\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2.9pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\minn{\min\limits}
\define\maxx{\max\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script=cmcsc10
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II.
el\H{o}ad\'assorozat t\'{\i}zenkettedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2002. december 3.}
\medskip
\centerline{\bf A nagy sz\'amok t\"orv\'eny\'er\H{o}l. M\'asodik
r\'esz.}
\medskip\noindent
L\'attuk, hogy mind a nagy sz\'amok gyenge mind a nagy sz\'amok
er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz arra van
sz\"uks\'eg\"unk, hogy k\'epesek legy\"unk f\"uggetlen (\'es egyforma
el\-osz\-l\'a\-s\'u), nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
$\xi_1,\xi_2,\dots,$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$, $n=1,2,\dots$, \"ossze\-g\'e\-nek
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'ere j\'o becsl\'est tudjunk adni. Pontosabban
arra van sz\"uk\-s\'e\-g\"unk, hogy j\'ol meg tudjuk becs\"ulni minden
$n$ indexre \'es r\"ogz\'{\i}tett $\e>0$ sz\'amra a $P(|S_n|>\e n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Val\'oj\'aban a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'aban hasznosabb, ha a
$P\(\supp_{1\le m\le n}|S_m|>\e n\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket
j\'ol meg tud\-juk be\-cs\"ul\-ni. Felmer\"ulhet a k\'erd\'es:
Nem lehet-e a $P(S_n>\e n)$ alak\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel adni
j\'o becsl\'est?
 
A v\'alasz erre a k\'erd\'esre nemleges. Ugyanis a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel a $P(S_n>x\sqrt n)$ alak\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre ad j\'o aszimptotik\'at nagy $n$
indexre, \'es {\it r\"ogz\'{\i}tett, az $n$ indext\H{o}l f\"uggetlen}\/
$x$ sz\'amra. De szabad-e r\"ogz\'{\i}tett $x$ helyett $n$-t\H{o}l
f\"ugg\H{o} $x_n=\e\sqrt n$ sz\'amot \'{\i}rni, \'es alkalmazni
form\'alisan a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelben
szerepl\H{o} k\'epletet nem t\"or\H{o}dve az $x_n$ sz\'amnak az $n$
indext\H{o}l val\'o f\"ugg\'es\'evel? Az, hogy e k\'erd\'es
felvet\'es\'en\'el nem form\'alis k\"ot\H{o}zk\"od\'esr\H{o}l van
sz\'o mutatja a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} p\'elda: Legyenek
$\xi_1,\xi_2\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyekre
$P(\xi_1=1)=P(\xi_1=-1)=\dfrac12$, $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$. Ekkor a
$p_n(x)=P\(S_n\ge nx\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre $p_n(x)=0$, ha
$x>1$, \'es $p_n(x)=2^{-n}$, ha $x=1$. (Az $x<1$ esetben is j\'o
aszimptotikus formul\'at lehet adni a $p_n(x)$ mennyis\'egre, de
ahhoz k\"ul\"on vizsg\'al\'od\'as lenne sz\"uks\'eges, ez\'ert ezt
most nem tessz\"uk.) Ez a p\'elda azt mutatja, hogy a $p_n(x)$
f\"uggv\'eny nem viselkedik mindig \'ugy, ahogyan azt a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l ad\'od\'o form\'alis anal\'ogia
sugalln\'a. A $P(S_n\ge nx)$ alak\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
vizsg\'alat\'aval a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
egyik fontos \'es \'erdekes fejezete a nagy elt\'er\'esek elm\'elete
foglalkozik. Ez az elm\'elet nem t\'em\'aja jelen
el\H{o}ad\'assorozatnak.
 
Ismertetem az \'ugynevezett Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eget,
amelyik nagyon hasznos a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek
bizony\'{\i}t\'as\'aban. Itt csak mag\'at az egyenl\H{o}tlens\'eget
fogalmazom meg, a bizony\'{\i}t\'ast a kieg\'esz\'{\i}t\'esben
\'{\i}rom le.
\medskip\noindent
{\bf Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg}.
{\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, (nem
felt\'etlen\"ul egyforma eloszl\'as\'u)
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok, $E\xi_k=0$,
$E\xi_k^2=\sigma_k^2$, $S_k=\sum\limits_{p=1}^k\xi_p$, $k=1,\dots,n$.
Ekkor $$
P\(\sup_{1\le k\le n}|S_k|\ge x\)\le\frac{ES_n^2}{x^2}
=\frac{\sum\limits_{k=1}^n\sigma_k^2}{x^2}
$$
minden $x>0$-ra.}
\medskip
\'Erdemes \'eszrevenni, hogy a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg
ugyan\-azt a fels\H{o} becsl\'est adja annak
val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy az $S_k$ r\'eszlet\"osszegek
abszolut \'ert\'ek\'enek $\supp_{1\le k\le n} |S_k|$ szup\-r\'e\-mu\-ma
nagyobb, mint valamilyen $x>0$ sz\'am, mint amit
a Csebisev egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg ad annak az ese\-m\'eny\-nek a
val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy az utols\'o $|S_n|$ tag abszolut
\'ert\'eke  nagyobb, mint~$x$. Term\'eszetesen
$$
P\(\supp_{1\le k\le n}|S_k|>x|\)\ge P\(S_n|>x|\),
$$
de mint ahogy a Kolmogorov \'es Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg
\"osszehasonl\'{\i}t\'asa is sugallja, a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg
baloldala nem sokkal nagyobb mint a jobboldala.
\medskip\noindent
Felid\'ezem a nagy sz\'amok (\'eles form\'aban megfogalmazott)
er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek m\'eg be nem bizony\'{\i}tott el\'egs\'eges
fel\'et.
\medskip\noindent
{\bf A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek el\'egs\'eges
felt\'etele.} {\it Legyen $\xi_1$, $\xi_2$,\dots, f\"ug\-get\-len,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata, melyek teljes\'{\i}tik az $E|\xi_1|<\infty$ fel\-t\'e\-telt.
Defini\'aljuk az $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$,
r\'eszlet\"osszegeket. Ekkor $\dfrac{S_n(\oo)}n$ \'atlagok
teljes\'{\i}tik a
$$
\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n(\oo)}n=E\xi_1\quad\text{majdnem minden }
\oo\in\Omega\text{-ra}.
$$
rel\'aci\'ot.}
\medskip\noindent
Most megmutatom, hogy bizony\'{\i}that\'o ez az \'all\'{\i}t\'as a
Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel.
\medskip\noindent
{\it A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek el\'egs\'eges fel\'et
megfogalmaz\'o \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa.}\/
Fel fogjuk tenni, hogy $E\xi_1=0$. Ehhez jogunk van, mert
helyettes\'{\i}tve a $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
a $\xi_n-E\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal teljes\"ul
ez a felt\'etel, \'es az \'altal\'anos eset k\"onnyen
k\"ovetkezik az erre a speci\'alis esetre megfogalmazott
\'all\'{\i}t\'asb\'ol.
 
Term\'eszetes gondolat sz\'etv\'alasztani a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok t\'ul nagy \'es nem t\'ul nagy
\'ert\'ekeinek a hat\'as\'at a bizony\'{\i}t\'asban. Ez sugallja, hogy
\'erdemes a $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'altoz\'ok
k\"ovetkez\H{o} felbont\'as\'at venni: $\xi_n=\xi_nI(|\xi_n|\le
n)+\xi_nI(|\xi_n|>n)=\xi_n'+\xi_n''$, ahol $I(A)$ egy $A$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'eny\'et jel\"oli. Azt, hogy a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ekeit az $n$
szinten csonk\'{\i}tottuk az teszi term\'eszetess\'e, hogy az
el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'as v\'eg\'en bizony\'{\i}tott lemma
alapj\'an az $E|\xi_1|<\infty$ felt\'etel ekvivalens a
$\summ_{n=1}^\infty P(\xi_n''=0)
=\summ_{n=1}^\infty P(|\xi_n|>n)=\summ_{n=1}^\infty
P(|\xi_1|>n)<\infty$ egyenl\H{o}tlens\'eggel. Ez\'ert a
Borel--Cantelli lemma alapj\'an a $\xi_n''$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'eges sok kiv\'etellel
null\'aval egyenl\H{o}ek. Ez\'ert elegend\H{o} azt bizony\'{\i}tani,
hogy a $\dfrac1n\summ_{k=1}^n\xi_k'$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel null\'ahoz konverg\'al. El\H{o}sz\"or
l\'assuk be azt, hogy
$\limm_{n\to\infty}\dfrac1n\summ_{k=1}^nE\xi_k'=0$,
ez ugyanis lehet\'ov\'e teszi, hogy a bizony\'{\i}tand\'o
\'all\'{\i}t\'ast arra reduk\'aljuk, hogy a
$\dfrac1n\summ_{k=1}^n(\xi_k'-E\xi_k')$ \'atlagok tartanak egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel null\'ahoz, azaz nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlag\'at
el\'eg vizsg\'alni. A bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'as az\'ert
igaz, mert $\summ_{k=1}^nE\xi_k'=-\summ_{k=1}^nE\xi_k''$, \'es
$$
\align
\left|-\frac1n\summ_{k=1}^nE\xi_k''\right|&\le
\frac1n\summ_{k=1}^nE|\xi_k''|\le
\frac1n\summ_{k=1}^n\summ_{j=k}^n E|\xi_1|I(k-1\le |\xi_1|<k)
+E|\xi_1|I(|\xi_1|\ge n)\\
&\le \summ_{k=1}^n\summ_{j=k}^n\frac kn P(k\le |\xi_1|<k+1)
+E|\xi_1|I(|\xi_1|\ge n)\\
&=\summ_{k=1}^n\frac {k^2}n P(k\le |\xi_1|<k+1)
+E|\xi_1|I(|\xi_1|\ge n)
\endalign
$$
Az utols\'o becsl\'es jobboldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'es
null\'ahoz tart, ha $n\to\infty$. Ugyanis az $E|\xi_1|<\infty$
felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik egyr\'eszt, hogy
$\limm_{n\to\infty}E|\xi_1|I(|\xi_1|\ge n)=0$, m\'asr\'eszt az, hogy
minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan $L=L(\e)$, hogy
$\summ_{k=L}^\infty kP(|\xi_k|I(k-1\le |\xi_1|<k)<\e$, ahonnan
$\summ_{k=L}^n\dfrac {k^2}n P(k\le |\xi_1|<k+1)
\le\summ_{k=L}^\infty kP(|\xi_k|I(k-1\le |\xi_1|<k)<\e$, \'es
$\limm_{n\to\infty}\summ_{k=1}^L\frac {k^2}n P(k\le |\xi_1|<k+1)=0$.
Mivel a fenti becsl\'esek minden $\e>0$ sz\'amra elmondhat\'oak, ez\'ert
az el\H{o}z\H{o}ekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}\dfrac1n\summ_{k=1}^nE\xi_k=0$, mint
\'all\'{\i}tottuk.
 
Megmutatjuk, hogy a Borel--Cantelli lemma alapj\'an a reduk\'alt
\'all\'{\i}t\'as bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-hoz el\'eg megmutatni,
hogy minden $\e>0$ sz\'amra
$$
\summ_{n=0}^\infty P\(\supp_{1\le k\le 2^n}
\left|\summ_{j=1}^k\(\xi_j'-E\xi_j'\)\right|>\e2^n\)
<\infty \tag$*$
$$
Ekkor ugyanis tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amhoz, \'es majdnem minden
$\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre l\'etezik olyan $n_0=n_0(\oo,\e)$
k\"usz\"obindex, melyre $\supp_{1\le k\le
2^n}\left|\summ_{j=1}^k\(\xi_j'(\oo)-E\xi_j'(\oo)\)\right|\le\e2^n$,
ha $n\ge n_0$. Ez\'ert, ha $k\ge 2^{n_0}$, akkor l\'etezik olyan
$n_1=n_1(k)$ index, melyre $2^{n_1}\le k<2^{n_1}$, \'es
$\left|\summ_{j=1}^k\(\xi_j'(\oo)-E\xi_j'(\oo)\)\right|\le e2^{n_1+1}\le
2\e k$. Mivel ez tetsz\H{o}leges $\e=\frac1j$ sz\'amra elmondhat\'o,
\'es innen k\"ovetkezik, hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
$\oo\in\Omega$ halmazra $\limm_{k\to\infty}\left|\summ_{j=1}^k
\(\xi_j'(\oo)-E\xi_j'(\oo)\)\right|\to0$. Viszont a nagy sz\'amok
er\H{o}s t\"orv\'eny\'et ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a
bizony\'{\i}t\'as\'ara reduk\'altuk.
 
A $(*)$ formul\'aban olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek \"osszeg\'enek
a konvergenci\'aj\'at kell megmutatni, melyeket a Kolmogorov
egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudunk
megbecs\"ulni. A Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg szerint
$$
P\(\supp_{1\le k\le 2^n}
\left|\summ_{j=1}^k\(\xi_j'-E\xi_j'\)\right|>\e2^n\)
\le\frac{\summ_{j=1}^{2^n}\Var\xi_j'}{\e^22^{2n}}
\le\frac{\summ_{j=1}^{2^n}E{\xi_j'}^2}{\e^22^{2n}},
$$
ez\'ert el\'eg megmutatni azt, hogy
$$
\summ_{n=1}^\infty 2^{-2n}\summ_{j=1}^{2^n}E{\xi_j'}^2<\infty, \tag$**$
$$
ha $E|\xi_1|<\infty$.
 
A $(**)$ formula bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben \'{\i}rjuk fel az
$E{\xi_j'}^2=\summ_{l=1}^j E|\xi_1|^2I(l-1\le |\xi_1|<l)
\le\summ_{l=1}^j lE|\xi_1|I(l-1\le |\xi_1|<l)$ rel\'aci\'ot az e
formul\'aban szerepl\H{o} mindegyik tagra, \'es sz\'amoljuk \"ossze,
hogy \'atrendezve az \'{\i}gy kapott \"osszeget, mint az
$E|\xi_1|I(l-1\le |\xi_1|<l)$ kifejez\'esek line\'aris
kombin\'aci\'oj\'at mi lesz az $E|\xi_1|I(l-1\le |\xi_1|<l)$ tag
egy\"utthat\'oja. Ha $2^{m-1}<l\le 2^m$, akkor ez az
egy\"utthat\'o $\summ_{n=m}^\infty (2^n-l)l2^{-2n}\le
l\summ_{n=m}^\infty 2^{-n}\le 2l 2^{-m}\le 4$, ahonnan
$$
\summ_{n=1}^\infty
2^{-2n}\summ_{j=1}^{2^n}E{\xi_j'}^2<4\summ_{l=1}^\infty E|\xi_1|
I(l-1\le |\xi_1|<l)\le 4E|\xi_1|<\infty.
$$
Ezzel a t\'etelt bel\'attuk.
\medskip
A Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg alkalmas arra is, hogy jellemezz\"uk
azt, hogy f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszegei mikor konverg\'alnak egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
El\H{o}sz\"or az al\'abbi viszonylag gyeng\'ebb, de sokszor j\H{o}l
haszn\'alhat\'o eredm\'enyt ismertetem, melyet szoktak
Kolmogorov-f\'ele egy sor t\'etelnek nevezni, (utalva az ut\'ana
ismertetett tartalmasabb Kolmogorov f\'ele h\'arom sor t\'etelre).
\medskip\noindent
{\bf Kolmogorov-f\'ele egy sor t\'etel.} {\it Legyenek
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, melyeknek l\'etezik az $E\xi_k^2<\infty$
m\'asodik momentumai minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra. Ha
$\summ_{k=1}^\infty\Var\xi_k<\infty$, akkor a $\summ_{k=1}^\infty
(\xi_k-E\xi_k)$ sorozat egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al.}
\medskip
A fenti eredm\'eny el\'egs\'eges felt\'etelt ad arra, hogy f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszege mikor konverg\'al
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Az al\'abb ismertett eredm\'eny,
melyet az irodalomban Kolmogorov-f\'ele h\'arom sor t\'etelnek
neveznek, megadja e tulajdons\'ag sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges
felt\'etel\'et.
\medskip\noindent
{\bf Kolmogorov-f\'ele h\'arom sor t\'etel.} {\it Legyenek
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok. R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamely $C>0$ sz\'amot, \'es
defini\'aljuk a $\xi_k'=\xi_kI(\{|\xi_k|<C\})$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat, $k=1,2,\dots$,
ahol $I(\A)$ az $\A$ halmaz indik\'atorf\"uggv\'enye.
A $\summ_{k=1}^\infty \xi_k$ v\'eletlen \"osszeg akkor \'es csak akkor
konvergens egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha a $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H o felt\'eteleket:
\item{{\rm(i)}}  $\summ_{k=1}^\infty P(\xi_k\neq \xi_k')=
\summ_{k=1}^\infty P(|\xi_k|\ge C)<\infty$,
\item{{\rm(ii)}} A $\summ_{k=1}^\infty E\xi_k'$ \"osszeg konvergens.
\item{{\rm(iii)}} $\summ_{k=1}^\infty \text{\rm Var\,} \xi_k'<\infty$.
}
\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es:}\/ Az el\H{o}bb kimondott eredm\'enyek azt
sugallj\'ak, hogy k\"ozvetlen m\'odon be lehet l\'atni az al\'abbi
\'all\'{\i}t\'asokat:
\item{a)} Ha a Kolmogorov-f\'ele h\'arom-sor t\'etel felt\'etelei
teljes\"ulnek valamely $C>0$ sz\'amra, akkor ezek a felt\'etelek
teljes\"ulnek tetsz\H{o}leges $\bar C>0$ sz\'amra.
\item{b.)} Ha a $xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
teljes\'{\i}tik a $\summ_{k=1}^\infty \Var\xi_k<\infty$ \'es
$\summ_{k=1}^\infty E\xi_k<\infty$ felt\'eteleket, akkor
teljes\'{\i}tik a Kolmogorov h\'arom sor t\'etel felt\'eteit is.
\medskip
Ezeket az \'all\'{\i}t\'asokat, melyek k\"ovetkeznek a
Kolmogorov-f\'ele egy sor \'es h\'arom sor t\'etelb\H{o}l, be lehet
bizony\'{\i}tani k\"ozvetlen\"ul is, de ezt most elhagyom.
\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es:}\/ Az el\H{o}z\H{o} k\'et eredm\'enyben annak
 adtuk meg a felt\'etel\'et, hogy f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'aljon. \'Erdemes megjegyezni,
hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik alapvet\H{o}
eredm\'enye, az \'ugynevezett 0--1 t\"orv\'eny, alapj\'an meg lehet
mutatni, hogy f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata vagy 1 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
konvergens vagy 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel divergens. Teh\'at
nem lehets\'eges megadni f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, melyek \"osszegei p\'eld\'aul 1/2
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'alnak \'es 1/2
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel diverg\'alnak. Hasonl\'o
\'all\'{\i}t\'as mondhat\'o f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \'atlagair\'ol.
Csak k\'et eset lehets\'eges. Vagy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
konverg\'alnak egy konstanshoz vagy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
diverg\'alnak (nem konverg\'alnak). Ha marad r\'a id\H{o}, akkor
k\'es\H{o}bb a most eml\'{\i}tett nulla-egy t\"orv\'eny
t\'argyal\'as\'ara is r\'at\'erek.
\medskip\noindent
{\it A Kolmogorov-f\'ele egy-sor t\'etel bizony\'{\i}t\'asa:}\/
El\'eg megmutatni, hogy a t\'etel felt\'eteleinek teljes\"ul\'eseinek
teljes\"ul\'ese eset\'en az
$S_n(\oo)=\summ_{k=1}^n(\xi_k(\oo)-E\xi_k(\oo))$, $n=1,2,\dots$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sorozata egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel Cauchy sorozat. Megmutatatjuk, hogy
elegend\H{o} azt megmutatni, hogy minden $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{n\to\infty}P\(\sup_{k\ge
n}\left|\sum_{j=n}^k(\xi_j-E\xi_j)\right|\ge\e\)=0. \tag+
$$
Val\'oban, defini\'aljuk az
$A(n,\e)=\left\{\oo\:\summ_{k=m}^M(\xi_k(\oo)-E\xi_k(\oo))<2\e,
\text{ ha } M\ge m\ge n\right\}$ halmazokat. Ekkor
$\limm_{n\to\e}P(A(n,\e))=1$, mert
$$
\Omega\setminus A(n,\e)\subset\left\{\oo\:\supp_{k\ge n}
\left|\summ_{j=n}^k(\xi_j(\oo)-E\xi_j(\oo))\right|>\e\right\},
$$
\'es az ut\'obbi esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege null\'ahoz tart.
Tov\'abb\'a az $A(n,\e)$ halmazok r\"ogz\'{\i}tett $\e$ sz\'amra
egym\'asba skatuly\'azott halmazok. Ez\'ert minden $\e>0$-ra az
$\Omega(\e)=\bigcupp_{n=1}^\infty A(n,\e)$ halmazra
$P(\Omega(\e))=1$ \'es minden $\oo\in\Omega(\e)$ elemi esem\'enyre
l\'etezik olyan $n_0=n_0(\oo)$ k\"usz\"obindex, melyre $M\ge m\le n_0$
eset\'en $|S_M(\oo)-S_m(\oo)|<2\e$. Ekkor az $\bar
\Omega=\bigcapp_{l=1}\Omega\(\frac1l\)$ halmazra
$P(\bar\Omega)=1$, \'es minden $\oo\in\bar\Omega$ halmazra az
$S_n(\oo)$, $n=1,2,\dots$ sorozat Cauchy sorozat. Ez\'ert el\'eg
bebizony\'{\i}tani a $(+)$ rel\'aci\'ot.
 
Viszont a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
$$
\align
P\(\sup_{k\ge n}\left|\sum_{j=n}^k(\xi_j-E\xi_j)\right|\ge\e\)
&=\lim_{N\to\infty}P\(\sup_{N\ge k\ge n}
\left|\sum_{j=n}^k(\xi_j(\oo)-E\xi_j(\oo)\right|\ge\e\)\\
&\le\limm_{N\to\infty}\frac{\summ_{j=n}^N\Var\xi_j}{\e^2}
=\frac{\summ_{j=n}^\infty\Var\xi_j}{\e^2}
\endalign
$$
\'es mivel $\limm_{n\to\infty}\summ_{j=n}^\infty\Var\xi_j=0$, innen
k\"ovetkezik a (+) rel\'aci\'o.
\medskip
A Kolmogorov-f\'ele h\'arom sor t\'etelnek itt csak az el\'egs\'eges
r\'esz\'et bizony\'{\i}tom be, a felt\'etelek sz\"uks\'egess\'eg\'enek
bizony\'{\i}t\'as\'at a kieg\'esz\'{\i}t\'esben teszem meg. Ennek az
az oka, hogy egyr\'eszt alkalmaz\'asokban az el\'egs\'egess\'eg a
T\'etel fontos r\'esze, m\'asr\'eszt a sz\"uks\'egess\'eg
t\'argyal\'asa az itteni t\'argyal\'ast\'ol elt\'er\H{o} m\'odszert
ig\'enyel. L\'attuk ugyan\-is, hogyan lehet f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sz\H{o}r\'asn\'egyzeteinek az
ismeret\'eben e v\'altoz\'ok \"osszegeit megbecs\"ulni. De, ha a
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek
a konvergenci\'aj\'ab\'ol a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'esi v\'altoz\'ok
sz\'or\'asn\'egyzeteinek \"osszeg\'ere akarunk
k\"o\-vet\-kez\-tet\-ni, akkor ez \'uj gondolatokat ig\'enyel.
\medskip\noindent
{\it A Kolmogorov-f\'ele h\'arom sor t\'etel el\'egs\'eges r\'esz\'enek
bizony\'{\i}t\'asa.}\/
Azt akarjuk megmutatni, hogy amennyiben a f\"uggetlen $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik az (i), (ii)
\'es (iii) felt\'eteleket, akkor a $\summ_{n=1}^\infty\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konvergensek.
Az egy sor t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz hasonl\'oan l\'athat\'o,
hogy el\'eg bel\'atni azt, hogy tetsz\H{o}leges $\e>0$-ra
$$
\lim_{n\to\infty}P\(\sup_{m\ge n}\left|\sum_{k=n}^m
\xi_k\right|>\e\)\to0.
$$
Vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
P\(\sup_{m\ge n}\left|\sum_{k=n}^m \xi_k\right|>\e\)\le
\sum_{k=n}^\infty P(\xi_k\neq \xi_k')+
P\(\sup_{m\ge n}\left|\sum_{k=n}^m
(\xi_k'-E\xi_k')\right|>\e-\sum_{k=n}^m\xi_k'\)
$$
tov\'abb\'a $\summ_{k=n}^\infty P(\xi_k\neq\xi_k')\to0$ $n\to\infty$
eset\'en (i) miatt \'es
$\summ_{k=n}^mE\xi_k'<\dfrac\e2$ minden $m\ge n$-re ha $n>n(\e)$ (ii)
miatt. V\'eg\"ul a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
$$
P\(\sup_{m\ge n}\left|\sum_{k=n}^m
(\xi_k'-E\xi_k')\right|>\frac\e2\)\le\frac{\summ_{k=n}^\infty
\text{Var}\,\xi_k'}{\e^2}\to0\quad\text{ha }n\to\infty.
$$
a (iii) tulajdons\'ag miatt. Ezekb\H{o}l az
egyenl\H{o}tlens\'egekb\H{o}l k\"ovetkezik a t\'etel
\'all\'{\i}t\'asa.
\medskip
Felid\'ezem a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'er\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etelt annak \'altal\'anos, \'eles form\'aj\'aban. Ennek az
eredm\'enynek is csak az el\'egs\'eges r\'esz\'et fogom itt
bizony\'{\i}tani, a sz\"uks\'egess\'eg bizony\'{\i}t\'as\'at csak
a Kieg\'esz\'{\i}t\'esben adom meg. Egy\'ebk\'ent \'erdemes
megjegyezni, hogy ez a bizony\'{\i}t\'as nagyon hasonl\'o
az el\H{o}z\H{o} \'or\'an t\'argyalt els\H{o} p\'eld\'ahoz.
\medskip\noindent
{\bf A nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et kimond\'o t\'etel \'eles
alakja.} {\it Legyen $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata $F$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'ennyel. Ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok akkor \'es csak
akkor teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok gyen\-ge t\"or\-v\'e\-ny\'et,
azaz a $\dfrac1n\summ_{k=1}^n\xi_k$ \'atlag akkor \'es csak akkor
konverg\'al sztochasztikusan  $n\to\infty$ eset\'eben
egy $a$ sz\'amhoz, $-\infty<a<\infty$, ha
$$
\lim_{x\to\infty}x\[F(-x)+\(1-F(x)\)\]=0, \quad \text{\'es} \quad
\lim_{u\to\infty}\int_{-u}^u xF(\,dx)=a. \tag++
$$
}\medskip
{\it A nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye el\'egs\'eges r\'esz\'enek
bizony\'{\i}t\'asa}\/ Tegy\"uk fel, hogy a $\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $F(x)$ eloszl\'asai
teljes\'{\i}tik a (++) felt\'etelt. Adott $n$-re defini\'aljuk a
$\bar\xi_k=\bar\xi_k^{(n)}=\xi_k I(|\xi_k|\le n)$ \'es
$\bar{\bar\xi}_k=\bar{\bar\xi}_k^{(n)}=\xi_k-\bar\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor
$\dfrac1n\summ_{k=1}^n\xi_k =\dfrac1n\summ_{k=1}^n\bar\xi_k
+\dfrac1n\summ_{k=1}^n\bar{\bar\xi}_k$, ez\'ert elegend\H{o} azt
megmutatni, hogy $\dfrac1n\summ_{k=1}^n\bar\xi_k\Rightarrow a$ \'es
$\dfrac1n\summ_{k=1}^n\bar{\bar\xi}_k\Rightarrow 0$, ahol $\Rightarrow$
sztochasztikus konvergenci\'at jel\"ol. A bizony\'{\i}tand\'o
m\'asodik rel\'aci\'o k\"ovetkezik a (++) felt\'etel els\H{o}
r\'esz\'eb\H{o}l, mert $P\(\dfrac1n\summ_{k=1}^n\bar{\bar\xi}_k\neq0\)
\le\summ_{k=1}^nP(|\xi_k|\ge n)=n\[F(-n)+\(1-F(n)\)\]\to0$, ha
$n\to\infty$. Az els\H{o} rel\'aci\'o a Csebisev
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg\-b\H{o}l k\"ovetkezik, mert minden $\e>0$
sz\'amra
$$
\align
P\(\left|\dfrac1n\summ_{k=1}^n(\bar\xi_k-a)\right|>\e\)&\le
P\(\left|\dfrac1n\summ_{k=1}^n(\bar\xi_k-E\bar\xi_k)\right|>
(\e-|(a-E\bar\xi_1)|\)\\
\le \frac{n\Var\bar\xi_1}{n^2\(\e-|a-E\bar\xi_1|)^2\)},
\endalign
$$
$(\e-|a-E\bar\xi_1|)^2\ge\frac\e2$, ez\'ert a bizony\'{\i}t\'as
befejez\'es\'ehez el\'eg azt megmutatni, hogy
$\limm_{n\to\infty}\dfrac{\Var\bar\xi_1^{(n)}}n=0$. Mivel
$$
\Var\bar\xi_1\le E\bar\xi_1^2=\int_{-n}^n u^2F(\,du)
=\int_{-L}^L u^2F(\,du)+\int_{L\le |u|\le n} u^2F(\,du)
$$
tetsz\H{o}leges $L>0$ sz\'amra, az
utols\'o \"osszeg els\H{o} tagja r\"ogz\'{\i}tett $L$ sz\'amra nem
f\"ugg az $n$ sz\'amt\'ol, ez\'ert elegend\H{o} azt megmutatni, hogy
minden $\e>0$ sz\'amra l\'etezik olyan $L=L(\e)$
sz\'am, hogy $\dsize\frac1n\int_{L}^{n} u^2 F(\,du)\le\e$
\'es $\dsize\frac1n\int_{-n}^{-L}u^2 F(\,du)\le\e$. A (++) formula
els\H{o} rel\'aci\'oja miatt l\'etezik olyan $L=L(\e)$ sz\'am, melyre
$x\ge L$ eset\'en $x(1-F(x))\le\frac\e2$ \'es $xF(-x)\le\frac\e2$.
Ez\'ert parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy ilyen $L$-re
$\dsize\frac1n\int_{L}^{n}u^2 F(\,du)
=\frac{-1}n\int_{L}^{n}u^2\,(d(1-Fu))
=\frac1n\int_{L}^{n} 2u(1-
F(u))\,du-\frac1n\[u^2(1-F(u)\]_L^n \le\frac{\e}n\int_{L}^{n}
1\,du\le\e$. A m\'asik egyenl\H{o}tlens\'eg hasonl\'oan
bizony\'{\i}that\'o.
\medskip
 
 
 
Term\'eszetesen felvet\H{o}dik a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'es:
Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyekre $E\xi_1=0$. Legyen
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$. Ekkor a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'enye szerint a $\dfrac{S_n}n$ \'atlagok sztochasztikusan
tartanak null\'ahoz, a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye szerint
pedig egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel is null\'ahoz tartanak.
Hogyan lehet \'eles\'{\i}teni a nagy sz\'amok gyenge illetve er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et? Pontosabban fogalmazva, milyen $a_n$, $n=1,2,\dots$
sorozatokra mondhatjuk, hogy $\dfrac{S_n}{a_n}$ sztochasztikusan tart
null\'ahoz, ha $n\to\infty$? Milyen $b_n$, $n=1,2,\dots$ sorozatokra
mondhatjuk, hogy $\dfrac{S_n}{b_n}$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
tart null\'ahoz, ha $n\to\infty$? Az egyszer\H{u}s\'eg kedv\'e\'ert
tegy\"uk fel, hogy olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
tekint\"unk, melyeknek van m\'asodik momentumuk.
 
Az els\H{o} k\'erd\'esre a v\'alasz viszonylag egyszer\H{u}
k\"ovetkezm\'enye a centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-nek,
\'es ezt az \'all\'{\i}t\'ast feladat form\'aj\'aban fogalmazom meg. A
m\'asodik k\'erd\'esre a v\'alaszt nehezebb megadni. Ezt a v\'alaszt
azal\'abbi bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul ismertetett
iter\'alt logaritmust\'etel adja meg.
\medskip\noindent
{\it Feladat:}
\medskip\noindent
Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, olyan f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyekre $E\xi_1=0$ \'es
$E\xi_1^2<\infty$. Legyen $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$.
Ekkor pozit\'{\i}v val\'os sz\'amok valamely $a_n$ sorozat\'ara a
$\dfrac{S_n}{a_n}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok akkor \'es
csak akkor tartanak sztochasztikusan null\'ahoz $n\to\infty$ eset\'en,
ha $\limm_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{\sqrt n}=\infty$.
\medskip
V\'eg\"ul megfogalmazom a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
egyik h\'{\i}res eredm\'eny\'et, az \'ugy\-neve\-zett iter\'alt
logaritmus t\'etelt \medskip\noindent
{\bf Iter\'alt logaritmus t\'etel.} {\it Legyenek
$\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok valamilyen $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, melyekre $E\xi_1(\oo)=0$,
$\Var\xi_1(\oo)=\sigma^2<\infty$.
Ekkor
$$
\limsup_{n\to\infty}\frac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}=1, \quad\text{majdnem minden
$\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre,}
$$
\'es
$$
\liminf_{n\to\infty}\frac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}=-1,
\quad\text{majdnem minden $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre.}
$$
}\medskip
\medskip\noindent
{\script Kieg\'esz\'{\i}t\'es:}
\medskip\noindent
{\it A Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg bizony\'{\i}t\'asa:}\/
Defini\'aljuk a
$$
\tau(\omega)=\min \{k\:\; k\le n;\; |S_k(\omega)|\ge x\}
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. ($\tau(\omega)=n$ ha
$S_k(\omega)< x$ minden $k\le n$-re.) Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy
$$
ES_{\tau(\omega)}^2\le ES_n^2\;. \tag a
$$
Az utols\'o egyenl\H{o}tlens\'eg \'es a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg
alapj\'an
$$
P\(\max_{k\le n} |S_k|>x\)=P\(|S_{\tau(\omega)}|>x\)\le \frac
{ES^2_{\tau(\omega)}}{x^2} \le \frac {ES^2_{n}}{x^2}\;,
$$
\'es ez a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg.
 
A k\'{\i}v\'ant egyenl\H{o}tlens\'eg bebizony\'{\i}t\'as\'ahoz vegy\"uk
\'eszre, hogy
$$
\aligned
ES_n^2-ES_{\tau(\omega)}^2&=\sum_{k=1}^n
E(S_n-S_k)(S_n-S_k+2S_k)I(\{\tau(\omega)=k\})\\
&=\sum_{k=1}^n E(S_n-S_k)^2I(\{\tau(\omega)=k\})
+2\sum_{k=1}^n E(S_n-S_k)S_kI(\{\tau(\omega)=k\})\;.
\endaligned \tag b
$$
Mivel az $S_n-S_k$ \'es $S_kI(\{\tau(\omega)=k\})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, (az $S_n-S_k$
a $\xi_l$, $l=k+1,\dots,n$, az  $S_kI(\{\tau(\omega)=k\})$ az $\xi_l$,
$l=1,\dots,k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okt\'ol f\"ugg,)
\'es $E(S_n-S_k)=0$, ez\'ert
$$
E(S_n-S_k)S_kI(\{\tau(\omega)=k\})=
E(S_n-S_k)ES_kI(\{\tau(\omega)=k\})=0\;.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy az (b) azonoss\'ag jobboldal\'anak a
m\'asodik tagja nulla. Mivel az els\H{o} tag egy nem negat\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o  \'ert\'eke, ez\'ert
az (b) azonoss\'agb\'ol k\"ovetkezik az (a) rel\'aci\'o. \'Igy
bebizony\'{\i}tottuk a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eget.
\medskip\noindent
{\it A h\'arom sor t\'etel sz\"uks\'eges fel\'enek
bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Ha a $\summ_{k=1}^\infty \xi_k(\oo)$ \"osszeg
egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel konvergens, akkor a
$|\xi_k(\oo)|>C$ esem\'eny csak v\'eges sok $k$ indexre teljes\"ul.
Ezenk\'{\i}v\"ul ezek az esem\'enyek k\"ul\"onb\"oz\H{o} $k$ indexre
f\"uggetlenek, ez\'ert, ha az al\'abbi sorozat konverg\'al, akkor a
Borel--Cantelli lemma alapj\'an $\summ_{k=1}^\infty
P(|\xi_k|>C)<\infty$, azaz az (i) tulajdons\'ag teljes\"ul.
Tov\'abb\'a a Borel-Cantelli lemma m\'asik fele alapj\'an a
$\summ_{k=1}^\infty(\xi_k(\oo)-\xi_k'(\oo))$ \'{\i}gy a
$\summ_{k=1}^\infty\xi_k'(\oo))$ \"osszeg is egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konvergens, ahol
$\xi_k'(\oo)=\xi_k(\oo)I(|\xi_k(\oo)|<C)$. A bizony\'{\i}t\'as
k\"ovetkez\H{o} l\'ep\'es\'eben egy m\'as probl\'em\'ak
megold\'as\'aban is hasznos m\'odszert, az un. szimmetriz\'al\'ast
alkalmazzuk. Legyen $\xi_k''$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, melyek a $\xi_k'$
sorozatt\'ol is f\"uggetlenek, \'es $\xi_k''$ ugyanolyan eloszl\'as\'u
mint a $\xi'_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Legyen $\tilde
\xi_k=\xi_k'-\xi_k''$. Ekkor $\tilde \xi_k$ f\"uggetlen szimmetrikus,
azaz olyan eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
sorozata, melyekre $P(\tilde\xi_k>x)=P(\tilde\xi_k-<x)$ minden $x$
sz\'amra, \'es a $\summ_{k=1}^\infty\tilde\xi_k$ sorozat egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konvergens. Be fogjuk l\'atni az
al\'abbi lemm\'at.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Ha $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen szimmetrikus
eloszl\'as\'u, korl\'atos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok,
azaz olyanok, melyekhez l\'etezik olyan $K>0$ sz\'am, hogy
$P(|\xi_k|\le K)$ minden $k=1,2,\dots$ indexre, \'es a
$\summ_{k=1}^\infty\xi_k(\oo)$ \"osszegek egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'alnak, ak\-kor
$\summ_{k=1}^\infty\Var\xi_k<\infty$.}
\medskip\noindent
El\H{o}sz\"or megmutatjuk az \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'at
e Lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel. E lemma alapj\'an tudjuk, hogy
$\summ_{k=1}^\infty\text{Var}\,\tilde\xi_k<\infty$,
\'es mivel $\text{Var}\,\tilde\xi_k=2\text{Var}\,\xi_k'$ innen
k\"ovetkezik a (iii) tulajdons\'ag. A $\xi_k'-E\xi_k'$ sorozat
teljes\'{\i}ti  a h\'arom sor t\'etel mindh\'arom felt\'etel\'et.
Ez\'ert e t\'etelnek a m\'ar bizony\'{\i}tott el\'egs\'eges fel\'et
felhaszn\'alva azt kapjuk, hogy a $\summ_{k=1}^\infty
(\xi_k'-E\xi_k')$ \'es $\summ_{k=1}^\infty E\xi_k'=
\summ_{k=1}^\infty \xi_k'-\summ_{k=1}^\infty  (\xi_k'-E\xi_k')$
\"osszegek konvergensek egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Ez\'ert a
(ii) tulajdons\'ag is teljes\"ul.
\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Jel\"olje a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et
$F(x)$, \'es karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et $\varphi_k(t)$.
El\H{o}sz\"or azt mutatjuk meg, hogy el\'eg kis $t$ indexre a
$\summ_{k=1}^\infty(1-\varphi_k(t)$ rel\'aci\'o teljes\"ul, s\H{o}t
a tekintett \"osszeg abszolult konvergens. Val\'oban a
$\summ_{k=1}^\infty\xi_k(\oo)$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
val\'o konvergenci\'aj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy e v\'eletlen
\"osszegek eloszl\'asban is konverg\'alnak, ez\'ert a
$\prodd_{k=1}^n\varphi_k(t)$ f\"uggv\'enyek konverg\'alnak egy
folytonos $\varphi(t)$ f\"uggv\'enyhez. A $\varphi_k(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyek a $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok szimmetrikus eloszl\'asa miatt val\'os \'ert\'ek\H{u}ek,
1-n\'el kisebbek, \'es logaritmust v\'eve kapjuk, hogy a
$\summ_{k=1}^\infty\log\varphi(t)$ abszolut konvergens kis $t$
sz\'amra, \'es az \"osszeg kisebb, mint $\e$. (Azt
haszn\'aljuk itt ki, hogy a $\varphi(t)$ hat\'arf\"uggv\'eny a
null\'aban folytonos, \'es $\varphi(0)=1$. Tekintve a $\log(1+x)$
f\"uggv\'eny Taylor sor\'at nulla kis k\"ornyezet\'eben
$x=1-\varphi_k(t)$ v\'alaszt\'assal kapjuk, hogy $1-\varphi_k(t)\le
-2\log\varphi(t)$ el\'eg kis $t$-re minden $k$
indexre, \'es $\summ_{k=1}^\infty[1-\varphi_k(t))<\infty$, amint
\'all\'{\i}tottuk.
 
Legyen $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
amelyikre $P(|\xi|\le K)=1$, \'es jel\"olje $\varphi(t)$ $\xi$
karakterisztikus $F(x)$ az eloszl\'as f\"uggv\'eny\'et. Azt
\'all\'{\i}tjuk,  hogy ha $t>0$ olyan sz\'am, melyre $tK\le 1$,
akkor $\frac {t^2}4\Var\xi\le \Re\Var\varphi(t)$. Val\'oban
ekkor
$$
\Re\(1-\varphi(t)\)=\int_{-\infty}^\infty (1-\cos tx)F(\,dx)
\ge\int_{-\infty}^\infty \frac{t^2x^2}4
F(\,dx)=\frac{t^2}4E\xi^2
\ge\frac{t^2}4\Var\xi,
$$
mivel $|tx|\le |tK|\le 1$ eset\'en $1-\cos tx>\dfrac {(tx)^2}4$.
 
A fenti k\'et \'all\'{\i}t\'asb\'ol k\"ovetkezik, hogy eset\"unkben
$\summ_{k=1}^\infty \Var\xi_k\le \dfrac4t\summ_{k=1}^\infty
(1-\varphi(t))<\infty$ egy el\'eg kis $t>0$ sz\'ammal.
\medskip\noindent
{\it A gyenge konvergenci\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel sz\"uks\'eges
fel\'enek a bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a
bizony\'{\i}t\'as\'at kev\'esb\'e r\'eszletesen \'{\i}rom le. Az
egyszer\H{u}s\'eg kedv\'e\'ert felteszem, hogy a limesz $a=0$, mert az
\'altal\'anos eset erre visszavezethet\H{o}, ha az eredm\'enyt a
$\bar\xi_k=\xi_k-a$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra
alkalmazzuk. El\H{o}sz\"or azt mutatjuk meg, hogy abb\'ol, hogy a
$xi_k$ f\"uggetlen, egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'atlagai sztochasztikusan konverg\'alnak null\'ahoz k\"ovetkezik,
hogy e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\varphi(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyei a null\'aban deriv\'alhat\'oak, \'es
deriv\'altjuk null\'aval egyenl\H{o}. (Val\'oj\'aban a k\'et
\'all\'{\i}t\'as ekvivalens egym\'assal.)
 
Val\'oban, az, hogy ezek az \'atlagok sztochasztikusan konverg\'alnak
null\'ahoz, ekvivalens azzal, hogy eloszl\'asban konverg\'alnak
null\'ahoz, ami a karakterisztikus f\"uggv\'enyek nyelv\'en azt
jelenti, hogy $\limm_{n\to\infty}\varphi\(\frac tn\)\to1$, \'es ez a
konvergencia minden v\'eges intervallumban egyenletes. Logaritmust
v\'eve azt kapjuk, hogy $\limm_{n\to\infty}n\log\varphi\(\frac tn\)=1$
minden val\'os $t$ sz\'amra, \'es a konvergencia egyenletes. V\'eve a
$\log(1+z)=1-z+O(z^2)$ k\"ozel\'{\i}t\'est
$z=\log\varphi\(\frac tn\)-1$ v\'alaszt\'assal azt kapjuk, hogy
$\limm_{n\to\infty}n\(\varphi\(\frac tn\)-1\)=0$, \'es a becsl\'es
egyenletes minden v\'eges intervallumon. Innen k\"ovetkezik, hogy a
karakterisztikus f\"uggv\'eny null\'aban konvergens, \'es a
deriv\'altja nulla.
 
Abb\'ol, hogy a deriv\'alt (val\'os r\'esze) nulla, k\"ovetkezik, hogy
tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra $|\Re[1-\varphi(u)]|<\frac\e x$, ha
$u<\dfrac1x$ \'es $x>x(\e)$. Ez\'ert el\'eg nagy $x$-re
$$ \allowdisplaybreaks
\align
\e&>x^2\int_0^{1/x}\Re[1-\varphi(u)]\,du=\int_0^{1/x}
\int_{-\infty}^\infty x^2(1-\cos ut)F(d\,u)\,dt \\
&=\int_{-\infty}^\infty \int_0^{1/x}
x^2(1-\cos ut)\,dtF(d\,u)
=\int_{-\infty}^\infty \(x-\frac{x^2\sin\frac ux}u\)F(\,du)\\
&\ge\frac x2\int_{\{|t|>2x\}}F(\,du)=\frac
x2\[(1-F(2x))+F(-2x)\].
\endalign
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy $\limm_{x\to\infty}x[(1-F(x)+F(-x)]=0$.
 
Viszont, ha ellen\H{o}rizz\"uk a t\'etel el\'egs\'egess\'eg
r\'esz\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'at, akkor l\'at\-hat\-juk, hogy
ott els\H{o}sorban ezt a felt\'etelt haszn\'altuk, \'es ez a
felt\'etel \"onmag\'aban elegend\H{o} annak a bizony\'{\i}t\'as\'ahoz,
hogy a $\dfrac1n\summ_{k=1}^n\summ_{k=1}^n\(\xi_k-\int{-n}^n u
F(\,du)\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok null\'ahoz
konverg\'aljanak. Ez viszont azt jelenti, hogy az \'atlagok  csak
akkor kon\-ver\-g\'al\-hat\-nak egy $a$ sz\'amhoz, ha
$a=\limm_{n\to\infty}\int{-n}^n u F(\,du)$, \'es ezt kellett
bel\'atni.
 
 
 \bye
 
 
