\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\minn{\min\limits}
\define\maxx{\max\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script=cmcsc10
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II.
el\H{o}ad\'assorozat t\'{\i}zenharmadik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2002. december 10.}
\medskip
\centerline{{\bf Felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es v\'arhat\'o
\'ert\'ek} {\it (els\H{o} r\'esz)}}
\medskip\noindent
A felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek nulla val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi felt\'etelek mellett is
defini\'alj\'ak, de az \'{\i}gy defini\'alt fogalmak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as legnehezebb fogalmai
k\"oz\'e tartoznak. Ahhoz, hogy e fo\-gal\-ma\-kat jobban
meg\'erts\"uk, pr\'o\-b\'al\-juk el\H{o}sz\"or meg\'erteni azt, hogy
milyen szeml\'eletes k\'epet akarunk ennek a definici\'onak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel megfogalmazni. Ennek \'erdek\'eben tekints\"uk
a k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'at.
 
Van t\'{\i}z darab l\'amp\'ank, ezek \'elettartama egym\'ast\'ol
f\"uggetlen, (exponenci\'alis el\-osz\-l\'as\-sal \'es) 25 \'ora
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel. Egy foglalatba betessz\"uk az els\H{o}
l\'amp\'at, hogy bevil\'ag\'{\i}tson egy termet. Ha a l\'ampa
ki\'egett azonnal kicser\'elj\"uk a k\"ovetkez\H{o} l\'amp\'ara.
Els\H{o} k\'erd\'es: Mit v\'arunk v\'arunk, mennyi ideig elegend\H{o}
a t\'{\i}z l\'ampa egy\"uttesen a terem bevil\'ag\'{\i}t\'as\'ahoz? A
term\'eszetes v\'alasz az, hogy ez a t\'{\i}z l\'ampa egy\"uttes
\'elettartam\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke, azaz $10\times$25=250
\'ora. A m\'asodik k\'erd\'es a k\"ovetkez\H{o}: Meg\-fi\-gyel\-j\"uk,
hogy me\-lyik id\H{o}\-pont\-ban cser\'elj\"uk ki a m\'asodik
l\'amp\'at. Mit v\'arunk ennek az inform\'aci\'onak az ismeret\'eben a
t\'{\i}z l\'ampa egy\"uttes \'elettartam\'ara? Ha ez a csere 48 \'ora
22 perc m\'ulva t\"ort\'enik meg, akkor a term\'eszetes becsl\'es a 10
l\'ampa egy\"uttes \'elettartam\'ara 48 \'ora 22 perc plusz $8\times25$
\'ora, azaz 248 \'ora 22 perc. Ha ez a csere 51 \'ora 19 perc m\'ulva
t\"ort\'enik, akkor hasonl\'oan azt v\'arjuk, hogy ez az id\H{o}tartam
251 \'ora 19 perc.
 
A fenti p\'elda nem \"onmaga miatt \'erdekes sz\'amunkra, hanem
az\'ert, mert r\'amutat arra, hogy term\'eszetes felvetni a
k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'est. Adva egy esem\'eny vagy egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, akkor \'erdekelhet
minket ennek az esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege vagy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'onak v\'arhat\'o
\'ert\'eke. El\H{o}fordulhat, hogy m\'as esem\'enyekenek
be\-k\"o\-vet\-ke\-z\'e\-s\'et vagy be nem k\"ovetkez\'es\'et
m\'as val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok felvett \'ert\'ek\'et
meg tudjuk figyelni, \'es ezen plusz inform\'aci\'o ismeret\'eben
akarjuk megbecs\"ulni a minket \'erdekl\H{o} esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et vagy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. Ekkor term\'eszetes olyan
becsl\'est adni, amelyik ezeket a plusz inform\'aci\'okat is
figyelembe veszi. Az el\H{o}z\H{o} paragrafusban is ilyen k\'erd\'est
fogalmaztunk meg. Ott meg akartuk becs\"ulni t\'{\i}z
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et azon felt\'etel mellett, hogy az els\H{o}
k\'et v\'altoz\'o \"osszeg\'enek az \'ert\'eke ismert. Figyelj\"unk
fel arra, hogy az els\H{o} k\'et l\'ampa \"ossz\'elettartama folytonos
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ez\'ert nulla
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy el\H{o}\'{\i}rt
\'ert\'eket vesz fel. Teh\'at a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'ere olyan felt\'etel
mellett vagyunk kiv\'ancsiak, hogy egy nulla
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi esem\'eny k\"o\-vet\-ke\-zett be. Viszont
a bevezet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg el\H{o}ad\'asban
t\'argyalt felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg (\'es felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek) fogalma csak abban az esetben volt \'ertelmes,
ha a felt\'etel nem nulla val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u}.
Szeretn\'enk a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek fogalm\'anak olyan
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at adni, amelyik lehet\H{o}v\'e teszi,
hogy a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egr\H{o}l \'es
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ekr\H{o}l besz\'elhess\"unk nulla
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi felt\'etelek mellett is, \'es a bevezetett
fogalmak megfeleljenek szeml\'eletes k\'ep\"unknek, melyet els\H{o}
pillanatban csak hom\'alyosan tudunk megfogalmazni. Lehets\'eges ilyen
definici\'ot adni, de ehhez sz\"uks\'eg\"unk van a m\'ert\'ekelm\'elet
n\'eh\'any m\'ely eredm\'eny\'ere. Mostani el\H{o}ad\'asom c\'elja e
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es v\'arhat\'o \'ert\'ek
fogalm\'anak ismertet\'ese az \'altal\'anos esetben, illetve
legfontosabb tulajdons\'againak t\'argyal\'asa.
 
Az el\H{o}z\H{o} p\'elda azt sugallja, hogy egy $A$ halmaz felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et felt\'eve bizonyos $\xi_1,\dots,\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'ert\'ek\'et \'ugy \'erdemes
defini\'alni, mint a $\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok alkalmas (Borel) m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny\'et, azaz
$P(A|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)=f_A(x_1,\dots,x_k)$, ahol
$f_A(x_1,\dots,x_k)$ Borel m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny az $R^k$
$k$-dimenzi\'os euklideszi t\'erben, \'es azt m\'eri mennyire
val\'osz\'{\i}n\H{u} az $A$ esem\'eny felt\'eve, hogy $\xi_1=x_1,\dots,
\xi_k=x_k$. Ezt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget implicit m\'odon tudjuk
defini\'alni. Azt v\'arjuk a $P(A\cap B)=P(B)P(A|B)$ azonoss\'ag
anal\'ogi\'aj\'ara (form\'alisan a
$$
B=\{\oo\:\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in [x_1,x_1+dx_1]\times
\cdots\times[x_k,x_k+dx_k]\}
$$
\'es az $A$ halmaz v\'alaszt\'as\'aval), hogy
$$
\align
&P\((\xi_1,\dots,\xi_k)\in [x_1,x_1+dx_1]\times\cdots\times
[x_k,x_k+dx_k] \cap A\)\\
&\qquad =P\((\xi_1,\dots,\xi_k)\in [x_1,x_1+dx_1]\times\cdots\times
[x_k,x_k+dx_k]) f_A(x_1,\dots,x_k\).
\endalign
$$
Ez az azonoss\'ag azonban semmitmond\'o, mert az azonoss\'ag mindk\'et
oldala nulla. Vi\-szont ez egy tartalmas \'all\'{\i}t\'ass\'a v\'alik,
ha ezt az azonoss\'agot kiintegr\'aljuk. Ez azt su\-gall\-ja, hogy
teljes\"ulnie kell a
$$
\align
&P\(A\cap \{(\xi_1,\dots,\xi_k)\in B\}\)\\
&\qquad=\int_{(x_1,\dots,x_k)\in B}
f_A(x_1,\dots,x_k) P\(\xi_1\in [x_1,x_1+dx_1],\dots,\xi_k\in
[x_k,x_k+dx_k]\)\\
&\qquad=\int_{(x_1,\dots,x_k)\in B}
f_A(x_1,\dots,x_k) F(\,dx_1,\dots,\,dx_k) \tag$*$
\endalign
$$
azonoss\'agnak, ahol $B$ az $R^k$ $k$-dimenzi\'os t\'er
tetsz\H{o}leges (Borel) m\'erhet\H{o} halmaza, $F(x_1,\dots,x_k)$
pedig a $k$-dimenzi\'os $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye. Az anal\'{\i}zis egyik fontos
eredm\'eny\'eb\H{o}l, az al\'abb ismertetend\H{o} Radon--Nikodym
t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy l\'etezik olyan
$f_A(\cdot,\cdot,\cdot)$ f\"uggv\'eny mely teljes\'{\i}ti a $(*)$
azonoss\'agot minden m\'erhet\H{o} $B$ halmazra,
\'es ezek az azonoss\'agok l\'e\-nye\-g\'e\-ben egy\'ertelm\H{u}en
meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak ezt az $f_A$ felt\'eteles
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg f\"uggv\'enyt. Annak \'erdek\'eben,
hogy meg\'erts\"uk a l\'e\-nye\-g\'e\-ben egy\'ertelm\H{u}en
kit\'etel \'ertelm\'et jegyezz\"uk meg, hogy ha egy $f_A$
f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a $(*)$ azonoss\'agok rendszer\'et,
akkor meg\-v\'al\-toz\-tat\-va ezt az $f_A$ f\"uggv\'enyt egy a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$F$ eloszl\'asa \'altal meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott Lebesgue--Stieltjes
m\'ert\'ek szerint null m\'ert\'ek\H{u} halmazon, akkor olyan \'uj
f\"uggv\'enyt kapunk, mely szint\'en teljes\'{\i}ti a fenti
egyenletrendszert. Az, hogy a $(*)$ azonoss\'agot minden $B$ halmazra
teljes\'{\i}t\H{o} $f_A$ f\"uggv\'eny l\'enyeg\'eben
egy\'ertelm\H{u}en meg van hat\'arozva azt jelenti, hogy ha k\'et $f_A$
\'es $\bar f_A$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a $(*)$ azonoss\'agot a
$k$-dimenzi\'os euklideszi t\'er minden $B$ Borel m\'erhet\H{o}
halmaz\'ara, akkor $f_A(x_1,\dots,x_k)=\bar f_A(x_1,\dots,x_k)$ a
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor $F$ eloszl\'asa szerint
meghat\'arozott Lebesgue--Stieltjes m\'ert\'ek szerint majdnem minden
$(x_1,\dots,x_k)$ pontban.
 
Hasonl\'o gondolatmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alhatjuk egy
$\eta$, $E|\eta|<\infty$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$g_\eta(x_1,\dots,x_k)=E(\eta|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek a definici\'oj\'at felt\'eve
a $\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k$ felt\'eteleket. Ez olyan
(Borel-m\'erhet\H{o}) $g_\eta(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny, melyre az
$$
\aligned
E\eta(\oo) I\(\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in A\}\)&
=\int_{\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in A\}}
\eta(\oo)\,dP(\oo)\\
&=\int_A g_\eta(x_1,\dots,x_k) F(dx_1,\dots,dx_k)
\endaligned  \tag $**$
$$
rel\'aci\'ok teljes\"ulnek a $k$-dimenzi\'os $R^k$ euklideszi t\'er
tetsz\H{o}leges $A$ Borel m\'erhet\H{o} r\'esz\-hal\-ma\-z\'a\-ra,
ahol $I(B)$ jel\"oli egy $B\subset\Omega$ halmaz indik\'ator
f\"uggv\'eny\'et, \'es $F(x_1,\dots,x_k)$ a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor eloszl\'asf\"uggv\'enye. Azt, hogy ilyen
$g_\eta(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny val\'oban l\'etezik, \'es ez a
$g_\eta$ f\"uggv\'eny az $F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
\'altal meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott Lebesgue--Stieltjes m\'ert\'ek szerint
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel meg van hat\'arozva szint\'en a
Radon--Nikodym t\'etel se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel l\'athatjuk be.
 
Miel\H{o}tt megt\'argyaln\'ank a fent eml\'{\i}tett Radon--Nikodym
t\'etelt, megfogalmazzuk a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
\'es v\'arhat\'o \'ert\'ek fogalm\'at n\'emileg \'altal\'anosabb
esetben. El\H{o}\-for\-dul\-hat ugyanis, hogy az el\H{o}zetes
inform\'aci\'oink, melyek alapj\'an egy halmaz
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'e\-re vagy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ek\'ere becsl\'est
akarunk adni nem t\"om\"or\'{\i}thet\H{o} v\'eges sok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o megfigyelt \'ert\'ek\'ebe.
Ahhoz, hogy a felt\'eteles va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg \'es
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek fogalm\'at term\'eszetes m\'odon
meg tudjuk fogalmazni ebben az \'altal\'anosabb esetben is,
el\H{o}sz\"or azt kell tiszt\'aznunk, hogy mit jelent az \'altal\'anos
esetben az, hogy bizonyos megfigyelt esem\'enyek f\"uggv\'eny\'ek\'ent
akarunk valamit megbecs\"ulni.
 
Ha meg tudunk figyelni megsz\'aml\'alhat\'o sok esem\'enyt, akkor meg
tudjuk figyelni ezek uni\'oj\'at, metszet\'et, illetve mindegyik
esem\'eny komplementer\'et. Ez azt jelenti, hogy a megfigyelhet\H{o}
esem\'enyek $\sigma$-algebr\'at alkotnak. Ez\'ert az \'altal\'anos
k\'erd\'es \'ugy fogalmazhat\'o meg, hogy adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n egy $\Cal F\subset\Cal A$
$\sigma$-algebra \'es egy $A$ esem\'eny vagy egy $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyre $E|\eta|<\infty$,
akkor hogyan defini\'aljuk a $P(A|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget illetve $E(\eta|\Cal F)(\oo)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket felt\'eve az $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'at. Az, hogy az $\Cal F$ $\sigma$-algebra
ismeret\'eben akarjuk megbecs\"ulni az $A$ halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et illetve $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \'ert\'ek\'et a $P(\A|\Cal F)(\oo)$ \'es $E(\eta|\Cal
F)(\oo)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg definici\'oj\'aban
azt jelenti, hogy
\medskip
\item{i.)} A $P(A|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\Cal F$ m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny.
\item{i$'$).} Az $E(\eta|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek $\Cal F$ m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny.
\medskip
Az $\Cal F$ $\sigma$-algebra szerinti felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
definici\'oj\'at a $(*)$ k\'eplethez vezet\H{o} \'ervel\'eshez
hasonl\'oan a k\"ovetkez\H{o} m\'odon pr\'ob\'aljuk defini\'alni a
$P(A|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget \'es
$E(\eta|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket. \medskip
\item{ii.)} $P(A\cap B)=\dsize \int_B P(A|\Cal F)(\oo)\,dP(\oo)$
minden $\Cal F$ m\'erhet\H{o} $B$ halmazra.
\item{ii.$'$)} $\dsize \int_B \eta(\oo)\,dP(\oo)=\int_B E(\eta|\Cal
F)(\oo)\,dP(\oo)$ minden $\Cal F$ m\'erhet\H{o} $B$ halmazra.
\medskip\noindent
{\bf A felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oja.} {\it Legyen adva egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}nek egy $\Cal
F\subset \Cal A$  r\'esz-$\sigma$-algebr\'aja. Legyen tov\'abb\'a
adva egy $A\in \Cal A$ esem\'eny vagy egy $\eta(\oo)$,
$E|\eta(\oo)|<\infty$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o ezen a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Az $A$ esem\'eny $P(A|\Cal
F)(\oo)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege felt\'eve a $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'at olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o mely
teljes\'{\i}ti az i.) \'es ii.) tulajdons\'agokat. Az $\eta(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E(\eta|\Cal F)(\oo)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eke felt\'eve a $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'at olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, mely
teljes\'{\i}ti az i.$'$) \'es ii$'$.) tulajdons\'agokat.}\medskip
Tiszt\'azni kell, hogy a fenti definici\'o t\'enyleg meghat\'arozza
a $P(A|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget \'es
$E(\xi|\Cal F)(\oo)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket. Ez az
al\'abb megfogalmazand\'o Radon--Nikodym t\'etel k\"ovetkezm\'enye.
Ezenk\'{\i}v\"ul meg k\'{\i}v\'anjuk \'erteni az \'altal\'anos
eset\-ben definini\'alt $P(A|\Cal F)$ illetve $E(\eta|\Cal F)$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek kapcsolat\'at az el\H{o}z\H{o}leg speci\'alis esetben
defini\'alt $P(A|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$ \'es
$E(\eta|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$ kifejez\'esekkel.
 
Annak \'erdek\'eben, hogy a Radon--Nikodym t\'etelt megfogalmazhassuk
el\H{o}bb be kell vezetni a k\"ovetkez\H{o} definici\'ot.
\medskip\noindent
{\bf Definici\'o: Egy el\H{o}jeles m\'ert\'ek abszolut
folytonoss\'aga egy m\'ert\'ek szerint.} {\it Legyen $\mu$
(esetleg $\sigma$)-v\'eges ($\sigma$-addit\'{\i}v) m\'ert\'ek \'es
$\nu$ v\'eges ($\sigma$-addit\'{\i}v) el\H{o}jeles m\'ert\'ek egy
$\Omega$ t\'eren \'ertelmezett $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'an. Azt
mondjuk, hogy a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek abszolut folytonos a
$\mu$ m\'ert\'ek szerint, ha minden olyan $C\in\Cal F$ halmazra, melyre
$\mu(C)=0$, a $\nu(C)=0$ rel\'aci\'o is teljes\"ul.}
\medskip\noindent
{\bf Radon--Nikodym t\'etel.} {\it Legyen adva egy $\Omega$ t\'er,
rajta egy $\Cal F$ $\sigma$-algebra, tov\'abb\'a ezen a $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'an egy $\mu$ ($\sigma$-v\'eges) m\'ert\'ek \'es
$\nu$ (v\'eges) el\H{o}jeles m\'ert\'ek. Tegy\"uk fel, hogy
a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre
n\'ezve. Akkor l\'etezik olyan az $\Omega$ t\'eren defini\'alt val\'os
\'ert\'ek\H{u} $\Cal F$ m\'erhet\H{o} $f(\oo)$ f\"uggv\'eny, melyre
$\int|f(\oo)|\,d\mu(\oo)<\infty$, \'es $\int_C f(\oo)\,d\mu(\oo)
<\infty$ minden $C\in \Cal F$ halmazra. Tov\'abb\'a
ez az $f(\oo)$ f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u} a k\"ovetkez\H{o}
\'ertelemben. Ha k\'et $f_1(\oo)$ \'es $f_2(\oo)$ $\Cal F$
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a fenti rel\'aci\'ot minden
$C\in \Cal F$ halmazra, akkor $f_1(\oo)=f_2(\oo)$ a $\mu$ m\'ert\'ek
szerint majdnem minden $\oo\in \Omega$ pontban.}
\medskip \noindent
{\it 1. megjegyz\'es:}\/ A Radon--Nikodym t\'etel tipikus egzisztencia
t\'etel. Az \'altal\'anos esetben nem ad m\'odszert arra, hogyan
lehet a keresett $f(\oo)$ Radon--Nikodym deriv\'altat effektive
kisz\'amolni. Ez a probl\'ema a felt\'eteles eloszl\'as \'es
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek fogalm\'aban is megjelenik, \'es
ez teszi a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek fogalm\'at neh\'ezz\'e
\'es n\'epszer\H{u}tlenn\'e. Szerencs\'ere a legfontosabb statisztikai
probl\'em\'akban, ahol ez el\H{o}ker\"ul effekt\'{\i}v m\'odon
tudunk vele sz\'amolni. (Ehhez a k\'erd\'eshez k\'es\H{o}bb m\'eg
visszat\'er\"unk.)
\medskip \noindent
{\it 2. megjegyz\'es:}\/  Legyen adva egy $(\Omega, \Cal A)$
m\'erhet\H{o} t\'er, azon egy ($\sigma$-addit\'{\i}v $\mu$ m\'ert\'ek,
\'es egy el\H{o}jeles $\nu$ m\'ert\'ek. (Tegy\"uk fel az
egyszer\H{u}s\'eg kedv\'e\'ert, hogy $\mu$ $\sigma$-v\'eges
\'es $\nu$ v\'eges. Az az integr\'al tulajdons\'agaib\'ol azonnal
l\'atszik, hogy amennyiben a $\nu$ m\'ert\'ek el\H{o}\'all a
Radon--Nikodym t\'etelben le\'{\i}rt m\'odon, akkor az abszolut
folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve. L\'etezik a k\'et m\'ert\'ek
kapcsolat\'anak r\'eszletesebb le\'{\i}r\'asa is, mely arr\'ol az
esetr\H{o}l is sz\'ol, amikor a $\nu$ m\'ert\'ek nem abszolut
folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve. Nevezetesen, mindig igaz,
hogy az $\Omega$ halmaz felbonthat\'o $\Omega=B\cup (\Omega\setminus
B)$ alakba, $B\in \Cal A$ \'ugy, hogy $\mu(\Omega\setminus B)=0$ \'es
minden $C\subset B$ halmazra $\nu(C)=0$, ha $\mu(C)=0$. Ez azt jelenti,
hogy, ha a $\mu$ \'es $\nu$ m\'ert\'eket, illetve el\H{o}jeles
m\'ert\'eket megszor\'{\i}tjuk a $B$ halmazra, akkor ott $\nu$
abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre, m\'{\i}g a komplementer
halmaznak a $\mu$ m\'ert\'eke nulla, m\'{\i}g a $\nu$ m\'ert\'ekre ez
a tulajdons\'ag nem felt\'etlen\"ul teljes\"ul. Ez azt jelenti, hogy
be lehet vezetni a $\nu_a$ \'es $\nu_{\text{sz}}$ el\H{o}jeles
m\'ert\'ekeket a $\nu_a(A)=\nu(A\cap B$ \'es
$\nu_{\text{sz}}=\nu(A\cap(\Omega\setminus B))$, $A\in \Cal A$
k\'eplettel. Ekkor $\nu=\nu_a+\nu_{\text{sz}}$, a $\nu_a$ m\'ert\'ek
abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve, ez\'ert
alkalmazhat\'o r\'a a Radon--Nikodym t\'etel. A $\nu_{\text{sz}}$
m\'ert\'ek szingul\'aris a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve, ami azt
jelenti, hogy l\'etezik egy olyan $B\in \Cal A$ halmaz, melyre
$\mu(B)=0$ viszont $\nu_{\text{sz}}(C)=0$ minden $C\subset
\Omega\setminus B$ halmazra. Egy $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek
felbont\'asa egy abszolut folytonos \'es szingul\'aris
komponensre egy\'ertelm\H{u}.
\medskip
Jegyezz\"uk meg, hogy az a kit\'etel, hogy a Radon--Nikodym
t\'etelben meghat\'arozott $f(\oo)$ f\"uggv\'eny csak $\mu$ majdnem
minden\"utt van meghat\'arozva term\'eszetes. Ha egy $f(\oo)$
f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a Radon--Nikodym t\'etelt, \'es a $\mu$
m\'ert\'ek szerint null m\'ert\'ek\H{u} halmazon megv\'altoztatjuk
ezt a f\"uggv\'enyt, akkor ez a megv\'altoztatott f\"uggv\'eny is
teljes\'{\i}ti a Radon--Nikodym t\'etelben megk\"ovetelt
tulajdons\'agokat.
\medskip\noindent
{\script K\"ozbevetett megjegyz\'es:}\/ Annak \'erdek\'eben, hogy
jobban meg\'erts\"uk a Radon--Nikodym t\'etelt, felid\'ezek n\'eh\'any
eredm\'enyt, ami r\'esze a M\'ert\'ekelm\'elet anyag\'anak, \'es
seg\'{\i}thet jobban meg\'erteni ezt az eredm\'enyt. A t\'etel
(klasszikus) bizony\'{\i}t\'asa, melyet nem dolgozunk ki az al\'abbi,
az irodalomban Hahn-f\'ele felbont\'asi t\'etelnek ne\-ve\-zett
ered\-m\'e\-nyen alapul. Ez olyan t\'enyt fejez ki, hogy
tetsz\H{o}leges el\H{o}jeles m\'ert\'eknek van egy pozit\'{\i}v
\'es negat\'{\i}v r\'esze, \'es az el\H{o}jeles m\'ert\'ek ezek
\"osszegek\'ent \'{\i}rhat\'o fel.
\medskip\noindent
{\bf Hahn-f\'ele felbont\'asi t\'etel.} {\it Legyen adva egy $(X, \Cal
A)$ m\'ert\'ekt\'er, azaz egy $X$ halmaz, \'es annak ,,m\'erhet\H{o}''
halmazai, melyek egy $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at alkotnak, \'es egy
$\nu$ $\sigma$-addit\'{\i}v el\H{o}jeles m\'ert\'ek az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'ar\'an. (Ez azt jelenti, hogy minden $A\in\Cal A$
halmaz el\H{o}\'all\'{\i}that\'o v\'eges sok vagy megsz\'aml\'alhat\'o
sok $A_n\in\Cal A$ halmaz uni\'ojak\'ent \'ugy, hogy $A=\bigcupp A_n$,
$|\nu(A_n)|<\infty$ \'es vagy $\nu(B)<\infty$ vagy $\nu(C)>-\infty$
minden $C\in \Cal A$ halmazra. Ekkor l\'etezik olyan $B\in \Cal A$
halmaz, melyre $\nu(C)\ge0$ minden $C\subset B$, $C\in \Cal A$ \'es
$\nu(D)\le0$ minden $D\subset X\setminus B$, $D\in \Cal A$ halmazra.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Tetsz\H{o}leges $A\in\Cal A$ halmazt
fel\'{\i}rhatunk $A=(A\cap B)\cup(A\setminus B)$ alakban. Ekkor
$\nu(A)=\nu(A\cap B)+\nu(A\setminus B$, $\nu(A\cap B)\ge0$ \'es
$\nu(A\setminus B)\le0$. Ez\'ert bevezethetj\"uk a
$\nu^+(A)=\nu(A\cap B)$ \'es $\nu^-(A)=\nu(A\setminus B)$
mennyis\'egeket minden $A\in\Cal A$ halmazra. A $\nu^+$ m\'ert\'eket
a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek pozit\'{\i}v r\'esz\'enek, a $\nu^-$
(negat\'{\i}v) m\'ert\'eket pedig a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek
negat\'{\i}v r\'esz\'enek nezezz\"uk.
\medskip
Legyen adva egy $\mu$ v\'eges m\'ert\'ek \'es egy $\nu$ el\H{o}jeles
m\'ert\'ek ugyanazon az $(X,\Cal A)$ m\'ert\'ekt\'eren. Tegy\"uk fel,
hogy $\nu$ abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve. Hogyan
tudjuk megtal\'alni a Banach--Hahn t\'etelben szerepl\H{o} a $\nu$
el\H{o}jeles m\'ert\'eknek a $\mu$ m\'ert\'ek szerinti Radon--Nikodym
deriv\'altj\'at? A $\nu$ m\'ert\'ek Hahn felbont\'asa megadja, hol
kell ezt a Radon--Nikodym deriv\'altat poz\'{\i}t\'{\i}vnak \'es hol
kell negat\'{\i}vnak v\'alasztani. Hasonl\'oan v\'eve egy
tetsz\H{o}leges $c$ val\'os sz\'amot, \'es tekintve a $\nu-c\mu$
m\'ert\'ek Hahn-felbont\'as\'at, meg tudjuk mondani, hol lesz a
Radon--Nikodym deriv\'alt nagyobb vagy egyenl\H{o}, mint $c$. A
bizony\'{\i}t\'as ennek a gondolatnak a k\"ovetkezetes
v\'egigvitel\'eb\H{o}l \'all. A f\H{o} probl\'ema az, hogy a
Hahn-felbont\'as csak egzisztecia t\'etel, ez\'ert nem teszi
lehet\H{o}v\'e, hogy egyszer\H{u} m\'odszert adjunk a Radon--Nikodym
deriv\'alt kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara.
\medskip
K\"ul\"on\"osen \'erdekes, \'es a m\'ert\'ekelm\'eletben k\"ul\"on
vizsg\'alt eset az, amikor a sz\'am\-egye\-ne\-sen defini\'alt
$\nu$ m\'ert\'ekeket tekintj\"uk, \'es a $\mu$ m\'ert\'ek a $\lambda$
Lebesgue m\'ert\'ek. Ekkor egy $\nu$ abszolut folytonos el\H{o}jeles
m\'ert\'ek el\H{o}\'all\'{\i}that\'o $\nu([a,b])=\int_a^b f(u)\,du$
alakban, \'es csak az abszolut folytonos m\'ert\'ekek \'{\i}rhat\'oak
ilyen alakban.  Ha egy $\nu$ m\'ert\'ek fel\'{\i}rhat\'o a fenti
alakban, akkor \'erv\'enyes az $\int g(u)\nu(\,du)=\int g(u)f(u)\,du$
azonoss\'ag is minden m\'erhet\H{o} $g(\cdot)$  f\"uggv\'enyre. (Ez
az azonoss\'ag \'ugy \'ertend\H{o}, hogy a k\'et oldalon szerepl\H{o}
integr\'al egyszerre l\'etezik vagy nem l\'etezik.) Tekints\"unk a
tov\'abbiakban olyan el\H{o}jeles m\'ert\'ekeket a sz\'amegyenesen,
melyeknek mind a negat\'{\i}v mind a pozit\'{\i}v r\'esze v\'eges.
Jegyezz\"uk meg, hogy ezen megszor\'{\i}t\'as ut\'an k\"olcs\"on\"osen
egy\'ertelm\H{u} megfeleletet\'es l\'e\-te\-s\'{\i}t\-he\-t\H{o} a
sz\'amegyenesen \'ertelmezett $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ekek \'es a
sz\'amegyenesen defini\'alt korl\'atos v\'altoz\'as\'u $G(\cdot)$
f\"uggv\'enyek k\"oz\"ott, ha azonos\'{\i}tunk k\'et olyan
f\"uggv\'enyt, melyek k\"u\-l\"onb\-s\'e\-ge konstans. (Ezt a
megfeletet\'est megkaphatjuk, hogy egy f\"uggv\'enyhez
hoz\-z\'a\-ren\-del\-j\"uk az \'altala meghat\'arozott
Lebesgue--Stieltjes m\'ert\'eket, egy $\nu$ m\'ert\'ekhez pedig a
$G(x)=\nu([-\infty,x))$ f\"uggv\'enyt rendelj\"uk hozz\'a. Igaz
az a t\'etel is, mely szerint egy f\"uggv\'eny akkor \'es csak
akkor korl\'atos v\'altoz\'as\'u, ha el\H{o}\'all k\'et
korl\'atos monoton f\"uggv\'eny k\"u\-l\"onb\-s\'e\-ge\-k\'ent.
Ez az eredm\'eny megfelel a sz\'amegyenesen defini\'alt el\H{o}jeles
m\'ert\'ekek Hahn-f\'ele felbont\'as\'anak.) Egy (korl\'atos
v\'altoz\'as\'u) f\"uggv\'enyt akkor \'es csak akkor nevez\"unk
abszolut folytonosnak, ha az \'altala defini\'alt el\H{o}jeles
m\'ert\'ek abszolut folytonos. Term\'eszetes m\'odon felmer\"ul a
k\'{\i}v\'ans\'ag, hogy adjunk lehet\H{o}leg min\'el
\'attekinthet\H{o}bb jellemz\'est az abszolut
folytonos m\'ert\'ekekr\H{o}l (f\"uggv\'enyekr\H{o}l) a
sz\'amegyenesen, \'es jellemezz\"uk a k\"ul\"onb\"oz\H{o}
lehets\'eges tulajdons\'ag\'u m\'ert\'ekeket.
 
Be lehet l\'atni, hogy egy $G$ korl\'atos v\'altoz\'as\'u f\"uggv\'eny
akkor \'es csak akkor abszolut folytonos, ha minden $\e>0$
intervallumra l\'etezik olyan $\delta>0$ sz\'am, melyre igaz, hogy
tetsz\H{o}leges olyan diszjunkt $[a_k,b_k)$ intervallumokra $1\le k\le
n$, (az $n$ sz\'am tetsz\H{o}leges), melyekre
$\summ_{k=1}^n(b_k-a_k)<\delta$, teljes\"ul a
$\left|\summ_{k=1}^n(G(b_k)-G(a_k))\right|<\e$ egyenl\H{o}tlens\'eg is,
vagy ami ezzel ekvivalens,
$\left|\nu_G\(\bigcupp_{k=1}^n([a_k,b_k)\)\right|<\e$, ha
$\lambda\(\bigcupp_{k=1}^n([a_k,b_k)\)\e$, ahol $\nu_G$ jel\"oli a $G$
f\"uggv\'eny \'altal induk\'alt Lebesgue--Stieltjes m\'ert\'eket. Egy
el\H{o}jeles m\'ert\'eket disz\-kr\'etnek nevezz\"unk, ha v\'eges vagy
megsz\'aml\'alhat\'o pontba van koncentr\'alva, azaz egy v\'eges vagy
megsz\'aml\'alhat\'o halmaz komplementer\'enek a m\'ert\'eke nulla.
Bevezetnek m\'eg egy harmadik fogalmat is: Egy el\H{o}jeles
m\'ert\'eket szingul\'arisnak neveznek, ha minden pontj\'anak a
m\'ert\'eke nulla, de van a sz\'amegyenesnek olyan m\'erhet\H{o}
r\'eszhalmaza, melynek el\H{o}jeles m\'ert\'eke nem nulla.
Be lehet l\'atni, hogy ilyen szingul\'aris el\H{o}jeles m\'ert\'ek
val\'oban l\'etezik, s\H{o}t az is igaz, hogy tetsz\H{o}leges
el\H{o}jeles m\'ert\'ek egy\'ertelm\H{u}en felbonthat\'o egy abszolut
folytonos, egy disz\-kr\'et \'es egy abszolut folytonos el\H{o}jeles
m\'ert\'ek \"osszegek\'ent. A szingul\'aris m\'ert\'ekek l\'etez\'ese
okozza, hogy \'altal\'anos probl\'em\'ak t\'ar\-gya\-l\'a\-s\'a\-ban
sz\"uks\'eges Lebesgue-Stieltjes integr\'alokkal is sz\'amolni. Egy
abszolut folytonos el\H{o}jeles m\'ert\'ek szerinti integr\'al
\'at\'{\i}rhat\'o mint alkalmas Lebesgue m\'ert\'ek szerinti
integr\'al, a disz\-kr\'et m\'ert\'ekek szerinti integr\'alok
val\'oj\'aban v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'o \"osszeget jelentenek,
de egy szingul\'aris m\'ert\'ek szerinti integr\'al eset\'eben nincsen
hasonl\'o egyszer\H{u}s\'{\i}t\'esi lehet\H{o}s\'eg.
 
\medskip\noindent
A Radon--Nikodym t\'etelb\H{o}l egyszer\H{u}en k\"o\-vet\-ke\-zik a
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek l\'e\-te\-z\'e\-se. Val\'oban, ha
adva van egy $(\Omega,\Cal A, P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}, azon egy $\Cal F\subset \Cal A$ $\sigma$-algebra valamint
egy $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melyre
$E|\xi|<\infty$, akkor alkalmazzuk a Radon--Nikodym t\'etelt a
k\"ovetkez\H{o} v\'alaszt\'assal: Legyen a $\mu$ m\'ert\'ek a $P$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek, pontosabban annak
megszor\'{\i}t\'asa az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'ara, \'es
defini\'aljuk a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'eket az $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'an a k\"ovetkez\H{o} formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel:
$\nu(F)=\int_F\eta(\oo)\,dP(\oo)$ minden $F\in \Cal F$ halmazra.
Ekkor alkalmazhatjuk a Radon--Nikodym t\'etelt a $\mu$ m\'ert\'ekre
\'es a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ekre, mert a $\nu$ el\H{o}jeles
m\'ert\'ek abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ek sze\-rint. Ugyanis,
$\mu(A)=P(A)=0$ eset\'en $\mu(A)=\int_A\eta(\oo)P(\,d\oo)=0$. A
Radon--Nikodym t\'etel sze\-rint l\'etezik olyan {\it $f(\oo)$
$\Cal F$ m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny,}\/ melyre $\nu(F)=\int_F
f(\oo)\mu(\,d\oo)$ minden $F\in\Cal F$ halmazra. Ez pedig azt
jelenti, hogy a Radon--Nikodym t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel
konstru\'alt $f(\oo)$ f\"uggv\'eny az $E(\eta|\Cal F)(\oo)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek. (Az \'all\'{\i}t\'as jobb
meg\'ert\'ese \'erdek\'eben jegyezz\"uk meg, hogy az $\eta(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o az\'ert nem v\'alaszthat\'o
mindig az $f(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak, mert
igaz ugyan, hogy ez a f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a k\'{\i}v\'ant
azonoss\'agot minden $F\in\Cal F$ halmazra teljes\'{\i}ti, de nem
felt\'etlen\"ul $\Cal F$ m\'erhet\H{o}. (Eredetileg csak annyit tudunk,
hogy $\eta$ $\Cal A$ m\'erhet\H{o}, \'es $\Cal F\subset \Cal A$.)
\medskip\noindent
{\it P\'elda:}\/ Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'at a
definici\'o jobb meg\'ert\'ese \'erdek\'eben: Legyen az $(\Omega,\Cal
A, P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} az $\Omega=[0,1]\times[0,1]$
egysz\'egn\'egyzet, rajta a szok\'asos $A$ Borel $\sigma$-algebra \'es
$P=\lambda$ a Lebesgue m\'ert\'ek az egys\'egn\'egyzet
Borel-m\'erhet\H{o} r\'esz\-hal\-ma\-za\-in. Legyen $\Cal F$ az $A\times
[0,1]$ alak\'u halmazokb\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra, ahol $A\in\Cal
B_1$, \'es $\Cal B_1$ a $[0,1]$ intervallumon gener\'alt
$\sigma$-algebr\'at jel\"oli. Tekints\"unk egy tetsz\H{o}leges
(m\'erhet\H{o} \'es integr\'alhat\'o) $f(x,y)$ f\"uggv\'enyt az
egys\'egn\'egyzeten, (az $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n) \'es sz\'amoljuk ki az
$E(f(x,y)|\Cal F)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}\'egi mez\H{o}n. Ha az $f(x,y)$
f\"uggv\'eny val\'oban f\"ugg mind a k\'et v\'altoz\'oj\'at\'ol, akkor
nem $\Cal F$ m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny. Viszont defini\'aljuk a
$g_0(x)=\int_0^1 f(x,y)\,dy$ \'es $g(x,y)=g_0(x)$ f\"uggv\'enyeket. (A
$g(x,y)$ f\"uggv\'eny val\'oj\'aban nem f\"ugg az $y$
koordin\'at\'ol, viszont tekinthet\H{o} egy az $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n defini\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak, \'es mivel nem f\"ugg az $y$
koordin\'at\'ol (\'es m\'erhet\H{o}), ez\'ert $\Cal F)$ m\'erhet\H{o}.
Azt \'all\'{\i}tom, hogy $E(f(x,y)|\Cal F)=g(x,y)$. Ehhez azt kell
m\'eg ellen\H{o}rizni, hogy $\int_{A\times [0,1]}g(x,y)\,dx\,dy=
\int_{A\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy$. Viszont
$$
\int_{A\times [0,1]}g(x,y)\,dx\,dy=
\int_Ag_0(x)\,dx=\int_A\(\int_0^1 f(x,y)\,dy\)\,dx=
\int_{A\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy,
$$
amint \'all\'{\i}tottuk.
 
\medskip
A $g_\eta(x_1,\dots,x_k)=E(\eta|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$ felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'eket hasonl\'oan defini\'alhatjuk csak ekkor m\'as
$\mu$ m\'ert\'ekkel \'es $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ekkel dolgozunk.
Ekkor mind a $\mu$ m\'ert\'eket mind a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'eket
az $R^k$ $k$-dimenzi\'os euklideszi t\'er Borel m\'erhet\H{o} halmazain
defini\'aljuk. A $\mu$ m\'ert\'ek a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen
vektor eloszl\'asa az $R^k$ t\'er $B\in\Cal B$ Borel m\'erhet\H{o}
r\'esz\-hal\-ma\-za\-in, azaz $\mu(B)=P((\xi_1,\dots,\xi_k)\in B)$,
$B\in \Cal B$, \'es
$\nu(B)=\int_{\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in
B\}}\eta(\oo)\,dP(\oo)$ minden $B\in \Cal B$ halmazra. A Radon--Nikodym
t\'etel alapj\'an l\'etezik olyan $g_\eta(x_1,\dots,x_k)$ Borel
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny a $k$-dimenzi\'os euklideszi t\'eren,
melyre $\nu(B)=\int_B g_\eta(x_1,\dots,x_k)\mu(\,dx_1,\dots,\,dx_k)$.
Ekkor be lehet l\'atni, hogy ez a $g_\eta$ f\"uggv\'eny a
$g_\eta(x_1,\dots,x_k)=E(\eta|\xi_1=x_1,\dots,\xi_k=x_k)$ felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek.
 
A felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg fogalm\'aval nem kell
k\"ul\"on foglalkoznunk, mert a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
\'es felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy tetsz\H{o}leges m\'er\-he\-t\H{o} $A$ halmazra \'es
annak $I_A(\oo)$ indik\'ator f\"uggv\'eny\'ere $P(A|\Cal F)(\oo)=
E(I_A(\oo)|\Cal F)(\oo)$ \'es $P(A|\xi_1(\oo)=x_1,\dots,\xi_k(\oo)=x_k)
=E(I_A(\oo)|\xi_1(\oo)=x_1,\dots,\xi_k(\oo)=x_k)$. A
to\-v\'a\-bbi\-ak\-ban  egyr\'eszt meg k\'{\i}v\'anjuk t\'argyalni az
$E(\eta|\Cal F)(\oo)$ \'es $E(\eta|\xi_1(\oo)=x_1,\dots,\xi_k(\oo)=x_k)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ekek k\"oz\"otti kapcsolatot abban az
esetben, ha $\Cal F=\sigma(\xi_1,\dots,\xi_k)$, a $\xi_1,\dots,\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebra, azaz az a legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebra, melyben az
\"osszes $\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny. Ezenk\'{\i}v\"ul felsoroljuk a
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek legfontosabb tulajdons\'agait, \'es
azt, hogy hogyan lehet sz\'amolni a felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel. Ez az\'ert is fontos, mivel a felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'eket csak implicit m\'odon (a Radon--Nikodym t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel) tudjuk defini\'alni. Ez a f\H{o} oka annak, hogy
csak nehezebben tudunk a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'amolni.
 
Az els\H{o} k\'erd\'es meg\'ert\'es\'ehez sz\"uks\'eg\"unk van a
k\"ovetkez\H{o} (nem trivi\'alis) m\'er\-t\'ek\-el\-m\'e\-leti
eredm\'enyre. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen adva egy $(\Omega, \Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  mez\H{o}, azon $\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Jel\"olje $\Cal F$ a
$\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'at. Egy $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o akkor \'es csak akkor
m\'erhet\H{o} erre az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'ara, ha l\'etezik a
$k$-dimenzi\'os $R^k$ euklideszi t\'erben olyan Borel m\'erhet\H{o}
$f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny, melyre
$\eta(\oo)=f(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$. }
\medskip
Vil\'agos, hogy amennyiben adva van egy $g(x_1,\dots,x_k)$ $k$
v\'altoz\'os f\"uggv\'eny, \'es $\xi_1,\dots,\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, akkor ezek egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en
meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak a $\eta=g(\xi_1,\dots,\xi_k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot.
Megford\'{\i}tva, ha adott egy a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebra, \'es egy erre a $\sigma$-algebr\'ara m\'erhet\H{o}
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor az el\H{o}bb
megfogalmazott t\'etel szerint ez fel\'{\i}rhat\'o
$\eta=g(\xi_1,\dots,\xi_k)$ alakban. Felmer\"ul a k\'erd\'es, hogy
az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
meg\-ha\-t\'a\-roz\-za-e egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en a $g$
f\"uggv\'enyt a fenti reprezent\'aci\'oban. Erre a k\'erd\'esre a
v\'alasz ny\'{\i}lv\'an nemleges. P\'eld\'aul, ha mindegyik $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 0 \'es 1
k\"oz\'e esik, akkor a $g(x_1,\dots,x_k)$ tetsz\H{o}leges olyan
$(x_1,\dots,x_k)$ pontban megv\'altoztathatjuk, ahol legal\'abb az
egyik koordin\'ata nagyobb mint 1 vagy kisebb mint nulla. De ez nem a
teljes igazs\'ag. A $g$ f\"uggv\'eny ugyanis egy\'ertelm\H{u}en meg
van hat\'arozva a k\"ovetkez\H{o} gyeng\'{\i}tett \'ertelemben.
Jel\"olje $F(x_1,\dots,x_k)$ a $(x_1,\dots,x_k$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et, \'es jel\"olje $\mu_F$ az
$F(x_1,\dots,x_k)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny
\'altal meghat\'arozott Lebesgue--Stieltjes m\'ert\'eket. Ha
$g(x_1,\dots,x_k)$ \'es $\bar g(x_1,\dots,x_k)$
k\'et olyan f\"uggv\'eny, melyre
$g(\xi_1,\dots,\xi_k)=\bar g(\xi_1,\dots,\xi_k)$, akkor a $g$ \'es
$\bar  g$ f\"uggv\'eny a $\mu_F$ m\'ert\'ek szerint majdnem
minden\"utt megegyezik. Viszont a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'es felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
csak egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel van meghat\'arozva, ez\'ert mint
l\'atni fogjuk a $g$ f\"uggv\'enynek a fenti \'ertelemben vett
egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-s\'e\-g\'e\-re van sz\"uks\'eg\"unk.
\medskip
Legyen $\Cal F$ egy $\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebra, \'es $\eta(\oo)$, $E|\eta|<\infty$
tetsz\H{o}leges val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ekkor az
$E(\eta|\Cal F)(\oo)$ $\Cal F$ m\'erhet\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o az el\H{o}z\H{o} t\'etel
alapj\'an fel\'{\i}rhat\'o $E(\eta(\oo)|\Cal
F)=g_\eta(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$  alakban, ahol
$g_\eta(x_1,\dots,x_k)$ $k$-v\'altoz\'os Borel m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'eny. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy ekkor
$E(\eta|\xi_1(\oo)=x_1,\dots,\xi_k(\oo)=x_k)=g_\eta(x_1,\dots,x_k)$.
Ehhez azt kell ellen\H{o}rizni integr\'altranszform\'aci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a ii$'$.) rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik a
$(**)$ rel\'aci\'o, ha a ii$'$.) rel\'aci\'oban
$B=\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in A\}$ halmazt v\'alasztunk.
Hasonl\'oan be lehet l\'atni, hogy ha
$E(\eta|\xi_1(\oo)=x_1,\dots,\xi_k(\oo)=x_k)=g_\eta(x_1,\dots,x_k)$,
akkor $E(\eta|\Cal F)(\oo)=g_\eta(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$.
Ehhez, azt kell \'eszrevenni, hogy az el\H{o}bb kimondott t\'etel
alapj\'an egy $B\in \Cal F$ halmazra l\'etezik olyan $A$ Borel
m\'erhet\H{o} halmaz az $R^k$ $k$-dimenzi\'os t\'eren, melyre
$B=\{\oo\:\(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)\)\in A\}$. Ezut\'an be lehet
l\'atni az integr\'altranszform\'aci\'ok tulajdons\'againak
ismeret\'eben, hogy a $(**)$ rel\'aci\'o k\"ovetkezik a ii$'$.)
rel\'aci\'ob\'ol.
 
 \bye
