}\sigma_{k,j}^2$ sz\'or\'asn\'egyzetei
teljes\'{\i}tik a $\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\sigma_{k,j}^2=1$
rel\'aci\'ot. Azt mondjuk, hogy ez a sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti az
egyenletes kicsis\'eg felt\'etel\'et, ha teljes\"ul a
$$
\limm_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}\sigma_{k,j}^2=0
$$
rel\'aci\'o.} \medskip
Az egyenletes kicsis\'eg szeml\'eletes tartalma vil\'agos. Nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'okat tekint\"unk, \'es ezek nagys\'ag\'at term\'eszetes a
sz\'or\'asn\'egyzettel m\'erni. Nagy $k$-ra a $k$-ik sor\"osszeg
sz\'or\'asn\'egyzete k\"ozel 1, \'es azt k\'{\i}v\'anjuk, hogy az
\"osszegben szerepl\H{o} v\'altoz\'ok
sz\'or\'asn\'egyzet\'enek a maximuma is sokkal kisebb enn\'el.
 
Az \'erdekel minket, hogy az egyenletes kicsis\'eg felt\'eel\'et
teljes\'{\i}t\H{o} (normaliz\'alt) sz\'e\-ria\-so\-ro\-zat
$S_k$ sor\"osszegei mikor teljes\'{\i}tik a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt, azaz mikor konverg\'alnak eloszl\'asban a
standard norm\'alis eloszl\'ashoz. Kimondunk \'es bebizony\'{\i}tunk
egy t\'etelt, mely szerint egy nagyon \'altal\'anos felt\'etel, az
\'ugynevezett Lindeberg felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel \'erv\'enyes. Megfogalmazok egy
olyan ered\-m\'enyt is, mely szerint a Lindeberg felt\'etel nemcsak
el\'egs\'eges, de sz\"uks\'eges felt\'etele is a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelnek. Ennek az ered\-m\'eny\-nek a
bizony\'{\i}t\'as\'at azonban csak a (nem k\"otelez\H{o} tananyaghoz
tartoz\'o) kieg\'esz\'{\i}t\'esben ismertetem. T\'argyalni fogjuk
m\'eg azt, hogy a sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok\-ra kimondott t\'etel
mit mond ki f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegeire. Tov\'abb\'a megfogalmazom a
bebizony\'{\i}tott ered\-m\'eny n\'eh\'any k\"ovetkezm\'eny\'et,
melyek a centr\'alis hat\'areloszl\'as teljes\"ul\'es\'et
fogalmazz\'ak meg bizonyos a Lindeberg felt\'eteln\'el szigor\'ubb,
de gyakran k\"onnyebben ellen\H{o}rizhet\H{o} felt\'etel
teljes\"ul\'ese eset\'en.
 
El\H{o}sz\"or megfogalmazzuk a Lindeberg felt\'etelt.
\medskip\noindent
{\bf Lindeberg felt\'etel definici\'oja sz\'eriasorozatokra:}
{\it Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, olyan
sz\'eriasorozat, melyre $E\xi_{k,j}=0$, $E\xi_{k,j}^2<\infty$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, \'es
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$. Ez a
sz\'eriasorozat akkor \'es csak akkor teljes\'{\i}ti a Lindeberg
felt\'etelt, ha tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2I\(\{|\xi_{k,j}|>\e\}\)=0,
$$
ahol $I(A)$ egy $A$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'enye.}
\medskip\noindent
{\bf Centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel sz\'eriasorozatokra a
Lindeberg felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en.}
{\it Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, olyan
sz\'eriasorozat, melyre $E\xi_{k,j}=0$, $E\xi_{k,j}^2<\infty$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$, \'es
teljes\'{\i}tse e sz\'eriasorozat a Lindeberg felt\'etelt. Ekkor
\item{a.)} a sz\'eriasorozat tagjai teljes\'{\i}tik a
$\limm_{k\to\infty}\(\supp_{1\le j\le n_k}E\xi_{k,j}^2\)=0$
kicsis\'egi felt\'etelt.
\item{b.)} Az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$, $1\le k<\infty$,
v\'eletlen \"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak  a standard, azaz
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es 1 sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
norm\'alis eloszl\'ashoz, ha $k\to\infty$.}
\medskip
\'Erv\'enyes az el\H{o}bbi eredm\'eny k\"ovetkez\H{o}
megford\'{\i}t\'asa:
\medskip\noindent
{\bf T\'etel arr\'ol, hogy a Lindeberg felt\'etel a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelnek sz\"uk\-s\'e\-ges felt\'etele.}
{\it Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, olyan
sz\'eriasorozat, melyre $E\xi_{k,j}=0$, $E\xi_{k,j}^2<\infty$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$, \'es
teljes\'{\i}tse ez a sz\'eroasorozat a kicsis\'egi
felt\'etelt, azaz legyen
$\limm_{k\to\infty}\(\supp_{1\le j\le n_k}E\xi_{k,j}^2\)=0$.
Tegy\"uk fel ezen k\'{\i}v\"ul azt, hogy az
$S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$, $1\le k<\infty$,
v\'eletlen \"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak  egy
1 sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} \'es tetsz\H{o}leges v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} norm\'alis norm\'alis eloszl\'ashoz, ha $k\to\infty$.
Ekkor a $\xi_{k,j}$, $1\le k<\infty$, $1\le j\le n_k$,
sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ \'Erdemes k\"ul\"on hangs\'ulyozni, hogy a
centr\'alis ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel fent megfogalmazott
megford\'{\i}t\'as\'aban nem csak azt
k\"ovetelt\"uk meg, hogy a sz\'eriasorozat
$S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$, $1\le k<\infty$,
r\'eszlet\"osszegei a norm\'alis eloszl\'ashoz konverg\'aljanak,
hanem azt is, hogy a hat\'areloszl\'asnak, ,,a v\'art
sz\'or\'asn\'egyzete'' legyen, azaz, hogy egy olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzete
melynek elosz\'asa megegyezi a tekintett eloszl\'asok
hat\'areloszl\'as\'aval legyen egyenl\H{o} a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sz\'or\'asn\'egyzet\'enek a
hat\'ar\'ert\'ek\'evel. K\'es\H{o}bb fogunk l\'atni p\'eld\'at arra,
hogy az el\H{o}z\H{o,} a centr\'alis
ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel
megford\'{\i}t\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etelb\H{o}l ez a felt\'etel
nem hagyhat\'o el. \medskip
B\'ar a Lindeberg f\'ele centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel f\H{o}
\'all\'{\i}t\'as\'at csak k\'es\H{o}bb bizony\'{\i}tjuk, m\'ar most
megmutatjuk, hogy a Lindeberg felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik az
egyenletes kicsis\'eg felt\'etele. Ennek \'erdek\'eben jel\"olj\"uk
$F_{k,j}(\cdot)$-vel a $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et, \'es \'{\i}rjuk fel
a Lindeberg felt\'etelt az $F_{k,j}$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
\sum_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2I\(\{|\xi_{k,j}|>\e\}\)=
\sum_{j=1}^{n_k}\int_{|u|>\e} u^2 F_{k,j}(\,du),
$$
\'es $E\xi_{k,j}^2=\int_{-\infty}^\infty u^2F_{k,j}(\,du)$. Innen
$$
E\xi_{k,j}^2=\int_{-\e}^\e u^2 F_{k,j}(\,du)+
\int_{|u|\ge -\e} u^2F_{k,j}(\,du)
\le \e^2+\sum_{j=1}^{n_k}\int_{|u|>\e} u^2 F_{k,j}(\,du)
$$
tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra. Viszont a Lindeberg felt\'etel azt
jelenti, hogy az utols\'o egyenl\H{o}tlens\'eg jobboldal\'an
szerepl\H{o} kifejez\'es m\'asodik tagja $k\to\infty$ eset\'en
null\'ahoz tart, ez\'ert $\limsupp_{k\to\infty}\(\supp_{1\le j\le
n_k}E\xi_{k,j}^2\)\le\e$. Mivel ez az \'all\'{\i}t\'as minden $\e>0$
sz\'amra \'erv\'enyes, innen k\"ovetkezik, hogy a $\xi_{k,j}$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$ sz\'eriasorozat
teljes\'{\i}ti az egyenletes kicsis\'eg felt\'etel\'et.
\medskip
Most pedig t\'argyaljuk meg, mit jelent a Lindeberg f\'ele
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegeire. Legyen adva f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_1,\xi_2,\dots$, sorozata
egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, \'es
tegy\"uk fel, hogy mindegyik $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak l\'etezik az $E\xi_k^2<\infty$ m\'asodik momentuma.
Vezess\"uk be az $E\xi_k=m_k$,
$\Var\xi_k=E\xi_k^2-(E\xi_k)^2=\sigma^2_k$, $k=1,2,\dots$,
jel\"ol\'eseket, valamint legyen $S_k=\summ_{j=1}^n\xi_j$,
$j=1,2,\dots$. Term\'eszetes a k\"ovetkez\H{o} sz\'eriasorozatot
defini\'alni, $\xi_{k,j}=\dfrac{\xi_k-E\xi_k}{\sqrt{\Var S_k}}$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le k$. Ny\'{\i}lv\'an, $\Var
S_k=\summ_{j=1}^k\sigma^2_k$, $\dfrac{S_k-ES_k}{\sqrt{\Var
S_k}}=\summ_{j=1}^k\xi_{k,j}$. Tov\'abb\'a az \'{\i}gy defini\'alt
$\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $k=1,2,\dots$,
$1\le j\le k$, sz\'eriasorozatot alkotnak (r\"ogz\'{\i}tett $k$
indexre a $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $1\le
j\le k$, f\"uggetlenek). Teh\'at, ha a $\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok olyanok, hogy a bel\H{o}l\"uk
k\'esz\'{\i}tett $\xi_{k,j}$ sorozat teljes\'{\i}ti a Lindeberg
f\'ele centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel felt\'eteleit, akkor
\'erv\'enyes a $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegeire a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel. Megfogalmazzuk el\H{o}sz\"or a
sz\"uks\'eges fogalmakat a $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel, majd a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel Lindeberg-f\'ele v\'altozat\'at f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegeire. V\'eg\"ul megfogalmazom annak n\'eh\'any
\'erdekes k\"ovetkezm\'eny\'et, azt, hogy hogyan lehet
bebizony\'{\i}tani a seg\'{\i}ts\'eg\'evel a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt bizonyos k\"onnyen ellen\H{o}rizhet\H{o}
felt\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip\noindent
{\bf Lindeberg felt\'etel f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozataira:} {\it Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, melyre
$E\xi_n=0$, $\sigma_n^2=E\xi_n^2<\infty$, $n=1,2,\dots$, \'es
az $s^2_n=\summ_{k=1}^n\sigma_k^2$, $n=1,2,\dots$, sorozat
teljes\'{\i}ti a $\limm_{n\to\infty}s_n^2=\infty$ felt\'etelt. Azt
mondjuk, hogy a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat teljes\'{\i}ti a
Lindeberg felt\'etelt, ha minden $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{n\to\infty}\frac1{s_n^2}\sum_{k=1}^nE\xi_k^2I(\{|\xi_k|>\e
s_n\})=0.
$$
}\medskip
Megfogalmazzuk a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt \"osszeg\'ere,
ha ez a sorozat teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt. Ez az
eredm\'eny egyszer\H{u} k\"ovetkezm\'enye a sz\'eriasorozatokra
kimondott centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelnek a Lindeberg
felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en valamint annak az el\H{o}bb
le\'{\i}rt egyszer\H{u} konstrukci\'onak, melyben f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sorozat\'anak
seg\'{\i}ts\'eg\'evel de\-fi\-ni\-\'al\-tunk egy sz\'eriasorozatot.
\medskip\noindent
{\bf A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'esz\-let\-\"ossze\-gei\-re a Lindeberg felt\'etel teljes\"ul\'ese
eset\'en.} {\it Legyen $\xi_j$, $j=1,2,\dots$, f\"ug\-get\-len
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
sorozata, melyre $E\xi_j^2<\infty$, $j=1,2,\dots$,
\'es a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2$ sz\'or\'asn\'egyzeteire \'erv\'enyes
a $\limm_{n\to\infty}\summ_{j=1}^{n}\sigma_j^2=\infty$ felt\'etel,
\'es a $\bar\xi_j=\xi_j-E\xi_j$, $j=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a Lindeberg
felt\'etelt. Ekkor
\item{a.)} a $\xi_j$, $j=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
teljes\'{\i}tik az al\'abbi kicsis\'egi felt\'etelt:
$$
\limm_{k\to\infty}\(\supp_{1\le j\le
k}\frac{\Var\xi_{j}}{\summ_{j=1}^k\Var\xi_j}\)=0.
$$
\item{b.)} Az $S_n=\summ_{k=1}^{n}\xi_{k}$ v\'eletlen \"osszegek
$\bar S_n=\dfrac{S_n-ES_n}{\sqrt{\Var S_n}}$, $1\le n<\infty$,
normaliz\'altjai eloszl\'asban konverg\'alnak  a standard, azaz
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es 1 sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
norm\'alis el\-osz\-l\'as\-hoz, ha $n\to\infty$.}
\medskip
Az al\'abb megfogalmazott eredm\'eny arr\'ol sz\'ol, hogy n\'eh\'any
egyszer\H{u} \'es fontos esetben teljes\"ul a Lindeberg felt\'etel
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozat\'ara,
ez\'ert ezek normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegei teljes\'{\i}ti a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt.
\medskip\noindent
{\bf 1. T\'etel.} {\it Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, melyre $E\xi_n=0$,
$\sigma_n^2=E\xi_n^2<\infty$, $n=1,2,\dots$,
$\limm_{n\to\infty}s_n^2=\infty$, ahol $s_n^2=\summ_{k=1}^n\sigma_k^2$.
Ez a sorozat teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt, ha a
k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agok egyike teljes\"ul.
\medskip
\item{a.)} A f\"uggetlen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyforma eloszl\'as\'uak.
\item{b.)} $E|\xi_k|^{2+\alpha}<\infty$, minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra
valamilyen $\alpha>0$ konstanssal, \'es $\limm_{n\to\infty}\dfrac
{\(\summ_{k=1}^n E|\xi_k|^{2+\alpha}\)^{2/(2+\alpha)}}{s_n^2}=0$.
Speci\'alisan, ez a felt\'etel teljes\"ul akkor, ha $E\xi_k^2\ge K$
valamilyen $K>0$ sz\'ammal minden $k=1,2,\dots$ indexre, \'es
ezenk\'{\i}v\"ul \'erv\'enyes a $\limm_{k\to\infty}k^{-\alpha/2}
E|\xi_k|^{2+\alpha}=0$ rel\'aci\'o.}
\medskip\noindent
{\it Az 1. T\'etel bizony\'{\i}t\'asa:}\/ El\H{o}sz\"or az a) r\'eszt
bizony\'{\i}tjuk be. Ha $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata,
$E\xi_1=0$, $0<E\xi_1^2<\infty$, akkor $\dfrac1{s_n^2}\summ_{k=1}^n
E\xi_k^2I(|\xi_k|>\e s_n)=\dfrac1{E\xi_1^2} E\xi_1^2I\(|\xi_1|>\e
\sqrt{nE\xi_1^2}\)\to0$, ha $n\to\infty$, mert az
$A_n=\{\oo\:|\xi_1(\oo)|>\e \sqrt{nE\xi_1^2}\}$, halmazok egym\'asba
skatuly\'azottak, \'es metszet\"uk az \"ures halmaz, azaz $A_1\supset
A_2\supset A_3\supset\cdots$, \'es $\bigcapp_{n=1}^\infty
A_n=\emptyset$.
 
A b) \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben vegy\"uk
\'eszre, hogy a H\"older egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
$$
\align
\summ_{k=1}^n E\xi_k^2I(|\xi_k|>\e s_n)
&\le \sum_{k=1}^n \( E|\xi_k|^{(2+\alpha)}\)^{(2/\alpha+2)}
P(|\xi_k|>\e s_n)^{\alpha/(2+\alpha)}\\
&\le \( \summ_{k=1}^n
E|\xi_k|^{(2+\alpha)}\)^{(2/\alpha+2)}\(\summ_{k=1}^n P(|\xi_k|>\e
s_n)\)^{\alpha/(2+\alpha)}.
\endalign
$$
(A H\"older egyenl\H{o}tlens\'eg azt \'all\'{\i}tja, hogy v\'eve egy
$(X,\Cal X)$ t\'eren defini\'alt $f$ \'es $g$ f\"uggv\'eny
szorzat\'anak egy az ezen a t\'eren defini\'alt $\mu$ m\'ert\'ek
szerinti (Lebesgue integr\'alj\'at) e kifejez\'es teljes\'{\i}ti az
$\left|\int f(\oo)g(\oo)\,d\mu(\oo)\right|\le
\(\int|f(\oo)|^p\,d\mu(\oo)\)^{1/p}\(\int|g(\oo)|^q\,d\mu(\oo)\)^{1/q}$
minden olyan $(p,q)$ sz\'amp\'arra, melyre $p>0$, $1>0$ \'es
$\dfrac1p+\dfrac1q=1$. Jelen esetben ezt a fel\'{\i}rt
egyenl\H{o}tlens\'egsor els\H{o} egyenl\H{o}tlens\'eg\'enak a
bizony\'{\i}t\'as\'aban az $(\Omega,\Cal A)$ t\'eren a $P$ m\'ert\'ek
szerint integr\'alunk, \'es az $f(\oo)=\xi_k(\oo)^2$ \'es
$g(\oo)=I(|\xi_k(\oo)|>\e s_n)$ f\"uggv\'enyekre
al\-kal\-maz\-zuk a H\"older egyenl\H{o}tlens\'eget minden $k=1,\dots,n$
indexre $p=\dfrac{2+\alpha}2$ \'es $q=\dfrac{2+\alpha}\alpha$
v\'alaszt\'assal. A m\'asodik egyenl\H{o}tlens\'eg
bizony\'{\i}t\'as\'aban a H\"older egyenl\H{o}tlens\'egnek a
k\"ovetkez\H{o} speci\'alis eset\'et al\-kal\-maz\-zuk:
$\left|\summ_{k=1}^n A_kB_k\right|\le\(\summ_{k=1}^n|A_k|^p\)^{1/p}
\(\summ_{k=1}^n|B_k|^q\)^{1/q}$, ha $p>0$ \'es $q>0$,
$\dfrac1p+\dfrac1q=1$. (Ezt az egyenl\H{o}tlens\'eget \'all\'{\i}tja
a H\"older egyenl\H{o}tlens\'eg abban a speci\'alis esetben, ha az
$X=\{1,\dots,n\}$ v\'eges halmaz r\'eszhalmazain bevezetj\"uk azt a
m\'ert\'eket, amelyik minden halmazhoz annak elemsz\'am\'at rendeli
m\'ert\'ekk\'ent.) Most az $A_k=
\(E|\xi_k|^{(2+\alpha)}\)^{(2/\alpha+2)}$, $B_k=
P(|\xi_k|>\e s_n)^{\alpha/(2+\alpha)}$, $p=\dfrac{2+\alpha}2$ \'es
$q=\dfrac{2+\alpha}\alpha$ v\'alaszt\'assal al\-kal\-maz\-zuk a
H\"older egyenl\H{o}tlens\'eget.)
 
M\'asr\'eszt, a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an $\summ_{k=1}^n
P(|\xi_k|>\e s_n)\le\summ_{k=1}^n\dfrac{E\xi_k^2}{\e^2s_n^2}
=\dfrac1{\e^2}$. Ez\'ert ha teljes\"ulnek a 1.~T\'etel b)
r\'esz\'enek a felt\'etelei, akkor
$$
\limsup_{n\to\infty}1\dfrac1{s_n^2}
\summ_{k=1}^n E\xi_k^2I(|\xi_k|>\e s_n)\le
\limsup_{n\to\infty}\dfrac
 {\( \summ_{k=1}^n
E|\xi_k|^{(2+\alpha)}\)^{(2/\alpha+2)}}{s_n^2}\(\frac1{\e^2}
\)^{\alpha/(2+\alpha)}=0
$$
minden $\e>0$ sz\'amra,
azaz teljes\"ul a Lindeberg felt\'etel.
 
Ha teljes\"ulnek a b.) r\'esz v\'eg\'en eml\'{\i}tett felt\'etelek,
akkor $s_n^2\ge \const n$, \'es
$$\dfrac{\summ_{k=1}^nE|\xi_k|^{2+\alpha}}{n^{(\alpha+2)/2}}\to0,
\qquad \text{ha }n\to\infty.
$$
(Itt azt haszn\'altuk ki, hogy $\summ_{k=1}^n k^{-\alpha/2}\ge
\const n^{1+\alpha/2}$.) Ez\'ert ekkor teljes\"ulnek a b.)
r\'esz\-ben megfogalmazott felt\'etelek.
 
\medskip\noindent
{\bf A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'asa
sz\'eriasorzatokra a Lindeberg fel\-t\'e\-tel teljes\"ul\'ese eset\'en.}
\medskip\noindent
A bizony\'{\i}t\'as gondolatmenete a k\"ovetkez\H{o}. Legyen adva
valamely $\xi_{k,j}$, $E\xi_{k,j}=0$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
sz\'eriasorozat, amelyik teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt, \'es
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$. Ahhoz, hogy
bel\'assuk a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt, el\'eg megmutatni
azt, hogy az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ sor\"osszegek
karakterisztikus
f\"uggv\'enyei teljes\'{\i}tik a $\limm_{k\to\infty}Ee^{itS_k}
=e^{-t^2/2}$ rel\'aci\'ot minden $t$ val\'os sz\'amra. Viszont tudjuk,
hogy $Ee^{itS_k}=\prodd_{j=1}^{n_k} Ee^{it\xi_{k,j}}$. Ez\'ert el\'eg
megmutatni, hogy a $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ere megengedett az $Ee^{it\xi_{k,j}}\sim
e^{-t^2E\xi_{k,j}^2/2}$ helyettes\'{\i}t\'es. Ez ugyanis azt jelenti,
hogy
$$
Ee^{itS_k}=\prodd_{j=1}^{n_k} Ee^{it\xi_{k,j}}\sim
\prodd_{j=1}^{n_k} e^{-t^2E\xi_{k,j}^2/2}
=\exp\left\{-\dfrac{t^2}2\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2\right\}\sim
e^{-t^2/2}.
$$
 A $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ere alkalmazott k\"ozel\'{\i}t\'es
az\'ert l\'atszik elfogadhat\'onak, mert tudjuk, hogy ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o kicsi, \'{\i}gy
b\'{\i}zhatunk abban, hogy a $\varphi_{k,j}(t)=Ee^{it\xi_{j,k}}$
f\"uggv\'enyt j\'ol k\"ozel\'{\i}ti e f\"uggv\'eny nulla k\"or\"uli
Taylor sor\'anak els\H{o} k\'et tagb\'ol \'all\'o szelete. Viszont egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek deriv\'altjait a nulla helyen meghat\'arozz\'ak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o momentumai. Ezt a
meghat\'aroz\'ast pontosan megadtuk a harmadik el\H{o}ad\'asban. Ezt
felhaszn\'alva azt kapjuk, hogy $Ee^{it\xi_{k,j}}\sim 1+it
E\xi_{k,j}-\dfrac{t^2}2 E\xi_{k,j}^2=1-\dfrac{t^2}2 E\xi_{k,j}^2$. Ez
azt sugallja, hogy $Ee^{it\xi_{k,j}}\sim e^{E\xi_{k,j}^2t^2/2}$. Egy
prec\'{\i}z bizony\'{\i}t\'asban a fenti heurisztikus
meggondol\'asokat pontos\'{\i}tani kell, \'es azokat be kell
bizony\'{\i}tani. Ennek \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or egy olyan
egyszer\H{u}, de hasznos lemm\'at bizony\'{\i}tunk, amelyik becsl\'est
ad arra, hogy az $e^{it}$ f\"uggv\'enyt milyen j\'ol k\"ozel\'{\i}tik
Taylor sor\'anak szeletei.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Tetsz\H{o}leges nem negat\'{\i}v eg\'esz $k$ \'es
val\'os $t$ sz\'amra
$$
\left|e^{it}-\(1+\frac{it}{1!}+\cdots+\frac{(it)^k}{k!}\)\right|\le
\frac{|t|^{k+1}}{(k+1)!}.
$$
}\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Vezess\"uk be az
$F(t)=e^{it}-\(1+\dfrac{it}{1!}+\cdots+\dfrac{(it)^k}{k!}\)$
f\"uggv\'enyt, \'es tekints\"uk ennek $F^{(j)}(t)$ deriv\'altjait.
$F^{(j)}(0)=0$, ha $0\le j\le k$, \'es $|F^{(k+1)}(t)|=|e^{ikt}|=1$
minden $t\in R^1$ sz\'amra. Teljes indukci\'oval kapjuk, hogy
$|F^{(j)}(t)|\le \int_0^t |F^{(j+1)}(s)|\,ds\le\dsize \int_0^t \dfrac
{|s|^{k-j}\,ds}{(k-j)!}=\dfrac{|t|^{k+1-j}}{(k+1-j)!}$ minden
$j=k+1,k,\dots,0$ sz\'amra. Teh\'at $|F(t)|\le
\dfrac{|t|^{k+1}}{(k+1)!}$, \'es ez a Lemma \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip
Most r\'at\'er\"unk a T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ara. Jel\"olje a
$\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et $\varphi_{k,j}(t)=Ee^{it\xi_{k,j}}$,
$-\infty<t<\infty$, eloszl\'af\"uggv\'eny\'et,
$F_{k,j}(x)=P(\xi_{k,j}<x)$ sz\'or\'asn\'egyzet\'et
$\sigma_{k,j}^2=E\xi^2_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$.
Eml\'ekeztetek arra, hogy fetett\"uk, hogy $E\xi_{k,j}=0$. Jelezt\"uk,
hogy \'erdemes a $\varphi_{k,j}(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyt az
$1-\dfrac{\sigma_{k,j}^2t^2}2$ f\"uggv\'ennyel k\"ozel\'{\i}teni.
Annak \'erdek\'eben, hogy a T\'etelt bebizony\'{\i}tsuk \'erdemes
j\'o becsl\'est adni ennek a k\"ozel\'{\i}t\'es j\'os\'ag\'ara.
Ebben seg\'{\i}t az el\H{o}bb t\'argyalt lemma. Ugyanis
fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\aligned
\varphi_{k,j}(t)-\(1-\dfrac{\sigma_{k,j}^2t^2}2\)&=
\varphi_{k,j}(t)-\(1+i E\xi_{k,j}t-\dfrac{E\xi^2_{k,j}}2t^2\)\\
&=\int_{-\infty}^\infty\(e^{itu}-\(1+iut-\frac{(ut)^2}2\)\)F_{k,j}(\,du)
\endaligned \tag1
$$
Az (1) formula jobboldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'est j\'ol tudjuk
becs\"ulni az el\H{o}z\H{o} Lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Nevezetesen
fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$\left|e^{itu}-\(1+iut-\dfrac{(ut)^2}2\)\right|\le\dfrac{(tu)^3}6$. De
ugyancsak fel\'{\i}rhatjuk a k\"ovetkez\H{o} durv\'abbnak l\'atsz\'o
becsl\'est is:
$$
\left|e^{itu}-\(1+iut-\dfrac{(ut)^2}2\)\right|\le
\left|e^{itu}-\(1+iut\)\right|+\dfrac{(ut)^2}2\le (ut)^2.
$$
Melyiket \'erdemes alkalmazni a k\'et becsl\'es k\"oz\"ul? Az els\H{o}
becsl\'es akkor val\'oj\'aban csak akkor hasznos, ha $|ut|$ kicsi,
nagy $ut$ eset\'en \'erdemesebb a m\'asodik becsl\'est alkalmazni. (Ez
a k\"or\"ulm\'eny azzal f\"ugg \"ossze, hogy egy f\"uggv\'eny
Taylor-sor\'anak egy v\'eges szelete csak azon pont k\"ornyezet\'eben
ad j\'o becsl\'est, amely k\"or\"ul a f\"uggv\'enyt sorba
fejtett\"uk.) Mi a k\"ovetkez\H{o} elj\'ar\'ast fogjuk k\"ovetni:
R\"ogz\'{\i}t\"unk egy $\e>0$ sz\'amot, \'es $|u|\le\e$
esetben az els\H{o}, $|u|>\e$ esetben a m\'asodik becsl\'est
alkalmazzuk. Jegyezz\"uk meg, hogy mint l\'attuk a Lindeberg
felt\'etel teljes\"ul\'es\'eb\H{o}l
k\"ovetkezik az egyenletes kicsis\'eg felt\'etele, azaz minden
$\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan $k=k(\e)$ k\"usz\"obindex, melyre
$E\xi_{k,j}^2<\e$, ha $k\ge k(\e)$, ahonnan a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg szerint $P(\xi_{k,j}>\e)\le\e$, azaz
$F_{k,j}(-\e)+(1-F_{k,j}(\e)<\e$, ami azt jelenti, hogy az $F_{k,j}$
m\'ert\'ek szerint nagy halmazon az els\H{o} becsl\'est
fogjuk alkalmazni. Az elmondottak alapj\'an, az (1) formul\'ab\'ol
azt kapjuk, hogy
$$
\aligned
&\left|\varphi_{k,j}(t)-\(1-\dfrac{\sigma_{k,j}^2t^2}2\)\right|\le
\int_{-\infty}^\infty\left|e^{itu}-\(1+iut-\frac{(ut)^2}2\)\right|
F_{k,j}(\,du) \\
&\qquad \le\int_{-\e}^\e\dfrac{|ut|^3}6 F_{k,j}(\,du)
+\int_{|u|>\e}(ut)^2F_{k,j}(\,du) \\
&\qquad \le\dfrac{\e|t|^3}6\int_{-\e}^\e u^2F_{k,j}(\,du)
+t^2\int_{|u|>\e} u^2F_{k,j}(\,du)
\le\e\dfrac{|t|^3}6\sigma_{k,j}^2
+t^2\int_{|u|>\e}u^2F_{k,j}(\,du)
\endaligned \tag2
$$
Jegyezz\"uk meg, hogy az utols\'o becsl\'es jobboldal\'an lev\H{o}
k\'et tag k\"oz\"ul az els\H{o} a benne sze\-rep\-l\H{o} $\e$
t\'enyez\H{o} miatt lesz kicsi (az $\e$ param\'etert kicsinek fogjuk
v\'alasztani), a m\'asodik pedig a Lindeberg felt\'etel
teljes\"ul\'ese miatt. A most kapott becsl\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel
j\'o becsl\'est akarunk kapni a $\log
\varphi_{k,j}(t)+\dfrac{\sigma_{k,j}^2t^2}2$ kifejez\'es
abszolut \'ert\'ek\'ere el\'eg nagy $k$ sz\'amra minden
$1\le j\le n_k$ eset\'eben. Megmutatjuk, hogy minden $\e>0$ \'es $t$
sz\'amra
$$
\aligned
\left|\log\varphi_{k,j}(t)+\frac{\sigma_{k,j}^2t^2}2\right|&\le
\e|t|^3\sigma_{k,j}^2+2t^2\int_{|u|>\e}u^2F_{k,j}(\,du), \\
&\qquad\text{ha }k\ge k_0(\e,t), \text{ \'es } 1\le j\le n_k
\endaligned \tag3
$$
 
Ezt a becsl\'est a (2) k\'eplet \'es a $|\log(1+z)-z|\le
\dfrac{z^2}{10}$, egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel mutatjuk
meg, $z=\log\varphi_{k,j}(t)-1$
v\'alaszt\'assal. (Ez az egyenl\H{o}tlens\'eg a $\log(1+z)$
f\"uggv\'enyt kifejez\H{o} Taylor sor alakj\'ab\'ol egyszer\H{u}en
k\"ovetkezik. Nem t\"orekedt\"unk pontos konstansokat \'{\i}rni a
becsl\'esben. Vegy\"uk \'eszre, hogy ez az egyenl\H{o}tlens\'eg nem
csak val\'os, hanem komplex sz\'amokra is \'erv\'enyes.)
V\'alasszuk az $\e>0$ sz\'amot olyan kicsinek, hogy
$\e |t|^3\le \frac1{1000}$, \'es legyen $k_0$ olyan nagy, hogy
$k\ge k_0$ \'es tetsz\H{o}leges $1\le j\le n_k$ eset\'en
$\sigma_{k,j}^2\le \frac1{1000}$. (Az egyenletes kicsis\'eg
tulajdons\'aga miatt ezt megtehetj\"uk.) Ekkor
alkalmazhatjuk az $|\log(1+z)-z|$ kifejez\'esre fel\'{\i}rt
becsl\'est, \'es azt kapjuk, hogy
$$
|\log\varphi_{k,j}(t)-(\varphi_{k,j}(t)-1)|
\le\frac1{10}(\varphi_{k,j}(t)-1)^2
$$
Ez\'ert a (2) formula alapj\'an
$$
\left|\log\varphi_{k,j}(t)+\frac{\sigma_{k,j}t^2}2\right|
\le\e\dfrac{|t|^3}6\sigma_{k,j}^2
+t^2\int_{|u|>\e}u^2F_{k,j}(\,du)+
\frac1{10}(\varphi_{k,j}(t)-1)^2.
$$
A (3) formula bizony\'{\i}t\'asa az utols\'o becsl\'eb\H{o}l
viszonylag egyszer\H{u}en kiolvashat\'o, azt kell \'eszrevenni, hogy
a becsl\'es jobboldal\'an szerepl\H{o}
$\frac1{10}(\varphi_{k,j}(t)-1)^2$ tag ,,m\'asodrendben kicsi''.
Pontosabban, a (2) formula alapj\'an
$$
\align
(\varphi_{k,j}(t)-1)^2&\le\(\dfrac{\sigma_{k,j}^2t^2}2
+\e\dfrac{|t|^3}6\sigma_{k,j}^2
+t^2\int_{|u|>\e}u^2F_{k,j}(\,du)\)^2\\
&\le3\dfrac{\sigma_{k,j}^4t^4}4
+3\e^2\(2\dfrac{|t|^3}6\sigma_{k,j}^2\)^2
+3t^4\(\int_{|u|>\e}u^2F_{k,j}(\,du)\)^2\le \e |t|^3\sigma_{k,j}^2,
\endalign
$$
ha $k\ge k_0$ el\'eg nagy $k_0=k_0(\e,t)$ k\"usz\"obindex-szel,
mivel ekkor $\int_{|u|>\e}u^2F_{k,j}(\,du)\le \sigma_{k,j}^2$
$\sigma_{k,j}^2$  \'es el\'eg kicsi. A
fenti becsl\'esekb\H{o}l ad\"odik a (3) formula.
 
Vezess\"uk be a
$$
\delta(\e,k,j,t)=\e|t|^3\sigma_{k,j}^2+2t^2\int_{|u|>\e}u^2F_{k,j}(\,du)
$$
kifejez\'est. Ekkor a (3) formula alapj\'an
$$
e^{-\delta(\e,k,j,t)}\le \varphi_{k,j}(t)e^{\sigma^2_{k,j}t^2/2}\le
e^{\delta(\e,k,j,t)}\quad  \text{ha } k\ge k_0(\e,t), \; 1\le j\le n_k.
$$
Innen
$$
\exp\left\{-\sum_{j=1}^{n_k}\delta(\e,k,j,t)\right\}\le
\prod_{j=1}^{n_k}\varphi_{k,j}(t)\exp\left\{\frac {t^2}2
\sum_{j=1}^{n_k}\sigma^2_{k,j}\right\}\le
\exp\left\{\sum_{j=1}^{n_k}\delta(\e,k,j,t)\right\},
$$
ha $k\ge k_0(\e,t)$.
 
A Lindeberg felt\'etel teljes\"ul\'es\'eb\H{o}l, \'es a
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\sigma_{k,j}^2=1$ rel\'aci\'ob\'ol
k\"ovetkezik, hogy
$\limsupp_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\delta(\e,k,j,t)
\le \e |t|^3$, ez\'ert az utols\'o becsl\'esb\H{o}l kapjuk, hogy
$$
\align
e^{-\e |t|^3}&\le
\liminff_{k\to\infty}\(\prod_{j=1}^{n_k}\varphi_{k,j}(t)\exp\left\{\frac
{t^2}2 \sum_{j=1}^{n_k}\sigma^2_{k,j}\right\}\)\\
&\le
\limsup_{k\to\infty}\(\prod_{j=1}^{n_k}\varphi_{k,j}(t)\exp\left\{\frac
{t^2}2 \sum_{j=1}^{n_k}\sigma^2_{k,j}\right\}\)\le
e^{\e |t|^3}.
\endalign
$$
Mivel ez az egyenl\H{o}tlens\'eg minden $\e>0$ sz\'amra teljes\"ul,
ez\'ert
$$
\lim_{k\to\infty}\(\prod_{j=1}^{n_k}\varphi_{k,j}(t)\exp\left\{\frac
{t^2}2 \sum_{j=1}^{n_k}\sigma^2_{k,j}\right\}\)=1,
$$
ami viszont a $\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\sigma_{k,j}^2=1$
rel\'aci\'o miatt azt jelenti, hogy
$\limm_{k\to\infty}\prodd_{j=1}^{n_k}\varphi_{k,j}(t)e^{t^2/2}=1$,
azaz $\limm_{k\to\infty}Ee^{itS_k}
=\limm_{k\to\infty}\prodd_{j=1}^{n_k}\varphi_{k,j}(t)=e^{-t^2/2}$,
\'es ezt kellett bizony\'{\i}tani.
 
%\vfill\eject
 
\medskip\noindent
{\script Kieg\'esz\'{\i}t\'es:} {\it Annak a t\'etelnek a
bizony\'{\i}t\'asa, mely szerint a Lindeberg felt\'etel a
cent\-r\'a\-lis hat\'areloszl\'ast\'etelnek sz\"uk\-s\'e\-ges
felt\'etele.}
\medskip\noindent
El\H{o}sz\"or felid\'ezem a bizony\'{\i}tand\'o eredm\'enyt.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
olyan sz\'eriasorozat, melyre $E\xi_{k,j}=0$, $E\xi_{k,j}^2<\infty$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$, \'es
teljes\'{\i}tse ez a sz\'eroasorozat a kicsis\'egi
felt\'etelt, azaz legyen
$\limm_{k\to\infty}\(\supp_{1\le j\le n_k}E\xi_{k,j}^2\)=0$.
Tegy\"uk fel ezen k\'{\i}v\"ul azt, hogy az
$S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$, $1\le k<\infty$,
v\'eletlen \"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak  egy
1 sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} \'es tetsz\H{o}leges v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} norm\'alis norm\'alis eloszl\'ashoz, ha $k\to\infty$.
Ekkor a $\xi_{k,j}$, $1\le k<\infty$, $1\le j\le n_k$,
sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:} Jel\"olje $\varphi_{j,k}(t)=Ee^{it\xi_{k,j}}$
a $\xi_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et, \'es $F_{k,j}(x)$ az eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
Az a t\'eny, hogy az $S_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak egy egy sz\'or\'as\'u \'es valamilyen
$m$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-toz\'o\-hoz a
karakterisztikus f\"uggv\'enyek nyelv\'en \'ugy fejezhet\H{o} ki, hogy
$$
\lim_{k\to\infty}Ee^{itS_k}=
\lim_{k\to\infty}\prod_{j=1}^{n_k}\varphi_{k,j}(t)=e^{-t^2/2+imt}
\tag A1
$$
minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra. A konvergencia egyenletes minden
v\'eges intervallumban.
 
Vegy\"unk egy v\'eges $[a,b]$ intervallumot,
\'es defini\'aljuk a $\varphi_{k,j}(t)$ f\"uggv\'eny logaritmus\'at.
B\'ar a logaritmus f\"uggv\'eny a komplex sz\'ams\'{\i}kon
t\"obb\'ert\'ek\H{u}, (egy $z=re^{i\varphi}$ komplex sz\'am logaritmusa
a $\log z=\log r+i\varphi+i2k\pi$ sz\'amok valamelyike, ahol $k$
tetsz\H{o}leges eg\'esz sz\'am lehet) nagy $k$ sz\'amra az egyenletes
kicsis\'eg felt\'etele alapj\'an a $\log\varphi_{k,j}(t)$ sz\'am
term\'eszetes m\'odon defini\'alhat\'o az $[a,b]$ intervallumban,
\'es megmutatjuk, hogy teljes\"ul egy sz\'amunkra hasznos, a
k\'es\H{o}bbiekben (A2)-vel jel\"olt rel\'aci\'o.
 
E program v\'egrehajt\'asa \'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre, hogy
az egyenletes kicsis\'eg miatt minden $T>0$
sz\'amra alkalmas $k_0=k_0(T)$ k\"usz\"obindex eset\'en
$|\varphi_{k,j}(t)-1|\le\frac14$. (V\'alasszuk a $T=\max(|a|,|b|)$
sz\'amot.) Val\'oban,
$$
\align
|\varphi_{k,j}(t)-1|
&=|\varphi_{k,j}(t)-1-Eit\xi_{k,j}|=\left|\int(e^{itu}-1-itu)
F_{k,j}(\,du)\right| \\
&\le \int \frac{t^2u^2}2F_{k,j}(\,du)
=\frac{t^2}2E\xi_{k,j}^2\le \frac14,\quad \text{ha }
k\ge k_0, \text{ \'es } |t|\le T.
\endalign
$$
Ezut\'an a lo\-ga\-rit\-must \'ugy defini\'alhatjuk, a
$\{z\:|z-1|\le\frac14\}$ tartom\'anyban,
mint a logaritmusf\"uggv\'eny azon analitikus \'ag\'at, melyre $\log
1=0$.
 
Ezzel a v\'alaszt\'assal a
$|1-\varphi_{k,j}(t)|\le\frac14$ \'es $\log(1+z)-z|\le|z|^2$, ha
$|z|\le\frac14$ egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-gek miatt
$$
\align
|\log\varphi_{k,j}(t)+(1-\varphi_{k,j}(t))|&=
|\log\(1-(1-\varphi_{k,j}(t))\)+(1-\varphi_{k,j}(t))|\\
&\le |1-\varphi_{k,j}(t)|^2\le t^4\(E\xi^2\)^2.
\endalign
$$
Innen
$$
\left|\summ_{j=1}^{n_k}\log\varphi_{k,j}(t)-
\summ_{j=1}^{n_k}(\varphi_{k,j}(t)-1)\right|\le t^4\summ_{j=1}^{n_k}
\(E\xi^2_{k,j}\)^2\le\const t^4 \max_{1\le j\le n_k}E\xi_{k,j}^2,
$$
mert $\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{j,k}^2=1$. Innen, mivel
az az egyenletes kicsis\'eg felt\'etele miatt
teljes\"ul a $\limm_{k\to\infty}\max\limits_{1\le j\le
n_k}E\xi_{k,j}^2=0$ rel\'aci\'o, \'erv\'enyes a
$$
\limm_{k\to\infty}\left|\summ_{j=1}^{n_k}\log\varphi_{k,j}(t)-
\summ_{j=1}^{n_k}(\varphi_{k,j}(t)-1)\right|=0 \tag A2
$$
becsl\'es.
 
Tekints\"uk az (A1) azonoss\'ag k\'et oldal\'an szerepl\H{o}
kifejez\'esek abszolut \'ert\'ek\'et, \'es vegy\"uk ezek logaritmus\'at.
Felhaszn\'alva, hogy egy $z$ komplex sz\'am logaritmus\'ara
\'er\-v\'e\-nyes a $\log |z|=\Re \log z$ az (A1)
azonoss\'agb\'ol azt kapjuk, hogy
$$
\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}
\Re(\log\varphi_{k,j}(t))=-\frac{t^2}2    \tag A3
$$
 
Az (A2) rel\'aci\'o alapj\'an
$$
\align
0&=\limm_{k\to\infty}\left|\Re\(\summ_{j=1}^{n_k}\log\varphi_{k,j}(t)-
\summ_{j=1}^{n_k}(\varphi_{k,j}(t)-1)\)\right|\\
&=\limm_{k\to\infty}\left|\summ_{j=1}^{n_k}\Re(\log\varphi_{k,j}(t))-
\summ_{j=1}^{n_k}\Re(\varphi_{k,j}(t)-1)\right|.
\endalign
$$
 
Innen \'es az (A3) formul\'ab\'ol kapjuk, hogy
$$
\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\Re(\varphi_{k,j}(t)-1)=
-\dfrac{t^2}2.
$$
Tov\'abb\'a, mivel nagy $k$ indexre a sz\'eriasorozat
sorainak az \"osszege k\"ozel egy sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\H{u},
ez\'ert innen k\"ovetkezik, hogy
$$
\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k} E\(\cos
(t\xi_{k,j})-1+\frac{t^2\xi_{k,j}^2}2\)=0\quad \text{minden $t\in R^1$
sz\'amra.}
$$
Vegy\"uk \'eszre, hogy $\cos u-1+\dfrac{u^2}2\ge0$ minden $u\in R^1$
sz\'amra, ugyanis az $F(u)=\cos u-1+\dfrac{u^2}2$ f\"uggv\'enyre
$F(0)=F'(0)=0$, \'es $F''(u)=1-\cos u\ge0$ minden $u$ sz\'amra.
Tov\'abb\'a $\cos u-1+\dfrac{u^2}2\ge \dfrac {u^2}4$, ha $|u|>3$.
Ez\'ert a fenti egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$$
\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}
\frac{t^2}4E\xi_{k,j}^2 I\(\left\{|\xi_{k,j}|\ge \frac3t\right\}\)=0.
$$
$t=\dfrac3\e$ v\'alaszt\'assal megkapjuk a t\'etel
\'all\'{\i}t\'as\'at.
 
 
 
 \bye
 
 
 
 
