\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\font\script=cmcsc10
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II.
el\H{o}ad\'assorozat m\'asodik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2002. szeptember 17.}
\medskip\noindent
\centerline{\bf A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
megalapoz\'asa. \ {\it Folytat\'as.}}
\medskip\noindent
Ezem az el\H{o}ad\'ason el\H{o}sz\"or val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'evel fogunk foglalkozni.
Ismertetj\"uk (kiss\'e v\'azlatosan) ennek definici\'oj\'at, \'es
megt\'argyaljuk legfontosabb tulajdons\'agait. Ez a probl\'emak\"or
is nagyon szorosan kapcsol\H{o}dik a m\'ert\'ekelm\'elethez, azon
bel\"ul az integr\'alok, els\H{o}sorban a Lebesgu integr\'al
vizsg\'alat\'ahoz. Ez a kapcsolat r\"ogt\"on l\'atszik a v\'arhat\'o
\'ert\'ek definici\'oj\'ab\'ol.
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek a definici\'oja.} {\it Legyen $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. A $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke az
$$
E\xi(\oo)=\int_\Omega\xi(\oo)\,dP(\oo)
$$
Lebesgue integr\'al a $P$ m\'ert\'ek szerint, felt\'eve, hogy ez az
integr\'al l\'etezik. Ha ez az integr\'al nem l\'etezik akkor a
$\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'atoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et nem defini\'aljuk.}
\medskip
Maga a Lebesgue integr\'al fogalma szerepel a m\'ert\'ekelm\'eletben,
ez\'ert itt annak definici\'oj\'ar\'ol csak r\"ovid eml\'ekeztet\H{o}t
adok. A Lebesgue integr\'al pontos elm\'elet\'enek ismerete nem
felt\'etele ezen el\H{o}ad\'as meg\'ert\'es\'enek.
 
Legyen adva egy $(X,\Cal A)$ m\'erhet\H{o} t\'er, azaz egy $X$
halmaz, \'es annak bizonyos kijel\"olt r\'eszhalmazai, melyek
$\sigma$-algebr\'at alkotnak, valamint egy v\'eges $\mu$ m\'ert\'ek az
$\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an, ami azt jelenti, hogy $\mu(X)<\infty$.
(Val\'oj\'aban ezt a felt\'etelt lehet \'es \'erdemes is
gyeng\'{\i}teni, tekinthet\"unk \'ugynevezett $\sigma$-v\'eges
m\'ert\'ekeket is.  Egy $\mu$ m\'ert\'ek $\sigma$-v\'eges az $(X,\Cal
A)$ t\'eren, ha l\'etezik az $X$ halmaznak olyan megsz\'aml\'alhat\'o
sok $B_j$, $j=1,2,\dots$, halmazokra val\'o felbont\'asa, melyre
azonk\'{\i}v\"ul, hogy  $X=\bigcupp_{j=1}^\infty B_j$, teljes\"ul
m\'eg az $\mu(B_j)<\infty$,  $j=1,2,\dots$ felt\'etel is. Nem
v\'eges, de $\sigma$-v\'eges m\'ert\'ekre fontos p\'elda a Lebesgue
m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen.) Jel\"olj\"uk $x$ bet\H{u}vel az $X$
t\'er egy \'altal\'anos pontj\'at. Te\-kint\-j\"uk a ,,sz\'ep''
(m\'erhet\H{o}) $f(x)$ val\'os \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'enyeket az
$(X,\Cal A)$ t\'eren, \'es az ilyen f\"uggv\'enyeknek fogjuk
defini\'alni a (Lebesgue) integr\'alj\'at a $\mu$ m\'ert\'ek szerint.
A definici\'o a k\"ovetkez\H{o} term\'eszetes elven alapul.
El\H{o}sz\"or a leg\-egy\-sze\-r\H{u}bb, \'ugynevezett l\'epcs\H{o}s
f\"uggv\'enyekre defini\'aljuk az integr\'alt, mely f\"uggv\'enyekre
l\'etezik az $X$ halmaznak olyan v\'eges $A_1,\dots,A_n$ partici\'oja,
ahol a f\"uggv\'eny konstans. Ha az $f$ f\"uggv\'eny olyan
l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'eny, melyre az $X$ halmaz valamilyen v\'eges
$A_1,\dots,A_n$ partici\'oj\'ara, (az, hogy ezen halmazok partici\'ot
alkotnak azt jelenti, hogy $A_1,\dots,A_n$ diszjunkt  halmazok, \'es
$\bigcupp_{j=1}^nA_j=X$), $f(x)=c_j$ minden $x\in A_j$ pontra,
$j=1,\dots,n$, akkor az $f$ f\"uggv\'eny integr\'alj\'at az
$\int_X f(x)\mu(\,dx)=\summ_{j=1}^nf(x_j)\mu(A_j)$, $x_j\in A_j$,
$j=1,\dots,n$, k\'eplettel defini\'aljuk. Term\'eszetes
k\"ozel\'{\i}t\'essel tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v (vagy
negat\'{\i}v) m\'erhet\H{o} $f$ f\"uggv\'enyt k\"ozel\'{\i}teni lehet
pozit\'{\i}v (vagy negat\'{\i}v) l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enyek
szorozat\'aval (p\'eld\'aul el\'erhet\H{o}, hogy
$\mu\(x\:|f_n(x)-f(x)|>\frac1n\)<\frac1n$), \'es
ezut\'an az $f$ f\"uggv\'eny integr\'alj\'at az
$$
\int_X f(x)\mu(\,dx)=\limm_{n\to\infty}\int_X f_n(x)\mu(\,dx)
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet defini\'alni. (Ez a limesz lehet
v\'egtelen (minusz v\'egtelen) is.) V\'eg\"ul egy \'altal\'anos
m\'erhet\H{o} $f$ f\"uggv\'enyt fel\'{\i}rhatunk  $f(x)=f_+(x)+f_-(x)$
alakban is, ahol $f_+(x)=\max(0,f(x))$ \'es $f_-(x)=\min(0,f(x))$ az
$f(x)$ f\"uggv\'eny pozit\'{\i}v \'es negat\'{\i}v r\'esze, \'es az
$f(x)$ f\"uggv\'eny integr\'alj\'at defini\'alhatjuk az
$\int_Xf(x)\mu(\,dx)=\int_Xf_+(x)\mu(\,dx)+\int_Xf_-(x)\mu(\,dx)$
k\'eplettel, felt\'eve, hogy a jobboldalon szerepl\H{o} \"osszeg
\'ertelmes. (Azaz nem plusz v\'egtelent \'es minusz v\'egtelent kell
\"osszeadni.) Term\'eszetesen a fenti definici\'o jogoss\'ag\'anak
indokl\'as\'ahoz sz\'amos k\'erd\'est tiszt\'azni kell, (p\'eld\'aul,
honnan tudjuk, hogy minden m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny
k\"ozel\'{\i}thet\H{o} ilyen m\'odon, azt hogy az integr\'al
\'ert\'eke nem f\"ugg att\'ol, hogy milyen k\"ozel\'{\i}t\'est
alkalmazunk?), de mivel ez a probl\'emak\"or a m\'ert\'ekelm\'elet
r\'esze, \'es sz\'amunkra nem lesz fontos e k\'erd\'esek vizsg\'alata,
ez\'ert ezt elhagyjuk. Megjegyezz\"uk, hogy abban, hogy az
integr\'alnak egy k\'enyelmes j\'o modellj\'et tudjuk kidolgozni
fontos szerepet j\'atszott az a k\"or\"ulm\'eny, hogy a $\mu$
m\'ert\'ek nemcsak addit\'{\i}v, hanem $\sigma$-addit\'{\i}v is.)
\medskip
Besz\'elj\"uk meg r\"oviden a Lebesgue \'es kor\'abban tanult Riemann
integr\'al kapcsolat\'at.
\medskip\noindent
{\it Els\H{o} megjegyz\'es:}\/ L\'attuk, hogy a Lebesgue integr\'alt
\'ugy defini\'altuk, hogy el\H{o}sz\"or te\-kin\-tet\-t\"uk a
legegyszer\H{u}bb, \'ugynevezett l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enyeket,
\'es az ilyen f\"uggv\'enyek integr\'alj\'at term\'eszetes
\"osszegk\'ent defini\'altuk. \'Altal\'anos f\"uggv\'enyek
integr\'alj\'anak a definici\'oj\'at visszavezetj\"uk erre az esetre
alkalmas hat\'ar\'atmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A Riemann integr\'al
eset\'eben is hasonl\'o az integr\'al definici\'oja, csak ott azok a
speci\'alis f\"uggv\'enyek, melyek integr\'alj\'at egy \"osszeg
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'aljuk m\'ask\'epp vannak meghat\'arozva.
Ugyanis, ha tekintj\"uk annak az intervallumnak egy
feloszt\'as\'at kis intervallumokra, \'es tekint\"unk egy olyan
f\"uggv\'enyt, melynek \'ert\'eke a feloszt\'asban szerepl\H{o}
mindegyik kis intervallumban egy olyan konstanssal egyezik, melynek
\'ert\'eke megegyezik az eredeti f\"uggv\'eny \'ert\'ek\'evel ezen
intervallum valamelyik kis pontj\'aban, akkor a Riemann integr\'al
definici\'oj\'aban szerepl\H{o} k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegek ilyen
f\"uggv\'enyek integr\'alj\'aval egyeznek meg. Teh\'at a Riemann
integr\'al definici\'oja is interpret\'alhat\'o \'ugy mint az
integr\'aland\'o f\"uggv\'enyt k\"ozel\'{\i}t\H{o} alkalmas
egyszer\H{u} f\"uggv\'enyek integr\'aljainak a limesze.
 
A f\H{o} k\"u\-l\"onb\-s\'eg a Riemann \'es Lebesgue integr\'alok
k\"oz\"ott az, hogy a Lebesgue integr\'al definici\'oj\'aban a
k\"ozel\'{\i}t\H{o} egyszer\H{u} (elemi) f\"uggv\'enyek csal\'adja
gazdagabb, mint a Riemann integr\'alok eset\'eben. Annak
\'erdek\'eben, hogy ezt megtehess\"uk, ki kellett \'ep\'{\i}teni
egy $\sigma$-addit\'{\i}v m\'ert\'eket egy (sok halmazt tartalmaz\'o)
$\sigma$-algebr\'ara. A fenti gondolatot kidolgozva meg lehet \'erteni,
hogy egy Riemann integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny egyidej\H{u}leg Lebesgue
integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny is (a Lebesgue m\'ert\'ek szerint),
\'es egy ilyen f\"uggv\'eny Riemann \'es Lebesgue integr\'alja
egyenl\H{o}.
\medskip\noindent
{\it M\'asodik megjegyz\'es:}\/ \'Erdemes megfogalmazni a
k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u}, de fontos \'esz\-re\-v\'e\-telt. Ha
$\xi(\oo)$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyre
$P(a\le \xi(\oo)\le b)=1$ alkalmas $-\infty<a\le b<\infty$
sz\'amokra, akkor
$$
a\le \int \xi(\oo)P(\,d\oo)\le b.
$$
Val\'oban, egy ilyen f\"uggv\'eny hasonl\'o tulajdons\'ag\'u elemi
f\"uggv\'enyekkel approxim\'alhat\'o, \'es mivel az ilyen elemi
f\"uggv\'enyek integr\'aljaira teljes\"ul az eml\'{\i}tett
tulajdons\'ag, ez\'ert hat\'ar\'atmenettel megkapjuk ezt az
\'all\'{\i}t\'ast. Ennek az egyenl\H{o}tlens\'egnek \'erdemes
megfogalmazni az al\'abbi k\"ovetkezm\'eny\'et is. Ha $\xi(\oo)$ \'es
$\eta(\oo)$ k\'et olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, melyre $P(|\xi(\oo)-\eta(\oo)|\le a)=1$ valamilyen $a>0$
sz\'amra, akkor a $\xi(\oo)$ \'es $\eta(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi egyszerre
integr\'alhat\'o, vagy nem integr\'alhat\'o, \'es
$$
\left|\int\xi(\oo)P(\,d\oo)-\int\eta(\oo)P(\,d\oo)\right|\le a.
$$
\medskip\noindent
{\it Harmadik megjegyz\'es:}\/ A Lebesgue integr\'al, hasonl\'oan a
Riemann integr\'alhoz line\'aris lek\'epez\'es, azaz ha $f(\cdot)$
\'es $g(\cdot)$ k\'et integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny egy $(X,\Cal
A,\mu)$ m\'ert\'ekt\'eren, $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amok, akkor
$$
\int \(a f(x)\mu(\,dx)+b g(x)\)\mu(\,dx)=a\int f(x)\mu(\,dx)+b\int
g(x)\mu(\,dx).
$$
A Ennek az \'all\'{\i}t\'as k\"ovetkezm\'enye a v\'arhat\'o \'ert\'ek
egyik fontos tulajdons\'aga, amelyiket k\"ul\"on t\'etel fogalmazza meg.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, melyekre $E|\xi_j|<\infty$,
$j=1,\dots,n$, $c_1,\dots,c_n$ tetsz\H{o}leges val\'os sz\'amok. Ekkor
$$
E(c_1\xi_1(\oo)+\cdots+c_n\xi_n(\oo))=
c_1E\xi_1(\oo)+\cdots+c_nE\xi_n(\oo).
$$
}\medskip
 
Az egyik rendk\'{\i}v\"ul fontos k\'erd\'es az, hogy hogyan tudjuk
kisz\'amolni egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. K\"ul\"on hangs\'ulyozzuk, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi probl\'em\'akban \'altal\'aban nem adjuk
meg effekt\'{\i}ve azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, ahol
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o l\'etezik, hanem csak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'at ismerj\"uk.
Elegend\H{o}-e egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as\'anak ismerete ahhoz, hogy kisz\'amoljuk a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et? Erre a k\'erd\'esre az al\'abbi t\'etel ad pozit\'{\i}v
v\'alaszt.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel} {\it Legyen egy $(\Omega,\Cal A,P)$ t\'eren
\'ertelmezett $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye $F(x)$. Ekkor a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke
teljess\'{\i}ti az
$$
E\xi(\oo)=\int_{-\infty}^\infty uF(\,du)
$$
azonoss\'agot. \'Altal\'anosabban, ha $g(x)$ tetsz\H{o}leges
(m\'erhet\H{o}) val\'os f\"uggv\'eny, akkor
$$
Eg(\xi(\oo))=\int_{-\infty}^\infty g(u)F(\,du).
$$
M\'eg \'altal\'anosabban, tekints\"unk $n$
$\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, \'es
legyen $g(x_1,\dots,x_n)$ tetsz\H{o}leges (m\'erhet\H{o})
$n$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny. Ha
$F(x_1,\dots,x_n)=P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_n<x_n)$ a
$(\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))$ vektor
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye, akkor
$$
Eg(\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))=\int_{-\infty}^\infty\cdots
\int_{-\infty}^\infty g(u_1,\dots,u_n)F(\,du_1,\dots,\,du_n).
$$
A T\'etelben megfogalmazott \"osszes azonoss\'ag \'ugy \'ertend\H{o},
hogy amennyiben az azonoss\'ag egyik oldal\'an \'all\'o kifejez\'es
\'ertelmes, akkor a m\'asik kifejez\'es is az, \'es a k\'et
kifejez\'es egyenl\H{o}.}
\medskip
A fenti t\'etelben az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny szerinti integr\'al
azt jelenti, hogy tekintj\"uk az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal
meghat\'arozott $\mu_F$ Lebesgue--Stieltjes m\'ert\'eket (a
sz\'amegyenes vagy az $n$-dimenzi\'os t\'er Borel m\'erhet\H{o}
halmazainak $\sigma$-algebr\'aj\'an), \'es a $\mu_F$ m\'ert\'ek
szerinti Lebesgue integr\'alt tekintj\"uk. A fent
megfogalmazott t\'etel a m\'ert\'ekelm\'eleti vizsg\'alatok
term\'eszetes anyaga, ez\'ert itt annak csak r\"ovid
magyar\'azat\'at adjuk a r\'esz\-le\-tek kidolgoz\'asa n\'elk\"ul.
 
Id\'ezz\"uk fel, hogy mint az el\H{o}z\H{o} \'or\'an megt\'argyaltuk
egy $F(x_1,\dots,x_n)$ $n$-v\'altoz\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyhez a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon (is) konstru\'alhatunk egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t \'es rajta olyan
$\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, melyek
egy\"uttes el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enye ez az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'eny: $(\Omega,\Cal A,P)=(R^n,\Cal B^n,\mu_F)$, ahol
$R^n$ az $n$-dimenzi\'os euklid\'eszi t\'er, $\Cal B^n$ az
$n$-dimenzi\'os t\'er Borel $\sigma$-alagebra, $\mu_F$ az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott Lebesgue--Stieltjes
m\'ert\'ek, \'es a $\xi_k$, $1\le k\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat a $\xi_k(x_1,\dots,x_n)=x_k$, $1\le k\le n$, k\'eplet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'aljuk. Vil\'agos, hogy ebben az esetben
a T\'etelben fel\'{\i}rt integr\'al formul\'ak \'erv\'enyesek.
 
Az \'altal\'anos eset visszavezethet\H{o} erre a speci\'alis
esetre a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel:
Legyen adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o} \'es rajta egy $F(x_1,\dots,x_n)$ eloszl\'as\'u
$(\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))$ v\'eletlen vektor. Ekkor a
$T\:(\Omega, \Cal A, P)\to (R^n,\Cal B^n,\mu_F)$, $T(\oo)=
(\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))$, $\oo\in\Omega$, lek\'epez\'es a
m\'ert\'ekelm\'elet sz\'ohaszn\'alat\'at al\-kal\-maz\-va
m\'ert\'ektart\'o, ami azt jelenti, hogy tetsz\H{o}leges $B\in\Cal B$
Borel m\'erhet\H{o} halmazra, $\mu_F(B)=P(T^{-1}(B))$, ahol a
$T^{-1}(B)$ halmazt, melyet a $B$ halmaz \H{o}sk\'ep\'enek szoktak
h\'{\i}vni a $T^{-1}(B)=\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))\in B\}$
k\'eplet defini\'alja. A m\'ert\'ekelm\'elet egy fontos (b\'ar nem
nagyon neh\'ez) eredm\'enye megadja, hogyan transzform\'al\'odnak
integr\'alok m\'ert\'ektart\'o lek\'epez\'esek hat\'as\'ara, \'es a
fent kimondott k\'eplet ebb\H{o}l kiolvashat\'o. (A t\'etelben
kimondott eredm\'eny egy\'ebk\'ent azon alapul, hogy v\'eve a fenti
$T$ transzform\'aci\'ot a t\'etelben megfogalmazott azonoss\'agok
k\"ozvetlen\"ul l\'athat\'oak l\'ep\-cs\H{o}s f\"ugg\-v\'e\-nyek\-re,
\'es ezek az azonoss\'agok kiterjeszthet\H{o}ek \'altal\'anos
f\"uggv\'enyekre alkalmas ha\-t\'ar\-\'at\-me\-net\-tel.)
 
Ahhoz, hogy a fenti integr\'alokkal j\'ol tudjunk sz\'amolni meg kell
\'erten\"unk a Le\-besgue \'es Riemann integr\'al kapcsolat\'at. Mint
l\'attuk minden v\'arhat\'o \'ert\'ek kifejezhet\H{o} az euklid\'eszi
t\'eren \'ertelmezett alkalmas Lebesgue--Stieltjes m\'ert\'ek szerinti
Lebesgue integr\'allal. Az anal\'{\i}zisben defini\'aj\'ak egy $g$
f\"uggv\'eny  $\int g(x)F(\,dx)$ Stieltjes integr\'alj\'at egy $F$
f\"uggv\'eny szerint. A mi sz\'amunkra az lesz az
\'erdekes, hogy amennyiben egy f\"uggv\'enynek l\'etezik az $\int
g(x)F(\,dx)$ Stieltjes integr\'alja, akkor l\'etezik az $\int
g(x)\mu_F(\,dx)$ Lebesgue-Stieltjes integr\'alja is, ahol $\mu_F$ az
$F$ f\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott Lebesue--Stieltjes m\'ert\'ek,
\'es a k\'et integr\'al megegyezik. Megfogalmazhat\'o ennek az
eredm\'enynek a t\"obb-dimenzi\'os v\'altozata is, de ezzel nem
foglalkozunk.
 
Sok val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi feleadatban fontos szerepet j\'atszik a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny szerepe. Megfogalmazzuk ennek
definici\'oj\'at, \'es ismertetj\"uk legfontosabb tulajdons\'agait.
\medskip\noindent
{\bf S\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Legyen $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny. Azt mondjuk, hogy a $f(x)$ az $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
(sokszor azt a sz\'ohaszn\'alatot is al\-kal\-maz\-z\'ak, hogy egy
$F(x)$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha teljes\"ul az
$$
F(x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du
$$
azonoss\'ag minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra.
 
Azt mondjuk, hogy egy $n$-dimenzi\'os $F(x_1,\dots,x_n)$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye az
$f(x_1,\dots,x_n)$ f\"uggv\'eny, ha
$$
F(x_1,\dots,x_n)=\int_{-\infty}^{x_1}\cdots\int_{-\infty}^{x_n}
f(u_1,\dots,u_n)\,du_1\dots du_n
$$
minden $x_1,\dots,x_n$ val\'os sz\'amra.}
\medskip
A s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny fogalma az\'ert hasznos, mert
ha egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak l\'etezik
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye akkor annak v\'arhat\'o \'ert\'eke
kisz\'am\'{\i}that\'o e s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Igaz ugyanis a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} t\'etel.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha egy $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek f(x) a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor teljes\"ul az
$$
\int_{=\infty}^\infty g(u) F(\,du)=\int_{-\infty}^\infty g(u) f(u)\,du
\tag a1
$$
azonoss\'aag minden $g(u)$ f\"uggv\'enyre.
 
Ha egy $n$-v\'altoz\'os $F(x_1,\dots,x_n)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek
l\'etezik $f(x_1,\dots,x_n)$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye,
akkor teljes\"ul az
$$
\aligned
&\int_{-\infty}^\infty\cdots
\int_{-\infty}^\infty g(u_1,\dots,u_n)F(\,du_1,\dots,\,du_n)\\
&\qquad=\int_{-\infty}^\infty\cdots
\int_{-\infty}^\infty g(u_1,\dots,u_n)f(u_1,\dots, u_n)
\,du_1,\dots,\,du_n
\endaligned \tag a2
$$
azonoss\'ag minden $n$ v\'altoz\'os $g(u_1,\dots, u_n)$
f\"uggv\'enyre. A fenti azonoss\'agok \'ugy \'er\-ten\-d\H{o}\-ek,
hogy a k\'et oldalon szerepl\H{o} kifejez\'es
egyszerre l\'etezik vagy nem l\'etezik.}
\medskip
Ahhoz, hogy a fenti eredm\'enyt haszn\'alni tudjuk, el kell tudnunk
d\"onteni, hogy egy eloszl\'asf\"uggv\'enynek mikor l\'etezik
eloszl\'asf\"uggv\'enye, \'es ha l\'etezik, akkor ki kell tudnunk
azt sz\'amolni. Az anal\'{\i}zis egyik fontos eredm\'enye, az
\'ugynevezett Newton--Leibniz formula seg\'{\i}t e probl\'ema
megold\'as\'aban. E szerint a formula szerint, ha te\-kint\-j\"uk
egy $f(x)$ f\"uggv\'eny $F(x)=\int_a ^x f(u)\,du$ hat\'arozatlan
integr\'alj\'at, akkor teljes\"ul az $f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$
egyenl\H{o}s\'eg (majdnem) minden $x$ pontra. (A majdnem kit\'etel
sz\"uks\'eges, hiszen p\'eld\'aul, ha az $f(x)$ f\"uggv\'eny
\'ert\'ek\'et v\'eges sok pontban megv\'altoztatjuk, akkor az \'uj
f\"uggv\'eny $F(x)$ hat\'arozatlan integr\'alja megegyezik az eredeti
f\"uggv\'eny hat\'arozatlan integr\'alj\'aval, azaz az $F(x)$
integr\'al ismeret\'eben nem lehet eld\"onteni azt, hogy a k\'et
f\"uggv\'eny k\"oz\"ul melyikkel sz\'amoltunk. A majdnem minden
jelz\H{o} pontos jelent\'es\'et megadj\'ak a m\'ert\'ekelm\'eletben,
ez a m\'ert\'ekelm\'elet nagyon fontos fogalma.) Igaz ennek az
\'all\'{\i}t\'asnak r\'eszleges megford\'{\i}t\'asa, mely szerint,
ha egy $F(x)$ folytonos f\"uggv\'eny, \'es v\'eges sok pont
kiv\'etel\'evel differenci\'alhat\'o, akkor annak
$f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$ differenci\'alh\'anyados\'at integr\'alva
visszakapjuk az eredeti f\"uggv\'enyt, azaz $F(x)=\int_a^x f(u)\,du+C$
minden $x$ sz\'amra egy alkalmas $C$ konstanssal. Sz\'amunkra ez az
eredm\'eny els\H{o}sorban az al\'abbi k\"ovetkezm\'enyei miatt
\'erdekes: Ha az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny folytonos, \'es
v\'eges sok pont kiv\'etel\'evel deriv\'alhat\'o, akkor az $F(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az
$$
f(x)=\frac{dF(x)}{dx}, \qquad \text{minden $x$ sz\'amra} \tag b1
$$
f\"uggv\'eny. (A m\'ert\'ekelm\'eletben egy enn\'el tartalmasabb, de
nehezebben bizony\'{\i}that\'o eredm\'enyt is t\'argyalnak. Nevezetesen
azt az eredm\'enyt, mely szerint annak sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges
felt\'etele, hogy az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek l\'etezz\'ek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az, hogy az $F(x)$ f\"uggv\'eny abszolut
folytoos legyen. Ekkor az $f(x)$ f\"uggv\'enyt a (b1) k\'eplet adja
meg. Term\'eszetesen ennek az eredm\'eny\'enek a megfogalmaz\'as\'ahoz
hozz\'atartozik az abszolut folytonos f\"uggv\'eny fogalm\'anak
tiszt\'az\'asa is.)
 
\'Erv\'enyes ennek az eredm\'enynek t\"obb-dimenzi\'os v\'altozata is.
Eszerint, amennyiben egy $F(x_1,\dots,x_n)$ $n$-v\'altoz\'os
eloszl\'adf\"uggv\'eny el\'eg s\'{\i}ma, akkor l\'etezik
$f(x_1,\dots,x_n)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es azt a
$$
f(x_1,\dots,x_n)=\frac{\partial^n F(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_1\cdots
\partial x_n} \tag b2
$$
k\'eplet adja meg.
 
Gyakran el\H{o}fordul, hogy bizonyos feladatokban a benne
szerepl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok\-nak nem az
eloszl\'as, hanem s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et adjuk meg. Az
eloszl\'asf\"uggv\'enyekhez hasonl\'oan megadhatjuk a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek jellemz\'es\'et is. Ezt az eredm\'enyt
fogalmazzuk meg a k\"ovetkez\H{o} t\'etelben.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Egy $f(x)$ f\"uggv\'eny akkor \'es csak akkor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy alkalmas
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-nek, ha $f(x)\ge0$ (majdnem) minden
$x$ val\'os sz\'amra, \'es
$$
\int_{-\infty}^\infty f(u)\,du=1.
$$
 
\'Erv\'enyes ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a k\"ovetkez\H{o}
t\"obb-dimenzi\'os v\'altozata is. Egy $n$-v\'altoz\'os
$f(x_1,\dots,x_n)$ f\"uggv\'eny akkor \'es csak akkor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy alkalmas $n$-v\'altoz\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enynek, ha $f(x_1,\dots,x_n)\ge0$
az $n$-dimenzi\'os euklid\'eszi t\'er (majdnem) minden
$(x_1,\dots,x_n)$ pontj\'aban, \'es
$$
\int_{-\infty}^\infty  \cdots\int_{-\infty}^\infty
f(u_1,\dots,u_n)\,du_1\dots\,du_n=1.
$$
}\medskip
Felid\'ezz\"uk azt az egyszer\H{u}, de hasznos eredm\'enyt, mely
szerint, amennyiben egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
diszkr\'et eloszl\'as\'u, azaz l\'etezik v\'eges vagy
megsz\'aml\'alhat\'o sok olyan $x_1,x_2,\dots$, \'ert\'ek,
melyekre $P(\xi=x_i)=p_i$, $i=1,2,\dots$, $\summ p_i=1$, akkor a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $g(\xi)$
f\"uggv\'eny\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'eke az
al\'abbi m\'odon sz\'amolhat\'o ki:
$$
Eg(\xi)=\int g(u)F(\,du)=\sum g(x_i)P(\xi=x_i),
$$
ahol $F(\cdot)$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et jel\"oli. Ezzel kapcsolatban megfogalmazzuk
a k\"ovetkez\H{o} feladatot:
\medskip\noindent
{\it Feladat:}
\medskip\noindent
Jellemezz\"uk az olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asf\"uggv\'enyeit, melyek egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel csak
v\'eges sok \'ert\'ek valamelyik\'et vehetik fel. Mutassunk
p\'eld\'at olyan diszkr\'et eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ora, amelyik minden
intervallumban szigor\'uan monoton n\H{o}.
\medskip
\'Erdemes megjegyezni a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u}, de gyakran
hasznos \"osszef\"ugg\'est. Ha egy $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt
felbontunk $F(x)=F_1(x)+F_2(x)$ alakban, akkor \'erv\'enyes
tetsz\H{o}leges $g(x)$ f\"uggv\'enyre az
$$
\int_{-\infty}^\infty g(u)F(\,du)=
\int_{-\infty}^\infty g(u)F_1(\,du)+
\int_{-\infty}^\infty g(u)F_2(\,du)
$$
azonoss\'ag. Tov\'abb\'a az eloszl\'as \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek k\"oz\"otti kapcsolat
\'altal\'anos\'{\i}that\'o (sz\'amunkra az lesz a l\'enyeges, hogy
az al\'abb megfogalmazott \'all\'{\i}t\'asban
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek helyett teinthet\"unk olyan
f\"uggv\'enyeket is, melyek integr\'alja nem felt\'etlen\"ul 1),
nevezetesen amennyiben egy $F$ \'es $f$ f\"uggv\'enyekb\H{o}l
\'all\'o f\"uggv\'enyp\'arra teljesul a (b1) \"osszef\"ugg\'es
(t\"obb\-v\'al\-to\-z\'os f\"uggv\'enyek eset\'en a (b2)
\"osszef\"ugg\'es), akkor ezek a f\"uggv\'enyek egy tetsz\H{o}leges
$g(\cdot)$ f\"ugg\-v\'ennyel egy\"utt teljes\'{\i}tik az (a1)
\"osszef\"ugg\'est (t\"obb\-v\'al\-to\-z\'os esetben az (a2)
\"osszef\"ugg\'est) is. El\H{o}\-for\-dul\-hat, hogy olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok\-kal kell dolgoznunk,
melyeknek van egy ,,nem egyre norm\'alt
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel'' \'es egy ,,nem
egyre norm\'alt diszkr\'et kompponenssel'' rendelkez\H{o} r\'esze.
Ilyenkor \'erdemes lehet az el\H{o}bb eml\'{\i}tett
\"osszef\"ugg\'eseket felhaszn\'alni. A
k\"ovetkez\H{o} feladat mutat erre p\'eld\'at.
 
\vfill\eject
 
%\medskip
\noindent
{\it Feladat:}
\medskip\noindent
Az egys\'egintervallumra egyenletes eloszl\'assal ledobunk egy pontot,
azaz annak va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy a pont egy
$[a,b]\subset[0,1]$ intervallumba esik $b-a$, valamint ett\H{o}l
f\"uggetlen\"ul egy szab\'alyos p\'enzdarabot. Ha fej
a p\'enzdob\'as eredm\'enye, akkor legyen a nyerem\'eny\"unk a
lees\'esi hely \'ert\'ek\'evel egyenl\H{o}, ha pedig \'{\i}r\'ast
dobunk, akkor legyen a nyerem\'eny\"unk a dob\'as \'ert\'ek\'et\H{o}l
f\"uggetlen\"ul $\frac12$. Sz\'amoljuk ki nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Csak megeml\'{\i}tj\"uk, de pontosan meg nem
fogalmazzuk a m\'ert\'ekelm\'elet n\'eh\'any fontos eredm\'eny\'eny\'et
a (Lebesgue) integr\'alr\'ol, melyekre legal\'abbis egyel\H{o}re nem
lesz sz\"uks\'eg\"unk. Ezek az eredm\'enyek olyan jelleg\H{u}
\'all\'{\i}t\'ast fogalmaznak meg, mely szerint, ha f\"uggv\'enyek
egy sorozata egy hat\'arf\"uggv\'enyhez konverg\'al, akkor nagyon
\'altal\'anos felt\'etelek mellett e f\"uggv\'enyek (Lebesgue)
integr\'aljai konverg\'alnak a ha\-t\'ar\-f\"ugg\-v\'eny
integr\'alj\'ahoz. Ilyen tipus\'u \'all\'{\i}t\'ast fogalmaz mag a
Lebesgue f\'ele (domin\'alt) konvergencia t\'etel, a Beppo--Levy
t\'etel monoton f\"uggv\'enysorozatok konvergenci\'aj\'ar\'ol \'es
(b\'ar ez ut\'obbi kiss\'e elt\'er\H{o} jelleg\H{u}) a Fatou lemma.
\'Erdemes megjegyezni, hogy m\'{\i}g ahhoz, hogy
f\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'ab\'ol csak nagyon er\H{o}s
megk\"ot\'esek mellett k\"ovetkeztethet\"unk a f\"uggv\'enyek
deriv\'altjainak a konvergenci\'aj\'ara, addig f\"uggv\'enyek
integr\'aljai nagyon \'altal\'anos felt\'etelek eset\'en
konverg\'al a hat\'arf\"uggv\'eny integr\'alj\'ahoz.
\medskip
R\'eszletesebben fogjuk viszont t\'argyalni a Fubini t\'etelnek
nevezett eredm\'enyt, mivel az mind a f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok tulajdons\'againak
meg\'ert\'es\'eben mind konkr\'et sz\'amol\'asokban fontos szerepet
j\'atszik. Ez\'ert ennek az eredm\'enynek a tartalm\'ar\'ol
r\'eszletesebben be\-sz\'e\-lek. Ez az eredm\'eny azt mondja ki, hogy
egy szorzatt\'eren \'er\-tel\-me\-zett f\"uggv\'enynek egy szorzat
m\'ert\'ek szerinti integr\'alj\'at szukcessziv integr\'ala\'assal
is ki lehet sz\'amolni. A t\'etel megfogalmaz\'asa el\H{o}tt
megeml\'{\i}tem a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt:
\medskip\noindent
{\bf T\'etel m\'ert\'ekek szorzat\'ar\'ol.} {\it Legyen adva v\'eges
sok $(X_j,\Cal A_j,\mu_j)$, $j=1,\dots,n$, m\'ert\'ekt\'er v\'eges
$\mu_j$ m\'ert\'ekekkel, azaz legyen $\Cal A_j$ az $X_j$ t\'er
bizonyos r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra, $X_j\in
\Cal A_j$, $\mu_j$ m\'ert\'ek a $\Cal A_j$ $\sigma$-algebr\'an,
melyre $X_j\in \Cal A_j$. Ekkor l\'etezik az $(X,\Cal A,\mu)
=(X_1\times\cdots\times X_n,\Cal A_1\times\cdots\times\Cal A_n,
\mu_1\times\cdots\times \mu_n)$ szorzat m\'ert\'ekt\'er, ahol $X$
az \"osszes $(x_1,\dots,x_n)$, $x_j\in X_j$, $1\le j\le n$, $n$
hossz\'u sorozatb\'ol \'all, $\Cal A$ az $A_1\times\cdots\times A_n$,
$A_j\in\Cal A_j$, $1\le j\le n$ alak\'u halmazokat tartalmaz\'o
legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebra, a $\mu$ m\'ert\'ek pedig
az a m\'ert\'ek, melyre $\mu(A_1\times\cdots\times A_n)=
\mu_1(A_1)\cdots\mu_n(A_n)$ minden ilyen alak\'u halmazra. A t\'etel
f\H{o} tartalma az, hogy l\'etezik ilyen $\mu$
m\'ert\'ek az $(X,\Cal A)$ t\'eren, m\'eghozz\'a egyetlen ilyen
m\'ert\'ek.}
\medskip\noindent
{\it 1. Megjegyz\'es:}\/ Val\'oj\'aban a t\'etel kiss\'e
\'altal\'anosabban is \'erv\'enyes. El\'eg feltenni, hogy a tekintett
$\mu_j$ m\'ert\'ekek $\sigma$-v\'egesek, azaz l\'etezik az $X_j$
halmazoknak olyan $X_j=\bigcupp_{k=1}^\infty
A_j^{(k)}$ el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa, melyre $\mu(A_j^{(k)})<\infty$.
Egy ilyen \'altal\'anos\'{\i}t\'as hasznos lehet, p\'eld\'aul, ha a
sz\'amegyenest tekintj\"uk a Borel $\sigma$-algebr\'aval \'es Lebesgue
m\'ert\'ekkel, \'es e t\'er \"onmag\'aval vett direkt szorzat\'at
akarjuk tekinteni.
\medskip\noindent
{\it 2. Megjegyz\'es:}\/ A most kimondott t\'etel speci\'alis esete
az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'asban megfogalmazott eredm\'enynek
m\'ert\'ekterek v\'egtelen szor\-za\-t\'a\-r\'ol. Igaz, hogy abban volt
egy itt nem szerepl\H{o} megszor\'{\i}t\'o felt\'etel, mely szerint
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekeket szorzunk \"ossze, azaz
$\mu(X_j)=1$ minden $j$-re. Ez a felt\'etel azonban csak az\'ert
szerepelt abban az eredm\'enyben, hogy v\'egtelen sok t\'er
szorzat\'at is tekinthess\"uk. Ha v\'eges sok t\'er
szor\-za\-t\'a\-val foglalkozunk, akkor ez a felt\'etel nem
sz\"uks\'eges, \'es k\"onny\H{u} t\H{o}le megszabadulni.
\medskip
Most megfogalmazzuk a Fubini t\'etelt.
\medskip\noindent
{\bf Fubini t\'etel.} {\it Legyen adva v\'eges
sok $(X_j,\Cal A_j,\mu_j)$, $j=1,\dots,n$, m\'ert\'ekt\'er v\'eges
(\'altal\'anosabban $\sigma$-v\'eges)
$\mu_j$ m\'ert\'ekekkel, \'es tekints\"uk ezek
$(X,\Cal A,\mu)=(X_1\times\cdots\times X_n,\Cal
A_1\times\cdots\times\Cal A_n,\mu_1\times\cdots\times \mu_n)$
szorzatter\'et, melyet az el\H{o}z\H{o} t\'etel megfogalmaz\'as\'aban
megadtunk. Legyen $g(x)=g(x_1,\dots,x_n)$  tetsz\H{o}leges
a szorzatt\'eren \'ertelmezett  (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny. Ekkor
$$ \allowdisplaybreaks
\align
&\int g(x_1,x_2,\dots,x_n)\,d\mu(x_1,\cdots,x_n)\\
&\qquad=\(\int_{X_1} \dots\(\int_{X_{2}}\cdots\(\int_{X_n}
g(x_1,\dots,x_n)\mu_1(\,dx_1)\)\mu_2(\,dx_2)\) \dots \mu_n(\,dx_n)\).
\endalign
$$
Ez az azonoss\'ag \'ugy \'ertend\H{o}, hogy az azonoss\'ag k\'et
oldal\'an l\'ev\H{o} integr\'al illetve szuk\-cessziv integr\'al
egyszerre l\'etezik.}
\medskip
K\"ul\"on megfogalmazzuk ezt az eredm\'enyt abban a speci\'alis
esetben, amikor a sz\'am\-egye\-ne\-sen vett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek szorzata szerinti integr\'alt tekint\"unk, mivel mi
leggyakrabban a Fubini t\'etel ilyen alak\'u
megfogalmaz\'as\'aval tal\'alkozunk.
\medskip\noindent
{\bf Fubini t\'etel speci\'alis esete eloszl\'asf\"uggv\'enyekre.}
{\it Legyenek $F_j(\cdot)$, $1\le j\le n$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek a
sz\'amegyenesen, \'es legyen $g(x_1,\dots,x_n)$ (m\'erhet\H{o})
$n$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny. Ekkor
$$
\align
&\int g(x_1,x_2,\dots,x_n)F_1(\,dx_1)F(\,dx_2)\dots F_n(\,dx_n)\\
&\qquad=\(\int \dots\(\int\(\cdots\int
g(x_1,\dots,x_n)F_1(\,dx_1)\)F_2(\,dx_2)\) \dots F_n(\,dx_n)\).
\endalign
$$
Ez az azonoss\'ag \'ugy \'ertend\H{o}, hogy az azonoss\'ag k\'et
oldal\'an l\'ev\H{o} integr\'al illetve szuk\-cessziv integr\'al
egyszerre l\'etezik.
 
\'Erdemes k\"ul\"on megfogalmazni ennek az azonoss\'agnak a
k\"ovetkez\H{o} fontos speci\'alis eset\'et. Ha
$g(x_1,\dots,x_n)=g_1(x_1)\cdots g_n(x_n)$ alak\'u speci\'alis
f\"uggv\'enyek integr\'alj\'at te\-kint\-j\"uk, akkor a
k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot \'{\i}rhatjuk fel:
$$
\align
&\int g_1(x_1)g_2(x_2)\cdots g_k(x_n)F_1(\,dx_1)F_2(\,dx_2)\dots
F_n(\,dx_n)\\
&\qquad=\int g(x_1)F_1(\,dx_1) \int g_2(x_2)F_2(\,dx_2)
\cdots \int g_k(x_n)F_k(\,dx_n)=\prod_{j=1}^n \int g_j(x)F_j(\,dx).
\endalign
$$
}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti t\'etelben szerepl\H{o} integr\'alok
\'ugy \'ertend\H{o}ek, hogy amikor $F_j(\,dx_j)$ sze\-rin\-ti
integr\'alt tekintj\"uk akkor az $F_j$ eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal
meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott $\mu_{F_j}$ Le\-besgue--Stieltjes m\'ert\'ek
szerinti Le\-besgue integr\'alt tekintj\"uk. Hasonl\'oan az
$$
\int g_1(x_1)g_2(x_2)\cdots g_k(x_n)F_1(\,dx_1)F_2(\,dx_2)\dots
F_n(\,dx_n)
$$
integr\'al azt jelenti, hogy tekintj\"uk az
$F(x_1,\dots,x_n)=F_1(x_1)F_2(x_2)\dots F_n(x_n)$ $n$-v\'al\-to\-z\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enyt, \'es a $g$ f\"uggv\'enyt az \'altala
meghat\'arozott $\mu_F$ m\'ert\'ek szerint integr\'aljuk.
Term\'eszetesen, ha ,,sz\'ep''  f\"ugg\-v\'e\-nyeket
integr\'alunk, akkor az itt szerepl\H{o} Lebesgue integr\'alok
he\-lyet\-te\-s\'{\i}t\-he\-t\H{o}\-ek a vel\"uk egyenl\H{o}
Riemann--Stieltjes integr\'alokkal.
\medskip
Annak \'erdek\'eben, hogy l\'assuk, hogy a fenti megjegyz\'es
hasznos oldjuk meg a k\"ovetkez\H{o} feladatot.
\medskip\noindent
{\it Feladat:}
\medskip\noindent
Legyenek $F_1(x),\dots,F_n(x)$ egyv\'altoz\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enyek. Ekkor az $F(x_1,\dots,x_n)=F_1(x_1)\cdots
F_n(x_n)$ f\"uggv\'eny $n$-v\'altoz\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny.
\medskip
Most megism\'etel\"unk n\'eh\'any a bevezet\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as el\H{o}ad\'asban
szerepl\H{o} fontos fogalmat \'es eredm\'enyt.
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'enek
a definici\'oja.} {\it Legyenek $\xi_1,\,\dots,\xi_n$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Azt mondjuk, hogy ezek
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
ha minden $x_1,\dots,x_n$ val\'os sz\'amra
$$
P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_n<x_n)=P(\xi_1<x_1)\cdots P(\xi_n<x_n).
$$
}\medskip
Ennek a
fogalomnak a t\"obbdimenzi\'os v\'altozata a k\"ovetkez\H{o}:
\medskip\noindent
{\bf T\"obbdimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'eg\'enek a definici\'oja.} {\it Le\-gye\-nek
$\xi^{(1)}=\(\xi_{1,1},\dots,\xi_{1,k}\)$, \dots,
$\xi^{(n)}=\(\xi_{n,1},\dots,\xi_{n,k}\)$, $k$-dimenzi\'os
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok (vektorok) egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Azt
mondjuk, hogy ezek a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi vektorok
f\"uggetlenek, ha tetsz\H{o}leges $x^{(1)}=(x_{1,1},\dots,x_{1,k})$,
\dots, $x^{(n)}=(x_{n,1},\dots,x_{n,k})$, $k$-dimenzi\'os vektorokra
$$
\align
&P\(\xi_{1,1}<x_{1,1},\dots,\xi_{1,k}<x_{1,k}, \; \dots, \;
\xi_{n,1}<x_{n,1},\dots,\xi_{n,k}<x_{n,k}\)\\
&\qquad=P\(\xi_{1,1}<x_{1,1},\dots,\xi_{1,k}<x_{1,k}\) \cdots
P\(\xi_{n,1}<x_{n,1},\dots,\xi_{n,k}<x_{n,k}\).
\endalign
$$
}\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'egtelen sorozat\'anak
f\"uggetlens\'ege.} {\it Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$ (egy vagy
t\"obb-dimenzi\'os) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata
egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Azt
mondjuk, hogy ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, ha minden $n$ eg\'esz sz\'amra a $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.}
\medskip
Kimondunk n\'eh\'any eredm\'enyt, melyek  a Fubini t\'etel
k\"ovetkezm\'enyei. \medskip\noindent
{\bf T\'etel A.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $B_1,\dots,B_n$ a
sz\'am\-egye\-nes Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazai. Ekkor
$$
P(\xi_1\in B_1,\dots,\xi_n\in B_n)=
P(\xi_1\in B_1)\cdots P(\xi_n\in B_n).
$$
}\medskip\noindent
{\bf T\'etel B.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
$k$-dimenzi\'os) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, ($k$
tet\-sz\H{o}\-le\-ges pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am, \'es $g_1,\dots,g_n$
val\'os \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'enyek  a
$k$-dimenzi\'os euklid\'eszi t\'eren. Ekkor
$$
E\(g_1(\xi_1(\oo)\cdots g_n(\xi_n(\oo))\)=
Eg_1(\xi_1(\oo))\cdots Eg_n(\xi_n(\oo)).
$$
A fenti azonoss\'ag \'ugy \'ertend\H{o}, hogy amennyiben az egyik
oldalon szerepl\H{o} kifejez\'es \'ertelmes, akkor a m\'asik oldalon
szerepl\H{o} kifejez\'es is \'ertelmes, \'es egyenl\H{o} vele.}
\medskip\noindent
{\it Feladat:}
\medskip\noindent
Mutassuk meg, hogy a T\'etel A. k\"ovetkezik a T\'etel B.-b\H{o}l.
\medskip
Felid\'ez\"unk n\'eh\'any tov\'abbi eredm\'enyt \'es fogalmat a
be\-ve\-ze\-t\H{o}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m{\i}\-t\'as
el\H{o}\-ad\'as\-b\'ol.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek
$\xi_1,\dots,\xi_n,\xi_{n+1},\dots,\xi_{n+k}$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy $\Omega,\Cal
A, P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, $f(x_1,\dots,x_k)$
tetsz\H{o}leges (m\'erhet\H{o}) $k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny.
De\-fi\-ni\-\'al\-juk az $\eta=f(\xi_{n+1},\dots,\xi_{n+k})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amelyik nem f\"ugg az els\H{o}
$n$ $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot\'ol. Ekkor a $\xi_1,\dots,\xi_n,\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.}
\medskip\noindent
{\it Feladat:}
\medskip\noindent
Bizony\'{\i}tsuk be a fenti t\'etelt a Fubini t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. \medskip
Felid\'ezz\"uk a k\"ovetkez\H{o} fogalmakat \'es eredm\'enyeket is.
\medskip\noindent
{\bf A sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oja:} {\it Legyen $\xi$ olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyre $E\xi^2<\infty$. Ekkor
a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'et
az
$$
\Var \xi=E\(\xi-E\xi\)^2
$$
k\'eplet defini\'alja. Ha $E\xi^2=\infty$ akkor a $\Var\xi$
sz\'or\'asn\'egyzetet nem defini\'aljuk vagy azt mondjuk, hogy $\Var
\xi=\infty$.}
\medskip\noindent
{\bf A kovarianciaf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$ \'es
$\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyek
mindegyik\'enek l\'etezik sz\'or\'asn\'egyzete, azaz
$E\xi^2<\infty$ \'es $E\eta^2<\infty$. Ekkor a $\xi$ \'es $\eta$
kovariancif\"uggv\'eny\'et $\Cov(\xi,\eta)$-t a
$$
\Cov(\xi,\eta)=E\[(\xi-E\xi)(\eta-E\eta)\]
$$
kifejez\'es defini\'alja. Ha a $E\xi^2<\infty$ \'es $E\eta^2<\infty$
felt\'etelek valamelyike nem teljes\"ul, akkor nem defini\'aljuk a
$$
\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta.
$$
$\Cov(\xi,\eta)$
kovariancif\"uggv\'enyt.}
\medskip\noindent
{\bf Lemma.}
$$
\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2, \qquad
\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta.
$$
{\it Tov\'abb\'a, $\(E\xi\)^2\le E\xi^2$, \'es $|E\xi E\eta| \le \sqrt
{E\xi^2 E\eta^2}$.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.}  {\it Ha $\xi_1,\xi_2,\dots, \xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $c_1,c_2,\dots,c_n$ val\'os
sz\'amok, akkor
$$
\Var(c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_n\xi_n)=
c_1^2\Var\xi_1+c^2_2\Var\xi_2+\cdots+c_n^2\Var\xi_n.
$$
\'Altal\'anosabban, ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ tetsz\H{o}leges
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, melyek
mindegyik\'enek l\'etezik sz\'or\'asn\'egyzete, $c_1,\dots,c_n$
val\'os sz\'amok, akkor
$$
\align
\Var\(\summ_{j=1}^n c_j\xi_j\)
&=\summ_{j=1}^{n}c_j^2\Var\xi_j+
2\summ_{1\le j<k\le n}c_jc_k(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k)\\
&=\summ_{j=1}^{n}c_j^2\Var\xi_j+
2\summ_{1\le j<k\le n}c_j c_k\, \Cov(\xi_j,\xi_k)\\
&=\summ_{j=1}^nc_j^2\Var\xi_j+
\summ_{1\le j,k\le n,\; j\neq k}c_jc_k\,\Cov(\xi_j,\xi_k).
\endalign
$$
}\medskip\noindent
{\it Feladat:}
\medskip\noindent
Bizony\'{\i}tsuk be a lemm\'aban szerepl\H{o}
$\(E\xi\)^2\le E\xi^2$ \'es $|E\xi E\eta| \le \sqrt
{E\xi^2 E\eta^2}$ egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-ge\-ket, melyeket
egy\'ebk\'ent Schwarz vagy Cauchy--Schwartz egyenl\H{o}tlens\'egnek is
szoktak ne\-vez\-ni.
\medskip\noindent
{\it Feladat:}
\medskip\noindent
Mutassunk p\'eld\'at olyan $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra, melyek nem f\"uggetlenek,
viszont teljes\'{\i}tik a $\Cov(\xi_j,\xi_k)=0$
azonoss\'agot minden $1\le j<k\le n$ sz\'amp\'arra, ez\'ert
$$
\Var(c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_n\xi_n)=
c_1^2\Var\xi_1+c^2_2\Var\xi_2+\cdots+c_n^2\Var\xi_n
$$
minden val\'os $c_1,\dots, c_n$ sz\'amsorozatra.
\medskip\noindent
{\it Feladat:}
\medskip\noindent
Mutassunk p\'eld\'at h\'arom olyan $\xi_1,\xi_2,\xi_3$  (nem
f\"uggetlen) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora, me\-lyek\-re
$E\xi_1\xi_2=E\xi_1 E\xi_2$, $E\xi_1\xi_3=E\xi_1 E\xi_3$,
$E\xi_2\xi_3=E\xi_2 E\xi_3$, de
$E\xi_1\xi_2\xi_3\neq E\xi_1 E\xi_2 E\xi_3$.
\medskip\noindent
{\bf A Markov \'es Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg.} {\it Legyen $\xi$
nem negat\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'alto\'o, melyre $P(\xi\ge0)=1$. Ekkor
$$
P(\xi\ge x)\le \frac{E\xi}x
$$
minden $X>0$ sz\'amra. (Ez a Markov egyenl\H{o}tlens\'eg.)
 
Legyen $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\'us\'egi v\'altoz\'o, melyre
$E\xi^2<\infty$. Ekkor
$$
P(|\xi-E\xi|\ge x)\le \frac{\Var \xi}{x^2}
$$
minden $x>0$ sz\'amra. Ez a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg.}
\medskip\noindent
{\bf A Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg k\"ovetkezm\'enye.} {\it
Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok, melyek mindegyike teljes\'{\i}ti az $E\xi_j<\infty$,
$1\le j\le n$, felt\'etelt. E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'atlaga tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra teljes\'{\i}ti
az al\'abbi egyenl\H{o}tlens\'eget:}
$$
P\(\left|\frac1n\summ_{j=1}^n (\xi_j-E\xi_j)\right|>\e\)
\le \frac{\Var\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)}{n^2\e^2}
=\frac{\summ_{j=1}^n \Var\xi_j}{n^2\e^2}.
$$
\medskip
Felid\'ezz\"uk k\'et s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny konvoluci\'oj\'anak
a fogalm\'at, illetve azt az ered\-m\'enyt, mely megadja, hogyan lehet
k\'et f\"uggetlen (s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o})
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et kisz\'amolni konvoluci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Megjegyzem, hogy ez az eredm\'eny is (melynek
bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom), a Fubini t\'etelen alapul. Ugyanis a
Fubini t\'etel lehet\H{o}v\'e teszi, hogy k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek az
eloszl\'asff\"uggv\'eny\'et fel\'{\i}rjuk az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
szorzata szerinti integr\'al seg\'{\i}ts\'eg\'evel, majd ezt
differeni\'alva megkapjuk a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt. Ezen
elj\'ar\'ast v\'egrehajtva, alkalmas helyettes\'{\i}t\'esek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel n\'emi sz\'amol\'assal megkapjuk az
al\'abb megfogalmazott eredm\'enyt.
\medskip\noindent
{\bf (S\H{u}r\H{u}s\'eg)f\"uggv\'enyek konvoluci\'oj\'anak a
definici\'oja.} {\it Legyen $f(\cdot)$ \'es $g(\cdot)$ k\'et
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny a sz\'amegyenesen,
\'altal\'anosabban integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek, azaz tegy\"uk
fel, hogy $\int_{-\infty}^\infty |f(u)|\,du<\infty$ \'es
$\int_{-\infty}^\infty |g(u)|\,du<\infty$. Az $f(\cdot)$ \'es
$g(\cdot)$ f\"uggv\'enyek $f*g(\cdot)$ konvoluci\'oja az
$$
f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du,\quad -\infty<x<\infty,
$$
f\"uggv\'eny.} \medskip \noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Egyszer\H{u} (line\'aris) transzform\'aci\'oval
kapjuk, hogy a konvoluci\'ot m\'ask\'epp is kisz\'amolhatjuk. Ez
mutatja, hogy a konvoluci\'oban r\'esztvev\H{o} f\"uggv\'enyek
szim\-met\-ri\-kus szerepet j\'atszanak.
$$
\align
f*g(x)&=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du
=\int_{-\infty}^\infty f(x-u)g(u)\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty f\(\frac x2- u\)g\(\frac x2+u\)\,du,
\quad -\infty<x<\infty.
\endalign
$$
\medskip\noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'er\H{o}l.} {\it
Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $f(\cdot)$ \'es $g(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Ekkor a $\xi+\eta$ \"osszegnek is
l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az az
$$
f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du,\quad -\infty<x<\infty
$$
f\"uggv\'eny.}
\medskip\noindent
 
 
 
 \bye
 
 
 
