\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\font\script=cmcsc10
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II.
el\H{o}ad\'assorozat harmadik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2002. szeptember 24.}
\medskip
\centerline{\bf Hat\'aroszl\'ast\'etelek vizsg\'alata.}
\medskip\noindent
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as tal\'an legfontosabb
eredm\'enye a f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
norm\'aliz\'alt \"osszeg\'enek aszimptotikus eloszl\'as\'at
le\'{\i}r\'o centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel, mely\-nek al\'abbi
nem teljesen \'altal\'anos, de fontos speci\'alis eset\'et t\'argyaltuk
a bevezet\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
el\H{o}ad\'ason is.
\medskip\noindent
{\bf Centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.} {\it Legyenek
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, jel\"olje
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$, $n=1,2,\dots$, e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok r\'esz\-let\-\"ossze\-geit. Ekkor az $S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\dfrac{S_n-ES_n}{\sqrt{\Var S_n}}
=\dfrac{\summ_{j=1}^n\xi_j-\summ_{j=1}^nE\xi_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^n\Var\xi_j}}$ normaliz\'altjai teljes\'{\i}tik
a
$$
\lim_{n\to\infty}
P\(\dfrac{S_n-ES_n}{\sqrt{\Var S_n}}<x\)=\Phi(x), \quad\text{minden
}-\infty<x<\infty \text{ sz\'amra}
$$
rel\'aci\'ot, ahol $\Phi(x)=\dsize\int_{-\infty}^x
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du$, a standard norm\'alis
elosz\'asf\"uggv\'eny.}
\medskip\noindent
Ahhoz, hogy l\'assuk, a fent megfogalmazott t\'etel \'ertelmes tudnunk
kell, hogy a benne szerepl\H{o} standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny val\'oban eloszl\'asf\"uggv\'eny. Ezt mondja ki
az al\'abbi lemma:
\medskip\noindent
{\bf Lemma.}
$$
\int_{-\infty}^\infty\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}\,du=1.
$$
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Vezess\"uk be az
$I=\dsize\int_{-\infty}^\infty\dfrac1
{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}\,du$ jel\"ol\'est. Ekkor a Fubini
t\'etel szerint
$$
I^2=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\dfrac1{2\pi}
e^{-(u^2+v^2)/2}\,du\,dv
$$
ahonnan
$$
I^2=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty\dfrac1{2\pi}
re^{-r^2} \,dr\,d\varphi=\int_0^\infty re^{-r^2/2}\,dr
=\[-e^{-r^2/2}\]_0^\infty=1.
$$
Ebben a sz\'amol\'asban az $I^2$ mennyis\'eget kifejez\H{o} az
$(u,v)$ t\'erben megadott kett\H{o}s integr\'alt kifejezt\"uk
az $(r,\varphi)$ pol\'arkoordin\'atarendszerben az $u=r\cos\varphi$,
\'es $v=r\sin\varphi$ helyettes\'{\i}t\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel, mint
az $0\le r<\infty$, $0\le\varphi<2\pi$, tartom\'anyon fel\'{\i}rt
integr\'alt. Ezen sz\'amol\'as sor\'an felhaszn\'aljuk, hogy a
pol\'arkkoordin\'ata rendszerbe val\'o \'att\'er\'est le\'{\i}r\'o
transzform\'aci\'o Jacobianja $r$, azaz form\'alisan
$\,du\,dv=r\,dr\,d\varphi$. Ez\'ert jelenik meg egy $r$ szorz\'o az
integr\'alban a pol\'arkoordin\'atarendszerbe val\'o
\'att\'er\'eskor. Ha lesz r\'a id\H{o} \'es ig\'eny e k\'eplet
szeml\'eletes tartalm\'at k\'es\H{o}bb elmagyar\'azom.
\medskip
A fent kimondott centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelhez hasonl\'o
eredm\'eny \'erv\'enyes f\"ug\-get\-len, de nem felt\'etlen\"ul
egyforma eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok normaliz\'alt \"osszeg\'ere nagyon \'altal\'anos esetben.
A mostani \'es az ezt k\"ovet\H{o} n\'eh\'any el\H{o}ad\'asban ezt az
ered\-m\'enyt fogjuk r\'eszletesen t\'argyalni.  Megfogalmazzuk
a pontos ered\-m\'enyt, \'es meg\-be\-sz\'el\-j\"uk annak
bizony\'{\i}t\'as\'at, illetve a bizony\'{\i}t\'as n\'eh\'any m\'as
matematikai ter\"uleten is hasznos gondolat\'at. Ahhoz, hogy ezt
megtegy\"uk el\H{o}sz\"or t\'argyalnunk kell eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konvergenci\'aj\'anak a fogalm\'at. El\H{o}sz\"or felid\'ezz\"uk ennek
definici\'oj\'at \'es legfontosabb tulajdons\'agait.
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oja.} {\it Legyen
$F_n(\cdot)$, $n=1,2,\dots$, el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
sorozata a sz\'amegyenesen. Azt mondjuk, hogy az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak egy $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$ az
$F(\cdot)$ (hat\'ar)\-elosz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny
minden folytonoss\'agi pontj\'aban.
 
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata. Azt mondjuk, hogy a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
egy $F(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha az $F_n(x)=P(\xi_n<x)$,
$-\infty<x<\infty$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban
konverg\'alnak az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
 
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata. Azt mondjuk, hogy a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha az
$F_n(x)=P(\xi_n<x)$, $-\infty<x<\infty$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek
eloszl\'asban konverg\'alnak az $F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.}
\medskip
Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, mi\'ert van kit\"untetett szerepe a
hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny szakad\'asi pontjainak az
eloszl\'asf\"uggv\'eny konvergenci\'aj\'anak definici\'oj\'aban.
Term\'eszetes-e, hogy ezekben a pontokban nem k\"ovetelt\"uk
meg a konvergenci\'at? E k\'erd\'es meg\'ert\'es\'enek
\'erdek\'eben tegy\"uk a k\"ovetkez\H{o} megjegyz\'est.
 
Mint azt a kor\'abbi el\H{o}ad\'asokon megbesz\'elt\"uk, \'es
elfogadtuk (bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul) egy a sz\'amegegyenesen
megadott $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny induk\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket, az \'ugynevezett
Lebesgue--Stieltjes m\'ert\'eket a sz\'amegyenes sz\'ep
(Borel--m\'erhet\H{o}) r\'esz\-hal\-ma\-za\-in. Ezt a m\'ert\'eket
$\mu_F$-fel fogjuk a tov\'abbiakban jel\"olni, \'es az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott eloszl\'asnak
fogjuk nevezni. Ez a $\mu_F$ Lebesgue-Stieltjes m\'ert\'ek az az
(egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arott) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek a sz\'amegyenes Borel--m\'erhet\H{o}
r\'esz\-hal\-ma\-zai\-nak $\sigma$-algebr\'aj\'an, melyre teljes\"ul
az, hogy $\mu_F((-\infty,x))=F(x)$ minden $x$ val\'os sz\'amra.
B\'ar eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'ar\'ol
besz\'el\"unk, val\'oj\'aban az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
\'altal meghat\'arozott eloszl\'asok konvergenci\'aj\'at fogjuk
vizsg\'alni. Ha adva van $F_n$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
egy sorozata, akkor a hozz\'ajuk tartoz\'o eloszl\'asok, azaz
$\mu_{F_n}$ Lebesgue--Stieltjes \'ugy m\'ert\'ekek k\'epzelhet\H{o}ek
el szeml\'eletesen, mint olyan t\"o\-meg\-elosz\-l\'a\-sok a
sz\'amegyenesen, melyekben egy $A\subset R$ (Borel--m\'erhet\H{o})
halmaz ,,s\'ulya" a $\mu_{F_n}(A)$ m\'ert\'ek. Az $F_n$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aja egy $F$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez azt jelenti, hogy a $\mu_{F_n}$
t\"omegeloszl\'asok nagy $n$ indexre k\"ozel vannak a $\mu_F$
t\"omegeloszl\'ashoz.
 
Az eloszl\'asban val\'o konvergencia jobb meg\'ert\'ese
\'erdek\'eben tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} p\'eld\'at.
Legyen $x_0=0$, \'es $x_n$, $n=1,2,\dots$, olyan sz\'amsorozat,
melyre $x_n<0$, $n=1,2,\dots$, \'es $\limm_{n\to\infty}x_n=0$.
Legyen $\mu_{F_n}$, $n=0,1,2,\dots$, az a m\'ert\'ek, mely az $x_n$
pontba van koncentr\'alva, azaz $\mu_{F_n}(\{x_n\})=1$,
r\'eszletesebben $\mu_{F_n}(A)=1$, ha $x_n\in A$, \'es
$\mu_{F_n}(A)=0$, ha $x_n\notin A$. A $\mu_{F_n}$ eloszl\'as azon
$F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott
Lebesgue--Stieltjes m\'ert\'ek, melyre $F_n(x)=0$, ha $x\le x_n$,
$F_n(x)=1$, ha $x>x_n$. Term\'eszetes azt v\'arni, hogy az
eloszl\'asf\"uggv\'eny alkalmas definici\'oja eset\'en a most
defini\'alt p\'eld\'aban az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
eloszl\'asban konverg\'alnak az $F_0$ eloszl\'ashoz. M\'asr\'eszt
vegy\"uk \'eszre, hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F_0(x)$ minden
$x\neq0$ sz\'amra. De az $x=0$ pontban, azaz az $F_0$ f\"uggv\'eny
szakad\'asi pontj\'aban ez a konvergencia nem teljes\"ul, mert
$F_n(0)=1$, ha $n\ge1$, \'es $F_0(0)=0$. Teh\'at az \'altalunk
megadott definici\'o szerint az $F_n$ eloszl\'asok eloszl\'asban
konverg\'alnak az $F_0$ eloszl\'ashoz, de annak \'erdek\'eben, hogy
ez teljes\"ulj\"on sz\"uks\'eg volt arra, hogy az eloszl\'asban
val\'o konvergencia definici\'oj\'aban nem k\"ovetelj\"uk meg az
eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'at a hat\'arf\"uggv\'eny
szakad\'asi pontjaiban.
 
Be lehet l\'atni, hogy az eloszl\'asban val\'o konvergencia kifejezi
azt a szeml\'eletes tartalmat, melyet a t\"omegeloszl\'asokkal val\'o
reprezent\'aci\'o sugall, ezt azonban nem tessz\"uk. Ehelyett egy olyan
eredm\'enyt fogalmazok meg, az eloszl\'asban val\'o konvergencia egy
ekvivalens jellemz\'es\'et adja meg. Ennek az eredm\'enynek a
bizony\'{\i}t\'as\'at csak a kieg\'esz\'{\i}t\'esben adom meg. B\'ar
gyakorlati alkalmaz\'asokban \'altal\'aban az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek konvergenci\'aj\'anak eredeti
definici\'oj\'at haszn\'aljuk, hat\'areloszl\'ast\'etelek
bizony\'{\i}t\'as\'aban c\'elszer\H{u}bb az eloszl\'asban val\'o
konvergenci\'anak az al\'abbi 1.~T\'etelben megfogalmazott
jellemz\'es\'et haszn\'alni.
\medskip\noindent
{\bf 1. T\'etel.} {\it $F_n(u)$, $n=1,2,\dots$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
sorozata akkor \'es csak akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha minden a sz\'amegyenesen \'ertelmezett
folytonos, korl\'atos $g(u)$ f\"uggv\'enyre teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}\int g(u)\,dF_n(u)=\int g(u)\,dF(u) \tag a
$$
azonoss\'ag.}
\medskip
 
Term\'eszetes az a gondolat, hogy az eloszl\'asban val\'o
konvergenci\'anak az 1. T\'etelben le\'{\i}rt jellemz\'es\'et
haszn\'aljuk fel, de pr\'ob\'aljuk meg az (a) formul\'aban
megfogalmazott felt\'etelt reduk\'alni a folytonos \'es korl\'atos
f\"uggv\'enyek egy kisebb \'es jobban kezelhet\H{o}  oszt\'aly\'ara,
\'es abb\'ol k\"ovetkeztetni az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'ara.
\'Erdemes ezt a redukci\'ot az $f_t(x)=e^{itx}$ (komplex)
\'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'enyeket tekinteni, ahol, $-\infty<t<\infty$,
param\'etere ennek a f\"uggv\'enycsal\'adnak, \'es defini\'alni egy
$F(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny vagy egy $F(\cdot)$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et az al\'abbi m\'odon bel\'atni.
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asf\"uggv\'enyek \'es val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.}
{\it Legyen adva egy $F(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny. Ennek
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et az
$$
\varphi(t)=\varphi_F(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{itu}F(\,du),\quad
-\infty<t<\infty,
$$
k\'eplettel defini\'aljuk. Tekints\"unk egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot valamely $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, \'es jel\"olje
$F(u)=P(\xi<u)$, $-\infty<u<\infty$, e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. A $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak a karakterisztikus
f\"uggv\'enye a
$$
\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^\infty e^{itu}F(\,du),\quad
-\infty<t<\infty,
$$
f\"uggv\'eny.
(Mivel egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o  karakterisztikus
f\"uggv\'enye csak annak el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-t\H{o}l
f\"ugg, ez\'ert jogunk van adott eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'eny\'er\H{o}l besz\'elni.) }
\medskip
Mint l\'atni fogjuk, eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'at
j\'ol lehet vizsg\'alni a karakterisztius f\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A karakterisztikus f\"uggv\'enyek
definici\'oj\'aban megjelen\H{o} $f_t(x)=e^{itx}$ f\"uggv\'enyek az
\'ugynevezett trigonometrikus f\"uggv\'enyek, \'es a
k\'e\-s\H{o}b\-bi vizsg\'alatokban megjelen\H{o} m\'odszerek \'es
eredm\'enyek a Fourier anal\'{\i}zis t\'emak\"or\'ebe tartozik.
Jegyezz\"uk meg azt is, hogy a tov\'abbiakban komplex \'ert\'ek\H{u}
f\"uggv\'enyekkel is dolgozunk. Ez\'ert a k\'es\H{o}bbi eredm\'enyek
teljes bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben ellen\H{o}rizni kell, hogy az
el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'asokban szerepl\H{o} eredm\'enyek f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra nemcsak val\'os, hanem
komplex \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra is
\'erv\'enyesek. Ez csak technikai jelleg\H{u} \'es nem val\'odi
neh\'ezs\'eg, mert a k\'es\H{o}bbiekben felhaszn\'alt
\'all\'{\i}t\'asok bizony\'{\i}t\'asa komplex \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben semmilyen plusz
neh\'ezs\'eget nem okoz.
 
Ez ut\'obbi megjegyz\'est kiss\'e r\'eszletesebben is kifejtj\"uk.
El\H{o}sz\"or azt kell tiszt\'aznunk, hogy mit jelent a komplex
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ez olyan
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, mely \'ert\'ekeit a komplex
sz\'ams\'{\i}kon veszi fel. Az, hogy a
$\xi(\oo)=\eta_1(\oo)+i\eta_2(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o m\'erhet\H{o} az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, azt jelenti, hogy minden
$z=x+iy$ komplex sz\'amra $\{\oo\:\eta_1(\oo)<x,\eta_2(\oo)<y\}\in
\Cal A$. Nem neh\'ez l\'atni, hogy a fenti jel\"ol\'esekkel a
$\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o akkor \'es csak
akkor m\'erhet\H{o}, ha az $(\eta_1(\oo),\eta_2(\oo))$ val\'os
\'ert\'ek\H{u} v\'eletlen vektor m\'erhet\H{o}.  Ha adva vannak
valamilyen $\xi^{(1)}=\eta^{(1)}_1+i\eta^{(1)}_2$,\dots
$\xi^{(n)}=\eta^{(n)}_1+i\eta^{(n)}_2$ komplex \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor
ezek akkor f\"uggetlennek, ha az $\(\eta^{(1)}_1,\eta^{(1)}_2\)$,\dots
$\(\eta^{(n)}_1,\eta^{(n)}_2\)$ (k\'et-dimenzi\'os)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorok f\"uggetlenek. Jegyezz\"uk meg,
hogy a Fubini--t\'etel \'erv\'enyes
nemcsak val\'os, hanem komplex \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'enyekre is.
Ez\'ert a val\'os \'ert\'ek\H{u} f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okra vonatkoz\'o t\'etelek (melyek a Fubini t\'etel
k\"ovetkezm\'enyeinek is tekinthet\H{o}ek) \'erv\'enyesek komplex
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra is.
 
Speci\'alisan igaz, hogy amennyiben $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
komplex \'ert\'ek\H{u} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok, akkor r\'ajuk is \'erv\'enyes az al\'abbi f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szorzat\'ara vonatkoz\'o
fontos azonoss\'ag:
$$
E\xi_1\cdots\xi_n=E\xi_1\cdots E\xi_n.
$$
Tov\'abb\'a, amennyiben $f_1(z),\dots,f_n(z)$ komplex \'ert\'ek\H{u}
(m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'enyek, akkor az $f_1(\xi_1),\dots,f_n(\xi_n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok is m\'erhet\H{o}ek. Az
el\H{o}bbi \"osszef\"ugg\'eseknek, illetve a trigonometrikus
f\"uggv\'enyekre \'erv\'enyes $e^{i(u_1+u_2)}=e^{iu_1}e^{iu_2}$
azonoss\'agnak k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-nye az al\'abbi
egyszer\H{u}, de fontos azonoss\'ag.
\medskip\noindent
{\bf Lemma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek viselked\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,
\xi_n$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, jel\"olje
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$ e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'et \'es $\varphi_j(t)$, $1\le j\le n$, a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Ekkor az $S_n$ \"osszeg karakterisztikus
f\"uggv\'enye a $\psi_n(t)=Ee^{itS_n}=\prodd_{j=1}^n\varphi_j(t)$,
$-\infty<t<\infty$  f\"uggv\'eny. Ha $A$ \'es $B\neq0$ val\'os
sz\'amok, akkor a $\dfrac{S_n-A}B$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye az
$$
Ee^{it(S_n-A)/B}=e^{-itA/B}\psi_n\(\dfrac{t}B\)=e^{-itA/B}
\prodd_{j=1}^n\varphi_j\(\dfrac{t}B\)
$$
f\"uggv\'eny.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
Ee^{itS_n}=E^{it(\xi_1+\cdots+\xi_n)}
=Ee^{it\xi_1}e^{it\xi_2}\cdots e^{it\xi_n}
=Ee^{it\xi_1}Ee^{it\xi_2}\cdots Ee^{it\xi_n}
=\prodd_{j=1}^n\varphi_j(t)
$$
a $\xi_j$, $1\le j\le n$, f\"uggetlens\'ege miatt illetve az
$e^{it\xi_j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ebb\H{o}l
k\"ovetkez\H{o} f\"uggetlens\'ege miatt. Ezenk\'{\i}v\"ul
$$
Ee^{it(S_n-A)/B}= Ee^{i(t/B)S_n}e^{-itA/B}=e^{-itA/B}
\psi_n\(\dfrac{t}B\),
$$
ha az $S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye $\psi_n(t)$. Innen
k\"ovetkezik a Lemma \'all\'{\i}t\'asa.
 
A fenti lemma szerint f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek ismeret\'eben egyszer\H{u} m\'odon ki tudjuk
fejezni normaliz\'alt \"osszeg\"uk karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et.
Ez azt sugallja, hogy ha eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'at
jellemezni tudjuk az eloszl\'asf\"uggv\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
akkor a karakterisztikus f\"uggv\'enyek vizsg\'alata lehet\H{o}v\'e
teszi a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at.
Az elk\"ovetkez\H{o}ekben megmutatjuk, hogy ez a program
v\'egrehajthat\'o. Ezel\H{o}tt azonban mutatunk egy \"on\-ma\-g\'a\-ban
is \'erdekes p\'eld\'at, amelyik egyben megmutatja a felhaszn\'aland\'o
bizony\'{\i}t\'asi m\'odszert. Nevezetesen, megmutatjuk, hogyan lehet a
Fourier anal\'{\i}zis vagy ha \'ugy tetszik a karakterisztikus
f\"uggv\'eny m\'odszer seg\'{\i}ts\'eg\'evel bebizony\'{\i}tani az
anal\'{\i}zis egyik h\'{\i}res ered\-m\'e\-ny\'et, az \'ugynevezett
Stirling formul\'at, mely az $n!$
kifejez\'esre ad j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} formul\'at.
 
Jegyezz\"uk meg, hogy amennyiben olyan $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot tekint\"unk, amelyik csak
eg\'esz \'ert\'ekekt vesz fel, \'es $P(\xi=n)=p_n$,
$n=0,\pm1,\pm2,\dots$, $\summ_{n=-\infty}^\infty p_n=1$, akkor a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'enye az
$$
\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\sum_{n=-\infty}^\infty p_ne^{int}, \qquad
-\infty<t<\infty
$$
ami a $p_n$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$ egy\"utthat\'okkal k\'esz\'{\i}tett
Fourier sor, ez\'ert ennek egy\"utt\-ha\-t\'oi a
$$
p_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-int}\varphi(t)\,dt,\qquad
n=0,\pm1,\pm2,\dots  \tag $*$
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel fejezhet\H{o}ek ki. Ezt a formul\'at a
$n$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'asra, konkr\'etabban annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere alkalmazva, hogy egy ilyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o az $n$ \'ert\'eket veszi fel
bel\'atjuk az al\'abbi Stirling formul\'anak nevezett eredm\'enyt.
\medskip\noindent
{\bf Stirling formula:}
{\it
$$
n!\sim\sqrt{2\pi n}\(\frac ne\)^n,
$$
azaz az els\H{o} $n$ eg\'esz sz\'am szorzata $n!$ teljes\'{\i}ti az
al\'abbi rel\'aci\'ot:
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi n}\(\dfrac ne\)^n}{n!}=1.
$$
}
\medskip\noindent
{\it A Stirling formula bizony\'{\i}t\'asa:} El\H{o}sz\"or azt
mutatjuk meg, hogy
$$
n!=\(\frac ne\)^n\frac{2\pi}{\dsize\int_{-\pi}^\pi
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt}. \tag b
$$
Tekints\"unk egy $\xi$ Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot $\lambda=n$ param\'eterrel, azaz le\-gyen
$P(\xi=k)=\dfrac{n^k}{k!}e^{-n}$, $k=0,1,2,\dots$. Sz\'am1tsuk ki a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $P(t)=Ee^{it\xi}$
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et. Ez a  k\"ovetkez\H{o} $P_n(t)$
Fourier sor:
$$
P_n(t)=\sum_{k=0}^\infty P(\xi=k)e^{itk}
=\sum_{k=0}^\infty \dfrac{n^k}{k!}e^{-n+ikt}
=e^{-n}\sum_{k=0}^\infty \dfrac{(ne^{it})^k}{k!}
=e^{-n+ne^{it}}.
$$
Innen, illetve egy Fourier sor egy\"utthat\'oinak
kifejez\'es\'eb\H{o}l a Fourier sor segi\'{\i}ts\'eg\'evel $k=n$
v\'alaszt\'assal kapjuk, hogy
$$
P(\xi=n)=\dfrac{n^n}{n!}e^{-n}
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-int}P_n(t)\,dt
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-int-n+ne^{it}}\,dt.
$$
Ez a k\'eplet ekvivalens a (b) formul\'aval.
 
A (b) formula alapj\'an a Stirling formula bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
el\'eg megmutatni azt, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt n}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\pi}^\pi
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt=1,
$$
amit \'ugyis \'{\i}rhatunk, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\dsize\int_{-\pi}^\pi e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt}
{\dsize\int_{-\infty}^\infty e^{-nt^2/2}\,dt}=1.
$$
Viszont tekintve az $e^{it}$ f\"uggv\'eny Taylor sor\'at kapjuk, hogy
$$
n(e^{it}-1-it)=-n\(\dfrac{t^2}2+\alpha(t)t^3\)=-\dfrac{nt^2}2
+\beta(t)n^{-1/8},
$$
alkalmas $|\alpha(t)|\le \const$ \'es $|\beta(t)|\le \const$
egy\"utthat\'okkal, ha $|t|\le n^{-3/8}$, ahonnan
$e^{n(e^{it}-1-it)}=e^{-nt^2/2}e^{\beta(t)n^{-1/8}}=e^{-nt^2/2}
\(1+\gamma(t)n^{-1/8}\)$, $\gamma(t)\le \const$, ha $t\le n^{-3/8}$,
\'es
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\dsize\int_{-n^{-3/8}}^{n^{-3/8}}
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt}
{\dsize\int_{-n^{-3/8}}^{n^{-3/8}} e^{-nt^2/2}\,dt}=1.
$$
Tov\'abb\'a nem neh\'ez bel\'atni, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}\dfrac{\dsize\int_{-n^{-3/8}}^{n^{-3/8}}
e^{-nt^2/2}\,dt} {\dsize\int_{-\infty}^\infty e^{-nt^2/2}\,dt}=
\lim_{n\to\infty}\dfrac{\dsize\int_{n^{1/8}}^{n^{1/8}}
e^{-t^2/2}\,dt} {\dsize\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2/2}\,dt}=
1-\lim_{n\to\infty}\dfrac{2\dsize\int_{n^{1/8}}^{\infty}
e^{-t^2/2}\,dt} {\sqrt{2\pi}}=1,
$$
ez\'ert el\'eg megmutatni, hogy az
$\dsize\int_{-\pi}^{-n^{-3/8}} e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt$ \'es
$\dsize\int^{\pi}_{n^{-3/8}} e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt$
in\-teg\-r\'a\-lok el\'eg kicsik, pontosabban ezek az integr\'alok
$\sqrt n$-nel megszorozva is null\'ahoz tartanak. (Ez a felt\'etel
az\'ert jelenik meg ebben a form\'aban, mert $\sqrt n
{\dsize\int_{-\infty}^\infty e^{-nt^2/2}\,dt}=\sqrt{2\pi}$.
Ennek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz jegyezz\"uk meg, hogy $|e^z|=e^{\Re z}$
tetsz\H{o}leges $z$ komplex sz\'amra, ahol $\Re z$  a $z$ sz\'am
val\'os r\'esz\'et jel\"oli. Innen
$$
|e^{n(e^{it}-1-it)}|=e^{n(\cos t-1)}\le e^{-\const n^{1/4}},
$$
ha $n^{3/8}\le|t|\le \pi$, ahonnan k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant
becsl\'es.
\medskip
Megjegyzem, hogy a fenti bizony\'{\i}t\'as h\'atter\'eben a
k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etel van. Ha tekint\"unk $n$ f\"uggetlen 1
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot, akkor ezek \"osszege $n$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy $n$ f\"uggetlen Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszege
egy adott \'ert\'eket vesz fel j\'ol tudjuk becs\"ulni, mert ki
tudjuk fejezni el\'osz\"or az \"osszeg karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et, \'es ezut\'an a Fourier sorok egy\"utthat\'oj\'at
a Fourier sor seg\'{\i}ts\'eg\'evel kifejez\H{o} $(*)$
formula lehet\H{o}v\'e teszi a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
kisz\'amol\'as\'at is. Ennek az eredm\'enynek \'erv\'enyes egy
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa, melyet r\"oviden ismertetek az k\'es\H{o}bb
kimondand\'o T\'etel~B-ben, de a bizony\'{\i}t\'asnak csak a
v\'azlat\'at adom meg. Ebben az eredm\'enyben j\'o aszim\-pto\-ti\-kus
becsl\'est fogalmazunk meg annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy
f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszege egy konkr\'et
\'ert\'eket vesz fel. A bizony\'{\i}t\'as eszm\'eje azon alapul,
hogy a Stirling formul\'ara adott bizony\'{\i}t\'ashoz hasonl\'oan
j\'o aszim\-pto\-tikus formul\'at lehet adni az \"osszeg
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ere ebben az \'altal\'anosabb
eset\-ben is, \'es ezut\'an a $(*)$ azonoss\'ag
seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o becsl\'est tudunk adni a minket
\'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre is. Ehhez azonban
sz\"uks\'eg\"unk van bizonyos ered\-m\'e\-nyek\-re a karakterisztikus
f\"uggv\'eny viselked\'es\'er\H{o}l. Ezeket az al\'abbi k\'et
eredm\'enyben fogalmazom meg.
 
El\H{o}sz\H{o}r az al\'abbi eredm\'enyt mondjuk ki, melynek
bizony\'{\i}t\'as\'aban felhaszn\'aljuk a komplex f\"uggv\'enytan
egyik alapvet\H{o} eredm\'eny\'et.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'er\H{o}l.} {\it A
$\varphi(u)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}$, $-\infty<u<\infty$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$g(t)=e^{-t^2/2}$ f\"uggv\'eny, azaz
$$
\int_{-\infty}^\infty
e^{itu}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=e^{-t^2/2}.
$$
}\medskip\noindent
{\it Magyar\'azat:}
$$ \allowdisplaybreaks
\align
\int_{-\infty}^\infty e^{itu}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du&=
\int_{-\infty}^\infty \dfrac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-(u-it)^2/2}e^{-t^2/2}\,du\\
&=e^{-t^2/2} \int_{-\infty-it}^{\infty-it} \dfrac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-u^2/2}e^{-t^2/2}\,du.
\endalign
$$
A fenti sz\'amol\'asban a szok\'asos technik\'at alkalmaztuk, az
exponensben szerepl\H{o} kvad\-ra\-ti\-kus alakot teljes n\'egyzett\'e
alak\'{\i}totuk \'at. Azt \'all\'{\i}tom, hogy
$$
\int_{-\infty-it}^{\infty-it} \dfrac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-u^2/2}e^{-t^2/2}\,du=1.
$$
Ez az integr\'al abban k\"ul\"onb\"ozik a standard norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny integr\'alj\'at\'ol, hogy a norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny integr\'alj\'at nem a val\'os
tengelyen, hanem egy vele p\'arhuzamos egyenesen tekintj\"uk. Azt
\'all\'{\i}tom, hogy ez az integr\'al ugyanannyi, mintha a val\'os
tengelyen interg\'altunk volna. Ezt nem neh\'ez bel\'atni, ha szabad
hivatkozni a komplex f\"uggv\'enytan tal\'an legfontosabb
eredm\'eny\'ere, mely szerint egy analitikus f\"uggv\'eny
k\"orintegr\'alja egy z\'art g\"orb\'en nulla. Azt kell
kihaszn\'alni, hogy a $g(x)=e^{-z^2/2}$ f\"uggv\'eny analitikus az
eg\'esz sz\'ams\'{\i}kon, \'es, ezenk\'{\i}v\"ul a $g(z)$ f\"uggv\'eny
olyan, hogy amennyiben a $z$ argumentum imagin\'arius r\'esz\'enek az
abszolut \'ert\'eke kisebb mint valamely fix $K$ sz\'am re\'alis
r\'esz\'enek az abszolut \'ert\'eke pedig nagyon nagy, akkor a
$g(z)$ f\"uggv\'eny nagyon kicsi. Mivel ez a bizony\'{\i}t\'as a
komplex f\"uggv\'enytani ismeretek felhaszn\'al\'asa
seg\'{\i}ts\'eg\'evel egyszer\H{u}en v\'egrehajthat\'o, viszont ez
a komplex f\"uggv\'enytani r\'esz, melyet nem tanult mindenki
elengedhetetlen a bizony\'{\i}t\'asban, ez\'ert a r\'eszletek
kidolgoz\'as\'at elhagyom.
\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny:} {\it Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel
\'es $\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel. Ekkor $\xi$
karakterisztikus f\"uggv\'enye}
$$
Ee^{it\xi}=e^{itm-\sigma^2t^2/2}.
$$
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot $\xi=\sigma\eta+m$ alakban \'{\i}rhatjuk fel, ahol
$\eta$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. (Az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot az $\eta=\dfrac{\xi-m}\sigma$
k\'eplettel defini\'ajuk. Ekkor $\eta$ val\'oban nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} \'es 1 sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es az
hogy norm\'alis eloszl\'as\'u tulajdonk\'eppen az\'ert igaz, mert
ez jelenti tulajdonk\'eppen azt, hogy $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u.)
Innen viszont k\"ovetkezik, hogy
$$
Ee^{it\xi}=Ee^{it(\sigma\eta+m)}=Ee^{i(t\sigma)\eta}e^{itm}
=e^{itm-\sigma^2t^2/2},
$$
\'es ezt kellett megmutatni.
\medskip\noindent
{\bf Lemma C.} {\it Legyen $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'ennyel, melyre teljes\"ul
az $E|\xi|^k=\dsize\int_{-\infty}^\infty |u|^kF(\,du)<\infty$
egyenl\H{o}tlens\'eg valamilyen $k$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra.
Ekkor a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\varphi(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a deriv\'altjai megadhat\'ok a
$\dfrac{d^j}{dt^j}\varphi(t)=\dsize\int_{-\infty}^\infty
i^ju^j e^{itu}F(\,du)$ k\'eplettel minden $0\le j\le k$ \'es
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra. Speci\'alisan, $t=0$ v\'alaszt\'assal
$\left.\dfrac{d^j\varphi(t)}{dt^j}\right|_{t=0}
=\dsize\int_{-\infty}^\infty i^ju^j F(\,du)=i^jE\xi^j$ minden $0\le
j\le k$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'asv\'azlat.}
A Lemma C. bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben \'{\i}rjuk fel a
$$
\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\dsize\int_{-\infty}^\infty
e^{itu}F(\,du)
$$
azonoss\'agot, \'es differenci\'aljuk $j$, $j\le k$,
alkalommal. Be lehet l\'atni, hogy az $E|\xi|^k<\infty$ felt\'etel
teljes\"ul\'ese eset\'en az azonoss\'ag jobb\-ol\-da\-l\'an az
integr\'al\'as \'es differenci\'al\'as sorrendje
felcser\'elhet\H{o}. (Ennek a val\'oj\'aban nem neh\'ez, de
meglehet\H{o}sen technikai r\'esz bizony\'{\i}t\'as\'anak elhagy\'asa
miatt besz\'elek csak bizony\'{\i}t\'asv\'azlatr\'ol
bizony\'{\i}t\'as helyett. A teljes bizony\'{\i}t\'ashoz t\'argyalni
kellene n\'eh\'any olyan ebben az el\H{o}ad\'asban csak fut\'olag
eml\'{\i}tett eredm\'enyt
a m\'ert\'ekelm\'eletb\H{o}l, mint p\'eld\'aul a Lebesgue t\'etel. A
teljes bizony\'{\i}t\'ast megadom a kieg\'esz\'{\i}t\'esben.) Innen
kapjuk, hogy
$$
\dfrac{d^j}{dt^j}\varphi(t)
=\dsize\int_{-\infty}^\infty  i^ju^j e^{itu}F(\,du).
$$
Alkalmazva a $t=0$ helyettes\H{u}t\'est megkapjuk a Lemma m\'asodik
\'all\'{\i}t\'as\'anak bizony\'{\i}t\'as\'at is.
 
R\'at\'erek a T\'etel~B megfogalmaz\'as\'ara. El\H{o}tte azonban
bevezetj\"uk az al\'abbi de\-fi\-ni\-ci\-\'ot:
\medskip\noindent
{\bf Egy r\'acssz\'eless\'eg\H{u} eg\'esz \'ert\'ekeket felvev\H{o}
eloszl\'as definici\'oja.} {\it legyen $\xi$ egy csak eg\'esz
\'ert\'ekeket felvev\H{o} $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Azt mondjuk, hogy e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asa egy r\'acssz\'eless\'eg\H{u}, ha nincsenek
olyan $A\ge2$ \'es $B$ eg\'esz sz\'amok, melyekre
$\summ_{n=-\infty}^\infty P(\xi=nA+B)=1$.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel B.} {\it Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"ug\-get\-len,
egyforma eloszl\'as\'u eg\'esz \'ertekeket felvev\H{o}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, melyek eloszl\'asa
egy r\'acssz\'eless\'eg\H{u}. Tegy\"uk tov\'abb\'a fel, hogy
$E\xi_1^2<\infty$, \'es legyen $E\xi_1=m$, $\Var\xi_1=\sigma^2$. Ekkor
az $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$ v\'eletlen \"osszegek eloszl\'asai
teljes\'{\i}tik az
$$
P(S_n=l)=\frac1{\sqrt{2\pi
n}\sigma}\exp\left\{-\frac{(l-nm)^2}{2n\sigma^2}\right\}+\e_n(l),\qquad
l=0,\pm1,\pm2,\dots
$$
rel\'aci\'ot, ahol az $\e_n(l)$ hibatag teljes\'{\i}ti a
$\limm_{n\to\infty}\supp_{-\infty<l<\infty}\dfrac{\e_n(l)}{\sqrt n}=0$
becsl\'est.}
\medskip
K\"onny\H{u} meg\'erteni, hogy mi\'ert kell feltenn\"unk a T\'etel B
megfogalmaz\'as\'aban azt, hogy 1 r\'acssz\'eless\'eg\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat tekint\"unk.
Hiszen, ha p\'eld\'aul olyan $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okkal foglalkozunk, melyek csak p\'aros \'ert\'ekeket vesznek
fel, akkor az $S_n$ \"osszegekre is \"or\"okl\H{o}dik ez a
tulajdons\'ag. \'Erdemes meg\'erteni, hogyan tudjuk felhaszn\'alni azt
a bizony\'{\i}t\'asban, hogy a tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'as\'anak a r\'acssz\'eless\'ege~1.
Bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul k\"ozl\"om (b\'ar a bizony\'{\i}t\'as
nem t\'ul neh\'ez), hogy ha a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok r\'acssz\'eless\'ege 1, akkor minden $\e>0$ sz\'amhoz
l\'etezik olyan $\delta(\e)>0$ sz\'am, hogy a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\varphi(t)=Ee^{it\xi_j}$
karakterisztikus f\"uggv\'enye teljes\'{\i}ti a $\supp_{t\:\e\le
|t|\le\pi}|\varphi(t)|<1-\delta(\e)$.
 
Ez az \"osszef\"ugg\'es azt biztos\'{\i}tja, hogy a $\varphi^n(t)$
f\"uggv\'eny exponenci\'alisan kicsi, ha a $[-\pi,\pi)$
intervallumb\'ol kihagyjuk az orig\'o egy kis k\"ornyezet\'et, \'es a
f\"uggv\'enyt csak a marad\'ek r\'eszben tekintj\"uk. Ez\'ert a
$P(S_n=l)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre a k\"ovetkez\H{o} becsl\'es
\'{\i}rhatjuk a $(*)$ formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel:
$$
P(S_n=l)=\dfrac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-ilt}\varphi_n(t)\,dt=
\dfrac1{2\pi}\int_{-\e}^\e
e^{-ilt}\varphi_n(t)\,dt+\text{elhanyagolhat\'o hiba},
$$
ahol $\varphi(\cdot)$ a $\xi_j$ \"osszeadand\'ok karakterisztikus
f\"uggv\'enye, \'es $\e>0$ tetsz\H{o}legesen kis pozit\'{\i}v sz\'am.
Ez azt jelenti, hogy sz\'amunkra elegend\H{o} $\varphi(t)^n$
f\"uggv\'enyre csak kis $t$ sz\'amokra j\'o becsl\'est
adni. Ezt adja meg a k\"ovetkez\H{o} becsl\'es, melynek szint\'en nem
dolgozom ki a r\'eszleteit.
Ez azon alapul, hogy ki tudjuk fejezni a
karakterisztikus f\"uggv\'eny deriv\'altjait a null\'aban a momentumok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ez\'ert a Taylor sorfejt\'es
j\'o becsl\'est ny\'ujt a karakterisztikus f\"uggv\'eny \'ert\'ek\'ere
a nulla kis k\"ornyezet\'eben.
 
Legyenek $\xi_1,\xi_2.\dots$, f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
melyekre $E\xi_1^2<\infty$, \'es vezess\"uk be az $E\xi_1=m$,
$\sigma_2=\Var \xi_1$ jel\"ol\'eseket. Legyen tov\'abb\'a
$S_n=\summ_{k=1}\xi_k$. Ekkor $Ee^{itS_n}=\varphi(t)^n$,
$Ee^{it(S_n-nm)}=(Ee^{it(\xi_1-m)})^n$, ez\'ert
kis $t$ \'ert\'ekekre azt v\'arhatjuk a Lemma~B \'es a Taylor formula
alapj\'an, hogy $Ee^{it(\xi_1-m)}\sim 1-\sigma^2\dfrac{t^2}2$, \'es
$$
\align
Ee^{itS_n}&=e^{itnm}Ee^{it(S_n-nm)}=\(e^{itm}Ee^{it(\xi_1-m)}\)^n \\
&\sim \(e^{itm}\(1-\sigma^2\dfrac{t^2}2\)\)^n\sim
e^{in(tm-\sigma^2t^2/2)}.
\endalign
$$
Ez a becsl\'es \'es az el\H{o}z\H{o} sz\'amol\'as azt sugallja, hogy
$$
P(S_n=l)=
\dfrac1{2\pi}\int_{-\e}^\e
e^{-ilt}e^{in(tm-\sigma^2t^2/2)}\,dt+\text{elhanyagolhat\'o hiba}
$$
tetsz\H{o}leges kis $\e>0$ sz\'ammal. Tov\'abb\'a, mivel az
$e^{-ilt}e^{in(tm-\sigma^2t^2/2)}$ f\"uggv\'eny a null\'an kiv\"ul
nagyon gyorsan cs\"okken ez\'ert term\'eszetes azt v\'arni, hogy
$$
\align
P(S_n=l)&\sim
\dfrac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty
e^{-ilt}e^{in(tm-\sigma^2t^2/2)}\,dt \\
&=\dfrac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty
e^{-n\sigma^2/2(t-i(m/\sigma^2+l/n\sigma^2)^2}e^{-(l-nm)^2/2n\sigma^2}
\,dt\\
&=\frac1{\sqrt{2\pi
n}\sigma}\exp\left\{-\frac{(l-nm)^2}{2n\sigma^2}\right\}
\endalign
$$
\'es ennek az aszimptotikus formul\'anak a helyess\'eg\'et be is lehet
l\'atni r\'eszletesebb, figyelmes sz\'amol\'assal.
A r\'eszletek alapos kidolgoz\'as\'aval be lehet bizony\'{\i}tani a
T\'etel~B-t.
 
\medskip
A Stirling formula bizony\'{\i}t\'as\'aban tulajdonk\'eppen a fent
v\'azolt bizony\'{\i}t\'ast hajtottuk v\'egre akkor, ha speci\'alisan
Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
tekint\"unk. Igaz, hogy
ott csak az $l=n$ esetet tekintett\"uk, mert csak az \'erdekelt minket.
A T\'etel~B-ben minden $l$ eg\'esz sz\'amra adtunk egy becsl\'est a
$P(S_n=l)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre, de ez csak akkor tartalmas,
ha az $l$ sz\'am viszonylag k\"ozel van az $S_n$ sz\'am $ES_n=nm$
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'ehez. Ugyanis abban az esetben, ha nem tudjuk,
hogy a becsl\H{o} f\"uggv\'eny f\H{o} tagja nagyobb, mint a
becsl\'esben szerepl\H{o} hibatag, akkor ez a becsl\'es viszonylag kis
\'ert\'ek\H{u}. Ez a helyzet, ha olyan $l_n$, $n=1,2,\dots$,
sz\'amsorozatra pr\'ob\'alom alkalmazni a becsl\'est, melyre
$\dfrac{l_n-nm}{\sqrt n}\to\infty$.
\medskip
Hasonl\'{\i}tsuk \"ossze a T\'etel~B eredm\'eny\'et az el\H{o}ad\'as
elej\'en megfogalmazott centr\'alis hat\'arelosz\'ast\'etellel. A
T\'etel~B-ben csak r\'acsos eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat vizs\-g\'al\-tunk, \'es az eredm\'eny azt \'all\'{\i}tja,
hogy (n\'eh\'any enyhe megszor\'{\i}t\'o feltev\'es teljes\"ul\'ese
eset\'en) annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a  f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszege egy adott $k$
\'ert\'eket vesz fel, j\'ol k\"ozel\'{\i}thet\H{o} a standard
norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. (Az approxim\'al\'o
norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny olyan volt, hogy v\'arhat\'o
\'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete megegyezett a vizsg\'alt \"osszeg
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'evel \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'evel.) A
centr\'alis ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel a v\'eletlen \"osszeg
eloszl\'as\'ara ad j\'o becsl\'est. Hogyan viszonylik ez a k\'et
eredm\'eny egym\'ashoz? Nem neh\'ez bel\'atni azt, hogy ha
teljes\"ulnek a T\'etel~B felt\'etelei, akkor (ennek az eredm\'enynek
a jel\"ol\'es\'et haszn\'alva) ebb\H{o}l az eredm\'enyb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}P\(a<\frac{S_n-nm}{\sqrt n\sigma}<b\)=\Phi(b)-\Phi(a)
$$
minden $-\infty<a<b<\infty$ sz\'amra. N\'emi tov\'abbi
meggondol\'asb\'ol az is k\"ovetkezik, hogy ebben az esetben teljes\"ul
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel is. (Ennek r\'eszleteit nem
dolgozom ki, \'es nem is fogom k\'erdezni a vizsg\'an, de az
\'erdekl\H{o}d\H{o} hallgat\'ok maguk is bebizony\'{\i}thatj\'ak. Azt
kell \'eszrevenni, hogy a fenti formul\'ab\'ol k\"ovetkezik az is, hogy
minden $\e>0$ sz\'amra l\'etezik olyan $K=K(\e)$
val\'os sz\'am, melyre igaz, hogy
$$
P(S_n>K)+P(S_n<-K)\le\e\quad \text{minden $n$ indexre}.
$$
Ez az \'eszrev\'etel teszi lehet\H{o}v\'e, hogy az el\H{o}z\H{o}
formul\'aban v\'egrehajtsuk az $a\to-\infty$ hat\'ar\'atmenetet.
 
Az \'all\'{\i}t\'as megford\'{\i}t\'asa nem igaz. Abb\'ol, hogy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyei
konverg\'alnak a norm\'alis eloszl\'ashoz nem k\"ovetkezik, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ezek konkr\'et \'ert\'eket vesznek
fel konverg\'al ahhoz a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyhez, melyet ez az
eredm\'eny sugall. Ez akkor sem igaz, ha p\'eld\'aul tudjuk, hogy a
vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok csak eg\'esz
\'ert\'ekeket vesznek fel. (Nem megyek bele a r\'eszletek
t\'argyal\'as\'aba, ezt az \'erdekl\H{o}d\H{o} di\'akok maguk is
megtehetik. Csak megjegyzem, hogy ez azzal a t\'ennyel van (nemcsak)
form\'alis kapcsolatban, hogy f\"uggv\'enysorozat
konvergenci\'aj\'ab\'ol csak tov\'abbi er\H{o}s megszor\'{\i}t\'asok
teljes\"ul\'ese eset\'en k\"ovetkezik, hogy a f\"uggv\'enysorozat
elemeinek deriv\'altjai is konverg\'alnak.)
 
Gondoljuk v\'egig mi volt a T\'etel~B (csak v\'azlatosan ismertetett)
bizony\'{\i}t\'as\'anak a gondolata. Azt haszn\'altuk ki, hogy az
eloszl\'as\"uggv\'eny \'altal defini\'alt karakterisztikus f\"uggv\'eny
(mely ebben az esetben term\'eszetes m\'odon Fourier sork\'ent is
\'ertelmezhet\H{o} volt) ismeret\'eben kifejezhet\H{o} volt az eredeti
eloszl\'as (ez volt a $(*)$ formula), \'es e formula
seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o becsl\'est tudunk adni a minket
\'erdekl\H{o}d\H{o} eloszl\'asra. Adapt\'alhat\'o-e ez a m\'odszer
m\'as esetekre? Tudjuk-e hasonl\'o m\'odon vizsg\'alni akkor, ha nem
r\'acsos eloszl\'as\'u, hanem p\'eld\'aul
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} eloszl\'asokat
vizsg\'alunk, vagy az \'altal\'anos esetben, amikor az
eloszl\'asf\"uggv\'eny nem r\'acsos eloszl\'as\'u \'es nincsen
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye sem? A v\'alasz ezekre a
k\'erd\'esekre azon m\'ulik, hogy tudunk-e a $(*)$ formul\'ahoz
hasonl\'o egyszer\H{u} inverzi\'os formul\'at fel\'{\i}rni,
mely a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt vagy az eloszl\'asf\"uggv\'enyt
fejezi ki a karakterisztikus f\"uggv\'ennyel.
 
A s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny eset\'eben a v\'alasz igenl\H{o}, \'es
ennek k\"ovetkezt\'eben a T\'etel~B-hez hasonl\'o eredm\'enyt tudunk
bizony\'{\i}tani sz\'ep s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel
rendelkez\H{o} f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'ere. Az
eloszl\'asf\"uggv\'eny helyzete bonyolultabb. Ebben az
esetben is bizony\'{\i}that\'o inverzi\'os formula, de az t\'ul
bonyolult, \'es vizsg\'alatokban nem j\'ol haszn\'alhat\'o. Ebben az
esetben m\'as m\'odszert \'erdemes k\"ovetni. Azt fogjuk vizsg\'alni a
karakterisztikus f\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy az
eloszl\'asban val\'o konvergenci\'at kifejez\H{o} (b) rel\'aci\'o
mikor teljes\"ul. L\'atni fogjuk, hogy erre j\'ol kezelhet\H{o}
sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etelt lehet adni a
karakterisztikus f\"uggv\'enyek nyelv\'en.
Ez lesz a k\"ovetkez\H{o} el\H{o}ad\'as t\'em\'aja.
 
 
\medskip\noindent
{\script Kieg\'esz\'{\i}t\'es: Az 1. T\'etel \'es a Lemma C
bizony\'{\i}t\'asa.} \medskip\noindent
Az 1.~T\'etel bizony\'{\i}t\'asa el\H{o}tt bebizony\'{\i}tjuk az
al\'abbi elemi anal\'{\i}zisbeli Lemm\'at.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen $F(x)$ folytonos f\"uggv\'eny a
sz\'amegyenesen. Ekkor az $F(x)$ pontnak legfeljebb
megsz\'aml\'alhat\'o szakad\'asi pontja van.}
\medskip\noindent
{\it A Lemma bizony\'{\i}t\'asa.}  Az $F(x)$ f\"uggv\'eny
folytonoss\'aga miatt az $F(\cdot)$ f\"uggv\'enynek minden pontban
van baloldali \'es jobboldali hat\'ar\'ert\'eke, \'es az $F(\cdot)$
f\"uggv\'eny akkor \'es csak akkor folytonos egy $x$ pontban,
ha annak bal \'es jobboldali hat\'ar\'ert\'eke az $x$ pontban
megegyezik. Ha az $x$ pont nem folytonoss\'agi pontja az $F(\cdot)$
f\"uggv\'enynek, akkor annak bal \'es jobboldali hat\'ar\'ert\'eke
k\"oz\"ott, az $[F(x-0),F(x+0)]$ nem \"ures intervallum belsej\'eben
van egy racion\'alis pont. Rendelj\"uk hozz\'a ehhez az
intervallumhoz egy ilyen pontot. Mivel az $F(\cdot)$ f\"uggv\'eny
monoton\'{\i}t\'asa miatt minden ilyen intervallumhoz
k\"ul\"onb\"oz\H{o} pontot rendel\"unk hozz\'a, \'es csak
megsz\'aml\'alhat\'o sok racion\'alis sz\'am van, innen
k\"ovetkezik a lemma \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip\noindent
{\it Az 1. T\'etel binony\'{\i}t\'asa:} Tegy\"uk fel
el\H{o}sz\"or azt, hogy az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez,
\'es tekints\"unk egy folytonos \'es korl\'atos $g(\cdot)$
f\"uggv\'enyt a sz\'amegyenesen. Ekkor a $g$ f\"uggv\'eny
folytonoss\'aga \'es az $F$ illetve $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
viselked\'ese miatt $\pm\infty$ pontok k\"ornyezet\'eben minden
$\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan el\'eg
nagy $K=K(\e)>0$, melyre $\int_{u\:|u|>K} |g(u)|\,dF_n(u)<\e$ minden
$n=1,2,\dots$ indexre, \'es ez az \'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes akkor
is, ha az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'ennyel helyettes\'{\i}tj\"uk. Val\'oban,
v\'alasszunk egy olyan $B$ sz\'amot, melyre $\supp_{-\infty<x<\inf
x}|g(x)|\le B$. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy l\'etezik olyan $K$ sz\'am,
melyre $F_n(-K)<\frac\e {2B}$, \'es $1-F_n(K)<\frac\e{2B}$ minden
$n=0,1,2,\dots$ sz\'amra. Val\'oban ez az \'all\'{\i}t\'as
\'erv\'enyes az $F_0$ hat\'arf\"uggv\'enyre \'es egy $K_0$ sz\'amra,
feltehetj\"uk azt is, hogy $K_0$ az $F_0(\cdot)$ f\"uggv\'eny
folytonoss\'agi pontja. Ekkor abb\'ol, hogy az $F_n$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek konverg\'alnak el\-osz\-l\'as\-ban az
$F_0$ f\"uggv\'enyhez innen k\"ovetkezik, hogy l\'etezik olyan
$n_0$ index, hogy az el\H{o}z\H{o} egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg
\'erv\'enyes az $F_n(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyekre minden
$n\ge n_0$ indexre. Ha a fenti $K_0$ sz\'amot
helyettes\'{\i}tj\"uk egy n\'ala nagyobb el\'eg nagy $K$ sz\'ammal,
akkor teljes\"ul az $F_n(-K)<\frac\e {2B}$
\'es $1-F_n(K)<\frac\e{2B}$ \'es ez\'ert az
$\int_{u\:|u|>K} |g(u)|\,dF_n(u)<\e$ egyenl\H{o}tlens\'eg is
minden $n=0,1,2,\dots$ sz\'amra.
 
Tov\'abb\'a a folytonos $g(\cdot)$ f\"uggv\'eny a $[-K,K]$
intervallumban egyenletesen folytonos. Ennek az \'eszrev\'etelnek
\'es annak a t\'enynek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy
$\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$ az $F(\cdot)$ minden folytonoss\'agi
pontj\'aban be lehet l\'atni, v\'eve a $[-K,K]$ intervallumnak egy
olyan el\'eg finom feloszt\'as\'at, melynek az oszt\'opontjai az $F$
f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontjai, hogy
$$
\left|\int_{u\:|u|\le K} g(u)\,dF_n(u)-\int_{u\:|u|\le K}
g(u)\,dF(u)\right|<\e,\quad\text{ha } n\ge n_0(\e).
$$
(E l\'ep\'esben kihaszn\'aljuk azt, hogy egy monoton f\"uggv\'enynek
csak megsz\'aml\'alhat\'o sok szakad\'asi pontja van. Innen $\e\to0$
hat\'ar\'atmenettel megkapjuk az (a) \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'at.
 
Megford\'{\i}tva tegy\"uk fel, hogy teljes\"ul az (a) rel\'aci\'o,
\'es legyen $x$ az $F$ f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontja.
R\"ogz\'{\i}tve egy kis $\e>0$ sz\'amot defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $g^\pm(u)=g_{x,\e}^\pm(u)$, $-\infty<u<\infty$
folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'enyeket: $g^+(u)=0$, ha $u\ge
x+\e$, $g^+(u)=1$, ha $u\le x$, $g^+(u)=\dfrac{x+\e-u}\e$, ha $x\le
u\le x+\e$, $g^-(u)=0$, ha $u\ge x$, $g^-u)=1$, ha $u\le x-\e$,
$g^-(u)=\dfrac{x-u}\e$, ha $x-\e\le u\le x$. Alkalmazva az (a)
\'all\'{\i}t\'ast kapjuk, hogy
$$
\align
F(x-\e)&\le \int g_{\e,x}^-(u) F(\,du)
=\limm_{n\to\infty}\int g_{\e,x}^-(u) F_n(\,du)
\le \liminff_{n\to\infty} F_n(x) \\
&\le \limsupp_{n\to\infty} F_n(x)\le
\limm_{n\to\infty}\int g_{\e,x}^+(u) F_n(\,du)=
\int g_{\e,x}^+(u) F(\,du)\le F(x+\e),
\endalign
$$
\'es v\'eve az $\e\to0$
hat\'ar\'atmenetet kapjuk, hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$,
felt\'eve, hogy az $x$ pont az $F$ f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontja.
 
\medskip\noindent
{\it A Lemma C bizony\'{\i}t\'asa.} Teljes\"ulj\"un az
$E|\xi|^k=\int_{-\infty}^\infty |x|^kF(\,dx)<\infty$ felt\'etel
valamely pozit\'{\i}v eg\'esz $k$ sz\'amra. Azt fogjuk bel\'atni, hogy ha
valamilyen $0\le j<k$ sz\'amra
$\dfrac{d^j}{dt^j}\varphi(t)=\dsize\int_{-\infty}^\infty
i^ju^j e^{itu}F(\,du)$ minden
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra, akkor
$\dfrac{d^{j+1}}{dt^{j+1}}\varphi(t)=\dsize\int_{-\infty}^\infty
i^{j+1}u^{j+1} e^{itu}F(\,du)$ minden
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra. Innen indukci\'oval k\"ovetkezik a
Lemma~C f\H{o} \'all\'{\i}t\'asa, mivel az indukci\'os feltev\'es
\'erv\'enyes $j=0$ eset\'en.
 
Viszont
$$
\frac{d^{j+1}}{dt^{j+1}}\varphi(t)=
\lim_{h\to0}\frac{\dfrac{d^j}{dt^j}\varphi(t+h)-\dfrac{d^j}{dt^j}
\varphi(t)}h =\lim_{h\to0}\int_{-\infty}^\infty
\frac{i^{j}u^{j} e^{i(t+h)u}-i^{j}u^{j} e^{itu}}hF(\,du),
$$
\'es az integrandus teljes\'{\i}ti az
$$
\limm_{h\to0}\dfrac{i^{j}u^{j} e^{i(t+h)u}-i^{j}u^{j}
e^{itu}}h=i^ju^{j+1}\limm_{h\to0}\dfrac{e^{ihu}-1}h
=i^{j+1}u^{j+1} e^{itu}
$$
rel\'aci\'ot. Azt kell megmutatnunk,
hogy jogunk van a limeszel\'esben az integr\'al\'as \'es
limeszk\'epz\'es sorrendj\'et felcser\'elni. Ehhez a Lebesgue
domin\'alt konvergenciat\'etele alap\-j\'an el\'eg
azt bemutatni, hogy l\'etezik olyan $K(u)$ f\"uggv\'eny, melyre
$$
\left|\dfrac{i^{j}u^{j} e^{i(t+h)u} i^{j}u^{j}-
e^{itu}}h\right|\le K(u)\qquad\text{ minden $|h|\le\frac12$ sz\'amra},
$$
\'es $\int_{-\infty}^\infty K(u)F(\,du)<\infty$. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
\left|\dfrac{i^{j}u^{j} e^{i(t+h)u} i^{j}u^{j}-
e^{itu}}h\right|=|u|^j\left|\frac{e^{ihu}-1}h\right|
=|u|^j|u+\vartheta|\le |u|^{j+1}+|u|^j
$$
valamilyen $-\dfrac12\le-|h|<\vartheta< \le|h|\le\dfrac12$, ha
$|h|\le\frac12$ sz\'amra. Ez\'ert v\'alaszthatjuk a k\'{\i}v\'ant
$K(u)$ f\"uggv\'enyt, mint $K(u)=|u|^j+|u|^{j+1}$, \'es
ny\'{\i}lv\'an $\int_{-\infty}^\infty K(u)F(\,du)<\infty$, ha $j<k$.
 
 
 \bye
 
 
 
 
