\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2.5pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\font\script=cmcsc10
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II.
el\H{o}ad\'assorozat negyedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2002. okt\'ober 1.}
\medskip
\centerline{\bf Hat\'aroszl\'ast\'etelek vizsg\'alata II.}
\medskip\noindent
Ennek az el\H{o}ad\'asnak c\'elja annak ismertet\'ese, hogy hogyan
kaphatunk j\'ol kaszn\'alhat\'o m\'odszert hat\'areloszl\'ast\'etelek
bizony\'{\i}t\'a\'ara. Megfogalmazunk egy alapvet\H{o} eredm\'enyt,
melynek bizony\'{\i}t\'asa a k\"ovetkez\H{o} el\H{o}ad\'as anyaga lesz.
K\'es\H{o}bbi el\H{o}ad\'asokban fogjuk ismertetni azt, hogyan lehet
ezen eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt.
 
A hat\'areloszl\'asok vizsg\'alat\'anak \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or
felid\'ezz\"uk
az al\'abbi az el\H{o}\-z\H{o} \'or\'an t\'ar\-gyalt eredm\'enyt.
\medskip\noindent
{\bf 1. T\'etel.} {\it $F_n(u)$, $n=1,2,\dots$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
sorozata akkor \'es csak akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha minden a sz\'amegyenesen \'ertelmezett
folytonos, korl\'atos $g(u)$ f\"uggv\'enyre teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}\int g(u)\,dF_n(u)=\int g(u)\,dF(u) \tag a
$$
azonoss\'ag.}
\medskip
 
L\'attuk tov\'abb\'a, hogy a speci\'alis $e_t(u)=e^{itu}$
f\"uggv\'enyek integr\'aljai, a $\varphi_n(t)=\int
e^{itu}\,dF_n(u)$ f\"uggv\'enyek, $-\infty<t<\infty$, $n=1,2,\dots$,
melyeket ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"ugg\-v\'eny\-nek nevez\"unk,
k\"onnyebben vizsg\'alhat\'oak, mint az \'altal\'anos folytonos,
korl\'atos f\"uggv\'enyek integr\'aljai. Ez\'ert olyan erdem\'enyt
k\'{\i}v\'anunk bizony\'{\i}tani, amelyik a karakterisztikus
f\"uggv\'enyek tulajdons\'againak seg\'{\i}ts\'eg\'evel adja
meg eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'anak sz\"uks\'eges
\'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et. Ahhoz, hogy ilyen ered\-m\'enyt
bi\-zo\-ny\'{\i}t\-has\-sunk, el\H{o}sz\"or meg kell mutatnunk, hogy
egy eloszl\'asf\"uggv\'enyt meghat\'aroz annak karakterisztikus
f\"uggv\'enye. Ezt mondja ki az al\'abbi eredm\'eny.
\medskip\noindent
{\bf 2. T\'etel.} {\it Egy eloszl\'asf\"uggv\'enyt egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozza karakterisztikus f\"uggv\'enye, azaz, ha $F(\cdot)$ \'es
$G(\cdot)$ k\'et eloszl\'asf\"uggv\'eny, \'es ezek $\varphi_F(t)=\int
e^{itu}F(\,du)$, $\varphi_G(t)=\int e^{itu}G(\,du)$ karakterisztikus
f\"uggv\'enyei teljes\'{\i}tik a $\varphi_F(t)=\varphi_G(t)$
azonoss\'agot minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra, akkor $F(x)=G(x)$
minden $x$ sz\'amra.}
\medskip
Annak \'erdek\'eben, hogy a 2. T\'etelt bel\'assuk sz\"uks\'eg\"unk
van egy olyan eredm\'enyre, mely szerint a trigonometrikus
f\"uggv\'enyek, illetve azok v\'eges line\'aris kombin\'aci\'oi, a
folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'enyek egy el\'eg gazdag
csal\'adj\'at alkotj\'ak. Weierstrass al\'abb megfogalmazott m\'asodik
approxim\'aci\'os t\'etele ilyen eredm\'eny. \medskip\noindent
{\bf Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etele.} {\it
Tetsz\H{o}leges folytonos \'es $2\pi$ szerint periodikus $f(t)$
(val\'os vagy komplex \'ert\'ek\H{u}) f\"uggv\'enyre \'es $\e>0$
val\'os sz\'amra l\'etezik olyan ($n=n(f,\e)$ foksz\'am\'u)
$P_n(t)=\summ_{k=-n}^n a_k e^{ikt}$ trigonometrikus polinom, melyre
$$
\sup_{-\infty<t<\infty} |f(t)-P_n(t)|<\e.
$$
}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etele
csak $2\pi$ szerint peri\'odikus f\"ugg\-v\'e\-nyek
approxim\'aci\'oj\'anak leht\H{o}ss\'eg\'et \'all\'{\i}tja
$P_n(t)=\summ_{k=-n}^n a_k e^{ikt}$ alak\'u trigonometrikus polinomok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ez a megszor\'{\i}t\'as val\'oban
sz\"uks\'eges, hiszen az ilyen tri\-go\-no\-met\-ri\-kus polinomok
$2\pi$ szerint peri\'odikusak. Viszont ebb\H{o}l az
\'all\'{\i}t\'asb\'ol azonnal k\"ovetkezik, hogy tetsz\H{o}leges
$K>0$ \'es $\e>0$ sz\'amra \'es egy folytonos \'es $K$ szerint
peri\'odikus $f(\cdot)$ f\"ugg\-v\'eny\-re l\'etezik olyan
$P_n(t)=\summ_{k=-n}^n a_k e^{i2\pi kt/K}$ trigonometrikus polinom,
melyre
$$
\sup_{-\infty<t<\infty} |f(t)-P_n(t)|<\e.
$$
\medskip\noindent
{\it A 2. T\'etel bizony\'{\i}t\'asa:}\/ El\H{o}sz\"or azt mutatjuk meg
Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etel\'enek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a t\'etel felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese
eset\'en tetsz\H{o}leges $K>0$ sz\'amra \'es $K$ szerint
peri\'odikus $h(\cdot)$ f\"uggv\'enyre $\int h(u)F(\,du)=\int
h(u)G(\,du)$. Val\'oban, Weierstrass t\'etele szerint tetsz\H{o}leges
$K>0$ \'es $\e>0$ sz\'amokra l\'etezik olyan $P_n(t)=\summ_{j=-n}^n
a_j e^{2\pi ijt/K}$ trigonometrikus polinom, melyre teljes\"ul a
$\supp_{-\infty<t<\infty}|P_n(t)-h(t)|\le\e$ becsl\'es. Integr\'alva
a $h(\cdot)$ \'es a $P_n(\cdot)$ f\"uggv\'enyt a $F$ \'es $G$
eloszl\'asf\"uggv\'eny sze\-rint, a fenti approxim\'aci\'ob\'ol kapjuk,
hogy $\int |h(u)-P_n(u)|F(\,du)\le\e$ \'es $\int
|h(u)-P_n(u)|G(\,du)\le\e$. Ez\'ert $\left|\int h(u)F(\,du)-\int
h(u)G(\,du)\right|\le2\e$. Mivel ezt az egyenl\H{o}tlens\'eget minden
$\e>0$ sz\'amra be tudjuk bizony\'{\i}tani, ez\'ert $\int
h(u)F(\,du)=\int h(u)G(\,du)$, mint \'all\'{\i}tottuk.
Innen az is k\"ovetkezik, hogy ha $h(\cdot)$ kompakt tart\'oj\'u
folytonos f\"uggv\'eny, azaz ha l\'etezik olyan $A$ sz\'am, melyre
$h(u)=0$, ha $|u|\ge A$, akkor $\int h(u)F(\,du)=\int h(u)G(\,du)$.
Val\'oban, defini\'aljuk minden $K>A$ sz\'amra azt a $h_K(\cdot)$
f\"uggv\'enyt, mely a $h(\cdot)$ f\"uggv\'eny  $[-K,K]$ intervallumra
vett megszor\'{\i}t\'as\'anak a $2K$ szerinti periodikus
kiterjeszt\'ese, azaz $h_K(u)=h(u-2lK)$, ahol $l$ olyan eg\'esz
sz\'am, melyre $-K\le u-2lK<K$. Ekkor p\'eld\'aul a konvergens
f\"uggv\'enysorozataok integr\'alj\'anak limesz\'ere vonatkoz\'o
Lebesgue f\'ele domin\'alt konvergencia t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik,
hogy
$$
\int h(u) F(\,du)=\limm_{K\to\infty}\int h_K(u)
F(\,du)=\limm_{K\to\infty}\int h_K(u) G(\,du) =\int h(u) G(\,du).
$$
(A Lebesgue f\'ele domin\'alt konvergencia t\'etelt megfogalmazzuk
ennek az el\H{o}ad\'asnak a kieg\'esz\'{\i}t\'es\'eben is. Ahhoz, hogy
l\'assuk, ez az eredm\'eny haszn\'alhat\'o, vegy\"uk \'eszre, hogy
$\limm_{K\to\infty}h_K(x)=h(x)$ minden $x$ sz\'amra, \'es
$\supp_{-\infty<x<\infty}|h_K(x)|\le \const$)
 
Legyenek $-\infty<x<y<\infty$ olyan sz\'amok a sz\'amegyenesen,
melyek folytonoss\'agi pontjai mind az $F$ mind a $G$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek. Bel\'atjuk a fenti rel\'aci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy $F(y)-F(x)=G(y)-G(x)$. Val\'oban,
r\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $\e>0$ sz\'amot, \'es defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $h(\cdot)=h_{\e}(\cdot)$f\"uggv\'enyt: $h(u)=1$,
ha $x\le u\le y$, $h(u)=0$, ha $y+\e\le u$ vagy $u\le x-\e$,
$h(u)=\dfrac{y+\e-u}\e$, ha $y\le u\le y+\e$,
$h(u)=\dfrac{u-x+\e}\e$, ha $x-\e\le u\le x$. Felhaszn\'alva a
$\int h_{\e}(u)F(\,du)=\int h_{\e}(u)G(\,du)$ azonoss\'agot minden
$\e>0$ sz\'amra, \'es azt hogy $\limm_{\e\to0}\int
h_{\e}(u)F(\,du)= F(y)-F(x)$, $\limm_{\e\to0}\int
h_{\e}(u)G(\,du)=G(y)-G(x)$, ha $x$ \'es $y$ az $F$ \'es $G$
f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontjai, $\e\to0$
hat\'ar\'atmenettel kapjuk az $F(y)-F(x)=G(y)-G(x)$ azonoss\'agot.
 
Ez ut\'obbi azonoss\'agot felhaszn\'alva \'es alkalmazva az
$x\to-\infty$ hat\'ar\'atmenetet kapjuk, hogy $F(y)=G(y)$, ha $y$
mind az $F(\cdot)$ mind a $G(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek
foly\-to\-nos\-s\'a\-gi pontja. Mivel az $F$ \'es $G$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek csak megsz\'aml\'alhat\'o sok szakad\'asi
pontja van, \'es mind a k\'et f\"uggv\'eny balr\'ol folytonos, innen
k\"ovetkezik, hogy az $F$ \'es $G$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
megegyeznek. \medskip
 
Szeretn\'enk eld\"onteni egy $F_n(\cdot)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enysorozatr\'ol ezen
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek $\varphi_n(t)=\int e^{itu}
F_n(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyei ismeret\'eben, hogy
konverg\'alnak-e eloszl\'asban valamely (sz\'amunkra esetleg
ismeretlen) $F(\cdot)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez. Ha
konverg\'alnak, akkor term\'eszetesen szeretn\'enk meghat\'arozni
ezen el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek $F(\cdot)$ limesz\'et is. Az
1.~T\'etelben megfogalmazott (a) felt\'etel szerint a konvergencia
teljes\"ul\'es\'ehez sz\"uks\'eges, hogy a $\varphi_n(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyek minden r\"ogz\'{\i}tett $t$ sz\'am
eset\'en konverg\'aljanak valamely sz\'amhoz, ha $n\to\infty$. De
el\'eg-e egy ilyen konvergencia teljes\"ul\'ese az eloszl\'asok
konvergenci\'aj\'ahoz? Az al\'abbi p\'elda megmutatja, hogy erre a
k\'erd\'esre a v\'alasz nemleges.
\medskip\noindent
{\it P\'elda:}\/ Legyen $F_n(\cdot)$, $n=1,2\dots$, a $[-n,n]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sorozata, azaz
legyen $F_n(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f_n(u)=\dfrac1{2n}$, ha $-n\le u\le n$, $f_n(u)=0$, ha $|u|>n$.
Ekkor az $F_n(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus
f\"uggv\'enyei minden pontban konverg\'alnak az $\varphi(0)=1$,
$\varphi(t)=0$, ha $t\neq0$ k\'eplettel megadott $\varphi(t)$
f\"uggv\'enyhez, amelyik az orig\'oban nem folytonos. Tov\'abb\'a
az $F_n(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek nem konverg\'alnak
eloszl\'asban, mert minden v\'eges $[a,b]$ intervallumra
$$
\limm_{n\to\infty}\[F_n(b)-F_n(a)\]=0.
$$
 
Val\'oban, az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'enye
$$
\varphi_n(t)=\dsize\dfrac1{2n}\int_{-n}^n
e^{itu}\,du =\dfrac{e^{itn}-e^{-itn}}{2nit},
$$
ahonnan $|\varphi_n(t)|\le \dfrac1{|t|n}$. Innen
$\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t)=0$, ha $t\neq0$. M\'asr\'eszt,
$\varphi_n(0)=1$ minden $n$-re teh\'at,
$\limm_{n\to\infty}\varphi_n(0)=1$. Ezenk\'{\i}v\"ul egy v\'eges
$[a,b]$ intervallumra $F_n(b)-F_n(a)=\dfrac{b-a}n$, ha $n\le
\max(|a|,|b|)$, ahonnan k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}\[F_n(b)-F_n(a)\]=0$. Ez azt jelenti,
hogy az $F_n$ eloszl\'asok ,,kifolynak a v\'egtelenbe", \'es ez\'ert
nincs hat\'areloszl\'asuk.
 
Vegy\"uk viszont \'eszre, hogy \'erv\'enyes a k\"ovetkez\H{o} lemma:
\medskip\noindent
{\bf 1. Lemma.} {\it Tetsz\H{o}leges $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
$\varphi(t)=\int e^{itu}F(\,du)$ karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nye
folytonos minden pontban.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Jel\"olje $\varphi(t)=\int e^{itu}F(\,du)$
az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Ekkor tetsz\H{o}leges $t$, $\delta$ illetve
$K>0$ sz\'amra teljes\"ul a
$$
\align
&|\varphi(t+\delta)-\varphi(t)|\le \int|e^{i(t+\delta)u}-e^{itu}|
F(\,du)\le \int_{u\:|u|\le K}\supp_{u\:|u|\le K}
|e^{i(t+\delta)u}-e^{itu}| F(\,du)\\
&\qquad +\int_{u\:|u|>K}2 F(\,du)\le \supp_{u\:|u|\le K}
|e^{i\delta u}-1|+F(-K)+(1-F(K))
\endalign
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg. Tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amhoz
v\'alaszthatunk olyan $K=K(\e)$ sz\'amot, melyre $F(-K)+(1-F(K))\le
\dfrac\e2$. Ezut\'an el\'eg kis $\delta_0=\delta_0(\e,K)>0$
v\'alaszt\'assal el\'erhetj\"uk, hogy $\supp_{u\:|u|\le K} |e^{i\delta
u}-1|\le \dfrac\e2$, ha $\delta\le \delta_0$. Innen k\"ovetkezik, hogy
$|\varphi(t+\delta)-\varphi(t)|\le \e$, ha $\delta<\delta_0$, azaz a
$\varphi(\cdot)$ f\"uggv\'eny folytonos.
\medskip
 
A 2. lemm\'ab\'ol \'es T\'etel~A-b\'ol k\"ovetkezik, hogy
amennyiben $F_n$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek sorozata
konverg\'al egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, akkor azok
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyei egy folytonos f\"uggv\'enyhez
konverg\'alnak. Ugyanis a karakterisztikus f\"uggv\'enyek limeszei
megegyeznek a hat\'areloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'eny\'evel,
ami az 1. lemma szerint folytonos f\"uggv\'eny. Az 1. lemma
el\H{o}tt tekintett p\'elda azt mutatja, hogy ezt a folytonoss\'agi
felt\'etelt nem szabad elhagyni, ha a karakteresztikus f\"uggv\'enyek
nyelv\'en akarunk felt\'etelt adni eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ara.
Ez a p\'elda azt is sejteti, hogy a legkritikusabb pont az orig\'o,
\'es mindenek el\H{o}tt itt kell biztos\'{\i}tani a karakterisztikus
f\"uggv\'enyek limesz\'enek folytonoss\'ag\'at. Val\'oban, mint az
al\'abb megfogalmazott, fon\-tos\-s\'a\-ga miatt Alapt\'etelnek
nevezett eredm\'eny azt mondja ki, hogy egy
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-so\-ro\-zat
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyei\-nek konvergenci\'aja
egy az orig\'oban folytonos f\"uggv\'enyhez a sz\"uks\'eges \'es
el\'egs\'eges felt\'etele annak, hogy az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konverg\'aljanak valamely ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-hoz. S\H{o}t,
ez a t\'etel seg\'{\i}ts\'eget ad a
ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny megtal\'al\'as\'ahoz is.
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o alapt\'etel.}
{\it Legyen $F_n(u)$, $-\infty<u<\infty$,
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy sorozata $\varphi_n(t)=\int
e^{itu}F_n(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel, $n=1,2,\dots$.
Ha a $\varphi_0(t)=\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t)$ hat\'ar\'ert\'ek
l\'etezik minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra, \'es a $\varphi_0(t)$
limeszf\"uggv\'eny folytonos az orig\'oban, akkor l\'etezik olyan
$F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny, melynek a $\varphi_0(t)$
f\"uggv\'eny a karakterisztikus f\"uggv\'enye. Tov\'abb\'a e
felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en az $F_n(u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek eloszl\'asban konverg\'alnak
az $F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
 
Megford\'{\i}tva, ha $F_n(u)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy olyan sorozata, mely egy $F_0(u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez kon\-ver\-g\'al eloszl\'asban,
$\varphi_n(t)$, $n=1,2,\dots$, jel\"oli az $F_n(u)$, $\varphi_0(t)$
pedig az $F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et, akkor $\varphi_0(t)=\limm_{n\to\infty} \varphi_n(t)$
minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra. Tov\'abb\'a, ez a konvergencia
egyenletes minden v\'eges intervallumban.}\medskip\noindent
 
Ennek az eredm\'enynek a bizony\'{\i}t\'asa lesz a k\"ovetkez\H{o}
el\H{o}ad\'as t\'em\'aja.
 
 
 \bye
 
 
 
 
