\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\minn{\min\limits}
\define\maxx{\max\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script=cmcsc10
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II.
el\H{o}ad\'assorozat t\'{\i}zennegyedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2002. december 17.}
\medskip
\centerline{{\bf Felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es v\'arhat\'o
\'ert\'ek} {\it (m\'asodik r\'esz)}}
\medskip\noindent
Az al\'abbi t\'etelben felsorolom a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
legfontosabb tulajdons\'agait.  \'Erdemes \'eszreveni,
hogy ezek a tulajdons\'agok megfelelnek a szeml\'eletes k\'ep\"unknek.
Olyan t\'enyeket fejeznek ki p\'eld\'aul, hogy amennyiben a
felt\'etelben szerepl\H{o} $\Cal F$ $\sigma$-algebra f\"uggetlen a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol, aminek a
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et sz\'amoljuk, akkor ez semmi
inform\'aci\'ot nem ad, ez\'ert a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
megegyezik a v\'arht\'o \'ert\'ekkel (5. tulajdons\'ag). Ha viszont
a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\Cal F$ m\'erhet\H{o},
akkor $\Cal F$ ismeret\'eben \H{o}t is ismerj\"uk, ez\'ert felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'eke megegyezik a val\'odi \'ert\'ek\'evel, s\H{o}t
amennyiben egy $\xi\eta$ szorzat felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et sz\'amoljuk, akkor kiemelhet\H{o} a felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek el\'e. (6. tulajdons\'ag.)
 
R\"og\-z\'{\i}t\-s\"unk egy $(\Omega,\Cal A,P)$
t, \'es legyen $\Cal F\subset A$ az
ebben a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}ben szerepl\H{o} $\Cal A$
$\sigma$-algebra r\'esz-$\sigma$-algebr\'aja. Az al\'abbi
tulajdons\'agokban szerepl\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok az el\H{o}bb r\"ogz\'{\i}tett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n vannak \'ertelmezve.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek tulajdons\'agair\'ol.}
\item{1.} {\it Ha $\summ_{k=1}^\infty |a_k|E|\xi_k|<\infty$, $\Cal
F\subset A$ tetsz\H{o}leges $\sigma$-algebra, akkor
$$
E\(\left.\summ_{k=1}^\infty a_k\xi_k\right|\Cal F\)(\oo)
=\summ_{k=1}^\infty a_k E(\xi_k|\Cal F)(\oo)
\quad\text{majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban.}
$$
\item{2.} Ha $E|\xi|<\infty$, $\Cal G\subset \Cal F\subset\Cal A$
tetsz\H{o}leges $\sigma$-algebr\'ak, akkor $E\(E(\xi|\Cal F)|\Cal
G\)(\oo)=E(\xi|\Cal G)(\oo)$ majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban.
Speci\'alisan $E\(E\xi|\Cal F\)=E\xi$.
\item{3.} Ha $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyre
$P(a\le \xi\le b)=1$ alkalmas $-\infty<a<b<\infty$ sz\'amokkal, $\Cal
F\subset \Cal A$ $\sigma$-algebra, akkor $a\le E(\xi|\Cal F)(\oo)\le b$
majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban. \'Altal\'anosabban, ha
$\xi(\oo)\ge\eta(\oo)$ majdnem minden $\oo\in\Omega$ pontban, akkor
$E(\xi|\Cal F)(\oo)\ge E(\eta|\Cal F)(\oo)$ majdnem minden
$\oo\in\Omega$ pontban.
\item {4.} $E(\xi|\Cal A)(\oo)=\xi(\oo)$, ahol $\Cal A$ a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} definici\'oj\'aban szerepl\H{o}
,,leg\-na\-gyobb'' $\sigma$-algebra. Ha $\Cal A_0$ jel\"oli
a trivi\'alis $\sigma$-algebr\'at, amelyik csak az $\Omega$ \'es
$\emptyset$ \"ures halmazb\'ol \'all, akkor $E(\xi|\Cal
A_0)(\oo)=E\xi$.
\item{5.} Ha $E|\xi|<\infty$, $\Cal F\subset \Cal A$, a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggetlen az $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'at\'ol, azaz ha tetsz\H{o}leges $F\in \Cal F$ \'es a
sz\'amegyenesen l\'ev\H{o} Borel m\'erhet\H{o} $B\subset R^1$
halmazokra, $P(\{\oo\:\xi(\oo)\in B\}\cap F)= P(\{\oo\:\xi(\oo) \in
B\})P(F)$, akkor $E(\xi|\Cal F)(\oo)=E\xi$.
\item{6.} Ha $E\xi^2<\infty$, $E\eta^2<\infty$, $\Cal F\subset \Cal
A$, a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'ara m\'erhet\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o, azaz tetsz\H{o}leges a sz\'amegyenesen l\'ev\H{o} Borel
m\'erhet\H{o} $B\subset R^1$  halmazra, $\{\oo\:\xi(\oo)\in B\}\in \Cal
F$, akkor $E(\xi\eta|\Cal F)(\oo)=\xi(\oo)E(\eta|\Cal F)(\oo)$
majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban.}
\medskip\noindent
{\it A T\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Az 1. tulajdons\'ag
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz azt kell bel\'atni, hogy minden $F\in\Cal F$
halmazra
$$
\int_F\(\summ_{k=1}^\infty a_k E(\xi_k|\Cal F)(\oo)\)P(\,d\oo)
=\int_F \(\summ_{k=1}^\infty a_k\xi_k)(\oo)\)P(\,d\oo).
$$
Ez az \'all\'{\i}t\'as viszont igaz, mert a felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek definici\'oja \'es az integr\'al alapvet\H{o} tulajdons\'agai
alapj\'an
$$
\align
\int_F\(\summ_{k=1}^\infty a_k E(\xi_k|\Cal F)(\oo)\)P(\,d\oo)
&=\summ_{k=1}^\infty a_k\int_F E(\xi_k|\Cal F)(\oo)P(\,d\oo)\\
&=\summ_{k=1}^\infty a_k\int_F \xi_k(\oo)P(\,d\oo)
=\int_F \(\summ_{k=1}^\infty a_k\xi_k(\oo)\)P(\,d\oo).
\endalign
$$
\medskip\noindent
A 2. tulajdons\'ag els\H{o} \'all\'{\i}t\'as\'anak bel\'at\'as\'ahoz
azt kell ellen\H{o}rizni, hogy az adott felt\'etelek mellett minden
$G\in\Cal G$ halmazra
$$
\int_G \xi(\oo)P(\,d\oo)=\int_G E(\xi|\Cal F)(\oo)P(\,d\oo),
$$
mert a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oja alapj\'an
$$
\int_G E(\xi|\Cal F)(\oo)P(\,d\oo)=
\int_G E(E(\xi|\Cal F)|\Cal G)(\oo)P(\,d\oo)).
$$
A k\'{\i}v\'ant azonoss\'ag viszont igaz, mert az adott felt\'etelek
mellett $G\in\Cal G$. A m\'asodik \'all\'{\i}t\'as bel\'at\'asa
\'erdek\'eben tekints\"uk a trivi\'alis csak a teljes \'es \"ures
halmazb\'ol \'all\'o $\Cal A_0=\{\emptyset,\Omega\}$
$\sigma$-algebr\'at, \'es vegy\"uk \'eszre, hogy $\Cal A_0\subset \Cal
F$ minden a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n defini\'alt $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'ara, m\'asr\'eszt $E(\eta|\Cal A_0)=E\eta$
tetsz\H{o}leges $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora. Innen
$EE(\xi|\Cal F)= E(E(\xi|\Cal F)|\Cal A_0)=E(\xi|\Cal A_0)=E\xi$.
\medskip\noindent
A 3. tulajdons\'ag az\'ert \'erv\'enyes, mert, ha
$\xi(\oo)\ge\eta(\oo)$ majdnem minden $\oo\in\Omega$ pontban, akkor
$$
\int_FE(\xi|\Cal F)(\oo)P(\,d\oo)=
\int_F\xi(\oo)P(\,d\oo)\ge
\int_F\eta(\oo)P(\,d\oo)=
\int_FE(\eta|\Cal F)(\oo)P(\,d\oo)
$$
minden $F\in\Cal F$ halmazra. Innen k\"ovetkezik, hogy az
$$
F_0=\{\oo\:E(\xi|\Cal F)(\oo)<E(\xi|\Cal F)(\oo)\}\in\Cal F
$$
halmazra $P(F_0)=0$. Ellenkez\H{o} esetben ugyanis nem teljes\"ulne
a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg az $F_0=F$ halmazra. Mivel az azonosan
konstans f\"uggv\'enyek felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ekei
\"onmagukkal egyenl\H{o}, ez\'ert, ha $a\le \xi\le b$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, akkor
$$
a=E(a|\Cal F)\le E(\xi|\Cal F)\le E(b|\Cal F)=b.
$$
A 4. tulajdons\'ag bizony\'{\i}t\'asa trivi\'alis, ez\'ert azt elhagyom.
\medskip\noindent
Az 5. tulajdons\'ag bizony\'{\i}t\'as\'ahoz azt kell bel\'atni, hogy ha
$F\in\Cal F$, \'es az $\Cal F$ $\sigma$-algebra f\"uggetlen a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol, akkor
$$
\int_F\xi(\oo)P(\,d\oo)=
\int_FE\xi(\oo)P(\,d\oo)=P(F)E\xi.
$$
Viszont ebben az esetben az $F$ halmaz $I_F(\oo)$ indik\'ator
f\"uggv\'enye f\"uggetlen a $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol, ez\'ert
$\int_F\xi(\oo)P(\,d\oo)=EI_F(\oo)\xi(\oo)=EI_F(\oo)E\xi=P(F)E\xi$.
\medskip\noindent
Az 6. tulajdons\'ag bizony\'{\i}t\'as\'ahoz azt kell bel\'atni, hogy
ha $E\xi^2<\infty$, $E\eta^2<\infty$ \'es $\xi$ $\Cal F$
m\'erhet\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o, akkor minden $F\in\Cal F$ halmazra
$$
\int_F \xi(\oo)E(\eta|\Cal F)(\oo)P(\,d\oo) =\int_F
\xi(\oo)\eta(\oo)P(\,d\oo).
$$
Abban az esetben, ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
egy $B$ $\Cal F$ m\'erhet\H{o} halmaz indik\'ator f\"uggv\'enye,
akkor ez az \'all\'{\i}t\'as nyilv\'anval\'o, mert ekkor
$B\cap C\in\Cal F$, ez\'ert
$$
\align
\int_F \xi(\oo)E(\eta|\Cal F)(\oo)P(\,d\oo)
&=\int_{F\cap B} E(\eta|\Cal F)(\oo)P(\,d\oo)\\
&\int_{F\cap B} \eta(\oo)P(\,d\oo)=
\int_F \xi(\oo)\eta(\oo)P(\,d\oo).
\endalign
$$
Ezut\'an az 1. tulajdons\'agb\'ol k\"ovetkezik, hogy a
bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag
\'erv\'enyes olyan $\xi(\oo)=\summ c_jI_{B_j}(\oo)$
l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enyekre is, melyeket v\'eges sok $B_j\in\Cal F$
halmaz indik\'atorf\"uggv\'eny\'enek line\'aris kombin\'aci\'ojak\'ent
kapunk. Mivel tetsz\H{o}leges $\Cal F$ m\'erhet\H{o}
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o j\'ol approxim\'alhat\'o
ilyen l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enyekkel, innen standard
hat\'ar\'atmenettel be lehet l\'atni az \'all\'{\i}t\'ast. Ennek
r\'eszleteit elhagyom.
\medskip
Megfogalmazom \'es bebizony\'{\i}tom a fenti \'all\'{\i}t\'asok egy
\'erdekes k\"ovetkezm\'eny\'et az al\'abbi t\'etelben.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen adva egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, melyre $E\xi^2<\infty$, \'es egy $\Cal F$
$\sigma$-algebra, $\Cal F\subset\Cal A$ egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ekkor az $E(\xi|\Cal F)$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek
megvan a k\"ovetkez\H{o} optimum tulajdons\'aga:
$$
E\[\xi(\oo)-E(\xi(\oo)|\Cal F)\]^2=\inf\Sb \eta\;
\Cal F \text{ m\'erhet\H{o}} \\ \text{val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, } E\eta^2<\infty \endSb E(\xi(\oo)-\eta(\oo))^2.
$$
}\medskip\noindent
{\it 1.~megjegyz\'es:}\/ A fenti t\'etel azt fejezi ki, hogy ha a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot az $\Cal F$
$\sigma$-algebra esem\'enyeit\H{o}l f\"ugg\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval, azaz $\Cal F$
m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval
akarjuk becs\"ulni, \'es a becsl\'es j\'os\'ag\'at \'ugy m\'erj\"uk,
hogy v\'eve a becs\"ult $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
\'es a becsl\'esre haszn\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
k\"ul\"onbs\'eg\'enek a n\'egyzet\'et, e kifejez\'es v\'arhat\'o
\'ert\'eke legyen min\'el kisebb, akkor
az $E(\xi|\Cal F)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek az optim\'alis
becsl\'es. Jegyezz\"uk meg, hogy a be\-ve\-ze\-t\H{o}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
el\H{o}ad\'asban szerepelt egy eredm\'eny, amelyik a fenti
\'all\'{\i}t\'as speci\'alis eset\'enek tekinthet\H{o}. Nevezetesen
bel\'attuk, hogy $\Var\xi=E(\xi-E\xi)^2\le E(\xi-a)^2$
tetsz\H{o}leges $a$ val\'os sz\'amra. Ha
defini\'aljuk azt a trivi\'alis $\Cal F_0=\{\emptyset,\Omega\}$
$\sigma$-algebr\'at, amelyik csak az \"ures halmazb\'ol \'es a
biztos esem\'enyb\H{o}l \'all, akkor erre a $\sigma$-algebr\'ara
csak a konstans f\"uggv\'enyek m\'erhet\H{o}k, \'es erre a $\Cal F_0$
$\sigma$-algebr\'ara n\'ezve $E(\xi|\Cal F_0)=E\xi$. Ez\'ert az
el\H{o}bb megfogalmazott t\'etel az ebben a megjegyz\'esben
megfogalmazott \'all\'{\i}t\'ast jelenti ebben a speci\'alis esetben.
\medskip\noindent
{\it 2.~megjegyz\'es:}\/ Az $(\Omega,\Cal A,P)$ t\'eren m\'erhet\H{o}
\'es n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek
(val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok) egy \'ugynevezett $L_2$
teret alkotnak, ami Hilbert t\'er \'es a $\Cal F$ m\'erhet\H{o},
n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek e t\'er egyik alter\'et
alkotj\'ak. Ebben az in\-ter\-pre\-t\'a\-ci\'o\-ban a fenti
eredm\'eny azt mondja ki, hogy a Hilbert t\'er egy $\xi$ elem\'ehez
az ennek az alt\'ernek legk\"ozelebbi eleme az $E(\xi|\Cal F)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. A Hilbert terek \'ugy
k\'epzelhet\H{o}ek el, mint (esetleg) v\'egtelen dimenzi\'os
euklideszi terek. Tudjuk, hogy egy euklideszi t\'erben egy ponthoz
egy alt\'erben lev\H{o} pontok k\"oz\"ul a legk\"ozelebbi pont e
pont mer\H{o}leges vet\"ulete az alt\'erre, tov\'abb\'a ez a
tulajdons\'ag \'erv\'enyes Hilbert terekre is. Az al\'abb
ismertetett bizony\'{\i}t\'as tulajdonk\'eppen ezen geometriai
k\'ep \'altal sugallt m\'odszer kidolgoz\'asa  a most vizsg\'alt
esetben.
\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Legyen $\eta$ tetsz\H{o}leges
$\Cal F$ m\'erhet\H{o} n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny.
Bel\'atjuk, hogy
$$
E(\eta(\oo)(\xi(\oo)-E\xi|\Cal F)(\oo))=0 \quad \text{azaz} \quad
E\eta(\oo)\xi(\oo)=E(\eta(\oo)E(\xi|\Cal F)(\oo)).
$$
(Ez jelenti azt, hogy $\xi(\oo)-E(\xi|\Cal F(\oo))$ a $\xi(\oo)$
ortogon\'alis vet\"ulete a $\Cal F$ m\'erhet\H{o} \'es n\'egyzetesen
integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek alter\'ere.) Ez az \'all\'{\i}t\'as
az\'ert igaz, mert
$$
E(\eta(\oo)\xi(\oo))=
E(E(\eta\xi|\Cal F)(\oo)
=E\eta(\oo) E(\xi|\Cal F)(\oo)
$$
a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek el\H{o}z\H{o} t\'etelben
megfogalmazott 2. \'es 6. tulajdons\'agai alapj\'an. Innen
tetsz\H{o}leges $\eta$ $\Cal F$ m\'erhet\H{o}, n\'egyzetesen
integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyre
$$
\align
E(\eta-\xi)^2&=E\((\eta-E\xi|\Cal F)+(E(\xi|\Cal F)-\xi)\)^2\\
&=E(\eta-E\xi|\Cal F)^2+E\(E(\xi|\Cal F)-\xi\)^2+2
E(\eta-E\xi|\Cal F))(E(\xi|\Cal F)-\xi))\\
&=E(\eta-E\xi|\Cal F)^2+E\(E(\xi|\Cal F)-\xi\)^2
\ge E(\eta-E\xi|\Cal F)^2,
\endalign
$$
mert $E(\eta-E\xi|\Cal F))(E(\xi|\Cal F)-\xi))=
E\eta(E(\xi|\Cal F)-\xi))-EE\xi|\Cal F)(E(\xi|\Cal F)-\xi))=0$,
\'es ezt kellett bel\'atni.
 
\medskip
Az el\H{o}z\H{o} t\'etelben megfogalmazott eredm\'eny fontos mind
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban,
mind a statisztik\'aban. A statisztik\'aban alapvet\H{o} k\'erd\'es
az, hogy hogyan lehet egy ismeretlen mennyis\'eget (jelen esetben
egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ot) ismereteink
alapj\'an (jelen esetben a $\Cal F$ $\sigma$-algebra, illetve annak
ismeret\'eben, hogy ezek mely r\'eszhalmazai k\"ovetkeztek be, \'es
melyek nem) min\'el jobban megbecs\"ulni. A becsl\'es j\'os\'ag\'anak
ter\-m\'e\-sze\-tes m\'er\'ese az, hogy milyen kicsi a becs\"ult \'es
becs\"ulend\H{o} mennyis\'eg k\"oz\"otti k\"ul\"onbs\'eg
n\'egyzet\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'eke. A fenti eredm\'enyt \'ugy
lehet interpret\'alni, hogy az $E(\xi|\Cal F)(\oo)$ fel\-t\'e\-te\-les
v\'arhat\'o \'ert\'ek a $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o legjobb k\"ozel\'{\i}t\'ese vala\-mely $\Cal F$
m\'erhet\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'oval
(az $L_2(\Omega,\Cal A,P)$ t\'erben). Egy komoly
kel\-le\-met\-len\-s\'eg, hogy a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
kisz\'am\'{\i}t\'asa nagyon bonyolult feladat. Egy fontos
spe\-ci\-\'a\-lis eset\-ben azonban, amikor norm\'alis eloszl\'as\'u
vektor bizonyos koordin\'at\'ainak ismeret\'eben a t\"obbi
koordin\'ata felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et akarjuk
kisz\'am\'{\i}tani ez a probl\'ama viszonylag egyszer\H{u}.
Err\H{o}l sz\'ol a k\"ovetkez\H{o} feladat. Csak azt a speci\'alis
esetet tekintj\"uk, maikor k\'etdimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u vektor egyik koordin\'at\'aj\'anak a
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et akarjuk kisz\'amolni a
m\'asik koordin\'ata ismeret\'eben. De ezt a feladatot
viszonylag k\"onnyen \'altal\'anos\'{\i}thatjuk.
\medskip\noindent
{\it Feladat:}
\medskip\noindent
{\it Legyen $(\xi,\eta)$ egy k\'et-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Sz\'am\'{\i}tsuk ki az $E(\xi|\eta)$
v\'arhat\'o \'ert\'eket.}
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ L\'attuk, (l\'asd a 9. el\H{o}ad\'ason
szerepl\H{o} 6. k\"ovetkezm\'enyt
a norm\'alis eloszl\'as\'u  v\'eletlen vektorokr\'ol, hogy
$\xi=a\eta+\zeta$ alakban \'{\i}rhat\'o, ahol az $a$ konstans alkalmas
v\'alaszt\'as\'aval (nevezetesen az
$a=\dfrac{\Cov(\xi,\eta)}{\Var\eta}$ v\'alaszt\'assal) el\'erhet\H{o},
hogy a $\zeta=\xi-a\eta$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek legyenek. Ezzel az $a$
v\'alaszt\'assal viszont
$$
\align
E(\xi|\eta)&=E((a\eta+\zeta)|\eta)=aE(\eta|\eta)+E(\zeta|\eta)
=a\eta+E\zeta=a(\eta-E\eta)+E\xi\\
&=\dfrac{\Cov(\xi,\eta)}{\Var\eta}(\eta-E\eta)+E\xi
\endalign
$$
a v\'arhat\'o \'ert\'eknek az el\H{o}z\'o t\'etelben szerepl\H{o} 1.
5. \'es 6. tulajdons\'agai alapj\'an.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy a fenti feladat
eredm\'enye szerint egy norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor
egyik koordin\'at\'aj\'anak  a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eke a
felt\'etelben szerepl\H{o} koordin\'ata line\'aris f\"uggv\'enye. Ez az
\'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes az itt nem t\'argyalt magasabb
dimenzi\'oj\'u norm\'alis vektorokra term\'eszetes m\'odon
megfogalmazhat\'o \'altal\'anosabb prob\-l\'e\-ma ese\-t\'e\-ben is.
L\'attuk, egy el\H{o}z\H{o} eredm\'enyben, hogy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'eke felt\'eve bizonyos m\'as val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat megegyezik a te\-kin\-tett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak a felt\'etelben szerepl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadhat\'o legjobb
k\"ozel\'{\i}t\'es\'evel az $L_2$ norm\'aban. A fenti feladat
eredm\'enye (illetve annak itt meg nem fogalmazott magasabb dimenzi\'os
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa) azt mondja, hogy abban a speci\'alis
esetben, ha egy norm\'alis vektor koordin\'at\'ainak a felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et akarjuk kisz\'amolni felt\'eve m\'as
koordin\'at\'ak \'ert\'ekeit, akkor ez a legjobb $L_2$-norm\'aban vett
k\"ozel\'{\i}t\'es egyben a legjobb (a felt\'etelben szerepl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok\-kal kifejezhet\H{o})
$L_2$ norm\'aban vett {\it line\'aris}\/ k\"ozel\'{\i}t\'es. E t\'eny
alapvet\H{o} szerepet j\'atszik sok elm\'eleti statisztikai
vizsg\'alatban.
\medskip
Amikor val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggv\'enyeinek (nem
felt\'eteles) v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et vizs\-g\'al\-tuk, nagy
seg\'{\i}ts\'eget jelentett az, hogy e v\'arhat\'o \'ert\'ekeket ki
tudtuk fejezni e va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
eloszl\'asf\"uggv\'enyei, pontosabban ezen eloszl\'asf\"uggv\'enyek
\'altal meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott Lebesgue--Stieltjes m\'ert\'ek szerinti
(Lebesgue) integr\'al seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Felmer\"ul a k\'erd\'es,
nem lehet-e megfogalmazni \'es bebizony\'{\i}tani ezen eredm\'enynek
valamely ter\-m\'e\-sze\-tes megfelel\H{o}j\'et a felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ekre. Erre a k\'erd\'esre pozit\'{\i}v v\'alaszt
lehet adni, de a vizsg\'alatban bizonyos neh\'ezs\'egek l\'epnek fel.
E neh\'ezs\'egek azzal kapcsolatosak, hogy a Lebesgue-f\'ele
integr\'alt csak ($\sigma$-addit\'{\i}v) m\'ert\'ekek szerint tudjuk
defini\'alni, \'es felmer\"ul a k\'erd\'es, tudjuk-e defini\'alni
ezeket a $\sigma$-addit\'{\i}v felt\'eteles eloszl\'asokat. Be lehet
l\'atni, hogy ez lehets\'eges, de a bizony\'{\i}t\'as az \'altal\'anos
esetben m\'ely gondolatokat ig\'enyel, \'es amellett a kapott
eredm\'eny egzisztencia t\'etel, teh\'at nem ad lehet\H{o}s\'eget
arra, hogy a k\'{\i}v\'ant felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ekeket
effekt\'{\i}ve kisz\'amoljuk. Azt a t\'etelt, mely az ilyen
vizsg\'alatokban alapvet\H{o} a Kieg\'esz\'{\i}t\'esben ismertetem
bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul.
 
Viszont van egy olyan speci\'alis eset, amelyikben mindent explicit
m\'odon ki tudunk sz\'amolni. R\'aad\'asul ez a speci\'alis eset
tartalmazza a klasszikus statisztikai vizs\-g\'a\-la\-tok\-ban
legfontosabb eseteket.
 
\medskip
A matematikai statisztik\'aban bizonyos vizsg\'alatokban sz\"uks\'eg
van felt\'eteles el\-osz\-l\'a\-sok\-kal val\'o sz\'amol\'asra. Az itt
felmer\"ul\H{o} k\'erd\'esek azonban egyszer\H{u}bbek. Olyan tipus\'u
k\'er\-d\'e\-sek mer\"ulnek fel, melyekben adott egy
$(\xi_1,\dots,\xi_k,\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+l})$ v\'eletlen vektor,
melynek l\'etezik $f(x_1,\dots,x_{k+l})$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es ki akarjuk sz\'am\'{\i}tani a
$$
(\xi_1,\dots,\xi_k,\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+l})
$$
v\'eletlen vektor egy $h(\xi_1,\dots,\xi_k,\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+l})$
f\"uggv\'eny\'enek felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et a
$\xi_{k+1}=x_{k+1},\dots,\xi_{k+l}=x_{k+l}$ felt\'etelek mellett. Ez
az\'ert egyszer\H{u}bb az el\H{o}z\H{o}leg vizsg\'alt
k\'erd\'esekn\'el, mert ebben az esetben a felmer\"ul\H{o} felt\'eteles
eloszl\'asokat explicit m\'odon kisz\'am\'{\i}thatjuk. Azt
\'all\'{\i}tjuk, hogy ebben az esetben a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
felt\'eteles s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye felt\'eve a
$\xi_{k+1}=x_{k+1},\dots,\xi_{k+l}=x_{k+l}$ felt\'eteleket
$$
f(x_1,\dots,x_k|x_{k+1},\dots,x_{k+l})=
\frac{f(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_{k+l})}
{g(x_{k+1},\dots,x_{k+l})},
$$
ahol
$$
g(x_{k+1},\dots,x_{k+l})=\int
f(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_{k+l})\,dx_1,\dots\,dx_k,
$$
azaz a $(\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+l})$ v\'eletlen vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Ez azt jelenti, hogy tetsz\H{o}leges
Borel m\'erhet\H{o} $A\subset R^k$ halmazra
$$
\align
P&\(\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in
A\}|\xi_{k+1}(\oo)=x_{k+1},\dots,\xi_{k+l}(\oo)=x_{k+l}\)\\
&\qquad=\int_A f(x_1,\dots,x_k|x_{k+1},\dots,x_{k+l})\,dx_1\dots\,dx_k.
\endalign
$$
Annak igazol\'as\'ahoz, hogy a fenti felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket az adott m\'odon lehet ki\-sz\'a\-mol\-ni
a $(*)$ formula alapj\'an azt kell ellen\H{o}rizni, hogy
minden $A\subset R^k$ \'es $B\in R^l$ Borel m\'erhet\H{o} halmazp\'arra
$$
\align
&P\(\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in
A\}\cap\{\oo\:(\xi_{k+1}(\oo),\dots,\xi_{k+l}(\oo))\in B\}\)\\
&\quad=\int\limits_B\[\int\limits_A
f(x_1,\dots,x_k|x_{k+1},\dots,x_{k+l})\,dx_1\dots\,dx_k\]
g(x_{k+1},\dots,x_{k+l})\,dx_{k+1}\dots dx_{k+l}.
\endalign
$$
Ez az azonoss\'ag viszont \'erv\'enyes, mert
$$
\align
&\int_B\[\int_A
f(x_1,\dots,x_k|x_{k+1},\dots,x_{k+l})\,dx_1\dots\,dx_k\]
g(x_{k+1},\dots,x_{k+l})\,dx_{k+1}\dots\,dx_{k+l}\\
&\qquad =\int_{A\times B}
f(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_{k+l})
\,dx_1\dots\,dx_k\,dx_{k+1}\dots\,dx_{k+l}\\
&\qquad=P\(\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in
A\}\cap\{\oo\:(\xi_{k+1}(\oo),\dots,\xi_{k+l}(\oo))\in B\}\).
\endalign
$$
Be lehet l\'atni, hogy egy $h(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_{k+l})$
f\"uggv\'enyre a
$$
h(\xi_1,\dots,\xi_k,\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+l})|\xi_{k+1}=x_{k+1},\dots,
\xi_{k+l}=x_{k+l})
$$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket ki lehet sz\'amolni a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon:
$$
\align
&h(\xi_1,\dots,\xi_k,\xi_{k+1},\dots,\xi_{k+l})|\xi_{k+1}=x_{k+1},\dots,
\xi_{k+l}=x_{k+l})\\
&\qquad=\int h(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_{k+l})
\frac{f(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_{k+l})}
{g(x_{k+1},\dots,x_{k+l})}\,dx_1\dots\,dx_k.
\endalign
$$
 
Ennek a formul\'anak a bizony\'{\i}t\'as\'at, mely \'ugy
t\"ort\'enhet, hogy azt el\H{o}bb a leg\-egy\-sze\-r\H{u}bb
$h$ f\"uggv\'enyekre, bizony\'{\i}tjuk, olyan $h$ f\"uggv\'enyekre,
melyek
$$
h(x_1,\dots,x_k,x_{k+1},\dots,x_{k+l})=I_A(x_1,\dots,x_k)
I_B(x_{k+1},\dots,x_{k+l})
$$
alakban \'{\i}rhat\'oak, ahol $I_A(\cdot)$ \'es $I_B(\cdot)$ egy
$k$ illetve $l$ dimenzi\'os m\'erhet\H{o} halmaz indik\'ator
f\"uggv\'enye. Ezut\'an bizonyos m\'ert\'ekelm\'eleti
ered\-m\'e\-nyek felhaszn\'al\'as\'aval bizony\'{\i}that\'o az
\'all\'{\i}t\'as \'altal\'anos f\"uggv\'enyekre alkalmas
hat\'ar\'atmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ennek r\'eszleteit
el\-ha\-gyom. A fent t\'argyalt
formul\'ak seg\'{\i}ts\'eg\'evel be lehet bizony\'{\i}tani n\'eh\'any
\'erdekes formul\'at a fel\-t\'e\-te\-les eloszl\'asokra, mint
p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o} k\'et feladat megold\'as\'at.
\medskip\noindent
{\it 1.  feladat:}
\medskip\noindent
Legyen $\zeta$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, $G(u,v)$ k\'et-v\'altoz\'os m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny.
Mutassuk meg, hogy $EG(\zeta,\eta)|\eta=y)=EG(\zeta,y)$.
\medskip\noindent
{\it 2.  feladat:}
\medskip\noindent
Legyen $(\xi,\eta)$ k\'et-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Mutassuk meg, hogy
$P(\xi<x|\eta=y)=\Phi_{m,\sigma}(x)$,
$m=E\xi+\dfrac{\Cov(\xi,\eta)(y-E\eta)}{\Var\eta}$ \'es
$\sigma^2=\Var\xi-\dfrac{\Cov(\xi,\eta)^2}{\Var\xi}$
param\'eterekkel, ahol $\Phi_{m,\sigma}(\cdot)$ az $m$
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\sigma$ sz\'or\'as\H{u} norm\'alis
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az 1. feladat \'all\'{\i}t\'asa heurisztikusan
term\'eszetes. Ugyanis, ha $\eta=y$, akkor $G(\zeta,\eta)=G(\zeta,y)$
\'es mivel $\eta$ \'es $\zeta$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, ez\'ert $\eta$ ismerete semmilyen inform\'aci\'ot nem ad
a $\zeta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o viselked\'es\'er\H{o}l.
Ez azt sugallja, hogy az $EG(\zeta,\eta)|\eta=y)$  felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'eket \'ugy kapjuk meg, hogy a $G(\zeta,y)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
sz\'amoljuk ki a ($\zeta$ eredeti eloszl\'asa szerint).
 
A 2. feladat \'all\'{\i}t\'as\'at az 1. feladat \'all\'{\i}t\'asnak
\'es annak a t\'enynek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudjuk bel\'atni,
hogy egy k\'et-dimenzi\'os v\'eletlen norm\'alis eloszl\'as\'u vektor
els\H{o} koor\-di\-n\'a\-t\'a\-ja kifejezhet\H{o} a m\'asodik
koordin\'ata \'es egy att\'ol f\"uggetlen norm\'alis elosz\'al\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o line\'aris
kombin\'aci\'ojak\'ent. Vegy\"uk \'eszre, hogy a 2. feladat
ered\-m\'e\-nye szerint $\xi$ felt\'eteles eloszl\'asa
r\"ogz\'{\i}tett $\eta=y$ felt\'etel eset\'en norm\'alis eloszl\'as,
amelynek sz\'or\'asa nem f\"ugg az $\eta=y$ felt\'etelt\H{o}l.
\medskip\noindent
{\it Az 1.~feladat megold\'asa:} Legyen $F(u)$ a $\zeta$, $H(y)$ az
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye. Ekkor $EG(\zeta,y)=\int G(u,y)
F(\,du)$, \'es azt kell bel\'atnunk, hogy
tetsz\H{o}leges Borel-m\'erhet\H{o} $A$ halmazra
$$
\int_A EG(\zeta,y)H(\,dy)=EG(\zeta,\eta)I_A(\eta)=\int I_A(y)\int
G(u,y)F(\,du)H(\,dy),
$$
ahol $I_A(\cdot)$ az $A$ halmaz indik\'atorf\"uggv\'eny\'et jel\"oli.
Ez az azonoss\'ag viszont igaz, mert alkalmazva a Fubini t\'etelt
a bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag jobboldal\'an szerepl\H{o}
integr\'alra, \'es el\H{o}sz\"or az $x$ v\'altoz\'o
sze\-rint integr\'alva a bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag
azt kapjuk, hogy a bels\H{o} integr\'al
$EG(\zeta,y)$-nal egyenl\H{o}. Innen l\'athat\'o, hogy a jobboldalon
szerepl\H{o} integr\'al egyenl\H{o} a baloldalon szerepl\H{o}
kifejez\'essel.
\medskip\noindent
{\it A 2.~feladat bizony\'{\i}t\'asa.}\/
Alkalmazzuk 9. el\H{o}ad\'ason szerepelt 6. k\"ovetkezm\'enyt, \'es
tekints\"uk a $\xi$ koordin\'at\'aj\'anak $\xi=a\eta+\zeta$
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at
$a=\dfrac{\Cov(\xi,\eta)}{\Var\eta}$ v\'alaszt\'assal. Ekkor a
$\zeta=\xi-a\eta$ \'es az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek. Ez\'ert
$P(\xi<x|\eta=y)=P(a\eta+\zeta<x|\eta=y)=P(ay+\zeta<x)$
az 1.~feladat eredm\'enye alapj\'an. (Ez az 1. feladat
eredm\'eny\'eb\H{o}l
k\"ovetkezik, ha azt a k\"ovetkez\H{o} $G(u,v)=G_x(u,v)$ f\"uggv\'enyre
alkalmazzuk: $G(u,v)=1$, ha $u+av<x$, \'es $G(u,v)=0$, ha
$u+av\ge0$, ahol $a=\dfrac{\Cov(\xi,\eta)}{\Var\eta}$.) Viszont
$\zeta$ norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$E\xi-aE\eta=E\xi-\dfrac{\Cov(\xi,\eta)E\eta}{\Var\eta}$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es $\Var\xi+a^2\Var\eta-2a\Cov(\xi,\eta)=
\Var\xi-\dfrac{\Cov(\xi,\eta)^2}{\Var\xi}$ sz\'or\'asn\'egyzettel.
M\'asr\'eszt $Eay+\zeta=ay+E\zeta$, \'es $\Var(ay+\zeta)=E\zeta$,
ahonnan k\"ovetkezik a feladat b) r\'esze is.
 
\medskip\noindent
{\script Kieg\'esz\'{\i}t\'es.}
A k\"ovetkez\H{o} t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at  elhagyom.
Ez nehezebb, mint a kor\'abbi eredm\'enyek vizsg\'alata,
viszont n\'eh\'any finomabb vizsg\'alatban nagyon hasznos.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel a felt\'eteles regul\'aris eloszl\'as
l\'etez\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen $(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$ egy
$k$-dimenzi\'os va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi vektor egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
$\Cal F\subset \Cal A$ $\sigma$-algebra. Jel\"olje $\Cal B$ a Borel
$\sigma$-algebr\'at az $R^k$ $k$-dimenzi\'os euklideszi t\'eren. A
$(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$ v\'eletlen vektornak l\'etezik az
$\Cal F$ $\sigma$-algebra sze\-rin\-ti regul\'aris felt\'eteles
eloszl\'asa, azaz meg lehet adni egy olyan $F(B,\oo)$, $F(B,\oo)\:
\Cal B\times \Omega\to R^1$, f\"uggv\'enyt, melyre \medskip
\item{i.)} $F(B,\cdot)$  minden $B\in\Cal B$ halmazra $\Cal F$
m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\item{ii.)} $F(\cdot,\oo)$ minden $\oo\in\Omega$ pontra
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az $R^k$ $k$-dimenzi\'os
euklideszi t\'er $\Cal B$ $\sigma$-algebr\'aj\'an, azaz $F(R^k,\oo)=1$,
$0\le F(B,\oo)\le 1$ minden $B\in \Cal B$ halmazra,
$F\(\bigcupp_{k=1}^\infty B_k,\oo\)=\summ_{k=1}^\infty F(B_k,\oo)$
minden diszjunkt $B_k\in\Cal B$, $k=1,2,\dots$, hal\-ma\-zok\-b\'ol
\'all\'o rendszerre.
\item{iii.)} $F(B,\oo)=P\((\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in B|\Cal
F\)(\oo)$ minden $B\in \Cal B$ halmazra. Ez azt jelenti, hogy az
$F(B,\oo)$ f\"uggv\'eny tekinthet\H{o} mint a csak majdnem minden
$\oo\in \Omega$ pontban meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott
$P\((\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in B|\Cal F\)(\oo)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg egyik verzi\'oja.} \medskip
 
E t\'etel bizony\'{\i}t\'asa nem trivi\'alis. Itt nem el\'eg
puszt\'an a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg definici\'oj\'at
kihaszn\'alni, hanem a bizony\'{\i}t\'asban fontos szerepe van az
euklideszi t\'er sz\'ep topol\'ogiai tulajdons\'againak is. A f\H{o}
probl\'ema az, hogy b\'ar a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek 1.)
pontban megfogalmazott tulajdons\'aga alapj\'an a ii.) pontban
megk\"ovetelt $\sigma$-additivit\'as \'erv\'enyes r\"ogz\'{\i}tett
diszjunkt $B_n\in\Cal B$, $n=1,2,\dots$, halmazokra majdnem minden
$\oo\in\Omega$ pontban ahhoz, hogy a ii.) pontban megfogalmazott
\'all\'{\i}t\'ast bel\'assuk sz\"uks\'eg\"unk van kontinum sok ilyen
felt\'etelt biztos\'{\i}tani (majdnem) minden $\oo\in\Omega$ pontban.
Ez viszont sokkal er\H{o}sebb \'all\'{\i}t\'as mint az 1.) pontban
megfogalmazott tulajdons\'ag.
 
Egy v\'eletlen vektor f\"uggv\'eny\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
ki lehet sz\'amolni mint ennek a f\"uggv\'enynek a v\'eletlen vektor
eloszl\'asa sze\-rin\-ti integr\'alt. A regul\'aris felt\'eteles
eloszl\'asr\'ol sz\'ol\'o t\'etel az\'ert hasznos, mert lehet\H{o}v\'e
teszi ennek az eredm\'enynek a ter\-m\'e\-sze\-tes
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'at a felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek kisz\'ami\'{\i}t\'as\'ar\'ol. Ez a tartalma a
k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} t\'etelnek, melyet itt nem bizony\'{\i}tunk,
b\'ar a bizony\'{\i}t\'as, amelyik standard m\'odon
el\-v\'e\-gez\-he\-t\H{o} nem t\'ul neh\'ez. Ebben az eredm\'enyben
nagyon fontos az, hogy a regul\'aris felt\'eteles eloszl\'as minden
$\oo\in\Omega$ pont eset\'en m\'ert\'ek, ez\'ert minden $\oo\in\Omega$
pontban defini\'alhatunk az $F(\cdot,\oo)$ regul\'aris eloszl\'as
szerinti Lebesgue integr\'alokat. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$
$\sigma$-algebra, azon egy $\Cal F\subset \Cal A$ $\sigma$-algebra,
egy $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os \'es
$\eta=(\eta_1,\dots,\eta_l)$ $l$-dimenzi\'os v\'eletlen v\'eletlen
vektor. Legyen tov\'abb\'a az $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen
vektor $\Cal F$ m\'erhet\H{o}, \'es jel\"olje $F(B,\oo)$, $B\subset
R^k$ Borel m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny, $\oo\in\Omega$ a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor regul\'aris felt\'eteles
eloszl\'asa felt\'eve az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'at. Legyen
$h(x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_l)$ egy $k+l$ v\'altoz\'os Borel
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny, melyre
$E|h(\xi_1,\dots,\xi_k,\eta_1,\dots,\eta_l)|<\infty$.
Az $E\(h(\xi_1,\dots,\xi_k,\eta_1,\dots,\eta_l)|\Cal F\)(\oo)$
fel\-t\'e\-te\-les v\'arhat\'o \'ert\'eket ki lehet sz\'am\'{\i}tani
a k\"ovetkez\H{o} k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel:
$$
\align
&E\(h(\xi_1,\dots,\xi_k,\eta_1,\dots,\eta_l)|\Cal F\)(\oo) \\
&\qquad=\[\int h(x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_l) F(dx_1,\dots,dx_k,\oo)\]
_{y_1=\eta_1(\oo),\dots,y_l=\eta_l(\oo)}.
\endalign
$$
}\medskip
 
 
 \bye
