\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1.3pt
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\font\script=cmcsc10
 
\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II.
el\H{o}ad\'assorozat els\H{o} el\H{o}ad\'asa.}
\centerline{\it 2002. szeptember 10.}
\medskip\noindent
\centerline{\bf A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
megalapoz\'asa.}
\medskip\noindent
Megbesz\'elj\"uk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
modellj\'et, legfontosabb fogalmait. R\'eszben fel\-id\'e\-zem a
sz\"uks\'eges m\'ert\'ekelm\'eleti fogalmakat, eredm\'enyeket
illetve ismertetem a {\it
Va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
alapt\'etel\'e}-nek nevezett eredm\'eny bizony\'{\i}t\'as\'at.
Fontosnak tartom annak indokl\'as\'at, hogy ezek az els\H{o}
l\'at\'asra absztraktnak t\"un\H{o} eredm\'enyek val\'oj\'aban arra
is szolg\'alnak, hogy a heurisztikus \'ervel\'eseket elmondhat\'ov\'a
tegy\'ek. Egy m\'asik fontos, meg\-t\'ar\-gya\-lan\-d\'o k\'erd\'es
az, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as itt ismertetett
Kolmogorov-f\'ele modellje nem t\'ul megszor\'{\i}t\'o-e, meg
lehet-e benne fogalmazni minden \'ertelmesnek tekinthet\H{o}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-r\H{o}l sz\'ol\'o
probl\'em\'at. Erre a k\'erd\'esre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as alapt\'etel\'enek
nevezett ered\-m\'eny ad megnyugtat\'o v\'alaszt.
 
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as modellje absztrakt
megfogalmaz\'as\'aban a k\"ovetkez\H{o}:
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} modellje.} {\it Egy $(\Omega,
\Cal A,P)$ h\'armas val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, ha $\Omega$
egy halmaz, $\Cal A$ egy az $\Omega$ bizonyos r\'eszhalmazaib\'ol
\'all\'o $\sigma$-algebra, $P$ az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an
\'ertelmezett egyre norm\'alt nem negat\'{\i}v $\sigma$-addit\'{\i}v
halmazf\"uggv\'eny. Az ilyen hal\-maz\-f\"uggg\-v\'enyt (egyre norm\'alt
vagy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi) m\'ert\'eknek is szokt\'ak h\'{\i}vni
a $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an.}
\medskip
Felid\'ezz\"uk az itt haszn\'alt fogalmakat.
\medskip\noindent
{\bf Algebra \'es $\sigma$-algebra definici\'oja.} {\it Legyen adva
egy $\Omega$ halmaz, \'es azoknak bizonyos $A\subset \Omega$
r\'eszhalmazainak $\Cal A$ rendszere. Azt mondjuk, hogy $\Cal A$
algebra, ha tetsz\H{o}leges $A\in \Cal A$ halmazra ennek
komplementere, az $\Omega\setminus A$ halmaz is eleme a $\Cal A$
halmazrendszernek, azaz $\Omega\setminus A\in \Cal A$, \'es az
$\emptyset$ \"ures halmaz is eleme az $\Cal A$ algebr\'anak, azaz
$\emptyset\in \Cal A$, tov\'abb\'a, ha $A\in \Cal A$ \'es $B\in \Cal
A$ elemei az $\Cal A$ halmazrendszernek, akkor e halmazok metszete
\'es uni\'oja is teljes\'{\i}ti az $A\cap B\in\Cal A$ valamint $A\cup
B\in \Cal A$ felt\'eteleket.
 
Az $\Cal A$ algebra akkor $\sigma$-algebra, ha ezen k\'{\i}v\"ul
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket is: Ha
$A_1,A_2,\dots$, megsz\'aml\'alhat\'o sok halmaz, melyek az $\Cal A$
algebra elemei, azaz $A_n\in \Cal A$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra,
akkor ezek metszete \'es uni\'oja is benne van az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'aban, azaz $\bigcapp_{n=1}^\infty A_n\in\Cal A$,
\'es $\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\in\Cal A$.}
\medskip\noindent
{\bf Addit\'{\i}v \'es $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny
definici\'oja.} {\it Legyen adva egy $\Omega$ halmaz
r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\Cal A$ $\sigma$-algebra. Azt mondjuk,
hogy egy $\mu(A)$, $A\in\Cal A$, halmazf\"uggv\'eny addit\'{\i}v, ha
b\'armely diszjunkt $A\in \Cal A$ \'es $B\in \Cal A$ halmazra
$\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)$. Azt mondjuk, hogy ez a $\mu$
halmazf\"uggv\'eny nemcsak addit\'{\i}v, hanem $\sigma$-addit\'{\i}v
is, ha minden diszjunkt $A_n\in\Cal A$, $n=1,2,\dots$, halmazokra
$\mu\(\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\)=\summ_{n=1}^\infty\mu(A_n)$. Ez a
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny nem-negat\'{\i}v, ha minden
$A\in\Cal A$ halmazra $\mu(A)\ge0$, \'es egyre norm\'alt, ha
$\mu(\Omega)=1$.} \medskip
 
M\'ar a bevezet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
el\H{o}ad\'asban l\'attuk, hogyan alkalmazzuk ezt a modellt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi feladatok megold\'as\'ara.
Az $\oo\in\Omega$ elemeket (pontokat) nevezt\"uk elemi esem\'enynek,
az \"osszes elemi esem\'eny uni\'oj\'at, $\Omega$-t a biztos
esem\'enynek, \'es kijel\"olt\"unk az $\Omega$ biztos esem\'eny
bizonyos r\'eszhalmazait, melyek egy $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at
alkotnak, az $A\in\Cal A$ halmazoknak (esem\'enyeknek) defini\'altuk
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, de a $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'aba
nem tartalmaz\'o halmazoknak nem besz\'elt\"unk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l. V\'eges sok diszjunkt
halmaz uni\'oj\'anak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege megegyezik az
egyes halmazok (esem\'enyek) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek az
\"osszeg\'evel, azaz a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg addit\'{\i}v,
s\H{o}t ennek az \'all\'{\i}t\'asnak igaz egy er\H{o}sebb form\'aja,
v\'egtelen sok diszjunkt esem\'eny uni\'oj\'anak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege is megegyezik az egyes esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek az \"osszeg\'evel, a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\sigma$-addit\'{\i}v. Az,
hogy a k\'es\H{o}bbiekben ismertetett sz\'amol\'asokat v\'egre tudjuk
hajtani, sz\"uks\'egess\'e teszi, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
teljes\'{\i}tse nemcsak az additivit\'as, hanem a
$\sigma$-additivit\'asi tulajdons\'agot is.
 
Els\H{o} pillanatban arra gondolhatn\'ank, hogy egyszer\"ubb lenne
$\Omega$ minden r\'esz\-hal\-ma\-z\'a\-nak defini\'alni a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. De, mint az m\'ar a bevezet\H{o}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
el\H{o}\-ad\'as\-so\-ro\-zat\-ban kider\"ult, ez egyr\'eszt nem
le\-het\-s\'e\-ges, m\'asr\'eszt nem is sz\"uks\'eges. K\'et
olyan p\'eld\'at tekintett\"unk, ahol (bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul)
megt\'argyaltuk, hogy  egyr\'eszt nem tudjuk $\Omega$ minden
r\'eszhalmaz\'anak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et defini\'alni,
m\'asr\'eszt erre nincs is sz\"uks\'eg\"unk. Csak olyan halmazok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere vagyunk kiv\'ancsiak, melyeket egy
vil\'agosan megfogalmazott szab\'allyal meg tudunk adni, \'es az
ilyen halmazok nem felt\'etlen\"ul terjednek ki $\Omega$ \"osszes
le\-het\-s\'e\-ges r\'eszhalmaz\'ara. A k\'et kor\'abban t\'argyalt
eset, ahol ez a probl\'ema felmer\"ult a k\"ovetkez\H{o} volt.
 
Tekints\"uk egy szab\'alyos p\'enzdarab v\'egtelen sok egym\'ast\'ol
f\"uggetlen feldob\'as\'at, azaz legyen $\Omega$ az \"osszes
le\-het\-s\'e\-ges v\'egtelen hossz\'u fej-\'{\i}r\'as sorozat.
Defini\'aljuk a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-get az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'an \'ugy, hogy annak az esem\'enynek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} $n$
 do\-b\'as\-ban egy el\H{o}\'{\i}rt dob\'assorozat jelenik meg
$2^{-n}$, (ez jelenti azt, hogy egy szab\'alyos p\'enzdarab
egym\'ast\'ol f\"uggetlen dob\'asai k\"ovetkeztek be), \'es
terjessz\"uk ki ezt a definici\'ot \'ertelemszer\"uen. Ezt a
kiterjeszt\'est (nem trivi\'alis) m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel v\'egrehajthatjuk egy $\sigma$-algebr\'ara,
de nem tehetj\"uk meg $\Omega$ minden r\'eszhalmaz\'ara. Ezt a
feladatot ter\-m\'e\-sze\-te\-sen lehet \'altal\'anos\'{\i}tani
m\'as v\'egtelen kis\'erletsorozatra. Ezt a gyakorlaton
fogjuk r\'esz\-le\-te\-seb\-ben meg\-be\-sz\'elni.
 
A m\'asik ilyen t\'{\i}pus\'u feladat az volt, amikor egy
egys\'egn\'egyzetre egyenletesen ledobtunk egy pontot. Ez azt
jelenti, hogy $\Omega=\{(x,y)\:0\le x\le1,\;0\le y\le1\}$, \'es egy
$A=\{[a,b]\times[c,d]\}\in\Omega\}$ t\'eglalapba es\'es
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egyenl\H{o} a t\'eglalap ter\"ulet\'evel,
azaz $(b-a)(d-c)$. Itt is ki lehet terjeszteni a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget,
(ter\"uletet) egy el\'eg gazdag oszt\'alyra, besz\'elhet\"unk annak
az esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l, hogy a
ledobott pont az \'ugynevezett Borel m\'erhet\H{o} halmazok
valamelyik\'ebe esik, de a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
nem terjeszthet\H{o} ki $\Omega$ minden r\'eszhalmaz\'ara. Ezt a
probl\'em\'at is megbesz\'elj\"uk a gyakorlaton.
 
Nemcsak azt kell tiszt\'azni, hogy bizonyos halmazok (esem\'enyek)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et megadva l\'etezik az \'altalunk
vizsg\'alt $\sigma$-algebr\'an val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek,
hanem azt is, hogy az egy\'ertelm\H{u}. Ez jelenti ugyanis azt, hogy
van \'ertelme megk\'erdezni, mi a minket \'erdekl\H{o}
esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, mely esem\'eny a
vizsg\'alt $\sigma$-algebra eleme. Ahhoz, hogy ezt tiszt\'azzuk,
sz\"uks\'eg\"unk van  bizonyos m\'ert\'ekelm\'eleti
eredm\'enyekre. El\H{o}sz\"or bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul
megfogalmazok egy eredm\'enyt, melyet a
Carath\'eodory-f\'ele kiterjeszt\'esi t\'etelnek neveznek. (Ezt
val\'osz\'{\i}n\H{u}leg tanult\'ak m\'ert\'ekelm\'eletb\H{o}l. Az
itteni t\'argyal\'as egyik fontos c\'elja r\'amutatni arra, hogy
bizonyos absztrakt eredm\'enyek hasznosak gya\-kor\-la\-ti vizsg\'alatok
megalapoz\'as\'ara.)
\medskip\noindent
{\bf Carath\'eodory f\'ele kiterjeszt\'esi t\'etel.} {\it Legyen adva
egy $(\Omega,\Cal A,\mu)$ h\'armas, ahol $\Cal A$ algebra (ennek
definici\'oj\'at felid\'eztem az el\H{o}bbiekben).
Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy $\mu$ $\sigma$-addit\'{\i}v a $\Cal
A$ algebr\'an, azaz amennyiben $C_j$, $j=1,2,\dots$, diszjunkt
halmazok $\Cal C_j\in\Cal A$, \'es ezenk\'{\i}v\"ul
$C=\bigcupp_{j=1}^\infty C_j\in\Cal A$, akkor
$\mu(C)=\summ_{j=1}^\infty \mu(C_j)$. Legyen tov\'abb\'a
$\mu(\Omega)<\infty$. Ekkor l\'etezik
egy legkisebb $\sigma(\Cal A)$ az $\Cal A$-t tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb
$\sigma$-algebra,  (ezt nevezz\"uk az $\Cal A$ algebra \'altal
gener\'alt $\sigma$-algebr\'anak), \'es a $\mu$ m\'ert\'ek\/ {\rm
egy\'ertelm\H{u}en} kiterjeszthet\H{o} a $\sigma(\Cal A)$
$\sigma$-algebr\'ara.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A Carath\'eodory t\'etel eredeti alakja
\'altal\'anosabb, \'ugynevezett (halmaz) gy\H{u}r\H{u}kre (vagy kiss\'e
m\'eg \'altal\'anosabban f\'elgy\H{u}r\H{u}kre) vonatkozik.
Egy $\Cal A$ halmazrendszer akkor gy\H{u}r\H{u}, ha egyr\'eszt z\'art
(v\'eges) metszet \'es uni\'ok\'epz\'esre, $\emptyset\in \Cal A$, \'es
ha $A\in \Cal A$, $B\in\Cal A$, akkor $A\setminus B\in \Cal A$. Viszont
nem k\"ovetelj\"uk meg, hogy egy $A\in \Cal A$ halmaz komplementere is
benne legyen a $\Cal A$ gy\H{u}r\H{u}ben. Sz\'amunkra elegend\H{o} csak
az algebr\'akra korl\'atoznunk a figyelm\"unket. L\'enyeges, hogy
amennyiben $\Cal A$ algebra, akkor abb\'ol, hogy $A_n\in \Cal
A$, $n=1,2,\dots$, halmazok egy sorozat\'ara, nem felt\'etlen\"ul
k\"ovetkezik, hogy ezek uni\'oja $\bigcupp_{n=1}^\infty A_n$ is
eleme $\Cal A$-nak. Ezt figyelembe kellett venni az $\Cal A$ algebr\'an
$\sigma$-addit\'{\i}v m\'ert\'ek definici\'oj\'aban.
\medskip
A Carath\'eodory t\'etelb\H{o}l az k\"ovetkezik, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket elegend\H{o}  egy sz\H{u}kebb
halmazrendszeren, egy olyan (halmaz)algebr\'an defini\'alni, amelyik
gener\'alja a minket \'erdekl\H{o} $\sigma$-algebr\'at. Ez seg\'{\i}t
a vizsg\'alatokban, de teljesen nem oldja meg a felmer\"ul\H{o}
probl\'em\'akat, mert tudni kell, hogy az \'altalunk defini\'alt
halmazf\"uggv\'eny $\sigma$-addit\'{\i}v a tekintett algebr\'an.
\medskip\noindent
{\it Nem k\"otelez\H{o} feladat:}
\medskip\noindent
Tekints\"uk az $r$-dimenzi\'os euklid\'eszi t\'ernek azon halmazait,
melyek el\H{o}\'allnak, mint v\'eges sok olyan t\'eglatest uni\'oja,
me\-lyek a koor\-di\-n\'a\-ta\-ten\-ge\-lyek\-kel p\'ar\-hu\-za\-mos
balr\'ol z\'art jobbr\'ol ny\'{\i}lt intervallumok direkt szorzatai.
(Ezek az intervallumok lehetnek f\'elegyenesek vagy egyenesek is.)
Mutassuk meg, hogy az ilyen halmazok algebr\'at alkotnak, de nem
alkotnak $\sigma$-algebr\'at.
 
Tekints\"uk az \"osszes v\'egtelen fej--\'{\i}r\'as sorozatb\'ol
\'all\'o halmaz olyan r\'eszhalmazait, melyek els\H{o} $n$
koordin\'at\'aja valamely $n$ sz\'amra el\H{o}\'{\i}rt, $n=1,2,\dots$,
a t\"obbi koordin\'ata pedig tetsz\H{o}leges. Azon halmazok, melyek
el\H{o}\'allnak v\'eges sok ilyen halmaz uni\'ojak\'ent algebr\'at
alkotnak. M\'asr\'eszt az \"osszes olyan sorozatb\'ol
\'all\'o halmaz, melyben a p\'aros helyeken fej van, a p\'aratlan
helyeken szerepl\H{o} dob\'asok pedig tetsz\H{o}legesek, nem
elemei ennek az algebr\'anak. Ez\'ert ez az algebra nem
$\sigma$-algebra. \medskip
A tov\'abbiak jobb meg\'ert\'ese \'erdek\'eben megbesz\'elj\"uk az
egyik el\H{o}z\H{o} f\'el\'ev v\'eg\'en szerepelt vizsgafeladat
megold\'as\'at.
\vfill\eject
 
\noindent
{\it Feladat:}
\medskip\noindent
Van k\'et egy m\'eter hossz\'u botunk, melyek
mindegyik\'et v\'eletlen\"ul elt\"or\"unk egy\-m\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul \'ugy, hogy minden t\"or\'espont egyform\'an
val\'osz\'{\i}n\H{u}. Az els\H{o} bot hosszabb \'es a m\'asodik bot
r\"ovidebb darabj\'at \"osszeragasztjuk. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az \'{\i}gy \"osszeragasztott bot
hossza kisebb, mint 0.9 m\'eter?
\medskip
A feladatra k\'et term\'eszetes megold\'as adhat\'o. Az egyik az,
hogy kisz\'am\'{\i}tjuk a k\'et \"osszeragasztand\'o botr\'esz
hossz\'anak az eloszl\'as\'at; ezek egyenletes eloszl\'as\'uak, az
$\[\frac12,1\]$ illetve a $\[0,\frac12\]$ intervallumban, f\"uggetlenek
egym\'ast\'ol, ez\'ert konvoluci\'oval kisz\'am\'{\i}thatjuk
\"osszeg\"uknek, az \"osszeragasztott bot hossz\'anak a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et \'es eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ezt
a megold\'asi m\'odot senki sem v\'alasztotta.
 
Mindenki a geometriai val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek m\'odszer\'enek
nevezett elj\'ar\'ast alkalmazta. Ez a k\"ovetkez\H{o}
\'eszrev\'etelen alapul. Legyen az els\H{o} bot baloldali v\'eg\'enek
a hossza $x$, a m\'asodik bot baloldali v\'eg\'enek a hossza $y$.
Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $(x,y)$ pontp\'ar a
$[0,1]\times[0,1]$ n\'egyzet egy $[a,b]\times[c,d]$ t\'eglalap alak\'u
r\'esz\'ebe esik, megegyezik e t\'eglalap ter\"ulet\'enek $(b-a)(d-c)$
ter\"ulet\'evel, ez\'ert, illetve a m\'ert\'ek kiterjeszt\'es\'enek
egy\'ertelm\H{u}s\'ege miatt annak val\'ossz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az $(x,y)$ pontp\'ar beleesik az egy\-s\'eg\-n\'egy\-zet
valamelyik sz\'ep tartom\'any\'aba megegyezik a tartom\'any
ter\"ulet\'evel.
 
Ezek ut\'an meg kell hat\'arozni, melyik tartom\'anyba kell esnie
az $(x,y)$ pontp\'arnak ahhoz, hogy a k\'et \"osszeragasztott bot
\"osszhossza kisebb legyen, mint 0.9. Azok, akik ezt j\'ol
csin\'alt\'ak (figyelembe vett\'ek, hogy az els\H{o} botnak a
hosszabb, a m\'asodiknak pedig a r\"ovidebb v\'eg\'et kell tekinteni)
j\'o eredm\'enyt kaptak, \'es elfogadtam a megold\'asukat. Tal\'an a
legegyszer\H{u}bb \'ugy sz\'amolni, hogy k\"ul\"on tekintj\"uk a
$\{0\le x\le\frac12,\, 0\le y\le\frac12\}$ n\'egyzetet, ahol
az $\{(x,y)\:1-x+y<0.9\}$ tartom\'anyt, a $\{0\le x\le\frac12,\,
\frac12\le y\le1\}$ n\'egyzetet, ahol az $\{(x,y)\:x+y<0.9\}$
tartom\'anyt, a $\{\frac12\le x\le1,\, 0\le y\le\frac12\}$
n\'egyzetet, ahol az $\{(x,y)\:1-x+1-y<0.9\}$ tartom\'anyt, \'es
a $\{\frac12\le x\le1,\, \frac12\le y\le1\}$ n\'egyzetet, ahol az
$\{(x,y)\:x+1-y<0.9\}$ tartom\'anyt kell tekinteni.
Felrajzolva a tekintett tartom\'anyokat, kapjuk, hogy a
k\"ovetkez\H{o} k\'et h\'aromsz\"og egyes\'{\i}t\'es\'eb\H{o}l
\'all\'o tartom\'any ter\"ulet\'et kell tekinteni: Az egyik
h\'aromsz\"ug cs\'ucsai a $(0,\,0.1)$, $(0,\,0.9)$ \'es $(0.5,\,0.4)$
pontok, a m\'asik h\'aromsz\"og\'e pedig az $(1,\,0.1)$, $(1,\,0.9)$
\'es $(0.5,\,0.6)$ pontok. Innen k\"onny\H{u} kisz\'amolni, hogy a
keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg 0.32.
 
Volt egy di\'ak, aki meglep\H{o} \'ervel\'est alkalmazott. Azt
mondta, hogy az els\H{o} \"ossze\-ra\-gasz\-tan\-d\'o bot hossza 0.5
\'es 1 k\"oz\"ott van. T\"orj\"unk le bel\H{o}le 0.5-t, akkor annak
hossza is 0 \'es 0.5 k\"oz\"ott lesz, teh\'at a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg megegyezik annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy a k\'et r\"ovidebb
\"osszeragasztott bot \"osszhossza kisebb, mint 0.4. Ezut\'an az
(el\H{o}b\-bi\-n\'el egy\-sze\-r\H{u}bben \'attekinthet\H{o})
geometriai meggondol\'assal megmutatta, hogy ennek
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'ege 0.32. Amikor r\'eszletesebb
indokl\'ast k\'ertem, csod\'alkozva n\'ezett r\'am.
 
V\'eletlen\"ul kapott-e ez a di\'ak helyes eredm\'enyt vagy
j\'o m\'odszert v\'alasztott? A v\'alasz az, hogy meg lehet indokolni,
hogy ez a m\'odszer j\'o eredm\'enyt ad, de az k\"ul\"on \'ervel\'est
ig\'enyel. Ugyanis a hosszabb botb\'ol let\"orve 0.5 m\'etert egy
m\'as hossz\'us\'ag\'u botot kapunk, mint akkor, ha a r\"ovidebb botot
venn\'enk. Ez azt sugallja, hogy ebben az esetben m\'as megold\'ast
kapunk, h\'{\i}szen k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} feladat eredm\'eny\'et
hasonl\'{\i}tjuk \"ossze.
 
De ha alaposabban v\'egiggondoljuk a helyzetet, r\'aj\"ohet\"unk arra,
hogy mind  a r\"o\-vi\-debb bot hossza, mind a hosszabb bot
hossza minusz 0.5 m\'eter mennyis\'eg ugyanolyan eloszl\'as\'u,
mind a kett\H{o} egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,1/2]$ intervallumban.
Ezenk\'{\i}v\"ul ennek a botnak az eloszl\'asa f\"uggetlen att\'ol,
hogy mi a m\'asik bot hossza. Teh\'at az\'ert kaptunk helyes
megold\'ast, mert az eredm\'eny att\'ol f\"ugg\"ott, hogy a k\'et
te\-kin\-tett bot hossz\'anak mi volt az eloszl\'asa. Annak, hogy a
vizsg\'alt adott eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ot milyen m\'odon kaptuk meg, nincs jelent\H{o}s\'ege.
 
Az el\H{o}bb elmondottakat \'erdemes r\'eszletesebben t\'argyalni.
Ugyanis az itt felmer\"ult probl\'ema sokkal \'altal\'anosabb, mint
ahogyan el\H{o}sz\"or gondoln\'ank. A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok\-r\'ol sz\'ol\'o feladatok \'ugy sz\'olnak, hogy
adva vannak bizonyos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
melyeknek az eloszl\'as\'at ismerj\"uk, vagy bizonyos esem\'enyek,
ame\-lyek\-nek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et ismerj\"uk,
\'es ebben az esetben m\'as esem\'enyek vagy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok viselked\'es\'er\H{o}l
tesz\"unk fel k\'erd\'eseket. Viszont nem besz\'el\"unk semmit
arr\'ol, hogy milyen  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}ben
dolgozunk. Annak \'erdek\'eben, hogy l\'assuk, jogunk van \'{\i}gy
dolgozni, meg kell besz\'elni, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban felvetett probl\'em\'ak
f\"uggetlenek att\'ol, hogy milyen modellben vizsg\'altuk a
k\'erd\'est. Ezen probl\'ema tiszt\'az\'as\'anak \'erdek\'eben
vezess\"unk be el\H{o}sz\"or n\'eh\'any alapvet\H{o} fogalmat, \'es
id\'ezz\"unk fel n\'eh\'any hasznos m\'er\-t\'ek\-el\-m\'e\-le\-ti
eredm\'enyt.
 
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fogalma:} {\it
Legyen adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}. Egy ezen a t\'eren \'ertelmezett val\'os \'ert\'ek\H{u}
(m\'erhet\H{o}) $\xi(\oo)$ f\"uggv\'enyt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak fogunk nevezni. Azaz $\xi$ egy $\Omega\to R^{1}$
lek\'epez\'es. Az a megk\"ot\'es, hogy a f\"uggv\'eny legyen
m\'erhet\H{o}, azt jelenti, hogy minden $x$ val\'os sz\'amra az
$\{\oo\:\xi(\oo)<x\}\in \Cal A$ felt\'etel teljes\"ul.
 
Azt mondjuk, hogy $\xi(\oo)=(\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))$
$n$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, ha
$\xi(\oo)$ m\'erhet\H{o} lek\'epez\'ese az $(\Omega,\Cal A,P)$ t\'ernek
az $(R^n,\Cal B^n)$ t\'erre, azaz minden $(x_1,\dots,x_n)\in R^n$
pontra $\{\oo\:\xi_1(\oo)<x_1,\dots,\xi_n(\oo)<x_n\}\in\Cal A$.}
\medskip
Az el\H{o}bbi definici\'oban csak speci\'alis,
$\{\oo\:\xi_1(\oo)<x_1,\dots,\xi_n(\oo)<x_n\}$ alak\'u halmazokra
k\"ovetelt\"uk meg, hogy a  $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'aban legyenek,
azaz azt, hogy ezek olyan esem\'enyek, melyeknek besz\'elhet\"unk
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'e\-r\H{o}l. De val\'oj\'aban
ebb\H{o}l m\'ar minden ,,\'er\-tel\-mes esem\'eny'' m\'erhet\H{o}s\'ege
k\"ovetkezik, azaz minden ilyen esem\'enynek besz\'elhet\"unk a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'e\-r\H{o}l. Ezt a t\'enyt
fogalmazza meg az al\'abbi m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'eny.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)$ $n$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n. Ekkor az
$n$-dimenzi\'os t\'er tetsz\H{o}leges $B$  Borel m\'erhet\H{o}
halmaz\'ara $\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))\in B\}\in\Cal A$.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A teljess\'eg kedv\'e\'ert felid\'ezz\"uk a Borel
m\'erhet\H{o} halmaz definic\'{i}\'oj\'at. A mi sz\'amunkra elegend\H{o}
annyit tudni, hogy az $n$-dimenzi\'os t\'er minden ,,sz\'ep'' halmaza,
melyekkel k\"ul\"onb\"oz\H{o} feladatok megold\'asa sor\'an
tal\'alkozunk, Borel--m\'erhet\H{o}. A form\'alis definici\'o a
k\"ovetkez\H{o}. Tekints\"uk az euklid\'eszi t\'er r\'eszhalmazait,
ezen bel\"ul az $A(x_1,\dots,x_n)=\{(u_1,\dots,u_n)\:u_1<x_1,\dots,
u_n<x_n\}$ alak\'u halmazokat minden $(x_1,\dots,x_n)$ sz\'am-$n$-esre.
Be lehet l\'atni, hogy l\'etezik az $R^n$ t\'er r\'eszhalmazaib\'ol
\'all\'o legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebra, \'es ezt nevezz\"uk az
$n$-dimenzi\'os t\'er Borel $\sigma$-algebr\'aj\'anak. E Borel
$\sigma$-algebra elemeit (az ebben a $\sigma$-algebr\'aban l\'ev\H{o}
halmazokat) nevezz\"uk Borel m\'erhet\H{o} halmazoknak.
\medskip
Val\'oj\'aban a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban nem
k\"ozvetlen\"ul a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okkal dolgozunk, hanem azok eloszl\'as\'aval. Ez\'ert
felid\'ezz\"uk az al\'abbi definici\'ot.
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it Legyen adva egy
 $\xi(\oo)$ (val\'os \'ert\'ek\H{u}) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Ennek $F(x)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'en az
$F(x)=P\(\{\oo\:\xi(\oo)<x\}\)$, $-\infty<x<\infty$, f\"uggv\'enyt
\'ertj\"uk.}
\medskip\noindent
{\bf T\"obbdimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it
Legyen adva $k$ val\'os \'ert\'ek\H{u} $\xi_1,\dots,\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ezek (egy\"uttes)
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye az
$$
F(x_1,\dots,x_k)=P(\{\oo\:\xi_1(\oo)<x_1,\dots,\xi_k(\oo)<x_k\}),
$$
$k$ v\'altoz\'os f\"uggv\'eny, ahol $-\infty<x_j<\infty$ minden
$1\le j\le k$ indexre.}
\medskip
Ismerve egy (egy vagy t\"obb-dimenzi\'os) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et, m\'as esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et is ki lehet sz\'am\'{\i}tani.
Ezt a t\'enyt fejezi ki az al\'abbi m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'eny.
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok meghat\'aroz\'asa az eloszl\'asf\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.} {\it Legyen egy $n$-di\-men\-zi\-\'os
$(\xi_1,\dots,\xi_n)$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye $F(x_1,\dots,x_n)$. Az $F$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza a
$P\(\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))\in B\}\)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-get minden ,,sz\'ep'' halmazra,
azaz az $n$-dimenzi\'os t\'er minden Borel m\'erhet\H{o} $B$
hal\-ma\-z\'a\-ra. R\'eszletesebben kifejtve l\'etezik olyan az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott $\mu_F$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'ert\'ek az $R^n$ t\'er $\Cal
B_n$ Borel $\sigma$-algebr\'aj\'an \'ugy, hogy
$\mu_F((-\infty,x_1)\times\cdots\times(-\infty,x_n))=F(x_1,\dots,x_n)$.
Tov\'abb\'a $P\(\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))\in B\}\)=\mu_F(B)$
minden $B\in \Cal B$ halmazra.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti eredm\'enyben felhaszn\'altuk azt a
fontos m\'ert\'ekelm\'eleti t\'enyt, hogy minden $F$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez defini\'alni lehet az eredm\'enyben
megfogalmazott tu\-laj\-don\-s\'a\-gok\-kal rendelkez\H{o} $\mu_F$
Lebesgue--Stieltjes m\'ert\'eket. Nem t\'er\"unk ki ennek az
\'al\-l\'{\i}\-t\'as\-nak a bizony\'{\i}t\'as\'ara, csup\'an
megjegyezz\"uk, hogy ezt a m\'ert\'eket el\H{o}sz\"or egyszer\H{u}
halmazokra (els\H{o} megk\"ozel\'{\i}t\'esben azt mondhatjuk, hogy
t\'eglatestek v\'eges uni\'oj\'ara) defini\'aljuk, majd a
Carath\'eodory t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel kiterjesztj\"uk azt a
Borel m\'erhet\H{o} halmazokra. A Carath\'eodory t\'etel
alkalmazhat\'os\'ag\'ahoz meg kell mutatni, hogy a kiindul\'ask\'ent
tekintett halmazokra defini\'alt halmazokon defini\'alt
halmazf\"uggv\'eny $\sigma$-addit\'{\i}v. Ezt az euklid\'eszi t\'er
bizonyos sz\'ep topol\'ogiai tulajdons\'againak seg\'{\i}ts\'eg\'evel
lehet bizony\'{\i}tani.
\medskip
A fenti eredm\'eny azt jelenti, hogy megadva
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et
minden ,,vele kapcsolatos  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget''
meghat\'aroztunk.  Ez\'ert term\'eszetes
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
probl\'em\'akban a vizsg\'aland\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'as\'at megadni. De ahhoz, hogy ilyen m\'odon
dolgozni tudjunk, sz\"uks\'eg\"unk van egy olyan eredm\'enyre,
amelyik megmondja, hogy egy adott f\"uggv\'eny mikor lehet
(egy vagy t\"obb-dimenzi\'os) el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny.
Err\H{o}l sz\'olnak az al\'abbi eredm\'enyek. \medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, \'es legyen $F(x)=P(\{\oo\:\xi(\oo)<x\})$,
$-\infty<x<\infty$, e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokat. \medskip
\item{a)} $F(x)$ monoton n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny.
\item{b)} $F(x)$ balr\'ol folytonos f\"uggv\'eny, azaz
 $\limm_{h\to0,\, h>0} F(x-h)=F(x)$ minden $-\infty<x<\infty$
sz\'amra.
\item{c)} $\limm_{x\to\infty}F(x)=1$.
\item{d)} $\limm_{x\to-\infty}F(x)=0$.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel A1.} {\it Ha egy $F(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az
el\H{o}z\H{o} lemm\'aban megfogalmazott a)---d) tulajdons\'agokat,
akkor az eloszl\'asf\"uggv\'eny. R\'eszletesebben megfogalmazva ez
azt jelenti, hogy ha az $F(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az a)---d)
felt\'eteleket, akkor l\'etezik egy $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, \'es azon olyan $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, melynek az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enye ez az $F(x)$ f\"uggv\'eny.}
 
\medskip\noindent
{\bf T\'etel A2.}\/ {\it Egy $F(u_1,\dots,u_k)$ f\"ugg\-v\'eny
akkor \'es csak akkor (egy\"uttes) eloszl\'asf\"uggv\'enye alkalmas
$\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak
valamely $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
ha ez az $F$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
(i)---(iv) tulajdons\'agokat. \medskip
\item\item {(i)} $F(u_1,\dots,u_k)$ minden v\'altoz\'oj\'anak
balr\'ol folytonos f\"uggv\'enye.
\itemitem {(ii)} $\lim\limits\Sb u_j\to\infty \\ \text{minden }
j=1,\dots,k\text{ sz\'amra}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=1$.
\itemitem{(iii)} $\lim\limits\Sb u_j\to-\infty \\ \text{valamely }
1\le j\le k\text{ sz\'amrra}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=0$. (Ez \'ugy
\'ertend\H{o}, hogy az \"osszes $u_s$, $1\le s\le k$, $s\neq j$
koordin\'at\'at r\"ogz\'{\i}tj\"uk, \'es $u_j\to-\infty$.)
\itemitem{} V\'eg\"ul defini\'aljuk egy az $R^k$ t\'eren defini\'alt
$F$ f\"uggv\'enyre \'es egy
$\bold K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ t\'eg\-la\-test\-re a
$$
\mu(\bold K)=\mu_F(\bold K)=\sum\Sb u_j=\; a_j\text{ vagy
}b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)}F(u_1,\dots,u_k)
$$
mennyis\'eget, ahol $\chi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k
sz\'am\'at az $u_1,\dots,u_k$ sorozatban. Ekkor
\itemitem{(iv)} $\mu_F(\bold K)\ge 0$ minden $\bold K$ t\'eglatestre.}
 
Az, hogy egy (egy vagy t\"obb-dimenzi\'os) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti a fenti t\'e\-te\-lek\-ben megfogalmazott
tulajdons\'agokat, viszonylag egyszer\H{u}en bel\'athat\'o. Megjegyzem,
hogy  a t\"obb-dimenzi\'os esetben megfogalmazott kiss\'e
bonyolultabban hangz\'o (iv) tu\-laj\-don\-s\'ag azt fejezi ki, hogy
a $(\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))$ v\'eletlen vektor nem-negat\'{\i}v
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
esik az olyan t\'eglatestekbe, melyeknek oldalai p\'arhuzamosak a
koor\-di\-n\'a\-ta\-ten\-ge\-lyek\-kel.
 
Nehezebb annak a bizony\'{\i}t\'asa, hogy a t\'etelekben felsorolt
tulajdons\'agokkal rendelkez\H{o} f\"uggv\'eny val\'oban
eloszl\'asf\"uggveny. Azt kell megmutatni, hogy l\'etezik egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, \'es
azon egy (egy vagy t\"obb dimenzi\'os) $\xi$ vektor, amelyiknek
eloszl\'asf\"uggv\'enye ez az $F$ f\"uggv\'eny. Az al\'abbi
konstrukci\'ot \'erdemes csin\'alni.  Ha egy $n$-v\'altoz\'os
f\"uggv\'enyr\H{o}l akarjuk bel\'atni, hogy eloszl\'asf\"uggv\'eny,
akkor k\"ovetkez\H{o}  m\'odon defini\'aljunk
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t \'es rajta
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Legyen
$\Omega$ az $R^n$ $n$-dimenzi\'os t\'er, azaz az elemi esem\'enyek
legyenek az $\oo=(x_1,\dots,x_n)$ sz\'am-$n$-esek, legyen a $\Cal A$
$\sigma$-algebra az $R^n$ t\'er Borel-m\'erhet\H{o} halmazaib\'ol
\'all\'o $\sigma$-algebra. Defini\'alnuk kell m\'eg a $P$ m\'ert\'eket
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} konstrukci\'oj\'anak
megad\'asa \'erdek\'eben. El\H{o}bb azonban defini\'aljuk azt a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, melyr\H{o}l meg akarjuk
mutatni, hogy $F$ az eloszl\'asf\"uggv\'enye. Legyen
$$
\xi(\oo)=\xi(x_1,\dots,x_n)=(\xi_1(x_1,\dots,x_n),\dots,
\xi_n(x_1,\dots,x_n))=(x_1,\dots,x_n).
$$
Ezut\'an defin\'aljuk a $P$ m\'ert\'eket az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'an \'ugy, hogy legyen $$
P((-\infty,x_1)\times\dots\times(-\infty,x_n))=F(x_1,\dots,x_n).
$$
Vil\'agos, hogy amennyiben bel\'atjuk, hogy l\'etezik ilyen
tulajdons\'ag\'u m\'ert\'ek, akkor bel\'atjuk az \'all\'{\i}t\'ast. A
m\'ert\'ekelm\'eletben bel\'atj\'ak, hogy l\'etezik {\it egyetlen}\/
ilyen m\'ert\'ek. Ezt h\'{\i}vj\'ak az $F$ f\"uggv\'eny \'altal
meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott $\mu_F$ Stieltjes m\'ert\'eknek.
 
A most ismertett eredm\'enyek elegend\H{o}ek annak
tiszt\'az\'as\'ahoz, hogy mikor be\-sz\'el\-he\-t\"unk v\'eges sok
adott (egy\"uttes) eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'or\'ol. Ez az eredm\'eny viszont nem elegend\H{o} annak a
k\'erd\'esnek a tiszt\'az\'as\'ahoz, hogy tekinthetj\"uk-e p\'eld\'aul
egy szab\'alyos p\'enzdarab vagy szab\'alyos kocka {\it v\'egtelen}\/
dob\'assorozat\'anak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellj\'et. Az
ilyen modellek l\'etez\'es\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'ahoz tov\'abbi
m\'er\-t\'ek\-el\-m\'e\-le\-ti ered\-m\'e\-nyek sz\"uks\'egesek.
 
V\'egtelen f\"uggetlen kis\'erletek modellj\'et meg lehet
konstru\'alni az al\'abbi (nem tri\-vi\-\'a\-lis) m\'ert\'ekelm\'eleti
eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel m\'ert\'ekterek v\'egtelen szorzat\'ar\'ol.} {\it Legyen
adva v\'egtelen sok $(\Omega_n,\Cal A_n, \mu_n)$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}. Akkor l\'etezik ezeknek
v\'egtelen
$$
(\Omega^\infty,\Cal A^\infty,\mu^\infty)=
\(\prodd_{n=1}^\infty\Omega_n,\prodd_{n=1}^\infty\Cal
A_n, \prodd_{n=1}^\infty\mu_n\)
$$
direkt szorzata. R\'eszletesebben kifejtve a szorzat olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, melyben
$\Omega^\infty=\prodd_{n=1}^\infty\Omega_n$ a v\'egtelen
$(\oo_1,\oo_2,\dots)$ sorozatokb\'ol \'all\'o t\'er, $\Cal A^\infty$
az $A_1\times\cdots A_{n-1}\times A_n\times\Omega_{n+1}\times\cdots$,
$A_j\in \Cal A_j$, $1\le j\le n$, alak\'u hengerhalmazok \'altal
gener\'alt $\sigma$-algebra. A $\mu_\infty$ m\'ert\'eket \'ugy
defini\'aljuk, hogy
$$
\mu^\infty\(A_1\times\cdots\times A_{n-1}\times
A_n\times\Omega_{n+1}\times\cdots\)=\mu(A_1)\dots\mu(A_{n-1})\mu_n(A_n)
$$
minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra \'es $A_j\in\Cal A_j$, $1\le j\le n$
halmazra. Be lehet l\'atni, hogy ez a halmazf\"uggv\'eny
egy\'ertelm\H{u}en kiterjeszthet\H{o} $\sigma$-addit\'{\i}v
halmazf\"uggv\'enny\'e a $\Cal A_\infty$ $\sigma$-algebr\'ara, \'es
\'{\i}gy defini\'aljuk a keresett $\mu^\infty$ m\'ert\'eket.}
\medskip
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban el\H{o}fordul, hogy
v\'egtelen sok nem felt\'etlen\"ul f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot kell tekinteni. Annak
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz, hogy minden term\'eszetes esetben l\'etezik
megfelel\H{o} modell, ahol a vizsg\'aland\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok l\'eteznek a fenti eredm\'enyek nem el\'egs\'egesek. Most
megt\'argyaljuk azt az eredm\'enyt, amelyik durv\'an sz\'olva
azt mondja ki, hogy minden \'ertelmes, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okr\'ol sz\'ol\'o probl\'ema t\'argyalhat\'o a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as klasszikus modellj\'en
bel\"ul. Ezt az ered\-m\'enyt nevezz\"uk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as (Kolmogorov--f\'ele)
alapt\'etel\'enek. Az eredm\'eny megfogalmaz\'asa el\H{o}tt
megfogalmazunk egy hasznos m\'ert\'ekelm\'eleti \'all\'{\i}t\'ast
lemma for\-m\'a\-j\'a\-ban.
\medskip\noindent
{\bf Lemma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sorozatok
eloszl\'as\'anak jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen adva
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok valamilyen $\xi_1,\xi_2,\dots$
v\'egtelen sorozata egy $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, \'es jel\"olje
$F_n(x_1,\dots,x_n)$ az els\H{o} $n$ $(\xi_1,\dots,\xi_n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy\"uttes
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et, $n=1,2,\dots$, Az
$F_n(x_1,\dots,x_n)$, $n=1,2,\dots$, el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
sorozata meghat\'arozza minden ,,sz\'ep v\'egtelen dimenzi\'os $A$
halmazra'' a $P((\xi_1,\xi_2,\dots)\in A)$ esem\'eny
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et. Ez kiss\'e r\'eszletesebben
a k\"ovetkez\H{o}t jelenti. Tekints\"uk a sz\'amegyenes v\'egtelen sok
p\'el\-d\'a\-ny\'a\-nak az $R^\infty=R\times R\times\cdots$ direkt
szorzat\'at, \'es ennek a $B^n\times R\times R\times\dots$ alak\'u
\'ugynevezett hengerhalmazait, ahol $n=1,2,\dots$, tetsz\H{o}leges
eg\'esz sz\'am, \'es $B^n$ az $n$-dimenzi\'os $R^n$ euklid\'eszi t\'er
Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaza. Az ilyen hengerhalmazokat
tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebr\'at h\'{\i}vjuk
az $\Cal A^\infty$ Borel $\sigma$-algebr\'anak az $R^\infty$ t\'eren.
E $\sigma$-algebra elemeit nevezz\"uk sz\'ep halmazoknak, azaz az
$F_n$, $n=1,2,\dots$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek, illetve az \'altaluk
meghat\'arozott
$$
P(\{\oo\:(\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))\in B^n\})=\mu_{F_n}(B^n)
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozz\'ak a
$P(\{\oo\:(\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\dots)\in A\})$, $A\in \Cal A^\infty$
alak\'u ese\-m\'e\-nyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et.}
\medskip
A fenti eredm\'eny alapj\'an term\'eszetes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'egtelen sorozat\'anak az eloszl\'as\'at \'ugy megadni,
hogy tetsz\H{o}leges $n=1,2,\dots$ sz\'amra megadjuk az els\H{o} $n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy\"uttes eloszl\'as\'at.
K\'erd\'es, hogy b\'arhogyan megadhatjuk-e ezeket az
eloszl\'asf\"uggv\'enyeket. Vil\'agos, hogy amennyiben egy esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} $F_n$
\'es $F_m$ eloszl\'asf\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel is meg tudjuk
hat\'arozni, akkor e val\'osz\'{\i}n\'us\'eg k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
m\'odon meghat\'arozott \'ert\'eke meg kell, hogy egyezzen. Ez a
k\"ovetelm\'eny term\'eszetess\'e teszi az al\'abbi
konzisztenciatulajdons\'ag bevezet\'es\'et. A
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as alapt\'etele
azt mondja ki, hogy ak\'arhogy adjuk meg egym\'assal konzisztens
eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy sorozat\'at, l\'etezik olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} \'es azon olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, melyeknek ezek a
f\"uggv\'enyek az eloszl\'asf\"uggv\'enyei. El\H{o}\-sz\"or
megfogalmazzok az eml\'{\i}tett konzisztenciatulajdons\'agot.
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asf\"uggv\'enyek konzisztenci\'aj\'anak a definici\'oja.}
{\it Legyen adva el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek\-nek egy
$F_n(x_1,\dots,x_n)$, $n=1,2,\dots$,  sorozata. Azt mondjuk, hogy
ezen el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek konzisztensek, ha minden
$n=1,2,\dots$ eg\'esz sz\'amra \'es $x_1,\dots,x_n$ sz\'amokra
$F_n(x_1,\dots,x_n)=F_{n+1}(x_1,\dots,x_n,\infty)$. (Az
$F_{n+1}(x_1,\dots,x_n,\infty)$ mennyis\'eget az
$F_{n+1}(x_1,\dots,x_n,\infty)=\limm_{y\to\infty}
F_{n+1}(x_1,\dots,x_n,y)$ rel\'aci\'oval defini\'aljuk.)}
\medskip
Vil\'agos, hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n defini\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozat\'anak
$\xi_1,\xi_2,\dots$,  els\H{o} $n$ eleme \'altal meghat\'arozott $F_n$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek teljes\'{\i}tik  a fenti
konzisztencia tulajdons\'agot, mert $F(x_1,\dots,x_n)=
P(\{\oo\:\xi_1(\oo)<x_1,\dots,\xi_n(\oo)<x_n\})=
P\{\oo\:(\xi_1(\oo)<x_1,\dots,\xi_n(\oo)<x_n,\xi_{n+1}(\oo)<\infty\})
=F_{n+1}(x_1,\dots,x_n,\infty)$. Most megfogalmazzuk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as alapt\'etel\'enek nevezett
\'all\'{\i}t\'ast.
\medskip\noindent
{\bf A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as Kolmogorov-f\'ele
alapt\'etele.} {\it Legyen adva $F_n(x_1,\dots,x_n)$, $n=1,2,\dots$
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy konzisztens sorozata. Ekkor l\'etezik
egy $(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}
\'es azon $\xi_1,\xi_2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata, melyre
$$
P\(\{\oo\:(\xi_1(\oo)<x_1,\dots,\xi_n(\oo)<x_n)\}\)=F_n(x_1,\dots,x_n)
$$
minden $n=1,2,\dots$ indexre \'es $x_1,\dots,x_n$ sz\'amra.}
\medskip
A v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyek jellemz\'es\'et
le\'{\i}r\'o eredm\'eny bizony\'{\i}t\'as\'ahoz hasonl\'oan itt is
term\'eszetes \'es egyszer\H{u} m\'odon defini\'alhatunk egy j\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t \'es rajta alkalmas
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, melyek alkalmas
konstrukci\'ot adnak. A f\H{o} neh\'ezs\'eg annak a megmutat\'asa,
hogy a defini\'alt  $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg val\'oban
$\sigma$-addit\'{\i}v, mint azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek definici\'oj\'aban megk\"ovetelt\"uk.
 
Megfogalmazunk egy tiszt\'an m\'ert\'ekelm\'eleti (illetve a
bizony\'{\i}t\'as jellege alapj\'an topol\'ogiai t\'etelnek is
tekinthet\H{o}) eredm\'enyt, melyet az alapt\'etel
m\'ert\'ekelm\'eleti v\'al\-to\-za\-t\'a\-nak fogunk nevezni, \'es
megmutatjuk, hogy ebb\H{o}l k\"ovetkezik a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as alap\-t\'e\-te\-le.
(Val\'oj\'aban nem neh\'ez bel\'atni, hogy a k\'et
eredm\'eny ekvivalens.)
\medskip\noindent
{\bf A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as alapt\'etel\'enek
m\'ert\'ekelm\'eleti v\'altozata.} {\it Tekints\"uk a sz\'amegyenes
$R^\infty=R\times R\times\dots$ v\'egtelen szorzat\'anak
$B^n\times R\times  R\times\cdots$ alak\'u \'ugynevezett
hengerhalmazait minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra, ahol $B^n\in \Cal B^n$,
ahol $\Cal B^n$ az $R^n$ $n$-dimenzi\'os t\'er Borel-m\'erhet\H{o}
r\'eszhalmazainak $\sigma$-algebr\'aj\'at jel\"oli. Az \"osszes
hengerhalmaz egy $\Cal C$ algebr\'at alkot. Legyen
adva a hengerhalmazok  $\Cal C$ algebr\'aj\'an egy olyan
$\mu$ nem-negat\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny, $\mu(R^\infty)=1$,
amelyik addit\'{\i}v \'es teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
,,gyeng\'{\i}tett $\sigma$-addit\'{\i}vit\'asi tulajdons\'agot'':
Minden r\"ogz\'{\i}tett $n$-re a $\mu$ halmazf\"uggv\'eny
megszor\'{\i}t\'asa a $B^n\times R\times R\times\cdots$, $B^n\in\Cal
B^n$, alak\'u hengerhalmazokra (az ilyen alak\'u halmazok
$\sigma$-algebr\'at alkotnak minden r\"ogz\'{\i}tett $n$ sz\'amra.)
$\sigma$-addit\'{\i}v. Ekkor a $\mu$ halmazf\"uggv\'eny
$\sigma$-addit\'{\i}v a $\Cal C$ algebr\'an.}
\medskip
El\H{o}sz\"or megmutatjuk, hogy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'amit\'as alap\-t\'e\-te\-le
k\"ovetkezik annak m\'ert\'ekelm\'eleti v\'altozat\'ab\'ol.
El\H{o}sz\"or megkonstru\'aljuk azt az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, ahol a k\'{\i}v\'ant
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
defini\'alni tudjuk. Legyen $\Omega=R^\infty=R\times R\times\dots$, a
sz\'amegyenes \"onmag\'aval vett v\'egtelen direkt szorzata, $\Cal
A=\Cal B^\infty$, az $R^\infty$ t\'eren defini\'alt Borel
$\sigma$-algebra, (ez megegyezik a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as alap\-t\'e\-te\-l\'e\-nek
m\'ert\'ekelm\'eleti v\'altozat\'aban is tekintett hengerhalmazok
\'altal  gener\'alt $\sigma$-algebr\'aval), v\'eg\"ul defini\'aljuk a
$P$ m\'ert\'eket a k\"ovetkez\H{o} m\'odon: Legyen
$P(B^n\times R\times\dots)=\mu_{F_n}(B^n)$, $B^n\in\Cal B^n$, ahol
$\Cal B^n$ az $R^n$ $n$-dimenzi\'os t\'er Borel
$\sigma$-algebr\'aja, $\mu_{F_n}$ az $F_n(x_1,\dots,x_n)$
$n$-dimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal
gener\'alt \'ugynevezett Le\-besgue\--Stieltjes m\'ert\'ek az
$n$-dimenzi\'os t\'eren. (N\'emi munk\'aval be lehet l\'atni, hogy a
konzisztencia felt\'etel biztos\'{\i}tja, hogy ez a definici\'o jogos,
nem defini\'altuk ugyanannak az esem\'enynek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon. Meg lehet
p\'eld\'aul muatatni, hogy
$P(B^n\times R\times\dots)=\mu_{F_{n+1}}(B^n\times R)=\mu_{F_n}(B_n)$.
Ellen\H{o}rizni lehet, hogy az \'{\i}gy defini\'alt $P$
halmazf\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a alap\-t\'e\-te\-l
m\'ert\'ekelm\'eleti v\'altozat\'anak felt\'eteleit, ez\'ert ezen
eredm\'eny alapj\'an $\sigma$-addit\'{\i}v
a $\Cal C$ algebr\'an. Ezut\'an a Ca\-ra\-th\'e\-odory
t\'etel alapj\'an ezt a m\'ert\'eket ki lehet terjeszteni a  $\Cal
B^\infty$ $\sigma$-algebr\'ara.
 
A tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} elemi esem\'enyei
az $\oo=(x_1,x_2,\dots)$ v\'egtelen sz\'am\-so\-ro\-za\-tok.
Defini\'aljuk a $\xi_n(\oo)=\xi_n(x_1,x_2,\dots)$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot a
$\xi_n(x_1,x_2,\dots)=x_n$ k\'eplettel. Ez a modell teljes\'{\i}ti a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as alapt\'etel\'et.
 
\medskip\noindent
{\script A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as alapt\'etel\'enek
egy term\'eszetes \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.}
\medskip\noindent
 
Felmer\"ulhet az itt t\'argyalt probl\'ema k\"ovetkez\H{o}
term\'eszetes \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-sa.
Legyen adva egy tetsz\H{o}leges sz\'amoss\'ag\'u $T$ indexhalmaz.
Rendelj\"unk hozz\'a a $T$ halmaz minden v\'eges $\{t_1,\dots,t_n\}$
r\'eszhalmaz\'ahoz egy $F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})$
eloszl\'asf\"uggv\'enyt. Mikor tudunk konstru\'alni egy  $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t \'es azon megadni $\xi_t$,
$t\in T$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak egy rendszer\'et
\'ugy, hogy a $(\xi_{t_1},\dots,\xi_{t_n})$ v\'eletlen vektor
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye az
$F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny
legyen a $T$ halmaz minden $\{t_1,\dots,t_n\}$  v\'eges
r\'eszhalmaz\'ara? R\"o\-vi\-den meg\-t\'ar\-gyal\-juk ezt a
k\'erd\'est, de a r\'eszletek tiszt\'az\'asa r\'eszben a gyakorlatra
marad, illetve az \'erdek\H{o}d\H{o}knek maguknak kell azokat
kidolgozni.
 
Term\'eszetes m\'odon defini\'alhat\'o a konzisztencia felt\'etele
ebben az esetben is. Azt a t\'enyt kell megfogalmazni, hogy amennyiban
adva van v\'eges sok val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ezek k\"oz\"ul n\'eh\'any
v\'altoz\'o \'ert\'eke kisebb, mint v\'eg\-te\-len, a t\"obbiek\'e
pedig kisebb mint bizonyos el\H{o}\'{\i}rt sz\'amok nem v\'altozik, ha
azokat az (\"ures) felt\'eteleket elhagyjuk, melyek szerint bizonyos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'ert\'ekei v\'egtelenn\'el
kisebbek. Ennek a tulajdons\'agnak form\'alis megfogalmaz\'as\'at
elhagyom. Maga a konstrukci\'o el\'eg term\'eszetes, \'es a
konstrukci\'o helyess\'eg\'enek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz az alapt\'etel
m\'ert\'ekelm\'eleti v\'altozat\'anak bizonyos
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'ara van sz\"uks\'eg. R\"oviden le\'{\i}rom
a konstrukci\'ot, \'es r\'amutatunk, hogy a sz\"uks\'eges
\'alal\'anos\'{\i}tott t\'etel val\'oj\'aban k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-nye
az alapt\'etel m\'ert\'ekelm\'eleti v\'altozat\'aanak.
 
Az $(\Omega,\Cal A, P)$ teret a k\"ovetkez\H{o} m\'odon defini\'aljuk:
Az $\Omega$ halmaz \'ugy tekinthet\H{o}, mint a sz\'amegyenes
,,direkt $T$-ik hatv\'anya''. Ez pontosabban \'ogy fogalmazhat\'o meg,
hogy az $\Omega$ halmaz az \"osszes lehets\'eges a $T$ t\'eren
\'ertelmezett val\'os \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'enyb\H{o}l \'all. Ez azt
jelenti, hogy egy elemi esem\'eny egy a $T$ t\'eren defini\'alt $f(t)$,
$t\in T$, val\'os sz\'am \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'eny. Defini\'alunk
ezen egy az $\Omega$ halmaz r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\Cal C$
(halmaz)algebr\'at a k\"ovetkez\H{o} m\'odon. Vesz\"unk
egy tetsz\H{o}leges $n$ eg\'esz sz\'amot, egy $n$ elem\H{u}
$\{t_1,\dots,t_n\}\subset T$ halmazt \'es $B\in \Cal B_n$ halmazt,
ahol $\Cal B_n$ az $n$-dimenzi\'os t\'er Borel $\sigma$-algebr\'aj\'at
jel\"oli, \'es ezek seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $C(t_1,\dots,t_n,B)\subset \Omega$ halmazt:
$C(t_1,\dots,t_n,B)=\{f(t),\,t\in T:(f(t_1),\dots,f(t_n))\in B\}$. Az
ilyen m\'odon el\H{o}\'all\'{\i}that\'o halmazok lesznek elemei a
$\Cal C$ algebr\'anak. Ezen halmazok
$P$-val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et a
$P(C(t_1,\dots,t_n,B))=\mu_{F_{t_1,\dots,t_n}}(B)$ k\'eplettel
defini\'aljuk, ahol $\mu_{F_{t_1,\dots,t_n}}$ az $F_{t_1,\dots,t_n}$
eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal defini\'alt Lebesgue--Stieltjes
m\'ert\'ek. A konzisztenciafelt\'etel biztos\'{\i}tja azt, hogy ez a
definici\'o jogos, a $P(C)$, $C\in\Cal C$, halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nem f\"ugg att\'ol, hogyan adtuk
meg a $C$ halmazt. Sz\"uks\'eg\"unk van az alapt\'etel
m\'er\-t\'ek\-el\-m\'e\-le\-ti v\'altozat\'anak arra az
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'ara, mely szerint ez a $P$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\sigma$-addit\'{\i}v a $\Cal C$
algebr\'an. Akkor a Carath\'eodory t\'etel szerint ezt a m\'ert\'eket
kiterjeszthetj\"uk a $\Cal C$ \'altal gener\'alt $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'ara.
 
Az \'{\i}gy konstru\'alt $(\Omega,\Cal A, P)$ lesz az a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, amin dolgozunk, \'es
tet\-sz\H{o}\-le\-ges $t_0\in T$ indexre a $\xi_{t_0}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot a $\xi_{t_0}(\oo)=f(t_0)$
k\'eplettel defini\'aljuk, ha $\oo=f(t),\;t\in T$.
 
Az \'{\i}gy defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asa a k\'{\i}v\'ant lesz. Ennek igazol\'as\'aban az egyetlen
nehezebben bizony\'{\i}that\'o l\'ep\'es annak megmutat\'asa, hogy
val\'oban egy $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket
defini\'altunk. Viszonylag egyszer\H{u} bel\'atni, hogy ezt a
bi\-zo\-ny\'{\i}\-tan\-d\'o \'all\'{\i}t\'ast reduk\'alni lehet arra az
esetre, amikor a $T$ halmaz megsz\'aml\'alhat\'o. Ez a reduk\'alt
feladat viszont m\'ar csak jel\"ol\'esekben t\'er el az alapt\'etel
m\'ert\'ekelm\'eleti v\'altozat\'anak nevezett eredm\'enyt\H{o}l.
 
Mennyire tekinthet\H{o} kiel\'eg\'{\i}t\H{o}nek, teljesnek a fenti
eredm\'eny a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'a\-si
modellek megalapoz\'as\'aban? Ez az eredm\'eny le\'{\i}rja, hogy mikor
lehet val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy $T$
param\'etercsal\'addal indexelt rendszer\'et megadni azok v\'eges
deimenzi\'os eloszl\'asainak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ez bizonyos
szempontb\'ol teljesen kiel\'eg\'{\i}t\H{o} eredm\'eny. M\'as\-r\'eszt
a sztochasztikus folyamatok elm\'elet\'eben tov\'abbi probl\'em\'ak
jelennek meg. \'Igy p\'eld\'aul egy r\'eszecske apr\'o v\'eletlen
\"utk\"oz\'esek sor\'an kialakult mozg\'as\'anak le\'{\i}r\'as\'ara
meg\-al\-kot\-t\'ak az \'ugynevezett Brown mozg\'as modellj\'et, mely
fontos szerepet j\'atszik a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban.
Felteszik, hogy a Brown mozg\'as trajekt\'ori\'aja folytonos. Annak
megmagyar\'az\'asa, hogy ez mit jelent, mi\'ert szabad
feltenni tov\'abbi vizsg\'alatokat ig\'enyel. De mivel ez nem az
itteni val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II. tant\'argy
t\'em\'aja, hanem a sztochasztikus folyamatok elm\'elet\'ebe tartozik,
ezzel a k\'erd\'essel nem fogunk itt foglalkozni.
 
\medskip\noindent
{\script Kieg\'esz\'{\i}t\'es: A
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi alapt\'etel
m\'ert\'ekelm\'eleti v\'al\-to\-za\-t\'a\-nak bizony\'{\i}t\'asa.}
\medskip\noindent
Az alapt\'etel m\'ert\'ekelm\'eleti v\'altozat\'anak
bizony\'{\i}t\'asa a k\"ovetkez\H{o} gondolaton alapul. Ismeretes
(\'es nem neh\'ez bel\'atni), hogy egy $\Cal C$ algebr\'an
\'ertelmezett $P$ nem-negat\'{\i}v addit\'{\i}v
halmazf\"uggv\'eny akkor \'es csak akkor $\sigma$-addit\'{\i}v,
ha minden olyan $A_n\in \Cal C$ so\-ro\-zat\-ra, melyre
$\bigcapp_{n=1}^\infty A_n=\emptyset$, teljes\"ul a
$\limm_{n\to\infty}P\(\bigcapp_{j=1}^nA_j\)=0$ rel\'aci\'o.
Ezt a tulajdons\'agot fogjuk ellen\H{o}rizni. Mi\'ert \'erdemes ezt a
tulajdons\'agot vizsg\'alni? A $\sigma$-addit\'{\i}vit\'as
bizony\'{\i}t\'as\'aban a neh\'ezs\'eget az okozza, hogy
esem\'enyek v\'egtelen sorozat\'ar\'ol sz\'ol\'o tu\-laj\-don\-s\'a\-got
kell ellen\H{o}rizni. Azzal, hogy most v\'egtelen metszetekr\H{o}l
sz\'ol\'o tulajdons\'agot  tekint\"unk, l\'atsz\'olag semmit sem
nyer\"unk. Az, hogy m\'egis egyszer\H{u}bb ennek
ellen\H{o}rz\'ese, azzal f\"ugg \"ossze, hogy bizonyos topol\'ogiai
eredm\'enyek lehet\H{o}v\'e teszik a v\'eges metszetekr\H{o}l
sz\'ol\'o eredm\'enyek felhaszn\'al\'as\'at.
 
El\H{o}sz\"or felid\'ezz\"uk a k\"ovetkez\H{o} topol\'ogiai
eredm\'enyt: Ha egy (sz\'ep) topologikus t\'erben
kompakt $K_n$, $n=1,2,\dots$, halmazok
metszete \"ures, $\bigcapp_{n=1}^\infty K_n=\emptyset$, akkor
l\'etezik olyan v\'eges $N$ eg\'esz sz\'am, melyre $\bigcapp_{n=1}^N
K_n=\emptyset$. Nek\"unk nemcsak kompakt
halmazokkal kell dolgoznunk, de a k\"ovetkez\H{o}, a
m\'ert\'ekelm\'eletben ismert eredm\'eny seg\'{\i}t az \'altal\'anos
esetet erre az egyszer\H{u}bben kezelhet\H{o} esetre reduk\'alni.
Legyen adva egy (nem-negat\'{\i}v, v\'eges) $\mu$ Lebesgue--Stieltjes
m\'ert\'ek az $R^n$ $n$-dimenzi\'os t\'er $\Cal B^n$ Borel
$\sigma$-algebr\'aj\'an. Minden $A\in \Cal B^n$ Borel m\'erhet\'o
halmazra \'es $\e>0$ sz\'amra l\'etezik olyan $K\subset A$ kompakt
halmaz, melyre $\mu(K)>\mu(A)-\e$. Megjegyezz\"uk, hogy hasonl\'o
gondolat szerepel a Lebesgue--Stieltjes m\'ert\'ekek l\'etez\'es\'enek
a bizony\'{\i}t\'as\'aban is. Ezenk\'{\i}v\"ul felid\'ezz\"uk
a topol\'ogia egyik legfontosabb eredm\'eny\'et, a Tyihonov t\'etelt,
amelyik szint\'en hasznos lesz a sz\'amunkra: Kompakt topol\'ogikus
terek direkt szorzata kompakt.
 
A fenti kompakts\'agi \'erveket alkalmaz\'o m\'odszer
alkalmaz\'as\'aban a f\H{o} neh\'ezs\'eg, hogy a $K^n\times R\times
R\times\cdots$ alak\'u hengerhalmazok nem lehetnek kompaktak. E
neh\'ezs\'eg lek\"uzd\'es\'enek k\'et term\'eszetes m\'odja
van. Az egyik lehet\H{o}s\'eg abb\'ol \'all, hogy nem haszn\'aljuk
k\"ozvetlen\"ul a kompakts\'agi \'erveket, hanem indirekt m\'odon
meg\-pr\'o\-b\'al\-juk be\-bi\-zo\-ny\'{\i}\-ta\-ni a kompakts\'agi
m\'odszerek \'altal sugallt eredm\'enyeket. Ezt a bizony\'{\i}t\'asi
m\'odszert alkalmazza a R\'enyi Alfr\'ed
,,Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as'' c\'{\i}m\H{u}
k\"onyv\'eben a IV. fejezet 22. paragrafus\'aban (Kolmogorov-f\'ele
alapt\'etel 235.--238. oldal) szerepl\H{o} bizony\'{\i}t\'as. Itt
bizonyos \'atl\'os m\'odszer seg\'{\i}ts\'eg\'evel t\"ort\'enik annak a
bizony\'{\i}t\'asa, hogy alkalmas approxim\'al\'o ,,majdnem kompakt''
halmazok v\'eges metszete is \"ures. Mi m\'as m\'odszert
k\"ovet\"unk. Megmutatjuk, hogy a topol\'ogia
kompaktifik\'aci\'os elj\'ar\'as\'anak fel\-hasz\-n\'a\-l\'a\-s\'a\-val
a k\'{\i}v\'ant eredm\'eny a topol\'ogia \'es m\'ert\'ekelm\'elelet
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel be\-bi\-zo\-ny\'{\i}t\-ha\-t\'o.
 
El\H{o}sz\"or megfogalmazzuk az alapt\'etel m\'ert\'ekelm\'eleti
v\'altozat\'anak egy olyan m\'o\-do\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'at, ahol a
sz\'amegyenes \'es annak \"onmag\'aval $n$-szer illetve v\'egtelen
sokszor vett $R^n$ \'es $R^\infty$ direkt szorzatai helyett a
sz\'amegyenes egypontos kompaktifik\'aci\'oj\'anak \"onmag\'aval vett
direkt szorzatait tekintj\"uk, \'es azon fogalmazzuk meg a T\'etel
term\'eszetes meg\-fe\-le\-l\H{o}\-j\'et. Jel\"olje $\bar
R=R\cup\{\infty\}$ a sz\'amegyenes egypontos kompaktifik\'aci\'oj\'at,
\'es legyen $\bar R^n=\undersetbrace{n-\text{szer}}\to{\bar
R\times\cdots\times \bar R}$,
$\bar R^\infty=\bar R\times \bar R\times\cdots$, jel\"olje $\bar{\Cal
B}^n$ az $\bar R^n$ t\'eren defini\'alt term\'eszetes Borel
$\sigma$-algebr\'at, amelyik p\'eld\'aul \'ugy defini\'alhat\'o, mint
az $A_1\times\dots\times A_n$ alak\'u halmazok \'altal az $\bar R^n$
t\'eren gener\'alt $\sigma$-algebra, ahol olyan $A_j$, $1\le j\le n$,
olyan halmazok, melyekre $A_j$ vagy eleme a sz\'amegyenes Borel
$\sigma$-algebr\'aj\'anak vagy $A_j=A^0_j\cup\{\infty\}$, \'es $A^0_j$
eleme a sz\'amegyenes Borel $\sigma$-algebr\'aj\'anak. Jel\"olje
$\bar{\Cal C}$ az \"osszes $B^n\times\bar R\times\bar R\times\cdots$
alak\'u halmazb\'ol \'all\'o halmazrendszert, ahol $B^n\in
\bar{\Cal B}^n$, $n=1,2,\dots$. Nem neh\'ez megmutatni,
hogy $\bar{\Cal C}$ algebra. Defini\'aljuk a $\bar\mu$
halmazf\"uggv\'enyt a $\bar{\Cal C}$ algebr\'an a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon: Egy $B^n\times\bar R\times\bar R\times\cdots$,
$B^n\in\bar{\Cal B}^n$, $n=1,2,\dots$, alak\'u halmazon
$\bar\mu(B^n\times \bar R\times\bar R\times\cdots)=\mu\((B^n\cap
R^n)\times R\times R\times\cdots\)$. Nem neh\'ez bel\'atni, hogy ez
a definici\'o jogos, azaz ugyanannak a halmaznak k\'et
k\"ul\"onb\'oz\H{o} el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'ahoz
ugyanazt $\bar\mu$ m\'ert\'eket rendeli hozz\'a ez a definici\'o,
$\bar\mu$ addit\'{\i}v a $\bar{\Cal C}$ algebr\'an, \'es
ezenk\'{\i}v\"ul, ha r\"ogz\'{\i}t\"unk egy $n$ sz\'amot, akkor a
$\bar\mu$ halmazf\"uggv\'eny megszor\'{\i}t\'asa a $B^n\times\bar
R\times \bar R\times\cdots$, $B^n\in \bar{\Cal B}^n$ alak\'u halmazokra
$\sigma$-add\'{\i}t\'{\i}v. Bel\'atjuk el\H{o}sz\"or azt, hogy $\bar
\mu$ a $\bar{\Cal C}$ algebr\'an is $\sigma$-addit\'{\i}v.
 
Tekints\"uk olyan $A_n\in\bar {\Cal C}$, $n=1,2,\dots$, halmazok
sorozat\'at, melyekre $\bigcapp_{n=1}^\infty A_n=\emptyset$. Be
akarjuk l\'atni, hogy ekkor $\limm_{n\to\infty}
\bar\mu\(\bigcapp_{j=1}^n A_j\)=0$. Ennek \'erdek\'eben megmutatjuk,
hogy mindegyik $A_n$ halmazhoz l\'etezik olyan
$K_n\subset A_n$ kompakt halmaz, melyre $\bar\mu(A_n\setminus K_n)\le
2^{-n}$. Val\'oban, fel\'{\i}rva az $A_n$ halmazt
$A_n=B^{m(n)}\times\bar R\times\bar R\times\cdots$
alakban, ahol $B^{m(m)}\in\bar{\Cal B}^{m(n)}$ alkalmas $m(n)$
index-szel, tal\'alhatunk olyan kompakt $K_n^0\in \Cal B^{m(n)}$,
$K_0\subset B^{m(n)}$, halmazt, melyre
$\bar\mu\(\((B^{m(n)}\setminus K_n^0)\cap R^{m(n)}\)\times \bar R
\times\bar R\times\cdots\)\le2^{-n}$. Itt azt haszn\'altuk ki,
hogy minden az $R^{m(n)}$ euklid\'eszi t\'er $\Cal B^{m(n)}$
$\sigma$-algebr\'aj\'an defini\'alt v\'eges m\'ert\'ekre b\'armely
Borel m\'erhet\H{o} halmaz m\'ert\'eke tetsz\H{o}leges pontoss\'aggal
k\"ozel\'{\i}thet\H{o} e halmaz \'altal tartalmazott alkalmas kompakt
halmaz m\'ert\'ek\'evel. Ekkor $K_n=K^0_n\times \bar R\times\bar R
\cdots$ kompakt halmaz (mivel $\bar R$ is kompakt, \'es alkalmazhatjuk
a Tyihonov t\'etelt), $K_n\in\bar{\Cal C}$, $K_n\subset A_n$ \'es
$\bar\mu(A_n\setminus K_n)\le2^{-n}$. Ekkor $\bigcapp_{n=1}^\infty
K_n=\emptyset$, \'es mivel a $K_n$ halmazok kompaktak, l\'etezik olyan
$N$ index melyre $\bigcapp_{j=1}^N K_j=\emptyset$, \'{\i}gy
$\bar\mu\(\bigcapp_{j=1}^n K_j\)=0$ minden $n\ge N$
sz\'amra. Ez\'ert $\bar\mu\(\bigcapp_{j=1}^n A_j\)\le\summ_{j=n}^\infty
\bar\mu(A_j\setminus K_j)\le\summ_{j=n}^\infty 2^{-j}\le 2^{-(n-1)}$
minden $n\ge N$ sz\'amra. Innen k\"ovetkezik a bizony\'{\i}tand\'o
$\limm_{n\to\infty} \bar\mu\(\bigcapp_{j=1}^n
A_j\)=0$ \'all\'{\i}t\'as.
 
Innen k\"ovetkezik, hogy a $\bar\mu$ halmazf\"uggv\'eny m\'ert\'ek a
$\bar{\Cal C}$ algebr\'an. Ez\'ert a Cara\-th\'e\-o\-dory t\'etel
alapj\'an $\bar\mu$ egy\'ertelm\H{u}en  kiterjeszthat\H{o}
m\'ert\'ekk\'e a $\bar{\Cal C}$ algebra \'altal gener\'alt
$\sigma(\bar{\Cal C})$ $\sigma$-algebr\'ar\'ara. Nyilv\'an
$\bar\mu(\bar R^\infty)=1$. Annak \'erdek\'eben, hogy az alapt\'etel
m\'ert\'ekelm\'eleti v\'altozat\'at bebizony\'{\i}tsuk eredeti
form\'aj\'aban vegy\"uk \'eszre, hogy $\bar\mu(R^\infty)=1$.
Val\'oban, $\bar\mu(R^\infty)=\limm_{n\to\infty}\bar\mu(R^n\times
\bar R\times\bar R\times\cdots)=1$. Innen k\"ovetkezik, hogy
$\mu(C)=\bar\mu(C)$ minden $C\in \Cal C$ halmazra. Ez ut\'obbi
rel\'aci\'o az\'ert igaz, mert ha
$C=B^n\times R\times R\times\cdots$ valamilyen $B\in\Cal B^n$
halmazra, akkor $C=\bar C\cap R^\infty$, ahol $\bar C=B^n\times\bar R
\times\bar R\times\cdots$. Innen $\bar\mu(C)=\bar\mu(\bar C\cap
R^\infty)=\bar\mu(\bar C)=\mu(C)$. Mivel $\Cal C\subset
\sigma(\bar{\Cal C})$ innen k\"ovetkezik, hogy $\mu$ m\'ert\'ek a
$\Cal C$ algebr\'an. Ez azt jelenti, hogy bebizony\'{\i}tottuk az
alapt\'etel m\'ert\'ekelm\'eleti v\'altozat\'at.
 
 
\bye
 
 
 
