\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2.5pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\minn{\min\limits}
\define\maxx{\max\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script=cmcsc10
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II.
el\H{o}ad\'assorozat t\'{\i}zenegyedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2002. november 26.}
\medskip
\centerline{\bf A nagy sz\'amok t\"orv\'eny\'er\H{o}l. Els\H{o} r\'esz.}
\medskip\noindent
Ezen el\H{o}ad\'as t\'em\'aja a nagy sz\'amok (er\H{o}s \'es gyenge)
t\"orv\'enye. Ez a matematikai eredm\'eny olyan jelens\'egeket
k\'{\i}v\'an megmagyar\'azni, mint p\'eld\'aul az a tapasztalati t\'eny,
hogy minden \'evben a sz\"uletend\H{o} gyerekek k\"or\"ulbel\"ul fele
fi\'u \'es fele l\'any. Ezt \'es hasonl\'o jelens\'egeket azzal
magyar\'aznak, hogy a sok f\"uggetlen hat\'as (az egyes
sz\"uletend\H{o} gyerek neme) kiegyenl\'{\i}ti egym\'ast, \'es azok
\'atlaga l\'enyeg\'eben nem f\"ugg az egyes v\'eletlen hat\'asokt\'ol,
hanem egy (determinisztikus) sz\'amhoz konverg\'al. C\'elunk ennek az
\'al\-l\'{\i}\-t\'as\-nak pontos megfogalmaz\'asa \'es
bebizony\'{\i}t\'asa. Azt fogjuk megmutatni, hogy f\"uggetlen \'es
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'atlaga  nagyon \'altal\'anos felt\'etelek eset\'en egy
(determinisztikus) konstanshoz konverg\'al. A ,,nagyon \'altal\'anos
felt\'etelek eset\'en'' kit\'etel jelen esetben azt jelenti, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye nagyon \'altal\'anos
csal\'adb\'ol sz\'armazhat. \'Altal\'aban az a sz\'am, amelyikhez a
f\"uggetlen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok
\'atlagai konverg\'alnak az \'atlagban szerepl\H{o}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok v\'ar\-ha\-t\'o
\'er\-t\'e\-kei. De mivel olyan esetet is t\'argyalni k\'{\i}v\'anunk,
amikor ez a v\'arhat\'o \'ert\'ek nem l\'etezik, ez\'ert nem mondjuk
azt, hogy a tekintett va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok \'atlag\'anak a limesze e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'eke. (Mint a vizsg\'alatokb\'ol ki fog
der\"ulni a tipikus esetekben, amikor a v\'arhat\'o \'ert\'ek
l\'etezik, akkor a hat\'ar\'ert\'ek v\'arakoz\'asainknak
meg\-fe\-le\-l\H{o}\-en ez a sz\'am.)
 
Ahhoz, hogy vizsg\'alatainkat elkezdj\"uk, el\H{o}sz\"or tiszt\'azni
kell, mit \'ert\"unk azon, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'atlaga konverg\'al. Ez a fogalom magyar\'azatra
szorul, mivel a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\'on \'ertelmezett f\"uggv\'enyek,
\'es f\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'anek t\"obb k\"ul\"onb\"oz\H{o}
lehets\'eges definici\'oja van.
 
Jelen kontextusban k\'et olyan kit\"untetett konvergencia fogalom
van, amelyiket \'er\-de\-mes t\'argyalni. Ezek egyike az egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel val\'o konvergencia, a m\'asik pedig
a sztochasztikus konvergencia. Mind a k\'et konvergenciafogalom
szerinti konvergenci\'at vizsg\'alni fogjuk. A k\'et
konvergenciafogalom nem esik egybe, \'es ez az oka annak, hogy
besz\'el\"unk a nagy sz\'amok gyenge \'es er\H{o}s
t\"orv\'eny\'er\H{o}l is. Mint l\'atni fogjuk, a k\'et
k\"ul\"onb\"oz\H{o} t\"orv\'eny k\"oz\"ott az a k\"ul\"onbs\'eg,
hogy az \'atlag egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vagy sztochasztikus
konvergenci\'aj\'at vizsg\'aljuk.
 
Ahhoz, hogy ezt a programot v\'egrehajthassuk, el\H{o}sz\"or meg
kell adnunk a sz\"uks\'eges konvergencia definici\'okat \'es meg
kell besz\'eln\"unk kapcsolatukat egym\'assal. Felid\'ezem az
eloszl\'asban val\'o konvergencia fogalm\'at is, annak \'erdek\'eben,
hogy ezt is \"ossze\-ha\-son\-l\'{\i}t\-has\-suk a fenti k\'et
konvergenciafogalommal.
\medskip\noindent
{\bf Az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergencia
definici\'oja:}  {\it Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozata akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha (egyr\'eszt ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak defini\'alva,
m\'asr\'eszt)
$$
P\(\oo\: \lim_{n\to\infty}\xi_n(\oo)=\xi(\oo)\)=1.
$$
}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
konvergencia fogalm\'at a m\'ert\'ek\-elm\'e\-let\-ben is
hasz\-n\'al\-j\'ak, de ott azt majdnem minden\"utt val\'o
konvergenci\'anak is h\'{\i}vj\'ak. (Az angol nyelv\H{u} irodalomban
az almost sure convegence, almost everywhere convergence vagy
convergence with probability one kifejez\'esek haszn\'alatosak.)
\medskip\noindent
{\bf A sztochasztikus konvergencia definici\'oja:}  {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor konverg\'al sztochasztikusan egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha (egyr\'eszt ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak
de\-fi\-ni\-\'al\-va, m\'asr\'eszt) minden $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{n\to\infty} P\(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|>\e\)=0.
$$
}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} A m\'ert\'ekelm\'eletben el\H{o}fordul\'o
kifejez\'esek k\"oz\"ul a m\'ert\'ekben val\'o konvergencia felel
meg ennek a fogalomnak. Az egyetlen apr\'o k\"ul\"onbs\'eg a
m\'ert\'ekelm\'elet \'es val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
sz\'ohaszn\'alata k\"oz\"ott abban vam, hogy a m\'ert\'ekelm\'eletben
nem csak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi (azaz egyre norm\'alt
m\'ert\'ekeket tekintenek).
\medskip\noindent
{\bf Az eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oja:}  {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez vagy az
ezen el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny \'altal meghat\'arozott
el\-osz\-l\'as\-hoz, ha $\limm_{n\to\infty}P(\xi_n<u)=F(u)$
{\rm minden olyan $u$ sz\'amra, ahol az $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny f\"uggv\'eny folytonos.} (Azt mondjuk, hogy
a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata eloszl\'asban konverg\'al egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha ez a sorozat
eloszl\'asban konverg\'al az $F(u)=P(\xi<u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez.)}
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} kapcsolat \'erv\'enyes a fenti
konvergenciafogalmak k\"oz\"ott.
\medskip
Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi konvergencia $\Rightarrow$
Sztochasztikus konvergencia $\Rightarrow$
Eloszl\'asban val\'o konvergencia.
 
El\H{o}sz\"or megt\'argyalom az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi \'es
sztochasztikus konvergencia kapcsolat\'at.
 
Ha $\xi_n(\oo)\to\xi(\oo)$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,
akkor defini\'alva az
$$
A_n=A_n(\e)=\left\{\oo\:\supp_{k\ge n}|\xi_k(\oo)-\xi(\oo)|<\e\right\}
$$
halmazokat kapjuk, hogy az egym\'asba skatuly\'azott $A_n$ halmazokra,
(azaz $A_1(\oo)\subset A_2\subset\cdots$), $P\(\bigcupp_{n=1}^\infty
A_n\)=1$. Ez\'ert $\limm_{n\to\infty}P(A_n)=1$. Mivel
$\{\oo\:|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|<\e\} \supset A_n$,
$P(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|<\e)\to1$, azaz
$P(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|\ge\e)\to0$, ha $n\to\infty$. Ez azt jelenti,
hogy az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergenci\'ab\'ol
k\"ovetkezik a sztochasztikus konvergencia.
\medskip
Megfogalmazom az al\'abbi \'all\'{\i}t\'ast, melyet nem neh\'ez
bebizony\'{\i}tani. De mivel nem lesz r\'a k\'es\H{o}bb
sz\"uks\'eg\"unk, az\'ert elhagyom a bizony\'{\i}t\'ast.
\medskip\noindent
{\bf \'All\'{\i}t\'as:} {\it  Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozata, akkor \'es csak akkor konverg\'al
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha az $\eta_n=\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata sztochasztikusan
konverg\'al null\'ahoz, azaz minden $\e>0$ sz\'amra
$$
\limm_{n\to\infty}P\(\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|>\e\)=0.
$$
}\medskip
L\'assunk p\'eld\'at arra, hogy lehets\'eges olyan $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, \'es $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
konstru\'alni, melyekre a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
sztochasztikusan tart $\xi$-hez, de a  $\xi_n$ sorozat nem
konverg\'al egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.
 
Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t: $\Omega$ a $[0,1]$ intervallum,
$\Cal A$ a Borel m\'erhet\H{o} halmazok $\sigma$-algebr\'aja a $[0,1]$
intervallumon, a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek a Lebesgue
m\'ert\'ek. Legyen
$$
\aligned
\xi_n(x)&=\left\{
\aligned
&1\quad\text{ha }x\in\[(n-2^k)2^{-k},(n+1-2^k)2^{-k}\]\\
&0\quad\text{ha }x\notin\[(n-2^k)2^{-k},(n+1-2^k)2^{-k}\]
\endaligned \right.  \\
&\qquad\qquad\qquad \text{akkor ha } 2^k\le n<2^{k+1},\quad
k=1,2,\dots,
\endaligned
$$
\'es $\xi(x)=0$ minden $0\le x\le 1$ sz\'amra. Ekkor
$P(|\xi_n-\xi|>\e)=2^{-k}$ minden $1>\e>0$ sz\'amra, ha $2^k\le
n<2^{k+1}$. Teh\'at a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
sztochasztikusan konverg\'al a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz. Viszont mivel $\limsupp_{n\to\infty}\xi_n(x)=1$
minden $0\le x\le 1$ sz\'amra, ez\'ert a $\xi_n$ sorozat nem
konverg\'al egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.
 
M\'asr\'eszt a Borel-Cantelli lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
amennyiben minden $\e>0$ sz\'amra $\summ_{n=1}^\infty
P(|\xi_n-\xi|>\e)<\infty$, akkor a $\xi_n$ sorozat egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz. Mi\'ert?
 
A sztochasztikus konvergencia \'es eloszl\'aban val\'o konvergencia
k\"oz\"otti kapcsolatra \'erv\'enyesek a k\"ovetkez\H{o}
\'all\'{\i}t\'asok.
\medskip\noindent
{\bf 1. \'Alll\'{\i}t\'as:} {\it Ha $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sztochasztikusan konverg\'alnak egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, akkor a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban is
konverg\'alnak ehhez a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz.}
\medskip\noindent
{\it Indokl\'as:}\/ Legyen $x$ folytonoss\'agi pontja a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(\cdot)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek, \'es r\"ogz\'{\i}tve egy
$\e>0$ sz\'amot v\'alasszunk olyan $\delta=\delta(\e)>0$ sz\'amot,
melyre $F(x)-\frac\e2\le F(x-\delta)\le F(x+\delta)<F(x)+\frac\e2$.
Ezut\'an v\'alasszunk olyan $n_0=n_0(\e,\delta)$ sz\'amot, melyre
$P(|\xi_n-\xi|\ge\delta) <\frac\e2$. Ekkor
$P(\xi_n<x)<P(\xi<x+\delta)+P(|\xi_n-\xi|\ge\delta)
\le F(x+\delta)+\frac\e2\le F(x)+\e$. M\'asr\'eszt
$P(\xi_n>x)<P(\xi>x-\delta)+P(|\xi_n-\xi|\ge\delta)\le
1-F(x-\delta)+\frac\e2\le1-F(x)+\e$, ha $n\ge n_0$. Innen $F(x)-\e
\le P(\xi_n<x)\le F(x)+\e$ $n\ge n_0$ eset\'en. Mivel minden $\e>0$
eset\'en \'erv\'enyes egy ilyen becsl\'es, innen k\"ovetkezik a
megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as.
\medskip
Term\'eszetesen lehets\'eges, hogy $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata eloszl\'asban konverg\'aljon egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, de sztochasztikusan ne
konverg\'aljon. Erre p\'elda az az eset, ha a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es azonos
eloszl\'as\'uak. Ekkor az eloazl\'asban val\'o konvergencia
ny\'{\i}lv\'an teljes\"ul, de ha a $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asa nem elfajult, azaz a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem egyenl\H{o}ek egy
konstanssal egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, akkor e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem konverg\'alnak
sztochasztikusan. Viszont abban az esetben, ha a limesz konstans
akkor igaz a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as:
\medskip\noindent
{\bf 2. \'All\'{\i}t\'as:} {\it Ha $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak egy $a$ konstanshoz, (azaz
egy  olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, mely egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az $a$ konstanst veszi fel, akkor a
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat sztochasztikusan is konverg\'al
ehhez az $a$ konstanshoz.}
\medskip\noindent
{\it Indokl\'as:}\/ A hat\'ar val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye az az $F(x)$ eloszl\'as, melyre $F(x)=0$, ha
$x\le a$, \'es $F(x)=1$ ha $x>a$. Ennek a f\"uggv\'enynek az $x=a$
pontot kiv\'eve minden pontja folytonoss\'agi pontja. Ez\'ert minden
$\e>0$ sz\'amra $\limm_{n\to\infty}P(\xi_n<x+\e)=1$,
$\limm_{n\to\infty}P(\xi_n<x-\e)=0$. Innen k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}P(|\xi_n-\xi|<\e)=
\limm_{n\to\infty}P(|\xi_n-a|<\e)=\limm_{n\to\infty}\(P(\xi_n<x+\e)
-P(\xi_n<x-\e)\)=1$. Innen k\"ovetkezik a 2.~\'All\'{\i}t\'as.
\medskip
Ezut\'an megfogalmazom a nagy sz\'amok gyenge \'es er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et.
\medskip\noindent
{\bf Nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"ug\-get\-len, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$,
$k=1,2,\dots$. Azt mondjuk, hogy ezek a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et, ha l\'etezik olyan $E$ sz\'am,
melyre teljes\"ul, hogy az $\dfrac{S_n}n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sztochasztikusan
konverg\'alnak az $E$ sz\'am\-hoz, azaz ahhoz a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, mely egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az $E$ konstanssal egyenl\H{o}.}
\medskip\noindent
{\bf Nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"ug\-get\-len, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$,
$k=1,2,\dots$. Azt mondjuk, hogy ezek a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a nagy
sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et, ha l\'etezik olyan $E$ sz\'am,
melyre teljes\"ul, hogy az $\dfrac{S_n}n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'alnak az $E$ sz\'am\-hoz,
azaz ahhoz a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, mely egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az $E$ konstanssal egyenl\H{o}.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ \'Altal\'aban a nagy sz\'amok gyenge \'es
er\H{o}s t\"orv\'enye az $E=E\xi_1$ sz\'ammal teljes\"ul. S\H{o}t,
mint l\'atni fogjuk a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye mindig
ezzel a konstanssal teljes\"ul. De a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'enye teljes\"ulhet olyan esetben is, amikor a  $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak nincs v\'arhat\'o
\'ert\'eke. A fenti definici\'ot az\'ert fogalmaztuk meg a fenti
m\'odon, hogy a lehet\H{o} leg\'altal\'anosabb felt\'etelek mellett
fogalmazhassuk meg a nagy sz\'amok t\"orv\'eny\'et.
\medskip
El\H{o}sz\"or bebizony\'{\i}tjuk a nagy sz\'amok gyenge \'es er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et bizony\'{\i}t\'as\'at alkalmas felt\'etelek mellett.
Ezeknek az eredm\'enyeknek a bizony\'{\i}t\'asa egyszer\H{u}, viszont
ezek megfogalmaz\'as\'aban m\'eg nem t\"oreksz\"unk a lehet\H{o}
leg\'altal\'anosabb eredm\'eny bizony\'{\i}t\'as\'ara. A nagy sz\'amok
gyenge t\"orv\'enye egyszer\H{u}en bebizony\'{\i}that\'o a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel, melyet felid\'ezek.
\medskip\noindent
{\bf Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg:} {\it Ha a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o m\'asodik momentuma
$E\xi^2=m_2$, akkor tetsz\H{o}leges $x>0$ sz\'amra
$$
P(|\xi|>x)\le \dfrac{m_2}{x^2}.
$$
Innen k\"ovetkezik, ha ezt az egyenl\H{o}tlens\'eget a
$\bar\xi=\xi-E\xi$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora
al\-kal\-maz\-zuk, hogy
$$
P(|\xi-E\xi|>x)\le \frac{\text{\rm Var}\,\xi}{x^2},
$$
}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg a Markov
egyenl\H{o}tlens\'eg k\"ovetkezm\'enye, mely szerint $P(|\xi|>x)\le
\dfrac {E|\xi|}x$. Alkalmazva ezt az \'all\'{\i}t\'ast a $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora kapjuk a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eget. Hasonl\'o m\'odon, alkalmazva a Markov
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-get a $\xi^{2k}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ora, ahol $k$ tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am,
$x>0$, kapjuk, hogy $P(|\xi|>x)\le\dfrac{E\xi^{2k}}{x^{2k}}$
\medskip\noindent
{\bf T\'etel a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'er\H{o}l.} {\it
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"ug\-get\-len, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, melyekre teljes\"ul
az $E\xi_1^2<\infty$ tulajdons\'ag. Ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et
az $E=E\xi_1$ konstanssal.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:} Az adott felt\'etelek mellett
$$
P\(\left|\frac1n\summ_{j=1}^n \xi_j-E\xi_1\right|>\e\)
\le\frac{\Var\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)}{n^2\e^2}
=\frac{\Var\xi_1}{n\e^2}
$$
minden $\e>0$ sz\'amra, mert $\Var\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)
=\summ_{j=1}^n\Var\xi_j=n\Var\xi_1$. Mivel
$\limm_{n\to\infty}\dfrac{\Var\xi_1}{n\e^2}=0$, innen k\"ovetkezik
a T\'etel \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'at
ki lehetett volna olvasni a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-b\H{o}l
is. Val\'oban a t\'etel felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en
teljes\"ulnek a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel felt\'etelei,
ez\'ert tetsz\H{o}leges kis $\e>0$ \'es nagy $K>0$ sz\'amra
fel\'{\i}rhatjuk $n\ge n_0=n_0(\e,K)$ eset\'eben, hogy
$$
P\(\left|\frac1n\summ_{j=1}^n \xi_j-E\xi_1\right|>\e\)
\le P\(\left|\frac1{\sqrt n}\summ_{j=1}^n \xi_j-E\xi_1\right|>K\)
\le 3(1-\Phi(K)),
$$
ahol $\Phi(\cdot)$ a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'enyt
jel\"oli. A jobboldal viszont tetsz\H{o}legesen kicsiv\'e tehet\H{o} a
$K$ konstans alkalmas megv\'alaszt\'as\'aval. \'Erdemes \'eszrevenni,
hogy a nagy sz\'amok gyenge \'es mint l\'atni fogjuk a nagy sz\'amok
er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'asa is azon m\'ulik,
hogy olyan j\'o egyenl\H{o}tlens\'egeket kell bizony\'{\i}tunk, melyek
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeinek a
viselked\'es\'et \'{\i}rj\'ak le.
\medskip\noindent
Megmutatom, hogyan lehet a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'enek
fenti, a Csebisev egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-gen
alapul\'o bizony\'{\i}t\'as\'at finom\'{\i}tva a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et is bebizony\'{\i}tani alkalmas felt\'etelek mellett.
Az al\'abbi \'ervel\'esben val\'oj\'aban a t\'etel
bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben a sz\"uks\'egesn\'el sokkal
er\H{o}sebb kik\"ot\'eseket teszek.
 
\medskip
A nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et \'ugy bizony\'{\i}tottuk be,
hogy megvizsg\'altuk milyen becsl\'est ad a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere,
hogy f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'atlaga legal\'abb $\e$-nal elt\'er e v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l. Id\'ezz\"uk fel ezt a sz\'amol\'ast,
illetve ezzel p\'arhuzamosan vizsg\'aljuk meg azt is, milyen
becsl\'est kapunk, ha tov\'abbra is azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot vizsg\'aljuk, melyet \'ugy kapunk, hogy f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'atlaga minusz azok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et vessz\"uk, de most
ennek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak nemcsak a m\'asodik
momentum\'at sz\'amoljuk ki, mint tett\"uk a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg alkalmaz\'as\'aban, ha\-nem a negyediket is.
L\'atni fogjuk, hogy ekkor \'erdekes \'uj eredm\'enyeket kapunk.
 
Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'eseket. Legyenek
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma el\-osz\-l\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$. Tegy\"uk fel, hogy $E\xi_1=0$, \'es
vizsg\'aljuk az
$$
E\(\frac{S_n}n\)^2,\quad E\(\frac{S_n}n\)^4\quad\text{\'es}\quad
P\(\frac{|S_n|}n>\e\)=P\(\left|\frac{S_n}n-E\xi_1\right|>\e\),\; \e>0
$$
kifejez\'eseket. Az utols\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
vizsg\'alat\'aban nem jelent megszor\'{\i}t\'ast az $E\xi_1=0$
felt\'etel, mert a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
a $\xi_j-E\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal
he\-lyet\-te\-s\'{\i}t\-ve az \'altal\'anos esetet erre a speci\'alis
esetre reduk\'alhatjuk.
$$
\text{Var}\,\frac{S_n}n=\frac1{n^2}\text{Var}\,{S_n}=
\frac n{n^2}\text{Var}\,\xi_1=
\frac 1n\text{Var}\,\xi_1,\quad
P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)\le\frac {\text{Var}\,\xi_1}{n\e^2}.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)=0$,
teh\'at \'erv\'enyes a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye.
$$
E\(\frac{S_n}n\)^4=\frac1{n^4}E(\xi_1+\cdots+\xi_n)^4,
$$
$$ \allowdisplaybreaks
\align
E(\xi_1+\cdots+\xi_n)^4&=\sum_{k=1}^n E\xi_k^4+6\sum_{1\le j<k\le
n} E\xi_j^2 E\xi_k^2
+4\sum\Sb 1\le j,k\le
n\\ j\neq k\endSb \underbrace{E\xi_j^3E\xi_k}_{=0} \\
&\qquad+12\sum\Sb 1\le k<l\le n\, 1\le j\le n\\j\neq k,\, j\neq l\endSb
 \underbrace{E\xi_j^2E\xi_kE\xi_l}_{=0} \\
&\qquad +24\sum_{1\le j,k,l,m\le n}
\underbrace{E\xi_jE\xi_kE\xi_lE\xi_m}_{=0} \\
&=n E\xi_1^4+3n(n-1) (E\xi_1^2)^2,
\endalign
$$
ez\'ert
$$
P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)\le\frac{\frac1n
E\xi_1^4+3\(1-\frac1n)(E\xi_1)^2\)}{n^2\e^4}\le \frac{\const}{n^2\e^4}.
$$
De a fenti becsl\'es csak akkor \'erv\'enyes, ha $E\xi_1^4<\infty$.
Ebb\H{o}l a becsl\'esb\H{o} k\"ovetkezik, hogy
$\summ_{n=1}^\infty P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)<\infty$ minden
$\e>0$ sz\'amra, \'es a Borel--Cantelli lemma (k\"onnyebbik
fel\'eb\H{o}l) k\"ovetkezik, hogy minden $\e>0$ sz\'amra \'es majdnem
minden $\oo\in\Omega$ pontban teljes\"ul, hogy
$\left|\dfrac{S_n(\oo)}n\right|\le \e$, ha $n\ge
n_0(\oo)$. Alkalmazva ezt a rel\'aci\'ot minden $\e=\frac1k$ sz\'amra
$k=1,2,\dots$, kapjuk a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et,
melyet az al\'abbi t\'etelben fogalmazunk meg.
\medskip\noindent
{\bf A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel
{\it gyenge form\'aja}\/:} {\it Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots,$
f\"uggetlen egyforma eloszl\'aa\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, melyekre teljes\"ul az
$E\xi_1^4<\infty$ felt\'etel, \'es vezess\"uk be az
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat. Ekkor az $\dfrac{S_n(\oo)}n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok majdnem minden
$\oo\in\Omega$-ra konverg\'alnak ez $E\xi_1$, sz\'amhoz, azaz ezek
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et.}
\medskip
Most megfogalmazom a nagy sz\'amok er\H{o}s \'es gyenge t\"orv\'eny\'et
kimond\'o t\'etelt eredeti, \'eles for\-m\'a\-j\'a\-ban. A
bizony\'{\i}t\'asokat csak k\'es\H{o}bb ismertetem.
\medskip\noindent
{\bf A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et kimond\'o t\'etel \'eles
alakja.}
{\it Legyen $\xi_1$, $\xi_2$,\dots, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es defini\'aljuk
az $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$, r\'eszlet\"osszegeket. Az
$\dfrac{S_n(\oo)}n$, $n=1,2,\dots$, sorozat akkor \'es csak akkor
konverg\'al pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha
$E|\xi_1|<\infty$. Ha $E|\xi_1|<\infty$, akkor ez a sorozat
teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et, azaz
$$
\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n(\oo)}n=E\xi_1\quad\text{majdnem minden }
\oo\in\Omega\text{-ra}.
$$
}
\medskip\noindent
{\bf A nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et kimond\'o t\'etel \'eles
alakja.} {\it Legyen $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata $F$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'ennyel. Ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok akkor \'es csak
akkor teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok gyen\-ge t\"or\-v\'e\-ny\'et,
azaz a $\dfrac1n\summ_{k=1}^n\xi_k$ \'atlag akkor \'es csak akkor
konverg\'al sztochasztikusan  $n\to\infty$ eset\'eben
egy $a$ sz\'amhoz, $-\infty<a<\infty$, ha
$$
\lim_{x\to\infty}x\[F(-x)+\(1-F(x)\)\]=0, \quad \text{\'es} \quad
\lim_{u\to\infty}\int_{-u}^u xF(\,dx)=a.
$$
}\medskip
Annak \'erdek\'eben, hogy jobban meg\'erts\"uk a nagy sz\'amok
er\H{o}s \'es gyenge t\"orv\'eny\'et l\'assunk n\'eh\'any p\'eld\'at.
El\H{o}sz\"or p\'eld\'at mutatok olyan f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra, melyek
teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et, de nem
teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et. Az
indokl\'asban hivatkozhatn\'ank az el\H{o}bb kimondott t\'etelekre,
de tanuls\'agosabb lehet k\"ozvetlen bizony\'{\i}t\'ast adni. Ut\'ana
p\'eld\'at mutatok olyan f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra, melyek a
nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et sem teljes\'{\i}tik.
\medskip\noindent
{\bf 1. p\'elda:} {\it Legyen $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
so\-ro\-za\-ta, az $f(u)=\dfrac C{u^2\log |u|}$, ha $|x|>3$,
$f(u)=0$, ha $|u|\le 3$, k\'eplettel megadott
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. (A $C$ konstanst
a $\dsize\int_{|u|>3}\frac {C\,du}{u^2\log |u|}=1$ hat\'arozza meg.)
Defini\'aljuk az $S_n=\summ_{k=1}^m\xi_k$, $n=1,2,\dots$,
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-ket. Ekkor $E|\xi_1|=\infty$,
ez\'ert ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem
teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et.
M\'asr\'eszt az $\dfrac{S_n}n$ \'atlagok szto\-chasz\-ti\-ku\-san
tartanak null\'ahoz, azaz minden $\e>0$ sz\'amra
$P\(\left|\dfrac{S_n}n\right|>\e\)\to0$, ha $n\to\infty$. Ez azt
jelenti, hogy ez a sorozat teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok
gyenge t\"orv\'eny\'et.}
\medskip\noindent
{\it Indokl\'as:}\/ Ezekre a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okra $E|\xi_1|=\dsize\int u f(u)\,du=\int_3^\infty
\frac{2C}{u\log u}\,du=\infty$, mert
$\dsize\int_3^x \frac1{u\log u}\,du=[\log\log u]_3^x$, \'es
$\limm_{x\to\infty}\log\log x=\infty$. L\'atni fogjuk, hogy az
$E|\xi_1|=\infty$ rel\'aci\'ob\'ol \'es a Borel--Cantelli
lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy nem teljes\"ul a nagy sz\'amok
gyenge t\"orv\'enye. Ennek indokl\'as\'at k\'es\H{o}bb ismertetem.
Annak \'erdek\'eben, hogy bebizony\'{\i}tsuk a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'et erre a sorozatra, defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: Legyen $\bar\xi_k=\bar
\xi_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|\le n\)$, $\bar{\bar\xi}_k=\bar{\bar
\xi}_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|>n\)$, \'es $\bar
S_n=\summ_{k=1}^n\bar\xi_k$, $\bar{\bar S}_n
=\summ_{k=1}^n\bar{\bar\xi}_k$. Ekkor $P(|S_n|>\e n)\le
P\(|\bar S_n|>\dfrac\e2n\)+P\(|\bar{\bar S}_n|>\dfrac\e2n\)\le \dfrac
{\text {Var}\,\bar S_n}{\frac{\e^2}4n^2}+nP\(\bar{\bar\xi_1}\neq0\)$.
Adjunk j\'o becsl\'est a $\text{Var}\,\bar \xi_1$ kifejez\'esre.
$\text {Var}\,\bar\xi_1=\dsize\int_3^n\frac{2C\,du }{\log u}
\le\frac{\const n}{\log n}$, mert $\dsize\int_{\sqrt n}^n
\frac{2C\,du}{\log u}\le\frac{\const n}{\log n}$ \'es
$\dsize\int_3^{\sqrt n}\frac{2C\,du}{\log u}\le \const\sqrt n$.
Innen  a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg jobboldal\'an szerepl\H{o}
els\H{o} tagot \'ugy becs\"ulhetj\"uk fel\"ulr\H{o}l, hogy
$\dfrac{\text {Var}\,\bar S_n}{\frac{\e^2}4n^2}
\le\dfrac{\text {Var}\,\bar\xi_1}{\frac{\e^2}4n}\le\dfrac{\const}
{\e^2\log n}$. A m\'asodik tag becsl\'ese \'erdek\'eben vegy\"uk
\'eszre, hogy $P\(\bar{\bar \xi_1}\neq0\)=\dsize\int_n^\infty
\frac{2C}{u^2\log u}\le\frac{2C}{\log n}
\int_n^\infty\frac{\,du}{u^2}\le \frac{\const}{n\log n}$. Innen
$nP\(\bar{\bar \xi_1}\neq0\)\le\dfrac{\const}{\log n}$. A fenti
egyenl\H{o}tlens\'egekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}P(|S_n|>\e n)=0$, \'es ezt akartuk megmutatni.
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} p\'elda megt\'argyal\'asa \'erdek\'eben bevezetj\"uk
a k\"ovetkez\H{o} \'ugynevezett Cauchy eloszl\'asokat.
\medskip\noindent
{\bf A Cauchy eloszl\'as definici\'oja.} {\it Egy eloszl\'ast $a$
param\'eter\H{u} Cauchy eloszl\'asnak nevez\"unk, ha
s\H{u}r\'os\'egf\"uggv\'enye $f(u)=\dfrac 1\pi\dfrac a{1+a^2u^2}$
alak\'u, $-\infty<u<\infty$.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A Cauchy eloszl\'assal tal\'alkozhattak a
gyakorlaton is. Ott szerepelt az egyik p\'el\-d\'a\-ban, hogy k\'et
f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o h\'anyadosa ($a=1$ param\'eter\H{u}) Cauchy
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\medskip
Nem neh\'ez bel\'atni, hogy f\"uggetlen Cauchy eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi sorozata v\'altoz\'ok (ugyanazzal az $a$
param\'eterrel) nem teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'et, mert (p\'eld\'aul $a=1$ v\'alaszt\'assal a $G(x)$
Cauchy eloszl\'asra a
$$
\limm_{x\to\infty}x(1-G(x))=\limm_{x\to\infty}x\int_x^\infty
\dfrac 1\pi\dfrac{du}{1+2u^2}=\frac1\pi
$$
rel\'aci\'o teljes\"ul. Val\'oban
$\dsize x\int_x^\infty\frac{du}{1+u^2}\ge
x\int_x^\infty\frac{\,du}{u^2}=1$ minden $x\ge0$-ra, \'es
$$
\dsize x\int_x^\infty\frac{du}{1+u^2}\le
x\int_x^\infty\frac{(1+\e)\,du}{u^2}=1+\e,\quad\text{ha } x\ge x(\e).
$$
F\"uggetlen Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek viselked\'es\'er\H{o}l t\"obbet is
mondhatunk. Azok teljes\'{\i}tik a k\"ovetkez\H{o} rendk\'{\i}v\"ul
figyelemre m\'elt\'o tulajdons\'agot.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen Cauchy
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $a>0$ \'es $b>0$
param\'eterrel. Ekkor $\xi+\eta$ is Cauchy eloszl\'as\'u $a+b$
param\'eterrel. Speci\'alisan $n$ f\"uggetlen $a$ param\'eter\H{u}
Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszege
$na$ param\'eter\H{u} Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, \'atlaga pedig $a$ param\'eter\H{u} Cauchy eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Teh\'at f\"uggetlen azonos
param\'eter\H{u} Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'atlag\'anak az eloszl\'asa megegyezik az
\"osszeadand\'ok eloszl\'as\'aval.}
\medskip\noindent
{\it Magyar\'azat:}\/ Nem v\'egzem el az \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'at. Ki lehetne sz\'amolni f\"uggetlen Cauchy
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek
a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et konvoluci\'o
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel, \'es \'{\i}gy be lehet bizony\'{\i}tani
a T\'etelt. Ez  meglehet\H{o}sen kellemetlen, de (par\-ci\-\'a\-lis
t\"ortekre bont\'as se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel) kisz\'amolhat\'o
integr\'alokhoz vezetne. L\'enyegesen egy\-sze\-r\H{u}b\-ben
c\'el\-hoz \'er\"unk, ha tudjuk a Cauchy eloszl\'as karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et.  Az $a=1$ pa\-ra\-m\'e\-te\-r\H{u} Cauchy eloszl\'as
karakterisztikus f\"uggv\'enye $\varphi(t)=e^{-|t|}$, ahonnan az $a$
param\'eter\H{u} Cauchy eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\varphi_a(t)=e^{-a|t|}$. Innen l\'atszik, hogy
$\varphi_a(t)\varphi_b(t)=\varphi_{a+b}(t)$, ahonnan a
t\'etelben megfogalmazott \'all\'{\i}t\'asok azonnal l\'athat\'oak.
Term\'eszetesen ez az indokl\'as csak \'ugy teljes, ha ki tudjuk
sz\'am\'{\i}tani a Cauchy eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et.
Ezt a kieg\'esz\'{\i}t\'esben megteszem. Azok sz\'am\'ara, akik
tanultak komplex f\"uggv\'enytant \'es meg\'ertett\'ek a
reziduumsz\'am\'{\i}t\'ast, ez egyszer\H{u} feladat.
\medskip\noindent
{\bf 2. p\'elda.} {\it Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
so\-ro\-za\-ta $f(u)=\dfrac1\pi\dfrac1{1+u^2}$, $-\infty<u<\infty$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok nem teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'eny\'et, azaz az $\dfrac1n\summ_{k=1}^n\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem konverg\'alnak
sztochasztikusan egy konstanshoz.}
\medskip\noindent
{\bf 3. p\'elda.} {\it Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
so\-ro\-za\-ta $f(u)=\dfrac C{u^2\log^2 u}$, ha $|u|\ge3$, \'es
$f(u)=0$, ha $|u|<3$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. (A $C$
konstanst az $\dsize\int_{|u|>3} \dfrac {C\,du}{u^2\log^2 u}=1$,
k\'eplet hat\'arozza meg.) Ekkor $E|\xi_1|<\infty$, ez\'ert a fent
kimondott t\'etel alapj\'an ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et,
azaz az $\dfrac1n\summ_{k=1}^n\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'alnak
null\'ahoz.} \medskip\noindent
{\it Indokl\'as:}\/ Elegend\H{o} ellen\H{o}r\'{\i}zni, hogy
$E|xi_1=\dsize\int_3^\infty\frac{2C\,du}{u\log^2u}=\[-\frac{2C}
{\log u}\]_3^\infty<\infty$. Ez\'ert alkalmazhat\'o a nagy sz\'amok
er\H{o}s t\"orv\'enye, \'es szimmetria meggondol\'asok alapj\'an
$E\xi_1=0$.
\medskip\noindent
 
A fenti p\'el\'ak hasonl\'{\i}tottak egym\'ashoz abban, hogy
mindegyikben a s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny a plusz-minusz
v\'egtelen k\"ornyezet\'eben aszimptotikusan \'ugy viselkedett, mint
$\frac1{u^2}$ szo\-roz\-va egy logaritmus hatv\'any rend\H{u}
korrekci\'os taggal. Ez a korrekci\'os tag befoly\'asolta, hogy
b\'{\i}zonyos integr\'alok konvergensek vagy divergensek, \'es
ett\H{o}l f\"ugg\"ott, hogy teljes\"ul-e a nagy sz\'amok er\H{o}s
vagy gyenge t\"orv\'enye. L\'attuk, hogy a nagy sz\'amok
k\"ul\"onb\"oz\H{o} t\"orv\'enyeit kimond\'o t\'etelekben  \'es
p\'eld\'akban az j\'atszott fontos szerepet, hogy az
\"ossze\-adan\-d\'ok eloszl\'asf\"uggv\'enyei hogyan viselkednek a
$\pm\infty$-ben, milyen gyorsan tartanak ottan az
eloszl\'asf\"uggv\'enyek egyhez illetve null\'ahoz. Ett\H{o}l
f\"ugg ugyanis, hogy az ott szerepl\H{o} integr\'alok konvergensek
vagy divergensek. Hasonl\'o k\'eppel tal\'alkoztunk a centr\'alis
hat\'arelosz\'ast\'etel vizsg\'alat\'aban. Ott a Lindeberg felt\'etel
jelent meg, mint a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel el\'egs\'eges
(\'es bizonyos \'ertelemben) sz\"uks\'eges felt\'etele, \'es ez is
hasonl\'o jelleg\H{u}  felt\'etelt fejezett ki, nevezetesen azt, hogy
az egyes \"osszeadand\'ok $F_n$ eloszl\'asaib\'ol k\'epzett
$\int_{|u|\ge D_n}u^2F_n(\,du)$ integr\'alok viszonylag kicsik. Ez is
olyan jelleg\H{u} felt\'etel, amelyik azt fejezi ki, hogy az egyes
\"osszeadand\'ok csak viszonlag kis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
vesznek fel nagy \'ert\'ekeket. Kiss\'e pongyol\'an, de tal\'an a
l\'enyeget j\'ol kifejez\H{o}en azt mondhatjuk, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeir\H{o}l
sz\'ol\'o t\'etelei olyan felt\'etelek mellett \'erv\'enyesek,
melyek azt biztos\'{\i}tj\'ak, hogy tipikus esetekben az egyes
\"osszeadand\'ok rendk\'{\i}v\"ul nagy \'ert\'ekei nem zavarj\'ak meg
az \"osszeg viselked\'es\'et.
 
A nagy sz\'amok t\"orv\'eny\'enek vizsg\'alat\'aban sz\"uks\'eg\"unk
van egy olyan eredm\'enyre, mely az \"osszeadand\'ok abszolut
\'ert\'ek\'enek v\'eges v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et az itt sz\"uks\'eges
vizs\-g\'a\-la\-tok\-ban jobban kezelhet\H{o} m\'odon fejezi
ki. Ez a tartalma a k\"ovetkez\H{o} lemm\'anak.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
abszolut \'ert\'ek\'enek akkor \'es csak akkor van v\'eges v\'arhat\'o
\'ert\'eke, ha $\summ_{n=1}^\infty P(|\xi|>n)<\infty$.}
\medskip
Megjegyzem, hogy ennek az \'all\'{\i}t\'asnak igaz a k\"ovetkez\H{o}
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa, amelyiket hasonl\'oan lehet
bizony\'{\i}tani. De mivel erre nem lesz sz\"uks\'eg\"unk, ennek
bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom.
\medskip\noindent
{\bf A lemma \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.} {\it Egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o akkor \'es csak akkor
teljes\'{\i}ti az $E|\xi|^r<\infty$ momentum felt\'etelt
valamely $\ge1$ sz\'amra,
ha $\summ_{n=1}^\infty
n^{r-1}P(|\xi|>n)<\infty$.}
\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\tilde\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot: $\tilde\xi=j$,
ha $j-1<|\xi|\le j$, $j=1,2,\dots$. Ekkor $P(0\le
|\xi|-\tilde\xi\le1)=1$, ez\'ert a $|\xi|$ \'es $\tilde\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'eke
egyszerre v\'eges vagy v\'egtelen. Viszont
$E\tilde\xi=\summ_{j=1}^\infty j P(\tilde\xi=j)=
\summ_{j=1}^\infty jP(j-1<|\xi|\le j)$, ez\'ert ennek az \"osszegnek
a konvergenci\'aj\'at vagy divergenci\'aj\'at kell vizsg\'alnunk.
 
Fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$\summ_{j=1}^\infty jP(j-1<|\xi|\le j)=\summ_{j=1}^\infty
j(P(|\xi|>j-1)- P(|\xi|>j))$. Rendezz\"uk \'at a fenti \"osszeget a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon. Tetsz\H{o}leges $N$ sz\'amra
$$
\align
&\summ_{j=1}^N jP(j-1<|\xi|\le j)=\summ_{j=1}^N j(P(|\xi|>j-1)-
P(|\xi|>j))\\
&\qquad=\summ_{j=1}^{N-1}P(|\xi|>j)((j+1)-j)-NP(|\xi|>N).
=\summ_{j=1}^{N-1}P(|\xi|>j)-NP(|\xi|>N).
\endalign
$$
Megmutatjuk, hogy $N\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel a fenti
rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik a Lemma \'all\'{\i}t\'asa.
Val\'oban, ha $E|\xi|<\infty$, akkor l\'etezik olyan $K<\infty$ sz\'am,
melyre $N P(|\xi|>N)\le \summ_{j=N+1}^\infty jP(j-1<|\xi|\le j)\le
\summ_{j=1}^\infty jP(j-1<|\xi|\le j)\le K$, ahol a $K$ konstans
f\"uggetlen az $N$ sz\'amt\'ol. \'Igy ebben az esetben az
el\H{o}z\H{o} becsl\'es alapj\'an l\'eteznek
olyan univerz\'aslis $L$ \'es $K$ sz\'amok, melyekre
$$
L\ge\summ_{j=1}^{N-1}P(|\xi|>j)-K\quad \text{minden $L=1,2,\dots$
sz\'amra,}
$$
ahonnan $\summ_{N=1}^\infty P(|\xi|>j)<\infty)$.
 
Ha $E|\xi|=\infty$, akkor
$\summ_{N=1}^\infty P(|\xi|>j)=\infty$, mert ekkor
$$
\summ_{j=1}^{N-1}P(|\xi|>j)\ge \summ_{j=1}^N jP(j-1<|\xi|\le j),
$$
\'es $\limm_{N\to\infty}\summ_{j=1}^N jP(j-1<|\xi|\le j)=\infty$.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az \"osszegnek a fenti sz\'amol\'asban
t\"ort\'ent \'at\-ren\-de\-z\'e\-s\'et Abel f\'ele
\'at\-ren\-de\-z\'es\-nek nevezik, \'es ez sokszor hasznos. Az
Abel f\'ele \'at\-ren\-de\-z\'es egy\'ebk\'ent az
integr\'alsz\'am\'{\i}t\'asban alkalmazott
parci\'alis integr\'al\'as diszkr\'et megfelel\H{o}je.
\medskip
Megfogalmazom a fenti lemma egy sz\'amunkra fontos
k\"ovetkezm\'eny\'et.
\medskip\noindent
{\bf A Lemma k\"ovetkezm\'enye.} {\it Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$,
f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok. Ha
$E|\xi_1|=\infty$, akkor e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et.
Pontosabban azt \'all\'{\i}thatjuk, hogy ebben az esetben az
$S_n(\oo)=\summ_{j=1}^n\xi_j(\oo)$, $n=1,2,\dots$, \"osszegekre az
$\dfrac{S_n(\oo)}n$ kifejez\'es majdnem minden $\oo\in\Omega$
pontban nem konvergens.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Ebben az esetben a Lemma alapj\'an
a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok azonos eloszl\'asa
miatt az $E|\xi_1|=\infty$ felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$\summ_{n=1}^\infty P(|\xi_1|>n)=\summ_{n=1}^\infty
P(|\xi_n|>n)=\infty$. A $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege miatt az $\{\oo\: |\xi_n(\oo)|>n\}$
esem\'enyek is f\"uggetlenek. Ez\'ert a Borel--Cantelli lemm\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy majdnem minden $\oo\in\Omega$-ra $|\xi_n(\oo)|>n$
v\'egtelen sok az ($\oo$ elemi esem\'enyt\H{o}l f\"ugg\H{o}) $n$
indexre. Te\-kint\-s\"unk egy olyan $\oo\in \Omega$ elemi esem\'enyt,
melyre $\limm_{n\to\infty}\dfrac{S_n(\oo)}n=a$ valamilyen v\'eges $a$
sz\'amra, melynek \'ert\'eke f\"ugghet ett\H{o}l az $\oo$ elemi
esem\'enyt\H{o}l. Ilyen $\oo$ pontokban a
$\limm_{n\to\infty}\dfrac{S_{n-1}(\oo)}n=a$ rel\'aci\'o is teljes\"ul.
Ez\'ert $\limm_{n\to\infty}\(\dfrac{S_{n}(\oo)}n-
\dfrac{S_{n-1}(\oo)}n\)=\limm_{n\to\infty}\dfrac{\xi_n(\oo)}n=0$. Ez
a rel\'aci\'o viszont, mint l\'attuk csak egy nulla
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi halmazon teljes\"ulhet.
 
 
\medskip\noindent
{\script A Cauchy eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a
kisz\'am\'{\i}t\'asa.}
\medskip\noindent
Legyen  $\xi$Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $a=1$ param\'eterrel . Ekkor
$$
Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^\infty \frac1\pi \frac{e^{itu}}{1+u^2}\,du.
$$
Ezt az integr\'alt a komplex f\"uggv\'enytan reziduum t\'etele
seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki tudjuk sz\'am\'{\i}tani.
 
Vegy\"uk \'eszre, hogy a $g(z)=g(z,t)=\dfrac{e^{itz}}{\pi(1+z^2)}$
f\"uggv\'eny  analitikus a komplex sz\'ams\'{\i}kon, k\'et p\'olusa
van a $z=\pm i$ pontokban. A $g(z)$ f\"uggv\'eny reziduuma az $i$
pontban $e^{-t}$ a $-i$ pontban $e^t$. Te\-kint\-s\"uk a k\"ovetkez\H{o}
k\"orintegr\'alt. A $g(z)=g(z,t)$ f\"uggv\'enyt integr\'aljuk a
$[-R,R]$ szakaszon, majd a a $|z|=R$ $\Im z\ge0$ f\'elk\"or\"on, ha
$t\ge0$ \'es a $|z|=R$, $\Im z\le 0$ f\'elk\"or\"on, ha $t\le0$. Ekkor
ennek a k\"orintegr\'alnak az \'ert\'eke a $g(z)$ f\"uggv\'eny $i$
pontbeli reziduum\'aval egyenl\H{o} $t>0$ \'es a $-i$ pontbeli
reziduum\'aval a $t<0$ esetben. M\'asr\'eszt az integr\'al
megszor\'{\i}t\'asa az $R$ sugar\'u f\'elk\"orre null\'ahoz tart, ha
$R\to0$. Innen k\"ovetkezik, hogy $Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^\infty
g(t,u)\,du=e^{-t}$, ha $t>0$, \'es $Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^\infty
g(t,u)\,du=e^{t}$, ha $t<0$. Egys\'eges jel\"ol\'essel azt
\'{\i}rhatjuk, hogy $Ee^{it\xi}=e^{|t|}$.
 
\bye
 
