\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 \nopagenumbers
\centerline{\bf DOLGOZAT FELADATOK}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Abban az esetben, ha egy megk\'erdezett fogalom
defin\'{\i}ci\'oj\'at t\"obb (egy\-m\'as\-sal ekvivalens) m\'odon
lehet megadni, akkor ezek mindegyike j\'o v\'alasznak min\H{o}s\"ul.
\bigskip
\item{1.} Legyen $\xi$ egy v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es egy
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye a
$\varphi(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}} e^{-(x-1)^2/2}$ f\"uggv\'eny, \'es
legyen $t$ val\'os sz\'am. Sz\'amoljuk ki az $e^{t\xi}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\item{2.} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$ \'es
$\mu$ param\'eterrel, azaz legyen s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk
$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, \'es
$f(x)=0$, ha $x<0$, illetve $g(x)=\mu e^{-\mu x}$, ha $x\ge0$, \'es
$g(x)=0$, ha $x<0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi+\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{3.} Adott k\'et urna, mindkett\H{o}ben 5 feh\'er \'es 10 piros
goly\'o. Elv\'egz\"unk 10 h\'uz\'ast, mindegyik alkalommal kih\'uzunk
egy-egy goly\'ot a k\'et urn\'ab\'ol visszatev\'es n\'elk\"ul. Ha
egyforma sz\'{\i}n\H{u} goly\'okat h\'uzunk, akkor 2 forintot
nyer\"unk, ha k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'{\i}n\H{u}eket, akkor 1
forintot vesz\'{\i}t\"unk. Sz\'amoljuk ki nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et.
\item{4.} P\'eter \'es P\'al a k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot j\'atssza.
Mind a ketten feldobnak egy szab\'alyos dob\'okock\'at. Ha P\'al
dobott nagyobbat, akkor \H{o} nyer h\'arom forintot P\'etert\H{o}l, ha
P\'eter dob\'asa nagyobb, akkor P\'al fizet P\'eternek h\'arom
forintot. Ha a dob\'asok egyenl\H{o}ek, akkor senki sem fizet a
m\'asiknak. Ezt a j\'at\'ekot j\'atssz\'ak 3000 alkalommal.
Adjunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel \'es a mell\'ekelt norm\'alis
eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra, hogy P\'eter
legal\'abb 90 forintot nyer.
\item{5.} Mikor konverg\'al $F_n(x)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozata eloszl\'asban egy $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez?
\bigskip
 
\centerline{\bf MEGOLD\'ASOK}
\medskip
\item{1.} Ha $\xi$ $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel
rendelkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $h(x)$ val\'os
\'ert\'ek\H{u} (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny, akkor $Eh(\xi)=\int
h(x)f(x)\,dx$. Eset\"unkben ez azt jelenti, hogy ha $\xi$ standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$$
Ee^{t\xi}=\dsize\int_{-\infty}^\infty{e^{tx}}\frac{e^{-(x-1)^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx.
$$
Innen
$$
\align
Ee^{t\xi}&=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{tx-(x-1)^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx
=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{(t+1)x-x^2/2-1/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx\\
&=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{(t+1)^2/2-(t+1-x)^2/2-1/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx
=e^{(t+1)^2/2-1/2}\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{-x^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx=e^{t^2/2+t}.
\endalign
$$
Val\'oj\'aban van egyszer\H{u}bb megold\'as is. Ha $\xi$ norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o 1 v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es 1 sz\'or\'assal, akkor $\xi=\eta+1$, ahol $\eta$
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, ez\'ert
$Ee^{t\eta}=Ee^{t(\eta+1)}=e^tEe^{t\eta}=e^te^{t^2/2}$.
\medskip\item{} Ez ut\'obbi megold\'as majdnem ugyanaz, mintha a
vizsg\'alt integr\'alban az $y=x-1$ helyettes\'{\i}t\'est
alkalmazn\'ank.
$$
\align
Ee^{t\xi}&=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{tx-(x-1)^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dx
=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{t(y+1)-y^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dy\\
&=e^t\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ty-y^2/2}}
{\sqrt{2\pi}}\,dy=e^te^{t^2/2}.
\endalign
$$
\item{2.} Tudjuk, hogy a tekintett k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et az
$f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-y)\,du$ konvoluci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'am\'{\i}thatjuk ki. Mivel $f(x)=0$,
$g(x)=0$, ha $x<0$, ez\'ert ebben az esetben a konvoluci\'oban
szerepl\H{o} integrandus $f(u)g(x-u)=0$, ha $u<0$ vagy
$x-u<0$, azaz $u\ge x$. Innen
$$
f*g(x)=\int_0^x \lambda e^{-\lambda u}\mu e^{-\mu(x-u)}\,du=
\lambda\mu e^{-\mu x}\int_0^x e^{(-\lambda-\mu)u}\,du, \quad\text{ha
}x\ge0,
$$
\'es $f*g(x)=0$, ha $x<0$. Ez\'ert
$$
f*g(x)=
\lambda\mu \frac{e^{-\lambda x}-e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}
\quad\text{ha $x\ge0$ \'es }\lambda\neq \mu
$$
\'es abban az esetben, ha $\lambda=\mu$, akkor
$$
f*g(x)=\lambda^2x e^{-\lambda x} \quad\text{ha } x\ge0.
$$
\item{3.} Legyen $\xi_j$, $1\le j\le10$, az a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyik 2, ha a $j$-ik
h\'uz\'asban k\'et piros vagy k\'et feh\'er goly\'ot
h\'uzunk \'es, $-1$ ha az egyik h\'uz\'as piros a m\'asik feh\'er.
Ekkor az $S=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$ val\'osz\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
kisz\'amolnunk. Mivel $E\xi_j=E\xi_1$, $\Var\xi_j=\Var\xi_1$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\Cov(\xi_1,\xi_2)$, ez\'ert a
keresett mennyis\'egek $ES= \summ_{j=1}^{10}E\xi_j=10E\xi_1$  \'es
$\Var S= \summ_{j=1}^{10}\Var\xi_j+\summ_{1\le j,k\le 10\;j\neq
k}\Cov(\xi_j,\xi_k)=10\Var\xi_1+90\Cov(\xi_1,\xi_2)$.
\item{} M\'asr\'eszt, $P(\xi_1=2)=\(\frac23\)^2+\(\frac13\)^2=\frac59$,
$P(\xi_1=-1)=\frac49$,
$P(\xi_1=2,\xi_2=2)=\frac49\frac{9^2+5^2}{14^2}+\frac19\frac
{10^2+4^2}{14^2} =\frac{15}{49}$,
$P(\xi_1=1,\xi_2=2)=
P(\xi_1=2,\xi_2=1)=P(\xi_1=2)-P(\xi_1=2,\xi_2=2)=\frac{110}{441}$,
$P(\xi_1=1,\xi_2=1)=P(\xi_1=1)-P(\xi_1=1,\xi_2=2)=\frac{181}{441}$,
ahonnan $E\xi_1=2\cdot\frac59-\frac49=\frac23$,
ahonnan $E\xi^2_1=4\cdot\frac59+\frac49=\frac83$,
$\Var\xi_1=\frac{20}9$,
$\Cov(\xi_1,\xi_2)=4P(\xi_1=2,\xi_2=2)-2P(\xi_1=2,\xi_2=-1)
-2P(\xi_1=-1,\xi_2=2)+P(\xi_1=-1,\xi_2=-1)-(E\xi_1)^2=
\frac{540}{441}-\frac{440}{441}+\frac{181}{441}-\frac49=\frac{232}{441}$,
ahonnan $ES=\frac{20}3$, $\Var S=\frac{200}9+90\cdot\frac{232}{441}$.
 
 
\item{4.} Legyen $\xi_j$ P\'eter nyerem\'enye a $j$-ik j\'at\'ekban.
Ekkor a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
P\'eter \"ossznyerem\'enye $S=\summ_{j=1}^{3000}\xi_j$, \'es
$P(\xi_j=3)=\dfrac5{12}$, $P(\xi_j=-3)=\dfrac5{12}$,
$P(\xi_j=0)=\dfrac1{6}$. (Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
\'{\i}rtuk fel, hogy P\'eter vagy P\'alt dob nagyobbat, illetve hogy a
k\'et dob\'as egyenl\H{o}. Innen $E\xi_j=0$, $\Var
\xi_j=E\xi_j^2=\dfrac{45}{6}$, $ES=0$, $\Var S=15\cdot 1500=150^2$.
Innen annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy P\'eter legal\'abb 90
forintot nyer
$$
P(S\ge 90)=P\(\frac{S-ES}{\sqrt {\Var S}}\ge\frac{90}{150}\)
=1-P\(\frac{S-ES}{\sqrt {\Var S}}<0.6\)\sim 1-\Phi(0.6)\sim0.274
$$
\item{5.} Az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban
konverg\'alnak az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'eny minden folytonoss\'agi pontj\'aban teljes\"ul
a $\limm_{n\to\infty} F_n(x)=F(x)$ rel\'aci\'o.
\item{} Szerepelt egy eredm\'eny, amelyik szerint meg lehet adni egy
ezzel ekvivalens megfogalmaz\'ast is. Azt is elfogaldtam, ha valaki
ez ut\'obbi eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel fogalmazta meg a
definici\'ot. Eszerint az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek akkor
konverg\'alnak eloszl\'asban egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha
minden a sz\'amegyenesen folytonos \'es korl\'atos $h(x)$
f\"uggv\'enyre
$$
\lim_{n\to\infty}\int h(x)F_n(\,dx)=\int h(x)F(\,dx).
$$
 
 
 
 
 
\bye
