\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2.5pt plus 1pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\minn{\min\limits}
\define\maxx{\max\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\font\script=cmcsc10
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II.
el\H{o}ad\'assorozat t\'{\i}zedik el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2002. november 19.}
\medskip
\centerline{\bf A $\chi^2$ pr\'oba \'es n\'eh\'any egy\'eb
\'erdekes statisztikai alkalmaz\'as.}
\medskip\noindent
Id\'ezz\"uk fel azt a k\'erd\'est, melyet felvetett\"unk mint olyan
probl\'em\'at, melynek meg\-ol\-d\'a\-s\'a\-hoz \'erdemes
bebizony\'{\i}tani a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt.
\medskip
\item{} Egy dob\'okock\'ar\'ol el akarjuk d\"onteni, hogy
szab\'alyos-e. Ennek \'erdek\'eben a do\-b\'o\-koc\-k\'at sokszor
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul feldobjuk, \'es feljegyezz\"uk a
kis\'erletek ered\-m\'e\-ny\'et. Milyen eredm\'enysorozat eset\'en
tekinthetj\"uk a do\-b\'o\-koc\-k\'at szab\'alyosnak?
\medskip
\'Altal\'anosabban:
\medskip
\item{} Legyen adva $k$ urna, \'es ezekbe egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul bedobunk $n$ goly\'ot egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul,
amelyek ugyanolyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esnek az egyes
urn\'akba. Pr\'o\-b\'al\-juk meg ellen\H{o}r\'{\i}zni azt,
hogy igaz-e, hogy a goly\'ok az egyes urn\'akba $p_1,\dots,p_k$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esnek. (Feltessz\"uk, hogy az
elv\'egzett kis\'erletek $n$ sz\'ama nagyon nagy.)
\medskip
Eml\'ekeztett\"unk arra, hogy a feladat megold\'as\'aban azt
\'erdemes vizsg\'alni, hogy a $j$-ik urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'ama
minusz azok v\'arhat\'o \'ert\'eke mennyire kicsi, \'es a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel azt k\'{\i}v\'anuk vizsg\'alni, hogy mennyire
val\'osz\'{\i}n\H{u} egy adott nagys\'ag\'u elt\'er\'es. Annak
\'erdek\'eben, hogy a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt alkalmazhassuk \'erdemes bevezetni a
$Z_j=(Z_j^{(1)},\dots,Z_j^{(k)})$, $j=1,2,\dots,n$,
v\'eletlen vektorokat, melyeket a k\"ovetkez\H{o} m\'odon
defini\'alunk: A $Z_j$ vektor $Z_j^{(l)}$ koordin\'at\'aja 1,
\'es az \"osszes t\"obbi koordin\'at\'aja nulla, ha a
$j$-ik dob\'asban az $l$-ik urn\'aba esik a goly\'o. Ekkor a
$Z_1,\dots,Z_n$ v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek, \'es ezek
$S_n=(S_n^{(1)},\dots,S_n^{(k)})$, $S_n=Z_1+\cdots+Z_n$ \"osszege
megadja, hogy h\'any pont esik az egyes urn\'akba.
 
Ez\'ert a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
alapj\'an ki tudjuk sz\'amolni a
$\limm_{n\to\infty}P(S_n^{(1)}<ES_n^{(1)}+\sqrt nx_1,\dots,
S_n^{(k)}<ES_n^{(k)}+\sqrt nx_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
hat\'ar\'ert\'ek\'et. Vi\-szont ter\-m\'e\-sze\-tes m\'odon
felmer\"ulhet a k\'erd\'es: Ki tudjuk-e sz\'am\'{\i}tani hasonl\'o
m\'odon annak aszimptotikus val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy az
$S_n=(S_n^{(1)},\dots,S_n^{(k)})$ vektor koor\-di\-n\'a\-t\'a\-i\-nak
megfelel\H{o} normaliz\'altja valamely ,,\'altal\'anos sz\'ep
halmazba'' essen. Be fogjuk l\'atni, hogy erre a k\'erd\'esre
pozit\'{\i}v v\'alaszt lehet adni. De e v\'alasz
megad\'asa el\H{o}tt id\'ezz\"uk fel az al\'abbi eredm\'enyt, mely
ezen eredm\'eny bizony\'{\i}t\'as\'anak alapj\'aul szolg\'al.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel az eloszl\'asban val\'o konvergencia
jellemz\'es\'er\H{o}l folytonos f\"uggv\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel.}
{\it $F_n(u_1,\dots,u_k)$, $n=1,2,\dots$ $k$-dimenzi\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozata akkor \'es csak akkor konverg\'al
eloszl\'asban egy $F(u_1,\dots,u_k)$ $k$-dimenzi\'os
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez, ha minden a $k$-dimenzi\'os
t\'eren \'ertelmezett folytonos, korl\'atos $g(u_1,\dots,u_k)$
f\"uggv\'enyre teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}\int g(u_1,\dots,u_k)\,F_n(\,du_1,\dots,\,du_k)
=\int g(u_1,\dots,u_k)\,F(\,du_1,\dots,\,du_k)
$$
azonoss\'ag.}
\medskip
Most megfogalmazom azt az eredm\'enyt, mely pozit\'{\i}v v\'alaszt
ad az el\H{o}z\H{o} k\'erd\'esre.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $F_n(x_1,\dots,x_k)$, $n=1,2,\dots$,
$k$-dimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozata, amelyik
eloszl\'asban konverg\'al egy $F_n(x_1,\dots,x_k)$ $k$-dimenzi\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, $n\to\infty$ esetben. Jel\"olje $\mu_{F_n}$
az  $F_n(x_1,\dots,x_k)$, $n=1,2,\dots$, \'es $\mu_{F}$ az
$F(x_1,\dots,x_k)$, $k$-dimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyek
\'altal meghat\'arozott Lebesgue--Stieltjes m\'ert\'eket. Ekkor
tetsz\H{o}leges olyan (Borel-m\'erhet\H{o}) $A\subset R^k$ halmazra
a $k$-dimenzi\'os t\'erben, melynek $\partial A$ hat\'ara 0 $\mu_F$
m\'ert\'ek\H{u}, azaz $\mu_F(\partial A)=0$, teljes\"ul a
$\limm_{n\to\infty}\mu_{F_n}(A)=\mu_F(A)$ rel\'aci\'o. (Egy
$A$ halmaz hat\'ar\'an azokat a pontokat \'ertj\"uk, melyek
torl\'od\'asi pontjai mind az $A$ halmaznak, mind annak
komplementer\'enek az $R^k\setminus A$ halmaznak.) Speci\'alisan,
ha $F$ egy $k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as nem elfajul\'o
kovariancia m\'atrix-szal, akkor ez az \'all\'{\i}t\'as igaz minden
olyan $A$ halmazra, melynek a hat\'ara nulla Lebesque m\'ert\'ek\H{u}.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ A bizony\'{\i}t\'as l\'enyege az, hogy az
$A$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'eny\'et k\"ozrefogjuk olyan folytonos
f\"uggv\'enyekkel, mely f\"uggv\'enyeknek a $\mu_{F_n}$ m\'ert\'ek
szerinti integr\'alja j\'ol k\"ozel\'{\i}ti az $A$ halmaz
$\mu_{F_n}(A)$ m\'ert\'ek\'et, \'es melyekre alkalmazhatjuk az
eloszl\'asban val\'o konvergenci\'anak a folytonos f\"uggv\'enyek
integr\'alj\'avel fent megadott jellemz\'es\'et.
 
R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $\e>0$ sz\'amot, defini\'aljuk az $A$
halmaz ,,$\e$-belsej\'et'', mint a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} $A^\e$
halmazt: $A^\e=\{x\:\rho(x,R^k\setminus A)\ge\e\}$, ahol $\rho(x,y)$
k\'et pont euklid\'eszi t\'avols\'ag\'at jel\"oli az $R^k$
euklid\'eszi t\'erben, \'es egy $x\in R^k$ pontra, \'es $B\subset R^k$
halmaz t\'avols\'ag\'at a szok\'asos m\'odon a $\rho(x,B)=\inff_{y\in
B}\rho(x,y)$ formul\'aval defini\'aljuk. Defini\'aljuk az $A$ halmaz
$\e$-k\"ornyezet\'et mint a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} $B^\e$ halmazt:
$B^\e=\bigcupp_{x\in A} \{y\:\rho(x,y)<\e\}$. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$A^\e\subset A\subset B^\e$, tov\'abb\'a
$\limm_{N\to\infty}\mu_F(A^{1/N})=\mu_F(A)$ \'es
$\limm_{N\to\infty}\mu_F(B^{1/N})=\mu_F(A)$. Val\'oban, az $A^{1/N}$
halmazok egym\'asba skatuly\'azottak, ez\'ert
$\limm_{N\to\infty}\mu_F(\limm_{N\to\infty}A^{1/N})=
\mu_F\(\bigcupp_{N=1}^\infty A^{1/N}\)=\mu_F(\text{Int}\,A)=\mu_F(A)$,
ahol $\text{Int}\,A=A\setminus \partial A$ az $A$ halmaz belseje. Itt
kihaszn\'altuk, hogy $\mu_F(\partial A)=0$. Hasonl\'oan,
$\limm_{N\to\infty}\mu_F(\limm_{N\to\infty}B^{1/N})=
\mu_F\(\bigcapp_{N=1}^\infty B^{1/N}\)=\mu_F(\bar A)=\mu_F(A)$, ahol
$\bar A=A\cup\partial A$ az $A$ halmaz lez\'artja.
 
Adva egy $B\in R^k$ halmaz, jel\"olje $I_B(x)$ a $B$ halmaz
indik\'ator f\"uggv\'eny\'et, azaz legyen $I_B(x)=1$, ha $x\in B$,
$I_B(x)=0$, ha $x\notin B$. Minden $\e>0$ sz\'amra tudunk
olyan $f_\e(x)$ \'es $g_\e(x)$ folytonos f\"uggv\'enyt konstru\'alni,
melyre $I_{A^\e}(x)\le f_\e(x)\le I_A(x)\le g_\e(x)\le I_{B^\e}(x)$.
Val\'oban, legyen $f_\e(x)=\frac1\e\min(\e,\rho(x,R^k\setminus A)$.
Ekkor $f_\e(x)$ folytonos f\"uggv\'eny, $f_\e(x)=0$, ha $x\notin A$,
$f_\e(x)=1$, ha $x\in A^\e$, \'es $0\le f(x)\le 1$, ha $x\in
A\setminus A^\e$. Ez azt jelenti, hogy $I_{A^\e}(x)\le f_\e(x)\le
I_A(x)$ minden $x\in R^k$ pontban. Hasonl\'oan, a
$g_\e(x)=\frac1\e\min(\e,\rho(x,R^k\setminus B^k)$ f\"uggv\'eny is
folytonos, \'es $I_A(x)\le f_\e(x)\le I_{B^\e}(x)$ minden $x\in
R^k$ pontban. Ez\'ert az el\H{o}bb felid\'ezet t\'etel alapj\'an
fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$ \allowdisplaybreaks
\align
\mu_F(A^{1/N})&\le \int f_{1/N}(x)\mu_F(\,dx)
= \lim_{n\to\infty}\int
f_{1/N}(x)\mu_{F_n}(\,dx)\le\liminf_{n\to\infty}\mu_{F_n}(A)\\
&\le\limsup_{n\to\infty}\mu_{F_n}(A)
\le \lim_{n\to\infty}\int
g_{1/N}(x)\mu_{F_n}(\,dx)=\int g_{1/N}(x)\mu_F(\,dx)\\
&\le\mu_F(B^{1/N}).
\endalign
$$
Innen $N\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel kapjuk, felhaszn\'alva a
$\limm_{N\to\infty}\mu_F(A^{1/N})=\mu_F(A)$ \'es
$\limm_{N\to\infty}\mu_F(B^{1/N})=\mu_F(A)$ rel\'aci\'okat, hogy
$$
\mu_F(A)\le \liminf_{n\to\infty}\mu_{F_n}(A)
\le\limsup_{n\to\infty}\mu_{F_n}(A) \le\mu_F(A).
$$
Ebb\H{o}l az egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"ovetkezik a T\'etel
f\H{o} \'all\'{\i}t\'asa. A T\'etel m\'asodik \'all\'{\i}t\'asa
azonnal k\"ovetkezik az els\H{o}b\H{o}l, ha \'eszrevessz\"uk, hogy
egy nem elfajul\'o kovarianci m\'atrix-szal rendelkez\H{o} norm\'alis
eloszl\'asnak van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ez\'ert, ha
egy $A$ halmaz hat\'ar\'anak Lebesque m\'ert\'eke nulla, akkor a
hat\'ar m\'ert\'eke nulla egy nem elfajulul\'o kovariancia m\'atrix\'u
norm\'alis eloszl\'as szerint is.
\medskip
A fenti t\'etel elvileg j\'ol alkalmazhat\'o, de biznoyos esetekben
\'erdemes azt a halmazt, melynek a m\'ert\'ek\'et keress\"uk a
norm\'alis hat\'areloszl\'asm\'ert\'ek szerint jobban
meg\-v\'a\-lasz\-ta\-ni, olyan halmazoknak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et vizsg\'alni, melyek
,,jobban illesz\-ked\-nek a fel\-adat\-hoz'', \'es megvizsg\'alni,
hogy ebben az esetben nem tudjuk-e a hat\'arm\'ert\'eket
jobban, egy\-sze\-r\H{u}b\-ben le\'{\i}rni. Ilyen p\'eld\'aul az
el\H{o}ad\'as elej\'en felid\'ezett probl\'ema, melynek
megold\'as\'aban \'altal\'aban az \'ugynevezett $\chi^2$
(ejtsd khi n\'egyzet) pr\'ob\'at szokt\'ak al\-kal\-maz\-ni. B\'ar
ennek t\'argyal\'as\'at \'altal\'aban a matematikai statisztika
tananyag r\'esz\'enek tekintik, a bizony\'{\i}t\'as l\'enyege a
t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelen, illetve
bizonyos line\'aris algebrai ismereteken alapul. Ez\'ert term\'eszetes
ezt itt t\'argyalni. El\H{o}sz\"or ismertettem a $\chi^2$ eloszl\'as
fogalm\'at \'es megfogalmazom az eredm\'enyt.
\medskip\noindent
{\bf A $k$ szabads\'agfok\'u $\chi^2$ eloszl\'as definici\'oja.} {\it
Legyen $\xi_1,\dots,\xi_k$ $k$ darab f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ekkor a
$\summ_{j=1}^k\xi_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as\'at nevezz\"uk $k$ szabads\'agfok\'u $\chi^2(k)$
eloszl\'asnak.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ L\'attuk a gyakorlaton vett
feladatok egyik\'eben, hogy a 2 sza\-bad\-s\'ag\-fo\-k\'u
$\chi^2(2)$ eloszl\'as a $\lambda=\dfrac12$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as, azaz az az eloszl\'as, melynek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az $f(x)=\dfrac12e^{-x/2}$, ha
$x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$.
\medskip
Most megfogalmazom a t\'argyaland\'o eredm\'enyt.
\medskip\noindent
{\bf A $\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel.} {\it Legyen
adva $k$ darab urna, melyekbe bedobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul
goly\'okat \'ugy, hogy mindegyik goly\'o $p_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a $j$-ik urn\'aba,
$1\le j\le k$, $\summ_{j=1}^k p_j=1$. Jel\"olje $\nu_n(j)$ a $j$-ik
urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'am\'at az $n$-ik dob\'as ut\'an.
Ekkor a $\summ_{j=1}^k\dfrac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
a $k-1$ szabads\'agfok\'u $\chi^2(k-1)$ el\-osz\-l\'as\-hoz, ha
$n\to\infty$. (Az urn\'ak $k$ sz\'ama r\"ogz\'{\i}tett.)}
\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es:}\/ A fenti t\'etelben megjelen\H{o}
hat\'areloszl\'as csak az urn\'ak $k$ sz\'am\'at\'ol f\"ugg, de nem
f\"ugg a $p_j$, $1\le j\le k$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekt\H{o}l.
Ez jelzi azt, hogy term\'eszetes statisztik\'at vett\"unk, olyat
amelyben a k\"ul\"onb\"oz\H{o} urn\'akban lev\H{o} goly\'ok
sz\'am\'anak az elt\'er\'ese annak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l
egyforma fontos szerepet j\'atszik.
\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es:}\/ Az, hogy a hat\'areloszl\'as a $k-1$
szabads\'agfog\'u $\chi^2(k-1)$ eloszl\'as azzal f\"ugg \"ossze,
hogy b\'ar $k$ v\'eletlen sz\'am s\'ulyozott n\'egyzet\"osszeg\'et
tekintett\"uk, (az egyes urn\'akba es\H{o} goly\'ok sz\'am\'anak
elt\'er\'es\'et tekintett\"uk azok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l),
de ezek k\"oz\"ott van egy determinisztikus \"osszef\"ugg\'es.
Nevezetesen az, hogy az \"osszes urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'ama
minusz azok v\'arhat\'o \'ert\'eke null\'aval egyenl\H{o}. Ezt
inform\'alisan \'ugy szokt\'ak interpret\'alni, hogy mivel a $k$
v\'altoz\'o k\"oz\"ott volt egy \"osszef\"ugg\'es, ez\'ert a vektor
koordin\'at\'ainak szabads\'agfoka eggyel cs\"okkent, \'es csak
$k-1$ szabads\'agi fokkal rendelkez\H{o} v\'eletlen vektorok
koordin\'at\'ainak a n\'egyzet\"osszeg\'et tekintett\"uk, illetve
azok hat\'areloszl\'as\'at. Ilyen eset\-ben a hat\'areloszl\'ast olyan
v\'eletlen \"osszeg adja meg, melyben mindegyik szabads\'agi foknak
egy \"osszeadand\'o felel meg, amelyik f\"uggetlen a t\"obbi
\"osszeadand\'ot\'ol, \'es egy standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o n\'egyzete.
\medskip
El\H{o}sz\"or megfogalmazok \'es bebizony\'{\i}tok egy
\'all\'{\i}t\'ast, mely lehet\H{o}v\'e teszi, hogy a $\chi^2$
pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etelt reduk\'aljuk egy olyan
\'all\'{\i}t\'asra, melyben egy  alkalmaz kovarianci\'aj\'u Gauss
eloszl\'as\'u v\'eletelen vektor koordin\'at\'ainak a
n\'egyzet\"osszeg\'et hat\'arozzuk meg.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $(S_{1,n},\dots,S_{k,n})$, $n=1,2\dots$,
$k$-dimenzi\'os val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektorok so\-ro\-za\-ta,
amelyik eloszl\'asban konverg\'al egy $(S_1,\dots,S_k)$ $k$-dimenzi\'os
v\'eletlen vektorhoz $n\to\infty$ eset\'en, \'es legyen
$f(x_1,\dots,x_k)$ egy $k$-v\'altoz\'os folytonos f\"uggv\'eny.
Ekkor a $T_n=f\(S_{1,n},\dots,S_{k,n}\)$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
a $T=f\(S_1,\dots,S_k\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz
$n\to\infty$ eset\'en.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Haszn\'aljuk a t\'etelt az eloszl\'asban
val\'o konvergencia jellemz\'es\'er\H{o}l folytonos f\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Eszerint az $S_{1,n},\dots,S_{k,n}$ v\'eletlen
vektorok sorozat\'anak el\-osz\-l\'as\-ban val\'o konvergenci\'at
\'ugy is megfogalmazhatjuk, hogy tetsz\H{o}leges folytonos \'es
korl\'atos $h(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'enyre teljes\"ul a
$\limm_{n\to\infty}Eh(S_{1,n},\dots,S_{k,n})=
Eh(S_1,\dots,S_k)$ rel\'aci\'o. Legyen $g(\cdot)$ tetsz\H{o}leges
folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'eny a sz\'amegyenesen. Ekkor
$g(f(x_1,\dots,x_k))$ is
folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'eny, ez\'ert teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}Eg(T_n)=\limm_{n\to\infty}
Eg\(f\(S_{1,n},\dots,S_{k,n}\)\)=Eg\(f\(S_1,\dots,S_k\)\)
=Eg(T)
$$
rel\'aci\'o. Innen k\"ovetkezik a T\'etel \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Az el\H{o}bb kimondott t\'etel
val\'oj\'aban sokkal \'altal\'anosabb k\"or\"ulm\'enyek k\"oz\"ott
\'erv\'enyes. Lehet defini\'alni \'altal\'anos (szepar\'abilis
metrikus t\'er) \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, azok eloszl\'as\'at \'es eloszl\'asaik
konvergenci\'aj\'at. A definici\'ok el\'egg\'e ter\-m\'e\-sze\-te\-sek,
\'es a fenti eredm\'eny \'altal\'anos terekben is \'erv\'enyes,
s\H{o}t a bizony\'{\i}t\'ast sem kell meg\-v\'al\-toz\-tat\-ni. Ennek
az \'all\'{\i}t\'asnak a r\'eszleteire nem t\'erek ki. Azt \'erdemes
meg\-je\-gyez\-ni, hogy ezek az \'all\'{\i}t\'asok nem puszt\'an
form\'alis \'altal\'anos\'{\i}t\'asok, hanem nagyon \'erdekes \'es
hasznos \'es tartalmas k\"ovetkezm\'enyei vannak a ,,mindennapi"
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok vizsg\'alat\'aban is.
\medskip
Most megfogalmazom, hogyan lehet reduk\'alni a
a $\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etelt.
\medskip\noindent
{\bf A $\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel redukci\'oja.} {\it
Legyen $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, melynek v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
kovriancia m\'atrixa teljes\'{\i}ti az $E\eta_j=0$, $1\le j\le k$,
$\Cov(\eta_j,\eta_l)=-\sqrt{p_jp_l}$, $1\le j,l\le k$, $j\neq l$,
\'es $\Var\eta_j=(1-p_j)$, $1\le j\le k$ rel\'aci\'okat. Akkor
$\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ eloszl\'asa a $k-1$ szabads\'agfok\'u
$\chi^2(k-1)$ eloszl\'as. (A most megfogalmazott eredm\'enyben
speci\'alisan azt is \'all\'{\i}tjuk, hogy l\'etezik az adott
kovarianci\'aval rendelkez\H{o} v\'eletlen vektor tetsz\H{o}leges
$p_j$, $p_j\ge0$, $1\le j\le k$, $\summ_{j=1}^kp_j=1$ sz\'amokra.)}
\medskip\noindent
{\it A  $\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel visszavezet\'ese
annak redukci\'oj\'ara.} Ahogy az el\H{o}ad\'as elej\'en tet\"uk,
vezess\"uk be a $Z_m=(Z_m^{(1)},\dots,Z_m^{(k)})$, $m=1,2,\dots,n$,
v\'eletlen vektorokat, melyeket a k\"ovetkez\H{o} m\'odon
defini\'alunk: A $Z_m$ vektor $Z_m^{(j)}$ koordin\'at\'aja 1,
\'es az \"osszes t\"obbi koordin\'at\'aja nulla ha az $m$-ik
dob\'asban az $j$-ik urn\'aba esik a goly\'o. Vezess\"uk be ennek a
k\"ovetkez\H{o} transzform\'altjait: $X_m=
(X_m^{(1)},\dots,X_m^{(k)})$, $m=1,2,\dots,n$,
$X_m^{(j)}=\dfrac{Z_m^{(j)}-p_j}{\sqrt {p_j}}$, $1\le m\le n$, $1\le
j\le k$. Vegy\"uk \'eszre egyr\'eszt, hogy a vizsg\'alt $\nu_n(j)$
mennyi\-s\'e\-gek (a $j$-ik urn\'aba es\H{o} goly\'ok sz\'ama az $n$-ik
dob\'as ut\'an \'es a fenti $X_m$ v\'eletlen vektorok az al\'abbi
azonoss\'agot teljes\'{\i}tik: $\dfrac1{\sqrt
n}\summ_{l=1}X_m=\(\dfrac{\nu_n(1)-np_1}{\sqrt{np_1}},
\dots, \dfrac{\nu_n(k)-np_k}{\sqrt{np_k}}\)$. Tov\'abb\'a az $X_m$
vektorok f\"uggetlenek \'es egyforma eloszl\'as\'uak, v\'arhat\'o
\'ert\'ek vektoruk nulla, \'es kovariancia m\'atrixuk teljes\'{\i}ti
a $\Cov(X_m^{(j)},X_m^{(l)})=-\sqrt{p_jp_l}$, $1\le j,l\le k$,
$j\neq l$, \'es $\Var X_m^{(j)}=(1-p_j)$, $1\le j,l\le k$, $1\le
m\le n$ rel\'ac\'okat. Ugyanis egyszer\H{u} sz\'amol\'as adja, hogy
$EZ_m=(p_1,\dots,p_k)$, $\Cov(Z_m^{(j)},Z_m^{(l)})=-p_jp_l$, $1\le
j,l\le k$, $j\neq l$, \'es $\Var Z_m^{(j)}=p_j(1-p_j)$, $1\le j,l\le
k$, $1\le m\le n$. Innen l\'atszik, hogy $EX_m=0$, \'es
$\Cov(X_m^{(j)},X_m^{(l)})=
\dfrac{\Cov(Z_m^{(j)},Z_m^{(l)})}{\sqrt{p_jp_l}}=-\sqrt{p_jp_l}$,
$\Var X_m^{(j)}=\dfrac{\Var Z_m^{(j)}}{p_j}=1-p_j$. Innen k\"ovetkezik
speci\'alisan az is, hogy a  $\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel
redukci\'oj\'aban szerepl\H{o} kovarianca m\'atrix\'u (nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'u) (norm\'alis eloszl\'as\'u)
$(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor val\'oban l\'etezik.
Tov\'abb\'a, a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
szerint a $\(\dfrac{\nu_n(1)-np_1}{\sqrt{np_1}},\dots,
\dfrac{\nu_n(k)-np_k}{\sqrt{np_k}}\)$ eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektorok eloszl\'asban konverg\'alnak egy ilyen$(\eta_1,\dots,\eta_k)$
norm\'alis vektorhoz. Ez\'ert alkalmazva az el\H{o}z\H{o} t\'etelt az
$f(x_1,\dots,x_k)=\summ_{j=1}^kx^2_j$ folytonos
f\"uggv\'ennyel kapjuk, hogy a
$\summ_{j=1}^k\dfrac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok\-nak
van hat\'areloszl\'asuk, \'es az megegyezik a $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval. Ez azt
jelenti, hogy a $\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg annak reduk\'alt v\'altozat\'at
bel\'atni.
\medskip
A fenti eredm\'eny azt jelenti, hogy egy norm\'alis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor koor\-di\-n\'a\-t\'a\-i\-b\'ol k\'epezett
kvadratikus forma eloszl\'as\'at kell kisz\'amolnunk. Eml\'ekezz\"unk
arra, hogy egy norm\'alis vektor line\'aris transzform\'altja is
norm\'alis eloszl\'as\'u, \'es tetsz\H{o}leges norm\'alis eloszl\'as\'u
vektor el\H{o}\'all, mint standard norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektor line\'aris transzform\'altja. Ez azt sugallja, hogy
pr\'ob\'aljuk meg a vizsg\'alt (vagy egy vele azonos eloszl\'as\'u)
kifejez\'est el\H{o}\'all\'{\i}tani, mint alkalmas f\"uggetlen
standard norm\'alis eloszl\'aa\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok egyszer\H{u} kvadratikus form\'aj\'at. A
$\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel redukci\'oj\'aban
eredetileg megadott kifejez\'est az\'ert k\'{\i}v\'anjuk
\'atalak\'{\i}tani, mert igaz ugyan, hogy norm\'alis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nagyon egyszer\H{u}
kvadratikus form\'aj\'ar\'ol van sz\'o, viszont a kvadratikus
form\'aban szerepl\H{o} v\'altoz\'ok nem f\"uggetlenek. Viszont az
al\'abbi lemma nagyon hasznos lesz a sz\'amunkra.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os
norm\'alis  eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $D$ kovariancia m\'atrix-szal.
Legyenek a $D$ m\'atrix saj\'at\'ert\'ekei a
$\lambda_1,\dots,\lambda_k$ sz\'amok (multiplicit\'assal). Ekkor a
$\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa megegyezik egy $\summ_{j=1}^k\lambda_j\xi_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval,
ahol $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ A $D$ m\'atrix fel\'{\i}rhat\'o
$D=U\Lambda U^*$ alakban, ahol $U$ unit\'er, $\Lambda$ pedig olyan
diagon\'alis m\'atrix, melynek \'atl\'oj\'aban a $D$ m\'atrix
$\lambda_j$ saj\'at\'ert\'ekei vannak (multiplicit\'assal). (Az $U$
m\'atrix is fel\'{\i}rhat\'o explicit m\'odon a $D$ n\'atrix
saj\'atvektorainak seg\'{\i}ts\'eg\'evel, de erre a t\'enyre most
nincs sz\"uks\'eg\"unk.)
Az $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_k)$ v\'eletlen vektor eloszl\'asa
megegyezik egy $\bar\eta=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)
=\xi\Lambda^{1/2} U^* =(\xi_1,\dots,\xi_k)\Lambda^{1/2} U^*$
v\'eletlen vektor eloszl\'as\'aval, ahol $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$
standard norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Val\'oban
$\bar\eta$ norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektor, melynek v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla \'es kovariancia
m\'atrixa a $(\Lambda^{1/2}U^*)^*\Lambda^{1/2}U^*
=U\Lambda^{1/2}\Lambda^{1/2} U^*=U\Lambda U^*=D$ m\'atrix. Ez\'ert
az $\eta$ \'es $\bar\eta$ v\'eletlen vektorok eloszl\'asa megegyezik.
Innek az is k\"ovetkezik, hogy a $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asa megegyezik a $\summ_{j=1}^k\bar\eta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval. Vegy\"uk
\'eszre, hogy az $\tilde\eta=(\tilde\eta_1,\dots,\tilde\eta_k)
=\bar\eta U=(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)U$ vektorra teljes\"ul a
$\summ_{j=1}^k\bar\eta_j^2=\summ_{j=1}^k\tilde\eta_j^2$ azonoss\'ag,
mert $U$ unit\'er, teh\'at t\'avols\'agtart\'o
transz\-for\-m\'a\-ci\'o. Viszont $\tilde\eta=\bar\eta
U=\xi\Lambda^{1/2}U^*U=\xi\Lambda^{1/2}$.
Ez azt jelenti, hogy a $\summ_{j=1}^k\eta_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa megegyezik a
$\summ_{j=1}^k(\lambda_j^{1/2}\xi_j)^2=\summ_{j=1}^k\lambda_j\xi_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval, \'es ez a
Lemma \'all\'{\i}t\'asa. \medskip
Most befejezz\"uk a $\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'at.
\medskip\noindent
{\it A $\chi^2$ pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel redukci\'oj\'anak a
bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Tekints\"uk a
$\summ_{j=1}^k\eta_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot,
ahol $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
melynek v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla, \'es $D=d_{j,l}$,
$d_{j,l}=\Cov(\eta_j,\eta_l)$, $1\le j,l\le k$, kovariancia
m\'at\-ri\-x\'at a $\Var\eta_j=(1-p_j)$, $1\le j,l\le k$, \'es
$\Cov(\eta_j,\eta_l)=-\sqrt{p_jp_l}$, ha $1\le j,l\le k$, \'es
$j\neq l$ k\'epletek hat\'arozz\'ak meg. Az el\H{o}z\H{o} lemma
alapj\'an azt kell megmutatni, hogy a fenti $D$ kovariancia
m\'atrixnak az 1 $k-1$ multiplicit\'as\'u saj\'at\'ert\'eke (azaz
$k-1$ ortonorm\'alt 1 saj\'at\'ert\'ekkel rendelkez\H{o}
saj\'atvektora van) \'es ezenk\'{\i}v\"ul m\'eg a nulla a
saj\'at\'ert\'eke 1-szeres multiplicit\'assal.
 
\'Irjuk fel a $D$ m\'atrixot $D=I-B$ alakban, ahol $I$ az
identit\'as m\'atrix, $B=(b_{i,j})$, $b_{i,j}=\sqrt{p_i}\sqrt {p_j}$,
$1\le i,j\le k$, \'es vegy\"uk \'eszre, hogy amennyiben egy $B$
m\'atrixnak a saj\'atvektorai $e_1,\dots,e_k$ vektorok,
$\lambda_1,\dots,\lambda_k$ saj\'at\'ert\'ekkel, akkor
tetsz\H{o}leges $c$ sz\'amra az $I+cB$ m\'atrix saj\'atvektorai
ugyanazok az $e_1,\dots,e_k$ vektorok
$1+c\lambda_1,\dots,1+c\lambda_k$ saj\'at\'ert\'ekkel. Ezt az
eredm\'enyt alkalmazva $c=-1$ v\'alaszt\'assal elegend\H{o}
megtal\'alni a $B$ m\'atrix saj\'at\'ert\'ekeit. Viszont egy
$B=(b_ib_j)$, $1\le i,j\le k$ alak\'u m\'atrix egyik saj\'atvektora
a $b=(b_1,\dots,b_k)$ vektor $\summ_{j=1}^kb_j^2$ saj\'at\'ert\'ekkel,
\'es a $b$ vektort ortogon\'alisan kieg\'esz\'{\i}t\H{o} alt\'er a $B$
m\'atrix $k-1$-dimenzi\'os saj\'at altere nulla saj\'at\'ert\'ekkel.
Ez azt jelenti, hogy a nulla a $B$ m\'atrix $k-1$
multiplicit\'as\'u saj\'at\'ert\'eke, mert $B$ $k-1$-dimenzi\'os
nulla saj\'at\'ert\'ek\H{u} saj\'atalter\'enek egy ortonorm\'alt
b\'azisa $k-1$ ortonorm\'alt saj\'atvektort
biztos\'{\i}t nulla saj\'at\'ert\'ekkel.
 
Az el\H{o}bb megfogalmazott \'all\'{\i}t\'asok egyszer\H{u}en
ellen\H{o}rizhet\H{o}ek. Val\'oban egyszer\H{u} sz\'amol\'as mutatja,
hogy a $b=(b_1,\dots,b_k)$ vektorra $bB=\(\summ_{j=1}^kb_j^2\)b$,
\'es ha valamely $c=(c_1,\dots,c_k)$ vektorra $\summ_{j=1}^kc_jb_j=0$,
akkor $cB=0$, mert e vektor $l$-ik koordin\'at\'aja
$b_l\summ_{j=1}^kc_jb_j=0$, \'es ez jelenti a $b$ vektor ortogon\'alis
kieg\'esz\'{\i}t\H{o} alter\'ere megfogalmazott \'all\'{\i}t\'ast.
 
Jelen esetben a tekintett $B$ m\'atrix a fent vizsg\'alt
alak\'u a $b_j=\sqrt{p_j}$ sz\'amokkal. Ez\'ert
$\summ_{j=1}^kb_j^2=\summ_{j=1}^kp_j=1$, a $B$
vektornak a nulla $k-1$-szeres az 1 pedig egyszeres
multiplicit\'as\'u saj\'at\'ert\'eke. Ez azt jelenti, hogy a
$D=I-B$ m\'atrixnak a nulla egyszeres az 1 pedig $k-1$-szeres
multiplicit\'as\'u gy\"oke, mint \'all\'{\i}tottuk.
 
\medskip
V\'eg\"ul bebizony\'{\i}tunk m\'eg egy a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as most megismert tulajdons\'agai alapj\'an egyszer\H{u}en
bizony\'{\i}that\'o, \'es a matematikai statisztik\'aban fontos
szerepet j\'atsz\'o eredm\'enyt.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $X_1,\dots,X_k$ f\"uggetlen standard
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es legyen
$\bar X=\dfrac1k\summ_{j=1}^k X_j$, $\bar X_j=X_j-\bar X$.
Defini\'aljuk az $U=\sqrt k\bar X$ \'es $V=\summ_{j=1}^k\bar X_j^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor $U$ \'es $V$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, tov\'abb\'a $U$
standard norm\'alis \'es $V$ $\chi^2(k-1)$ eloszl\'as\'u.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A matematikai statisztik\'aban vizsg\'alj\'ak a
k\"ovetkes\H{o} probl\'em\'at. Te\-kint\-s\"uk $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
(ismeretlen) $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\sigma^2$
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\H{u} f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozat\'at. A v\'arhat\'o
\'ert\'eket az $\tilde X=\dfrac1k\summ_{j=1}^k\xi_j$ a
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-tet pedig az
$S=\dfrac1{k-1}\summ_{j=1}^k(X_j-\tilde X)^2$ kifejez\'essel
szok\'as becs\"ulni. Vizsg\'alni szokt\'ak ezen becsl\'esek
statisztikai tulajdons\'agait. Vegy\"uk \'eszre, hogy az
$$
\(\dfrac{\sqrt k}\sigma(\tilde X-m), \frac{(k-1) }{\sigma^2}S\)
$$
vektor eloszl\'asa megegyezik a
t\'etelben vizsg\'alt $(U,V)$ vektor eloszl\'as\'aval. Ennek
tulajdons\'agai adnak magyar\'azatot sok statisztikai
m\'odszer eredet\'ere, speci\'alisan az $U$-statisztik\'ak
megjelen\'es\'ere is.
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Tekints\"uk az $(\bar X_1,\dots,\bar
X_k,\bar X)$ v\'eletlen vektort. Ez nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, mert egy norm\'alis vektor
line\'aris transzform\'aci\'oja is norm\'alis elosz\'as\'u.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek a v\'eletlen vektornak a kovariancia
m\'atrix\'at. Vegy\"uk el\H{o}sz\"or \'eszre, hogy
$\Var \bar X=\dfrac1k$, \'es
$$
\align
\Cov(\bar X_j,\bar X)&=\dfrac1k\(\(1-\dfrac1k\)
EX_j^2-\frac1k\(EX_1^2+\cdots+EX_{j-1}^2+EX_{j+1}^2
+\cdots+EX_k^2\)\)\\
&=\dfrac1k\(\(1-\frac1k\)-\dfrac{k-1}k\)=0.
\endalign
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy $(\bar X_1,\dots,\bar X_k)$ egy a $\bar X$
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol
f\"uggetlen nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} v\'eletlen vektor, \'es $\bar X$
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} $\dfrac1k$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor.
 
Tov\'abb\'a,
$$
\Var\bar X_j=\(1-\dfrac1k\)^2\Var
X_j^2+\dfrac{k-1}{k^2}\Var
X_1^2=\dfrac{(k-1)^2+(k-1)}{k^2}=\dfrac{k-1}k,
$$
\'es
$$
\Cov(\bar X_j,\bar
X_l)=-\dfrac1k\dfrac{k-1}k(EX_j^2+EX_l^2)+(k-2)\dfrac{EX_1^2}{k^2}=
-\dfrac{2(k-1)}{k^2}+\dfrac{k-2}{k^2}=-\dfrac1k,
$$
ha $j\neq l$. Ez azt jelenti, hogy alkalmazhatjuk a $\chi^2$
pr\'ob\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel redukci\'oj\'at $p_j=\dfrac1k$,
$1\le j\le k$, v\'alaszt\'assal, \'es az azt adja, hogy a
$V=\summ_{j=1}^k\bar X_j^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\chi^2(k-1)$ eloszl\'as\'u. Tov\'abb\'a l\'attuk, hogy $V$
f\"uggetlen a $\sqrt k \bar X=U$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot\'ol, \'es ez ut\'obbi standard
norm\'alis eloszl\'as\'u. A t\'etelt bel\'attuk.
 
 \bye
 
 
