DOLGOZAT FELADATOK

Megjegyzés: Abban az esetben, ha egy megkérdezett fogalom definícióját több (egymással ekvivalens) módon lehet megadni, akkor ezek mindegyike jó válasznak minősül.

1. Legyen ξ egy várható értékű és egy szórásnégyzetű normális eloszlású valószínűségi

változó, azaz legyen sűrűségfüggvénye a φ(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−(x−1)^{2}/2} függvény, és legyen

t valós szám. Számoljuk ki az e^{tξ} valószínűségi változó Ee^{tξ} várható értékét.

2. Legyen ξ és η két független exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ és μ paraméterrel, azaz legyen sűrűségfüggvényük f(x) = λe^{−λx}, ha x ≥ 0, és f(x) = 0, ha x < 0, illetve g(x) = μe^{−μx}, ha x ≥ 0, és g(x) = 0, ha x < 0. Számítsuk ki ξ + η sűrűségfüggvényét.

3. Adott két urna, mindkettőben 5 fehér és 10 piros golyó. Elvégzünk 10 húzást, mindegyik alkalommal kihúzunk egy-egy golyót a két urnából visszatevés nélkül. Ha egyforma színű golyókat húzunk, akkor 2 forintot nyerünk, ha különböző színűeket, akkor 1 forintot veszítünk. Számoljuk ki nyereményünk várható értékét és szórásnégyzetét.

4. Péter és Pál a következő játékot játssza. Mind a ketten feldobnak egy szabályos dobókockát. Ha Pál dobott nagyobbat, akkor ő nyer három forintot Pétertől, ha Péter dobása nagyobb, akkor Pál fizet Péternek három forintot. Ha a dobások egyenlőek, akkor senki sem fizet a másiknak. Ezt a játékot játsszák 3000 alkalommal. Adjunk jó közelítő becslést a centrális határeloszlástétel és a mellékelt normális eloszlástáblázat segítségével arra, hogy Péter legalább 90 forintot nyer.

5. Mikor konvergál F_{n}(x), n = 1, 2, …, eloszlásfüggvények sorozata eloszlásban egy F (x) eloszlásfüggvényhez?

MEGOLDÁSOK

1. Ha ξ f(x) sűrűségfüggvénnyel rendelkező valószínűségi változó h(x) valós értékű (mérhető) függvény, akkor Eh(ξ) = ∫ h(x)f(x) dx. Esetünkben ez azt jelenti, hogy ha ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó, akkor

Ee^{tξ} = ∫_{−∞}^{∞} e^{tx} \frac{e^{−(x−1)^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx.

Innen

Ee^{tξ} = ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{tx−(x−1)^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx = ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{(t+1)x−x^{2}/2−1/2}}{\sqrt{2π}} dx

= ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{(t+1)^{2}/2−(t+1−x)^{2}/2−1/2}}{\sqrt{2π}} dx = e^{(t+1)^{2}/2−1/2} ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{−x^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx = e^{t^{2}/2+t}.

Valójában van egyszerűbb megoldás is. Ha ξ normális eloszlású valószínűségi változó 1 várható értékkel és 1 szórással, akkor ξ = η + 1, ahol η standard normális eloszlású valószínűségi változó, ezért Ee^{tη} = Ee^{t(η+1)} = e^{t}Ee^{tη} = e^{t}e^{t^{2}/2}.

Ez utóbbi megoldás majdnem ugyanaz, mintha a vizsgált integrálban az y = x − 1 helyettesítést alkalmaznánk.

Ee^{tξ} = ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{tx−(x−1)^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dx = ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{t(y+1)−y^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dy

= e^{t} ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{ty−y^{2}/2}}{\sqrt{2π}} dy = e^{t}e^{t^{2}/2}.

2. Tudjuk, hogy a tekintett két független valószínűségi változó összegének a sűrűségfüggvényét az f ∗ g(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(u)g(x − y) du konvolució segítségével számíthatjuk ki. Mivel f(x) = 0, g(x) = 0, ha x < 0, ezért ebben az esetben a konvolucióban szereplő integrandus f(u)g(x − u) = 0, ha u < 0 vagy x − u < 0, azaz u ≥ x. Innen

f ∗ g(x) = ∫_{0}^{x} λe^{−λu}μe^{−μ(x−u)} du = λμe^{−μx} ∫_{0}^{x} e^{(−λ−μ)u} du, ha x ≥ 0,

és f ∗ g(x) = 0, ha x < 0. Ezért

f ∗ g(x) = λμ\frac{e^{−λx} − e^{−μx}}{μ − λ} ha x ≥ 0 és λ ≠ μ

és abban az esetben, ha λ = μ, akkor

f ∗ g(x) = λ^{2}xe^{−λx} ha x ≥ 0.

3. Legyen ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 10, az a valószínűségi változó, amelyik 2, ha a j-ik húzásban két piros vagy két fehér golyót húzunk és, −1 ha az egyik húzás piros a másik

fehér. Ekkor az S = ∑_{j=1}^{10} ξ_{j} valószűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét

kell kiszámolnunk. Mivel Eξ_{j} = Eξ_{1}, Var ξ_{j} = Var ξ_{1}, Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = Cov (ξ_{1}, ξ_{2}),

ezért a keresett mennyiségek ES = ∑_{j=1}^{10} Eξ_{j} = 10Eξ_{1} és Var S = ∑_{j=1}^{10} Var ξ_{j} +

∑_{1≤j,k≤10 j≠k} Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = 10Var ξ_{1} + 90Cov (ξ_{1}, ξ_{2}).

Másrészt, P (ξ_{1} = 2) = (\frac{2}{3})^{2} + (\frac{1}{3})^{2} = \frac{5}{9}, P (ξ_{1} = −1) = \frac{4}{9}, P (ξ_{1} = 2, ξ_{2} = 2) = \frac{4}{9} \frac{9^{2}+5^{2}}{14^{2}} +\frac{1}{9} \frac{10^{2}+4^{2}}{14^{2}} = \frac{15}{49}, P (ξ_{1} = 1, ξ_{2} = 2) = P (ξ_{1} = 2, ξ_{2} = 1) = P (ξ_{1} = 2)−P (ξ_{1} = 2, ξ_{2} = 2) = \frac{110}{441}, P (ξ_{1} = 1, ξ_{2} = 1) = P (ξ_{1} = 1) − P (ξ_{1} = 1, ξ_{2} = 2) = \frac{181}{441}, ahonnan Eξ_{1} = 2 · \frac{5}{9} − \frac{4}{9} = \frac{2}{3}, ahonnan Eξ_{1}^{2} = 4 · \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = \frac{8}{3}, Var ξ_{1} = \frac{20}{9}, Cov (ξ_{1}, ξ_{2}) = 4P (ξ_{1} = 2, ξ_{2} = 2) − 2P (ξ_{1} = 2, ξ_{2} = −1) − 2P (ξ_{1} = −1, ξ_{2} = 2) + P (ξ_{1} = −1, ξ_{2} = −1) − (Eξ_{1})^{2} = \frac{540}{441} − \frac{440}{441} + \frac{181}{441} − \frac{4}{9} = \frac{232}{441}, ahonnan ES = \frac{20}{3}, Var S = \frac{200}{9} + 90 · \frac{232}{441}.

4. Legyen ξ_{j} Péter nyereménye a j-ik játékban. Ekkor a ξ_{j} valószínűségi változók

függetlenek, Péter össznyereménye S = ∑_{j=1}^{3000} ξ_{j}, és P (ξ_{j} = 3) = \frac{5}{12}, P (ξ_{j} = −3) = \frac{5}{12}, P (ξ_{j} = 0) = \frac{1}{6}. (Annak valószínűségét írtuk fel, hogy Péter vagy Pált dob

nagyobbat, illetve hogy a két dobás egyenlő. Innen Eξ_{j} = 0, Var ξ_{j} = Eξ_{j}^{2} = \frac{45}{6},

ES = 0, Var S = 15 · 1500 = 150^{2}. Innen annak valószínűsége, hogy Péter legalább 90 forintot nyer

P (S ≥ 90) = P (\frac{S − ES}{\sqrt{Var S}} ≥ \frac{90}{150}) = 1 − P (\frac{S − ES}{\sqrt{Var S}} < 0.6) ∼ 1 − Φ(0.6) ∼ 0.274

5. Az F_{n} eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak az F eloszlásfüggvényhez, ha az F eloszlásfüggvény minden folytonossági pontjában teljesül a lim_{n→∞} F_{n}(x) = F (x) reláció. Szerepelt egy eredmény, amelyik szerint meg lehet adni egy ezzel ekvivalens megfogalmazást is. Azt is elfogaldtam, ha valaki ez utóbbi eredmény segítségével fogalmazta meg a definiciót. Eszerint az F_{n} eloszlásfüggvények akkor konvergálnak eloszlásban egy F eloszlásfüggvényhez, ha minden a számegyenesen folytonos és korlátos h(x) függvényre

lim_{n→∞} ∫ h(x)F_{n}( dx) = ∫ h(x)F ( dx).